За да се реши геометрична задача чрез метода на координатите, е необходима пресечна точка, чиито координати се използват в решението. Възниква ситуация, когато се изисква да се търсят координатите на пресечната точка на две прави в равнината или да се определят координатите на същите линии в пространството. тази статияразглежда случаите на намиране на координатите на точките, в които се пресичат дадените прави.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необходимо е да се определят точките на пресичане на две линии.

Разделът за взаимното разположение на правите в равнина показва, че те могат да съвпадат, да са успоредни, да се пресичат в една обща точка или да се пресичат. Две прави в пространството се наричат ​​пресичащи се, ако имат една обща точка.

Дефиницията на пресечната точка на линиите звучи така:

Определение 1

Точката, в която се пресичат две прави, се нарича тяхната пресечна точка. С други думи, точката на пресичащите се линии е точката на пресичане.

Разгледайте фигурата по-долу.

Преди да намерите координатите на пресечната точка на две линии, е необходимо да разгледате примера по-долу.

Ако на равнината има координатна система O x y, тогава са дадени две прави a и b. Direct a съответства общо уравнениепод формата A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, за права линия b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Тогава M 0 (x 0 , y 0) е някаква точка от равнината, необходимо е да се определи дали точката M 0 ще бъде точката на пресичане на тези прави.

За да разрешите проблема, е необходимо да се придържате към определението. Тогава линиите трябва да се пресичат в точка, чиито координати са решението на дадените уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Това означава, че координатите на пресечната точка се заместват във всички дадени уравнения. Ако те дават правилната идентичност при заместване, тогава M 0 (x 0 , y 0) се счита за тяхната пресечна точка.

Пример 1

Дадени са две пресичащи се прави 5 x - 2 y - 16 = 0 и 2 x - 5 y - 19 = 0 . Точката M 0 с координати (2, - 3) ще бъде пресечната точка.

Решение

За да бъде пресечната точка на прави реална, е необходимо координатите на точката M 0 да удовлетворяват уравненията на правите. Това се проверява чрез замяната им. Разбираме това

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

И двете равенства са верни, което означава, че M 0 (2, - 3) е пресечната точка на дадените прави.

Да изобразим това решениена координатната линия на фигурата по-долу.

Отговор:дадена точкас координати (2, - 3) ще бъде пресечната точка на дадените прави.

Пример 2

Дали правите 5 x + 3 y - 1 = 0 и 7 x - 2 y + 11 = 0 ще се пресичат в точката M 0 (2 , - 3) ?

Решение

За да се реши задачата, е необходимо да се заменят координатите на точката във всички уравнения. Разбираме това

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Второто равенство не е вярно, което означава, че дадената точка не принадлежи на правата 7 x - 2 y + 11 = 0 . Оттук имаме, че точката M 0 не е пресечна точка на прави.

Чертежът ясно показва, че M 0 не е пресечната точка на правите. Те имат обща точка с координати (- 1 , 2) .

Отговор:точката с координати (2, - 3) не е пресечната точка на дадените прави.

Обръщаме се към намирането на координатите на точките на пресичане на две прави, използвайки дадените уравнения на равнината.

Две пресичащи се прави a и b са дадени от уравнения под формата A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, разположени в O x y. Когато обозначаваме пресечната точка M 0, получаваме, че трябва да продължим търсенето на координати съгласно уравненията A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

От дефиницията е очевидно, че M 0 е обща пресечна точка на правите. В този случай неговите координати трябва да отговарят на уравненията A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . С други думи, това е решението на получената система A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Това означава, че за да се намерят координатите на пресечната точка, е необходимо да се добавят всички уравнения към системата и да се реши.

Пример 3

Дадени са две прави x - 9 y + 14 = 0 и 5 x - 2 y - 16 = 0 на равнината. трябва да намерите тяхното пресичане.

Решение

Данните за условието на уравнението трябва да бъдат събрани в система, след което получаваме x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. За да се реши, първото уравнение се разрешава за x, изразът се замества във второто:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Получените числа са координатите, които трябва да бъдат намерени.

Отговор: M 0 (4 , 2) е пресечната точка на правите x - 9 y + 14 = 0 и 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Търсенето на координати се свежда до решаване на система от линейни уравнения. Ако според условието е дадена друга форма на уравнението, то трябва да се приведе до нормалната форма.

Пример 4

Да се ​​определят координатите на пресечните точки на правите x - 5 = y - 4 - 3 и x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Решение

Като начало е необходимо да приведем уравненията в общ вид. Тогава получаваме, че x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R се трансформира по следния начин:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

След това вземаме уравнението в каноничната форма x - 5 = y - 4 - 3 и го трансформираме. Разбираме това

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Следователно имаме, че координатите са пресечната точка

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Нека приложим метода на Cramer, за да намерим координатите:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Отговор: M 0 (- 5 , 1) .

Има друг начин да намерите координатите на пресечната точка на линиите, разположени в равнината. Приложимо е, когато една от линиите е дадена с параметрични уравнения от вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тогава x = x 1 + a x λ и y = y 1 + a y λ се заместват с x, където получаваме λ = λ 0, съответстващо на пресечната точка с координати x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Пример 5

Определете координатите на пресечната точка на правата x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x - 5 = y - 4 - 3 .

Решение

Необходимо е да се извърши заместване в x - 5 \u003d y - 4 - 3 чрез израза x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, тогава получаваме:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

При решаването получаваме, че λ = - 1 . Това означава, че има пресечна точка между правите x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x - 5 = y - 4 - 3 . За да се изчислят координатите, е необходимо да се замени изразът λ = - 1 в параметричното уравнение. Тогава получаваме, че x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Отговор: M 0 (- 5 , 1) .

За да разберете напълно темата, трябва да знаете някои от нюансите.

Първо трябва да разберете местоположението на линиите. Когато се пресекат, ще намерим координатите, в останалите случаи няма да има решение. За да избегнем тази проверка, можем да съставим система от вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ако има решение, заключаваме, че линиите се пресичат. Ако няма решение, значи те са успоредни. Когато системата има безкрайно множестворешения, тогава се казва, че са еднакви.

Пример 6

Дадени са прави x 3 + y - 4 = 1 и y = 4 3 x - 4 . Определете дали имат обща точка.

Решение

Опростявайки дадените уравнения, получаваме 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 и 4 3 x - y - 4 = 0 .

Необходимо е уравненията да се съберат в система за последващо решение:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Това показва, че уравненията се изразяват едно през друго, след което получаваме безкраен брой решения. Тогава уравненията x 3 + y - 4 = 1 и y = 4 3 x - 4 определят една и съща права линия. Следователно няма пресечни точки.

Отговор:дадените уравнения определят една и съща права линия.

Пример 7

Намерете координатите на точката на пресичащите се прави 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 и 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Решение

По условие е възможно линиите да не се пресичат. Напишете система от уравнения и я решете. За решението е необходимо да се използва методът на Гаус, тъй като с негова помощ е възможно да се провери уравнението за съвместимост. Получаваме система от вида:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Получихме грешно равенство, така че системата няма решения. Заключаваме, че правите са успоредни. Няма пресечни точки.

Второто решение.

Първо трябва да определите наличието на пресечната точка на линиите.

n 1 → = (2 , 2 - 3) е нормален вектор на правата 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , тогава векторът n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - нормален векторза права линия 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Необходимо е да се провери колинеарността на векторите n 1 → = (2, 2 - 3) и n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Получаваме равенство от вида 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Правилно е, защото 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . От това следва, че векторите са колинеарни. Това означава, че линиите са успоредни и нямат пресечни точки.

Отговор:няма пресечни точки, линиите са успоредни.

Пример 8

Намерете координатите на пресичане на дадените прави 2 x - 1 = 0 и y = 5 4 x - 2 .

Решение

За да решим, съставяме система от уравнения. Получаваме

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Намерете детерминантата на основната матрица. За това 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Тъй като не е нула, системата има 1 решение. От това следва, че линиите се пресичат. Нека решим системата за намиране на координатите на пресечните точки:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Получихме, че пресечната точка на дадените прави има координати M 0 (1 2 , - 11 8) .

Отговор: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Намиране на координатите на пресечната точка на две прави в пространството

По същия начин се намират пресечните точки на линиите на пространството.

Когато са дадени редове a и b координатна равнинаОколо x y z по уравненията на пресичащите се равнини, тогава има права линия a, която може да се определи с помощта на дадена система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 и права b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Когато точката M 0 е точката на пресичане на правите, тогава нейните координати трябва да бъдат решения на двете уравнения. Получаваме линейни уравнения в системата:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Нека разгледаме такива задачи с примери.

Пример 9

Намерете координатите на пресечната точка на дадените прави x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Решение

Съставяме системата x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 и я решаваме. За да намерите координатите, е необходимо да решите чрез матрицата. Тогава получаваме основната матрица от вида   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 и разширената матрица T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Определяме ранга на матрицата по Гаус.

Разбираме това

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

От това следва, че рангът на разширената матрица е 3. Тогава системата от уравнения x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 води до само едно решение.

Основният минор има детерминанта 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , тогава последното уравнение не пасва. Получаваме, че x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Системно решение x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Така че имаме, че пресечната точка x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 има координати (1 , - 3 , 0) .

Отговор: (1 , - 3 , 0) .

Система от формата A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 има само едно решение. Така че прави a и b се пресичат.

В други случаи уравнението няма решение, т.е. общи точкисъщо. Тоест невъзможно е да се намери точка с координати, тъй като тя не съществува.

Следователно, система от вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 се решава по метода на Гаус. С несъвместимостта си линиите не се пресичат. Ако има безкраен брой решения, значи те съвпадат.

Можете да вземете решение, като изчислите главния и разширения ранг на матрицата и след това приложите теоремата на Кронекер-Капели. Получаваме едно, много или пълна липса на решения.

Пример 10

Дадени са уравнения на правите x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 и x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Намерете пресечната точка.

Решение

Първо, нека настроим система от уравнения. Получаваме, че x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Решаваме го по метода на Гаус:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Очевидно системата няма решения, което означава, че правите не се пресичат. Няма пресечна точка.

Отговор:няма пресечна точка.

Ако линиите са дефинирани с помощта на конични или параметрични уравнения, трябва да доведете до формата на уравнения на пресичащи се равнини и след това да намерите координатите.

Пример 11

Дадени са две прави x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R и x 2 = y - 3 0 = z 5 в O x y z . Намерете пресечната точка.

Решение

Задаваме прави чрез уравненията на две пресичащи се равнини. Разбираме това

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Намираме координатите 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , за това изчисляваме ранговете на матрицата. Рангът на матрицата е 3 и основен минор 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0, което означава, че последното уравнение трябва да бъде изключено от системата. Разбираме това

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Нека решим системата по метода на Крамер. Получаваме, че x = - 2 y = 3 z = - 5 . От тук получаваме, че пресечната точка на дадените прави дава точка с координати (- 2 , 3 , - 5) .

Отговор: (- 2 , 3 , - 5) .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

О-о-о-о-о-о ... е, тенекиен е, сякаш си прочете изречението =) Но тогава релаксът ще помогне, особено след като днес купих подходящи аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.

Взаимно разположение на две прави линии

Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математически знакпресичане, ще се случва много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:

Пример 1

Да открия взаимно споразумениедиректен:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и го следват, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение(по принцип подхожда на всяко число).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачанаказва сурово Славея Разбойника.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете непознатия ред с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "te".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не много рационален начин за решаване. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че помислете за проблем, който ви е добре познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето за вас геометричен смисълсистеми от две линейни уравнения с две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичен начине просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност обмислихме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка по аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Задачата може удобно да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за мнозина геометрични задачи, и ще се съсредоточа върху това многократно.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока:

Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Да започнем с типичен и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверкарешения:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Нашите забавно пътуванепродължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия, а най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще обознача алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, позволявайки ви да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.

Ъгъл между две прави

Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно може да се окаже отрицателен резултати не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за два реда дадени чрез уравненияв общ изглед:

Ако прав не перпендикулярно, тогава ориентиранаъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Повечето внимателно вниманиеобърнете се към знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

Като се използва обратна функциялесно намиране на самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените редовете, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Пресечните точки на оста x трябва да решават уравнението y₁=y₂, т.е. k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Преобразувайте това неравенство, за да получите k₁x-k₂x=b₂-b₁. Сега изразете x: x=(b₂-b₁)/(k1-k₂). Така ще намерите пресечната точка на графиките, която е разположена по оста OX. Намерете пресечната точка на оста y. Просто заменете в която и да е от функциите стойността на x, която сте намерили по-рано.

Предишната опция е подходяща за диаграми. Ако функцията е, използвайте следните инструкции. По същия начин както при линейна функция, намерете стойността x. За да направите това, решете квадратно уравнение. В уравнението 2x² + 2x - 4=0 намерете (уравнението е дадено като пример). За да направите това, използвайте формулата: D= b² - 4ac, където b е стойността преди X и c е числовата стойност.

Заместване числови стойности, получете израз като D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Уравненията зависят от стойността на дискриминанта. Сега добавете или извадете (на свой ред) корена от получения дискриминант към стойността на променливата b със знака „-“ и разделете на двойно произведениекоефициент а. Така че ще намерите корените на уравнението, тоест координатите на пресечните точки.

Функционалните графики имат функция: оста OX ще се пресича два пъти, тоест ще намерите две координати на оста x. Ако получите периодична стойностзависимостта на X от Y, тогава знайте, че графиката се пресича в безкраен брой точки с оста x. Проверете дали сте намерили пресечните точки. За да направите това, заместете стойностите X в уравнението f(x)=0.

източници:

• Намиране на пресечните точки на прави

Ако знаете стойността на a, тогава можете да кажете, че сте решили квадратно уравнение, защото неговите корени ще бъдат намерени много лесно.

Ще имаш нужда

• -формула на дискриминанта на квадратното уравнение;
• - Познаване на таблицата за умножение

Инструкция

Подобни видеа

Полезни съвети

Дискриминантът на квадратно уравнение може да бъде положителен, отрицателен или равен на 0.

източници:

• Решение квадратни уравнения
• дискриминантът е четен

Съвет 3: Как да намерите координатите на пресечните точки на функционална графика

Графиката на функцията y \u003d f (x) е множеството от всички точки в равнината, координатите x, за които те отговарят на връзката y \u003d f (x). Функционална графика визуално илюстрира поведението и свойствата на функция. За да се изгради графика, обикновено се избират няколко стойности на аргумента x и за тях се изчисляват съответните стойности на функцията y=f(x). За по-точно и визуално изграждане на графика е полезно да се намерят нейните пресечни точки с координатните оси.

Инструкция

При пресичане на оста х (ос X) стойността на функцията е 0, т.е. y=f(x)=0. За да изчислите x, трябва да решите уравнението f(x)=0. В случай на функция, получаваме уравнението ax+b=0 и намираме x=-b/a.

Така оста X се пресича в точката (-b/a,0).

В повече трудни случаи, например, в случай на квадратична зависимост на y от x, уравнението f (x) \u003d 0 има два корена, следователно оста x се пресича два пъти. В случай на зависимост на y от x, например y=sin(x), има безкраен брой точки на пресичане с оста x.

За да проверите правилността на намирането на координатите на точките на пресичане на графиката на функцията с оста X, е необходимо да замените намерените стойности на x f (x). Стойността на израза за всеки от изчислените x трябва да бъде равна на 0.

Инструкция

Първо, необходимо е да се обсъди изборът на координатна система, удобна за решаване на проблема. Обикновено при задачи от този вид един от триъгълниците се поставя върху оста 0X, така че една точка да съвпада с началото. Следователно не трябва да се отклонявате от общоприетите канони на решението и да правите същото (вижте фиг. 1). Методът за определяне на самия триъгълник не играе основна роля, тъй като винаги можете да преминете от един от тях към (което можете да видите по-късно).

Нека търсеният триъгълник е даден от два вектора на неговите страни AC и AB a(x1, y1) и b(x2, y2), съответно. Освен това, по конструкция y1=0. Третата страна на BC съответства на c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), според тази илюстрация. Точка А е поставена в началото на координатите, т.е координати A(0, 0). Също така е лесно да се види това координати B (x2, y2), a C (x1, 0). От това можем да заключим, че определението на триъгълник от два вектора автоматично съвпада с неговото определение от три точки.

След това трябва да завършите желания триъгълник до съответстващия му по размер успоредник ABDC. Освен това, че в точката кръстовищадиагонали на успоредника, те се разделят, така че AQ е медианата на триъгълника ABC, спуска се от A към страната BC. Диагоналният вектор s съдържа този и е, по правилото на успоредника, геометрична сумаа и б. Тогава s = a + b и неговото координати s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Същото координатисъщо ще бъде в точка D(x1+x2, y2).

Сега можете да продължите към съставяне на уравнението на права линия, съдържаща s, медианата на AQ и, най-важното, желана точка кръстовищамедиана H. Тъй като самият вектор s е водачът за тази права и точката A (0, 0), принадлежаща на нея, също е известна, най-простото нещо е да се използва уравнението на равнинна линия в каноничната форма: (x -x0) / m =(y-y0)/n Тук (x0, y0) координати произволна точкаправа (точка А(0, 0)), а (m, n) – координати s (вектор (x1+x2, y2). И така, желаната линия l1 ще изглежда така: x/(x1+x2)=y/ y2.

Самият начин да го намерите е на кръстовището. Следователно трябва да се намери още една права линия, съдържаща т.нар.. За това на фиг. 1 построение на друг успоредник АPBC, чийто диагонал g=a+c =g(2x1-x2, -y2) съдържа втората медиана CW, спусната от C към страната AB. Този диагонал съдържа точката C(x1, 0), координатикойто ще играе ролята на (x0, y0), а векторът на посоката тук ще бъде g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). От тук l2 се дава от уравнението: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

AT старите дниОбичах компютърната графика, както 2D, така и 3D, включително математически визуализации. Дето се вика просто за забавление, като студент написах програма, която визуализира N-мерни фигури, въртящи се във всякакви измерения, въпреки че на практика ми беше достатъчно само да определя точките за 4-D хиперкуб. Но това е само намек. Любовта към геометрията ми остана оттогава и до ден днешен и продължавам да обичам да решавам интересни задачиинтересни начини.
Една от тези задачи ми хрумна през 2010 г. Самата задача е доста тривиална: необходимо е да се установи дали два 2-D сегмента се пресичат и ако се пресичат, да се намери точката на тяхното пресичане. По-интересно е решението, което според мен се оказа доста елегантно и което искам да предложа на читателя. Не се преструвам, че съм оригинален в алгоритъма (въпреки че бих искал), но не можах да намеря подобни решения в мрежата.

Задача

Дадени са два сегмента, всеки от които е даден от две точки: (v11, v12), (v21, v22). Необходимо е да се определи дали се пресичат и ако се пресичат, да се намери точката на тяхното пресичане.

Решение

Първо трябва да определите дали сегментите се пресичат. Необходими и достатъчно условиепресичането, което трябва да се наблюдава за двата сегмента, е следното: крайните точки на един от сегментите трябва да лежат в различни полуравнини, ако равнината е разделена от правата, на която лежи вторият от сегментите. Нека демонстрираме това със снимка.

Лявата фигура (1) показва две отсечки, за които условието е изпълнено и отсечките се пресичат. На дясната (2) фигура условието е изпълнено за отсечка b, но за отсечка a не е изпълнено, съответно отсечките не се пресичат.
Може да изглежда, че определянето на коя страна на линията е точката не е тривиална задача, но страхът има големи очи и всичко не е толкова трудно. Знаем, че векторното умножение на два вектора ни дава трети вектор, чиято посока зависи от това дали ъгълът между първия и втория вектор е положителен или отрицателен, съответно такава операция е антикомутативна. Тъй като всички вектори лежат върху X-Y самолети, тогава тяхното векторно произведение (което трябва да е перпендикулярно на умножените вектори) ще има съответно само ненулева компонента Z и разликата в произведенията на векторите ще бъде само в тази компонента. Освен това, когато променяте реда на умножение на векторите (прочетете: ъгъла между умножените вектори), това ще се състои единствено в промяна на знака на този компонент.
Следователно можем да умножим векторно по двойки вектора на разделящия сегмент по векторите, насочени от началото на разделящия сегмент към двете точки на проверявания сегмент.

Ако Z компонентите на двата продукта ще имат различен знак, тогава един от ъглите е по-малък от 0, но по-голям от -180, а вторият е съответно по-голям от 0 и по-малък от 180, точките лежат по различни страниот права линия. Ако Z компонентите на двата продукта имат същия знак, така че те лежат от една и съща страна на линията.
Ако една от Z компонентите е нула, тогава имаме граничен случай, когато точката лежи точно на проверяваната права. Нека оставим на потребителя да реши дали иска да счита това за пресичане.
След това трябва да повторим операцията за друг сегмент и права линия и да се уверим, че местоположението на крайните й точки също отговаря на условието.
Така че, ако всичко е наред и двата сегмента отговарят на условието, тогава пресечната точка съществува. Нека го намерим и векторното произведение също ще ни помогне с това.
Тъй като във векторното произведение имаме само ненулев Z компонент, неговият модул (дължината на вектора) ще бъде числено равен на този конкретен компонент. Нека да видим как да намерим пресечната точка.

Дължината на векторния продукт на векторите a и b (както разбрахме, числено равна на неговия Z компонент) е равна на произведението на модулите на тези вектори и синуса на ъгъла между тях (|a| |b | sin(ab)). Съответно за конфигурацията на фигурата имаме следното: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α) и |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) е перпендикулярът от точка C към сегмента AB, а |AD|sin(β) е перпендикулярът от точка D към сегмента AB (катет ADD"). Тъй като ъглите γ и δ са вертикални ъгли, то те са равни, което означава, че триъгълниците PCC" и PDD" са подобни и съответно дължините на всичките им страни са еднакво пропорционални.
Дадени Z1 (AB x AC, следователно |AB||AC|sin(α)) и Z2 (AB x AD, следователно |AB||AD|sin(β)), можем да изчислим CC"/DD" (което ще е равно на Z1 / Z2), а също така знаейки, че CC "/DD" = CP / DP, можете лесно да изчислите местоположението на точка P. Лично аз го правя така:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

Това е всичко. Струва ми се, че наистина е много семпло и елегантно. В заключение искам да дам функционален код, който изпълнява този алгоритъм. Функцията използва собственоръчно направен шаблонен вектор , който е векторен шаблон на измерение int с компоненти от име на тип. Тези, които желаят, могат лесно да напаснат функцията към собствените си типове вектори.

1 шаблон bool are_crossing(вектор const &v11, вектор const &v12, вектор const &v21, вектор const &v22, вектор *пресичане) 3 ( 4 вектор cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 вектор продукт1, продукт2; 6 7 prod1 = cross(cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross(cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Изрязване на ръбовете също 11 return false; 12 13 prod1 = cross(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Изрязване на ръбовете също 17 return false; 18 19 if(crossing) ( // Проверете дали трябва да определим пресечната точка 20 (*crossing)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z ]- prod1[Z]); 21 (*пресичане)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 ) 23 24 return true; 25)

Урок от поредицата "Геометрични алгоритми"

Здравей скъпи читателю!

Нека продължим да се опознаваме геометрични алгоритми. В последния урок намерихме уравнението на права линия в координатите на две точки. Имаме уравнение от вида:

Днес ще напишем функция, която с помощта на уравненията на две прави линии ще намери координатите на тяхната пресечна точка (ако има такава). За да проверим равенството на реалните числа, ще използваме специалната функция RealEq().

Точките на равнината се описват с двойка реални числа. Когато използвате реалния тип, е по-добре да организирате операциите за сравнение със специални функции.

Причината е известна: в програмната система Pascal няма релация на реда на типа Real, така че записите във формата a = b, където a и b реални числа, по-добре е да не се използва.
Днес ще представим функцията RealEq(), за да реализираме операцията “=” (строго равно):

Функция RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (строго равно) начало RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Задача. Дадени са уравнения на две прави: и . Намерете тяхната пресечна точка.

Решение. Очевидното решение е да се реши системата от уравнения от линии: Нека пренапишем тази система малко по-различно:
(1)

Въвеждаме обозначението: , , . Тук D е детерминантата на системата и са детерминантите, получени чрез замяна на колоната от коефициенти за съответното неизвестно с колона от свободни членове. Ако , то системата (1) е определена, т.е. има единствено решение. Това решение може да се намери по следните формули: , , които се наричат Формули на Крамер. Нека ви напомня как се изчислява детерминантата от втори ред. Детерминантата разграничава два диагонала: основен и вторичен. Главният диагонал се състои от елементи, взети в посока от горния ляв ъгъл на определителя към долния десен ъгъл. Страничен диагонал - от горния десен ъгъл до долния ляв ъгъл. Детерминантът от втори ред е равен на произведението на елементите на главния диагонал минус произведението на елементите на вторичния диагонал.

Кодът използва функцията RealEq(), за да провери за равенство. Изчисленията върху реални числа се правят с точност до _Eps=1e-7.

Програма geom2; Const _Eps: Real=1e-7; (точност на изчислението) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Функция RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (строго равно) начало RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Съставихме програма, с която можете, като знаете уравненията на правите, да намерите координатите на тяхната пресечна точка.