Логаритъм от 1000 при основа 0 5. Какво е логаритъм

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Десетичен логаритъмсе нарича логаритъм при основа 10:

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Този логаритъм е решението на експоненциалното уравнение. Понякога (особено в чуждестранната литература) десетичният логаритъм също се обозначава като, въпреки че първите две обозначения също са присъщи на естествения логаритъм.

Първите таблици с десетични логаритми са публикувани от английския математик Хенри Бригс (1561-1630) през 1617 г. (поради което чуждестранните учени често наричат ​​десетичните логаритми все още Бригс), но тези таблици съдържат грешки. Въз основа на таблиците (1783) на словенския и австрийския математик Георг Барталомей Вега (Юрий Веха или Веховец, 1754-1802), през 1857 г. немският астроном и геодезист Карл Бремикер (1804-1877) публикува първото безпогрешно издание. С участието на руския математик и учител Леонтий Филипович Магнитски (Телятин или Теляшин, 1669-1739) през 1703 г. в Русия са публикувани първите таблици на логаритми. Десетичните логаритми са широко използвани за изчисления.

Свойства на десетичните логаритми

Този логаритъм има всички свойства на логаритъм към произволна основа:

1. Основна логаритмична идентичност:

5. .

7. Преход към нова база:

Функцията десетичен логаритъм е функция. Графикът на тази крива често се нарича логаритмичен.

Свойства на функцията y=lg x

1) Област на дефиниция: .

2) Набор от стойности: .

3) Обща функция.

4) Функцията е непериодична.

5) Графиката на функцията се пресича с оста x в точката .

6) Пропуски в съгласуваността: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} че за .

Често вземете числото десет. Наричат ​​се логаритми на числа при основа десет десетичен знак. Когато извършвате изчисления с десетичен логаритъм, обичайно е да работите със знака lg, но не дневник; докато числото десет, което определя основата, не е посочено. Да, заместваме дневник 10 105до опростено lg105; а log102на lg2.

За десетични логаритмитипични са същите характеристики, които имат логаритмите с основа, по-голяма от единица. А именно десетичните логаритми се характеризират изключително за положителни числа. Десетичните логаритми на числата, по-големи от едно, са положителни, а числата, по-малки от едно, са отрицателни; на две неотрицателни числа, по-големият десетичен логаритъм също е еквивалентен на по-големия и т.н. Освен това десетичните логаритми имат отличителни черти и особености, които обясняват защо е удобно да се предпочита числото десет като основа на логаритмите.

Преди да анализираме тези свойства, нека да разгледаме следните формулировки.

Цяла част от десетичния логаритъм на число аНаречен Характеристика, и дробното мантисатози логаритъм.

Характеристика на десетичния логаритъм на число аозначен като , а мантисата като (lg а}.

Да вземем, да речем, lg 2 ≈ 0,3010.Съответно = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Същото важи и за lg 543.1 ≈2.7349. Съответно, = 2, (lg 543.1)≈ 0.7349.

Изчисляването на десетични логаритми на положителни числа от таблици е доста широко използвано.

Характерни признаци на десетичните логаритми.

Първият знак на десетичния логаритъм.неотрицателно цяло число, представено от 1, последвано от нули, е положително цяло число, равно на броя нули в избраното число .

Нека вземем lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Най-общо казано, ако

Че а= 10н , от които получаваме

lg a = lg 10 n = n lg 10 =П.

Втори знак.Десетичният логаритъм на положителен десетичен знак, показан от единица с водещи нули, е − П, където П- броят на нулите в представянето на това число, като се вземе предвид нулата на целите числа.

Обмисли , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Най-общо казано, ако

,

Че а= 10-н и се оказва

lga = lg 10н =-n lg 10 =-n

Трети знак.Характеристиката на десетичния логаритъм на неотрицателно число, по-голямо от единица, е равна на броя на цифрите в цялата част на това число, с изключение на единица.

Нека анализираме тази характеристика 1) Характеристиката на логаритъма lg 75,631 се приравнява на 1.

Наистина, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Това предполага,

lg 75.631 = 1 + b,

Преместването на запетая в десетична дроб надясно или наляво е еквивалентно на операцията за умножаване на тази дроб на степен десет с цяло число П(положителен или отрицателен). И следователно, когато десетичната запетая в положителна десетична дроб се измести наляво или надясно, мантисата на десетичния логаритъм на тази дроб не се променя.

И така, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

И така, имаме степени на две. Ако вземете числото от долния ред, тогава можете лесно да намерите степента, до която трябва да вдигнете две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност дефиницията на логаритъма:

Основният логаритъм a на аргумента x е степента, на която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото x.

Нотация: log a x \u003d b, където a е основата, x е аргументът, b всъщност е това, на което е равен логаритъма.

Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Може също така да се регистрира 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.

Операцията за намиране на логаритъм на число спрямо дадена основа се нарича логаритъм. Така че нека добавим нов ред към нашата таблица:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

За съжаление, не всички логаритми се разглеждат толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъма ще лежи някъде в сегмента. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат ​​ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват неограничено и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде аргументът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

[Надпис на фигура]

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъма. Помня: логаритъма е степента, на който трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента. Това е основата, която е повдигната на степен - на снимката тя е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам това прекрасно правило на моите ученици още на първия урок - и няма объркване.

Разбрахме определението - остава да се научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

1. Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от определението на степента чрез рационален показател, до който се свежда определението на логаритъма.
2. Базата трябва да е различна от единица, тъй като единица на всяка степен е единица. Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат валиден диапазон(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма) не се налага. Например логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 = −1, защото 0,5 = 2 −1 .

Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не е необходимо да знаем ODZ на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенствата влязат в действие, изискванията на DHS ще станат задължителни. Наистина, в основата и аргумента може да има много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега разгледайте общата схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

1. Изразете основата a и аргумента x като степен с най-малката възможна основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;
2. Решете уравнението за променливата b: x = a b ;
3. Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много уместно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. По същия начин и с десетичните дроби: ако веднага ги преобразувате в обикновени, ще има в пъти по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема с конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

1. Нека представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Получи отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

[Надпис на фигура]

Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64

1. Нека представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Получи отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

1. Нека представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Получен отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

1. Нека представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не е представено като степен на седем, защото 7 1< 14 < 7 2 ;
2. От предходния параграф следва, че логаритъмът не се взема предвид;
3. Отговорът е без промяна: log 7 14.

Малка забележка към последния пример. Как да се уверим, че едно число не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разложи на прости множители. И ако такива фактори не могат да бъдат събрани в степен със същите показатели, тогава оригиналното число не е точна степен.

Задача. Разберете дали точните степени на числото са: 8; 48; 81; 35; четиринадесет.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 е точната степен, тъй като има само един множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна степен, защото има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - точна степен;
35 \u003d 7 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 2 - отново не е точна степен;

Обърнете внимание също, че самите прости числа винаги са точни степени на себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

Десетичният логаритъм на аргумента x е логаритъм с основа 10, т.е. степента, на която трябва да повдигнете числото 10, за да получите числото x. Обозначение: lg x .

Например, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намерете lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичният логаритъм. Ако обаче не сте свикнали с такова обозначение, винаги можете да го пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните числа.

натурален логаритъм

Има друг логаритъм, който има собствена нотация. В известен смисъл той е дори по-важен от десетичния знак. Това е натурален логаритъм.

Натуралният логаритъм на аргумента x е логаритъмът при основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x .

Мнозина ще попитат: какво друго е числото e? Това е ирационално число, точната му стойност не може да бъде намерена и записана. Ето само първите числа:
e = 2,718281828459...

Няма да се задълбочаваме какво е това число и защо е необходимо. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x

Така ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип натуралният логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единица: ln 1 = 0.

За естествените логаритми са валидни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.