Определен интегрален алгоритъм за решение. Решаване на определен интеграл онлайн

Определен интеграл. Примери за решения

Здравей отново. В този урок ще анализираме подробно такова прекрасно нещо като определен интеграл. Този път въведението ще бъде кратко. Всичко. Защото снежна буря зад прозореца.

За да научите как да решавате определени интеграли, трябва да:

1) да бъде в състояние намирамнеопределени интеграли.

2) да бъде в състояние изчислиопределен интеграл.

Както можете да видите, за да овладеете определения интеграл, трябва да сте доста добре запознати с "обикновените" неопределени интеграли. Ето защо, ако тепърва започвате да се гмуркате в интегралното смятане и чайникът изобщо не е заврял, тогава е по-добре да започнете с урока Неопределен интеграл. Примери за решения. Освен това има pdf курсове за ултрабързо обучение- ако имате буквално ден, остава половин ден.

Най-общо определеният интеграл се записва като:

Какво е добавено в сравнение с неопределения интеграл? добавен интеграционни граници.

Долна граница на интеграция
Горна граница на интеграциястандартно се обозначава с буквата .
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.

Преди да преминем към практически примери, малък често задаван въпрос за определения интеграл.

Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.

Как да решим определен интеграл?С помощта на познатата от училище формула на Нютон-Лайбниц:

По-добре е да пренапишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да е пред очите ви през целия урок.

Стъпките за решаване на определен интеграл са следните:

1) Първо намираме функцията на първообразната производна (неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл не е добавен. Обозначението е чисто техническо, а вертикалната пръчка не носи никакво математическо значение, всъщност е просто зачертано. Защо е необходим записът? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

2) Заместваме стойността на горната граница в антипроизводната функция: .

3) Заместваме стойността на долната граница в антипроизводната функция: .

4) Изчисляваме (без грешки!) разликата, тоест намираме числото.

Винаги ли съществува определен интеграл?Не винаги.

Например интегралът не съществува, тъй като интервалът на интегриране не е включен в домейна на интегранта (стойностите под квадратния корен не могат да бъдат отрицателни). Ето един по-малко очевиден пример: . Тук, на интеграционния интервал допирателнаиздържа безкрайни почивкив точките , , и следователно такъв определен интеграл също не съществува. Между другото, който все още не е прочел методическия материал Графики и основни свойства на елементарни функции- Сега е моментът да го направим. Ще бъде чудесно да помогнете в курса на висшата математика.

За за да съществува определен интеграл изобщо, е достатъчно интеграндът да бъде непрекъснат в интервала на интегриране.

От горното следва първата важна препоръка: преди да продължите с решаването на КОЙТО и да е определен интеграл, трябва да се уверите, че интеграндът непрекъснат на интервала на интегриране. Като студент многократно имах инцидент, когато дълго време страдах от намирането на труден примитивен елемент и когато най-накрая го намерих, се замислих над още един въпрос: „какви глупости се оказаха?“. В опростена версия ситуацията изглежда така:

???! Не можете да замествате отрицателни числа под корена! Какво по дяволите?! първоначална небрежност.

Ако за решение (в контролно, контролно, изпитно) ви бъде предложен интеграл като или , тогава трябва да дадете отговор, че този определен интеграл не съществува и да обосновете защо.

! Забележка : в последния случай думата "определени" не може да бъде пропусната, т.к интегралът с точкови прекъсвания се разделя на няколко, в този случай на 3 неправилни интеграла и формулировката „този интеграл не съществува“ става неправилна.

Може ли определеният интеграл да бъде равен на отрицателно число?Може би. И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, която се изнася в отделна лекция.

Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би такава ситуация наистина се среща на практика.

- интегралът се изчислява спокойно по формулата на Нютон-Лайбниц.

Без какво не минава висшата математика? Разбира се, без всякакви имоти. Затова разглеждаме някои свойства на определен интеграл.

В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, като същевременно промените знака:

Например, в определен интеграл преди интегриране, е препоръчително да промените границите на интегриране в "обичайния" ред:

- в тази форма интеграцията е много по-удобна.

- това важи не само за две, но и за произволен брой функции.

В определен интеграл може да се извърши промяна на интеграционната променлива, но в сравнение с неопределения интеграл, това има своите специфики, за които ще говорим по-късно.

За определен интеграл, формула за интегриране по части:

Пример 1

Решение:

(1) Изваждаме константата от интегралния знак.

(2) Интегрираме върху таблицата, използвайки най-популярната формула . Препоръчително е да отделите появилата се константа от и да я поставите извън скобата. Не е необходимо да правите това, но е желателно - защо допълнителни изчисления?

. Първо заместваме горната граница, след това долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.

Пример 2

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване, решение и отговор в края на урока.

Нека го направим малко по-трудно:

Пример 3

Изчислете определен интеграл

Решение:

(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.

(2) Интегрираме над таблицата, като изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.

(3) За всеки от трите члена прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц:

СЛАБА ВРЪЗКА в определен интеграл са грешките в изчисленията и честото ОБЪРКВАНЕ НА ЗНАКИТЕ. Бъди внимателен! Съсредоточавам се върху третия член: - първо място в хит парада на грешки поради невнимание, много често пишат автоматично (особено когато подмяната на горната и долната граница се извършва устно и не се подписва толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.

Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например аз самият решавах такива интеграли като този:

Тук вербално използвах правилата за линейност, устно интегрирани върху таблицата. В крайна сметка получих само една скоба с очертаните ограничения: (за разлика от трите скоби в първия метод). И в "цялата" противопроизводна функция, първо заместих първо 4, след това -2, отново извършвайки всички действия наум.

Какви са недостатъците на метода на краткото решение? Тук не всичко е много добро от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично на мен не ми пука - броим обикновени дроби на калкулатор.
Освен това съществува повишен риск от грешка в изчисленията, така че е по-добре за ученик-манекени да използват първия метод, с „моя“ метод на решение знакът определено ще се загуби някъде.

Въпреки това, безспорните предимства на втория метод са скоростта на решението, компактността на записа и фактът, че първоизводната е в една скоба.

Съвет: преди да използвате формулата на Нютон-Лайбниц, е полезно да проверите: правилно ли е намерена самата антипроизводна?

И така, във връзка с разглеждания пример: преди да замените горната и долната граница във функцията за производна, препоръчително е да проверите на чернова дали неопределеният интеграл изобщо е намерен правилно? Разграничете:

Получен е оригиналният интеграл, което означава, че неопределеният интеграл е намерен правилно. Сега можете да приложите формулата на Нютон-Лайбниц.

Такава проверка няма да бъде излишна при изчисляване на всеки определен интеграл.

Пример 4

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване. Опитайте се да го решите кратко и подробно.

Промяна на променлива в определен интеграл

За определения интеграл са валидни всички видове замествания, както и за неопределения интеграл. Така че, ако не сте много добри в заместванията, трябва внимателно да прочетете урока. Метод на заместване в неопределен интеграл.

В този параграф няма нищо страшно и сложно. Новото се крие във въпроса как да промените границите на интеграция при подмяна.

В примерите ще се опитам да дам такива видове замени, които все още не са виждани никъде в сайта.

Пример 5

Изчислете определен интеграл

Основният въпрос тук изобщо не е в определен интеграл, а как правилно да се извърши замяната. Вглеждаме се интегрална масаи разберем как най-вече изглежда нашият интеграл? Очевидно, на дългия логаритъм: . Но има едно несъответствие, в табличния интеграл под корена, а в нашия - "х" на четвърта степен. Идеята за замяна следва от разсъжденията - би било хубаво по някакъв начин да превърнем нашата четвърта степен в квадрат. Това е истинско.

Първо подготвяме нашия интеграл за подмяна:

От горните съображения замяната естествено се предполага:
Така всичко ще е наред в знаменателя: .
Откриваме в какво ще се превърне останалата част от интегранта, за това намираме диференциала:

В сравнение със замяната в неопределения интеграл, добавяме допълнителна стъпка.

Намиране на нови граници на интеграция.

Това е достатъчно просто. Разглеждаме нашата замяна и старите граници на интеграция, .

Първо, заместваме долната граница на интегриране, тоест нула, в заместващия израз:

След това заместваме горната граница на интегриране в заместващия израз, тоест корен от три:

Готов. И само нещо…

Да продължим с решението.

(1) Според замяната напишете нов интеграл с нови граници на интегриране.

(2) Това е най-простият табличен интеграл, който интегрираме върху таблицата. По-добре е да оставите константата извън скобите (не можете да направите това), така че да не се намесва в по-нататъшни изчисления. Вдясно начертаваме линия, показваща новите граници на интеграция - това е подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц .

Стремим се да напишем отговора в най-компактна форма, тук използвах свойствата на логаритмите.

Друга разлика от неопределения интеграл е, че след като сме направили заместването, не са необходими замени.

А сега няколко примера за самостоятелно решение. Какви замени да извършите - опитайте се да познаете сами.

Пример 6

Изчислете определен интеграл

Пример 7

Изчислете определен интеграл

Това са примери за самопомощ. Решения и отговори в края на урока.

И в края на параграфа няколко важни точки, чийто анализ се появи благодарение на посетителите на сайта. Първият се отнася легитимност на замяната. В някои случаи не може да се направи!Така че пример 6 изглежда разрешим с универсално тригонометрично заместване, но горната граница на интеграция ("пи")не са включени в домейнтази допирателна и следователно това заместване е незаконно! По този начин, функцията "замяна" трябва да бъде непрекъсната във всичкоточки от сегмента на интеграция.

В друг имейл беше получен следният въпрос: „Трябва ли да променим границите на интеграция, когато поставим функцията под диференциалния знак?“. Първоначално исках да „отхвърля глупостите“ и автоматично да отговоря „разбира се, че не“, но след това се замислих за причината за такъв въпрос и изведнъж открих, че информацията липсва. Но е, макар и очевидно, но много важно:

Ако поставим функцията под знака на диференциала, тогава няма нужда да променяме границите на интегриране! Защо? Защото в този случай няма действителен преход към нова променлива. Например:

И тук сумирането е много по-удобно от академичната подмяна с последващо „рисуване“ на нови граници на интеграция. По този начин, ако определеният интеграл не е много сложен, тогава винаги се опитвайте да поставите функцията под знака на диференциала! По-бързо е, по-компактно е и често срещано - както ще видите десетки пъти!

Благодаря ви много за вашите писма!

Метод на интегриране по части в определен интеграл

Тук има още по-малко новости. Всички публикации на статията Интегриране по части в неопределен интегралса напълно валидни и за определен интеграл.
Освен това има само една подробност, във формулата за интегриране по части се добавят границите на интегриране:

Формулата на Нютон-Лайбниц трябва да се приложи два пъти тук: за произведението и след като вземем интеграла.

Например, аз отново избрах типа интеграл, който не съм виждал никъде другаде в сайта. Примерът не е най-лесният, но много, много информативен.

Пример 8

Изчислете определен интеграл

Ние решаваме.

Интегриране по части:

Който се затрудни с интеграла, да погледне урока Интеграли на тригонометрични функции, където е разгледано подробно.

(1) Записваме решението в съответствие с формулата за интегриране по части.

(2) За продукта използваме формулата на Нютон-Лайбниц. За останалия интеграл използваме свойствата на линейността, като го разделяме на два интеграла. Не се обърквайте от знаци!

(4) Прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц за двете открити първоизводни.

Честно казано, формулата не ми харесва и, ако е възможно, ... изобщо без него! Помислете за втория начин за решаване, от моя гледна точка той е по-рационален.

Изчислете определен интеграл

В първата стъпка намирам неопределения интеграл:

Интегриране по части:

Открита е противопроизводна функция. В този случай няма смисъл да добавяте константа.

Какво е предимството на такова пътуване? Няма нужда да „влачите“ границите на интеграцията, наистина можете да се измъчвате дузина пъти, като пишете малки икони на границите на интеграция

Във втората стъпка проверявам(обикновено на чернова).

Освен това е логично. Ако намерих неправилно функцията за производна, тогава ще реша неправилно и определения интеграл. По-добре е да разберете веднага, нека разграничим отговора:

Оригиналният интегранд е получен, което означава, че функцията на първообразната е намерена правилно.

Третият етап е прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц:

И тук има значителна полза! При „моя“ начин на решаване има много по-малък риск да се объркате при замествания и изчисления - формулата на Нютон-Лайбниц се прилага само веднъж. Ако чайникът реши подобен интеграл с помощта на формулата (първият начин), тогава stopudovo ще направи грешка някъде.

Разгледаният алгоритъм за решение може да се приложи към всеки определен интеграл.

Скъпи ученико, отпечатай и запиши:

Какво да направите, ако е даден определен интеграл, който изглежда сложен или не е ясно веднага как да бъде решен?

1) Първо намираме неопределения интеграл (антипроизводна функция). Ако на първия етап имаше неприятности, безсмислено е да разклащаме лодката с Нютон и Лайбниц. Има само един начин - да повишите нивото на вашите знания и умения за решаване неопределени интеграли.

2) Проверяваме намерената първообразна функция чрез диференциране. Ако се намери неправилно, третата стъпка ще бъде загуба на време.

3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц. Всички изчисления извършваме ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНО - тук е най-слабото звено в задачата.

И, за лека закуска, интегрална за самостоятелно решение.

Пример 9

Изчислете определен интеграл

Решението и отговорът са някъде наблизо.

Следният препоръчителен урок по темата е − Как да изчислим площта на фигура с помощта на определен интеграл?
Интегриране по части:

Определено ли ги решихте и получихте ли такива отговори? ;-) И на старицата има порно.

За да научите как да решавате определени интеграли, трябва да:

1) да бъде в състояние намирамнеопределени интеграли.

2) да бъде в състояние изчислиопределен интеграл.

Най-общо определеният интеграл се записва като:

Какво е добавено в сравнение с неопределения интеграл? добавен интеграционни граници.

Преди да преминем към практически примери, малко "майната" на определения интеграл.

Какво е определен интеграл?Мога да ви разкажа за диаметъра на делението на отсечката, границата на целочислените суми и т.н., но урокът е от практическо естество. Затова ще кажа, че определеният интеграл е ЧИСЛО. Да, да, най-често срещаният номер.

Определеният интеграл има ли геометричен смисъл?Има. И много добре. Най-популярната задача изчисляване на площта с помощта на определен интеграл.

Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.

Как да решим определен интеграл?С помощта на познатата от училище формула на Нютон-Лайбниц:

По-добре е да пренапишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да е пред очите ви през целия урок.

Стъпките за решаване на определен интеграл са следните:

1) Първо намираме функцията на първообразната производна (неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл никога не е добавен. Обозначението е чисто техническо, а вертикалната пръчка не носи никакво математическо значение, всъщност е просто зачертано. Защо е необходим записът? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

2) Заместваме стойността на горната граница в антипроизводната функция: .

3) Заместваме стойността на долната граница в антипроизводната функция: .

4) Изчисляваме (без грешки!) разликата, тоест намираме числото.

Винаги ли съществува определен интеграл?Не винаги.

Например интегралът не съществува, тъй като интервалът на интегриране не е включен в домейна на интегранта (стойностите под квадратния корен не могат да бъдат отрицателни). Ето един по-малко очевиден пример: . Такъв интеграл също не съществува, тъй като няма допирателна в точките на сегмента. Между другото, който все още не е прочел методическия материал Графики и основни свойства на елементарни функции- Сега е моментът да го направим. Ще бъде чудесно да помогнете в курса на висшата математика.

За да съществува определен интеграл изобщо, е необходимо подинтегралната функция да бъде непрекъсната в интервала на интегриране.

???!!!

Не можете да замествате отрицателни числа под корена!

Ако за решение (в контролно, в тест, изпит) ви предложат несъществуващ интеграл като

тогава трябва да дадете отговор, че интегралът не съществува и да обосновете защо.

- интегралът се изчислява спокойно по формулата на Нютон-Лайбниц.

В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, като променяте знака:

- в тази форма интеграцията е много по-удобна.

Що се отнася до неопределения интеграл, свойствата на линейността са валидни за определения интеграл:

- това важи не само за две, но и за произволен брой функции.

За определен интеграл, формула за интегриране по части:

Пример 1

Решение:

(1) Изваждаме константата от интегралния знак.

(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц

Първо заместваме горната граница, след това долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.

Пример 2

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване, решение и отговор в края на урока.

Нека го направим малко по-трудно:

Пример 3

Изчислете определен интеграл

Решение:

(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.

- първо място в хит парада на грешки поради невнимание, много често пишат автоматично

(особено когато подмяната на горната и долната граница се извършва устно и не се подписва толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.

Тук вербално използвах правилата за линейност, устно интегрирани върху таблицата. В крайна сметка получих само една скоба с очертаните ограничения:

(за разлика от трите скоби в първия метод). И в "цялата" противопроизводна функция, първо заместих първо 4, след това -2, отново извършвайки всички действия наум.

Безспорните предимства на втория метод са скоростта на решението, компактността на нотацията и фактът, че първоизводната

е в една скоба.

Процесът на решаване на интеграли в науката, наречен "математика", се нарича интегриране. С помощта на интеграцията можете да намерите някои физически величини: площ, обем, маса на телата и много други.

Интегралите са неопределени и определени. Разгледайте формата на определен интеграл и се опитайте да разберете неговото физическо значение. Изглежда по следния начин: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличителна черта на записването на определен интеграл от неопределен е, че има граници на интегриране a и b. Сега ще разберем за какво служат и какво означава определен интеграл. В геометричен смисъл такъв интеграл е равен на площта на фигурата, ограничена от кривата f(x), линии a и b и оста Ox.

Може да се види от фиг. 1, че определеният интеграл е същата област, която е оцветена в сиво. Нека го проверим с прост пример. Нека намерим площта на фигурата в изображението по-долу с помощта на интегриране и след това я изчислим по обичайния начин, като умножим дължината по ширината.

Фигура 2 показва, че $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заместваме в дефиницията на интеграла, получаваме, че $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Нека проверим по обичайния начин. В нашия случай дължина = 3, ширина на формата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Както можете да видите, всичко съвпадаше перфектно.

Възниква въпросът: как се решават неопределени интеграли и какъв е смисълът им? Решението на такива интеграли е намирането на първообразни функции. Този процес е обратен на намирането на производната. За да намерите първоизводната, можете да използвате нашата помощ при решаване на задачи по математика или трябва сами да запомните точно свойствата на интегралите и таблицата за интегриране на най-простите елементарни функции. Намирането изглежда така $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(където) F(x) $ е първоизводната на $ f(x), C = const $.

За да решите интеграла, трябва да интегрирате функцията $ f(x) $ по отношение на променливата. Ако функцията е таблична, тогава отговорът се записва в подходящата форма. Ако не, тогава процесът се свежда до получаване на таблична функция от функцията $ f(x) $ чрез трудни математически трансформации. Има различни методи и свойства за това, които ще разгледаме по-долу.

И така, нека сега направим алгоритъм за решаване на интеграли за манекени?

Алгоритъм за изчисляване на интеграли

Намерете определения интеграл или не.
Ако не е дефинирано, тогава трябва да намерите функцията за производна $ F(x) $ на интегранта $ f(x) $ с помощта на математически трансформации, които привеждат функцията $ f(x) $ в таблична форма.
Ако е дефинирана, тогава трябва да се изпълни стъпка 2 и след това да се заменят границите на $a$ и $b$ в антипроизводната функция $F(x)$. По каква формула да направите това, ще научите в статията "Формулата на Нютон Лайбниц".

Примери за решения

И така, научихте как да решавате интеграли за манекени, примерите за решаване на интеграли са подредени по рафтовете. Научиха тяхното физическо и геометрично значение. Методите за решение ще бъдат обсъдени в други статии.

Примери за изчисляване на неопределени интеграли

Таблица Интегрално изчисление

Интегриране на заместване:

Примери за изчисляване на интеграли

Основна формула на Нютон-Лайбниц

Изчисления за заместване

Глава 4 Диференциални уравнения.

диференциално уравнениенаречено уравнение, което свързва независима променлива х , желаната функция при и неговите производни или диференциали.

Символно диференцираното уравнение се записва, както следва:

Диференциалното уравнение се нарича обикновениако желаната функция зависи от една независима променлива.

поръчкадиференциално уравнение се нарича редът на най-високата производна (или диференциал), включен в това уравнение.

Решение(или интегрална) на диференциално уравнение е функция, която превръща това уравнение в идентичност.

Общо решение(или общ интеграл) на диференциално уравнение е решение, което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението. По този начин общото решение на диференциално уравнение от първи ред съдържа една произволна константа.

Частно решениеДиференциалното уравнение е решение, получено от общо за различни числени стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Общото решение на диференциалното уравнение съответства на множеството (семейството) от всички интегрални криви.

Диференциално уравнение от първи редсе нарича уравнение, което включва производни (или диференциали) не по-високи от първи ред.

Диференциално уравнение с разделими променливисе нарича уравнение от вида

За да решите това уравнение, първо трябва да разделите променливите:

и след това интегрирайте двете части на полученото равенство:

1. Намерете общо решение на уравнението

o Разделяйки променливите, имаме

Интегриране на двете части на полученото уравнение:

Тъй като произволна константа ОТможе да приема произволни числени стойности, а след това за удобство на по-нататъшни трансформации вместо ° Снаписахме (1/2) ln ° С.Потенцирайки последното равенство, получаваме

Това е общото решение на това уравнение.

Литература

В. Г. Болтянски, Какво е диференциация, "Популярни лекции по математика",

Брой 17, Гостехиздат 1955, 64 с.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович "Математика"

Г. М. Фихтенголц "Курс по диференциално и интегрално смятане", том 1

В. М. Бородихин, Висша математика, учебник. ръководство, ISBN 5-7782-0422-1.

Николски С. М. Глава 9. Определен интеграл на Риман // Курс по математически анализ. - 1990. - Т. 1.

Илин В. А., Позняк, Е. Г. Глава 6. Неопределен интеграл // Основи на математическия анализ. - 1998. - Т. 1. - (Курс по висша математика и математическа физика).

Демидович Б.П. Секция 3. Неопределен интеграл // Сборник задачи и упражнения по математически анализ. - 1990. - (Курс по висша математика и математическа физика).

Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика за техникуми на базата на средното училище: Учебник-2-ро изд.рев. и допълнителни M.6 Наука. 1989 г

Колягин Ю.М. Яковлев Г.Н. математика за техникуми. Алгебра и началото на анализа, части 1 и 2. Издателство "Наука" М., 1981 г.

Щипачев В.С. Задачи по висша математика: учеб. Надбавка за университети. По-висок Училище 1997 г

Богомолов Н. В. Практически уроци по математика: учебник. Помощ за технически училища. По-висок Училище 1997г