Математически граници. Онлайн калкулатор Решаване на граници

За тези, които искат да научат как да намерят границите в тази статия ще говорим за това. Няма да задълбаваме в теорията, тя обикновено се дава на лекции от учители. Така че "скучната теория" трябва да бъде очертана в тетрадките ви. Ако не, тогава можете да прочетете учебници, взети от библиотеката образователна институцияили други онлайн ресурси.

И така, концепцията за лимит е доста важна при изучаването на курса висша математика, особено когато срещнете интегрално смятанеи да разбере връзката между границата и интеграла. В настоящия материал ще бъдат разгледани прости примери, както и начини за разрешаването им.

Примери за решения

Пример 1
Изчислете a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Решение
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Често ни изпращат тези лимити с молба за помощ за разрешаването им. Решихме да ги подчертаем конкретен примери да поясня, че тези граници просто трябва да се запомнят като правило. Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще осигурим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да съберете информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя своевременно!
Отговор
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Какво да правим с несигурността на формата: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Пример 3
Решете $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Решение
Както винаги, започваме със заместване на стойността на $ x $ в израза под знака за граница. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Какво следва? Какъв трябва да е резултатът? Тъй като това е несигурност, това все още не е отговор и ние продължаваме изчислението. Тъй като имаме полином в числителите, ние го разлагаме на множители, използвайки познатата формула $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Спомняте ли си? Отлично! Сега продължете напред и го приложете с песента :) Получаваме, че числителят $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продължаваме да решаваме предвид горната трансформация: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Отговор
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Нека вземем ограничението в последните два примера до безкрайност и разгледаме несигурността: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Пример 5
Изчислете $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Решение
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Какво да правя? Как да бъдем? Не се паникьосвайте, защото невъзможното е възможно. Необходимо е да извадите скобите както в числителя, така и в знаменателя X и след това да го намалите. След това опитайте да изчислите лимита. Опитвайки... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Използвайки дефиницията от Пример 2 и замествайки безкрайност с x, получаваме: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Отговор
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритъм за изчисляване на граници

И така, нека обобщим накратко анализираните примери и съставим алгоритъм за решаване на границите:

Заместете точка x в израза след знака за граница. Ако се получи определено число или безкрайност, тогава границата е напълно разрешена. В противен случай имаме несигурност: "нула, разделена на нула" или "безкрайност, разделена на безкрайност" и преминете към следващите параграфи на инструкцията.
За да елиминирате несигурността „нула дели на нула“, трябва да разложите числителя и знаменателя на множители. Намаляване на подобни. Заместете точката x в израза под знака за граница.
Ако несигурността е "безкрайност, разделена на безкрайност", тогава изваждаме както в числителя, така и в знаменателя x от най-голямата степен. Скъсяваме х-овете. Заменяме x стойности от под границата в останалия израз.

В тази статия се запознахте с основите на решаването на граници, които често се използват в курса. Математически анализ. Разбира се, това не са всички видове задачи, предлагани от изпитващите, а само най-простите граници. Ще говорим за други видове задачи в бъдещи статии, но първо трябва да научите този урок, за да продължите напред. Ще обсъдим какво да правим, ако има корени, степени, ще изучаваме безкрайно малки еквивалентни функции, прекрасни граници, правилото на L'Hopital.

Ако не можете да разберете границите сами, не се паникьосвайте. Винаги се радваме да помогнем!

Несигурността на типа и формата са най-често срещаните несигурности, които трябва да бъдат разгледани при определяне на граници.

Повечето отзадачите върху границите, които се натъкват на учениците, просто носят такава несигурност. За да ги разкриете или по-точно да избегнете неясноти, има няколко изкуствени метода за трансформиране на формата на израз под знака за граница. Тези техники са както следва: член по член деление на числителя и знаменателя на най-високата степен на променливата, умножение по спрегнатия израз и разлагане на фактори за последващо редуциране с помощта на решения квадратни уравненияи формули за съкратено умножение.

Видова неопределеност

Пример 1

не равно на 2. Следователно, ние разделяме числителя и знаменателя на член на:

Коментирайте дясната страна на израза. Стрелките и числата показват към какво клонят дробите след заместване вместо това нбезкрайни стойности. Тук, както в пример 2, степента нв знаменателя има повече, отколкото в числителя, в резултат на което цялата дроб клони към безкрайно малка стойност или „супер малко число“.

Получаваме отговора: границата на тази функция с променлива, клоняща към безкрайност, е .

Пример 2 .

Решение. Тук е най-високата мощност на променливата хе равно на 1. Следователно, ние разделяме числителя и знаменателя член по член на х:

Коментар на хода на решението. В числителя караме "x" под корена на третата степен и така че началната му степен (1) остава непроменена, ние му присвояваме същата степен като корена, т.е. 3. Няма стрелки и допълнителни числа в този запис, така че опитайте мислено, но по аналогия с предишния пример, определете към какво клонят изразите в числителя и знаменателя след заместване на безкрайност с "x".

Получихме отговора: границата на тази функция с променлива, клоняща към безкрайност, е равна на нула.

Видова неопределеност

Пример 3Разкрийте несигурността и намерете границата.

Решение. Числителят е разликата на кубовете. Нека го разложим на множители, като използваме съкратената формула за умножение от курса училищна математика:

Знаменателят е квадратен тричлен, който разлагаме на множители чрез решаване на квадратно уравнение (отново препратка към решаване на квадратни уравнения):

Нека запишем израза, получен в резултат на трансформации и да намерим границата на функцията:

Пример 4Разкрийте несигурността и намерете границата

Решение. Теоремата за ограничение на коефициента не е приложима тук, защото

Следователно ние преобразуваме дробта по идентичен начин: като умножим числителя и знаменателя по бинома, спрегнат на знаменателя, и намалим с х+1. Съгласно следствието от теорема 1 получаваме израз, решавайки който намираме желаната граница:

Пример 5Разкрийте несигурността и намерете границата

Решение. Директно заместване на стойността х= 0 инча дадена функцияводи до неопределеност на формата 0/0. За да го отворите, стартирайте идентични трансформациии в резултат получаваме желания лимит:

Пример 6Изчисли

Решение:използвайте граничните теореми

Отговор: 11

Пример 7Изчисли

Решение:в този пример границите на числителя и знаменателя са 0:

; . Следователно получихме, че теоремата за границата на частното не може да бъде приложена.

Разлагаме числителя и знаменателя на множители, за да намалим дробта с общ множител, клонящ към нула, и следователно да направим възможно прилагането на теорема 3.

Квадрат тричленв числителя разгънете с формулата, където x 1 и x 2 са корените на тричлена. Разлагане на множители и знаменател, намалете дробта с (x-2), след което приложете теорема 3.

Отговор:

Пример 8Изчисли

Решение:За , числителят и знаменателят клонят към безкрайност, така че когато прилагаме теорема 3 директно, получаваме израза , който представлява несигурността. За да се отървете от този вид несигурност, разделете числителя и знаменателя на най-високата степен на аргумента. AT този примертрябва да се раздели на х:

Отговор:

Пример 9Изчисли

Решение: х 3:

Отговор: 2

Пример 10Изчисли

Решение:Числителят и знаменателят клонят към безкрайност. Разделяме числителя и знаменателя на най-високата степен на аргумента, т.е. х 5:

Числителят на дроб клони към 1, знаменателят към 0, така че дробта клони към безкрайност.

Отговор:

Пример 11.Изчисли

Решение:Числителят и знаменателят клонят към безкрайност. Разделяме числителя и знаменателя на най-високата степен на аргумента, т.е. х 7:

Отговор: 0

Производна.

Производната на функцията y = f(x) по отношение на аргумента xграницата на съотношението на неговото нарастване y към увеличението x на аргумента x се извиква, когато увеличението на аргумента клони към нула: . Ако тази граница е крайна, тогава функцията y = f(x)се нарича диференцируема в точката x. Ако тази граница съществува, тогава казваме, че функцията y = f(x)има безкрайна производна при x.

Производни на осн елементарни функции:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Правила за диференциране:

а)

в)

Пример 1Намерете производната на функция

Решение:Ако намерим производната на втория член по правилото за диференциране на дроб, тогава първият член е сложна функция, чиято производна се намира по формулата:

, където , тогава

При решаването са използвани следните формули: 1,2,10, a, c, d.

Отговор:

Пример 21.Намерете производната на функция

Решение:двата термина - сложни функции, където за първото , , а за второто , , тогава

Отговор:

Производни приложения.

1. Скорост и ускорение

Нека функцията s(t) описва позицияобект в някаква координатна система в момент t. Тогава първата производна на функцията s(t) е мигновена скоростобект:
v=s′=f′(t)
Втората производна на функцията s(t) е моментната ускорениеобект:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Уравнение на тангенс
y−y0=f′(x0)(x−x0),
където (x0,y0) са координатите на точката на допир, f′(x0) е стойността на производната на функцията f(x) в точката на допир.

3. Нормално уравнение
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

където (x0,y0) са координатите на точката, в която е начертана нормалата, f′(x0) е стойността на производната на функцията f(x) в дадената точка.

4. Възходяща и намаляваща функция
Ако f′(x0)>0, тогава функцията нараства в точката x0. На фигурата по-долу функцията нараства при x x2.
Ако f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Ако f′(x0)=0 или производната не съществува, тогава тази характеристика не ни позволява да определим характера на монотонността на функцията в точката x0.

5. Локални екстремуми на функцията
Функцията f(x) има локален максимумв точка x1, ако съществува околност на точката x1, така че за всички x от тази околност е валидно неравенството f(x1)≥f(x).
По същия начин функцията f(x) има местен минимумв точка x2, ако съществува околност на точката x2, така че за всички x от тази околност е валидно неравенството f(x2)≤f(x).

6. Критични точки
Точката x0 е критична точкафункция f(x), ако производната f′(x0) в нея е равна на нула или не съществува.

7. Първият достатъчен признак за съществуването на екстремум
Ако функцията f(x) нараства (f′(x)>0) за всички x в някакъв интервал (a,x1] и намалява (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) за всички x от интервала $

$ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

$ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Преди да продължите с решението, определете вида на вашия проблем

Тип 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

За да се разкрият такива несигурности, е необходимо да се умножат числителят и знаменателят на дробта по конюгата на израза, съдържащ корена.

Пример 1
Намерете лимит с корен $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$
Решение
Заместете $ x \to 4 $ във функцията sublimit: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ Получаваме несигурността $ [\frac(0)(0)] $. Умножете числителя и знаменателя по неговия конюгат, тъй като съдържа корена: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ Използвайки формулата за разликата на квадратите $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $, намаляваме границата до следната форма: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ Отваряме скобите в знаменателя и го опростяваме: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ Намаляваме функцията в границата с $ x-4 $, имаме: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да съберете информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя своевременно!
Отговор
$$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$

Тип 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Границите с корен от този тип, когато $ x \to \infty $ трябва да се изчислят различно от предишния случай. Необходимо е да се определят най-високите степени на изразите на числителя и знаменателя. След това извадете най-високата от двете степени извън скобите и намалете.

Тип 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Този вид ограничение често се среща в допълнителните задачи на изпита. В крайна сметка често учениците не изчисляват правилно границите на този тип. Как да решим граници с корени от този тип? Всичко е просто. Необходимо е функцията в лимита да се умножи и раздели на спрегнатия към нея израз.

Пример 3
Изчисляване на основна граница $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$
Решение
За $ x \to \infty $ в ограничението виждаме: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ След умножение и деление на конюгата имаме границата: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2 -3x)+x) = $$ Опростете числителя, като използвате формулата за разликата на квадратите: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ След разширяване на скобите и опростяване получаваме: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ Заместете отново $ x \to \infty $ в ограничението и го изчислете: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$
Отговор
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$

\begin(equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

Пример #4

Намерете $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Тъй като $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ и $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$, тогава имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. За да се отървете от ирационалността, която е причинила тази несигурност, трябва да умножите числителя и знаменателя по израза, спрегнат на числителя. тук вече няма да помогне, защото умножението по $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ ще доведе до следния резултат:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Както можете да видите, такова умножение няма да ни спаси от разликата в корените, която причинява неопределеността на $\frac(0)(0)$. Трябва да умножим по друг израз. Този израз трябва да бъде такъв, че след умножение по него разликата на кубичните корени да изчезне. И кубичният корен може да "премахне" само трета степен, така че трябва да използвате . Като заместим $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$ в дясната страна на тази формула, получаваме:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

И така, след умножаване по $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, разликата от кубични корени изчезна. Това е изразът $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, който ще бъде спрегнат към израза $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Нека се върнем към нашата граница и умножим числителя и знаменателя по израза, спрегнат на числителя $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\до 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\десен)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\left(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \right)) $$

Задачата е практически решена. Остава само да се вземе предвид, че $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (виж ). В допълнение, $4x-16=4(x-4)$, така че пренаписваме последното ограничение в тази форма:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ дясно))=\\ =-4\cdot\lim_(x\до 4)\frac(1)((x+4)\ляво(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ frac(1)(24). $$

Отговор: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Разгледайте още един пример (пример № 5) в тази част, където прилагаме . По принцип схемата на решение не се различава от предишните примери, с изключение на това, че спрегнатият израз ще има различна структура. Между другото, заслужава да се отбележи, че в типичните изчисления и тестове често има задачи, когато например изрази с кубичен корен се поставят в числителя, а изрази с квадратен корен се поставят в знаменателя. В този случай трябва да умножите както числителя, така и знаменателя по различни спрегнати изрази. Например, когато се изчислява границата $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$, съдържаща несигурност от формата $\frac(0 )(0 )$, умножението ще изглежда така:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\до 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\right)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\right))(\left(\sqrt(x+1)-3\right)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\right)\cdot\ ляв(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\десен))=\\= \lim_(x\до 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\вдясно))(\наляво(x-8\вдясно)\cdot\наляво(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\вдясно))= \lim_(x \до 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

Всички приложени по-горе трансформации вече бяха разгледани по-рано, така че предполагам, че тук няма особени неясноти. Въпреки това, ако решението на вашия подобен пример повдига въпроси, моля, отпишете се за него във форума.

Пример #5

Намерете $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Тъй като $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ и $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, имаме с несигурност $ \frac(0)(0)$. За да разкрием тази несигурност, използваме . Конюгираният израз за числителя има формата

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Умножавайки числителя и знаменателя на дробта $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ по горния спрегнат израз, получаваме:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\вдясно))=\\ =\lim_(x\до 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

Тъй като $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (вижте ), тогава:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\вдясно))=\\ \lim_(x\до 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\надясно))=\frac(5)(384). $$

Отговор: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Пример #6

Намерете $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Тъй като $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ и $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, тогава имаме работа с несигурността на $\frac(0)(0)$. В такива ситуации, когато изразите под корените са еднакви, можете да използвате метода на заместване. Изисква се да се замени изразът под корена (т.е. $3x-5$) чрез въвеждане на нова променлива. Самото използване на новото писмо обаче няма да направи нищо. Представете си, че просто заменихме израза $3x-5$ с буквата $t$. Тогава частта под ограничението става: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$. Ирационалността не е изчезнала никъде, тя само се е променила донякъде, което не е улеснило задачата.

Тук е уместно да припомним, че коренът може да премахне само степента. Но коя степен да използвам? Въпросът не е тривиален, защото имаме два корена. Единият корен от пети, а другият - от трети ред. Степента трябва да е такава, че и двата корена да се отстраняват едновременно! Трябва ни естествено число, което се дели на $3$ и $5$ едновременно. Има безкрайно много такива числа, но най-малкото от тях е числото $15$. Наричат го най-малко общо кратночисла $3$ и $5$. И заместването трябва да е така: $t^(15)=3x-5$. Вижте какво причинява такава подмяна на корените.

Теорията на границите е един от клоновете на математическия анализ. Въпросът за решаване на лимити е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на лимити от различни видове. Има десетки нюанси и трикове, които ви позволяват да разрешите един или друг лимит. Въпреки това ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика.

Нека започнем със самата концепция за лимит. Но първо, кратка историческа справка. Имало едно време един французин Огюстен Луи Коши през 19 век, който поставил основите на математическия анализ и дал строги дефиниции, по-специално дефиницията на границата. Трябва да се каже, че същият този Коши сънува, сънува и ще сънува в кошмари всички студенти от физически и математически факултети, тъй като той доказа огромен брой теореми на математическия анализ и една теорема е по-отвратителна от другата. В това отношение няма да разглеждаме стриктна дефиниция на лимита, а ще се опитаме да направим две неща:

1. Разберете какво е лимит.
2. Научете се да решавате основните видове лимити.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайник, каквато всъщност е задачата на проекта.

И така, каква е границата?

И веднага пример защо да чукаш баба си....

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.
2) Записи под иконата за ограничение, в този случай . Записът гласи „х клони към единица“. Най-често - точно, въпреки че вместо "х" на практика има други променливи. В практическите задачи на мястото на единица може да има абсолютно всяко число, както и безкрайност ().
3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: "границата на функцията, когато x клони към единица."

Нека анализираме следващия важен въпрос - какво означава изразът "x търсикъм единството? И какво изобщо е „стремеж“?
Концепцията за лимит е концепция, така да се каже, динамичен. Нека изградим последователност: първо , след това , , …, , ….
Тоест изразът „х търсидо едно" трябва да се разбира по следния начин - "x" последователно приема стойностите които са безкрайно близки до единицата и практически съвпадат с нея.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените единицата във функцията под знака за граница:

Така че първото правило е: Когато ви бъде даден лимит, първо просто опитайте да включите числото във функцията.

Разгледахме най-простата граница, но такива се срещат и на практика, и то не толкова рядко!

Пример за безкрайност:

Разбиране какво е това? Такъв е случаят, когато се увеличава безкрайно, тоест: първо, след това, след това, след това и така нататък до безкрайност.

И какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

И така: ако , тогава функцията клони към минус безкрайност:

Грубо казано, според нашето първо правило, ние заместваме безкрайността във функцията вместо "x" и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: за , функцията нараства неограничено:

И още една поредица от примери:

Моля, опитайте се да анализирате мислено следното за себе си и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
Ако някъде има някакво съмнение, можете да вземете калкулатор и да тренирате малко.
В случай, че , опитайте се да изградите последователността , , . Ако , тогава , , .

Забележка: строго погледнато, този подход с изграждане на последователности от няколко числа е неправилен, но е доста подходящ за разбиране на най-простите примери.

Обърнете внимание и на следното. Дори да се даде ограничение с голямо число отгоре или поне с милион: , тогава все едно , защото рано или късно "х" ще придобие такива гигантски стойности, че един милион в сравнение с тях ще бъде истински микроб.

Какво трябва да се запомни и разбере от горното?

1) Когато ни е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заменим число във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , и т.н.

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, в числителя и знаменателя на която са полиноми

Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функция. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме така наречената неопределеност на формата. Може да се мисли, че , и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и трябва да се приложи някакво решение, което сега ще разгледаме.

Как да решим ограниченията от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Най-голямата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и намираме най-високата степен:

Най-голямата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо числителят и знаменателят да се разделят на най-високата степен.

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е важно при вземането на решение?

Първо, посочваме несигурността, ако има такава.

Второ, желателно е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той не носи никакво математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в границата е желателно да се отбележи какво и къде клони. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи така:

За бележки е по-добре да използвате обикновен молив.

Разбира се, можете да не направите нищо от това, но тогава може би учителят ще забележи недостатъците в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси по заданието. А имате ли нужда от него?

Пример 2

Намерете границата
Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3
Максимална степен в знаменателя: 4
Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .
Пълното задание може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 3

Намерете границата
Максималната степен на "x" в числителя: 2
Максималната степен на "x" в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да разкриете несигурността, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на . Едно чисто решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Записът не означава деление на нула (невъзможно е да се дели на нула), а деление на безкрайно малко число.

Така при разкриване на неопределеността на формата можем да получим крайно число, нула или безкрайност.

Граници с типова неопределеност и метод за тяхното решаване

Следващата група граници е донякъде подобна на току-що разгледаните граници: има полиноми в числителя и знаменателя, но „x“ вече не клони към безкрайност, а към крайно число.

Пример 4

Решете границата
Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дроб:

В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило: ако има полиноми в числителя и знаменателя и има несигурност на формата , тогава за нейното разкриване множете числителя и знаменателя.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и (или) да използвате съкратени формули за умножение. Ако тези неща са забравени, посетете страницата Математически формули и таблиции се запознават с методическия материал Горещи училищни математически формули. Между другото, най-добре е да го отпечатате, изисква се много често и информацията от хартията се усвоява по-добре.

Така че нека решим нашата граница

Разлагане на множители на числителя и знаменателя

За да разложите числителя на множители, трябва да решите квадратното уравнение:

Първо намираме дискриминанта:

И корен квадратен от него: .

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор, функцията за квадратен корен е на най-простия калкулатор.

! Ако коренът не е извлечен напълно (получава се дробно число със запетая), много вероятно е дискриминантът да е изчислен неправилно или да има правописна грешка в задачата.

След това намираме корените:

По този начин:

Всичко. Числителят се разлага на множители.

Знаменател. Знаменателят вече е най-простият фактор и няма начин да го опростим.

Очевидно може да се съкрати до:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под знака за ограничение:

Естествено, на тест, на тест, на изпит, решението никога не е боядисано толкова подробно. В крайната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Нека разложим числителя на множители.

Пример 5

Изчислете лимита

Първо, "чисто" решение

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител:
Знаменател:

,

Кое е важното в този пример?
Първо, трябва да разберете добре как се разкрива числителят, първо поставихме 2 в скоби и след това използвахме формулата за разликата на квадратите. Това е формулата, която трябва да знаете и да видите.