Една от най-известните неелементарни функции, която се използва в математиката, в теорията на диференциалните уравнения, в статистиката и в теорията на вероятностите, е функцията на Лаплас. Решаването на проблеми с него изисква значителна подготовка. Нека разберем как можете да изчислите този индикатор с помощта на инструменти на Excel.

Функцията на Лаплас има широко приложно и теоретично приложение. Например, доста често се използва за решаване на диференциални уравнения. Този термин има друго еквивалентно име - вероятностен интеграл. В някои случаи основата на решението е изграждането на таблица със стойности.

Оператор NORM.ST.DIST

В Excel посочената задача се решава с помощта на оператора НОРМА.СТ.РАЗС. Името му е съкратено от термина "нормално стандартно разпределение". Тъй като основната му задача е да върне стандартното нормално интегрално разпределение в избраната клетка. Този оператор принадлежи към статистическата категория стандартни функции на Excel.

В Excel 2007 и в по-ранните версии на програмата този оператор се извикваше НОРМСТРАСТ. За целите на съвместимостта е оставен и в съвременните версии на приложенията. Но все пак те препоръчват използването на по-усъвършенстван аналог - НОРМА.СТ.РАЗС.

Синтаксис на оператора НОРМА.СТ.РАЗСкакто следва:

NORM.ST.DIS(z;интеграл)

Отхвърлен оператор НОРМСТРАСТе написано така:

NORMSDIST(z)

Както можете да видите, в новата версия на съществуващия аргумент Здобавен аргумент "Интеграл". Трябва да се отбележи, че всеки аргумент е задължителен.

Аргумент Зуказва числовата стойност, за която се изобразява разпределението.

Аргумент "Интеграл"е булева стойност, която може да бъде представена "ВЯРНО" ("един")или "НЕВЯРНО" («0») . В първия случай функцията за интегрално разпределение се връща в указаната клетка, а във втория случай функцията за разпределение на теглото.

Решението на проблема

За да извършите необходимото изчисление върху променлива, се прилага следната формула:

NORM.ST.DIST(z;интеграл(1))-0,5

Сега нека разгледаме конкретен пример с помощта на оператора НОРМА.СТ.РАЗСза решаване на конкретен проблем.

Формула на Бейс

Събитията B 1 , B 2 ,…, B n са несъвместими и образуват пълна група, т.е. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. И нека събитието A може да се случи само когато се появи едно от събитията B 1 , B 2 ,…, B n. Тогава вероятността за събитие А се намира по формулата за пълна вероятност.

Нека събитие А вече се е случило. Тогава вероятностите на хипотезите B 1 , B 2 ,…, B n могат да бъдат надценени с помощта на формулата на Bayes:

Формула на Бернули

Нека бъдат направени n независими опита, във всеки от които събитието А може да се случи или да не се случи. Вероятността за настъпване (не настъпване) на събитие А е същата и равна на p (q=1-p).

Вероятността в n независими опити събитие А да се случи точно k пъти (според фигура, в каква последователност) се намира по формулата на Бернули:

Вероятността при n независими опита събитието да се случи:

а). По-малко от пъти P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

б). Повече от k пъти P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

в). поне k пъти P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

Ж). не повече от k пъти P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Локални и интегрални теореми на Лаплас.

Използваме тези теореми, когато n е достатъчно голямо.

Локална теорема на Лаплас

Вероятността в n независими опита дадено събитие да се случи точно `k" пъти е приблизително равна на:

Таблицата на функциите за положителни стойности (x) е дадена в проблемната книга на Gmurman в Приложение 1, стр. 324-325.

Тъй като дори (), тогава за отрицателни стойности (x) използваме същата таблица.

Интегрална теорема на Лаплас.

Вероятността в n независими опита събитието да се случи поне `k" пъти е приблизително равна на:

Функция на Лаплас

Таблицата на функциите за положителни стойности е дадена в проблемната книга на Гмурман в Приложение 2, стр. 326-327. За стойности по-големи от 5 задаваме Ф(х)=0,5.

Тъй като функцията на Лаплас е странна F(-x)=-F(x), тогава за отрицателни стойности (x) използваме същата таблица, само че вземаме стойностите на функцията със знак минус.

Закон за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива

Биномен закон на разпределение.

Отделен- случайна променлива, чиито възможни стойности са отделни изолирани числа, които тази променлива приема с определени вероятности. С други думи, възможните стойности на дискретна случайна променлива могат да бъдат номерирани.

Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен.

Дискретните случайни променливи се означават с главни букви X, а възможните им стойности - с малки букви x1, x2, x3 ...

Например.

X е броят точки, хвърлени на зара; X приема шест възможни стойности: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 с вероятности p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.

Законът за разпределение на дискретна случайна променливаназовете списък с неговите възможни стойности и съответните им вероятности.

Законът за разпределение може да бъде даден:

1. под формата на таблица.

2. Аналитично - под формата на формула.

3. графично. В този случай точките М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) се конструират в XOP правоъгълна координатна система. Тези точки са свързани с прави линии. Получената форма се нарича разпределителен полигон.

За да напишете закона за разпределение на дискретна случайна променлива (x), е необходимо да изброите всичките й възможни стойности и да намерите вероятностите, съответстващи на тях.

Ако съответните им вероятности се намират по формулата на Бернули, тогава такъв закон за разпределение се нарича бином.

Примери № 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Числени стойности на дискретни случайни променливи.

Математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение.

Средната стойност на дискретна случайна променлива се характеризира с математическото очакване.

математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности. Тези. ако е даден законът за разпределение, тогава математическото очакване

Ако броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива е безкраен, тогава

Освен това редицата от дясната страна на равенството се сближава абсолютно и сумата от всички вероятности pi е равна на единица.

Свойства на математическото очакване.

1. M(S)=S, S=минуси.

2. M(Cx)=CM(x)

3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)

4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).

5. За биномния закон на разпределение математическото очакване се намира по формулата:

Характеристика на дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около математическото очакване е дисперсията и стандартното отклонение.

дисперсиядискретна случайна променлива (x) се нарича математическо очакване на квадрата на отклонението. D(x)=M(x-M(x)) 2 .

Дисперсията се изчислява удобно по формулата: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.

Дисперсионни свойства.

1. D(S)=0, S=минуси.

2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Дисперсия на биномния закон на разпределение

Стандартно отклонениеслучайната променлива се нарича корен квадратен от дисперсията.

примери. 191, 193, 194, 209, д/з.

Интегрална функция на разпределение (IDF, DF) на вероятностите на непрекъсната случайна променлива (NSV). непрекъснато- количество, което може да приеме всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал. Има няколко възможни стойности на NSV и не могат да бъдат преномерирани.

Например.

Разстоянието, което снарядът изминава при изстрел, е NSV.

FMI се нарича функцията F(x), която определя за всяка стойност на x вероятността NSV X да приеме стойността X<х, т.е. F(x)=Р(X

Често казват FR вместо IFR.

Геометрично, равенството F(x)=P(X

IF свойства.

1. Стойността на IF принадлежи на интервала , т.е. F(x).

2. IF е ненамаляваща функция, т.е. x2 > x1,.

Следствие 1. Вероятността NSV X да приеме стойността, съдържаща се в интервала (a; c), е равна на увеличението на интегралната функция на този интервал, т.е.

P(a

Следствие 2. Вероятността NSV X да приеме една конкретна стойност, например x1=0, е равна на 0, т.е. P(x=x1)=0.

3. Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат на (a; c), тогава F(x)=0 за x<а, и F(x)=1 при х>в.

Следствие 3. Важни са следните пределни отношения.

Диференциална функция на разпределение (DDF) на вероятностите на непрекъсната случайна променлива (NSV) (плътност на вероятността).

DF f(x) NSV вероятностни разпределения наричаме първата производна на IGF:

Често вместо PDD казват плътността на вероятността (PD).

От дефиницията следва, че като се знае IF F(x), може да се намери DF f(x). Но се извършва и обратната трансформация: знаейки DF f(x), можем да намерим IF F(x).

Вероятността NSW X да приеме стойност, принадлежаща на (a; c), е:

НО). Ако е дадено IF - следствие 1.

Б). Ако е даден DF

DF имоти.

1. DF - не е отрицателен, т.е. .

2. неправилният интеграл на DF в (), е равен на 1, т.е. .

Следствие 1. Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат на (a; c), тогава.

Примери. № 263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/с.

Числени характеристики на NSV.

1. Математическо очакване (MO) на NSW X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос OX, се определя по формулата:

Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат към (a; c), тогава MO се определя по формулата:

Всички свойства на МО, посочени за дискретни величини, се запазват и за непрекъснати величини.

2. Дисперсията на NSW X, възможните стойности на която принадлежат към цялата ос OX, се определя по формулата:

Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат към (a; c), тогава дисперсията се определя по формулата:

Всички свойства на дисперсията, посочени за дискретни количества, се запазват и за непрекъснати количества.

3. Стандартното отклонение на NSW X се определя по същия начин, както за дискретни величини:

Примери. № 276, 279, X, d / z.

Оперативно смятане (OI).

OI е метод, който ви позволява да намалите операциите за диференциране и интегриране на функции до по-прости действия: умножение и деление по аргумент на така наречените изображения на тези функции.

Използването на OI улеснява решаването на много проблеми. По-специално проблемите на интегрирането на LDE с постоянни коефициенти и системи от такива уравнения, свеждайки ги до линейни алгебрични.

оригинали и изображения. Трансформации на Лаплас.

f(t)-оригинал; F(p)-образ.

Преходът f(t)F(p) се нарича Преобразуване на Лаплас.

Преобразуването на Лаплас на функцията f(t) се нарича F(p), което зависи от комплексна променлива и се определя от формулата:

Този интеграл се нарича интеграл на Лаплас. За да се сближи този неправилен интеграл, е достатъчно да се приеме, че f(t) е частично непрекъснат в интервала и за някои константи M > 0 и удовлетворява неравенството

Извиква се функция f(t) с такива свойства оригинален, а преходът от оригинала към неговото изображение се нарича Преобразуване на Лаплас.

Свойства на трансформацията на Лаплас.

Директното определяне на изображения по формула (2) обикновено е трудно и може да бъде значително улеснено чрез използване на свойствата на трансформацията на Лаплас.

Нека F(p) и G(p) са образи съответно на оригиналите f(t) и g(t). Тогава се осъществяват следните свойства-отношения:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - свойство на хомогенност.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - свойство на адитивност.

3. f(t)F(p-) - теорема за изместване.

преход на n-тата производна на оригинала в изображението (теорема за диференциране на оригинала).

Локални и интегрални теореми на Лаплас

Тази статия е естествено продължение на урока за независими тестовекъдето се срещнахме Формула на Бернулии разработени типични примери по темата. Локалната и интегралната теореми на Лаплас (Moivre-Laplace) решават подобен проблем с тази разлика, че са приложими към достатъчно голям брой независими тестове. Думите „локален“, „интеграл“, „теореми“ няма нужда да се премълчават – материалът се усвоява със същата лекота, с която Лаплас потупваше къдравата глава на Наполеон. Ето защо, без никакви комплекси и предварителни забележки, веднага ще разгледаме демо пример:

Монетата се хвърля 400 пъти. Намерете вероятността главите да се появят 200 пъти.

По характерни черти тук е необходимо да се приложи Формула на Бернули . Нека си припомним значението на тези букви:

е вероятността случайно събитие да се случи точно веднъж в независими опити;
– биномен коефициент;
е вероятността за възникване на събитие във всеки опит;

За нашата задача:
е общият брой тестове;
- броя на хвърлянията, при които орелът трябва да изпадне;

По този начин вероятността 400 хвърляния на монети да доведат до точно 200 глави е: ...Спри, какво да правиш след това? Микрокалкулатора (поне моят) не се справи с 400-та степен и капитулира пред факториели. И не ми се броеше продукта =) Нека използваме Стандартна функция на Excel, който успя да обработи чудовището: .

Обръщам внимание на полученото точностойност и такова решение изглежда идеално. На пръв поглед. Ето някои убедителни контрааргументи:

- първо, софтуерът може да не е под ръка;
- и второ, решението ще изглежда нестандартно (с голяма вероятност ще трябва да го повторите);

Затова, скъпи читатели, в близко бъдеще очакваме:

Локална теорема на Лаплас

Ако вероятността за възникване на случайно събитие във всеки опит е постоянна, тогава вероятността събитието да се случи точно веднъж в опитите е приблизително равна на:
, където .

В същото време, колкото повече, толкова по-добре изчислената вероятност ще се доближи до точната получена стойност (поне хипотетично)според формулата на Бернули. Препоръчителният минимален брой тестове е приблизително 50-100, в противен случай резултатът може да е далеч от истината. В допълнение, локалната теорема на Лаплас работи толкова по-добре, колкото по-близо е вероятността до 0,5, и обратно - тя дава значителна грешка за стойности, близки до нула или единица. Поради тази причина друг критерий за ефективно използване на формулата е изпълнението на неравенството () .

Така, например, ако , тогава прилагането на теоремата на Лаплас за 50 опита е оправдано. Но ако и , тогава приближението (до точна стойност)ще бъде лошо.

За защо и за специална функция ще говорим в клас за нормално разпределение на вероятностите, но засега се нуждаем от формално-изчислителната страна на въпроса. По-специално важен факт е паритеттази функция: .

Нека формализираме връзката с нашия пример:

Задача 1

Монетата се хвърля 400 пъти. Намерете вероятността главите да се приземят точно:

а) 200 пъти;
б) 225 пъти.

Откъде да започна решение? Първо, нека запишем известните количества, така че да са пред очите ни:

е общият брой независими тестове;
е вероятността да се получат глави при всяко хвърляне;
е вероятността да получите опашки.

а) Намерете вероятността в серия от 400 хвърляния глави да паднат точно веднъж. Поради големия брой тестове използваме локалната теорема на Лаплас: , където .

На първата стъпка изчисляваме необходимата стойност на аргумента:

След това намираме съответната стойност на функцията: . Това може да стане по няколко начина. На първо място, разбира се, възникват директни изчисления:

Закръгляването обикновено се извършва до 4 знака след десетичната запетая.

Недостатъкът на директното изчисление е, че не всеки микрокалкулатор усвоява експонентата, освен това изчисленията не са много приятни и отнемат време. Защо страдате така? Използвайте тервер калкулатор (точка 4)и получете стойност незабавно!

Освен това има таблица със стойност на функцията, който е достъпен в почти всяка книга по теория на вероятностите, по-специално в учебник В.Е. Гмурман. Изтеглете, който още не е теглил - общо взето има много полезни неща ;-) И не забравяйте да научите как да използвате таблицата (точно сега!)- подходящата компютърна технология може да не е винаги под ръка!

На последния етап прилагаме формулата :
е вероятността при 400 хвърляния на монета главите да се появят точно 200 пъти.

Както можете да видите, полученият резултат е много близък до точната стойност, изчислена от Формула на Бернули.

b) Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж в серия от 400 опита. Използваме локалната теорема на Лаплас. Едно, две, три - и готово:

е желаната вероятност.

Отговор:

Следващият пример, както мнозина се досетиха, е посветен на раждането - и това е за вас да решите сами :)

Задача 2

Вероятността да имате момче е 0,52. Намерете вероятността сред 100 новородени да има точно: а) 40 момчета, б) 50 момчета, в) 30 момичета.

Закръглете резултатите до 4 знака след десетичната запетая.

... Изразът „независими тестове“ звучи интересно тук =) Между другото, истинският статистическа вероятностраждаемостта на момче в много региони на света варира от 0,51 до 0,52.

Примерна задача в края на урока.

Всички забелязаха, че числата се оказват доста малки и това не трябва да е подвеждащо - все пак говорим за вероятностите на отделни, местенстойности (оттук и името на теоремата). И има много такива стойности и, образно казано, вероятността "трябва да е достатъчна за всички". Наистина много събития практически невъзможно.

Позволете ми да обясня горното, като използвам пример с монети: в поредица от четиристотин изпитания теоретично главите могат да падат от 0 до 400 пъти и тези събития формират пълна група:

Повечето от тези стойности обаче представляват оскъдно количество, така че например вероятността главите да изпаднат 250 пъти вече е едно на десет милионна:. За стойности като тактично замълчи =)

От друга страна, скромните резултати не трябва да се подценяват: ако става въпрос само за , тогава вероятността главите да паднат, да речем, 220 до 250 пъти, ще бъде много забележимо.

Сега нека помислим: как да изчислим тази вероятност? Не бройте по теорема за добавяне за вероятностите от несъвместими събитияколичество:

Много по-лесно тези стойности обединяват се. И обединението на нещо, както знаете, се нарича интеграция:

Интегрална теорема на Лаплас

Ако вероятността за възникване на случайно събитие във всеки опит е постоянна, тогава вероятността фактът, че в изпитанията събитието ще дойде не по-малко и не повече пъти (от до пъти включително), е приблизително равно на:

В този случай броят на опитите, разбира се, също трябва да бъде достатъчно голям и вероятността да не е твърде малка/висока (приблизително), в противен случай приближението ще бъде маловажно или лошо.

Функцията се извиква Функция на Лаплас, а стойностите му отново са обобщени в стандартна таблица ( намерете и научете как да работите с него!!). Микрокалкулаторът няма да помогне тук, тъй като интегралът не се прибира. Но в Excel има съответна функционалност - използване точка 5 дизайнерско оформление.

На практика най-често срещаните стойности са:
- Запишете го в тетрадката си.
Започвайки от , можем да приемем, че , или, ако е написано по-стриктно:

В допълнение, функцията на Лаплас странно: и това свойство се използва активно в задачи, които вече ни чакат:

Задача 3

Вероятността стрелецът да уцели целта е 0,7. Намерете вероятността със 100 изстрела целта да бъде улучена от 65 до 80 пъти.

Взех най-реалистичния пример, иначе намерих няколко задачи тук, в които стрелецът прави хиляди изстрели =)

Решение: в този проблем, за който говорим повтарящи се независими тестове, а броят им е доста голям. Съгласно условието се изисква да се намери вероятността целта да бъде поразена поне 65, но не повече от 80 пъти, което означава, че трябва да използваме интегралната теорема на Лаплас: , където

За удобство пренаписваме оригиналните данни в колона:
- общ брой удари;
- минимален брой попадения;
- максимален брой попадения;
- вероятността за попадение в целта с всеки изстрел;
- вероятността за пропуск при всеки изстрел.

Следователно теоремата на Лаплас ще даде добро приближение.

Нека изчислим стойностите на аргументите:

Обръщам внимание на факта, че работата не трябва да бъде напълно извлечена изпод корена (както авторите на задачи обичат да „нагласят“ числата)- без сянка на съмнение извличаме корена и закръгляме резултата; Преди оставях 4 знака след десетичната запетая. Но получените стойности обикновено се закръглят до 2 знака след десетичната запетая - тази традиция идва от таблици с функционални стойности, където аргументите са представени в този вид.

Използвайте горната таблица или terver дизайн оформление (точка 5).
Като писмен коментар ви съветвам да поставите следната фраза: намираме стойностите на функцията според съответната таблица:

- вероятността при 100 изстрела целта да бъде поразена от 65 до 80 пъти.

Не забравяйте да използвате странността на функцията!За всеки случай ще напиша подробно:

Факт е, че таблица със стойност на функциятасъдържа само положителен "x" и ние работим (поне според легендата)с маса!

Отговор:

Резултатът най-често се закръгля до 4 знака след десетичната запетая. (отново според табличния формат).

За самостоятелно решение:

Задача 4

В сградата има 2500 лампи, вероятността всяка от тях да бъде включена вечер е 0,5. Намерете вероятността поне 1250 и най-много 1275 лампи да бъдат включени вечер.

Приблизителна проба за завършване в края на урока.

Трябва да се отбележи, че разглежданите задачи много често се срещат в "безлична" форма, например:

Провежда се някакъв експеримент, при който може да се случи случайно събитие с вероятност 0,5. Експериментът се повтаря при непроменени условия 2500 пъти. Определете вероятността в 2500 експеримента събитието да се случи от 1250 до 1275 пъти

И подобни формулировки през покрива. Поради трафаретния характер на задачите, те често се опитват да прикрият условието - това е „единственият шанс“ по някакъв начин да разнообразите и усложните решението:

Задача 5

Институтът има 1000 студенти. Столовата разполага със 105 места. Всеки ученик отива в кафенето през голямото междучасие с вероятност 0,1. Каква е вероятността в един типичен учебен ден:

а) трапезарията ще бъде запълнена не повече от две трети;
б) няма достатъчно места за всички.

Обръщам внимание на съществената клауза „в РЕДОВЕН учебен ден” - тя осигурява относителна неизменност на ситуацията. След празниците значително по-малко студенти може да дойдат в института и гладна делегация ще се спусне в „Деня на отворените врати“ =) Тоест в „необичаен“ ден вероятностите ще се различават значително.

Решение: използваме интегралната теорема на Лаплас, където

В тази задача:
– общ брой студенти в института;
- вероятността ученикът да отиде на столова в голяма почивка;
е вероятността от противоположното събитие.

а) Изчислете колко места съставляват две трети от общия брой: места

Нека намерим вероятността в един типичен учебен ден столовата да бъде пълна с не повече от две трети. Какво означава? Това означава, че на голямото междучасие ще дойдат от 0 до 70 човека. Това, че никой няма да дойде или ще дойдат няколко студента - има събития практически невъзможно, обаче, за да се приложи интегралната теорема на Лаплас, тези вероятности все пак трябва да се вземат предвид. По този начин:

Нека изчислим съответните аргументи:

Като резултат:

- вероятността в един типичен учебен ден столовата да бъде запълнена с не повече от две трети.

Напомняне : когато функцията на Лаплас се счита за равна на .

Мачкайте обаче =)

б) Събитие „Няма достатъчно места за всички“се състои в това, че от 106 до 1000 души ще дойдат в трапезарията по време на голяма почивка (най-важното, запечатайте добре =)).Ясно е, че високата посещаемост е невероятна, но въпреки това: .

Преброяване на аргументите:

По този начин вероятността да няма достатъчно места за всички:

Отговор:

Сега нека се съсредоточим върху едно важен нюансметод: когато извършваме изчисления върху отделен раздел, тогава всичко е „безоблачно“ - решете според разглеждания шаблон. Въпреки това, ако се счита пълна група от събитиятрябва да покаже определена точност. Позволете ми да обясня тази точка, използвайки примера на току-що анализирания проблем. В параграф „be“ открихме вероятността да няма достатъчно места за всички. Освен това, по същата схема, изчисляваме:
- вероятността да има достатъчно места.

Тъй като тези събития противоположност, тогава сумата от вероятностите трябва да е равна на едно:

Какъв е проблема? – тук всичко изглежда логично. Въпросът е, че функцията на Лаплас е непрекъснато, но не сме взели предвид интервалот 105 на 106. Това е мястото, където парчето 0,0338 изчезна. Ето защо по същата стандартна формулатрябва да се изчисли:

Е, или още по-лесно:

Възниква въпросът: какво ще стане, ако ПЪРВИ намерим? Тогава ще има друга версия на решението:

Но как може това?! – по два начина се получават различни отговори! Просто е: интегралната теорема на Лаплас е метод приблизителенизчисления и следователно и двата пътя са приемливи.

За по-точни изчисления използвайте Формула на Бернулии например функцията на excel БИНОМДИСТ. Като резултат приложението муполучаваме:

И изказвам своята благодарност на един от посетителите на сайта, който обърна внимание на тази тънкост - тя изпадна от полезрението ми, тъй като изследването на пълна група събития рядко се среща на практика. Желаещите могат да се запознаят с

Функцията на Лаплас е неелементарна функция и често се използва както в теорията на диференциалните уравнения и теорията на вероятностите, така и в статистиката. Функцията на Лаплас изисква определен набор от знания и обучение, тъй като ви позволява да решавате различни проблеми в областта на приложните и теоретичните приложения.

Функцията на Лаплас често се използва за решаване на диференциални уравнения и често се нарича вероятностен интеграл. Нека да видим как тази функция може да се използва в Excel и как функционира.

Вероятностният интеграл или функцията на Лаплас в Excel съответства на оператора „NORMSDIST“, който има синтаксис: „=NORMSDIST(z). В по-новите версии на програмата операторът също има името "NORM.ST.DIST." и леко модифициран синтаксис „=NORM.ST.DIST(z; интеграл).

Аргументът "Z" отговаря за числената стойност на разпределението. Аргумент "Интеграл" - връща две стойности - "1" - функцията за интегрално разпределение, "0" - функцията за разпределение на теглото.

Теорията е разбрана. Да преминем към практиката. Обмислете използването на функцията на Лаплас в Excel.

1. Напишете стойност в клетка, вмъкнете функция в следващата.

2. Нека напишем ръчно функцията "=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. Или използвайте съветника за вмъкване на функции - отидете в категорията „Статични“ и изберете „Пълен азбучен списък“.

4. В появилия се прозорец на аргументите на функцията посочете началните стойности. Нашата оригинална клетка ще отговаря за променливата „Z“ и ще вмъкне „1“ в „Интеграла“. Нашата функция ще върне функцията за кумулативно разпределение.

5. Получаваме готово решение на стандартното нормално интегрално разпределение за тази функция "NORM.ST.DIST". Но това не е всичко, нашата цел беше да намерим функцията на Лаплас или вероятностния интеграл, така че нека направим още няколко стъпки.

6. Функцията на Лаплас предполага, че от стойността на получената функция трябва да се извади "0,5". Добавяме необходимата операция към функцията. Натиснете "Enter" и получете окончателното решение. Желаната стойност е правилна и бързо намерена.

Excel лесно изчислява тази функция за всяка стойност на клетка, диапазон от клетки или препратки към клетки. Функцията NORM.ST.DIST е стандартен оператор за намиране на вероятностния интеграл или, както се нарича още, функцията на Лаплас.

2.1. Функция (интеграл на вероятностите) на Лапласизглежда като:

Графиката на функцията на Лаплас е показана на фиг.5.

функция Е(х) е таблично (вижте таблица 1 от приложенията). За да използвате тази таблица, трябва да знаете свойства на функцията на Лаплас:

1) Функция Ф( х) странно: Е(-х)= -Е(х).

2) Функция Е(х) нараства монотонно.

3) Е(0)=0.

4) Е(+¥ )=0,5; Е(-¥ )=-0,5. На практика можем да приемем, че за x³5 функцията Е(х)=0,5; за x £ -5 функцията Е(х)=-0,5.

2.2. Има и други форми на функцията на Лаплас:

и

За разлика от тези форми функцията Е(х) се нарича стандартна или нормализирана функция на Лаплас. Той е свързан с други форми чрез отношения:

ПРИМЕР 2.Непрекъсната случайна променлива хима нормален закон на разпределение с параметри: м=3, с=4. Намерете вероятността, че в резултат на теста случайната променлива х: а) ще приеме стойността, съдържаща се в интервала (2; 6); б) ще приеме стойност по-малка от 2; в) ще приеме стойност, по-голяма от 10; г) да се отклоняват от математическото очакване със стойност, не по-голяма от 2. Илюстрирайте решението на задачата графично.

Решение.а) Вероятността нормална случайна променлива хпопада в посочения интервал ( а,б), където а=2 и b=6 е равно на:

Стойности на функцията на Лаплас F(x)се определя съгласно таблицата, дадена в приложението, като се има предвид, че Е(–х)= –Е(х).

b) Вероятността нормална случайна променлива хще приеме стойност по-малка от 2, е равно на:

в) Вероятността нормална случайна променлива хприема стойност по-голяма от 10, е равно на:

г) Вероятността нормална случайна променлива х д=2 е равно на:

От геометрична гледна точка, изчислените вероятности са числено равни на защрихованите области под нормалната крива (виж Фиг. 6).

1 5

Ориз. 6. Нормална крива за случайна величина х~н(3;4)
ПРИМЕР 3.Диаметърът на вала се измерва без систематични (един знак) грешки. Случайните грешки при измерване се подчиняват на нормалния закон за разпределение със стандартно отклонение от 10 mm. Намерете вероятността измерването да бъде направено с грешка, която не надвишава 15 mm по абсолютна стойност.

Решение.Математическото очакване на случайни грешки е нула м хсе отклоняват от математическото очакване с по-малко от д=15 е равно на:

ПРИМЕР 4. Машината прави топчета. Топката се счита за валидна, ако отклонението хдиаметърът на топката от проектния размер е по-малък от 0,7 mm в абсолютна стойност. Ако приемем, че случайната променлива хразпределени нормално със стандартно отклонение от 0,4 mm, намерете колко добри топки ще има средно сред 100 произведени.

Решение.Случайна стойност х- отклонение на диаметъра на топката от проектния размер. Математическото очакване на отклонението е нула, т.е. М(х)=м=0. След това вероятността нормалната случайна променлива хсе отклоняват от математическото очакване с по-малко от д\u003d 0,7 е равно на:

От това следва, че приблизително 92 топки от 100 ще бъдат добри.

ПРИМЕР 5.Докажете правилото „3 с».

Решение.Вероятността, че нормална случайна променлива хсе отклоняват от математическото очакване с по-малко от d= 3с, е равно на:

ПРИМЕР 6.Случайна стойност хнормално разпределени с математическо очакване м=10. Вероятност за попадение хв интервала (10, 20) е 0,3. Каква е вероятността за удар хв интервала (0, 10)?

Решение.Нормалната крива е симетрична спрямо права линия х=м=10, така че площите, ограничени отгоре от нормалната крива и отдолу от интервалите (0, 10) и (10, 20), са равни една на друга. Тъй като площите са числено равни на вероятностите за попадение хв подходящия интервал.