Намиране на сумата на редица чрез интегриране и диференциране. Интегриране и диференциране на степенни редове

Редове.

Основни определения.

Определение. Сумата от членовете на безкрайна редица от числа се нарича числени серии.

В този случай числата ще се наричат членове на серията и u nе често срещан член на поредицата.

Определение. суми, n = 1, 2, …Наречен частни (частични) сумиред.

По този начин е възможно да се разглеждат поредици от частични суми на серията S 1, S 2, …, S n, …

Определение. Редът се нарича сближаванеако последователността от неговите частични суми се събира. Сумата на сходящия се реде границата на последователността от неговите частични суми.

Определение. Ако последователността от частични суми на реда се разминава, т.е. няма граница или има безкрайна граница, тогава серията се извиква разнопосочнии не му се приписва сума.

свойства на реда.

1) Конвергенцията или дивергенцията на серията няма да бъде нарушена, ако промените, отхвърлите или добавите краен брой членове в серията.

2) Да разгледаме две серии и , където C е постоянно число.

Теорема. Ако една редица се сближава и нейната сума е равна на S, тогава редицата също се сближава и нейната сума е равна на CS. (C¹0)

3) Помислете за два реда и . сумаили разликаот тези серии ще се наричат серии, при които елементите са получени в резултат на добавяне (изваждане) на оригиналните елементи с еднакви номера.

Теорема. Ако редицата и се събират и сумите им са равни съответно на S и s, тогава редицата също се събира и нейната сума е равна на S + s.

Разликата на два сходящи се реда също ще бъде конвергентен ред.

Сборът от сходящи и разминаващи се редове ще бъде дивергентни редове.

Невъзможно е да се направи общо твърдение за сумата от два различни реда.

При изучаване на редове се решават главно два проблема: изследване на сходимостта и намиране на сумата на реда.

Критерий на Коши.

(необходими и достатъчни условия за сходимост на редицата)

За да бъде последователността сходна, е необходимо и достатъчно за всяко да съществува число N, така че за n > N и всяко p > 0, където p е цяло число, да е валидно следното неравенство:

Доказателство. (трябва)

Нека , Тогава за произволен номер има число N такова, че неравенството

Извършва се при n>N. За n>N и всяко цяло число p>0, неравенството също е в сила. Разглеждайки двете неравенства, получаваме:

Необходимостта е доказана. Няма да разглеждаме доказателството за достатъчност.

Нека формулираме критерия на Коши за редицата.

За да бъде една редица сходна, е необходимо и достатъчно за всяко да съществува число N, такова че за n>N и всяко p>0 неравенството

На практика обаче не е много удобно да се използва директно критерият на Коши. Следователно, като правило, се използват по-прости критерии за конвергенция:

1) Ако редът се сближава, необходимо е общият термин u nгравитира към нулата. Това условие обаче не е достатъчно. Можем само да кажем, че ако общият член не клони към нула, тогава редът точно се разминава. Например, така наречената хармонична серия е дивергентна, въпреки че нейният общ член клони към нула.

Пример.Изследвайте конвергенцията на редица

Да намерим - необходимият критерий за сходимост не е изпълнен, така че редицата се разминава.

2) Ако редицата се сближава, тогава последователността от нейните частични суми е ограничена.

Тази функция обаче също не е достатъчна.

Например серията 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +… се разминава, защото последователността на неговите частични суми се разминава поради факта, че

В този случай обаче последователността от частични суми е ограничена, т.к за всякакви н.

Серии с неотрицателни членове.

Когато изучаваме серии с постоянен знак, ние се ограничаваме до разглеждане на серии с неотрицателни членове, тъй като когато просто се умножат по -1, тези серии могат да се използват за получаване на серии с отрицателни членове.

Теорема. За да се сближи ред с неотрицателни членове, е необходимо и достатъчно частичните суми на реда да бъдат ограничени.

Знак за сравнение на редове с неотрицателни членове.

Нека има два реда и при u n , v n ³ 0.

Теорема. Ако u n£ v nза всякакви н, тогава сходимостта на серията предполага сходимост на серията , и от разминаването на серията следва разминаването на поредицата.

Доказателство. Означаваме с S nи s nчастични суми от серии и . защото По условието на теоремата редът се събира, тогава частните му суми са ограничени, т.е. за всички н s n< M, где М – некоторое число. Но т.к. u n£ v n, тогава S n£ s nслед това частичните суми на серията също са ограничени и това е достатъчно за сходимост.

Пример.

защото , и хармоничната поредица се разминава, тогава поредицата също се разминава.

Пример.Изследвайте редове за сходимост

защото , и редът се сближава (като намаляваща геометрична прогресия), тогава редът също се сближава.

Използва се и следният критерий за конвергенция:

Теорема. Ако и има граница , където h е ненулево число, тогава серията и води по същия начин в смисъл на конвергенция.

Знак на д'Аламбер.

(Жан Лерон д'Аламбер (1717 - 1783) - френски математик)

Ако за редица с положителни членове съществува число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

тогава серията се сближава, ако за всички достатъчно големи n условието

тогава серията се разминава.

Ограничителен знак на д'Аламбер.

Ограничаващият тест на д'Аламбер е следствие от горния тест на д'Аламбер.

< 1 ряд сходится, а при r >1 - се разминава. Ако r = 1, тогава не може да се отговори на въпроса за конвергенцията.

Пример.Определете сходимостта на редицата.

Заключение: серията се сближава.

Пример.Определете сходимостта на редица

Заключение: серията се сближава.

Знак на Коши. (радикална характеристика)

Ако за редица с неотрицателни членове съществува число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

тогава редът се сближава, ако за всички достатъчно големи n неравенството

тогава серията се разминава.

Последица. Ако има ограничение, тогава за r<1 ряд сходится, а при r>1 ред се разминава.

Пример.Определете сходимостта на редицата.

Заключение: серията се сближава.

Пример.Определете сходимостта на редицата.

Тези. Критерият на Коши не дава отговор на въпроса за сходимостта на редицата. Нека проверим изпълнението на необходимите условия за конвергенция. Както бе споменато по-горе, ако редът се сближава, тогава общият член на реда клони към нула.

по този начин необходимото условие за сходимост не е изпълнено, което означава, че серията се разминава.

Интегрален тест на Коши.

Ако j(х) е непрекъсната положителна функция, намаляваща на интервалаи тогава интегралите се държат по същия начин в смисъл на конвергенция.

Променливи редове.

Редуващи се редове.

Редуваща се серия може да бъде записана като:

Знак на Лайбниц.

Ако редуваща се серия има абсолютни стойности u i намаляващи и общият член клони към нула, тогава серията се сближава.

Абсолютна и условна сходимост на редове.

Помислете за някои редуващи се серии (с термини от произволни знаци).

и серия, съставена от абсолютните стойности на членовете на серията (1):

Теорема. Сходимостта на ред (2) предполага сходимост на ред (1).

Доказателство. Серия (2) е до неотрицателни членове. Ако ред (2) се сближава, тогава по критерия на Коши за всяко e>0 съществува число N, такова че за n>N и всяко цяло число p>0 е вярно следното неравенство:

Според свойството на абсолютните стойности:

Тоест, съгласно критерия на Коши, сходимостта на ред (2) предполага сходимост на ред (1).

Определение. Редът се нарича абсолютно конвергентенако редът се събира.

Очевидно е, че за редове с постоянен знак понятията за конвергенция и абсолютна конвергенция съвпадат.

Определение. Редът се нарича условно конвергентенако тя се сближава и серията се разминава.

тестове на д'Аламбер и Коши за редуващи се серии.

Нека бъде редуваща се серия.

Знак на д'Аламбер. Ако има ограничение, тогава за r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>

Знак на Коши. Ако има ограничение, тогава за r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ред ще бъде различен. Когато r=1, знакът не дава отговор за сходимостта на редицата.

Свойства на абсолютно сходните редове.

1) Теорема. За абсолютната сходимост на ред е необходимо и достатъчно той да може да бъде представен като разлика на два сходящи се реда с неотрицателни членове.

Последица. Условно конвергентен ред е разликата на два разминаващи се реда с неотрицателни членове, клонящи към нула.

2) В конвергентна серия всяко групиране на членовете на серията, което не променя техния ред, запазва сходимостта и размера на серията.

3) Ако една редица се сближава абсолютно, тогава серията, получена от нея чрез всяка пермутация на членове, също се сближава абсолютно и има същата сума.

Чрез пренареждане на членовете на условно сходяща серия може да се получи условно сходяща серия, имаща произволна предварително определена сума, и дори разминаваща се серия.

4) Теорема. При всяко групиране на членове на абсолютно конвергентна серия (в този случай броят на групите може да бъде краен или безкраен, а броят на членовете в група може да бъде краен или безкраен) се получава конвергентна серия, сумата от които е равно на сумата от оригиналната серия.

5) Ако редовете и се събират абсолютно и сумите им са равни, съответно Си s, тогава серия, съставена от всички продукти на формата, взети в произволен ред, също се сближава абсолютно и нейната сума е равна на S×s- произведението на сумите от умножените серии.

Ако обаче се умножат условно сходящи се редове, тогава резултатът може да бъде разминаващ се ред.

Функционални последователности.

Определение. Ако членовете на серията не са числа, а функции от х, тогава сериалът се нарича функционален.

Изследването на конвергенцията на функционални редове е по-трудно от изследването на числови редове. Същата функционална серия може, за същите стойности на променливата хсе сближават, а в други - се разминават. Следователно въпросът за конвергенцията на функционалните серии се свежда до определянето на тези стойности на променливата хза които редът се събира.

Наборът от такива стойности се нарича регион на конвергенция.

Тъй като границата на всяка функция, включена в областта на конвергенция на серията, е определено число, тогава границата на функционалната последователност ще бъде определена функция:

Определение. Последователност ( f n (x)} се сближавада функционира f(x)на отсечката , ако за всяко число e>0 и всяка точка хот разглеждания сегмент съществува число N = N(e, x), такова че неравенството

се извършва за n>N.

При избраната стойност e>0 всяка точка от отсечката отговаря на свой собствен номер и следователно ще има безкраен брой числа, съответстващи на всички точки от отсечката. Ако изберете най-голямото от всички тези числа, тогава това число ще бъде подходящо за всички точки на сегмента, т.е. ще бъде общ за всички точки.

Определение. Последователност ( f n (x)} се сближава равномернода функционира f(x)на интервала, ако за всяко число e>0 съществува число N = N(e), такова че неравенството

се извършва за n>N за всички точки от отсечката .

Пример.Обмислете последователността

Тази последователност се събира по цялата числова ос към функцията f(x)=0, защото

Нека начертаем тази последователност:

Както се вижда, тъй като броят им се увеличава нграфиката на последователността се доближава до оста х.

функционални редове.

Определение.Частни (частични) сумифункционалните серии се наричат функции

Определение. Функционалната серия се нарича сближаванев точка ( x=x 0), ако последователността от неговите частични суми се събира в тази точка. Границата на последователност се нарича сумаред в точка х 0.

Определение. Множеството от всички стойности х, за които редът се събира се нарича регион на конвергенцияред.

Определение. Редът се нарича равномерно конвергентенвърху сегмент, ако последователността от частични суми на този ред се събира равномерно върху този сегмент.

Теорема. (Критерий на Коши за равномерна конвергенция на редица)

За да се сближава равномерно редът, е необходимо и достатъчно за всяко число e>0 да съществува число N(e), такова че за n>N и всяко цяло число p>0 неравенството

ще важи за всички x на сегмента.

Теорема. (Униформен тест за конвергенция на Weierstrass)

(Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас (1815 - 1897) - немски математик)

Серията се сближава равномерно и освен това абсолютно на отсечката , ако модулите на нейните членове на една и съща отсечка не надвишават съответните членове на сходящата се числова серия с положителни членове:

тези. има неравенство:

Те също така казват, че в този случай функционалната серия мажориранчислова страна.

2) Теоремата за почленното интегриране на редица.

Серия с непрекъснати членове, равномерно сходни на интервал, може да бъде интегрирана член по член на този интервал, т.е. серия, съставена от интеграли на нейните членове върху сегмента, се сближава с интеграла на сумата на серията върху този сегмент.

3) Теоремата за почленно диференциране на редица.

Ако членовете на ред, събиращ се в сегмент, са непрекъснати функции, които имат непрекъснати производни, и редът, съставен от тези производни, се събира равномерно в този сегмент, тогава този ред се събира равномерно и може да се диференцира член по член.

Въз основа на факта, че сумата от серията е някаква функция на променливата х, можете да изпълните операцията за представяне на функция като серия (разгъване на функция в серия), която се използва широко при интегриране, диференциране и други операции с функции.

(Нилс Хенрик Абел (1802 - 1829) - норвежки математик)

Теорема. Ако степенен ред се сближава за x = x 1 , тогава той се сближава и освен това абсолютно за всички .

Доказателство. По условието на теоремата, тъй като членовете на серията са ограничени, тогава

където ке някакво постоянно число. Следното неравенство е вярно:

От това неравенство се вижда, че х числените стойности на членовете на нашата серия ще бъдат по-малки (във всеки случай, не повече) от съответните членове на серията от дясната страна на неравенството, написано по-горе, които образуват геометрична прогресия. Знаменателят на тази прогресия е по-малък от единица, следователно тази прогресия е сходяща серия.

Следователно, въз основа на критерия за сравнение, ние заключаваме, че серията се сближава, което означава, че серията

СТЕПЕННИ РЕДОВЕ Теорема на Абел. Интервал и радиус на сходимост на степенен ред Равномерна сходимост на степенен ред и непрекъснатост на неговата сума Интегриране на степенни редове Диференциране на степенни редове Редица на Тейлър Условия за разширяване на функция в редица на Тейлър от елементарни функции Таблица на разширенията в степен редове (серии на Маклорен) от основни елементарни функции.
Теорема на Абел. Интервалът и радиусът на сходимост на степенен ред. Степенният ред е функционален ред от формата (o или от формата (2), където коефициентите са константи. Серия (2) чрез формално заместване x - x<> на x се свежда до серията (1). Степенният ред (1) винаги се събира в точката x = 0, а редът (2) се събира в точката x0, като сумата им в тези точки е равна на co. Пример. Редовете са подредени редове. Нека да открием формата на областта на конвергенция на степенния ред. Теорема 1 (Абел). Ако степенен ред се сближава при, тогава той се сближава абсолютно за всички x, така че ако степенният ред се разминава при x = xi, тогава той се разминава при всяко x, за което Нека степенният ред се СХВЪЩА при. редица от числа се сближава СТЕПЕННИ РЕДОВЕ Теорема на Абел. Интервал и радиус на сходимост на степенен ред Равномерна сходимост на степенен ред и непрекъснатост на неговата сума Интегриране на степенни редове Диференциране на степенни редове Редица на Тейлър Условия за разширяване на функция в редица на Тейлър от елементарни функции Таблица на разширенията в степен редове (серии на Маклорен) от основни елементарни функции. От това следва, че и следователно съществува число, такова че M за всички n. Разгледайте серията където и оценете нейния общ член. Имаме whered = . Но серията е съставена от членове на геометрична прогресия със знаменател q, където означава, че се събира. Въз основа на знака на сравнителна серия 2 |с„:гп| се събира във всяка точка x, за която. Следователно степенният ред се сближава абсолютно ЗА. Нека сега степенният ред на точка O), който разделя интервалите на дивергенция от интервала на конвергенция. Важи следната теорема. Теорема 2. Нека степенният ред се събира в точката x Φ 0. Тогава или този ред се събира абсолютно във всяка точка от реалната права, или съществува число R > 0, такова че редът се събира абсолютно в и се разминава в Дивергент. Коремни мускули. конвергира дивергентно d Фиг. 1 Определение. Интервал на сходимост на степенен ред е интервал (-R, R), където R > 0, такъв, че във всяка точка x € (-A, R) редът се сближава абсолютно, а в точки x, такива че |n| > R, серията се разминава. Числото R се нарича радиус на сходимост на степенния ред. Коментирайте. Що се отнася до краищата на интервала на сходимост (-R, R), са възможни следните три случая: I) степенната редица се сближава както в точката x = -R, така и в точката x = R, 2) степенната редица се разминава в двете точки, 3) степенният ред се сближава в единия край на интервала на сближаване и се разминава в другия. Коментирайте. Степенен ред, където x φ 0 има същия радиус на конвергенция като реда. За да докажем формула (3), разгледайте ред, съставен от абсолютните стойности на членовете на този ред. Прилагайки теста на d'Alembert към този ред, ние find От това следва, че серията (4) ще се събира, ако и ще се разминава, ако. степенният ред се сближава абсолютно за всички x, така че и се разминава при. Чрез дефинирането на радиуса на сходимост откриваме, че радиусът на сходимост на степенен ред може да бъде намерен и по формулата, ако има крайна граница. Формула (5) може лесно да бъде получена с помощта на критерия на Коши. Ако степенният ред се сближава само в точката x = 0, тогава се казва, че неговият радиус на сближаване е R = 0 (това е възможно, например, когато lim b^A = oo или Ако степенният ред се сближава във всички точки на реалната ос, тогава поставяме R = + oo (това се случва, например, когато lim n^p = 0 или Домейнът на конвергенция на степенен ред може да бъде или интервалът (, или сегментът [, или един от полуинтервалите (x0 - R, x0 + D) или [. Ако R = + oo, тогава регионът на конвергенция на серията ще бъде цялата цифрова ос, т.е. интервалът (-oo, + oo). намерете областта на сближаване на степенен ред, първо трябва да изчислите неговия радиус на сближаване R (например, като използвате една от горните формули) и да намерите интервала на сближаване на точка O), който разделя интервалите на отклонение от интервала на В сила е следната теорема: Теорема 2. Нека степенният ред се събира в точката x Φ 0. Тогава или този ред се събира абсолютно във всяка точка на реалната права, или съществува число R > O, такова че редът се събира абсолютно при и се отклонява при | Консумация то. Коремни мускули. конвергира дивергентно Определение. Интервал на сходимост на степенен ред е интервал (-R, R), където R > 0, такъв, че във всяка точка x € (-A, R) редът се сближава абсолютно, а в точки x, такива че |n| > R, серията се разминава. Числото R се нарича радиус на сходимост на степенния ред. Коментирайте. Що се отнася до краищата на интервала на сходимост (-R, R), са възможни следните три случая: I) степенната редица се сближава както в точката x = -R, така и в точката x = R, 2) степенната редица се разминава в двете точки, 3) степенният ред се сближава в единия край на интервала на сближаване и се разминава в другия. Коментирайте. Степенен ред, където x φ 0 има същия радиус на конвергенция като реда. За да докажем формула (3), разгледайте ред, съставен от абсолютните стойности на членовете на този ред. Прилагайки теста на d'Alembert към този ред, ние find От това следва, че редът (4) ще се сближава, ако \, и ще се разминава, ако, т.е. степенният ред се сближава абсолютно за всички x, така че и се разминава за \. По дефиницията на радиуса на сходимост получаваме, че R = £, т.е. СТЕПЕНЕН РЕД. Теорема на Абел. Интервал и радиус на сходимост на степенен ред Равномерна сходимост на степенен ред и непрекъснатост на неговата сума Интегриране на степенни редове Диференциране на степенни редове Редица на Тейлър Условия за разширяване на функция в редица на Тейлър от елементарни функции Таблица на разширенията в степен редове (серии на Маклорен) от основни елементарни функции. Радиусът на сходимост на степенен ред може също да бъде намерен с помощта на формулата, ако има крайна граница. Формула (5) може лесно да бъде получена с помощта на критерия на Коши. Ако степенният ред се сближава само в точката x = 0, тогава казват, че неговият радиус на сближаване е R = 0 (това е възможно, например, когато lim b^A = oo или. Ако степенният ред се сближава във всички точки на реалната ос, тогава приемаме R = + oo (това се случва, например, когато Областта на конвергенция на степенен ред може да бъде или интервалът (, или сегментът ], или един от полуинтервалите (x0 - R, x0 + D) или [. Ако R = + oo, тогава областта на сближаване на серията ще бъде цялата числена ос, т.е. интервалът (-oo, + oo). За да намерите областта на сближаване на степенна серия, първо трябва да изчислите нейния радиус на конвергенция R (например, като използвате една от горните формули) и по този начин да намерите интервала на конвергенция, в който серията се сближава абсолютно, след това - да изследвате. (3) Тъй като ще имаме серията се сближава абсолютно на интервала 2) Нека изследваме Оценяваме сходимостта на ред (6) в краищата на интервала на сходимост. Поставяйки x = -1, получаваме числова серия, чиято дивергенция е очевидна (необходимият критерий за сходимост не е изпълнен: . За x - 1 получаваме числова серия, за която не съществува, което означава, че тази серия се разминава. Така че, зоната на сближаване на серия (6) е интервал Пример 2. Намерете областта на сближаване на серията M 1) Радиусът на сближаване се намира по формула (3). Имаме Ред (7) се сближава абсолютно в интервала, откъдето Когато получаваме числова серия, която се разминава (хармонична серия). За x = 0 ще имаме числова серия, която условно се сближава. Така серията (7) се сближава в областта Пример 3. Намерете интервала на сближаване на серията Тъй като = , тогава за да намерим радиуса на сближаване, прилагаме формулата областта на сближаване е интервалът. Пример 4. Намерете интервала на сближаване на серията, тогава получаваме Равенство R = 0 означава, че серията (8) се сближава само в точка. т.е. областта на сходимост на дадения степенен ред се състои от една точка §2. Равномерна сходимост на степенен ред и непрекъснатост на неговата сума Теорема 1. Степенен ред се сходи абсолютно и равномерно на всеки сегмент, съдържащ се в интервала на сходимост на реда Let. Тогава за всички x, които отговарят на условието и за всяко n =. ще има. Но тъй като редицата от числа се сближава, тогава, съгласно критерия на Вайерщрас, тази степенна редица се сближава абсолютно и равномерно на сегмента. Теорема 2. Сумата на степенен ред е непрекъсната във всяка точка x от неговия интервал на сходимост (4) Всяка точка x от интервала на сходимост (-D, R) може да бъде затворена в някакъв сегмент, на който този ред сходи равномерно. S( x) ще бъде непрекъснат на сегмента [-a, a], а оттам и в точката x. Интегриране на степенни редове Теорема 3 (относно член по член интегриране на степенни редове) Степенен ред може да бъде интегриран член по член в неговия интервал на сходимост (-R, R), R > 0 и радиусът на сходимост на реда, получен чрез интегриране член по член, също е равен на R. По-специално, за всяко x от интервалът (-R, R) формулата е валидна Всяка точка x от интервала на конвергенция (-D, R) може да бъде заключена в някакъв сегмент [-a, a], където.На този сегмент дадения ред ще се сближи равномерно и тъй като членовете на реда са непрекъснати, той може да бъде интегриран член по член, например в диапазона от 0 до x. Тогава, съгласно теорема 4 от глава XVIII, нека намерим радиуса на конвергенция R" от получената серия POWER P ОТРОВИ Теоремата на Абел. Интервал и радиус на сходимост на степенен ред Равномерна сходимост на степенен ред и непрекъснатост на неговата сума Интегриране на степенни редове Диференциране на степенни редове Редица на Тейлър Условия за разширяване на функция в редица на Тейлър от елементарни функции Таблица на разширенията в степен редове (серии на Маклорен) от основни елементарни функции. при допълнително условие за съществуване на крайна граница R. Така че радиусът на сходимост на степенния ред не се променя по време на интегрирането. Коментирайте. Твърдението на теоремата остава в сила за H = +oo. § четири. Извеждане на степенни редове Теорема 4 (относно член по член диференциране на степенен ред). Степенен ред може да се диференцира член по член във всяка точка x от неговия интервал на конвергенция 1) и (2) са равни Нека означим сумата от редове (2) с Серии (1) и (2) се събират равномерно на всеки интервал [ -a, a|, където. Освен това всички членове на ред (2) са непрекъснати и са производни на съответните членове на ред (1). Следователно, съгласно теорема 5 от глава XVIII, равенството е в сила на интервала [ -a, a) По силата на произвола на a, последното равенство важи и за интервала C. Определение на степенна редица Ще кажем, че функцията f(x) се разширява в степенна редица ]Γ) CnXn на интервал, ако посоченият ред се събира в този интервал и сумата му е равна на f(x): Нека първо докажем, че функцията f(x) не може да има две различни разширения на степенни редове от формата Теорема 5. Ако функцията /(x) на интервала (-R, R) се разшири в степенен ред (1), тогава това разширение е уникално, т.е. коефициентите на реда (1) се определят еднозначно от неговата сума. Нека функцията в интервала бъде разширена в конвергентен степенен ред.Диференцирайки този ред член по член n пъти, ние намираме За x = 0 получаваме откъдето. По този начин коефициентите на степенния ред (1) се определят еднозначно от формула (2). Коментирайте. Ако функцията /(x) се разгъне в степенен ред по степени на разликата x-zq, тогава коефициентите cn на този ред се определят по формули. Нека функцията / има производни от всички разряди. е безкрайно диференцируема в точка jo. Нека съставим формален степенен ред за тази функция, като изчислим нейните коефициенти, използвайки формула (3). §5. Определение. Серията на Тейлър на функцията f(x) по отношение на точката x0 се нарича степенна серия от формата функцията /(x) се разширява в степенна серия, тогава тази серия е серия на Тейлър на функцията /(x) където Pjn(i) е полином от степен 3n по отношение на j. Нека сега покажем, че в точката 2 = 0 тази функция също има производни от всякакъв ред и всички те са равни на нула. Въз основа на определението на производната имаме. По подобен начин можем да докажем, че По този начин дадената функция има производни от всички порядъци на реалната ос. Построете формален ред на Тейлър на оригиналната функция по отношение на точката z0 = Имаме. сумата на тази серия е идентично равна на нула, докато самата функция f(x) не е идентично равна на нула. ^ Този пример си струва да запомните, когато обсъждате комплексен анализ (аналитичност): функция, която е външно напълно прилична, показва капризен характер на реалната ос, което е следствие от проблеми на въображаемата ос. Серията, формално конструирана в примера за дадена безкрайно диференцируема функция, се сближава, но нейната сума не съвпада със стойностите на тази функция за x Ф 0. В тази връзка възниква естествен въпрос: какви условия трябва да изпълнява функцията f( x) удовлетворява на интервала (xo - R, xo + R), така че да може да бъде разширен в ред на Тейлър, сходен към него? Условия за разширяване на функция в ред на Тейлър За простота ще разгледаме степенен ред от вида m. д. серия Maclaurin. Теорема 7. За да може функцията f(x) да бъде разширена в степенен ред на интервала (-R, R), е необходимо и достатъчно на този интервал функцията f(x) да има производни от всички порядъци и че в неговата формула на Тейлър остатъчният член Rn(x) клони към нула, както за всички m Необходимост. Нека в интервала (функцията f(x) е разширима в степенна редица, т.е. серията (2) се събира и нейната сума е равна на f(x). Тогава, съгласно теорема 4 и следствието от нея, функцията f(x) има в интервала (-R, R) производни f(n^(x) от всички порядъци. По теорема 5 (формула (2)) коефициентите на реда (2) имат формата, т.е. можем да напишем равенството Поради конвергенцията на този ред в интервала (-R, R ) неговият остатък 0 клони към нула като n oo за всички x Достатъчност Нека функцията f(xr) в интервала (-R, R) има производни на всички порядки и в неговата формула на Тейлър остатъчният член Rn(x) 0 като n oo за всеки x € (-D, R). Тъй като за n -> oo. Тъй като n-тата частична сума на редицата на Тейлър е записана в квадратни скоби, формула (4) означава, че редът на Тейлър на функцията f (x) се събира в интервала (-D , R) и нейната сума е функцията f (x). Достатъчни условия за разширяване на функция в степенните редове, удобни за практическа употреба, се описват със следната теорема: Теорема 8. За да може функцията f(x) да е възможно Достатъчно е да се добави към степенен ред, така че функцията f(x) да има производни от всички порядъци на този интервал и да съществува константа M > 0, така че. Нека функцията f(x) има производни от всички порядъци на интервала (-D, R). Тогава можем формално да напишем реда на Тейлър за него.Нека докажем, че той сходи към функцията f(x). За да направим това, достатъчно е да покажем, че остатъчният член във формулата на Тейлър (1) клони към нула при n oo за всички x € (-A, R). Наистина, предвид това). Числовата серия се сближава по силата на критерия на д'Аламбер: по силата на необходимия критерий за сближаване. От неравенство (3) получаваме! Редица от елементарни функции на Тейлър Помислете за разширения в серия от основни елементарни функции. 6 Тази функция има производни на всички порядъци на интервала (- произволно число, и Следователно, експоненциалната функция ex се разширява в редица на Тейлър на всеки интервал (-a, a) и, следователно, на цялата ос Ox. Тъй като, тогава получаваме серията Ако в разширението (1) заменим x с -a*, тогава имаме Тази функция има производни от всякакъв ред и освен това, съгласно теорема 8, функцията sin x се разширява в редица на Тейлър, сходна към нея на интервала (-oo, +oo). Оттогава този ред има следната форма Радиус на сходимост на реда По същия начин получаваме, че - всяко реално число Тази функция удовлетворява отношението и условието Ще търсим степенен ред, чиято сума 5(g ) удовлетворява съотношението (4) и условието 5(0) = 1. Задаваме От тук намираме. Замествайки отношения (5) и (6) във формула (4), ще имаме Приравняване на коефициентите при еднакви степени на x в лявата и дясната част на равенството, получаваме, от което намираме СТЕНЕН СЕРИЯ Теорема на Абел. Интервал и радиус на сходимост на степенен ред Равномерна сходимост на степенен ред и непрекъснатост на неговата сума Интегриране на степенни редове Диференциране на степенни редове Редица на Тейлър Условия за разширяване на функция в редица на Тейлър от елементарни функции Таблица на разширенията в степен редове (серии на Маклорен) от основни елементарни функции. Замествайки тези стойности на коефициентите във връзка (5), получаваме серията. Нека намерим радиуса на конвергенция на серията (7) в случая, когато a не е естествено число. Имаме И така, ред (7) се събира в. д. на интервала Нека докажем, че сумата 5(x) от редица (7) на интервала (-1,1) е равна на (1 + x)°. За да направите това, разгледайте връзката. Тъй като 5(x) удовлетворява връзката (тогава за производната на функцията φ(x) получаваме: за. Следва, че. По-специално, за x = 0 имаме и следователно, или The получената серия се нарича биномиална, а нейните коефициенти - биномиални коефициенти. Забележка. Ако a е естествено число (o = z"), функцията (1 + z) a ще бъде полином от степен n, а Dn (x) = 0 за всички n > a. Също така отбелязваме, че ако a = -1, ще имаме Замествайки w с -x в последното равенство, получаваме разширение на тази функция в редица на Тейлър по степени на x, интегрираме равенството (9 ) в рамките на o Равенство (11) е валидно в интервала. Можем да докажем, че равенството (11) е валидно и за x = 1: Таблица на разширенията на степенни редове (серии на Маклорен) на основни елементарни функции. на примери как се прави това .Пример 1. Разгънете функцията на 4 в степен p отрова в близост до точката xq = 2, т.е. по степени на разликата z -2. Нека трансформираме тази функция, така че да можем да използваме серия (10) за функцията Имаме. Замяна на x във формула (10) с ^. получаваме I I Това разширение е валидно, когато е изпълнено някое от еквивалентните неравенства Пример 2. Разгънете функцията по степени на x, като използвате формула (10). 4 Разлагайки знаменателя на множители, ние представяме тази рационална функция като разликата на две прости дроби. След прости трансформации получаваме И двата реда (14) и (15) ще се сближат едновременно за \. Тъй като редове (14) и (15) се събират в интервала (-1,1), те могат да се изваждат член по член. В резултат на това получаваме желаната степенна редица, чийто радиус на конвергенция е R = 1. Тази редица се сближава абсолютно за пример 3. Разгънете функцията arcsin x в редицата на Тейлър в околността на точката x0 = 0. 4 Известно е, че Нека приложим към функцията (формула (8). замествайки x с -x2 в нея. В резултат на това за получаваме Интегриране на двете части на последното равенство от нула до x (интегриране член по член). е законен, тъй като степенният ред се събира равномерно на всеки сегмент с краища в точките 0 и x, лежащи в интервала (-1,1)), намираме или По този начин най-накрая получаваме, че Пример 4. Изчислете интеграла (интегрален синус ) , Известно е, че първоизводната за функцията ^ не се изразява чрез елементарни функции. Ние разширяваме интегранта в степенен ред, използвайки факта, че От равенство (16) намираме Забележете, че разделянето на реда (16) на t при t f 0 е законно Равенството (17) също се запазва при, ако приемем, че при t = 0 съотношението - = 1. По този начин серията (17) се сближава за всички стойности Интегрирайки го член по член, получаваме така че грешката при заместването на сумата му с частична сума се оценява лесно. Пример 5. Изчислете интеграла Тук първоизводната за интегранта e също не е елементарна функция. За да изчислим интеграла, заместваме във формулата Получаваме Нека интегрираме двете части на това равенство в диапазона от 0 до x: Тази серия се сближава за всяко r (неговия радиус на сближаване R \u003d + oo) и се редува при Упражнения Намерете област на сближаване на степенни редове: Разгънете следните функции в серия Маклорея и посочете областите на сближаване на получените редове: Индикация. Използвайте таблицата. Използвайки таблицата, разгънете дадените функции в ред на Тейлър по степени на x - x0 и посочете интервалите на сходимост на получения ред.

Елементи на семантичната структура

Семантичната структура на изречението.

(Този въпрос е за самостоятелно проучване!)

Този тип анализ свързва семантичната организация на изречението с неговата формална организация. Тази посока изложи концепцията за семантичната структура на изречението (предимно Н. Ю. Шведова).

Блоковата диаграма има своя собствена семантика, която се създава от формалните стойности на компонентите, правилата за тяхното лексикално съдържание и връзката на компонентите един с друг (в нееднокомпонентни диаграми).

Езиковото значение на конкретно изречение, изградено по един или друг модел, се формира от взаимното действие на семантиката на този модел и лексикалната семантика на онези думи, които са заели позициите на неговите компоненти: Ученикът пише; детето се радва на общата семантика на МСС („връзка между субекта и неговия предикативен признак – действие или процесуално състояние”) в първия случай се представя значението „връзка между субекта и негово конкретно действие”, във втория случай - „връзка между субекта и неговото емоционално състояние“ .

Функционални серии от формата, където (коефициенти на серията) и (център на серията) са константи, променлива, се наричат степенни редове.Ясно е, че ако се научим как да изчисляваме областта на сближаване на степенен ред (с център), тогава можем лесно да намерим областта на сближаване на оригиналния ред. Следователно оттук нататък, освен ако не е посочено друго, ще разгледайте степенните редове на формата.

Теорема на Абел.Ако степенен ред се сближава в точка, то той се сближава абсолютно и в интервала На който и да е сегмент посоченият ред се сближава равномерно.

Доказателство.Тъй като серията се сближава, нейният общ член следователно е ограничен, т.е. има такава константа, че

Нека сега. Тогава ще имаме

Тъй като геометричната прогресия се сближава (), тогава първата теорема за сравнение се сближава и серията Първата част на теоремата е доказана.

Тъй като серията се сближава от това, което е доказано и се мажорира като (вижте) серията, тогава по теоремата на Вайерщрас последната серия се сближава равномерно като , Теоремата е напълно доказана.

От теоремата на Абел следва, че можем да разширяваме интервала, докато дойде моментът, в който серията се разминава в точката (или такъв момент изобщо не настъпва, т.е.). Тогава посоченият интервал ще бъде областта на сходимост на редицата.Така всяка степенна редица има за област на сходимост не произволно множество, а точно интервал. Нека дадем по-точно определение на интервала на конвергенция.

Определение 2.Номерът се нарича радиус на конвергенцияред, ако вътре в интервала този ред се събира абсолютно, а извън сегмента се разминава. В този случай интервалът се извиква интервал на конвергенцияред.

Обърнете внимание, че за , посоченият степенен ред се сближава само в точката и за , той се сближава за всички реални стойности. Следните примери показват, че тези случаи не са изключени: Пример за серия с различен от нула краен радиус на сближаване може да бъде геометрична прогресия Отбележете също, че на границата на интервала на конвергенция степенните редове могат както да се сближават, така и да се разминават. Например, серията условно се събира в точка и се разминава в точка

От свойствата на равномерно сходящите се функционални редове (теореми 1-3) лесно се извеждат следните свойства на степенните редове.

Теорема 4.Нека е радиусът на конвергенция на степенния ред. Тогава се провеждат следните твърдения:

1. Сумата на даден степенен ред е непрекъсната в интервала на сходимост;

2. Ако е радиусът на сходимост на степенния ред, то редът от производни ще има същия радиус на сходимост.От това следва, че степенният ред може да бъде диференциран произволен брой пъти (т.е. неговата сума е безкрайно диференцируема в интервала на конвергенция) и равенството

3. Степенен ред може да бъде интегриран на всеки интервал, лежащ вътре в неговия интервал на сходимост, т.е.

Доказателство, например, първото свойство ще бъде такова. Нека произволна точка от интервала на конвергенция . Нека оградим тази точка със симетричен сегмент. По теоремата на Абел редицата се събира равномерно върху сегмента, така че нейната сума е непрекъсната върху посочения сегмент и следователно непрекъсната, в частност, и в точката Свойство 1 е доказано. Останалите свойства на нашата теорема се доказват по подобен начин.

Сега нека изчислим радиуса на сходимост на степенен ред от неговите коефициенти.

Теорема 4 . Нека е изпълнено поне едно от следните условия:

а) има (краен или безкраен) лимит

б) има (крайна или безкрайна) граница (приема се, че съществува такова число).

Тогава числото е радиусът на конвергенция на серията.

Доказателствоще изпълним за случай а). Нека приложим теста на Коши към модулната серия: Според посочения тест серията се сближава абсолютно, ако числото, т.е. ако Ако, т.е. ако тогава посочените серии се разминават. Следователно, радиусът на конвергенция на серията. Теоремата е доказана.

Забележка 1.Теорема 1-4 може да се пренесе към степенни редове от формата почти без промяна на формулировката (с лека корекция, че в този случай областта на конвергенция е интервал).

Пример 1Намерете областта на сближаване на серията ( задача 10, Т.Р.,Кузнецов Л.А.)

Решение.Прилагаме аналог на а) от теоремата на Коши: радиусът на сходимост на дадена серия. Така че серията се сближава абсолютно в региона

Изследваме сходимостта на серията в краищата на интервала. Ние имаме

се разминава, защото

се разминава, защото

Следователно зоната на сближаване на оригиналната серия е интервалът.

Определение. Функционални серии на формата

където ... са реални числа, се нарича степенен ред.

Областта на абсолютна конвергенция на реда е интервалът , където числото Ре радиусът на конвергенция.

Нека степенните редове имат радиус на сходимост R > 0. Тогава следните твърдения са верни:

1. Сборът на серията е непрекъсната функция на хпрез целия интервал на конвергенция.

2. Серията се събира равномерно на всеки сегмент, където .

3. Сериите могат да бъдат интегрирани термин по член върху всеки интервал, лежащ вътре в интервала .

4. Една серия може да бъде диференцирана термин по термин във всяка точка по всяко време.

Бележки:

1. При интегриране или диференциране на степенен ред член по член се получават нови степенни редове, докато техният радиус на сходимост остава същият.

2. Радиусът на конвергенция на степенна серия може да се намери с помощта на една от формулите:

, (10)

(11)

при наличие на посочените граници е коефициентът на реда.

Задача 17.31

Намерете сумата на редица .

Решение:

Аз начин. Намерете интервала на сходимост на редицата:

, , .

Опростете рационалната дроб , .

Тогава серията може да бъде представена чрез разликата на две серии:

Конвергенцията на всеки от тях остава същата (вижте сами). Така че има равенство. Означаваме сумите на редицата съответно с и , а търсената сума с , .

Нека намерим сумата на първия ред:

Диференцирайки член по член редовете вътре в интервала на сходимост , получаваме: ; е геометрична прогресия със знаменател.

Когато прогресията се сближи, , , и сумата е: ; . Сега, интегрирайки интервала, лежащ вътре в интервала на конвергенция, получаваме:

.

Намерете сумата на втория ред:

Нека направим трансформацията:

Нека обозначим сумата на серията в скоби с и диференцираме в интервала:

Това също е геометрична прогресия.

, , ;

.

Така сумата от оригиналната серия е:

или
за .

II начин. Без да повтаряме подробностите на първия метод, свързани с интервала на сходимост на тази серия, предлагаме втория вариант за решаване на проблема. Нека обозначим сбора на серията с: .

Умножете по този ред: . Разграничете два пъти получените серии:

,

Представлява геометрична прогресия със знаменател , тогава . Нека интегрираме в интервала:

Интегрирайки по части, получаваме:

за .

Задача 18.31

Намерете сумата на редица .

Решение:

Тази серия се събира в интервала (вижте сами). Нека го пренапишем, като го представим като сбор от три реда:

Това е възможно, тъй като всяка от сериите има една и съща област на конвергенция - интервалът. Означаваме сумите на трите серии съответно с , , , а търсената сума с .

като сбор от членовете на геометрична прогресия със знаменател

Нека направим трансформацията:

Означаваме със сумата на серията .

Интегрирайки член по член тази серия на сегмент вътре в интервала на конвергенция, получаваме:

За да намерим, трябва да диференцираме дробта:

.

Следователно, .

Сега нека намерим:

Нека го извадим от скобите:

Означаваме със сумата на серията в скоби. Тогава

В тези скоби има серия, чиято сума се намира: . Получаваме: .

Но , . След това сумата от оригиналната серия

Така, за .

Серия Тейлър

Определение. Редете

се нарича ред на Тейлър по степени на функцията .

Една функция може да бъде разширена в редица на Тейлър, ако има производни на всички порядки в разглежданата точка и ако остатъчният член в точката при клони към нула. Серията Тейлър понякога се нарича серия Маклорен.

Теорема

Ако една функция се разшири в степенен ред, тогава този ред е уникален за нея и е ред на Тейлър.

Забележка. Като се намират последователно производните на функциите и техните стойности в точката, може да се запише серията на Тейлър. Но в същото време изследването на остатъчния срок представлява големи трудности. Затова те често вървят по обратния път: използват готови разширения на основните елементарни функции в степенни редове в комбинация с правилата за събиране, изваждане, умножение на редове и теореми за тяхното интегриране и диференциране, както беше например показани в задачи 17.31 и 18.31.

Задача 19.31

Функция за разширяване в серия на Тейлър по степени на .

Решение:

х 0 = 0. Нека използваме бележката. защото

тогава функцията се опростява, ако приложим метода на неопределените коефициенти:

.

Сумата от членовете на геометрична прогресия със знаменател е: . В нашия случай . е радиусът на сходимост на този ред. срок,

Събирайки редовете, получаваме: или , където е общата област на конвергенция. лежи изцяло в областта на сближаване на реда.

За да изчислим този интеграл с точност до 0,001, трябва да вземем два от членовете му в получената серия (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

По този начин,

Въпроси за самопроверка

Цифрови серии

1. Дайте дефиниции на сходни и дивергентни редове.

2. Формулирайте необходимия критерий за сходимост на редицата.

3. Формулирайте достатъчни признаци за сходимост на редове с положителни членове: сравнение на редове с положителни членове; знак на д'Аламбер; радикален знак на Коши, интегрален знак на Коши.

4. Дефинирайте абсолютно сходящ се ред. Посочете свойствата на абсолютно сходните редове.

5. Формулирайте знака на Лайбниц.

функционални редове

6. Определете областта на конвергенция на функционалната серия.

7. Каква редица се нарича равномерно сходяща се?

8. Формулирайте знака на Вайерщрас.

9. Условия за разлагане на функция в ред на Тейлър.

10. Формулирайте теореми за интегриране и диференциране на степенни редове.

11. Посочете метода за приблизително изчисляване на определени интеграли с помощта на серии.

1. Кудрявцев Л.Д. Кратък курс по математически анализ. – М.: Наука, 1989. – 736 с.

2. Бугров Я.С. Диференциално и интегрално смятане / Ya.S. Бугров, С.М. Николски. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

3. Шмелев П.А. Теория на редовете в задачи и упражнения. - М.: Висше училище, 1983. - 176 с.

4. Пискунов Н.С. Диференциално и интегрално смятане за технически колежи. Т. 2. - М.: Наука, 1985. - 576 с.

5. Фихтенголц Г.М. Курс по диференциално и интегрално смятане. Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962. - 808 с.

6. Запорожец Г.И. Ръководство за решаване на задачи по математически анализ. - М.: Висше училище, 1966. - 460 с.

7. Кузнецов Л.А. Сборник задачи по висша математика (ТР). - М.: Висше училище, 1983. - 174 с.

8. Данко П.Е. Висша математика в упражнения и задачи. Част 2 / P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. - М.: Висше училище, 1986. - 415 с.

9. Бронщайн I.N. Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения / I.N. Бронщайн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

Учебно издание

БородинНиколай Павлович

Воденичен камъкВарвара Викторовна

ШуметоваЛюдмила Викторовна

ШоркинВладимир Сергеевич

РЕДОВЕ

Учебно помагало

Редактор Т.Д. Василиев

Технически редактор T.P. Прокудин

Орловски държавен технически университет

Лиценз № 00670 от 01.05.2000 г

Подписан за печат 26 август 2004 г. Формат 60 х 84 1/16.

Офсетов печат. Уч.-изд. л. 1.9. Реал. фурна л. 2.4. Тираж 500 бр.

Поръчка Номер.____

Отпечатано от готовото оригинално оформление

в печатната база OrelGTU,

302030, Орел, ул. Москва, 65.