Много кратка история на решаването на квадратни уравнения. Квадратни уравнения в ал-Хорезми

От историята на появата на квадратни уравнения

Алгебрата възниква във връзка с решаването на различни проблеми с помощта на уравнения. Обикновено при задачи се изисква да се намерят едно или няколко неизвестни, като се знаят резултатите от някои действия, извършени върху желаните и дадени количества. Такива задачи се свеждат до решаване на едно или система от няколко уравнения, до намиране на желаните с помощта на алгебрични операции върху дадени количества. Алгебрата изучава общите свойства на действията върху количествата.

Някои алгебрични техники за решаване на линейни и квадратни уравнения са били известни още преди 4000 години в древен Вавилон.

Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика. Вавилонците са знаели как да решават квадратни уравнения около 2000 г. пр.н.е. Прилагайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, освен непълни, такива, например, пълни квадратни уравнения:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, дават само задачи с решения, посочени под формата на рецепти, без индикация как са намерени. Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично изложение на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез съставяне на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Задача 2. „Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96.“

Диофант аргументира следното: от условието на задачата следва, че желаните числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им би било равно не на 96, а на 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от тяхната сума, т.е. .10 + x. Другият е по-малък, т.е. 10 - x. Разликата между тях е 2х. Следователно уравнението:

(10+x)(10-x)=96,

Следователно x = 2. Едно от желаните числа е 12, другото е 8. Решението x = - 2 за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от неизвестните числа като неизвестно, тогава можем да стигнем до решението на уравнението:

Ясно е, че Диофант опростява решението, като избира полуразликата на желаните числа като неизвестно; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение.

Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения вече се намират в астрономическия трактат Aryabhattam, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

ax2 + bx = c, a>

В уравнение (1) коефициентите могат да бъдат отрицателни. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В Индия публичните състезания за решаване на трудни проблеми са често срещани. В една от старите индийски книги за подобни състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така и ученият човек ще засенчи славата на публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи.“ Задачите често бяха облечени в поетична форма.

Ето един от проблемите на известния индийски математик от XII век. Бхаскара.

Решението на Бхаскара показва, че авторът е бил наясно с двузначността на корените на квадратните уравнения.

Уравнението, съответстващо на задача 3, е:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

и за да завърши лявата страна на това уравнение на квадрат, той добавя 322 към двете страни, получавайки след това:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Квадратните уравнения на Ал-Хорезми

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. ax2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. брадва \u003d c.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените са равни на число“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговото решение, разбира се, не съвпада напълно с нашето. Да не говорим за факта, че е чисто реторичен, трябва да се отбележи, например, че когато решава непълно квадратно уравнение от първи тип, Ал-Хорезми, както всички математици преди 17 век, не взема предвид нулата решение, вероятно защото в конкретни практически задачи това няма значение. При решаването на пълни квадратни уравнения Ал-Хорезми излага правилата за решаването им, като използва конкретни числени примери и след това техните геометрични доказателства.

Да вземем пример.

Задача 4. „Квадратът и числото 21 са равни на корен 10. Намерете корена ”(подразбира се коренът на уравнението x2 + 21 \u003d 10x).

Решение: Разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, остава 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5, получавате 3, това ще бъде желания корен. Или добавете 2 към 5, което ще даде 7, това също е корен.

Трактатът на Ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично е представена класификацията на квадратните уравнения и са дадени формули за тяхното решаване.

Квадратни уравнения в ЕвропаXII- XVIIв.

Формите за решаване на квадратни уравнения по модела на Ал-Хорезми в Европа са описани за първи път в „Книгата на абака“, написана през 1202 г. Италианският математик Леонард Фибоначи. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и е първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа.

Тази книга допринесе за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от тази книга са пренесени в почти всички европейски учебници от 14-17 век. Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма x2 + bx = c с всички възможни комбинации от знаци и коефициенти b, c, е формулирано в Европа през 1544 г. от M. Stiefel.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. благодарение на трудовете на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма ..

Произходът на алгебричните методи за решаване на практически проблеми е свързан с науката на древния свят. Както е известно от историята на математиката, значителна част от задачите с математическо естество, решени от египетските, шумерските, вавилонските писари-компютри (XX-VI в. пр. н. е.), са имали изчислителен характер. Но дори и тогава от време на време възникваха проблеми, при които желаната стойност на дадена величина се задаваше от някакви косвени условия, изискващи от нашата съвременна гледна точка формулирането на уравнение или система от уравнения. Първоначално за решаване на такива задачи са използвани аритметични методи. По-късно започнаха да се формират наченки на алгебрични представяния. Например вавилонските калкулатори успяха да решат проблеми, които от гледна точка на съвременната класификация се свеждат до уравнения от втора степен. Създаден е метод за решаване на текстови задачи, който по-късно послужи като основа за подчертаване на алгебричния компонент и неговото самостоятелно изследване.

Това изследване вече е извършено в друга епоха, първо от арабски математици (VI-X в. сл. Хр.), които открояват характерни действия, чрез които уравненията се редуцират до стандартна форма, редуциране на подобни членове, прехвърляне на термини от една част на уравнение към друго с промяна на знака. И тогава от европейските математици от Ренесанса, в резултат на дълго търсене, те създават езика на съвременната алгебра, използването на букви, въвеждането на символи за аритметични операции, скоби и т.н. В началото на 16-ти - 17 век. Алгебрата като специфична част от математиката, която има свой предмет, метод, области на приложение, вече е формирана. Нейното по-нататъшно развитие до наше време се състоеше в усъвършенстване на методите, разширяване на обхвата на приложенията, изясняване на понятията и техните връзки с понятията на други клонове на математиката.

И така, с оглед на важността и необятността на материала, свързан с понятието уравнение, неговото изучаване в съвременната методика на математиката се свързва с три основни области на неговото възникване и функциониране.

За да решите всяко квадратно уравнение, трябва да знаете:

формулата за намиране на дискриминанта;

формулата за намиране на корените на квадратно уравнение;

· Алгоритми за решаване на уравнения от този тип.

решаване на непълни квадратни уравнения;

решаване на пълни квадратни уравнения;

решават зададените квадратни уравнения;

намират грешки в решените уравнения и ги коригират;

Направете проверка.

Решението на всяко уравнение се състои от две основни части:

преобразуване на това уравнение в най-простите;

решаване на уравнения по известни правила, формули или алгоритми.

Обобщаването на методите на дейност на учениците при решаване на квадратни уравнения става постепенно. При изучаването на темата "Квадратни уравнения" могат да се разграничат следните етапи:

I етап - "Решаване на непълни квадратни уравнения."

II етап – „Решаване на пълни квадратни уравнения“.

III етап – „Решаване на редуцирани квадратни уравнения”.

На първия етап се разглеждат непълните квадратни уравнения. Тъй като в началото математиците се научиха да решават непълни квадратни уравнения, тъй като за това не трябваше, както се казва, да измислят нищо. Това са уравнения във вида: ax2 = 0, ax2 + c = 0, където c≠ 0, ax2 + bx = 0, където b ≠ 0. Разгледайте решението на няколко от тези уравнения:

1. Ако ax2 = 0. Уравнения от този тип се решават по алгоритъма:

1) намерете x2;

2) намерете x.

Например 5x2 = 0 . Разделяйки двете страни на уравнението на 5, се оказва: x2 = 0, следователно x = 0.

2. Ако ax2 + c = 0, c≠ 0 Уравнения от този тип се решават съгласно алгоритъма:

1) преместете условията от дясната страна;

2) намерете всички числа, чиито квадрати са равни на числото c.

Например x2 - 5 = 0. Това уравнение е еквивалентно на уравнението x2 = 5. Следователно трябва да намерите всички числа, чиито квадрати са равни на числото 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> и няма други корени.

3. Ако ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравненията от този вид се решават по алгоритъма:

1) преместете общия множител извън скоби;

2) намерете x1, x2.

Например x2 - 3x \u003d 0. Нека пренапишем уравнението x2 - 3x \u003d 0 във формата x (x - 3) \u003d 0. Това уравнение очевидно има корени x1 = 0, x2 \u003d 3. То няма други корени, защото ако замените всяко число, различно от нула и 3 вместо x, тогава от лявата страна на уравнението x (x - 3) \u003d 0 получавате число, което не е равно на нула.

И така, тези примери показват как се решават непълни квадратни уравнения:

1) ако уравнението има формата ax2 = 0, то има един корен x = 0;

2) ако уравнението има формата ax2 + bx = 0, тогава се използва методът на факторизиране: x (ax + b) = 0; така че или x = 0, или ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> В случай -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, т.е. - = m, където m>0, уравнението x2 = m има два корена

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (в този случай е разрешена по-кратка нотация =.

Така че едно непълно квадратно уравнение може да има два корена, един корен, без корени.

На втория етап се извършва преходът към решението на пълното квадратно уравнение. Това са уравнения във вида ax2 + bx + c = 0, където a, b, c са дадени числа, a ≠ 0, x е неизвестното.

Всяко пълно квадратно уравнение може да бъде преобразувано във формата , за да се определи броят на корените на квадратно уравнение и да се намерят тези корени. Разглеждат се следните случаи на решаване на пълни квадратни уравнения: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Ако Д< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Например 2x2 + 4x + 7 = 0. Решение: тук a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Тъй като Д< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Ако D \u003d 0, тогава квадратното уравнение ax2 + bx + c \u003d 0 има един корен, който се намира по формулата.

Например 4x - 20x + 25 = 0. Решение: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 \u003d 400 - 400 \u003d 0.

Тъй като D = 0, това уравнение има един корен. Този корен се намира с помощта на формулата ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Съставен е алгоритъм за решаване на уравнение от вида ax2 + bx + c = 0.

1. Изчислете дискриминанта D по формулата D = b2 - 4ac.

2. Ако Д< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Ако D = 0, то квадратното уравнение има един корен, който се намира по формулата

4..gif" width="101" height="45">.

Този алгоритъм е универсален, приложим е както за непълни, така и за пълни квадратни уравнения. Непълните квадратни уравнения обаче обикновено не се решават с този алгоритъм.

Математиците са практични, икономични хора, затова използват формулата: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> със същия знак като D..gif" width="89" height="49"> тогава уравнение (3) има два корена;

2) ако тогава уравнението има два съвпадащи корена;

3) ако тогава уравнението няма корени.

Важен момент в изучаването на квадратните уравнения е разглеждането на теоремата на Виета, която посочва съществуването на връзка между корените и коефициентите на редуцираното квадратно уравнение.

Теорема на Виета. Сборът от корените на даденото квадратно уравнение е равен на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

С други думи, ако x1 и x2 са корените на уравнението x2 + px + q = 0, тогава

Тези формули се наричат формули на Vieta в чест на френския математик Ф. Vieta (), който въведе система от алгебрични символи, разработи основите на елементарната алгебра. Той беше един от първите, които започнаха да обозначават числата с букви, което значително разви теорията на уравненията.

Например горното уравнение x2 - 7x +10 \u003d 0 има корени 2 и 5. Сумата от корените е 7, а произведението е 10. Вижда се, че сумата от корените е равна на втория коефициент , взети с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

Има и теорема, обратна на теоремата на Виета.

Теорема, обратна на теоремата на Виета. Ако формули (5) са валидни за числата x1, x2, p, q, то x1 и x2 са корените на уравнението x2 + px + q = 0.

Теоремата на Виета и нейната обратна теорема често се използват при решаването на различни задачи.

Например. Да напишем даденото квадратно уравнение, чиито корени са числата 1 и -3.

По формулите на Виета

– p = x1 + x2 = - 2,

Следователно желаното уравнение има формата x2 + 2x - 3 = 0.

Сложността на овладяването на теоремата на Vieta е свързана с няколко обстоятелства. На първо място е необходимо да се вземе предвид разликата между директните и обратните теореми. В директната теорема на Виета са дадени квадратно уравнение и неговите корени; в обратното има само две числа и квадратното уравнение се появява в края на теоремата. Студентите често правят грешката да обосновават разсъжденията си с неправилно позоваване на пряката или обратната теорема на Виета.

Например, когато намирате корените на квадратно уравнение чрез селекция, трябва да се обърнете към обратната теорема на Vieta, а не към директната, както често правят учениците. За да разширим теоремите на Vieta за случая на нулев дискриминант, трябва да се съгласим, че в този случай квадратното уравнение има два равни корена. Удобството на такова споразумение се проявява в факторизацията на квадратния тричлен.

Все още няма HTML версия на произведението.

Подобни документи

Историята на развитието на формулите за корените на квадратните уравнения. Квадратни уравнения в древен Вавилон. Решение на квадратни уравнения от Диофант. Квадратни уравнения в Индия, Хорезмия и Европа през 13-17 век. Теорема на Виета, съвременна алгебрична нотация.

тест, добавен на 27.11.2010 г

История на квадратните уравнения: Уравнения в древен Вавилон и Индия. Формули за четен коефициент при x. Квадратни уравнения от частно естество. Теорема на Виета за полиноми от по-високи степени. Изучаване на биквадратни уравнения. Същността на формулата на Кордано.

резюме, добавено на 05/09/2009

Извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение в историята на математиката. Сравнителен анализ на технологиите на различни методи за решаване на уравнения от втора степен, примери за тяхното приложение. Кратка теория за решаване на квадратни уравнения, съставяне на проблемна книга.

резюме, добавено на 18.12.2012 г

Значението на математиката в нашия живот. Историята на акаунта. Развитието на методите на изчислителната математика в момента. Използването на математиката в други науки, ролята на математическото моделиране. Състоянието на математическото образование в Русия.

статия, добавена на 01/05/2010

Гръцка математика. Средновековие и Ренесанс. Началото на съвременната математика. Съвременна математика. Математиката се основава не на логиката, а на здравата интуиция. Проблемите на основите на математиката са философски.

резюме, добавено на 09/06/2006

Историята на развитието на математическата наука в Европа през 6-14 век, нейните представители и постижения. Развитието на математиката през Възраждането. Създаване на буквално смятане, дейност на Франсоа Виета. Подобрения в изчислителната техника в края на 16-ти - началото на 16-ти век

презентация, добавена на 20.09.2015 г

Преглед на развитието на европейската математика през XVII-XVIII век. Неравномерно развитие на европейската наука. Аналитична геометрия. Създаване на математически анализ. Научната школа на Лайбниц. Обща характеристика на науката през XVIII век. Насоки на развитие на математиката.

презентация, добавена на 20.09.2015 г

Периодът на зараждане на математиката (до 7-5 век пр.н.е.). Времето на математиката на константите (7-5 в. пр. н. е. - XVII в. сл. н. е.). Математика на променливите (XVII-XIX век). Модерен период на развитие на математиката. Характеристики на компютърната математика.

презентация, добавена на 20.09.2015 г

Постиженията на древногръцките математици, живели между 6 век пр.н.е. и 5 век от н.е. Характеристики на началния период на развитие на математиката. Ролята на Питагорейската школа в развитието на математиката: Платон, Евдокс, Зенон, Демокрит, Евклид, Архимед, Аполоний.

тест, добавен на 17.09.2010 г

Историята на формирането на математиката като наука. Период на елементарна математика. Периодът на създаване на математиката на променливите. Създаване на аналитична геометрия, диференциално и интегрално смятане. Развитието на математиката в Русия през XVIII-XIX век.

Изследователска работа

По темата

"Методи за решаване на квадратни уравнения"

Изпълнено:
група 8 "Г" клас

Работен ръководител:
Бенковская Мария Михайловна

Цели и задачи на проекта.

1. Покажете, че математиката, както всяка друга наука, има достатъчно неразгадани мистерии.
2. Подчертайте, че математиците се отличават с нестандартно мислене. А понякога изобретателността и интуицията на добрия математик са просто възхитителни!
3. Покажете, че самият опит за решаване на квадратни уравнения е допринесъл за развитието на нови концепции и идеи в математиката.
4. Научете се да работите с различни източници на информация.
5. Продължете изследователската работа по математика

Етапи на изследване

1. Историята на появата на квадратни уравнения.

2. Дефиниция на квадратно уравнение и неговите видове.

3. Решаване на квадратни уравнения по дискриминантната формула.

4. Франсоа Виет и неговата теорема.

5. Свойства на коефициентите за бързо намиране на корените на квадратно уравнение.

6. Практическа насоченост.

Чрез уравнения, теореми

Решил съм много проблеми.

(Чосър, английски поет, Средновековие.)

сцена. Историята на появата на квадратни уравнения.

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен, дори в древни времена, е причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и с развитието на самата астрономия и математика.

Вавилонците са успели да решават квадратни уравнения около 2000 г. пр.н.е. Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, по същество съвпада със съвременните, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, дават само задачи с решения, посочени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез формулиране на уравнения от различни степени, но не съдържа систематично представяне на алгебрата.

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическите трактати "Арябхатиам", съставени през 499 г. индийски математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът има 6 вида уравнения. За ал-Хорезми, който не познаваше отрицателните числа, членовете на всяко уравнение са събираеми, а не изваждания. В същото време уравненията, които нямат положителни решения, умишлено не се вземат предвид; при решаването на непълно квадратно уравнение ал-Хорезми, както всички учени преди 17 век, не взема предвид нулевото решение.

Трактатът на ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично са представени класификацията на квадратните уравнения и формулите за тяхното решаване.

Формулите за решаване на квадратни уравнения по модела на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в Книгата на абака, написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Този обемист труд се отличава със своята пълнота и яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични методи за решаване на задачи и пръв в Европа се приближава към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от Книгата на абака са преминали в почти всички европейски учебници от 16-17 и отчасти 18 век.

Общо правило за решаване на квадратни уравнения, приведени до единична канонична форма с всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b,c е формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век, които вземат предвид не само положителните, но и отрицателните корени. Едва през 17 век, благодарение на трудовете на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

ОКАЗА СЕ:

Задачи за квадратни уравнения се срещат още през 499 г.

В древна Индия публичните състезания по решаване на трудни задачи са често срещани - ОЛИМПИАДИ .

©2015-2019 сайт
Всички права принадлежат на техните автори. Този сайт не претендира за авторство, но предоставя безплатно използване.
Дата на създаване на страницата: 2016-04-11

Копьевская селска гимназия

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с.Копиево, 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решават около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Прилагайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, освен непълни, такива, например, пълни квадратни уравнения:

х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Когато съставя уравнения, Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Задача 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Диофант аргументира следното: от условието на задачата следва, че желаните числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им нямаше да бъде 96, а 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от тяхното сума, т.е. 10+x, другият е по-малък, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x .

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от желаните числа е 12 , друго 8 . Решение х = -2за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от желаните числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решението на уравнението

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че Диофант опростява решението, като избира полуразликата на желаните числа като неизвестно; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат "Арябхатам", съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Арябхатта. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

ах 2+ b x = c, a > 0. (1)

В уравнение (1) коефициентите, с изключение на а, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В древна Индия публичните състезания в решаването на трудни проблеми са били обичайни. В една от старите индийски книги за подобни състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така един учен човек ще засенчи славата на друг в публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи.“ Задачите често бяха облечени в поетична форма.

Ето един от проблемите на известния индийски математик от XII век. Бхаскара.

Задача 13.

„Бързо стадо маймуни и дванадесет в лози ...

След като ядохте власт, се забавлявахте. Те започнаха да скачат, да висят ...

Част осма от тях в квадрат Колко маймуни имаше,

Забавление на поляната. Ти ми кажи, в това стадо?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел за двузначността на корените на квадратните уравнения (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието на:

x 2 - 64x = -768

и за да завърши лявата страна на това уравнение до квадрат, той добавя към двете страни 32 2 , получавайки след това:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. брадва 2 = s.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

5) „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. ах 2+ bx = s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c \u003d брадва 2.

За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим за факта, че е чисто риторично, трябва да се отбележи например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи вид

ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото то няма значение при конкретни практически проблеми. При решаването на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми излага правилата за решаване и след това геометрични доказателства, използвайки конкретни числени примери.

Задача 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (приемайки корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, остава 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5, вие получите 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което ще даде 7, това също е корен.

Трактатът ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично е изложена класификацията на квадратните уравнения и са дадени формули за тяхното решаване.

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII векове

Формулите за решаване на квадратни уравнения по модела на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в "Книгата на абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази обемна работа, която отразява влиянието на математиката, както на страните на исляма, така и на Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и е първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от "Книгата на абака" са преминали в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2+ bx = с,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b , се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. Вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени начинът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременен вид.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако б + думножено по А - А 2 , се равнява BD, тогава Асе равнява ATи равни д ».

За да разберете Виета, трябва да запомните това НО, като всяка гласна, означаваше за него неизвестното (нашата х), гласните AT, д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако

(а + b )x - x 2 = аб ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, написани с помощта на символи, Виет установи еднаквост в методите за решаване на уравнения. Символиката на Виета обаче все още е далеч от съвременния си вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени са положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.

Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения. Следователно уравнението: (10 + x) (10 - x) = 96 или: 100 - x2 = 96 x2 - 4 = 0 (1) Решението x = -2 за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика знаеше само положителни числа.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG: Квадратни уравнения в Индия. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Квадратни уравнения в ал-Хорезми. 1) „Квадратите са равни на корените“, т.е. ax2 + c \u003d bx. 2) „Квадратите са равни на число“, т.е. ax2 = c. 3) „Корените са равни на числото“, т.е. ah \u003d c. 4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax2 + c = bx. 5) „Квадратите и корените са равни на число“, т.е. ax2 + bx = c. 6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c \u003d ax2.

Квадратни уравнения в Европа през 13-17 век. x2 + bx = c, с всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b, c е формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Относно теоремата на Виета. "Ако B + D по A - A 2 е равно на BD, тогава A е равно на B и е равно на D." На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Vieta означава: ако (a + b)x - x2 = ab, т.е. x2 - (a + b)x + ab = 0, тогава x1 = a, x2 = b.

Методи за решаване на квадратни уравнения. 1. МЕТОД: Разлагане на лявата страна на уравнението на множители. Решете уравнението x2 + 10 x - 24 = 0. Факторизирайте лявата страна: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Следователно уравнението може да се пренапише, както следва: (x + 12) (x - 2) = 0 Тъй като продуктът е нула, тогава поне един от неговите множители е нула. Следователно лявата страна на уравнението изчезва при x = 2, а също и при x = - 12. Това означава, че числото 2 и - 12 са корените на уравнението x2 + 10 x - 24 = 0.

2. МЕТОД: Метод за избор на пълен квадрат. Нека решим уравнението x2 + 6 x - 7 = 0. Изберете пълен квадрат от лявата страна. За да направите това, записваме израза x2 + 6 x в следната форма: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. В получения израз първият член е квадратът на числото x, а вторият е двойно произведение на x по 3. Следователно, за да получите пълен квадрат, трябва да добавите 32, защото x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Сега трансформираме лявата страна на уравнението x2 + 6 x - 7 \u003d 0, добавяйки към него и изваждайки 32. Имаме: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. По този начин това уравнение може да бъде написано по следния начин: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 , Следователно x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1 или x + 3 = -4, x2 = -7.

3. МЕТОД: Решаване на квадратни уравнения по формула. Умножете двете страни на уравнението ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 по 4 a и последователно имаме: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. МЕТОД: Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета. Както знаете, даденото квадратно уравнение има формата x2 + px + c \u003d 0. (1) Корените му удовлетворяват теоремата на Vieta, която за a \u003d 1 има формата x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - p а) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, тъй като q = 2 > 0 и p = - 3 0 и p = 8 > 0. б) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 и x 2 \u003d 1, тъй като q = - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 \u003d 9 и x 2 = - 1, тъй като q \u003d - 9

5. МЕТОД: Решаване на уравнения по метода „трансфер“. Разгледайте квадратното уравнение ax2 + bx + c \u003d 0, където a ≠ 0. Умножавайки двете му части по a, получаваме уравнението a 2 x2 + abx + ac \u003d 0. Нека ax \u003d y, откъдето x \ u003d y / a; тогава стигаме до уравнението y2 + by + ac = 0, което е еквивалентно на даденото. Намираме неговите корени y1 и y2 с помощта на теоремата на Виета. Накрая получаваме x1 = y1/a и x1 = y2/a.

Пример. Нека решим уравнението 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Решение. „Хвърлете“ коефициента 2 към свободния член, като резултат получаваме уравнението y2 - 11 y + 30 = 0. Според теоремата на Vieta y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Отговор : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. МЕТОД: Свойства на коефициентите на квадратно уравнение. A. Нека е дадено квадратно уравнение ax2 + bx + c \u003d 0, където a ≠ 0. 1) Ако a + b + c \u003d 0 (т.е. сумата от коефициентите е нула), тогава x1 \u003d 1, x2 \u003d c / a. Доказателство. Разделете двете страни на уравнението на a ≠ 0, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + b / a x + c / a \u003d 0. Според теоремата на Vieta x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. По условие a - b + c = 0, откъдето b = a + c. По този начин x 1 + x 2 = - a + b / a = -1 - c / a, x 1 x 2 = - 1 (- c / a), т.е. x1 = -1 и x2 \u003d c / а, което трябваше да се докаже.

B. Ако вторият коефициент b \u003d 2 k е четно число, тогава коренната формула C. Горното уравнение x2 + px + q \u003d 0 съвпада с общото уравнение, в което a = 1, b \u003d p и c \u003d q. Следователно, за редуцираното квадратно уравнение, формулата за корените

7. МЕТОД: Графично решаване на квадратно уравнение. Ако в уравнението x2 + px + q = 0 прехвърлим втория и третия член в дясната страна, тогава получаваме x2 = - px - q. Нека изградим графики на зависимост y \u003d x2 и y \u003d - px - q.

Пример 1) Да решим графично уравнението x2 - 3 x - 4 = 0 (фиг. 2). Решение. Записваме уравнението във формата x2 = 3 x + 4. Построяваме парабола y = x2 и права линия y = 3 x + 4. Права линия y = 3 x + 4 може да бъде построена с помощта на две точки M (0; 4) и N (3; 13) . Отговор: x1 = - 1; х2 = 4

8. МЕТОД: Решаване на квадратни уравнения с пергел и линийка. намиране на корените на квадратен пергел и линийка (фиг. 5). Уравнения Тогава, съгласно теоремата за секущата, имаме OB OD = OA OC, откъдето OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 с

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="(!LANG:1) Радиус на кръга, по-голям от централната ордината (AS > SK или R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. МЕТОД: Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма. z 2 + pz + q = 0. Криволинейната скала на номограмата се изгражда по формулите (фиг. 11): Приемайки OS = p, ED = q, OE = a (всички в cm), От подобието на триъгълници SAN и CDF получаваме пропорцията

Примери. 1) За уравнението z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмата дава корените z 1 = 8, 0 и z 2 = 1, 0 (фиг. 12). 2) С помощта на номограмата решаваме уравнението 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Разделяме коефициентите на това уравнение на 2, получаваме уравнението z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Номограмата дава корени z 1 = 4 и z 2 = 0, 5. 3) За уравнението z 2 - 25 z + 66 \u003d 0, коефициентите p и q са извън мащаба, извършваме заместването z \u003d 5 t, ние получаваме уравнението t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, което решаваме с номограми и получаваме t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откъдето z 1 = 5 t 1 = 3,0 и z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. МЕТОД: Геометричен начин за решаване на квадратни уравнения. Примери. 1) Нека да решим уравнението x2 + 10 x = 39. В оригинала тази задача е формулирана по следния начин: „Квадратният и десетият корен са равни на 39“ (фиг. 15). За желаната страна x на оригиналния квадрат получаваме

y2 + 6 y - 16 = 0. Решението е показано на фиг. 16, където y2 + 6 y = 16, или y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Решение. Изразите y2 + 6 y + 9 и 16 + 9 са геометрично един и същ квадрат, а оригиналното уравнение y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 е същото уравнение. Откъде получаваме, че y + 3 = ± 5, или y1 = 2, y2 = - 8 (фиг. 16).