Положително определени квадратни форми

Определение. Квадратна форма от ннеизвестен се нарича положително определено, ако неговият ранг е равен на положителния индекс на инерция и е равен на броя на неизвестните.

Теорема.Квадратната форма е положително определена тогава и само ако приема положителни стойности на всеки ненулев набор от стойности на променливи.

Доказателство.Нека квадратичната форма е неизродена линейна трансформация на неизвестните

се върна към нормалното

.

За всеки различен от нула набор от стойности на променливи, поне едно от числата различен от нула, т.е. . Необходимостта от теоремата е доказана.

Да предположим, че квадратичната форма приема положителни стойности за всеки ненулев набор от променливи, но нейният индекс на инерция е положителен Чрез неизродена линейна трансформация на неизвестните

Нека го върнем към нормалното. Без загуба на общност можем да приемем, че в тази нормална форма квадратът на последната променлива или отсъства, или влиза в нея със знак минус, т.е. , където или . Да предположим, че е ненулев набор от стойности на променливи, получени в резултат на решаване на системата от линейни уравнения

В тази система броят на уравненията е равен на броя на променливите и детерминантата на системата е различна от нула. По теоремата на Крамър системата има уникално решение и то е различно от нула. За този комплект. Противоречие с условието. Стигаме до противоречие с предположението, което доказва достатъчността на теоремата.

Използвайки този критерий, не е възможно да се определи от коефициентите дали дадена квадратна форма е положително определена. Отговорът на този въпрос се дава от друга теорема, за формулирането на която въвеждаме още едно понятие. Главни диагонални матрици второстепенниса непълнолетните, разположени в горния му ляв ъгъл:

, , , … , .

Теорема.Квадратната форма е положително определена тогава и само тогава, когато всички нейни главни диагонални минори са положителни.

Доказателствоще извършим по метода на пълната математическа индукция върху числото нпроменливи на квадратна форма f.

Хипотеза за индукция.Да приемем, че за квадратни форми с по-малко променливи нтвърдението е правилно.

Разгледайте квадратичната форма от нпроменливи. Съберете в една скоба всички термини, съдържащи . Останалите членове образуват квадратна форма в променливи. По индукционната хипотеза твърдението е вярно за него.

Да приемем, че квадратната форма е положително определена. Тогава квадратната форма също е положително определена. Ако приемем, че това не е така, тогава има ненулев набор от стойности на променливи , за което и съответно, , което противоречи на факта, че квадратната форма е положително определена. По индукционната хипотеза всички главни диагонални минори на квадратична форма са положителни, т.е. всички първи главни минори на квадратична форма fса положителни. Последен главен минор на квадратична форма – е детерминантата на неговата матрица. Този детерминант е положителен, тъй като знакът му съвпада със знака на матрицата на нормалната му форма, т.е. със знака на детерминанта на матрицата на идентичността.

Нека всички главни диагонални минори на квадратната форма са положителни.Тогава всички главни диагонални минори на квадратната форма са положителни от равенството . Според хипотезата на индукция, квадратичната форма е положително определена, така че има неизродена линейна трансформация на променливи, която редуцира формата до формата на сумата от квадратите на нови променливи. Тази линейна трансформация може да бъде разширена до неизродена линейна трансформация на всички променливи чрез задаване на . Квадратната форма се редуцира чрез тази трансформация до формата

Квадратни форми.
Значение на формите. Критерият на Силвестър

Прилагателното "квадрат" веднага подсказва, че нещо тук е свързано с квадрат (втора степен) и много скоро ще разберем това "нещо" и какво е форма. Оказа се веднага :)

Добре дошли в новия ми урок и като непосредствена загрявка ще разгледаме раираната форма линеен. Линейна форма променливиНаречен хомогененПолином от 1-ва степен:

- някои конкретни цифри * (предполагаме, че поне един от тях е различен от нула)и са променливи, които могат да приемат произволни стойности.

* В тази тема ще разгледаме само реални числа .

Вече срещнахме термина "хомогенен" в урока за хомогенни системи линейни уравненияи в този случай това означава, че полиномът няма добавена константа.

Например: – линейна форма на две променливи

Сега формата е квадратна. квадратна форма променливиНаречен хомогененполином от 2-ра степен, всеки термин от койтосъдържа или квадрата на променливата, или двойнопроизведение на променливи. Така например квадратичната форма на две променливи има следната форма:

внимание!Това е стандартен запис и не е необходимо да променяте нищо в него! Въпреки „ужасния“ вид, тук всичко е просто - двойните индекси на константите сигнализират кои променливи са включени в един или друг термин:
– този термин съдържа произведението и (квадрат);
- тук е работата;
- и ето я работата.

- Веднага предвиждам груба грешка, когато загубят "минуса" на коефициента, без да разберат, че се отнася за термина:

Понякога има "училищна" версия на дизайна в духа, но тогава само понякога. Между другото, имайте предвид, че константите тук не ни казват абсолютно нищо и следователно е по-трудно да запомните „лесната нотация“. Особено когато има повече променливи.

А квадратичната форма на три променливи вече съдържа шест члена:

... защо "два" множителя са поставени в "смесените" условия? Това е удобно и скоро ще стане ясно защо.

Въпреки това ще запишем общата формула, удобно е да я подредите с „лист“:

- внимателно изучавайте всеки ред - няма нищо лошо в това!

Квадратната форма съдържа членове с квадратни променливи и членове с техните двойки продукти (см. комбинаторна формула на комбинациите) . Нищо друго - без "самотен x" и без добавена константа (тогава не получавате квадратична форма, а разнородниполином от 2-ра степен).

Матрична нотация на квадратична форма

В зависимост от стойностите, разглежданата форма може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, като същото важи и за всяка линейна форма - ако поне един от коефициентите й е различен от нула, тогава той може да се окаже или положителен, или отрицателен (в зависимост от върху стойностите).

Тази форма се нарича редуващи се. И ако при линейната форма всичко е прозрачно, то при квадратната нещата са много по-интересни:

Съвсем ясно е, че тази форма може да приеме стойностите на всеки знак, по този начин, квадратната форма също може да се редува.

Може да не е:

– винаги, освен ако и двете не са равни на нула.

- за всеки векторс изключение на нула.

И най-общо казано,ако има ненулеввектор , , тогава се нарича квадратичната форма положително определено; ако - тогава отрицателно определено.

И всичко би било наред, но определеността на квадратната форма се вижда само в прости примери и тази видимост се губи вече с леко усложнение:
– ?

Може да се предположи, че формата е положително дефинирана, но наистина ли е така? Изведнъж има стойности, при които е по-малко от нула?

За тази сметка, там теорема: Ако всички собствени стойностиматриците с квадратична форма са положителни * , тогава е положително дефиниран. Ако всички са отрицателни, значи е отрицателно.

* Теоретично е доказано, че всички собствени стойности на реална симетрична матрица валиден

Нека напишем матрицата на горната форма:
и от уравнението нека я намерим собствени стойности:

Решаваме доброто старо квадратно уравнение:

, така че формата е положително определена, т.е. за всякакви ненулеви стойности е по-голямо от нула.

Изглежда, че разглежданият метод работи, но има едно голямо НО. Вече за матрицата "три по три" търсенето на собствени стойности е дълга и неприятна задача; с голяма вероятност ще получите полином от 3-та степен с ирационални корени.

Как да бъдем? Има по-лесен начин!

Критерият на Силвестър

Не, не Силвестър Сталоун :) Първо, нека ви напомня какво ъглови минориматрици. то детерминанти които "растят" от горния му ляв ъгъл:

а последното е точно равно на детерминантата на матрицата.

Сега, всъщност, критерий:

1) Дефинирана квадратична форма положителноако и само ако ВСИЧКИ негови ъглови минори са по-големи от нула: .

2) Дефинирана квадратична форма отрицателенако и само ако неговите ъглови минори се редуват по знак, докато 1-вият минор е по-малък от нула: , , ако е четен или , ако е нечетен.

Ако поне един ъглов минор има противоположен знак, тогава формата знакоредуващи се. Ако ъгловите минори са от „този“ знак, но сред тях има нули, тогава това е специален случай, който ще анализирам малко по-късно, след като щракнем върху по-често срещаните примери.

Нека анализираме ъгловите минори на матрицата :

И това веднага ни казва, че формата не е отрицателно определена.

Заключение: всички малки ъгли са по-големи от нула, така че формата положително определени.

Има ли разлика с метода на собствената стойност? ;)

Записваме матрицата на формата от Пример 1:

неговият първи ъглов минор и вторият , откъдето следва, че формата е знакоредуваща се, т.е. в зависимост от стойностите, може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. Това обаче е толкова очевидно.

Вземете формата и нейната матрица от Пример 2:

тук изобщо без проницателност да не разбираш. Но с критерия Силвестър не ни интересува:
, следователно формата определено не е отрицателна.

, и определено не е положителен. (защото всички второстепенни ъгли трябва да са положителни).

Заключение: формата се редува.

Примери за загряване за самостоятелно решаване:

Пример 4

Изследвайте квадратичните форми за определеност на знака

а)

В тези примери всичко е гладко (вижте края на урока), но всъщност, за да изпълните такава задача Критерият на Силвестър може да не е достатъчен.

Въпросът е, че има "гранични" случаи, а именно: ако има ненулеввектор, тогава формата е дефинирана неотрицателни, ако - тогава неположителен. Тези форми имат ненулеввектори, за които .

Тук можете да донесете такъв "акордеон с бутони":

Подчертаване пълен квадрат, веднага виждаме неотрицателностформа: освен това е равно на нула за всеки вектор с равни координати, например: .

Пример за "огледало". неположителенопределена форма:

и още по-тривиален пример:
– тук формата е равна на нула за произволен вектор , където е произволно число.

Как да разкрием неотрицателността или непозитивността на една форма?

За това се нуждаем от концепцията големи непълнолетни матрици. Главният минор е минор, съставен от елементи, които са в пресечната точка на редове и колони с еднакви номера. И така, матрицата има два главни минора от 1-ви ред:
(елементът е в пресечната точка на 1-ви ред и 1-ва колона);
(елементът е в пресечната точка на 2-ри ред и 2-ра колона),

и един голям минор от 2-ри ред:
- съставен от елементи на 1-ви, 2-ри ред и 1-ва, 2-ра колона.

Матрицата "три по три" Има седем основни второстепенни и тук вече трябва да размахвате бицепсите си:
- трима непълнолетни от 1-ви ред,
трима малолетни от 2-ри ред:
- съставен от елементи на 1-ви, 2-ри ред и 1-ва, 2-ра колона;
- съставен от елементи на 1-ви, 3-ти ред и 1-ва, 3-та колона;
- съставен от елементи от 2-ри, 3-ти ред и 2-ра, 3-та колона,
и един минор от 3-ти ред:
- съставен от елементи от 1-ви, 2-ри, 3-ти ред и 1-ва, 2-ра и 3-та колона.
Упражнениеза разбиране: запишете всички главни второстепенни на матрицата .
Проверяваме в края на урока и продължаваме.

Критерий на Шварценегер:

1) Дефинирана ненулева* квадратна форма неотрицателниако и само ако ВСИЧКИТЕ негови главни непълнолетни неотрицателни(по-голямо или равно на нула).

* Нулевата (изродена) квадратна форма има всички коефициенти равни на нула.

2) Ненулева квадратна форма с дефинирана матрица неположителенако и само ако е:
– главни непълнолетни I разр неположителен(по-малко или равно на нула);
са основни непълнолетни от 2-ри разряд неотрицателни;
– главни непълнолетни от 3-ти разред неположителен(започна редуване);
…
– мажорен минор от ти ред неположителен, ако е странно или неотрицателни, ако е четен.

Ако поне един минор е с обратен знак, то формата е знакоредуваща се.

Нека да видим как работи критерият в горните примери:

Нека направим матрица на формата и преди всичконека изчислим ъгловите минори - какво ще стане, ако е положително или отрицателно дефиниран?

Получените стойности не отговарят на критерия на Силвестър, но второто второстепенно не е отрицателен, което налага проверката на 2-ри критерий (в случай на 2-ри критерий, той няма да бъде изпълнен автоматично, т.е. веднага се прави заключение за промяна на знака на формата).

Големи непълнолетни от 1-ви ред:
- са положителни
2-ри ред мажорен минор:
- не е отрицателен.

По този начин ВСИЧКИ главни второстепенни са неотрицателни, така че формата неотрицателни.

Нека напишем матрицата на формата , за което очевидно не е изпълнен критерият на Силвестър. Но също така не получихме противоположни знаци (защото и двата ъглови минора са равни на нула). Затова проверяваме изпълнението на критерия за неотрицателност/непозитивност. Големи непълнолетни от 1-ви ред:
- не е положителен
2-ри ред мажорен минор:
- не е отрицателен.

Така според критерия на Шварценегер (точка 2) формата се определя непозитивно.

Сега, напълно въоръжени, ще анализираме един по-забавен проблем:

Пример 5

Проверете квадратичната форма за определеност на знака

Тази форма е украсена с реда "алфа", който може да бъде равен на всяко реално число. Но само ще бъде по-забавно реши.

Първо, нека запишем матрицата на формата, вероятно мнозина вече са се адаптирали да го правят устно: на главен диагонална квадратите поставяме коефициентите, а на симетричните места - полукоефициентите на съответните "смесени" произведения:

Нека изчислим ъгловите минори:

Ще разширя третия детерминант по третия ред:

Квадратната форма е хомогенен полином от 2-ра степен на няколко променливи.

Квадратната форма на променливите се състои от членове от два вида: квадратите на променливите и техните произведения по двойки с някои коефициенти. Обичайно е квадратната форма да се записва под формата на следната квадратна схема:

Двойките подобни членове се записват с еднакви коефициенти, така че всеки от тях да е половината от коефициента на съответното произведение на променливите. По този начин всяка квадратна форма е естествено свързана със своята матрица на коефициента, която е симетрична.

Също така е удобно да се представи квадратната форма в следната матрична нотация. Означаваме с X колона от променливи с X - ред, т.е. матрица, транспонирана с X. Тогава

Квадратните форми се срещат в много клонове на математиката и нейните приложения.

В теорията на числата и кристалографията квадратичните форми се разглеждат при допускането, че променливите приемат само цели числа. В аналитичната геометрия квадратната форма е част от уравнението на крива (или повърхност) от ред. В механиката и физиката изглежда, че квадратичната форма изразява кинетичната енергия на системата от гледна точка на компонентите на обобщените скорости и т.н. Но освен това изучаването на квадратичните форми е необходимо и при анализа, когато се изучават функции на много променливи, във въпроси, за чието решаване е важно да се установи как дадената функция в околността на дадената точка се отклонява от апроксимиращата я линейна функция. Пример за задача от този тип е изследването на функция за максимум и минимум.

Помислете, например, за проблема за изследване на максимума и минимума за функция на две променливи, която има непрекъснати частични производни до ред. Необходимо условие точката да даде максимума или минимума на функция е равенството на нула на частните производни на реда в точката.Да приемем, че това условие е изпълнено. Даваме на променливите x и y малки увеличения и k и разглеждаме съответното нарастване на функцията.Според формулата на Тейлър, това увеличение, до малки по-високи разряди, е равно на квадратната форма, където са стойностите на втория производни, изчислени в точка Ако тази квадратна форма е положителна за всички стойности на и k (освен когато функцията има минимум в точка; ако е отрицателна, тогава има максимум. И накрая, ако формата приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма да има максимум или минимум. Функциите на по-голям брой променливи се изучават по подобен начин.

Изучаването на квадратичните форми се състои главно в изучаването на проблема за еквивалентността на формите по отношение на един или друг набор от линейни трансформации на променливи. Две квадратни форми се наричат ​​еквивалентни, ако едната от тях може да се преведе в другата чрез едно от преобразуванията на даденото множество. В тясна връзка с проблема за еквивалентността е проблемът за редукция на формата, т.е. превръщайки го в някаква възможно най-проста форма.

В различни въпроси, свързани с квадратични форми, също се разглеждат различни набори от допустими трансформации на променливи.

По въпросите на анализа се прилагат всякакви несингулярни трансформации на променливи; За целите на аналитичната геометрия най-голям интерес представляват ортогоналните трансформации, т.е. тези, които съответстват на прехода от една система от променливи декартови координати към друга. И накрая, в теорията на числата и в кристалографията се разглеждат линейни трансформации с цели коефициенти и детерминанта, равна на единица.

Ще разгледаме два от тези проблеми: въпросът за редуциране на квадратична форма до нейната най-проста форма чрез всякакви неособени трансформации и същия въпрос за ортогонални трансформации. Първо, нека разберем как матрица от квадратна форма се трансформира при линейна трансформация на променливи.

Нека , където A е симетрична матрица от коефициенти на формата, X е колона от променливи.

Нека направим линейна трансформация на променливи, записвайки я в съкратена форма. Тук C означава матрицата на коефициентите на тази трансформация, X е колона от нови променливи. Тогава и следователно, така че матрицата на преобразуваната квадратна форма е

Матрицата автоматично се оказва симетрична, което лесно се проверява. По този начин проблемът за редуциране на квадратна форма до нейната най-проста форма е еквивалентен на проблема за редуциране на симетрична матрица до нейната най-проста форма чрез умножаването й отляво и отдясно с взаимно транспонирани матрици.

Квадратни форми

квадратна форма f(x 1, x 2,..., x n) от n променливи се нарича сбор, всеки член от който е или квадрат на една от променливите, или произведение на две различни променливи, взети с определен коефициент: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Матрицата A, съставена от тези коефициенти, се нарича матрица на квадратна форма. Винаги е така симетриченматрица (т.е. матрица, симетрична спрямо главния диагонал, a ij = a ji).

В матричната нотация квадратичната форма има формата f(X) = X T AX, където

Наистина

Например, нека запишем квадратната форма в матрична форма.

За да направим това, намираме матрица от квадратна форма. Неговите диагонални елементи са равни на коефициентите при квадратите на променливите, а останалите елементи са равни на половината от съответните коефициенти на квадратната форма. Ето защо

Нека колоната на матрицата от променливи X се получава чрез неизродена линейна трансформация на колоната на матрицата Y, т.е. X = CY, където C е неизродена матрица от ред n. След това квадратната форма
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (CT AC) Y.

По този начин, при недегенерирана линейна трансформация C, матрицата на квадратната форма приема формата: A * = C T AC.

Например, нека намерим квадратичната форма f(y 1, y 2), получена от квадратната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 чрез линейна трансформация.

Квадратната форма се нарича каноничен(То има каноничен изглед), ако всички негови коефициенти a ij = 0 за i ≠ j, т.е.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Матрицата му е диагонална.

Теорема(доказателството не е дадено тук). Всяка квадратична форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на неизродена линейна трансформация.

Например, нека редуцираме до канонична форма квадратичната форма
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

За да направите това, първо изберете пълния квадрат за променливата x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Сега избираме пълния квадрат за променливата x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Тогава неизродена линейна трансформация y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 и y 3 = x 3 довежда тази квадратна форма до каноничната форма f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Обърнете внимание, че каноничната форма на квадратна форма е дефинирана двусмислено (една и съща квадратна форма може да бъде редуцирана до каноничната форма по различни начини). Въпреки това, каноничните форми, получени по различни методи, имат редица общи свойства. По-специално, броят на членовете с положителни (отрицателни) коефициенти на квадратична форма не зависи от това как формата се редуцира до тази форма (например в разглеждания пример винаги ще има два отрицателни и един положителен коефициент). Това свойство се нарича законът за инерцията на квадратичните форми.

Нека проверим това, като намалим същата квадратна форма до каноничната форма по различен начин. Нека започнем трансформацията с променливата x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, където y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 и y 3 = x 1 . Тук положителен коефициент 2 за y 3 и два отрицателни коефициента (-3) за y 1 и y 2 (и използвайки друг метод, получихме положителен коефициент 2 за y 1 и два отрицателни коефициента - (-5) за y 2 и (-1/20) за y 3).

Трябва също да се отбележи, че рангът на матрица от квадратна форма, т.нар рангът на квадратичната форма, е равен на броя на ненулевите коефициенти на каноничната форма и не се променя при линейни трансформации.

Квадратната форма f(X) се нарича положително (отрицателен) определени, ако за всички стойности на променливите, които не са едновременно равни на нула, той е положителен, т.е. f(X) > 0 (отрицателно, т.е.
f(X)< 0).

Например, квадратичната форма f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 е положително определена, тъй като е сумата от квадрати, а квадратната форма f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 е отрицателно определена, тъй като представлява може да се представи като f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

В повечето практически ситуации е малко по-трудно да се установи знакоопределеността на квадратична форма, така че за това се използва една от следните теореми (ние ги формулираме без доказателства).

Теорема. Квадратната форма е положителна (отрицателна) определена тогава и само ако всички собствени стойности на нейната матрица са положителни (отрицателни).

Теорема (критерий на Силвестър). Квадратната форма е положително определена тогава и само тогава, когато всички главни минори на матрицата на тази форма са положителни.

Голям (ъглов) минор K-тият ред на матрицата A от n-ти ред се нарича детерминанта на матрицата, съставена от първите k реда и колони на матрицата A ().

Обърнете внимание, че за отрицателно-определени квадратични форми, знаците на главните минори се редуват и минорът от първи ред трябва да е отрицателен.

Например, ние изследваме квадратичната форма f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 за определеност на знака.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Следователно квадратната форма е положително определена.

Метод 2. Главният минор от първи ред на матрицата A D 1 = a 11 = 2 > 0. Главният минор от втори ред D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратната форма е положително определена.

Разглеждаме друга квадратна форма за определеност на знака, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Да построим матрица от квадратна форма А = . Характеристичното уравнение ще има формата = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Следователно квадратната форма е отрицателно определена.

В този раздел ще се съсредоточим върху специален, но важен клас положителни квадратни форми.

Определение 3. Реална квадратна форма се нарича неотрицателна (неположителна), ако за всякакви реални стойности на променливите

. (35)

В този случай симетричната матрица на коефициентите се нарича положителна полуопределена (отрицателна полуопределена).

Определение 4. Реална квадратна форма се нарича положително-определена (отрицателно-определена), ако за всякакви реални стойности на променливите, които не са едновременно равни на нула

. (36)

В този случай матрицата се нарича още положително определена (отрицателна определена).

Класът на положително-определените (отрицателно-определените) форми е част от класа на неотрицателните (съответно неположителните) форми.

Нека е дадена неотрицателна форма. Представяме го като сбор от независими квадрати:

. (37)

В това представяне всички квадрати трябва да са положителни:

. (38)

Всъщност, ако имаше такива, тогава би било възможно да се изберат такива стойности, за които

Но тогава, за тези стойности на променливите, формата ще има отрицателна стойност, което е невъзможно от условието. Очевидно, обратно, от (37) и (38) следва, че формата е положителна.

По този начин неотрицателна квадратна форма се характеризира с равенствата .

Нека сега е положително определена форма. Тогава също и неотрицателната форма. Следователно тя може да бъде представена във формата (37), където всички са положителни. От положителната определеност на формата следва, че . Наистина, в случая е възможно да се изберат такива стойности, които не са едновременно равни на нула, за които всички ще изчезнат. Но тогава, по силата на (37), при , което противоречи на условие (36).

Лесно е да се види, че обратно, ако в (37) и всички са положителни, тогава е положително определена форма.

С други думи, неотрицателна форма е положително определена тогава и само ако не е единствено число.

Следващата теорема дава критерий за положителна определеност на форма под формата на неравенства, които трябва да бъдат удовлетворени от коефициентите на формата. В този случай се използва обозначението, което вече се среща в предишните раздели за последователни главни второстепенни на матрицата:

.

Теорема 3. За да бъде една квадратна форма положително определена, е необходимо и достатъчно неравенствата

Доказателство. Достатъчността на условията (39) следва пряко от формулата на Якоби (28). Необходимостта от условия (39) се установява по следния начин. От положителната определеност на формата следва и положителната определеност на "отсечените" форми

.

Но тогава всички тези форми трябва да са неединствени, т.е.

Сега имаме възможност да използваме формулата на Якоби (28) (за ). Тъй като от дясната страна на тази формула всички квадрати трябва да са положителни, тогава

Това предполага неравенства (39). Теоремата е доказана.

Тъй като всеки главен минор на матрица, с правилно преномериране на променливите, може да бъде поставен в горния ляв ъгъл, имаме

Последица. В положително определена квадратична форма всички главни второстепенни на матрицата на коефициента са положителни:

Коментирайте. От неотрицателността на последователните основни второстепенни

не следва неотрицателността на формата . Наистина формата

,

при което , удовлетворява условията , но не е неотрицателна.

Има обаче следното

Теорема 4. За да бъде една квадратна форма неотрицателна, е необходимо и достатъчно всички главни минори на нейната матрица на коефициента да са неотрицателни:

Доказателство. Нека въведем спомагателна форма, която е неположителна, необходимо и достатъчно е неравенствата