Методи за изчисление. Изчислителни методи Изчислителни методи

След като обсъдихме някои важни характеристики на изчислителните проблеми, нека обърнем внимание на методите, които се използват в изчислителната математика за преобразуване на проблеми във форма, удобна за изпълнение на компютър и ни позволяват да конструираме изчислителни алгоритми. Ще наричаме тези методи изчислителни. С известна степен на условност изчислителните методи могат да бъдат разделени на следните класове: 1) методи на еквивалентни трансформации; 2)

апроксимационни методи; 3) директни (точни) методи; 4) итеративни методи; 5) статистически методи за изпитване (методи на Монте Карло). Методът, който изчислява решението на конкретен проблем, може да има доста сложна структура, но неговите елементарни стъпки, като правило, са изпълнението на тези методи. Нека да дадем обща представа за тях.

1. Методи на еквивалентни трансформации.

Тези методи ви позволяват да замените оригиналния проблем с друг, който има същото решение. Извършването на еквивалентни трансформации се оказва полезно, ако новият проблем е по-прост от първоначалния или има по-добри свойства, или ако има известен метод за решаването му, а може би дори готова програма.

Пример 3.13. Еквивалентно преобразуване на квадратно уравнение във формата (отделяне на пълен квадрат) свежда проблема до проблема за изчисляване на квадратен корен и води до формули (3.2), известни със своите корени.

Еквивалентните трансформации понякога позволяват да се намали решението на първоначалния изчислителен проблем до решението на изчислителен проблем от напълно различен тип.

Пример 3.14. Проблемът за намиране на корена на нелинейно уравнение може да се сведе до еквивалентния проблем за намиране на глобалната минимална точка на функцията. Действително, функцията е неотрицателна и достига своята минимална стойност, равна на нула за тези и само тези x, за които

2. Методи на приближение.

Тези методи позволяват да се приближи (апроксимира) първоначалната задача до друга, чието решение е в известен смисъл близко до решението на първоначалната задача. Грешката, произтичаща от такава замяна, се нарича апроксимационна грешка. По правило апроксимационният проблем съдържа някои параметри, които ви позволяват да контролирате стойността на апроксимационната грешка или да повлияете на други свойства на проблема. Прието е да се казва, че методът на апроксимация се сближава, ако грешката на апроксимацията клони към нула, тъй като параметрите на метода клонят към определена гранична стойност.

Пример 3.15. Един от най-простите начини за изчисляване на интеграла е да се приближи интеграл въз основа на формулата на правоъгълници със стойността

Стъпката тук е параметър на метода. Тъй като това е интегрална сума, конструирана по специален начин, от дефиницията на определен интеграл следва, че за метода на правоъгълниците се сближава,

Пример 3.16. Като се има предвид дефиницията на производната на функция, за нейното приблизително изчисление можете да използвате формулата Грешката на приближаване на тази формула за числено диференциране клони към нула, когато

Един от често срещаните методи за апроксимация е дискретизацията - приблизителна замяна на първоначалния проблем с крайномерен проблем, т.е. проблем, чиито входни данни и желано решение могат да бъдат уникално определени от краен набор от числа. За задачи, които не са крайномерни, тази стъпка е необходима за последваща реализация на компютър, тъй като компютърът може да работи само с краен брой числа. Дискретизацията беше използвана в примери 3.15 и 3.16 по-горе. Въпреки че точното изчисление на интеграла включва използването на безкраен брой стойности (за всички, неговата приблизителна стойност може да бъде изчислена с помощта на краен брой стойности в точки, намалява до приблизително изчисление на производната по отношение на две стойности на функцията.

При решаването на нелинейни проблеми широко се използват различни методи за линеаризация, състоящи се в приблизителната замяна на първоначалния проблем с по-прости линейни проблеми. Пример 3.17. Нека се изисква приблизително изчисляване на стойността за на компютър, способен да извършва най-простите аритметични операции. Обърнете внимание, че по дефиниция x е положителен корен на нелинейното уравнение. Нека известно приближение до

точка с абсцисата Точката на пресичане на тази допирателна с оста дава по-добро приближение от приближението и се намира от линейното уравнение Решавайки го, получаваме приблизителната формула

Например, ако вземете за, тогава получавате прецизирана стойност

При решаването на различни класове изчислителни задачи могат да се използват различни методи на приближение; Те включват методи за регулиране за решаване на неправилно поставени проблеми. Обърнете внимание, че методите за регулиране също се използват широко за решаване на лошо обусловени проблеми.

3. Директни методи.

Методът за решаване на задача се нарича директен, ако позволява да се получи решение след извършване на краен брой елементарни операции.

Пример 3.18. Методът за изчисляване на корените на квадратно уравнение с помощта на формули е директен метод. Тук четири аритметични операции и операцията за извличане на квадратен корен се считат за елементарни.

Имайте предвид, че елементарна операция на директния метод може да бъде доста сложна (изчисляване на стойностите на елементарна или специална функция, решение на система от линейни алгебрични уравнения, изчисляване на определен интеграл и т.н.). Фактът, че се приема като елементарен, предполага във всеки случай, че прилагането му е много по-просто от изчисляването на решението на целия проблем.

При конструирането на директни методи се обръща значително внимание на минимизирането на броя на елементарните операции.

Пример 3.19 (схема на Хорнер). Нека задачата е да се изчисли стойността на полинома

по зададените коефициенти и стойността на аргумента x. Ако изчислите полинома директно по формула (3.12) и го намерите чрез последователно умножение по x, тогава ще трябва да извършите операции за умножение и операции за добавяне.

Много по-икономичен е методът за изчисление, наречен схема на Хорнер. Базира се на запис на полином в следната еквивалентна форма:

Поставянето на скоби диктува следния ред на изчисленията: Тук изчисляването на стойността изисква само умножения и събирания.

Схемата на Хорнер е интересна с това, че дава пример за метод, който е оптимален по отношение на броя на елементарните операции. По принцип стойността не може да бъде получена по никакъв метод в резултат на извършване на по-малко умножения и събирания.

Понякога директните методи се наричат точни, което означава, че ако няма грешки във входните данни и ако елементарните операции се изпълняват точно, резултатът също ще бъде точен. Но при внедряване на метода на компютър е неизбежна появата на изчислителна грешка, чиято големина зависи от чувствителността на метода към грешки при закръгляване. Много директни (точни) методи, разработени в предмашинния период, се оказаха неподходящи за машинни изчисления именно поради тяхната прекомерна чувствителност към грешки при закръгляване. Не всички точни методи са такива, но си струва да се отбележи, че не съвсем успешният термин "точен" характеризира свойствата на идеалното изпълнение на метода, но в никакъв случай не качеството на резултата, получен при реални изчисления.

4. Итеративни методи.

Това са специални методи за конструиране на последователни приближения към решението на задача. Прилагането на метода започва с избора на едно или повече начални приближения. За да се получи всяко от следващите приближения, се извършва подобен набор от действия, като се използват предварително намерените приближения - итерации. Неограниченото продължение на този итеративен процес теоретично ни позволява да конструираме безкрайна последователност от приближения към решението

итерационна последователност. Ако тази последователност се сближава с решението на проблема, тогава се казва, че итеративният метод се сближава. Наборът от начални приближения, за които методът се сближава, се нарича област на сближаване на метода.

Обърнете внимание, че итеративните методи се използват широко при решаването на голямо разнообразие от проблеми с използването на компютри.

Пример 3.20. Нека разгледаме добре познатия итеративен метод, предназначен за изчисление (където е методът на Нютон. Нека зададем произволно първоначално приближение. Изчисляваме следващото приближение, като използваме формулата, получена с помощта на метода на линеаризация в Пример 3.17 (виж формула (3.11)) Продължавайки този процес по-нататък, получаваме итеративна последователност, в която следващото приближение се изчислява по отношение на рекурсивната формула

Известно е, че този метод се сближава за всяко първоначално приближение, така че неговата област на сближаване е множеството от всички положителни числа.

Нека изчислим с негова помощ стойността на -битов десетичен компютър. Да зададем (както в пример 3.17). Тогава по-нататъшните изчисления са безсмислени, тъй като поради ограничената битова мрежа всички следващи уточнения ще дадат същия резултат. Сравнението с точната стойност обаче показва, че още при третата итерация са получени 6 правилни значими цифри.

Нека обсъдим някои проблеми, характерни за итеративните методи (и не само за тях) на примера на метода на Нютон. Итеративните методи по своята същност са приблизителни; нито едно от получените приближения не е точната стойност на решението. Конвергентният итеративен метод обаче дава възможност по принцип да се намери решение с произволна точност.Затова при прилагането на итеративния метод изискваната точност винаги е зададена и итеративният процес се прекъсва веднага щом се достигне.

Въпреки че самият факт на конвергенцията на метода със сигурност е важен, той не е достатъчен, за да се препоръча методът за използване в практиката. Ако методът се сближава много бавно (например, за да се получи решение с точност от 1%, трябва да се извършат итерации), тогава той е неподходящ за компютърни изчисления. От практическа стойност са методите за бързо сближаване, които включват метода на Нютон (припомнете си, че точността на изчислението беше постигната само за три итерации). За теоретично изследване на степента на сходимост и условията за приложимост на итеративните методи се извеждат така наречените априорни оценки на грешката, които позволяват да се направят някои заключения за качеството на метода дори преди изчисленията.

Представяме две такива априорни оценки за метода на Нютон. Нека Известно е, че тогава за всички и грешките на две последователни приближения са свързани със следното неравенство:

Ето стойността, която характеризира относителната апроксимационна грешка. Това неравенство показва много висока квадратична степен на сходимост на метода: при всяка итерация „грешката“ се повдига на квадрат. Ако се изрази чрез грешката на първоначалното приближение, тогава получаваме неравенството

от който вид е ролята на добрия избор на начално приближение. Колкото по-малка е стойността, толкова по-бързо ще се сближи методът.

Практическата реализация на итеративните методи винаги е свързана с необходимостта от избор на критерий за прекратяване на итеративния процес. Изчисленията не могат да продължат безкрайно и трябва да бъдат прекъснати в съответствие с някакъв критерий, свързан например с постигане на дадена точност. Използването на априорни оценки за тази цел най-често се оказва невъзможно или неефективно. Качествено правилно описващи поведението на метода, такива оценки са надценени и дават много ненадеждна количествена информация. Често априорните оценки съдържат неизвестни

количества (например оценките (3.14), (3.15) съдържат величината a), или предполагат наличието и сериозното използване на някаква допълнителна информация за решението. Най-често такава информация не е налична и получаването й е свързано с необходимостта от решаване на допълнителни проблеми, често по-сложни от първоначалния.

За формиране на критерий за прекратяване при достигане на дадена точност, като правило се използват така наречените апостериорни оценки на грешката - неравенства, при които стойността на грешката се оценява чрез известни или получени стойности по време на изчислителния процес. Въпреки че такива оценки не могат да се използват преди началото на изчисленията, по време на изчислителния процес те позволяват да се даде конкретна количествена оценка на грешката.

Например за метода на Нютон (3.13) е валидна следната апостериорна оценка:

S. Ulam използва случайни числа за компютърна симулация на поведението на неутроните в ядрен реактор. Тези методи може да се окажат незаменими за моделиране на големи системи, но тяхното подробно представяне включва значително използване на апарата на теорията на вероятностите и математическата статистика и е извън обхвата на тази книга.

Представяне както на изходните данни в проблема, така и на неговото решение - като число или набор от числа

В системата за обучение на инженери по технически специалности е важен компонент.

Основите на изчислителните методи са:

решаване на системи от линейни уравнения
интерполация и приближено изчисляване на функции
числено решение на обикновени диференциални уравнения
числено решение на частични диференциални уравнения (уравнения на математическата физика)
решаване на оптимизационни проблеми

Вижте също

Бележки

Литература

Калиткин Н. Н. Числени методи. М., Наука, 1978
Амосов А. А., Дубински Ю. А., Копченова Н. В. "Изчислителни методи за инженери", 1994 г.
Fletcher K "Изчислителни методи в динамиката на флуидите", изд. Мир, 1991, 504 стр
Е. Алексеев "Решение на задачи по изчислителна математика в пакетите Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9", 2006 г., 496 страници.
Тихонов А. Н., Гончарски А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. "Числени методи за решаване на неправилно поставени задачи" (1990)
Бакушински А. Б., Гончарски А. В. Неправилно поставени задачи. Числени методи и приложения, изд. Московско университетско издание, 1989 г
Н. Н. Калиткин, А. Б. Алшин, Е. А. Алшина, В. Б. Рогов. Изчисления върху квазиравномерни мрежи. Москва, Наука, Физматлит, 2005, 224 с.
Ю. Рижиков "Изчислителни методи" изд. BHV, 2007, 400 с., ISBN 978-5-9775-0137-8
Изчислителни методи в приложната математика, Международен журнал, ISSN 1609-4840

Връзки

Научно списание “Изчислителни методи и програмиране. Нови компютърни технологии»

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Изчислителна математика и математическа физика
Изчислителен тръбопровод

Вижте какво е "Изчислителни методи" в други речници:

Методи на електроаналитичната химия- Съдържание 1 Методи на електроаналитичната химия 2 Въведение 3 Теоретична част ... Wikipedia

Методи за кодиране на цифрови сигнали- В тази статия липсват връзки към източници на информация. Информацията трябва да може да се провери, в противен случай може да бъде поставена под съмнение и премахната. Можете да ... Уикипедия

ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ В ГАЗОДИНАМИКАТА- методи за решаване на проблеми от газовата динамика, базирани на изчислителни алгоритми. Нека разгледаме основните аспекти на теорията на числените методи за решаване на проблеми с газовата динамика, записвайки уравненията на газовата динамика под формата на закони за запазване в инерционни ... ... Математическа енциклопедия

ДИФУЗИОННИ МЕТОДИ- методи за решаване на кинет. уравнения за транспорт на неутрони (или други частици), които модифицират уравненията на дифузионното приближение. Тъй като дифузионното приближение дава правилната форма на асимптотиката решаване на транспортното уравнение (далеч от източници и ... ... Математическа енциклопедия

МЕТОДИ ЗА МИНИМИЗИРАНЕ НА ФУНКЦИИТЕ НА RAVAGE- Числени методи за намиране на минимуми на функции на няколко променливи. Нека е дадена функция, ограничена отдолу, два пъти непрекъснато диференцируема в своите аргументи, за която е известно, че за определен вектор (транспозиционен знак) отнема ... ... Математическа енциклопедия

GOST R 53622-2009: Информационни технологии. Информационни и изчислителни системи. Етапи и етапи на жизнения цикъл, видове и пълнота на документите- Терминология GOST R 53622 2009: Информационни технологии. Информационни изчислителни системи. Етапи и етапи от жизнения цикъл, видове и пълнота на документите оригинален документ: 3.1 хардуерна и софтуерна платформа: Единен набор от инструменти ... ...

Приложни изчислителни системи- Приложните компютърни системи, или ABC, включват системи за обектно смятане, базирани на комбинаторна логика и ламбда смятане. Единственото нещо, което е съществено развито в тези системи, е представянето на обекта. В ... ... Уикипедия

GOST 24402-88 Телеобработка на данни и компютърни мрежи. Термини и дефиниции- Терминология GOST 24402 88: Телеобработка на данни и компютърни мрежи. Термини и определения оригинален документ: ВИДОВЕ СИСТЕМИ И МРЕЖИ 90. Система за обработка на абонатни данни Абонатна система Абонатна система Система за обработка на данни, ... ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

ST SEV 4291-83: Компютърни машини и системи за обработка на данни. Пакети от магнитни дискове с капацитет 100 и 200 MB. Технически изисквания и методи за изпитване- Терминология ST SEV 4291 83: Компютърни машини и системи за обработка на данни. Пакети от магнитни дискове с капацитет 100 и 200 MB. Технически изисквания и методи за изпитване: 8. Амплитуда на сигнала от информационната повърхност VTAA Осреднена за целия ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Геофизични методи за проучване- изследване на структурата на земната кора чрез физични методи с цел търсене и проучване на полезни изкопаеми; проучвателната геофизика е неразделна част от геофизиката (виж Геофизика). Г. м. въз основа на изследването на физически полета ... ... Велика съветска енциклопедия

Книги

Изчислителни методи. Учебник, Амосов Андрей Авенирович, Дубинински Юлий Андреевич, Копченова Наталия Василиевна. В книгата се разглеждат изчислителните методи, които най-често се използват в практиката на приложните и научно-технически изчисления: методи за решаване на задачи от линейната алгебра, нелинейни уравнения, ...

Въз основа на концепциите за детерминанти от втори и трети ред, можем по подобен начин да въведем концепцията за детерминанта на реда н. Детерминанти от порядък по-висок от трети се изчисляват, като правило, като се използват свойствата на детерминантите, формулирани в раздел 1.3., които са валидни за детерминанти от всякакъв ред.

Използвайки свойството на детерминанти номер 9 0, въвеждаме дефиницията на детерминанта от 4-ти ред:

Пример 2Изчислете, като използвате подходящото разширение.

По подобен начин се въвежда понятието детерминанта на 5-ти, 6-ти и т.н. поръчка. Така детерминантата от ред n е:

Всички свойства на детерминантите от 2-ри и 3-ти ред, разгледани по-рано, са валидни и за детерминантите от n-ти ред.

Помислете за основните методи за изчисляване на детерминанти н-та поръчка.

коментар:преди да приложите този метод, е полезно, като използвате основните свойства на детерминантите, да занулите всички елементи на определен ред или колона с изключение на един. (Ефективен метод за намаляване на поръчките)

Метод на редукция до триъгълна форма се състои в такова преобразуване на определителя, когато всички негови елементи, лежащи от едната страна на главния диагонал, стават равни на нула. В този случай детерминантата е равна на произведението на елементите на неговия главен диагонал.

Пример 3Изчислете, като редуцирате до триъгълна форма.

Пример 4Изчислете, като използвате метода за ефективно намаляване на поръчката

Решение: по свойство 4 0 на детерминантите ще извадим фактора 10 от първия ред, след което ще умножим последователно втория ред по 2, по 2, по 1 и ще съберем съответно с първия, третия и четвърти редове (свойство 8 0).

Получената детерминанта може да се разложи на елементи от първата колона. Тя ще бъде намалена до детерминанта от трети ред, която се изчислява съгласно правилото на Sarrus (триъгълник).

Пример 5Изчислете детерминантата чрез редуциране до триъгълна форма.

Пример 3Изчислете с помощта на рекурентни отношения.

Лекция 4. Обратна матрица. Ранг на матрицата.

1. Концепцията за обратна матрица

Определение 1. Квадрат се нарича матрица A от ред n неизроден,ако неговата детерминанта | А| ≠ 0. В случай, когато | А| = 0 се извиква матрицата A изродени.

Само за квадратни неособени матрици A се въвежда концепцията за обратна матрица A -1.

Определение 2 . Извиква се матрица A -1 обратенза квадратна неособена матрица A, ако A -1 A = AA -1 = E, където E е единичната матрица от ред н.

Определение 3 . Матрица Наречен прикачен,неговите елементи са алгебрични допълнения транспонирана матрица
.

Алгоритъм за изчисляване на обратната матрица по метода на присъединената матрица.

, където
.

Проверяваме правилността на изчислението A -1 A \u003d AA -1 \u003d E. (E е матрицата на идентичността)

Матрици А и А -1 реципрочен. Ако | А| = 0, тогава обратната матрица не съществува.

Пример 1Дадена е матрица A. Уверете се, че тя е неособена и намерете обратната матрица
.

Решение:
. Следователно матрицата е неизродена.

Нека намерим обратната матрица. Нека съставим алгебричните допълнения на елементите на матрицата A.

Получаваме

.

Детерминанти

Понятието детерминанта

Всяка квадратна матрица от n-ти ред може да бъде свързана с извикано число детерминант (детерминант) матрица A и се означава по следния начин: , или , или детайл А.

Детерминанта на матрица от първи ред, или детерминанта от първи ред, е елементът

Детерминанта от втори ред(детерминанта на матрица от втори ред) се изчислява, както следва:

Ориз. Схема за изчисляване на детерминанта от втори ред

Така вторият детерминант на сумата е сумата 2=2! членове, всеки от които е произведение на 2 фактора – елементи на матрицата А, по един от всеки ред и всяка колона. Единият от термините се приема със знака „+“, другият със знака „-“.

Намерете детерминанта

Детерминантата от трети ред (детерминантата на квадратна матрица от трети ред) се дава от:

Така детерминантата на третия ред е сумата 6=3! членове, всеки от които е произведение на 3 фактора – елементи на матрицата А, по един от всеки ред и всяка колона. Едната половина от термините се приема със знака „+“, другата половина със знака „-“.

Основният метод за изчисляване на детерминанта от трети ред е т.нар правилото на триъгълниците (Правило на Сарус): първият от трите члена, включени в сумата със знака "+", е произведението на елементите на главния диагонал, вторият и третият са продуктите на елементите, разположени във върховете на два триъгълника с основи, успоредни на главния диагонал; три члена, включени в сумата със знака "-", се определят по подобен начин, но по отношение на втория (вторичен) диагонал. По-долу има 2 схеми за изчисляване на детерминанти от трети ред

б)

Ориз. Схеми за изчисляване на детерминанти от 3-ти ред

Намерете детерминанта:

Детерминантата на квадратна матрица от n-ти ред (n 4) се изчислява, като се използват свойствата на детерминантите.

Основни свойства на детерминантите. Методи за изчисляване на детерминанти

Матричните детерминанти имат следните основни свойства:

1. Детерминантата не се променя, когато матрицата се транспонира.

2. Ако два реда (или колони) са разменени в детерминантата, тогава детерминантата ще промени знака.

3. Детерминанта с два пропорционални (в частност равни) реда (колони) е равна на нула.

4. Ако редът (колоната) в детерминантата се състои от нули, то детерминантата е равна на нула.

5. Общият множител на елементите на всеки ред (или колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата.

6. Детерминантата не се променя, ако всички елементи от един ред (или колона) се добавят към съответните елементи от друг ред (или колона), умножени по същото число.

7. Детерминантата на диагоналната и триъгълната (горната и долната) матрици е равна на произведението на диагоналните елементи.

8. Детерминантата на произведението на квадратни матрици е равна на произведението на техните детерминанти.

Методически указания за студенти от 1-ва година

Базей Александър Анатолиевич

Одеса 2008г

ЛИТЕРАТУРА

1 Hemming R.W. Числени методи за учени и инженери. – М.: Наука, 1968. – 400 с.

2 Блажко С.Н. Курс по сферична астрономия. - Москва, Ленинград, ОГИЗ, 1948. - 416 с.

3 Щиголев Б.М. Математическа обработка на наблюденията. – М.: Наука, 1969. – 344 с.

4 Крилов В.И., Бобков В.В., Монастирни П.И. Изчислителни методи. - М.: Наука, 1977. Том I, Том II - 400 с.

5 Хъдсън Д. Статистика за физици. – М.: Мир, 1967. – 244 с.

6. Берман Г.Н. Приемане на сметки. - Москва, 1953. - 88 с.

7. Румшински Л.З. Математическа обработка на резултатите от експеримента. - Москва, Наука 1971. - 192 с.

8. Калиткин Н.Н. Числени методи. - Москва, Наука 1978. - 512 с.

9. Филчаков П.Ф. Числени и графични методи на приложната математика. - Киев, "Наукова думка", 1970. - 800 с.

10. Фихтенголц Г.М. Курс по диференциално и интегрално смятане, т.1-3. - Москва, Наука 1966г.

Приблизителни изчисления 2

Относно заговора

Изглаждане 10

Приближение 12

Изправяне (линеаризация) 13

Метод на най-малките квадрати 15

Интерполация 24

Интерполационен полином на Лагранж 26

Остатъчен член на формулата на Лагранж 29

Интерполационен полином на Нютон за таблица с променлива стъпка 30

Интерполация на таблица с постоянна стъпка 34

Интерполационни полиноми на Стърлинг, Бесел, Нютон 37

Интерполация върху функционална таблица от два аргумента 42

Диференциация на таблицата 44

Числено решаване на уравнения 46

Дихотомия (метод на разполовяване) 46

Метод на проста итерация 47

Метод на Нютон 50

Намиране на минимума на функция на една променлива 51

Метод на златното сечение 51

Метод на парабола 54

Изчисляване на определен интеграл 56

Трапецовидна формула 59

Формула за средни стойности или формула за правоъгълници 61

Формула на Симпсън 62

Решение на обикновени диференциални уравнения. Проблем с Коши 64

Класически метод на Ойлер 66

Усъвършенстван метод на Ойлер 67

Метод за прогноза и корекция 69

Методи на Рунге-Кута 71

Хармоничен анализ 74

Ортогонални системи от функции 78

Метод 12 ординира 79

ПРИБЛИЗИТЕЛНИ ИЗЧИСЛЕНИЯ

Нека решим един прост проблем. Да кажем, че студент живее на разстояние 1247 м от гарата. Влакът тръгва в 17:38. Колко време преди тръгването на влака ученикът трябва да напусне дома си, ако средната му скорост е 6 km/h?

Получаваме решението веднага:

Едва ли обаче някой би използвал това математически точно решение и ето защо. Изчисленията са напълно точни, но точно ли е измерено разстоянието до станцията? Възможно ли е дори да се измери пътя на пешеходец, без да се правят грешки? Може ли пешеходецът да се движи по строго определена линия в град, пълен с хора и автомобили, движещи се във всевъзможни посоки? А скоростта от 6 км/ч - определена ли е абсолютно точно? И така нататък.

Съвсем ясно е, че всеки ще даде предпочитание в този случай не на „точното математическо“, а на „практическото“ решение на този проблем, тоест ще прецени, че ще отнеме 12-15 минути ходене и ще добави още няколко минути за гаранция.

Защо тогава да изчисляваме секундите и техните части и да се стремим към такава степен на точност, която не може да се използва на практика?

Математиката е точна наука, но самото понятие "точност" изисква изясняване. За да направите това, трябва да започнете с концепцията за число, тъй като точността на резултатите от изчисленията до голяма степен зависи от точността на числата, от надеждността на първоначалните данни.

Има три източника за получаване на числа: броене, измерване и извършване на различни математически операции

Ако броят на елементите за преброяване е малък и ако е постоянен във времето, тогава ще получим абсолютно точнорезултати. Например, има 5 пръста на ръката, 300 лагера в кутия. Друго е положението, когато казват: в Одеса през 1979 г. имаше 1 000 000 жители. Защото хората се раждат и умират, идват и си отиват; техният брой се променя през цялото време дори за периода от време, през който е завършено изчислението. Така че това, което наистина се има предвид, е, че е имало около 1 000 000 жители, може би 999 125, или 100 1263, или някакво друго число, близко до 1 000 000. В този случай 1 000 000 дава приблизителенброя на жителите на града.

Всяко измерване не може да бъде направено абсолютно точно. Всяко устройство дава някакъв вид грешка. В допълнение, двама наблюдатели, измерващи едно и също количество с един и същи инструмент, обикновено получават малко различни резултати, докато пълното съответствие на резултатите е рядко изключение.

Дори такова просто измервателно устройство като линийка има „грешка на устройството“ - краищата и равнините на линийката са малко по-различни от идеалните прави линии и равнини, щрихите върху линийката не могат да се прилагат на абсолютно равни разстояния, а самите щрихи имат определена дебелина; така че при измерване не можем да получим резултати, по-точни от дебелината на щрихите.

Ако сте измерили дължината на масата и сте получили стойност от 1360,5 мм, това изобщо не означава, че дължината на масата е точно 1360,5 мм - ако тази маса е измерена от друг или повторите измерването, тогава можете вземете стойността както на 1360,4 mm, така и на 1360,6 mm. Числото 1360,5 mm изразява дължината на масата приблизително.

Математическите операции също не са възможни за извършване без грешки. Изваждането на корена, намирането на синус или логаритъм, дори делението не винаги е абсолютно точно.

Всички измервания без изключение водят до приблизителни стойности на измерваните величини. В някои случаи измерванията се извършват грубо, тогава се получават големи грешки, при внимателни измервания грешките са по-малки. Никога не се постига абсолютна точност на измерване.

Нека сега разгледаме втората страна на въпроса. Необходима ли е на практика абсолютна точност и каква е стойността на приблизителния резултат?

При изчисляване на електропровод или газопровод никой няма да определи разстоянието между опорите до най-близкия милиметър или диаметъра на тръбата до най-близкия микрон. В инженерството и строителството всеки детайл или конструкция може да бъде изработен само в рамките на определена точност, която се определя от така наречените допуски. Тези допустими отклонения варират от части от микрон до милиметри и сантиметри, в зависимост от материала, размера и предназначението на частта или структурата. Следователно, за да се определят размерите на дадена част, няма смисъл да се извършват изчисления с точност, по-голяма от необходимата.

1) Първоначалните данни за изчисления, като правило, имат грешки, т.е. те са приблизителни;

2) Тези грешки, често увеличени, преминават в резултатите от изчисленията. Но практиката не изисква точни данни, а се задоволява с резултати с определени допустими грешки, чиято големина трябва да бъде предварително определена.

3) Възможно е да се осигури необходимата точност на резултата само когато първоначалните данни са достатъчно точни и когато се вземат предвид всички грешки, въведени от самите изчисления.

4) Изчисленията с приблизителни числа трябва да се извършват приблизително, като се опитват да постигнат минимален разход на труд и време при решаване на проблема.

Обикновено в техническите изчисления границата на грешка е между 0,1 и 5%, но в научните въпроси те могат да бъдат намалени до хилядни от процента. Например, по време на изстрелването на първия изкуствен спътник на Луната (31 март 1966 г.) трябваше да се осигури скорост на изстрелване от около 11 200 m/s с точност от няколко сантиметра в секунда, за да може спътникът да влезе в окололунна, а не околослънчева орбита.

Обърнете внимание освен това, че правилата на аритметиката се извеждат при предположението, че всички числа са точни. Следователно, ако изчисленията с приблизителни числа се извършват като с точни числа, тогава се създава опасно и вредно впечатление за точност там, където всъщност я няма. Истинската научна и в частност математическа прецизност се състои именно в това да се посочи наличието на почти винаги неизбежни грешки и да се определят техните граници.