Логаритъм 8 при основа 4 е равен. Основно логаритмично тъждество

И така, имаме степени на две. Ако вземете числото от долния ред, тогава можете лесно да намерите степента, до която трябва да вдигнете две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност дефиницията на логаритъма:

Логаритъмът при основа a на аргумента x е степента, на която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото x.

Нотация: log a x \u003d b, където a е основата, x е аргументът, b всъщност е това, на което е равен логаритъма.

Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Може също да регистрираме 2 64 = 6, защото 2 6 = 64 .

Операцията за намиране на логаритъм на число спрямо дадена основа се нарича логаритъм. Така че нека добавим нов ред към нашата таблица:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

За съжаление, не всички логаритми се разглеждат толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5 . Числото 5 го няма в таблицата, но логиката подсказва, че логаритъма ще лежи някъде в сегмента. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем повече степендве, толкова по-голямо ще бъде числото.

Такива числа се наричат ​​ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват неограничено и никога не се повтарят. Ако логаритъма се окаже ирационален, по-добре е да го оставим така: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде аргументът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъма. Помня: логаритъма е степента, на който трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента. Това е основата, която е повдигната на степен - на снимката тя е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам това прекрасно правило на моите ученици още на първия урок - и няма объркване.

Разбрахме определението - остава да се научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

1. Аргумент и причина винаги трябва да има Над нулата. Това следва от определението за степен рационален показател, до което се свежда дефиницията на логаритъма.
2. Базата трябва да е различна от единица, тъй като единица на всяка степен е единица. Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат регион позволени стойности (ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма) не се налага. Например, логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 \u003d -1, тъй като 0,5 = 2 −1 .

Засега обаче само обмисляме числови изрази, където не се изисква да се знае ODZ на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенствата влязат в действие, изискванията на DHS ще станат задължителни. Наистина, в основата и аргумента може да има много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега помислете обща схемалогаритмични изчисления. Състои се от три стъпки:

1. Изразете основата a и аргумента x като степен с най-малката възможна основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;
2. Решете уравнението за променливата b: x = a b ;
3. Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много уместно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. По същия начин и с десетичните дроби: ако веднага ги преобразувате в обикновени, ще има в пъти по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема с конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

1. Нека представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Нека съставим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Получи отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64

1. Нека представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Получи отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

1. Нека представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Получен отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

1. Нека представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не е представено като степен на седем, защото 7 1< 14 < 7 2 ;
2. От предходния параграф следва, че логаритъмът не се взема предвид;
3. Отговорът е без промяна: log 7 14.

Малка забележка към последен пример. Как да се уверим, че едно число не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разширете в основни фактори. Ако има поне два различни фактора в разширението, числото не е точна степен.

Задача. Разберете дали точните степени на числото са: 8; 48; 81; 35; четиринадесет .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - точната степен, т.к. има само един множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна степен, защото има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - точна степен;
35 = 7 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 2 - отново не е точна степен;

Също така отбелязваме, че ние прости числавинаги са точни сили сами по себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

Десетичният логаритъм на аргумента x е логаритъм с основа 10, т.е. степента, на която трябва да повдигнете числото 10, за да получите числото x. Обозначение: lg x .

Например, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намерете lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. то десетичен логаритъм. Ако обаче не сте свикнали с такова обозначение, винаги можете да го пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните числа.

натурален логаритъм

Има друг логаритъм, който има собствена нотация. В известен смисъл той е дори по-важен от десетичния знак. Това е заотносно натуралния логаритъм.

Натуралният логаритъм от x е логаритъмът с основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x .

Мнозина ще попитат: какво друго е числото e? то ирационално число, точната му стойност не може да бъде намерена и записана. Ето само първите числа:
e = 2,718281828459...

Няма да се задълбочаваме какво е това число и защо е необходимо. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x

Така ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. Като цяло, естественият логаритъм на който и да е рационално числоирационален. Освен, разбира се, единица: ln 1 = 0.

За естествени логаритмивсички правила, които са верни за обикновените логаритми, са валидни.

Какво е логаритъм?

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Какво е логаритъм? Как се решават логаритми? Тези въпроси объркват много абсолвенти. Традиционно темата за логаритмите се смята за сложна, неразбираема и страшна. Особено - уравнения с логаритми.

Това абсолютно не е вярно. Абсолютно! не вярвате? Добре. Сега за около 10-20 минути вие:

1. Разберете какво е логаритъм.

2. Научете се да решавате цял клас експоненциални уравнения. Дори и да не сте чували за тях.

3. Научете се да изчислявате прости логаритми.

Освен това, за това ще трябва само да знаете таблицата за умножение и как числото се повишава до степен ...

Чувствам, че се съмнявате ... Е, пазете време! Отивам!

Първо, решете наум следното уравнение:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

\(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека го обясним по-лесно. Например \(\log_(2)(8)\) равен на степента, до което трябва да се повдигне \(2\), за да се получи \(8\). От това е ясно, че \(\log_(2)(8)=3\).

Примери:		\(\log_(5)(25)=2\)		защото \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		защото \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		защото \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Аргумент и основа на логаритъма

Всеки логаритъм има следната "анатомия":

Аргументът на логаритъма обикновено се записва на неговото ниво, а основата се записва с долен индекс по-близо до знака на логаритъма. И този запис се чете така: "логаритъм от двадесет и пет при основа пет."

Как да изчислим логаритъма?

За да изчислите логаритъма, трябва да отговорите на въпроса: до каква степен трябва да се повдигне основата, за да получите аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) На каква степен трябва да се повдигне \(4\), за да се получи \(16\)? Очевидно второто. Ето защо:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(5)\), за да се получи \(1\)? И каква степен прави всяко число единица? Нула разбира се!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(7)\), за да се получи \(\sqrt(7)\)? В първата - всяко число от първа степен е равно на себе си.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) На каква степен трябва да се повдигне \(3\), за да се получи \(\sqrt(3)\)? От знаем какво е дробна степен, което означава Корен квадратене степента \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Пример : Изчислете логаритъма \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Трябва да намерим стойността на логаритъма, нека го означим като х. Сега нека използваме дефиницията на логаритъма: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Какво свързва \(4\sqrt(2)\) и \(8\)? Две, защото и двете числа могат да бъдат представени с двойки: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Отляво използваме свойствата на степента: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) и \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Базите са равни, преминаваме към равенството на показателите
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Умножете двете страни на уравнението по \(\frac(2)(5)\)
		Полученият корен е стойността на логаритъма

Отговор : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Защо е измислен логаритъма?

За да разберем това, нека решим уравнението: \(3^(x)=9\). Просто съпоставете \(x\), за да работи равенството. Разбира се, \(x=2\).

Сега решете уравнението: \(3^(x)=8\). Какво е равно на x? Това е смисълът.

Най-гениалните ще кажат: "Х е малко по-малко от две." Как точно трябва да се напише това число? За да отговорят на този въпрос, те измислиха логаритъм. Благодарение на него отговорът тук може да бъде записан като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да подчертая, че \(\log_(3)(8)\), както и всеки логаритъм е просто число. Да, изглежда необичайно, но е кратко. Защото ако искахме да го запишем във формуляра десетична дроб, тогава ще изглежда така: \(1.892789260714.....\)

Пример : Решете уравнението \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) и \(10\) не могат да бъдат намалени до една и съща основа. Така че тук не можете без логаритъма. Нека използваме дефиницията на логаритъма: \(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Обърнете уравнението така, че x да е отляво
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		пред нас. Преместете \(4\) надясно. И не се страхувайте от логаритъма, третирайте го като обикновено число.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Разделете уравнението на 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Тук е нашият корен. Да, изглежда необичайно, но отговорът не е избран.

Отговор : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични и естествени логаритми

Както е посочено в дефиницията на логаритъма, неговата основа може да бъде всяка положително число, с изключение на единицата \((a>0, a\neq1)\). И сред всички възможни основи има две, които се срещат толкова често, че е измислена специална кратка нотация за логаритми с тях:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно приблизително на \(2,7182818…\)), а логаритъмът се записва като \(\ln(a)\).

Това е, \(\ln(a)\) е същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: Логаритъм, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Това е, \(\lg(a)\) е същото като \(\log_(10)(a)\), където \(a\) е някакво число.

Основно логаритмично тъждество

Логаритмите имат много свойства. Една от тях се казва „Основна логаритмично тъждество“ и изглежда така:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Това свойство следва пряко от определението. Нека да видим как се появи тази формула.

Да си припомним кратка бележкадефиниции на логаритъм:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Тогава можем да запишем \(\log_(a)(c)\) вместо \(b\) във формулата \(a^(b)=c\) . Оказа се \(a^(\log_(a)(c))=c\) - основното логаритмично тъждество.

Можете да намерите останалите свойства на логаритмите. С тяхна помощ можете да опростите и изчислите стойностите на изрази с логаритми, които са трудни за директно изчисляване.

Пример : Намерете стойността на израза \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Отговор : \(25\)

Как да напиша число като логаритъм?

Както бе споменато по-горе, всеки логаритъм е просто число. Обратното също е вярно: всяко число може да бъде записано като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава можете да напишете \(\log_(2)(4)\) вместо две.

Но \(\log_(3)(9)\) също е равно на \(2\), така че можете също да напишете \(2=\log_(3)(9)\) . По същия начин с \(\log_(5)(25)\) и с \(\log_(9)(81)\) и т.н. Тоест, оказва се

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Така, ако имаме нужда, можем да запишем двете като логаритъм с произволна основа навсякъде (дори в уравнение, дори в израз, дори в неравенство) - просто записваме основата на квадрат като аргумент.

Същото е и с тройката - може да се запише като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \) ... Тук записваме основата в куба като аргумент:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четири:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

И с минус едно:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

И с една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Всяко число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Пример : Намерете стойността на израз \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Отговор : \(1\)

Както знаете, когато умножавате изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b * a c = a b + c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8 век, математикът Вирасен създава таблица с целочислени показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където се изисква да се опрости тромавото умножение до просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. Прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) "b" според основата му "a" се счита за степен на "c ", до което е необходимо да се повдигне основата "a", така че в крайна сметка да се получи стойността "b". Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направихме някои изчисления наум, получаваме числото 3! И правилно, защото 2 на степен 3 дава числото 8 в отговора.

Разновидности на логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три определени видовелогаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъмът на всяко число b при основата a>1.

Всеки от тях е решен по стандартен начин, което включва опростяване, редуциране и последващо редуциране до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и реда на действията в техните решения.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат за аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са верни. Например, не можете да разделите числата на нула и също така е невъзможно да извлечете корена дори степенот отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да научите как да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• основата "a" винаги трябва да е по-голяма от нула и в същото време да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби смисъла си, тъй като "1" и "0" във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че "c" трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, беше дадена задача да се намери отговорът на уравнението 10 x \u003d 100. Много е лесно, трябва да изберете такава степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 \u003d 100.

Сега нека представим този израз като логаритмичен. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се свеждат до намирането на степента, до която трябва да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате техническо мислене и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за големи стойностиимате нужда от таблица с градуси. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо сложно математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степента c, на която е повдигнато числото a. На пресечната точка в клетките се определят стойностите на числата, които са отговорът (a c = b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числени изрази могат да бъдат записани като логаритмично уравнение. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм от 81 при основа 3, което е четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32 записваме като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения малко по-долу, веднага след изучаване на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е израз със следната форма: log 2 (x-1) > 3 - така е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъма. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм от 2 x = √9) предполагат едно или повече специфични числови стойности, докато при решаването на неравенството се определят както обхватът на допустимите стойности, така и точките на прекъсване на тази функция. Като следствие, отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнението, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става въпрос за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и прилагат на практика всички основни свойствалогаритми. По-късно ще се запознаем с примери за уравнения, нека първо анализираме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само ако a е по-голямо от 0, не е равно на единица и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на произведението може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай необходимото условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази формула от логаритми с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогава a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (степенни свойства ), и по-нататък по дефиниция: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула придобива следващ изглед: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича "свойство на степента на логаритъма". Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на редовни постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека регистрираме a b \u003d t, оказва се a t \u003d b. Ако повдигнете двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове логаритмични задачи са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са включени в задължителната част на изпитите по математика. За прием в университета или преминаване приемни изпитив математиката трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление, един единствен план или схема за адресиране и определяне неизвестна стойностняма логаритъм, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или намален до общ изглед. Опростете дълго логаритмични изразиМожете, ако използвате правилно свойствата им. Нека ги опознаем скоро.

При решаване логаритмични уравнения, е необходимо да определим какъв вид логаритъм имаме пред нас: пример за израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че трябва да определите степента, в която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения на естествени логаритми трябва да се прилагат логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме решението с примери. логаритмични задачиразличен тип.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

Така че, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритми.

1. Свойството логаритъм на произведението може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голямо значениечисла b с повече основни фактори. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъма, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Необходимо е само да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от изпита

Логаритмите често се срещат в входни изпити, особено много логаритмични задачи на изпита ( Държавен изпитза всички завършили гимназия). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова частизпит), но и в част С (най-трудните и обемни задачи). Изпитът предполага точно и перфектно познаване на темата "Натурални логаритми".

Примерите и решенията на проблеми са взети от официални ИЗПОЛЗВАЙТЕ опции. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2 , по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4 , следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Всички логаритми е най-добре да се сведат до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака на логаритъма са посочени като положителни, следователно, когато се извади показателят на експонентата на израза, който е под знака на логаритъма и като негова основа, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.