Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Добра работакъм сайта">

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Хоствано на http://www.allbest.ru

• Съдържание
• Въведение
• 1. Математически модели
• 1.1 Класификация на икономико-математическите модели
• 2. Оптимизационно моделиране
• 2.1 Линейно програмиране
• 2.1.1 Линейното програмиране като инструмент за математическо моделиране на икономиката
• 2.1.2 Примери за модели на линейно програмиране
• 2.2.3 Оптимално разпределение на ресурсите
• Заключение

Въведение

Съвременната математика се характеризира с интензивно навлизане в други науки, този процес до голяма степен се дължи на разделянето на математиката на редица независими области. За много области на знанието математиката се е превърнала не само в инструмент за количествени изчисления, но и в метод за прецизно изследване и средство за изключително ясно формулиране на понятия и проблеми. Без съвременната математика, с нейния развит логически и изчислителен апарат, прогресът в различни области не би бил възможен. човешка дейност. икономическо математическо линейно моделиране

Икономиката като наука за обективните причини за функционирането и развитието на обществото използва различни количествени характеристики и следователно е усвоила голямо числоматематически методи.

Актуалността на тази тема се крие във факта, че в съвременната икономика се използват методи за оптимизация, които са в основата на математическото програмиране, теорията на игрите, мрежовото планиране, теорията на масовото обслужване и други приложни науки.

Изучаването на икономическите приложения на математическите дисциплини, които формират основата на настоящата икономическа математика, ви позволява да придобиете някои умения за решаване на икономически проблеми и да разширите знанията в тази област.

Целта на тази работа е да се проучат някои методи за оптимизация, използвани при решаването на икономически проблеми.

1. Математически модели

Математически модели в икономиката. Широкото използване на математически модели е важно направление за подобряване на икономическия анализ. Конкретизирането на данните или тяхното представяне под формата на математически модел помага да се избере най-малко трудоемкият път на решение, повишава ефективността на анализа.

Всички икономически проблеми, решени с помощта на линейно програмиране, се отличават с алтернативни решения и определени ограничителни условия. Да се ​​реши такъв проблем означава да се избере най-добрият, оптимален от всички възможни (алтернативни) варианти. Важността и стойността на използването на метода на линейното програмиране в икономиката се състои в това, че оптималният вариант се избира от достатъчно значителен брой алтернативни варианти.

Най-важните моменти при формулирането и решаването на икономически проблеми под формата на математически модел са:

· адекватността на икономико-математическия модел на реалността;

анализ на закономерностите, съответстващи на този процес;

Определяне на методи, чрез които е възможно да се реши проблемът;

Анализ на получените резултати или обобщаване.

Под икономически анализ се разбира преди всичко факторният анализ.

Нека y=f(x i) е някаква функция, която характеризира промяната в индикатор или процес; x 1 ,x 2 ,…,x n - фактори, от които зависи функцията y=f(x i). Дадена е функционално детерминирана връзка на показателя y с набор от фактори. Нека показателят y се променя през анализирания период. Изисква се да се определи каква част от численото увеличение на функцията y=f(x 1 ,x 2 ,…,x n) се дължи на увеличението на всеки фактор.

Може да се разграничи в икономическия анализ – анализ на влиянието на производителността на труда и броя на заетите върху обема на произведената продукция; анализ на влиянието на стойността на печалбата на дълготрайните производствени активи и нормализирания оборотен капитал върху нивото на рентабилност; анализ на влиянието на заемните средства върху гъвкавостта и независимостта на предприятието и др.

В икономическия анализ, в допълнение към задачите, които се свеждат до разбиването му на съставни части, има група от задачи, при които се изисква функционално свързване на редица икономически характеристики, т. изграждане на функция, която съдържа основното качество на всички разглеждани икономически показатели.

В този случай се поставя обратна задача - така наречената обратна задача. факторен анализ.

Нека има набор от показатели x 1 ,x 2 ,…,x n, характеризиращи някакъв икономически процес F. Всеки от показателите характеризира този процес. Необходимо е да се построи функция f(x i) на промяната на процеса F, съдържаща основните характеристики на всички показатели x 1 ,x 2 ,…,x n

Основният момент в икономическия анализ е определянето на критерий, по който ще се сравняват различни решения.

Математически модели в управлението. Вземането на решения играе важна роля във всички сфери на човешката дейност. За да се създаде проблем за вземане на решение, трябва да бъдат изпълнени две условия:

наличието на избор;

избор на опция според определен принцип.

Има два принципа за избор на решение: волев и критериален.

Волевият избор, най-често използваният, се използва при липса на формализирани модели като единствено възможен.

Изборът на критерий се състои в приемането на определен критерий и сравняването на възможните варианти по този критерий.Вариантът, за който приетият критерий дава най-доброто решение, се нарича оптимален, а проблемът за вземане на най-доброто решение се нарича оптимизационен проблем.

Критерият за оптимизация се нарича целева функция.

Всяка задача, чието решение се свежда до намиране на максимума или минимума на целевата функция, се нарича екстремална задача.

Управленските задачи са свързани с намирането на условния екстремум на целевата функция при известни ограничения, наложени на нейните променливи.

При решаването на различни оптимизационни задачи като целева функция се приемат количеството или себестойността на произведените продукти, производствените разходи, размера на печалбата и др. Ограниченията обикновено засягат човешки материални, финансови ресурси.

Задачите за оптимизация на управлението, различни по съдържание и реализирани с помощта на стандартни софтуерни продукти, съответстват на един или друг клас икономико-математически модели.

Помислете за класификацията на някои от основните задачи за оптимизация, изпълнявани от управлението в производството.

Класификация на оптимизационните проблеми по управляваща функция:

Контролна функция	Проблеми с оптимизацията	Клас икономико-математически модели
Техническа и организационна подготовка на производството	Моделиране на състава на продуктите; Оптимизиране на състава на сортове, шихта, смеси; Оптимизиране на рязане на листов материал, валцувани продукти; Оптимизиране на разпределението на ресурсите в мрежови модели на работни пакети; Оптимизиране на плановете на предприятия, отрасли и оборудване; Оптимизиране на маршрута за производство на продукта; Оптимизация на технологиите и технологичните режими.	теория на графите Дискретно програмиране Линейно програмиране Мрежово планиране и управление Симулация Динамично програмиране Нелинейно програмиране
Технико-икономическо планиране	Изграждане на генерален план и прогнозиране на показателите за развитие на предприятието; Оптимизиране на портфолиото от поръчки и производствена програма; Оптимизиране на разпределението на производствената програма за планови периоди.	Матрични балансови модели “Вход-изход” корелация- регресионен анализ Екстраполация на тенденции Линейно програмиране
Оперативно управление на основното производство	Оптимизиране на календарни и планови норми; Календарни задачи; Оптимизиране на стандартни планове; Оптимизиране на краткосрочни производствени планове.	Нелинейно програмиране Симулация Линейно програмиране Целочислено програмиране

Маса 1.

Комбинацията от различни елементи на модела води до различни класове оптимизационни проблеми:

Таблица 2.

1.1 Класификация на икономико-математическите модели

Съществува значително разнообразие от видове, типове икономически и математически модели, необходими за използване при управлението на икономически обекти и процеси. Икономическите и математическите модели се делят на: макроикономически и микроикономически, в зависимост от нивото на моделирания обект на управление, динамични, които характеризират промените в обекта на управление във времето, и статични, които описват връзката между различни параметри, показатели на обекта при това време. Дискретните модели показват състоянието на контролния обект в отделни, фиксирани точки във времето. Имитация се нарича икономически и математически модели, използвани за симулиране на контролирани икономически обекти и процеси с помощта на информационни и компютърни технологии. Тип математически апаратизползвани в моделите, икономико-статистически, линейни и нелинейно програмиране, матрични модели, мрежови модели.

факторни модели. Групата икономико-математически факторни модели включва модели, които, от една страна, включват икономически фактори, от които зависи състоянието на управлявания икономически обект, а от друга страна, параметри на състоянието на обекта, които зависят от тези фактори. Ако факторите са известни, тогава моделът ви позволява да определите желаните параметри. Факторните модели най-често се предоставят от математически прости линейни или статични функции, които характеризират връзката между факторите и параметрите на даден икономически обект, които зависят от тях.

балансови модели. Балансовите модели, както статистически, така и динамични, се използват широко в икономическото и математическото моделиране. Създаването на тези модели се основава на балансовия метод - метод за взаимно съпоставяне на материалните, трудовите и финансовите ресурси и потребностите от тях. Описвайки икономическата система като цяло, нейният балансов модел се разбира като система от уравнения, всяко от които изразява необходимостта от баланс между количеството продукция, произведена от отделните икономически обекти, и общата нужда от този продукт. При този подход икономическата система се състои от икономически обекти, всеки от които произвежда определен продукт. Ако вместо понятието "продукт" въведем понятието "ресурс", тогава балансовият модел трябва да се разбира като система от уравнения, които удовлетворяват изискванията между определен ресурс и неговото използване.

Най-важните видове балансови модели:

· Материални, трудови и финансови баланси за икономиката като цяло и отделните й сектори;

· Междуотраслови баланси;

· Матрични баланси на предприятия и фирми.

оптимизационни модели. Голям клас икономически и математически модели се формира от оптимизационни модели, които ви позволяват да изберете най-добрия оптимален вариант от всички решения. В математическото съдържание под оптималност се разбира постигането на екстремум на критерия за оптималност, наричан още целева функция. Оптимизационните модели най-често се използват при проблеми с намирането на най-добрия начин за използване икономически ресурси, което ви позволява да постигнете максимален целеви ефект. Математическото програмиране се формира въз основа на решаването на проблема за оптимално рязане на листове шперплат, което осигурява най-много пълно използванематериал. Поставяйки такъв проблем, известният руски математик и икономист академик Л.В. Канторович беше признат за достоен за Нобелова награда по икономика.

2. Оптимизационно моделиране

2.1 Линейно програмиране

2.1.1 Линейното програмиране като инструмент за математическо моделиране на икономиката

Изследване на свойствата обща система линейни неравенствасе провежда от 19 век, а първият оптимизационен проблем с линейна целева функция и линейни ограничения е формулиран през 30-те години на 20 век. Един от първите чуждестранни учени, които полагат основите на линейното програмиране, е Джон фон Нойман, известен математик и физик, който доказва основната теорема за матричните игри. Сред местните учени голям принос в теорията на линейната оптимизация направи носителят на Нобелова награда L.V. Канторович, Н.Н. Моисеев, Е.Г. Холщайн, Д.Б. Юдин и много други.

Линейното програмиране традиционно се счита за един от клоновете на изследването на операциите, който изучава методите за намиране на условния екстремум на функции на много променливи.

В класическия математически анализ се изучава общата формулировка на проблема за определяне на условен екстремум, но поради развитието промишлено производство, транспорт, агропромишлен комплекс, банковия сектор традиционните резултати от математическия анализ не бяха достатъчни. Нуждите на практиката и развитието на компютърните технологии доведоха до необходимостта от определяне на оптималните решения при анализа на сложни икономически системи. Основният инструмент за решаване на такива проблеми е математическото моделиране, т.е. формализирано описание на изследвания процес и неговото изследване с помощта на математически апарат.

Изкуството на математическото моделиране е да се вземе предвид възможно най-широката гама от фактори, влияещи върху поведението на даден обект, като се използват възможно най-прости връзки. Във връзка с това процесът на моделиране често има многоетапен характер. Първо се изгражда относително прост модел, след което се извършва неговото изследване, което позволява да се разбере кои от интегриращите свойства на обекта не са обхванати от тази формална схема, след което, поради усложняването на модела, неговият осигурява се по-голяма адекватност на реалността. В същото време в много случаи първото приближение към реалността е модел, в който всички зависимости между променливите, характеризиращи състоянието на обекта, са линейни. Практиката показва, че значителен брой икономически процесиописано доста добре линейни моделии следователно линейното програмиране като апарат, който ви позволява да намирате условен екстремумвърху множеството, дефинирано от линейни уравнения и неравенства, играе важна роля в анализа на тези процеси.

2.1.2 Примери за модели на линейно програмиране

По-долу ще разгледаме няколко ситуации, чието изследване е възможно с помощта на инструменти за линейно програмиране. Тъй като основният показател в тези ситуации е икономически – себестойност, съответните модели са икономико-математически.

Проблемът с рязането на материали. Материалът от една проба се доставя за обработка в количество d единици. От него се изисква да се направят k различни компонента в количества, пропорционални на числата a 1 ,..., a k.Всяка единица материал може да се нарязва по n различни начина, като се използва i-тият метод (i=1, …,n) дава b ij, единици от j-тия продукт (j = 1,...,k).

Изисква се да се намери план за рязане, който осигурява максимален брой комплекти.

Икономико-математическият модел на тази задача може да се формулира по следния начин. Нека x i е броят на нарязаните единици материали i-тия начин, а x е броят на произведените комплекти продукти.

Като се има предвид, че общото количество материал е равно на сумата от неговите единици, нарязани по различни начини, получаваме:

Условието за пълнота се изразява с уравненията:

Очевидно е, че

x i 0 (i=1,…,n)(3)

Целта е да се определи такова решение X= (x 1 ,…,x n), което да удовлетворява ограниченията (1)-(3), при което функцията F = x приема максимална стойност. Нека илюстрираме разглеждания проблем със следния пример.За производството на греди с дължина 1,5 m, 3 m и 5 m в съотношение 2:1:3, 200 трупи с дължина 6 m се подават на разреза. Определете плана за рязане, който осигурява максимален брой комплекти. За да формулираме съответния проблем за оптимизиране на линейното програмиране, ние дефинираме всички възможни начинитрупи за рязане, като се посочва съответният брой греди, получени в този случай (Таблица 1).

маса 1

Нека x i означава броя на трупите, нарязани по i-тия начин (i = 1,2, 3, 4); x - броят комплекти барове.

Като се има предвид фактът, че всички трупи трябва да бъдат нарязани и броят на гредите от всеки размер трябва да отговаря на условието за пълнота, оптимизационният икономически и математически модел ще отнеме следващ изглед x > max при ограничения:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 \u003d 200

x i 0 (i=1,2,3,4)

Проблемът с избора на оптимална производствена програма на предприятието. Нека една компания произвежда n различни вида продукти. За производството на тези видове продукти предприятието използва M вида материали и суровини и N вида оборудване. Необходимо е да се определят производствените обеми на предприятието (т.е. неговата производствена програма) за даден интервал на планиране, за да се максимизира брутната печалба на предприятието.

където a i е продажната цена на продукти от тип i;

b i -- променливи разходи за освобождаване на една единица от вид продукт i;

Zp -- условно фиксирани разходи, които ще приемем независими от вектора x = (x 1 ,..., x n).

В същото време трябва да се спазват ограниченията за обемите на използваните материали и суровини и времето за използване на оборудването в интервала.

Нека с Lj(j = l,...,M) означим обема на запасите от материали и суровини от вида j, а с f k (k = 1,..., N) времето, през което оборудването от типа k. Ние знаем потреблението на материали и суровини от тип j за производството на една единица продукт от тип i, което означаваме с l ij (i = 1,..., n; j = 1,...,M ). Известно е също t ik -- времето за зареждане на една единица оборудване от тип k за производството на една единица продукция от тип i (i = 1,..., n; k = 1,..., N ). Означаваме с m k броя на оборудването от формата k (k=l,...,N).

С въведената нотация ограниченията върху обема на консумираните материали и суровини могат да бъдат определени, както следва:

Ограниченията върху производствения капацитет се дават от следните неравенства

В допълнение, променливите

x i ?0 i=1,…,n (7)

По този начин проблемът с избора на производствена програма, която максимизира печалбата, е да се избере такъв план за продукцията x = (x 1 ..., x n), който да удовлетворява ограниченията (5)-(7) и да максимизира функцията (4).

В някои случаи предприятието трябва да доставя предварително определени обеми продукция Vt на други икономически субекти и тогава в разглеждания модел вместо ограничение (1.7) може да бъде включено ограничение на формата:

x t > Vt i= 1,...,n.

Проблем с диетата. Помислете за проблема със съставянето на диета с минимални разходи на глава от населението, която да съдържа определени хранителни вещества необходими обеми. Ще приемем, че има известен списък от продукти от n позиции (хляб, захар, масло, мляко, месо и т.н.), които ще обозначим с буквите F 1 ,...,F n . Освен това се вземат предвид такива характеристики на продуктите (хранителни вещества) като протеини, мазнини, витамини, минерали и други. Нека обозначим тези компоненти с буквите N 1 ,...,N m . Да предположим, че за всеки продукт F i е известно (i = 1,...,n) количественото съдържание на горните компоненти в една единица от продукта. В този случай можете да направите таблица, съдържаща характеристиките на продуктите:

F 1 ,F 2 ,…F j …F n

N 1 a 11 a 12 …a 1j …a 1N

N 2 a 21 a 22 …a 2j …a 2N

N i a i1 a i2 …a ij …a iN

N m a m1 a m2 …a mj …a mN

Елементите на тази таблица образуват матрица с m реда и n колони. Нека го означим с А и го наречем хранителна матрица. Да предположим, че сме съставили диета x = (x 1, x 2, ..., x n) за определен период (например месец). С други думи, ние планираме за всеки човек за месец x, единици (килограми) от продукт F 1, x 2 единици от продукт F 2 и т.н. Лесно е да се изчисли колко витамини, мазнини, протеини и други хранителни вещества ще получи човек през този период. Например, компонент N 1 ​​присъства в тази диета в количество

a 11 x 1 + a 12 x 2+...+ a 1n x n

тъй като според условието х 1 единици от продукта F 1 според хранителната матрица съдържат 11 х 1 единици от компонента N 1; към това количество се добавя порция a 12 x 2 вещество N 1 от x 2 единици продукт F 2 и т.н. По същия начин можете да определите количеството на всички други вещества N i в диетата (x 1 ,..., x n).

Да приемем, че има определени физиологични изисквания по отношение на необходимото количество хранителни вещества в N i (i/ = 1,..., N) в планираното време. Нека тези изисквания са дадени от вектора b = (b 1 ...,b n), чийто i-ти компонент b i показва минималното необходимо съдържание на компонент N i в диетата. Това означава, че коефициентите x i на вектора x трябва да удовлетворяват следната система от ограничения:

a 11 x 1 + a 12 x 2+...+ a 1n x n ?b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2+...+ a 2n x n?b 2 (8)

a m1 x 1 + a m2 x 2+...+ a mn x n ?b m

В допълнение, от смисъла на проблема е очевидно, че всички променливи x 1 ,..., x n са неотрицателни и следователно неравенствата се добавят към ограниченията (8)

x1?0; x 2 ?0;… x n ?0; (9)

Като се има предвид, че в повечето случаи ограниченията (8) и (9) се удовлетворяват от безкраен брой дажби, ще изберем една от тях, чиято цена е минимална.

Нека цените на продуктите F 1 ,...,F n са равни на 1 ,…,c n

Следователно цената на цялата диета x = (x 1 ..., x n) може да бъде записана като

c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+ c n x n >min (10)

Крайната формулировка на диетичния проблем е да се избере измежду всички вектори x = (x 1 ,..., x n), удовлетворяващи ограничения (8) и (9), този, за който целевата функция (10) приема минималната стойност.

транспортна задача. Има m производствени обекта S 1 ,..., S m на хомогенен продукт (въглища, цимент, петрол и др.), докато обемът на производство на обекта S i е равен на a i единици. Произведеният продукт се потребява в точки Q 1 ...Q n и нуждата от него в точка Q j е k j единици (j = 1,...,n). Изисква се да се направи транспортен план от точки S i (i = 1,...,m) до точки Q j (j = 1,..., n), за да се задоволи търсенето на продукт b j, като се минимизира транспортирането разходи.

Нека разходите за транспортиране на една единица продукт от точка S i до точка Q i са равни на c ij. Освен това ще приемем, че при транспортиране на x ij единици продукт от S i до Q j, транспортните разходи са равни на c ij x ij.

Нека наречем транспортен план набор от числа х ij c i = 1,..., m; j = 1,..., n, отговарящи на ограниченията:

xij?0, i=1,2,…,m; j=1,…,n (11)

С транспортен план (x ij), транспортните разходи ще възлизат на

Окончателното формиране на транспортната задача е следното: сред всички набори от числа (х ij), които удовлетворяват ограниченията (11), да се намери набор, който минимизира (12).

2.1.3 Оптимално разпределение на ресурсите

Класът проблеми, разгледани в тази глава, има множество практически приложения.

AT общ изгледтези задачи могат да бъдат описани по следния начин. Има определено количество ресурси, което може да се разбира като парични средства, материални ресурси (например суровини, полуфабрикати, трудови ресурси, различни видовеоборудване и др.). Тези ресурси трябва да се разпределят между различните обекти на тяхното използване на отделни интервали от периода на планиране или на различни интервали за различни обекти, така че да се получи максимална обща ефективност от избрания метод на разпределение. Индикатор за ефективност може да бъде например печалба, продаваема продукция, производителност на капитала (задачи за максимизиране) или общи разходи, разходи, време за изпълнение на даден обем работа и т.н. (задачи за минимизиране).

Най-общо казано, по-голямата част от задачите на математическото програмиране се вписват в общата формулировка на проблема за оптимално разпределение на ресурсите. Естествено, когато се разглеждат модели и изчислителни схеми за решаване на такива проблеми по метода на DP, е необходимо да се посочи общата форма на проблема с разпределението на ресурсите.

По-нататък ще приемем, че в задачата са изпълнени условията, необходими за конструиране на DP модела. Нека опишем типичен проблем с разпределението на ресурсите в общи линии.

Задача 1. Налично първоначална сумасредства, които да бъдат разпределени в рамките на n години между s предприятия. Средства (k=1, 2,…,n; i=1,…, s), разпределени в k-та година i-то предприятие, носи приходи в размер и се връща в количество до края на годината. В последващото разпределение доходите могат да участват (частично или изцяло) или да не участват.

Необходимо е да се определи такъв начин на разпределение на ресурсите (количеството средства, разпределени за всяко предприятие през всяка планова година), така че общият доход от s предприятия за n години да бъде максимален.

Следователно, като индикатор за ефективността на процеса на разпределение на ресурсите за n години се приема общият доход, получен от s предприятия:

Количеството ресурси в началото на k-тата година ще се характеризира със стойността (параметър на състоянието). Управление на k-та стъпкасе състои в избора на променливи, обозначаващи ресурсите, разпределени през k-тата година на i-тото предприятие.

Ако приемем, че доходът не участва в по-нататъшното разпределение, тогава уравнението на състоянието на процеса има формата

Ако, от друга страна, част от дохода участва в по-нататъшно разпределение през дадена година, тогава съответната стойност се добавя към дясната страна на равенството (4.2).

Изисква се да се определят ns неотрицателни променливи, удовлетворяващи условия (4.2) и максимизираща функция (4.1).

Изчислителната процедура на DP започва с въвеждането на функция, обозначаваща дохода, получен за n - k + 1 години, започвайки от k-тата година до края на разглеждания период, с оптималното разпределение на средствата между s предприятия, ако средства са разпределени през k-тата година. Функциите за k=1, 2, ...n-1 удовлетворяват функционалните уравнения (2.2), които ще бъдат записани като:

За k=n, съгласно (2.2), получаваме

След това е необходимо да се решат последователно уравнения (4.4) и (4.3) за всички възможни (k = n--1, n--2, 1). Всяко от тези уравнения е оптимизационен проблем за функция, която зависи от s променливи. По този начин проблем с ns променливи се свежда до последователност от n задачи, всяка от които съдържа s променливи. В тази обща настройка проблемът все още е труден (поради многоизмерността) и за да го опростим, разглеждайки го като проблем с ns-стъпка, в този случайзабранено е. Всъщност нека се опитаме да го направим. Ние номерираме стъпките според броя на предприятията, първо през 1-вата година, след това през 2-рата и т.н.:

и ще използваме един параметър, за да характеризираме баланса на средствата.

По време на k-тата година състоянието "до началото на всяка стъпка s(k-1)_+i (i=1,2,…,s) ще бъде определено от предишното състояние с помощта на просто уравнение. Въпреки това, след една година, т.е. до началото на следващата година, ще е необходимо да се добавят средства към паричните средства и следователно състоянието в началото на (ks+1)-та стъпка ще зависи не само от предишните ks -то състояние, но и на всички s състояния и контроли през последната година. В резултат на това получаваме процес с последействие. За да елиминираме последействието, трябва да въведем няколко параметъра на състоянието; задачата на всяка стъпка остава все още трудна поради към многоизмерността.

Задача 2. Дейността на две предприятия (s=2) е планирана за n години. Първоначалните средства са. Средства x, инвестирани в предприятие I, носят доход f 1 (x) до края на годината и се връщат в същата сума, средства x, инвестирани в предприятие II, дават доход f 2 (x) и се връщат в сумата. В края на годината всички останали средства се преразпределят наново между предприятия I и II, не се получават нови средства и не се инвестират приходи в производството.

Необходимо е да се намери оптимален начин за разпределение на наличните средства.

Ще разгледаме процеса на разпределяне на средства като процес от n стъпки, в който номерът на стъпката съответства на номера на годината. Една управлявана система представлява две предприятия с инвестирани средства в тях. Системата се характеризира с един параметър на състоянието - размера на средствата, които трябва да бъдат преразпределени в началото на k-тата година. На всяка стъпка има две контролни променливи: - размерът на средствата, разпределени съответно за предприятие I и II. Тъй като средствата се преразпределят ежегодно в пълен размер, тогава). За всяка стъпка проблемът става едноизмерен. Тогава означаваме с

Индикаторът за ефективност на k-тата стъпка е равен на. Това е доходът, получен от две предприятия през k-тата година.

Индикаторът за изпълнение на задачата - доходът, получен от две предприятия за n години - е

Уравнението на състоянието изразява баланса на средствата след k-тата стъпка и има формата

Нека е условният оптимален доход, получен от разпределението на средствата между две предприятия за n-k+1 години, започвайки от k-тата година до края на разглеждания период. Нека напишем рекурентните отношения за тези функции:

където - се определя от уравнението на състоянието (4.6).

При дискретно инвестиране на ресурси може да възникне въпросът за избора на стъпка Dx при промяна на контролните променливи. Тази стъпка може да бъде зададена или определена въз основа на необходимата точност на изчисленията и точността на първоначалните данни. В общия случай тази задача е трудна и изисква интерполация от таблици в предишни стъпки на изчисление. Понякога предварителният анализ на уравнението на състоянието позволява да се избере подходяща стъпка Dx, както и да се зададат граничните стойности, за които трябва да се извърши табулиране на всяка стъпка.

Нека разгледаме двумерна задача, подобна на предишната, в която е конструиран дискретен модел на ДП на процеса на разпределение на ресурсите.

Задача 3. Съставете оптимален план за годишно разпределение на средствата между две предприятия за тригодишен период на планиране при следните условия:

1) първоначалната сума е 400;

2) инвестираните средства в размер на x носят доход f 1 (x) в предприятие I и възвръщаемост в размер на 60% от x, а в предприятие II - съответно f2 (x) и 20%;

3) всички парични средства, получени от върнатите средства, се разпределят ежегодно:

4) функциите f 1 (x) и f2 (x) са дадени в табл. едно:

Моделът на динамично програмиране на този проблем е подобен на модела, компилиран в Задача 1.

Процесът на управление е триетапен. Параметърът е средствата, които ще бъдат разпределени през k-тата година (k=l, 2, 3). Контролната променлива е средствата, инвестирани в предприятие I през k-тата година. Средствата, инвестирани в предприятие II през k-тата година, са Следователно контролният процес на k-тата стъпка зависи от един параметър (едномерен модел). Уравнението на състоянието ще бъде записано във формата

И функционални уравнения във формата

Нека се опитаме да определим максимално възможните стойности, за които е необходимо да се направи таблица на k-тата стъпка (k=l, 2, 3). При =400 от уравнение (4.8) определяме максималната възможна стойност, която имаме = 0,6 * 400 = 2400 (всички средства са инвестирани в предприятие I). По същия начин, за получаваме граничната стойност 0,6 * 240 = 144. Нека интервалът на промяна съвпада с таблицата, т.е. Dx \u003d 50. Нека направим таблица на общата печалба на тази стъпка:

Това ще улесни по-нататъшните изчисления. Тъй като клетките, разположени по диагонала на таблицата, съответстват на същата стойност, посочена в 1-ви ред (в 1-ва колона) на табл. 2. Вторият ред на таблицата съдържа стойностите f 1 (x), а втората колона съдържа стойностите f 2 (y), взети от таблицата. 1. Стойностите в останалите клетки на таблицата се получават чрез добавяне на числата f 1 (x) и f 2 (y) във 2-ри ред и във 2-ра колона и съответстващи на колоната и реда в пресечната точка на където се намира тази клетка. Например за =150 получаваме поредица от числа: 20 - за x = 0, y=150; 18 --за x=50, y=100; 18-- за x--100, y=50; 15 -- за x=150, y=0.

Да похарчим условна оптимизацияпо обичайния начин. 3-та стъпка. Основно уравнение (4.9)

Както беше посочено по-горе,. Нека да разгледаме числата по диагоналите, съответстващи на =0; петдесет; 100; 150 и изберете най-големия на всеки диагонал. Това намираме в 1-ви ред на съответното условно оптимално управление. Данните за оптимизация на 3-та стъпка ще бъдат поставени в основната таблица (Таблица 4). Той въвежда колоната Dx, която се използва допълнително при интерполация.

Оптимизацията на 2-ра стъпка се извършва в табл. 5 съгласно уравнение от вида (4.10):

В този случай може да се получи максимален доход, равен на Zmax=99,l. Директно изчисляване на дохода според таблицата. 2 за намереното оптимално управление дава 97,2. Разминаването в резултатите с 1,9 (около 2%) се дължи на линейна интерполационна грешка.

Разгледахме няколко варианта на проблема за оптимално разпределение на ресурсите. Съществуват и други версии на този проблем, чиито характеристики се вземат предвид от съответния динамичен модел.

Заключение

В това срочна писмена работаразглеждат се видовете математически модели, използвани в икономиката и управлението, както и тяхната класификация.

Особено внимание в курсовата работа се отделя на оптимизационното моделиране.

Изследван е принципът на конструиране на модели за линейно програмиране, дадени са и модели на следните задачи:

· Задачата за рязане на материали;

· Задачата за избор на оптимална производствена програма на предприятието;

· Диетична задача;

транспортна задача.

Статията представя общите характеристики на проблемите с дискретно програмиране, описва принципа на оптималност и уравнението на Белман, дава общо описаниепроцес на моделиране.

Бяха избрани три задачи за изграждане на модели:

· Проблемът за оптималното разпределение на ресурсите;

· Задачата на оптимален контролрезерви;

Проблемът с подмяната.

От своя страна за всяка от задачите се изграждат различни модели на динамично програмиране. За отделните задачи са дадени числени изчисления, съобразени с изградените модели.

Библиография:

1. Вавилов В.А., Змеев О.А., Змеева Е.Е. Електронно ръководство"Оперативно изследване"

2. Калихман И.Л., Войтенко М.А. „Динамично програмиране в примери и проблеми“, 1979 г

3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Изследване на операциите, 2003 г

4. Материали от Интернет.

Хоствано на Allbest.ru

Подобни документи

Изследването на икономическите приложения на математическите дисциплини за решаване на икономически проблеми: използването на математически модели в икономиката и управлението. Примери за линейни и динамични програмни модели като инструмент за икономическо моделиране.

курсова работа, добавена на 21.12.2010 г


Основни понятия и видове модели, тяхната класификация и цел на създаване. Особености на прилаганите икономико-математически методи. Обща характеристика на основните етапи на икономико-математическото моделиране. Приложение на стохастичните модели в икономиката.

резюме, добавено на 16.05.2012 г


Графично решениепроблеми с линейното програмиране. Решаване на задачи от линейното програмиране по симплексния метод. Възможности практическа употребаматематическо програмиране и икономико-математически методи при решаване на икономически проблеми.

курсова работа, добавена на 02.10.2014 г


Моделиране на икономически системи: основни понятия и определения. Математически модели и методи за тяхното изчисляване. Малко информация от математиката. Примери за задачи по линейно програмиране. Методи за решаване на задачи по линейно програмиране.

лекция, добавена на 15.06.2004 г


Теоретични основи на икономически и математически проблеми за смеси. Принципи на изграждане и структура на интегрирана система от икономико-математически модели. Организационно-икономическа характеристика и технико-икономически показатели на работата на СПК „Родина”.

курсова работа, добавена на 01.04.2011 г


Теоретични основи на икономическите и математическите методи. Етапи на вземане на решение. Класификация на оптимизационните проблеми. Проблеми на линейното, нелинейното, изпъкналото, квадратичното, целочисленото, параметричното, динамичното и стохастичното програмиране.

курсова работа, добавена на 05/07/2013


Концепцията и видовете модели. Етапи на изграждане на математически модел. Основи на математическото моделиране на връзката на икономическите променливи. Определяне на параметрите на линейно еднофакторно регресионно уравнение. Методи за оптимизацияматематика в икономиката.

резюме, добавено на 11.02.2011 г


Типични модели на управление: примери за икономически и математически модели и тяхното практическо използване. Процесът на интегриране на модели от различни типове в по-сложни моделни структури. Определяне на оптималния план за производство на продукти от всеки тип.

тест, добавен на 14.01.2015 г


Основи на съставянето, решаването и анализирането на икономически и математически задачи. Състояние, решение, анализ на икономически и математически задачи за моделиране на структурата на фуражните култури за дадени обеми животновъдна продукция. Насоки.

ръководство, добавено на 01/12/2009


Основни понятия на моделирането. Общи понятияи дефиниране на модела. Постановка на оптимизационни проблеми. Методи за линейно програмиране. Общ и типичен проблем в линейното програмиране. Симплексен метод за решаване на задачи за линейно програмиране.

Москва Държавен университет

икономика, статистика и информатика

Стопанско-правен факултет

ТЕСТ

Дисциплина: AHD

Изпълнено

Студент гр.ВФ-3

Тимонина Т.С.

Математическо моделиране

Един от видовете формализирано знаково моделиране е математическото моделиране, осъществявано с помощта на езика на математиката и логиката. За изучаване на всеки клас явления на външния свят се изгражда неговият математически модел, т.е. приблизително описание на този клас явления, изразено с помощта на математически символи.

Процесът на математическо моделиране може да бъде разделен на четири основни етапа:

азсцена:Формулиране на закони, свързващи основните обекти на модела, т.е. запис под формата на математически термини на формулираните качествени идеи за връзките между обектите на модела.

IIсцена:Изследването на математически проблеми, до които водят математическите модели. Основният въпрос е решението на пряката задача, т.е. получаване на изходни данни (теоретични последствия) в резултат на анализа на модела за по-нататъшното им сравнение с резултатите от наблюденията на изследваните явления.

IIIсцена:Корекция на възприетия хипотетичен модел по критерия на практиката, т.е. изясняване на въпроса дали резултатите от наблюденията са в съответствие с теоретичните следствия на модела в рамките на точността на наблюденията. Ако моделът е напълно дефиниран - всички негови параметри са дадени - тогава определянето на отклоненията на теоретичните следствия от наблюдения дава решения на прекия проблем, последвано от оценка на отклоненията. Ако отклоненията са извън точността на наблюденията, тогава моделът не може да бъде приет. Често при изграждането на модел някои негови характеристики остават недефинирани. Прилагането на критерия за практика към оценката на математически модел дава възможност да се заключи, че предположенията, залегнали в основата на (хипотетичния) модел, който ще се изследва, са правилни.

IVсцена:Последващ анализ на модела във връзка с натрупване на данни за изследваните явления и модернизиране на модела. С появата на компютрите методът на математическото моделиране заема водещо място сред другите методи на изследване. Този метод играе особено важна роля в съвременната икономическа наука. Изследването и прогнозирането на всяко икономическо явление чрез математическо моделиране ви позволява да проектирате нови технически средствапрогнозира влиянието на определени фактори върху дадено явление, планира тези явления дори при наличие на нестабилна икономическа ситуация.

Същност на икономическия анализ

Анализът (декомпозиция, разчленяване, разбор) е логическа техника, изследователски метод, чиято същност е, че изучаваният обект се разделя мислено на съставни елементи, всеки от които след това се изследва отделно като част от разчленено цяло, за да за идентифициране на елементите, идентифицирани по време на анализа, комбинирайте с помощта на друга логическа техника - синтез - в едно цяло, обогатено с нови знания.

Под икономически анализразбирайте приложено научна дисциплина, което е система специални знания, което позволява да се оцени ефективността на дейността на конкретен субект на пазарната икономика.

Теория на икономическия анализви позволява рационално да обосновете, да прогнозирате за близко бъдеще развитието на обекта на управление и да оцените възможността за вземане на управленско решение.

Основни направления на икономическия анализ:

Формулиране на система от показатели, характеризиращи работата на анализирания обект;

Качествен анализ на изследваното явление (резултат);

Количествен анализ на това явление (резултат):

За разработването и приемането на управленско решение е важно то да бъде средство за решаване на основната задача за идентифициране на резерви за повишаване на ефективността на икономическата дейност при подобряване на използването на производствените ресурси, намаляване на разходите, увеличаване на рентабилността и увеличаване на печалбите, т.е. е насочена към крайната цел изпълнение на управленско решение.

Разработчиците на теорията на икономическия анализ подчертават това Характеристикаособености:

1. Диалектическият подход към изучаването на икономическите процеси, които се характеризират с: преминаване на количеството в качество, възникване на ново качество, отрицание на отрицанието, борба на противоположностите, отмиране на старото и възникване на новото.

2. Обусловеност на икономическите явления от причинно-следствени връзки и взаимозависимости.

3. Идентифицирането и измерването на взаимовръзките и взаимозависимостите на показателите се основава на познаването на обективните модели на развитие на производството и обращението на стоките.

Икономическият анализ, на първо място, е факторен, т.е. определя влиянието на комплекс от икономически фактори върху показателя за ефективност на предприятието.

Влиянието на различни фактори върху икономическия показател за функционирането на предприятие, фирма се извършва с помощта на стохастичен анализ.

На свой ред детерминистичните и стохастичните анализи осигуряват:

Установяване на причинно-следствени или вероятностни връзки на фактори и показатели за ефективност;

Идентифициране на икономически модели на влиянието на факторите върху функционирането на предприятието и тяхното изразяване с помощта на математически зависимости;

Способността да се изграждат модели (предимно математически) на влиянието на факторните системи върху показателите за ефективност и изследване с тяхна помощ на въздействието върху крайния резултат от управленското решение .

В практиката се използват различни видове икономически анализи. За вземаните управленски решения особено важни са анализите: оперативен, текущ, перспективен (по времеви интервали); частични и комплексни (по обем); за идентифициране на резерви, подобряване на качеството и др. (по уговорка); прогнозен анализ. Прогнозите ви позволяват икономически да обосновете стратегически, оперативни (функционални) или тактически решения за управление .

Исторически са се развили две групи методи и техники: традиционни и математически. Нека разгледаме по-подробно приложението на математическите методи в икономическия анализ.

Математически методи в икономическия анализ

Използването на математически методи в областта на управлението е най-важната посока за подобряване на системите за управление. Математическите методи ускоряват икономическия анализ, допринасят за по-пълното отчитане на влиянието на факторите върху ефективността, подобряват точността на изчисленията. Прилагането на математическите методи изисква:

* систематичен подход към изследването на даден обект, като се вземат предвид връзките и връзките с други обекти (предприятия, фирми);

* разработване на математически модели, които отразяват количествените показатели на системната дейност на служителите на организацията, процесите, протичащи в сложни системиах, какви са предприятията;

* системни подобрения информационна поддръжкауправление на предприятието с помощта на електронни компютри.

Решаването на проблемите на икономическия анализ чрез математически методи е възможно, ако те са формулирани математически, т.е. реалните икономически връзки и зависимости се изразяват с помощта на математически анализ. Това налага разработването на математически модели.

В управленската практика се използват различни методи за решаване на икономически проблеми. Фигура 1 показва основните математически методи, използвани в икономическия анализ.

Избраните признаци на класификацията са доста условни. Например при мрежовото планиране и управление се използват различни математически методи и много автори влагат различно съдържание в смисъла на понятието „операционно изследване“.

Методи на елементарната математикасе използват в традиционните икономически изчисления при обосноваване на нуждите от ресурси, разработване на план, проекти и др.

Класически методи за математически анализсе използват самостоятелно (диференциране и интегриране) и в рамките на други методи (математическа статистика, математическо програмиране).

Статистически методи - основното средство за изследване на масови повтарящи се явления. Те се използват, когато е възможно да се представят промените в анализираните показатели като случаен процес. Ако връзката между анализираните характеристики не е детерминистична, а стохастична, тогава статистическите и вероятностните методи стават практически единственият изследователски инструмент. В икономическия анализ най-известни са методите на множествения и двойния корелационен анализ.

За изследване на едновременни статистически агрегати се използват законът за разпределение, вариационните серии и методът на вземане на проби. За многомерни статистически агрегати се използват корелационни, регресионни, дисперсионни, ковариационни, спектрални, компонентни, факторни видове анализ.

Икономически методисе основават на синтеза на три области на знанието: икономика, математика и статистика. Основата на иконометрията е икономически модел, т.е. схематично представяне на икономическо явление или процеси, отразяване на техните характерни черти с помощта научна абстракция. Най-разпространеният метод за икономически анализ е "разходи - продукция". Методът представлява матрични (балансови) модели, изградени по шахматна схема и ясно илюстриращи връзката между разходите и производствените резултати.

Методи за математическо програмиране -основните средства за решаване на проблемите на оптимизацията на производствените и икономически дейности. Всъщност методите са средства за планирани изчисления и позволяват да се оцени интензивността на планираните цели, недостигът на резултати, да се определят ограничаващите видове суровини, групи оборудване.

Под изследване на операциитесе отнася до разработването на методи за целенасочени действия (операции), количествената оценка на решенията и избора на най-доброто от тях. Целта на оперативните изследвания е комбинация от структурни взаимосвързани елементи на системата, осигуряващи в най-голяма степен най-добрия икономически показател.

Теория на игратакато част от изследването на операциите е теория на математическите модели за вземане на оптимални решения в условия на несигурност или конфликт на няколко страни с различни интереси.

Методи на математическата статистика

Ориз. 1. Класификация на основните математически методи, използвани в икономическия анализ.

Теория на опашките, основана на теория на вероятноститеизследва математически методи за количествено определяне на процесите на опашка. Характеристика на всички задачи, свързани с опашката, е случайният характер на изследваните явления. Броят на заявките за обслужване и интервалите от време между тяхното получаване са случайни по природа, но в съвкупност се подчиняват на статистически закономерности, чието количествено изследване е предмет на теорията на опашките.

Икономическа кибернетикаанализира икономическите явления и процеси като сложни системи от гледна точка на законите на управлението и движението на информацията в тях. В тази област най-развити са методите за моделиране и системен анализ.

Прилагането на математическите методи в икономическия анализ се основава на методологията на икономическото и математическото моделиране на икономическите процеси и научно обоснована класификация на методите и задачите на анализа. Всички икономико-математически методи (задачи) се разделят на две групи: оптимизациярешения по зададен критерий и неоптимизация(решения без критерий за оптималност).

Въз основа на получаването на точно решение всички математически методи се разделят на точен(със или без критерий се получава уникално решение) и приблизителен(на базата на стохастична информация).

Оптималните точни методи включват методите на теорията на оптималните процеси, някои методи на математическото програмиране и методите за изследване на операциите, оптимизационните приближения - част от методите на математическото програмиране, изследване на операциите, икономическата кибернетика, евристика.

Методите на елементарната математика и класическите методи на математическия анализ, икономическите методи принадлежат към неоптимизационните точни, а методът на статистическите тестове и другите методи на математическата статистика принадлежат към неоптимизиращите приблизителни методи.

Особено често използвани са математическите модели на опашки и управление на запасите. Например, теорията на опашките се основава на тази, разработена от учените A.N. Колмогоров и A.L. Теория на опашките на Ханчин.

Теория на опашките

Тази теорияви позволява да изучавате системи, предназначени да обслужват масовия поток от изисквания от случаен характер. Случайни могат да бъдат както моментите на възникване на изискванията, така и времето, изразходвано за тяхното поддържане. Целта на теоретичните методи е да се намери разумна организация на услугата, която да гарантира даденото й качество, да се определят оптималните (от гледна точка на приетия критерий) стандарти на дежурната служба, необходимостта от която възниква непланирано, нередовно. .

С помощта на метода на математическото моделиране е възможно да се определи например оптималният брой автоматично работещи машини, които могат да се обслужват от един работник или екип от работници и др.

Типичен пример за обекти на теорията на опашките могат да служат като автоматични телефонни централи - автоматични телефонни централи. PBX произволно получава „заявки“ - обаждания от абонати, а „услугата“ се състои в свързване на абонати с други абонати, поддържане на комуникация по време на разговор и др. Проблемите на теорията, формулирани математически, обикновено се свеждат до изучаването на специален тип случайни процеси.

Въз основа на данните за вероятностните характеристики на потока на входящите повиквания и продължителността на услугата и като се вземе предвид схемата на обслужващата система, теорията определя съответните характеристики на качеството на услугата (вероятност на отказ, средно време на изчакване за стартиране на обслужване и др.).

Математическите модели на множество проблеми с техническо и икономическо съдържание също са проблеми на линейното програмиране. Линейното програмиране е дисциплина, посветена на теорията и методите за решаване на проблеми за екстремуми линейни функциивърху множества, определени от системи от линейни равенства и неравенства.

Задачата за планиране на работата на предприятието

За производството на хомогенни продукти е необходимо да се изразходват различни производствени фактори - суровини, труд, машинен парк, гориво, транспорт и др. Обикновено има няколко доказани технологични метода на производство и при тези методи разходите за производствени фактори за единица време за освобождаване на продуктите са различни.

Броят на използваните производствени фактори и броят на произведените продукти зависи от това колко дълго предприятието ще работи по един или друг технологичен метод.

Задачата е рационално да се разпредели времето на работа на предприятието според различни технологични методи, т.е. тази, при която ще бъдат произведени максимален брой продукти за дадени ограничени разходи за всеки производствен фактор.

Въз основа на метода на математическото моделиране в оперативните изследвания се решават и много важни задачи, които изискват специфични методирешения. Те включват:

Задачата за надеждност на продукта.

· Задача за подмяна на оборудване.

теория на разписанието (така наречената теория на разписанието планиране).

· Проблем с разпределението на ресурсите.

Проблемът с ценообразуването.

· Теорията на мрежовото планиране.

Задачата за надеждност на продукта

Надеждността на продуктите се определя от набор от показатели. За всеки тип продукт има препоръки за избор на показатели за надеждност.

За оценка на продуктите, които могат да бъдат в две възможни състояния - работоспособност и отказ, се използват следните показатели: средно време до отказ (време до първи отказ), време до отказ, процент на отказ, параметър за процент на отказ, средно време за възстановяване на работно състояние , вероятност за работа без отказ през време t, коефициент на готовност.

Проблем с разпределението на ресурсите

Въпросът за разпределението на ресурсите е един от основните в процеса на управление на производството. За да се справи с този проблем, оперативните изследвания използват изграждането на линеен статистически модел.

Ценово предизвикателство

За предприятието въпросът за ценообразуването на продуктите играе важна роля. Как се извършва ценообразуването в предприятието зависи от неговата печалба. Освен това в сегашните условия на пазарна икономика цената се превърна в съществен фактор в конкурентната борба.

Теория на мрежовото планиране

Мрежовото планиране и управление е система за планиране на управлението на развитието на големи икономически комплекси, проектиране и технологична подготовка за производство на нови видове стоки, строителство и реконструкция, капитален ремонт на дълготрайни активи с помощта на мрежови графици.

Същността на мрежовото планиране и управление е съставянето на математически модел на управляван обект под формата на мрежова диаграма или модел, съхраняван в паметта на компютъра, който отразява връзката и продължителността на определен набор от работи. Мрежовата схема след нейната оптимизация с помощта на приложна математика и компютърни технологии се използва за оперативно управление на работата.

Решаването на икономически проблеми с помощта на метода на математическото моделиране позволява ефективно управление както на отделни производствени процеси на ниво прогнозиране и планиране на икономически ситуации и вземане на управленски решения въз основа на това, така и на цялата икономика като цяло. Следователно математическото моделиране като метод е тясно свързано с теорията за вземане на решения в управлението.

Етапи на икономико-математическото моделиране

Основните етапи на процеса на моделиране вече бяха обсъдени по-горе. В различни отрасли на знанието, включително и в икономиката, те придобиват свои специфични черти. Нека анализираме последователността и съдържанието на етапите на един цикъл на икономико-математическо моделиране.

1. Постановка на икономическия проблем и неговия качествен анализ.Основното тук е ясно да се формулира същността на проблема, направените предположения и въпросите, на които трябва да се отговори. Този етап включва подчертаване на най-важните характеристики и свойства на моделирания обект и абстрахиране от второстепенните; изучаване на структурата на обекта и основните зависимости, свързващи неговите елементи; формулиране на хипотези, обясняващи поведението и развитието на обекта.

2. Изграждане на математически модел. Това е етапът на формализиране на икономическия проблем, изразяването му под формата на конкретни математически зависимости и отношения (функции, уравнения, неравенства и др.). Обикновено първо се определя основната конструкция (тип) на математическия модел и след това се уточняват детайлите на тази конструкция (специфичен списък от променливи и параметри, формата на връзките). По този начин изграждането на модела се подразделя на няколко етапа.

Погрешно е да се смята, че колкото повече факти взема предвид моделът, толкова по-добре „работи“ и дава по-добри резултати. Същото може да се каже и за такива характеристики на сложността на модела като използваните форми на математически зависимости (линейни и нелинейни), като се вземат предвид факторите на случайност и несигурност и др. Прекомерната сложност и тромавостта на модела усложняват процеса на изследване. Необходимо е да се вземе предвид не само реални възможностиинформационна и математическа поддръжка, но и за сравняване на разходите за моделиране с получения ефект (с увеличаването на сложността на модела увеличението на разходите може да надвиши увеличението на ефекта).

Една от важните характеристики на математическите модели е потенциалната възможност за тяхното използване за решаване на проблеми с различно качество. Ето защо, дори когато сме изправени пред ново икономическо предизвикателство, не бива да се стремим да „изобретяваме“ модел; Първо, необходимо е да се опитаме да приложим вече известни модели за решаване на този проблем.

В процеса на изграждане на модел двете системи се сравняват научно познание- икономико-математически. Естествено е да се стремим да получим модел, който принадлежи към добре проучен клас математически проблеми. Често това може да бъде направено чрез известно опростяване на първоначалните предположения на модела, които не изкривяват основните характеристики на моделирания обект. Но също така е възможно формализирането на икономически проблем да доведе до неизвестна преди това математическа структура. Потребностите на икономическата наука и практика в средата на ХХ век. допринесе за развитието на математическото програмиране, теорията на игрите, функционалния анализ и изчислителната математика. Вероятно в бъдеще развитието на икономическата наука ще се превърне във важен стимул за създаването на нови клонове на математиката.

3. Математически анализ на модела.Целта на тази стъпка е да се изяснят общите свойства на модела. Тук се използват чисто математически методи на изследване. Най-важният момент е доказателството за съществуването на решения във формулирания модел (теорема за съществуване). Ако е възможно да се докаже, че даден математически проблем няма решение, тогава е необходимо да се работи по-нататък оригинална версиямоделът изчезва; трябва да се коригира или формулировката на икономическия проблем, или методите за неговата математическа формализация. По време на аналитичното изследване на модела се изясняват такива въпроси, като например уникално ли е решението, какви променливи (неизвестни) могат да бъдат включени в решението, какви ще бъдат връзките между тях, в какви граници и в зависимост от това какви първоначални условията, в които се променят, какви са тенденциите на изменението им и др. Аналитичното изследване на модела спрямо емпиричното (числовото) има предимството, че получените изводи остават валидни за различни специфични стойности на външните и вътрешните параметри на модела.

Познаването на общите свойства на модела е толкова важно, че често, за да докажат такива свойства, изследователите умишлено отиват към идеализирането на оригиналния модел. И все пак моделите на сложни икономически обекти много трудно се поддават на аналитични изследвания. В случаите, когато аналитичните методи не успяват да определят общите свойства на модела и опростяването на модела води до неприемливи резултати, се преминава към числени методи на изследване.

4. Подготовка на изходна информация.Моделирането налага строги изисквания към информационната система. В същото време реалните възможности за получаване на информация ограничават избора на модели, предназначени за практическо използване. При това се отчита не само принципната възможност за подготовка на информация (за определен период от време), но и разходите за подготовка на съответните информационни масиви. Тези разходи не трябва да надвишават ефекта от използването на допълнителна информация.

В процеса на подготовка на информация се използват широко методи на теория на вероятностите, теоретична и математическа статистика. Със системно икономико-математическо моделиране обща информация, използван в някои модели, е резултат от работата на други модели.

5. Числено решение.Този етап включва разработването на алгоритми за числено решение на задачата, компилирането на компютърни програми и директните изчисления. Трудностите на този етап се дължат преди всичко на голямото измерение на икономическите проблеми, необходимостта от обработка на значителни количества информация.

Обикновено изчисленията, базирани на икономико-математическия модел, имат многовариантен характер. Благодарение на високата скорост на съвременните компютри е възможно да се провеждат многобройни "моделни" експерименти, изучавайки "поведението" на модела при различни промени в определени условия. Изследване, проведено с числени методи, може значително да допълни резултатите от аналитичното изследване и за много модели е единственото възможно. Класът икономически проблеми, които могат да бъдат решени с числени методи, е много по-широк от класа проблеми, достъпни за аналитично изследване.

6. Анализ на числени резултати и тяхното приложение.На този последен етап от цикъла възниква въпросът за коректността и пълнотата на резултатите от симулацията, за степента на практическа приложимост на последните.

Методите за математическа проверка могат да открият неправилни конструкции на модели и по този начин да стеснят класа на потенциално правилните модели. Неформалният анализ на теоретичните изводи и числените резултати, получени с помощта на модела, тяхното сравнение с наличните знания и факти от реалността също позволяват да се открият недостатъците на формулирането на икономическия проблем, изградения математически модел, неговата информация и математическа подкрепа.

Препратки

Обучение

Нуждаете се от помощ при изучаването на тема?

Нашите експерти ще съветват или предоставят услуги за обучение по теми, които ви интересуват.
Подайте заявлениепосочване на темата точно сега, за да разберете за възможността за получаване на консултация.

При конструирането на икономически модели се идентифицират значими фактори и се отхвърлят подробности, които не са от съществено значение за решаването на проблема.

Икономическите модели могат да включват модели:

• икономически растеж
• потребителски избор
• равновесие на финансовите и стоковите пазари и много други.

Моделе логическо или математическо описание на компонентите и функциите, които отразяват основните свойства на моделирания обект или процес.

Моделът се използва като условно изображение, предназначено да опрости изследването на обект или процес.

Естеството на моделите може да бъде различно. Моделите се делят на: реални, знакови, словесно и таблично описание и др.

Икономически и математически модел

При управлението на бизнес процесите най-важни са преди всичко икономически и математически модели, често комбинирани в моделни системи.

Икономически и математически модел(EMM) е математическо описание на икономически обект или процес с цел тяхното изследване и управление. Това е математически запис на икономическия проблем, който се решава.

Основни видове модели

• Екстраполационни модели
• Факторни иконометрични модели
• Оптимизационни модели
• Балансови модели, Междуиндустриален модел на баланс (ISB)
• Експертни оценки
• Теория на играта
• мрежови модели
• Модели на системи за масово обслужване

Икономически и математически модели и методи, използвани в икономическия анализ

R a \u003d PE / VA + OA,

В обобщен вид смесеният модел може да се представи със следната формула:

И така, първо трябва да изградите икономико-математически модел, който описва влиянието на отделните фактори върху общите икономически показатели на организацията. Широко разпространени в анализа на икономическата дейност, получени мултифакторни мултипликативни модели, тъй като ни позволяват да изследваме влиянието на значителен брой фактори върху обобщаващите показатели и по този начин да постигнем по-голяма дълбочина и точност на анализа.

След това трябва да изберете начин за решаване на този модел. Традиционни начини : методът на верижните замествания, методите на абсолютните и относителните разлики, методът на баланса, методът на индекса, както и методите на корелационно-регресионния, клъстерния, дисперсионния анализ и др. Наред с тези методи и методи икономическият анализ също използва специално математически начинии методи.

Интегрален метод на икономически анализ

Един от тези методи (методи) е интегрален. Намира приложение при определяне влиянието на отделни фактори чрез мултипликативни, множествени и смесени (множествени адитивни) модели.

При условията на прилагане на интегралния метод е възможно да се получат по-разумни резултати за изчисляване на влиянието на отделните фактори, отколкото при използване на метода на верижното заместване и неговите варианти. Методът на верижното заместване и неговите варианти, както и методът на индекса, имат значителни недостатъци: 1) резултатите от изчисляването на влиянието на факторите зависят от приетата последователност на заместване на основните стойности на отделните фактори с действителни; 2) към сумата от влиянието на последния фактор се добавя допълнително увеличение на обобщаващия показател, причинено от взаимодействието на факторите, под формата на неразложим остатък. При използване на интегралния метод това увеличение се разпределя по равно между всички фактори.

Множествата на интегралния метод общ подходза решаване на модели от различни видове, независимо от броя на елементите, които са включени в този модел, както и независимо от формата на връзка между тези елементи.

Интегралният метод на факторния икономически анализ се основава на сумирането на увеличенията на функция, дефинирана като частна производна, умножени по увеличението на аргумента за безкрайно малки интервали.

В процеса на прилагане на интегралния метод трябва да бъдат изпълнени няколко условия. Първо трябва да се спазва условието за непрекъсната диференцируемост на функцията, при което като аргумент се приема някакъв икономически показател. Второ, функцията между началната и крайната точка на елементарния период трябва да се променя по права линия G e. И накрая, трето, трябва да има постоянство на съотношението на скоростите на промяна на стойностите на факторите

dy / dx = const

При използване на интегралния метод, изчисляването на определен интеграл върху даден интегранд и даден интервалинтеграцията се извършва съгласно съществуващата стандартна програма с помощта на съвременни компютърни технологии.

Ако решаваме мултипликативен модел, тогава следните формули могат да се използват за изчисляване на влиянието на отделните фактори върху общ икономически показател:

∆Z(x) = y 0 * Δ х + 1/2Δ х *Δ г

Z(y)=х 0 * Δ г +1/2 Δ х* Δ г

Когато решаваме множествен модел за изчисляване на влиянието на факторите, използваме следните формули:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ х/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ З- Δ Z(x)

Има два основни вида задачи, решавани с помощта на интегралния метод: статични и динамични. При първия тип няма информация за промени в анализираните фактори през този период. Примери за такива задачи са анализът на изпълнението на бизнес плановете или анализът на промените в икономическите показатели спрямо предходния период. Динамичният тип задачи се осъществява при наличие на информация за изменението на анализираните фактори през даден период. Този тип задачи включват изчисления, свързани с изследване на времеви редове от икономически показатели.

Това са най-важните характеристики на интегралния метод на факторния икономически анализ.

Log метод

В допълнение към този метод, методът (методът) на логаритъма също се използва при анализа. Използва се във факторния анализ при решаване на мултипликативни модели. Същността на разглеждания метод се състои в това, че при използването му има логаритмично пропорционално разпределение на стойността на съвместното действие на факторите между последните, т.е. тази стойност се разпределя между факторите пропорционално на дела на влияние на всеки отделен фактор върху сумата на обобщаващия показател. При интегралния метод посочената стойност се разпределя по равно между факторите. Следователно логаритмичният метод прави изчисляването на влиянието на факторите по-разумно от интегралния метод.

В процеса на логаритмиране не се използват абсолютни стойности на растежа на икономическите показатели, както е в случая с интегралния метод, а относителни, т.е. индекси на промените в тези показатели. Например обобщаващ икономически показател се определя като произведение на три фактора – фактори f = x y z.

Нека установим влиянието на всеки от тези фактори върху обобщаващия икономически показател. И така, влиянието на първия фактор може да се определи по следната формула:

Δf x \u003d Δf lg (x 1 / x 0) / log (f 1 / f 0)

Какво беше въздействието следващ фактор? За да намерим влиянието му, използваме следната формула:

Δf y \u003d Δf lg (y 1 / y 0) / log (f 1 / f 0)

И накрая, за да изчислим влиянието на третия фактор, прилагаме формулата:

Δf z \u003d Δf lg (z 1 / z 0) / log (f 1 / f 0)

По този начин общият размер на промяната на обобщаващия показател се разделя между отделните фактори в съответствие с пропорциите на съотношенията на логаритмите на индивидуалните факторни индекси към логаритъма на обобщаващия показател.

При прилагането на разглеждания метод могат да се използват всякакви видове логаритми - както естествени, така и десетични.

Метод на диференциалното смятане

При провеждане на факторен анализ се използва и методът диференциално смятане. Последният предполага, че обща промянафункция, т.е. обобщаващ показател, се разделя на отделни термини, стойността на всеки от които се изчислява като произведение на определена частична производна и нарастването на променливата, чрез която се определя тази производна. Нека да определим влиянието на отделните фактори върху обобщаващия показател, като използваме като пример функция на две променливи.

Функцията е зададена Z = f(x,y). Ако тази функция е диференцируема, тогава нейната промяна може да се изрази със следната формула:

Нека обясним отделните елементи на тази формула:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- големината на изменението на функцията;

Δx \u003d (x 1 - x 0)- големината на изменението на един фактор;

Δ y = (y 1 - y 0)- размера на изменението на друг фактор;

е безкрайно малка стойност от по-висок порядък от

В този пример влиянието на отделни фактори хи гза промяна на функцията З(обобщаващ показател) се изчислява, както следва:

ΔZx = δZ / δx Δx; ΔZy = δZ / δy Δy.

Сумата от влиянието на двата фактора е основната, линейна част от нарастването на диференцируемата функция, т.е. обобщаващият показател спрямо увеличението на този фактор.

Метод на собствения капитал

В условията на решаване на адитивни, както и многоадитивни модели, методът се използва и за изчисляване на влиянието на отделни фактори върху изменението на обобщаващия показател дялово участие. Същността му се състои в това, че първо се определя делът на всеки фактор в общия размер на техните промени. След това тази дроб се умножава по обща стойностпромени в обобщения индикатор.

Да предположим, че определяме влиянието на три фактора − а,bи сза обобщение г. Тогава за фактора а определянето на неговия дял и умножаването му по общата стойност на промяната в обобщаващия показател може да се извърши по следната формула:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

За фактора в разглежданата формула ще има следната форма:

Δyb =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

И накрая, за фактора c имаме:

∆y c =∆c/∆a +∆b +∆c*∆y

Това е същността на метода на собствения капитал, използван за целите на факторния анализ.

Метод на линейно програмиране

Вижте още:

Теория на опашките

Вижте още:

Теория на играта

Теорията на игрите също намира приложение. Точно като теорията на опашките, теорията на игрите е един от клоновете на приложната математика. Теорията на игрите изучава оптималните решения, които са възможни в ситуации от игрово естество. Това включва такива ситуации, които са свързани с избора на оптимални управленски решения, с избора на най-подходящите варианти за взаимоотношения с други организации и др.

За решаване на такива проблеми в теорията на игрите, алгебрични методи, които са базирани на системата линейни уравненияи неравенства итеративни методи, както и методи за намаляване на този проблем до определена системадиференциални уравнения.

Един от икономико-математическите методи, използвани при анализа на икономическата дейност на организациите, е така нареченият анализ на чувствителността. Този метод често се използва в процеса на анализ на инвестиционни проекти, както и за прогнозиране на размера на печалбата, оставаща на разположение на тази организация.

За да се планира оптимално и прогнозира дейността на организацията, е необходимо да се предвидят промените, които могат да настъпят в бъдеще с анализираните икономически показатели.

Например, необходимо е предварително да се предвиди промяната в стойностите на онези фактори, които влияят върху размера на печалбата: нивото на покупните цени за придобитите материални ресурси, нивото на продажните цени за продуктите на дадена организация, промени в потребителското търсене на тези продукти.

Анализът на чувствителността се състои в определяне на бъдещата стойност на обобщението икономически показателпри условие че се промени стойността на един или повече фактори, влияещи върху този показател.

Така например те установяват с каква сума ще се промени печалбата в бъдеще, в зависимост от промяната в количеството продадени продукти на единица. По този начин анализираме чувствителността на нетната печалба към промяна в един от факторите, които я влияят, тоест в този случай факторът обем на продажбите. Останалите фактори, влияещи върху маржа на печалбата, остават непроменени. Възможно е да се определи размерът на печалбата и при едновременна промяна в бъдещето на влиянието на няколко фактора. По този начин анализът на чувствителността позволява да се установи силата на реакцията на обобщаващ икономически индикатор към промените в отделните фактори, които влияят на този показател.

Матричен метод

Наред с горните икономико-математически методи, те се използват и при анализа на стопанската дейност. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра.

Метод на мрежово планиране

Вижте още:

Екстраполационен анализ

Освен разгледаните методи се използва и екстраполационен анализ. Той включва разглеждане на промените в състоянието на анализираната система и екстраполация, тоест разширяване на съществуващите характеристики на тази система за бъдещи периоди. В процеса на осъществяване на този вид анализ могат да се разграничат следните основни етапи: първична обработка и трансформация на първоначалната поредица от налични данни; избор на вида на емпиричните функции; определяне на основните параметри на тези функции; екстраполация; установяване степента на достоверност на анализа.

В икономическия анализ се използва и методът на главните компоненти. Те се използват за сравнителен анализ на отделните компоненти, т.е. параметрите на анализа на дейността на организацията. Основните компоненти са най-важните характеристики на линейни комбинации от съставни части, т.е. параметрите на извършения анализ, които имат най-значимите стойности на дисперсия, а именно най-големите абсолютни отклонения от средните стойности.

Методи на икономическата теория

Изследването на икономическия живот на човека е в сферата на интересите на учените от древни времена. Постепенното усложняване на икономическите отношения изискваше развитието на икономическата мисъл. Скоковете в науката винаги са били придружени от задачи, пред които е изправено човечеството на различни етапи от еволюцията. Първоначално хората получаваха храна, след това започнаха да я разменят. С течение на времето възниква селското стопанство, което допринася за разделението на труда и появата на първите занаятчийски професии. Важен етап в икономическия живот на човечеството беше индустриалната революция, която даде тласък на бързия растеж на производството и също така повлия на социалните промени в обществото.

Съвременната икономическа наука се формира сравнително наскоро, когато учените преминаха от решаване на проблеми, пред които е изправена доминиращата класа, към изучаване на процесите, протичащи в системите, независимо от интересите на обществото.

Предмет на икономическата теория е оптимизирането на съотношението на нарастващото търсене в условия, когато обемът на предлагането е ограничен поради ограничени ресурси.

Струва си да се отбележи, че дълго време икономическите системи се разглеждат в краткосрочни периоди, тоест в статика. Въпреки че новите тенденции на ХХ век изискват нов подход от икономистите, фокусиран върху динамичното развитие на икономическите структури.

Икономическите системи са достатъчни сложни образувания, при което всеки субект едновременно влиза в много отношения. Те могат да се разглеждат като макроикономически агрегати, както и като резултат от работата на отделен икономически агент. Икономическата наука използва различни методидопринасящи за улесняване на процесите на изследване и анализ на икономическите явления. Най-често използваните в практиката са:

• метод на абстракция (отделяне на обект от неговите връзки и действащи фактори);
• метод на синтез (комбиниране на елементи в общ);
• метод на анализ (разделяне на цялостната система на компоненти);
• дедукция (изследване от частното към общото) и индукция (изследване на предмета от общото към частното);
• систематичен подход (позволява ви да разглеждате обекта, който се изследва като структура);
• математическо моделиране (изграждане на модели на процеси и явления на математически език).

Моделиране в икономиката

Същността на моделирането е да замени реалния модел на процес, явление или система с друг модел, който може да опрости неговото изследване и анализ. Важно е да се наблюдава близостта на оригиналния модел до неговия научен аналог. Моделирането се използва с цел опростяване. Често на практика има такива явления, които не могат да бъдат изследвани без използването на демонстративни научни обобщения.

Могат да се разграничат следните цели на моделирането:

1. Търсене и описание на причините за поведението на оригиналния модел.
2. Прогнозиране на бъдещото поведение на модела.
3. Изготвяне на проекти, планове за системи.
4. Автоматизация на процесите.
5. Намиране на начини за оптимизиране на оригиналния модел.
6. За обучение на специалисти, студенти и др.

В основата си моделите също могат да бъдат от различни видове. Вербалният модел се основава на словесно описание на система или процес. Графичният модел е визуално представяне на различни зависимости една от друга. Може също така да опише поведението на оригиналния модел в динамика. Естественото моделиране е да се създаде оформление, което може частично или напълно да отразява поведението на оригинала. Най-широко използваното математическо моделиране. Това прави възможно използването на всички математически инструменти и език. В математиката се използват статистически модели, динамични и информационни модели. Всеки от техните видове се използва за постигане на конкретни цели, стоящи пред специалистите.

Забележка 1

Разделянето на икономиката на макро и микро нива доведе до факта, че моделирането също симулира системи на различни нива на организация. За изследване на икономическите структури най-често се използва иконометрията, която използва статистика и теория на вероятностите. Трябва да се отбележи, че именно математическото моделиране позволява да се вземе предвид факторът време, който е важен при динамичното развитие на системите.

Математически модели в икономиката

Преди началото на икономическото и математическото моделиране, подготвителна работакоето може да включва следните стъпки:

1. Поставяне на цели и задачи.
2. Извършване на формализиране на изучавания процес или явление.
3. Намиране на правилното решение.
4. Проверка на полученото решение и модел за адекватност.
5. Ако резултатите от теста са задоволителни, тези модели могат да бъдат приложени на практика.

Математическите модели се отличават с използването на езика на математиката на етапа на тяхното изграждане, както и при по-нататъшни изчисления. Този език ви позволява да опишете най-точно връзките, зависимостите и моделите. Когато се направи преход към решаване на модели, тук могат да се използват различни видове решения. Например, точен или аналитичен дава крайния показател на изчислението. Приблизителната стойност има известна грешка в изчислението и често се използва за изграждане на графични модели. Решение, изразено като число, дава крайния резултат, който често се извлича чрез компютърни изчисления. В същото време трябва да се помни, че точността на решенията не означава точността на изчисления модел.

Важна стъпка в математическото моделиране е проверката на получените резултати и симулационен моделза адекватност. Обикновено работата по проверката се основава на сравнение на данни истински моделс изградени данни. При математическото и икономическо моделиране обаче е доста трудно да се извърши това действие. Обикновено адекватността на изчисленията се определя по-късно в практиката.

Забележка 2

Математическото моделиране в икономиката позволява да се опростят явленията и процесите в икономическите системи, да се правят изчисления и да се получат относително правилни резултати от изчисленията. В същото време е важно да запомните, че този подход също не е универсален, тъй като има редица недостатъци, изброени по-горе. Адекватността на моделирането често се постига чрез проверени във времето хипотези и изчислителни формули.

НЕДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯБАЛТИЙСКИ ИНСТИТУТ ПО ИКОНОМИКА И ФИНАНСИ

ТЕСТ

по предмет:

"Икономико-математически методи и моделиране"

Въведение

1. Математическо моделиране в икономиката

1.1 Разработване на методи за моделиране

1.2 Моделирането като метод научно познание

1.3 Икономически и математически методи и модели

Заключение

Литература

Въведение

Учението за подобието и моделирането започва да се създава преди повече от 400 години. В средата на XV век. Леонардо да Винчи се занимава с обосновката на методите за моделиране: той се опитва да изведе общи модели на сходство, използва механично и геометрично сходство при анализа на ситуациите в примерите, които разглежда. Той използва понятието аналогия и обръща внимание на необходимостта от експериментална проверка на резултатите от подобни разсъждения, значението на опита, връзката между опита и теорията и тяхната роля в познанието.

Идеите на Леонардо да Винчи за механичното сходство са разработени от Галилей през 17 век, те са използвани при изграждането на галери във Венеция.

През 1679 г. Мариот използва теорията за механичното сходство в трактат за сблъскващи се тела.

Първите строги научни формулировки на условията за сходство и изяснения на самото понятие за сходство са дадени през края на XVIIвек от И. Нютон в "Математически принципи на естествената философия".

През 1775–76г И.П. Кулибин използва статично подобие в експерименти с модели на мост през Нева с разстояние 300 м. Моделите са дървени, 1/10 от естествения им размер и тегло над 5 т. Изчисленията на Кулибин са проверени и одобрени от Л. Ойлер.

1. Математическо моделиране в икономиката

1.1 Разработване на методи за моделиране

Напредъкът в математиката стимулира използването на формализирани методи в нетрадиционни области на науката и практиката. И така, О. Курно (1801–1877) въвежда концепцията за функциите на търсенето и предлагането, а още по-рано немският икономист И.Г. Тюнен (1783–1850) започва да прилага математически методи в икономиката и предлага теорията за местоположението на производството, предугаждайки теорията за пределната производителност на труда.Пионерите на използването на метода на моделиране включват Ф. Кене (1694–1774), автор на „Икономическа таблица“ (зигзаг на Кене) - един от първите модели на обществено възпроизводство, трисекторен макроикономически модел на простото възпроизводство.

През 1871 г. Уилямс Стенли Джевънс (1835–1882) публикува Теорията на политическата икономия, където очертава теорията за пределната полезност. Полезността се разбира като способността за задоволяване на човешките потребности, основните стоки и цени. Джевънс отличи:

- абстрактна полезност, която е лишена от конкретна форма;

- полезност като цяло като удоволствие, получено от човек от потреблението на стоки;

- пределна полезност - най-малката полезност сред цялата съвкупност от блага.

Почти едновременно (1874 г.) с работата на Джевънс се появява работата „Елементи на чистата политическа икономия“ на Леон Валрас (1834–1910), в която той поставя задачата да намери такава ценова система, при която съвкупното търсене на всички стоки и пазарите биха били равни на съвкупното предлагане. Ценовите фактори на Валрас са:

производствени разходи;

Пределна полезност на стока;

Поискайте продуктова оферта;

Влиянието върху цената на даден продукт на цялата система от цени съгл
останалата част от стоките.

Краят на 19 - началото на 20 век е белязан от широкото използване на математиката в икономиката. През ХХ век. методите на математическото моделиране се използват толкова широко, че почти всички произведения, удостоени с Нобелова награда по икономика, са свързани с тяхното приложение (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтиев, П. Самуелсън, Л. Канторович и др.). Развитието на предметните дисциплини в повечето области на науката и практиката се дължи на все по-високото ниво на формализация, интелектуализация и използване на компютри. Далеч не пълен списък от научни дисциплини и техните раздели включва: функции и графики на функции, диференциално и интегрално смятане, функции на много променливи, аналитична геометрия, линейни пространства, многомерни пространства, линейна алгебра, статистически методи, матрично смятане, логика, графика теория, теория на игрите, полезност на теорията, методи за оптимизация, теория на планирането, изследване на операциите, теория на опашките, математическо програмиране, динамично, нелинейно, целочислено и стохастично програмиране, мрежови методи, метод Монте Карло (метод на статистическо тестване), методи на теория на надеждността, случайни процеси, Марковски вериги, теорията на моделирането и подобието.

Нар. формализирани опростени описания на икономически явления икономически модели. Моделите се използват за откриване на най-значимите фактори на явленията и процесите на функциониране на икономическите обекти, за прогнозиране на възможните последици от въздействието върху икономическите обекти и системи, за различни оценки и използването на тези оценки в управлението.

Изграждането на модела се осъществява като изпълнение на следните етапи:

а) формулиране на целта на изследването;

б) описание на предмета на изследване в общоприети термини;

в) анализ на структурата на известни обекти и връзки;

г) описание на свойствата на обектите и естеството и качеството на връзките;

д) оценка на относителните тегла на обекти и връзки по експертен метод;

е) изграждане на система от най-важните елементи в словесна, графична или символна форма;

g) събиране на необходимите данни и проверка на точността на резултатите от симулацията;

и) анализ на структурата на модела за адекватност на представянето на описания феномен и извършване на корекции; анализ на наличието на първоначална информация и планиране или на допълнителни изследвания за възможна замяна на някои данни с други, или на специални експерименти за получаване на липсващи данни.

Математическите модели, използвани в икономиката, могат да бъдат разделени на класове в зависимост от характеристиките на моделираните обекти, предназначението и методите на моделиране.

Макроикономическите модели са предназначени да опишат икономиката като цяло. Основните характеристики, използвани при анализа са БНП, потребление, инвестиции, заетост, количество пари и др.

Микроикономическите модели описват взаимодействието на структурни и функционални компоненти на икономиката или поведението на един от компонентите в средата на останалите. Основните обекти на моделиране в микроикономиката са предлагане, търсене, еластичност, разходи, производство, конкуренция, потребителски избор, ценообразуване, монополна теория, теория на фирмата и др.

По характер моделът може да бъде теоретичен (абстрактен), приложен, статичен, динамичен, детерминиран, стохастичен, равновесен, оптимизационен, естествен, физически.

Теоретични моделипозволяват изучаване на общите свойства на икономиката въз основа на формални предпоставки, използвайки метода на приспадане.

Приложни моделипозволяват да се оценят параметрите на функционирането на икономически обект. Те работят с числени познания за икономическите променливи. Най-често тези модели използват статистически или реално наблюдавани данни.

Модели на равновесиеописват такова състояние на икономиката като система, в която сумата от всички сили, действащи върху нея, е равна на нула.

Оптимизационни моделиработят с концепцията за максимизиране на полезността, резултатът от която е изборът на поведение, при което равновесното състояние се поддържа на микро ниво.

Статични моделиописват моментното състояние на икономически обект или явление.

Динамичен моделописва състоянието на даден обект като функция на времето.

Стохастични моделивземат предвид случайните ефекти върху икономическите характеристики и използват апарата на теорията на вероятностите.

Детерминистични моделипредполагат съществуването на функционална връзка между изследваните характеристики и като правило използват апарата на диференциалните уравнения.

Пълномащабно моделиранесе извършва върху обекти от реалния живот при специално подбрани условия, например експеримент, проведен по време на производствения процес в съществуващо предприятие, като се изпълняват задачите на самото производство. Методът на естественото изследване възниква от нуждите на материалното производство във време, когато науката все още не е съществувала.Той съществува наравно с естественонаучния експеримент в днешно време, демонстрирайки единството на теория и практика. Един вид пълномащабно моделиране е моделирането чрез обобщаване на производствения опит. Разликата е, че вместо специално създаден експеримент в производствени условия, те използват наличния материал, като го обработват в съответни критерии съотношения, използвайки теорията на подобието.

Понятието модел винаги изисква въвеждането на понятието подобие, което се дефинира като едно-към-едно съответствие между обекти. Известна е преходната функция от параметрите, характеризиращи един от обектите, към параметрите, характеризиращи другия обект.

Моделът осигурява сходство само за онези процеси, които отговарят на критериите за сходство.

Теорията на подобието се прилага, когато:

а) намиране на аналитични зависимости, връзки и решения на конкретни проблеми;

б) обработка на резултатите от експериментални изследвания в случаите, когато резултатите са представени под формата на обобщени критериални зависимости;

в) създаване на модели, които възпроизвеждат обекти или явления в по-малък мащаб или се различават по сложност от оригиналните.

При физическото моделиране изследването се извършва върху съоръжения, които имат физическо сходство, т.е. когато същността на явлението се запазва основно. Например връзките в икономическите системи се моделират от електрическа верига/мрежа. Физическото моделиране може да бъде времево, когато се изучават явления, които се случват само във времето, пространствено-времево - когато се изучават нестационарни явления, разпределени във времето и пространството; пространствени или обектни - когато се изследват равновесни състояния, които не зависят от други обекти или време.

Процесите се считат за подобни, ако има съответствие на подобни стойности на разглежданите системи: размери, параметри, позиция и др.

Моделите на подобие са формулирани като две теореми, които установяват връзки между параметрите на подобни явления, без да уточняват начини за прилагане на подобие при изграждане на модели. Третата или обратната теорема определя необходимите и достатъчни условия за сходство на явленията, изискващи сходство на условията за уникалност (отделяне на даден процес от множество процеси) и такъв избор на параметри, при които критериите за сходство, съдържащи първоначалния и граничните условия стават същите.

Първа теорема

Подобни явления в един или друг смисъл имат еднакви комбинации от параметри.

Безразмерни комбинации от параметри, които са числено еднакви за всички подобни процеси, се наричат ​​критерии за сходство.

Втора теорема

Всичко пълно уравнениепроцес, записан в определена система от единици, може да бъде представен чрез връзка между критерии за подобие, т.е. уравнение, свързващо безразмерни величини, получени от параметрите, включени в процеса.

Зависимостта е пълна, ако се вземат предвид всички зависимости между влизащите в нея величини. Такава зависимост не може да се промени при промяна на единиците за измерване на физическите величини.

Трета теорема

За сходството на явленията определящите критерии за сходство трябва да бъдат съответно еднакви и условията за уникалност трябва да са сходни.

Определящите параметри се разбират като критерии, съдържащи параметрите на процеси и системи, които могат да се считат за независими в тази задача (време, капитал, ресурси и др.); условията на недвусмисленост се разбират като група от параметри, чиито стойности, дадени под формата на функционални зависимости или числа, разграничават конкретно явление от възможно разнообразие от явления.

Сходството на сложни системи, състоящи се от няколко подсистеми, подобни в изолация, се осигурява от сходството на всички подобни елементи, които са общи за подсистемите.

Сходството на нелинейните системи се запазва, ако са изпълнени условията за съвпадение на относителните характеристики на подобни параметри, които са нелинейни или променливи.

сходство разнородни системи. Подходът за установяване на условията на подобие за нехомогенни системи е същият като подхода за нелинейни системи.

Сходство с вероятностния характер на изследваните явления. Всички теореми за условия на подобие, свързани с детерминистичните системи, се оказват верни при условие, че плътностите на вероятностите на подобни параметри, представени като относителни характеристики, съвпадат. В този случай дисперсиите и математическите очаквания на всички параметри, като се вземат предвид мащабите, трябва да бъдат еднакви за подобни системи. Допълнително условие за подобие е изпълнението на изискването за физическа реализируемост на подобна корелация между стохастично зададени параметри, включени в условието за уникалност.

Има два начина за определяне на критерии за сходство:

а) редуциране на уравненията на процеса до безразмерна форма;

б) използване на параметри, описващи процеса, докато уравнението на процеса е неизвестно.

На практика те използват и друг метод на относителните единици, който е модификация на първите два. В този случай всички параметри се изразяват като части от определени основни стойности, избрани по определен начин. Най-значимите параметри, изразени във фракции от базовите, могат да се разглеждат като критерии за сходство, които действат при определени условия.

По този начин икономическите и математическите модели и методи са не само апарат за получаване на икономически модели, но и широко използван инструментариум за практическо решаване на проблеми в управлението, прогнозирането, бизнеса, банковото дело и други сектори на икономиката.

1.2 Моделирането като метод на научно познание

Научното изследване е процес на разработване на нови знания, един от видовете познавателна дейност. За научни изследвания се използват различни методи, един от които е моделирането, т.е. изследване на всяко явление, процес или система от обекти чрез конструиране и изучаване на неговите модели. Моделирането също така означава използване на модели за дефиниране или усъвършенстване на характеристики и рационализиране на това как се конструират новопостроените обекти.

„Моделирането е една от основните категории на теорията на познанието; Най-добрата идея за моделиране по същество се основава на всеки метод на научно познание, както теоретично, така и експериментално. Моделирането започва да се използва в научните изследвания в древни времена и постепенно обхваща все нови и нови области на научното познание: технически дизайн, строителство, архитектура, астрономия, физика, химия, биология и накрая социални науки. Трябва да се отбележи, че методологиите за моделиране се разработват дълго време във връзка с конкретни науки, независимо една от друга.При тези условия не е имало единна системазнания, терминология. Тогава започва да се разкрива ролята на моделирането като универсален метод на научно познание, като важна епистемологична категория. Необходимо е обаче ясно да се разбере, че моделирането е метод за непряко познание с помощта на някакъв инструмент - модел, който се поставя между изследователя и обекта на изследване. Моделирането се използва или когато обектът не може да бъде изследван директно (ядрото на Земята, Слънчевата система и т.н.), или когато обектът все още не съществува (бъдещото състояние на икономиката, бъдещото търсене, очакваното предлагане и т.н.). ), или когато изследването изисква много време и средства, или, накрая, за проверка на различни видове хипотези. Моделирането често е част от цялостен процесзнания. В момента има много различни дефиниции и класификации на модели във връзка с проблемите на различните науки. Нека приемем определението, дадено от икономиста В.С. Немчинов, известен по-специално с трудовете си по разработването на модели на планирана икономика: „Моделът е средство за подчертаване на всяка обективно действаща система от редовни връзки и отношения, които се провеждат в изследваната реалност.“

Основното изискване за моделите е адекватността на реалността, въпреки че моделът възпроизвежда обекта или процеса, който се изучава, в опростена форма. Когато изгражда модел, преизследователят трябва трудна задача: от една страна, да се опрости реалността, изхвърляйки всичко второстепенно, за да се съсредоточи върху съществените характеристики на обекта, от друга страна, да не се опростява до такова ниво, че да отслаби връзката на модела с реалността. Американският математик Р. Белман образно характеризира такъв проблем като "капанът на прекаленото опростяване и блатото на свръхусложняването".

В процеса на научно изследване моделът може да работи в две посоки: от наблюдения на реалния свят към теория и обратно; т.е., от една страна, изграждането на модел е важна стъпка към създаването на теория, от друга страна, това е едно от средствата за експериментално изследване. В зависимост от избора на средства за моделиране се разграничават материални и абстрактни (знакови) модели Материалните (физически) модели се използват широко в инженерството, архитектурата и други области. Те се основават на получаване на физически образ на обекта или процеса, който се изследва. Абстрактните модели не са свързани с изграждането на физически изображения. Те са някакво междинно звено между абстрактното теоретично мислене и реалността. Абстрактните модели (те се наричат ​​знакови модели) включват числени (математически изрази със специфични числови характеристики), логически (блокови схеми на алгоритми за изчисления на компютър, графики, диаграми, чертежи). Модели, при изграждането на които целта е да се определи следното: състоянието на обекта, което е най-добро по отношение на определен критерий, се наричат ​​нормативни Модели, предназначени да обяснят наблюдаваните факти или да предскажат поведението на обекта се наричат ​​описателни.

Ефективността на прилагането на модели се определя от научната валидност на техните предпоставки, способността на изследователя да подчертае основните характеристики на обекта на моделиране, да избере първоначалната информация и да интерпретира резултатите от числените изчисления във връзка със системата.

1.3 Икономически и математически методи и модели

Като всяко моделиране, икономико-математическото моделиране се основава на принципа на аналогията, т.е. възможността за изучаване на обект чрез изграждането и разглеждането на друг, подобен на него, но по-прост и по-достъпен обект, неговия модел.

Практическите задачи на икономическото и математическото моделиране са, на първо място, анализ на икономически обекти; второ, икономическо прогнозиране, предвиждащо развитието на икономическите процеси и поведението на отделните показатели; трето, разработването на управленски решения на всички нива на управление.

Описанието на икономическите процеси и явления под формата на икономически и математически модели се основава на използването на един от икономическите и математическите методи. Общото наименование на комплекса от икономически и математически дисциплини - икономически и математически методи - е въведено в началото на 60-те години от академик V.S. Немчинов. С известна степен на условност класификацията на тези методи може да бъде представена по следния начин.

1. Икономически и статистически методи:

икономическа статистика;

· математическа статистика;

многовариантен анализ.

2. Иконометрия:

· макроикономически модели;

теория на производствените функции

междусекторни баланси;

национални сметки;

· анализ на търсенето и потреблението;

глобално моделиране.

3. Изследване на операциите (методи за вземане на оптимални решения):

Математическо програмиране

· планиране на управлението на мрежата;

Теорията на масовото обслужване;

· теория на играта;

теорията на решенията;

· Методи за моделиране на икономическите процеси в отраслите и предприятията.

4. Икономическа кибернетика:

· системен анализ на икономиката;

Теорията на икономическата информация.

5. Методи за експериментално изследване на икономическите явления:

методи за машинна симулация;

· делови игри;

· методи на реалния икономически експеримент.

В икономическите и математическите методи се използват различни раздели на математиката, математическата статистика и математическата логика. Изчислителната математика, теорията на алгоритмите и други дисциплини играят важна роля при решаването на икономически и математически проблеми. Използването на математическия апарат доведе до осезаеми резултати при решаването на проблемите за анализ на процесите на разширено производство, матрично моделиране, определяне на оптималните темпове на растеж на капиталовите инвестиции, оптимално разположение, специализация и концентрация на производството, проблеми на подбора най-добрите начинипроизводство, определяне на оптималната последователност на пускане в производство, оптимални възможности за рязане на индустриални материали и компилиране на смеси, задачи за подготовка на производството с помощта на методи за мрежово планиране и много други.

За решаване на стандартни проблеми е характерна ясна цел, способността за предварително разработване на процедури и правила за извършване на изчисления.

Съществуват следните предпоставки за използване на методите на икономико-математическото моделиране.

Най-важните от тях са, на първо място, високо нивопознаване на икономическата теория, икономическите процеси и явления, методологията на техния качествен анализ; второ, високо ниво на математическа подготовка, владеене на икономически и математически методи.

Преди да започнете да разработвате модели, е необходимо внимателно да анализирате ситуацията, да идентифицирате целите и връзките, проблемите, които трябва да бъдат решени, и първоначалните данни за тяхното решение, да въведете система за нотация и едва след това да опишете ситуацията под формата на математически отношения.

Заключение

Характерна особеност на научно-техническия прогрес в развитите страни е нарастващата роля на икономическата наука. Икономиката излиза на преден план именно защото определя в решаваща степен ефективността и приоритета на направленията на научно-техническия прогрес и отваря широки пътища за реализиране на икономически изгодни постижения.

Използването на математиката в икономиката даде тласък на развитието както на самата икономика, така и на приложната математика по отношение на методите на икономическите и математическите модели. Поговорката гласи: „Седем пъти мери, един път режи“. Използването на модели е време, усилия, материални ресурси.В допълнение, изчисленията, базирани на модели, се противопоставят на волевите решения, тъй като ви позволяват предварително да оцените последствията от всяко решение, да отхвърлите неприемливите варианти и да препоръчате най-успешните.

На всички нива на управление, във всички отрасли се използват методи на икономическо и математическо моделиране. Нека условно да отделим следните области на тяхното практическо приложение, в които вече е получен голям икономически ефект.

Първото направление е прогнозиране и дългосрочно планиране.Прогнозират се темповете и пропорциите на икономическото развитие, на тяхна основа се определят темповете и факторите на нарастване на националния доход, разпределението му за потребление и натрупване и др. Важен момент е използването на икономико-математически методи не само при изготвянето на плановете, но и при оперативното управление на тяхното изпълнение.

Второто направление е разработването на модели, които се използват като инструмент за координиране и оптимизиране на планираните решения, по-специално това са междуиндустриални и междурегионални баланси на производството и разпределението на продуктите.Според икономическото съдържание и естеството на информацията , разграничават се разходни и натурални продуктови баланси, всеки от които може да бъде отчетен и планов.

Третата посока е използването на икономически и математически модели на ниво индустрия (изчисляване на оптималните планове на индустрията, анализ с помощта на производствени функции, прогнозиране на основните производствени пропорции на развитието на индустрията). За решаване на проблема с местоположението и специализацията на предприятието, оптималното обвързване с доставчици или потребители и т.н. се използват два вида оптимизационни модели: при някои за даден обем производство се изисква да се намери вариант за реализиране на планиране с най-ниски разходи, при други се изисква определяне на мащаба на производството и структурата на продуктите, за да се получи максимален ефект. В продължение на изчисленията се извършва преход от статистически модели към динамични и от статистически модели към динамични и от моделиране на отделни индустрии към оптимизиране на многоиндустриални комплекси. Ако по-рано имаше опити за създаване на единен модел на индустрията, сега най-обещаващото е използването на комплекси от модели, които са свързани помежду си както вертикално, така и хоризонтално.

Четвъртото направление е икономико-математическо моделиране на текущото и оперативно планиране на промишлени, строителни, транспортни и други обединения, предприятия и фирми. Областта на практическо приложение на моделите включва и подразделения селско стопанство, търговия, съобщения, здравеопазване, опазване на природата и др. В машиностроенето се използват голям брой различни модели, най-„нагласените“ от които са оптимизационните, които позволяват определяне на производствените програми и най-рационалните варианти за използване на ресурсите, разпределяне на производствената програма във времето и ефективно организиране на работата на вътрешнозаводски транспорт, значително подобряване на натоварването на оборудването и разумно организиране на контрола на продукта и др.

Петото направление е териториалното моделиране, което беше инициирано от разработването на междусекторни баланси за някои региони в края на 50-те години.

Като шесто направление можем да откроим икономико-математическото моделиране на логистиката, включително оптимизирането на транспортно-икономическите връзки и нивото на резервите.

Седмата посока включва модели на функционални блокове на икономическата система: движение на населението, обучение на персонала, формиране на парични доходи и търсене на потребителски стоки и др.

Икономическите и математическите методи придобиват особено голяма роля с въвеждането на информационните технологии във всички области на практиката.

Литература

1. Wentzel E.S. Оперативни изследвания. - М: Съветско радио, 1972 г.

2. Грешилов А.А. Как да вземем най-доброто решение в реалния свят. - М.: Радио и комуникация, 1991.

3. Канторович Л.В. Икономическо изчисление на най-доброто използване на ресурсите. - М.: Наука, Академия на науките на СССР, 1960 г.

4. Кофман А., Дебазей Г. Методи за мрежово планиране и тяхното приложение. – М.: Прогрес, 1968.

5. Kofman A., Fore R. Да се ​​заемем с изучаването на операциите. – М.: Мир, 1966.