Обобщени еднородни уравнения от втори ред. Обобщено хомогенно уравнение

Щраквайки върху бутона "Изтегляне на архив", вие ще изтеглите безплатно необходимия ви файл.
Преди да изтеглите този файл, запомнете онези добри есета, контролни, курсови работи, дипломни работи, статии и други документи, които не са заявени на вашия компютър. Това е ваша работа, тя трябва да участва в развитието на обществото и да носи полза на хората. Намерете тези произведения и ги изпратете в базата знания.
Ние и всички студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдем много благодарни.

За да изтеглите архив с документ, въведете петцифрен номер в полето по-долу и щракнете върху бутона "Изтегляне на архив"

Подобни документи

Задачи на Коши за диференциални уравнения. Графика на решението на диференциалното уравнение от първи ред. Уравнения с разделими променливи и свеждане до хомогенни. Хомогенни и нехомогенни линейни уравнения от първи ред. Уравнение на Бернули.

лекция, добавена на 18.08.2012

Основни понятия от теорията на обикновените диференциални уравнения. Знак на уравнение в общи диференциали, изграждане на общ интеграл. Най-простите случаи на намиране на интегриращия фактор. Случаят на множител, зависим само от X и само от Y.

курсова работа, добавена на 24.12.2014 г

Особености на диференциалните уравнения като връзки между функции и техните производни. Доказателство на теоремата за съществуване и единственост на решението. Примери и алгоритъм за решаване на уравнения в тотални диференциали. Интегриращ фактор в примери.

курсова работа, добавена на 11.02.2014 г

Диференциални уравнения на Рикати. Общо решение на линейно уравнение. Намиране на всички възможни решения на диференциалното уравнение на Бернули. Решаване на уравнения с разделими променливи. Общи и специални решения на диференциалното уравнение на Клеро.

курсова работа, добавена на 26.01.2015 г

Уравнение с разделими променливи. Хомогенни и линейни диференциални уравнения. Геометрични свойства на интегралните криви. Тотален диференциал на функция на две променливи. Определяне на интеграла по методите на Бернули и вариации на произволна константа.

резюме, добавено на 24.08.2015 г

Понятия и решения на най-простите диференциални уравнения и диференциални уравнения от произволен ред, включително тези с постоянни аналитични коефициенти. Системи линейни уравнения. Асимптотично поведение на решения на някои линейни системи.

дисертация, добавена на 06/10/2010

Общ интеграл на уравнението, приложение на метода на Лагранж за решаване на нееднородно линейно уравнение с неизвестна функция. Решение на диференциално уравнение в параметрична форма. Условие на Ойлер, уравнение от първи ред в общите диференциали.

контролна работа, добавена на 11/02/2011

.
Диференциални уравнения.

§ 1. Основни понятия от обикновените диференциални уравнения.

Определение 1.Обикновено диференциално уравнение н-та поръчка за функцията гаргумент хсе нарича отношение на формата

където Ее дадена функция на своите аргументи. В името на този клас математически уравнения терминът "диференциал" подчертава, че те включват производни
(функции, образувани в резултат на диференциация); терминът - "обикновен" казва, че желаната функция зависи само от един реален аргумент.

Едно обикновено диференциално уравнение може да не съдържа изрично аргумент х, желаната функция
и всяка негова производна, но най-високата производна
трябва да бъдат включени в уравнението н- поръчка. Например

а)
е уравнение от първи ред;

б)
е уравнение от трети ред.

При писане на обикновени диференциални уравнения често се използва нотацията на производни чрез диференциали:

в)
е уравнение от втори ред;

G)
е уравнение от първи ред,

образуване след разделяне на dxеквивалентна форма на уравнението:
.

функция
се нарича решение на обикновено диференциално уравнение, ако, когато се замести в него, се превръща в идентичност.

Например уравнението от 3-ти ред

Има решение
.

Да се намери по един или друг метод, например селекция, една функция, която удовлетворява дадено уравнение, не означава да се реши. Да се реши обикновено диференциално уравнение означава да се намери всичкофункции, които образуват идентичност, когато се заместват в уравнението. За уравнение (1.1) семейството от такива функции се формира с помощта на произволни константи и се нарича общо решение на обикновеното диференциално уравнение нти ред, а броят на константите съвпада с реда на уравнението: г(х) : В този случай решението се нарича общ интеграл на уравнение (1.1).

Например общото решение на диференциалното уравнение
е следният израз: , а вторият член може да бъде записан и като
, тъй като произволна константа разделено на 2 може да бъде заменено с нова произволна константа .

Като зададем някои допустими стойности за всички произволни константи в общото решение или в общия интеграл, получаваме определена функция, която вече не съдържа произволни константи. Тази функция се нарича частно решение или конкретен интеграл на уравнение (1.1). За да се намерят стойностите на произволни константи, а оттам и конкретното решение, се използват различни допълнителни условия към уравнение (1.1). Например, могат да се дадат така наречените начални условия за (1.2).

В десните части на началните условия (1.2) са дадени числените стойности на функцията и производните, а общият брой на началните условия е равен на броя на произволните константи, които се определят.

Проблемът за намиране на определено решение на уравнение (1.1) от началните условия се нарича проблем на Коши.

§ 2. Обикновени диференциални уравнения от 1-ви ред - основни понятия.

Обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред ( н=1) има формата:
или, ако може да се разреши по отношение на производната:
. Общо решение г= г(х,ОТ)или общ интеграл
Уравненията от 1-ви ред съдържат една произволна константа. Единственото начално условие за уравнение от 1-ви ред
ви позволява да определите стойността на константата от общото решение или от общия интеграл. Така ще бъде намерено конкретно решение или, което също е проблемът на Коши, ще бъде решен. Въпросът за съществуването и уникалността на решението на задачата на Коши е един от централните в общата теория на обикновените диференциални уравнения. По-специално за уравнение от първи ред е валидна теоремата, която тук се приема без доказателство.

Теорема 2.1.Ако в уравнението функцията
и неговата частична производна
непрекъснато в някаква област дсамолет XOY, и в тази област е дадена точка
, тогава съществува и, освен това, уникално решение, което удовлетворява както уравнението, така и началното условие
.

Геометрично общото решение на уравнение от 1-ви ред е семейство от криви в равнината XOY, които нямат общи точки и се различават един от друг по един параметър - стойността на константата ° С. Тези криви се наричат интегрални криви за даденото уравнение. Интегралните криви на уравнението имат очевидно геометрично свойство: във всяка точка тангенсът на наклона на допирателната към кривата е равен на стойността на дясната страна на уравнението в тази точка:
. С други думи, уравнението е дадено в равнината XOYполе от посоки на допирателни към интегрални криви. коментар:Трябва да се отбележи, че за уравнението
дадено е уравнението и т. нар. уравнение в симетрична форма
.

§ 3. Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи.

Определение.Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение на формата
(3.1)

или уравнение от вида (3.2)

За да се разделят променливите в уравнение (3.1), т.е. редуцирайте това уравнение до така нареченото уравнение с разделени променливи, изпълнете следните действия:

;

Сега трябва да решим уравнението ж(г)= 0 . Ако има реално решение г= а, тогава г= асъщо ще бъде решение на уравнение (3.1).

Уравнение (3.2) се редуцира до уравнение с отделна променлива чрез разделяне на произведението
:

, което ни позволява да получим общия интеграл на уравнение (3.2):
. (3.3)

Интегралните криви (3.3) ще бъдат допълнени от решенията
ако има такива решения.

Решете уравнението: .

Разделяне на променливи:

Интегрирайки, получаваме

По-нататък от уравненията
и
намирам х=1, г=-1. Тези решения са лични решения.

§ 4. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред.

Определение 1.Уравнение от 1-ви ред се нарича хомогенно, ако за дясната му страна за всяко
съотношението
, наречено условие за хомогенност за функция на две променливи с нулева размерност.

Пример 1Покажете тази функция
- хомогенно нулево измерване.

Решение.

Q.E.D.

Теорема.Всяка функция
е хомогенна и, обратно, всяка хомогенна функция
нулевото измерение се свежда до формата
.

Доказателство.

Първото твърдение на теоремата е очевидно, тъй като
. Нека докажем второто твърдение. Да сложим
, тогава за хомогенна функция
, което трябваше да се докаже.

Определение 2.Уравнение (4.1)

при което Ми нса еднородни функции от еднаква степен, т.е. има собственост за всички , се нарича хомогенна.

Очевидно това уравнение винаги може да се сведе до вида
(4.2) , въпреки че това може да не се направи, за да се реши.

Хомогенното уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване на желаната функция гспоред формулата г= zx, където z(х) е новата желана функция. След като извършим това заместване в уравнение (4.2), получаваме:
или
или
.

Интегрирайки, получаваме общия интеграл на уравнението по отношение на функцията z(х)
, която след многократна смяна
дава общия интеграл на първоначалното уравнение. Освен това, ако - корени на уравнението
, след това функциите
- решения на еднородно дадено уравнение. Ако
, тогава уравнение (4.2) приема формата

и се превръща в уравнение с разделими променливи. Неговите решения са полудиректни:
.

Коментирайте.Понякога е препоръчително вместо горната замяна да използвате замяната х= зи.

§ 5. Диференциални уравнения, свеждащи се до хомогенни.

Разгледайте уравнение на формата
. (5.1)

Ако
, тогава това уравнение е чрез заместване , където и са нови променливи и - някои постоянни числа, определени от системата

Редуцира се до хомогенно уравнение

Ако
, тогава уравнение (5.1) приема формата

Ако приемем z= брадва+ от, достигаме до уравнение, което не съдържа независима променлива.

Разгледайте примери.

Пример 1

Интегриране на уравнение

и подчертайте интегралната крива, минаваща през точките: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Да сложим г= zx. Тогава dy= xdz+ zdxи

Нека го съкратим с и събира членове на dxи дз:

Нека разделим променливите:

.

Интегрирайки, получаваме ;

или
,
.

Замяна тук zна , получаваме общия интеграл на даденото уравнение във вида (5.2)
или

.

Това семейство от кръгове
, чиито центрове лежат на права линия г = хи които в началото са допирателни към правата г + х = 0. Това направог = - х на свой ред конкретно решение на уравнението.

Сега режимът на задачите на Коши:

А) приемайки в общия интеграл х=2, г=2, намирам C=2,така че желаното решение е
.

Б) никоя от окръжностите (5.2) не минава през точката (1;-1). Но полулиния г = - х,
минава през точката и дава желаното решение.

Пример 2Решете уравнението: .

Решение.

Уравнението е частен случай на уравнение (5.1).

Определящо
в този пример
, така че трябва да решим следната система

Решаваме, получаваме това
. Извършване на заместването в даденото уравнение
, получаваме еднородно уравнение. Интегрирането му със заместване
, намираме
.

Връщане към старите променливи хи гформули
, ние имаме .

§ 6. Обобщено хомогенно уравнение.

Уравнението М(х, г) dx+ н(х, г) dy=0 се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число кче лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен мотносително х, г, dxи dyпри условие че хсе счита за стойността на първото измерване, г – кто измерване , dxи dy – нула и (к-1) тия измервания. Например, това би било уравнението
. (6.1)

Валидно при предположението, направено за измерванията

х, г, dxи dyчленове на лявата страна
и dyще има съответно размери -2,2 ки к-един. Приравнявайки ги, получаваме условието, на което трябва да отговаря търсеното число к: -2 = 2к=к-един. Това условие е изпълнено, когато к= -1 (с такива квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

Обобщеното хомогенно уравнение се редуцира до уравнение с разделими променливи с помощта на заместването
, където zе нова неизвестна функция. Нека интегрираме уравнението (6.1) по посочения метод. защото к= -1, тогава
, след което получаваме уравнението .

Интегрирайки го, намираме
, където
. Това е общото решение на уравнение (6.1).

§ 7. Линейни диференциални уравнения от първи ред.

Линейно уравнение от първи ред е уравнение, което е линейно по отношение на желаната функция и нейната производна. Изглежда като:

, (7.1)

където П(х) и Q(х) са дадени непрекъснати функции на х. Ако функцията
, тогава уравнение (7.1) има формата:
(7.2)

и се нарича линейно хомогенно уравнение, иначе
нарича се линейно нехомогенно уравнение.

Линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2) е уравнение с разделими променливи:

(7.3)

Израз (7.3) е общото решение на уравнение (7.2). Да се намери общо решение на уравнение (7.1), в което функцията П(х) обозначава същата функция като в уравнение (7.2), прилагаме метода, наречен метод на вариация на произволна константа и се състои в следното: ще се опитаме да изберем функцията C=C(х) така че общото решение на линейното хомогенно уравнение (7.2) ще бъде решението на нехомогенното линейно уравнение (7.1). Тогава за производната на функция (7.3) получаваме:

Замествайки намерената производна в уравнение (7.1), ще имаме:

или
.

Където
, където е произволна константа. В резултат на това общото решение на нехомогенното линейно уравнение (7.1) ще бъде (7.4)

Първият член в тази формула представлява общото решение (7.3) на линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2), а вторият член във формула (7.4) е частно решение на линейното нехомогенно уравнение (7.1), получено от общото (7.4) ) с
. Нека отделим този важен извод под формата на теорема.

Теорема.Ако е известно едно конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение
, тогава всички останали решения имат формата
, където
е общото решение на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение.

Все пак трябва да се отбележи, че друг метод, понякога наричан метод на Бернули, по-често се използва за решаване на линейно нехомогенно диференциално уравнение от 1-ви ред (7.1). Ще търсим решение на уравнение (7.1) във формата
. Тогава
. Заместваме намереното производно в оригиналното уравнение:
.

Нека комбинираме, например, втория и третия член на последния израз и извадим функцията u(х) за скоби:
(7.5)

Изискваме скобите да изчезнат:
.

Решаваме това уравнение, като задаваме произволна константа ° Сравно на нула:
. С намерена функция v(х) обратно към уравнение (7.5):
.

Решавайки го, получаваме:
.

Следователно общото решение на уравнение (7.1) има формата:

§ 8. Уравнение на Бернули.

Определение.

Диференциално уравнение на формата
, където
, се нарича уравнение на Бернули.

Ако приемем, че
, разделяме двете страни на уравнението на Бернули на . В резултат на това получаваме:
(8.1)

Представяме нова функция
. Тогава
. Умножаваме уравнение (8.1) по
и го предайте на функцията z(х) :
, т.е. за функция z(х) получи линейно нехомогенно уравнение от 1-ви ред. Това уравнение се решава с методите, обсъдени в предишния параграф. Нека вместо да заместим в общото му решение z(х) изразяване
, получаваме общия интеграл на уравнението на Бернули, който лесно се решава по отношение на г. При
се добавя разтвор г(х)=0 . Уравнението на Бернули също може да бъде решено, без да се прави преход към линейно уравнение чрез заместване
, и прилагане на метода на Бернули, разгледан подробно в § 7. Помислете за приложението на този метод за решаване на уравнението на Бернули, като използвате конкретен пример.

Пример.Намерете общото решение на уравнението:
(8.2)

Решение.

Следователно общото решение на това уравнение има формата:
, г(х)=0.

§ 9. Диференциални уравнения в тоталните диференциали.

Определение.Ако в уравнението М(х, г) dx+ н(х, г) dy=0 (9.1) лявата страна е общият диференциал на някаква функция U(х, г) , тогава се нарича уравнение в общите диференциали. Това уравнение може да се пренапише като ду(х, г)=0 , следователно неговият общ интеграл е u(х, г)= ° С.

Например уравнението xdy+ ydx=0 е уравнение в общи диференциали, тъй като може да бъде пренаписано във формата д(xy)=0. Общият интеграл ще бъде xy= ° Се произволна диференцируема функция. Диференцираме (9.3) по отношение на u
§ 10. Интегриращ фактор.

Ако уравнението М(х, г) dx + н(х, г) dy = 0 не е уравнение в общите диференциали и има функция µ = µ(х, г) , така че след като умножим двете страни на уравнението по него, получаваме уравнението

µ(Mdx + Ndy) = 0в общи диференциали, т.е. µ(Mdx + Ndy)ду, след това функцията µ(х, г) се нарича интегриращ фактор на уравнението. В случай, че уравнението вече е уравнение в общите диференциали, приемаме µ = 1.

Ако се намери интегриращ фактор µ , тогава интегрирането на това уравнение се свежда до умножаване на двете му части по µ и намиране на общия интеграл на полученото уравнение в общи диференциали.

Ако µ е непрекъснато диференцируема функция на хи г, тогава
.

От това следва, че интегриращият фактор µ удовлетворява следния PDE от първи ред:

(10.1).

Ако предварително се знае, че µ= µ(ω) , където ω е дадена функция от хи г, тогава уравнение (10.1) се свежда до обикновено (и освен това линейно) уравнение с неизвестна функция µ от независимата променлива ω :

(10.2),

където
, т.е. дробта е функция само на ω .

Решавайки уравнение (10.2), намираме интегриращия фактор

, с = 1.

По-специално, уравнението М(х, г) dx + н(х, г) dy = 0 има интегриращ фактор, който зависи само от х(ω = х) или само от г(ω = г), ако са изпълнени съответно следните условия:

,
.

деф 1 тип контрол

Наречен хомогенно диференциално уравнение от първи ред(ODE).

Th1 Нека за функцията са изпълнени следните условия:

1) непрекъснато при

Тогава ODE (1) има общ интеграл, който за се дава по формулата:

където е някаква първоизводна на функцията се произволна константа.

Забележка 1Ако за някои условието е изпълнено, тогава в процеса на решаване на ODE (1) решенията на формата могат да бъдат загубени; такива случаи трябва да се третират по-внимателно и всеки от тях трябва да се проверява отделно.

Така от теоремата Th1Трябва общ алгоритъм за решаване на ODE (1):

1) Направете замяна:

2) Така ще се получи DE с разделими променливи, които трябва да бъдат интегрирани;

3) Връщане към старите g променливи;

4) Проверете стойностите за тяхното участие в решението оригинално дистанционно, при което условието

5) Запишете отговора.

Пример 1Решете DE (4).

Решение: DE (4) е хомогенно диференциално уравнение, тъй като има формата (1). Нека направим замяната (3), това ще доведе уравнението (4) до формата:

Уравнение (5) е общият интеграл на DE (4).

Обърнете внимание, че при разделяне на променливи и деление на могат да бъдат загубени решения, но това не е решение на DE (4), което лесно се проверява чрез директно заместване в равенство (4), тъй като тази стойност не е включена в областта на дефиницията на оригиналния DE.

Отговор:

Забележка 2Понякога човек може да напише ODE по отношение на диференциали на променливи хи г.Препоръчително е да преминете от тази нотация DE към израза чрез производната и едва след това да извършите замяната (3).

Свеждане на диференциални уравнения към хомогенни.

дефиниция 2 Функцията се извиква хомогенна функция от степен k в района на, за които ще бъде изпълнено равенството:

Ето най-често срещаните видове DE, които могат да бъдат редуцирани до формата (1) след различни трансформации.

1) къде е функцията е хомогенна, нулева степен, тоест вярно е следното равенство: DE (6) може лесно да се редуцира до формата (1), ако поставим , което допълнително се интегрира с помощта на замяната (3).

2) (7), където функциите са еднородни от еднаква степен к . DE на формуляра (7) също се интегрира с помощта на промяната (3).

Пример 2Решете DE (8).

Решение:Нека покажем, че DE (8) е хомогенен. Разделяме на възможното, тъй като то не е решение на диференциалното уравнение (8).

Нека направим замяната (3), това ще доведе уравнението (9) до формата:

Уравнение (10) е общият интеграл на DE (8).

Имайте предвид, че при разделяне на променливи и деление на , решенията, съответстващи на стойностите на и могат да бъдат загубени. Нека проверим тези изрази. Нека ги заместим в DE (8):

Отговор:

Интересно е да се отбележи, че при решаването на този пример се появява функция, наречена "знак" на числото х(Прочети " signum x“), определен от израза:

Забележка 3Не е необходимо да се привежда DE (6) или (7) във формата (1), ако е очевидно, че DE е хомогенен, тогава е възможно незабавно да се замени

3) DE на формата (11) се интегрира като ODE, ако , докато първоначално се извършва заместването:

(12), където е решението на системата: (13) и след това използвайте замяната (3) за функцията След получаване на общия интеграл се върнете към променливите хи при.

Ако , тогава, приемайки в уравнение (11), получаваме DE с разделими променливи.

Пример 3Решете проблема на Коши (14).

Решение:Нека покажем, че DE (14) се редуцира до хомогенен DE и се интегрира съгласно горната схема:

Нека решим нехомогенната система от линейни алгебрични уравнения (15) по метода на Крамер:

Правим промяна на променливите и интегрираме полученото уравнение:

(16) – Общ интеграл на DE (14). При разделяне на променливи решенията могат да бъдат загубени при разделяне на израз, който може да бъде получен изрично след решаване на квадратно уравнение. Те обаче се вземат предвид в общия интеграл (16) при

Нека намерим решение на проблема на Коши: заместваме стойностите на и в общия интеграл (16) и намираме с.

Така частичният интеграл ще бъде даден по формулата:

Отговор:

4) Възможно е да доведем някои DE до хомогенни за нова, все още неизвестна функция, ако приложим заместване на формата:

В същото време броят мсе избира от условието, че полученото уравнение, ако е възможно, става хомогенно до известна степен. Ако обаче това не може да се направи, тогава разглежданият DE не може да бъде сведен до хомогенен по този начин.

Пример 4Решете DU. (осемнадесет)

Решение:Нека покажем, че DE (18) се редуцира до хомогенен DE с помощта на заместване (17) и след това се интегрира с помощта на заместване (3):

Да намерим с:

Така конкретно решение на DE (24) има формата

Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи.

Определение.Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата (3.1) или уравнение от формата (3.2)

За да се разделят променливите в уравнение (3.1), т.е. редуцирайте това уравнение до така нареченото уравнение с разделени променливи, изпълнете следните действия: ;

Сега трябва да решим уравнението g(y)=0. Ако има реално решение y=a,тогава y=aсъщо ще бъде решение на уравнение (3.1).

Уравнение (3.2) се свежда до уравнение с разделени променливи чрез разделяне на произведението:

, което ни позволява да получим общия интеграл на уравнение (3.2): . (3.3)

Интегралните криви (3.3) ще бъдат допълнени от решенията ако има такива решения.

Хомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред.

Определение 1.Уравнение от 1-ви ред се нарича хомогенно, ако отношението , наречено условие за хомогенност за функция на две променливи с нулева размерност.

Пример 1Покажете, че функцията е хомогенна с нулева размерност.

Решение. ,

Q.E.D.

Теорема.Всяка функция е хомогенна и, обратно, всяка хомогенна функция с нулева размерност се свежда до формата .

Доказателство.Първото твърдение на теоремата е очевидно, тъй като . Нека докажем второто твърдение. Нека , тогава за хомогенна функция , което трябваше да се докаже.

Определение 2.Уравнение (4.1), в което Ми нса еднородни функции от еднаква степен, т.е. имат свойството за всички , се нарича хомогенен. Очевидно това уравнение винаги може да се сведе до формата (4.2), въпреки че това може да не се направи, за да се реши. Хомогенното уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване на желаната функция гспоред формулата y=zx,където z(x)е новата желана функция. След като извършим това заместване в уравнение (4.2), получаваме: или или .

Интегрирайки, получаваме общия интеграл на уравнението по отношение на функцията z(x) , което след многократна замяна дава общия интеграл на първоначалното уравнение. Освен това, ако са корените на уравнението , тогава функциите са решения на дадено хомогенно уравнение. Ако , тогава уравнение (4.2) приема формата

И става уравнение с разделими променливи. Решенията му са полуправи: .

Коментирайте.Понякога е препоръчително вместо горната замяна да използвате замяната x=zy.

Обобщено хомогенно уравнение.

Уравнението M(x,y)dx+N(x,y)dy=0се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число кче лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен мотносително x, y, dxи dyпри условие че хсе счита за стойността на първото измерване, г – к-то измерване , dxи ди-нула и (к-1)тия измервания. Например, това би било уравнението . (6.1) Действително, при предположението, направено за измерванията x, y, dxи dyчленове на лявата страна и dyще има съответно размери -2,2 ки к-един. Приравнявайки ги, получаваме условието, на което трябва да отговаря търсеното число к: -2 = 2к=к-един. Това условие е изпълнено, когато к= -1 (с такива квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

Уравнението М(х, г) dx+ н(х, г) dy=0 се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число кче лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен м относително х, г, dx и dy при условие че х се счита за стойността на първото измерване, г – к‑ то измерване , dx и dy – нула и (к-1) тия измервания. Например, това би било уравнението. (6.1)

Валидно при предположението, направено за измерванията

х, г, dx и dy членове на лявата страна
и dy ще има съответно размери -2,2 ки к-един. Приравнявайки ги, получаваме условието, на което трябва да отговаря търсеното число к: -2 = 2к = к-един. Това условие е изпълнено, когато к = -1 (с такива квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

Обобщеното хомогенно уравнение се редуцира до уравнение с разделими променливи с помощта на заместването
, където zе нова неизвестна функция. Нека интегрираме уравнението (6.1) по посочения метод. защото к = -1, тогава
, след което получаваме уравнението.