Задача 1(за изчисляване на площта на криволинейния трапец).

В декартовата правоъгълна координатна система xOy е дадена фигура (вижте фигурата), ограничена от оста x, прави линии x \u003d a, x \u003d b (криволинеен трапец. Необходимо е да се изчисли площта на \ криволинейния трапец.
Решение.Геометрията ни дава рецепти за изчисляване на площите на многоъгълници и някои части от кръг (сектор, сегмент). Използвайки геометрични съображения, ще можем да намерим само приблизителна стойност на търсената площ, аргументирайки се по следния начин.

Нека разделим отсечката [a; b] (основа на криволинеен трапец) на n равни части; това разделяне е осъществимо с помощта на точки x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Нека начертаем линии през тези точки, успоредни на оста y. Тогава дадения криволинеен трапец ще бъде разделен на n части, на n тесни колони. Площта на целия трапец е равна на сумата от площите на колоните.

Разгледайте отделно k-тата колона, т.е. криволинеен трапец, чиято основа е сегмент. Нека го заменим с правоъгълник със същата основа и височина, равна на f(x k) (виж фигурата). Площта на правоъгълника е \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), където \(\Delta x_k \) е дължината на сегмента; естествено е компилираният продукт да се разглежда като приблизителна стойност на площта на k-тата колона.

Ако сега направим същото с всички останали колони, тогава стигаме до следния резултат: площта S на даден криволинеен трапец е приблизително равна на площта S n на стъпаловидна фигура, съставена от n правоъгълника (вижте фигурата):
\(S_n = f(x_0)\Делта x_0 + \dots + f(x_k)\Делта x_k + \dots + f(x_(n-1))\Делта x_(n-1) \)
Тук, за еднаквост на нотацията, считаме, че a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - дължина на сегмента, \(\Delta x_1 \) - дължина на сегмента и т.н.; докато, както се съгласихме по-горе, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

И така, \(S \approx S_n \), и това приблизително равенство е толкова по-точно, колкото по-голямо е n.
По дефиниция се приема, че желаната площ на криволинейния трапец е равна на границата на последователността (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Задача 2(относно преместването на точка)
Материалната точка се движи по права линия. Зависимостта на скоростта от времето се изразява с формулата v = v(t). Намерете преместването на точка за интервала от време [a; b].
Решение.Ако движението беше равномерно, тогава проблемът щеше да се реши много просто: s = vt, т.е. s = v(b-a). За неравномерно движение трябва да се използват същите идеи, на които се основава решението на предишния проблем.
1) Разделете интервала от време [a; b] на n равни части.
2) Помислете за интервал от време и приемете, че през този интервал от време скоростта е била постоянна, като например в момента t k . Така че приемаме, че v = v(t k).
3) Намерете приблизителната стойност на изместването на точката през интервала от време, тази приблизителна стойност ще бъде означена с s k
\(s_k = v(t_k) \Делта t_k \)
4) Намерете приблизителната стойност на преместването s:
\(s \приблизително S_n \) където
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Необходимото изместване е равно на границата на последователността (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Нека да обобщим. Решенията на различни задачи бяха сведени до един и същ математически модел. Много проблеми от различни области на науката и технологиите водят до един и същи модел в процеса на решаване. Така че този математически модел трябва да бъде специално проучен.

Понятието за определен интеграл

Нека дадем математическо описание на модела, който е изграден в трите разглеждани задачи за функцията y = f(x), която е непрекъсната (но не непременно неотрицателна, както се приемаше в разглежданите задачи) на отсечката [ а; b]:
1) разделете сегмента [a; b] на n равни части;
2) сума $$ S_n = f(x_0)\Делта x_0 + f(x_1)\Делта x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Делта x_(n-1) $$
3) изчислете $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

В хода на математическия анализ беше доказано, че тази граница съществува в случай на непрекъсната (или частично непрекъсната) функция. Наричат ​​го определен интеграл на функцията y = f(x) върху отсечката [a; b]и се означават така:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числата a и b се наричат ​​граници на интегриране (съответно долна и горна).

Да се ​​върнем към задачите, разгледани по-горе. Дефиницията на площ, дадена в задача 1, сега може да бъде пренаписана, както следва:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тук S е площта на криволинейния трапец, показан на фигурата по-горе. Ето какво геометричен смисъл на определения интеграл.

Дефиницията на преместването s на точка, движеща се по права линия със скорост v = v(t) през интервала от време от t = a до t = b, дадено в задача 2, може да бъде пренаписано, както следва:

Формула на Нютон - Лайбниц

Като начало нека отговорим на въпроса: каква е връзката между определен интеграл и първоизводна?

Отговорът може да бъде намерен в задача 2. От една страна, преместването s на точка, движеща се по права линия със скорост v = v(t) за интервал от време от t = a до t = b и се изчислява от формулата
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

От друга страна, координатата на движещата се точка е първоизводната за скоростта - нека я означим s(t); следователно преместването s се изразява с формулата s = s(b) - s(a). В резултат на това получаваме:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
където s(t) е първоизводната за v(t).

В хода на математическия анализ беше доказана следната теорема.
Теорема. Ако функцията y = f(x) е непрекъсната на отсечката [a; b], след това формулата
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
където F(x) е първоизводната за f(x).

Тази формула обикновено се нарича Формула на Нютон-Лайбницв чест на английския физик Исак Нютон (1643-1727) и немския философ Готфрид Лайбниц (1646-1716), които го получават независимо един от друг и почти едновременно.

На практика, вместо да пишат F(b) - F(a), те използват нотацията \(\left. F(x)\right|_a^b \) (понякога се нарича двойно заместване) и съответно пренапишете формулата на Нютон-Лайбниц в тази форма:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Изчислявайки определен интеграл, първо намерете първоизводната и след това извършете двойно заместване.

Въз основа на формулата на Нютон-Лайбниц могат да се получат две свойства на определен интеграл.

Имот 1.Интегралът от сумата на функциите е равен на сумата от интегралите:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Изчисляване на площите на равнинни фигури с помощта на определен интеграл

Използвайки интеграла, можете да изчислите площта не само на криволинейни трапеци, но и на равнинни фигури от по-сложен тип, като тази, показана на фигурата. Фигурата P е ограничена от прави x = a, x = b и графики на непрекъснати функции y = f(x), y = g(x), а върху отсечката [a; b] неравенството \(g(x) \leq f(x) \) е в сила. За да изчислим площта S на такава фигура, ще процедираме както следва:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

И така, площта S на фигурата, ограничена от правите линии x = a, x = b и графиките на функциите y = f(x), y = g(x), непрекъснати на сегмента и такива, че за всяко x от сегментът [a; b] неравенството \(g(x) \leq f(x) \) е изпълнено, се изчислява по формулата
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблица с неопределени интеграли (антипроизводни) на някои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Тема: Изчисляване на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл

Задачи: научете определението и формулите за намиране на площта на криволинейния трапец;

разгледайте различни случаи на намиране на площта на криволинейния трапец;

Да може да изчисли площта на криволинейния трапец.

план:

Криволинеен трапец.

Формули за изчисляване на площта на криволинейния трапец.

Криволинеен трапецсе нарича фигура, която е ограничена от графиката на непрекъсната, неотрицателна функция f (x) върху интервала , отсечки x=a и x=b, както и отсечка от оста x между точки a и б.

Изображения на криволинейни трапеци:

Сега нека да преминем към възможните опции за местоположението на фигурите, чиято площ трябва да се изчисли в координатната равнина.

Първо ще има най-простият вариант (първата снимка), обичайният криволинеен трапец, както е в определението. Няма нужда да измисляте нищо тук, просто вземете интеграла от апреди bот функция f(x). Намираме интеграла - ще знаем площта на този трапец.


в второ опция, нашата фигура ще бъде ограничена не от оста x, а от друга функция g(x). Следователно, за да намерите района CEFD, първо трябва да намерим областта AEFB(използвайки интеграла на f(x)), след това намерете областта ACDB(използвайки интеграла на g(x)). И желаната област на фигурата CEFD, ще бъде разликата между първата и втората област на криволинейния трапец. Тъй като тук границите на интегриране са еднакви, всичко това може да се запише под един интеграл (вижте формулите под фигурата) всичко зависи от сложността на функциите, в който случай ще бъде по-лесно да се намери интегралът.



трето много подобен на първия, но само нашият трапец е поставен, а не отгоре ос х, и под него. Следователно тук трябва да вземем същия интеграл, само със знак минус, защото стойността на интеграла ще бъде отрицателна, а стойността на площта трябва да е положителна. Ако вместо функция f(x)вземете функция -f(x), тогава неговата графика ще бъде същата, просто симетрично показана спрямо оста x.


И четвъртоопция, когато част от нашата фигура е над оста x, а част е под нея. Следователно първо трябва да намерим площта на фигурата AEFB, както в първата версия, и след това площта на фигурата ABCD, като в третия вариант и след това ги добавете. В резултат на това получаваме площта на фигурата DEFC. Тъй като тук границите на интегриране са еднакви, всичко това може да се запише под един интеграл (вижте формулите под фигурата) всичко зависи от сложността на функциите, в който случай ще бъде по-лесно да се намери интегралът.

Въпроси за самопроверка:

Каква фигура се нарича криволинеен трапец?

Как да намерите площта на криволинейния трапец?

Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура

Сега се обръщаме към разглеждането на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме типична и най-често срещана задача. Как да използваме определен интеграл за изчисляване на площта на равнинна фигура. И накрая, тези, които търсят смисъл във висшата математика - дано го намерят. Никога не знаеш. В реалния живот ще трябва да приближите лятна вила с елементарни функции и да намерите нейната площ, като използвате определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределения интеграл поне на средно ниво. Следователно манекените трябва първо да прочетат урока Не.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определения интеграл. Можете да установите топли приятелски отношения с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Всъщност, за да намерите площта на фигура, не се нуждаете от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата "изчислете площта с помощта на определен интеграл" винаги включва изграждането на чертеж, така че вашите знания и умения за рисуване ще бъдат много по-подходящ въпрос. В тази връзка е полезно да опресните паметта на графиките на основните елементарни функции и като минимум да можете да изграждате права линия, парабола и хипербола. Това може да стане (мнозина се нуждаят от това) с помощта на методически материали и статия за геометрични трансформации на графики.

Всъщност всеки е запознат с проблема за намиране на площта с помощта на определен интеграл още от училище и ние ще отидем малко по-напред от училищната програма. Тази статия може изобщо да не съществува, но факт е, че проблемът възниква в 99 случая от 100, когато студент е измъчван от омразна кула с ентусиазъм, овладявайки курс по висша математика.

Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.

Нека започнем с криволинеен трапец.

Криволинеен трапецнаречена плоска фигура, ограничена от оста, прави линии и графиката на функция, непрекъсната върху сегмент, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоабсциса:

Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. На урока Определен интеграл. Примери за решенияКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да посочим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩТА.

Това е, определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на някаква фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интеграндът определя крива в равнината, която се намира над оста (желаещите могат да допълнят чертежа), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типична постановка на задача. Първият и най-важен момент от решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде изграден ДЯСНО.

Когато изграждате план, препоръчвам следния ред: първипо-добре е да конструирате всички линии (ако има такива) и само след- параболи, хиперболи, графики на други функции. Функционалните графики са по-изгодни за изграждане точка по точка, с техниката на точковата конструкция можете да намерите в референтния материал Графики и свойства на елементарни функции. Там можете да намерите и материал, който е много полезен във връзка с нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека направим чертеж (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

Няма да щриховам криволинеен трапец, ясно е за каква площ говорим тук. Решението продължава така:

На сегмента е разположена графиката на функцията над ос, Ето защо:

Отговор:

Който има затруднения при изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, около 9 ще бъдат въведени, изглежда вярно. Съвсем ясно е, че ако имахме, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава, очевидно, някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, значи задачата също е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , и оста

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Какво да направите, ако се намира криволинейният трапец под ос?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим рисунка:

Ако се намира криволинейният трапец под ос(или поне не по-високададена ос), тогава неговата площ може да се намери по формулата:
В такъв случай:

внимание! Не бъркайте двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що разгледаната формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии, .

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от пресечните точки на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:

Следователно, долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.
Най-добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линиите точка по точка, докато границите на интеграция се откриват сякаш „от само себе си“. Техниката за конструиране точка по точка за различни диаграми е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или нишковата конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщаме се към нашата задача: по-рационално е първо да изградим права линия и едва след това парабола. Да направим чертеж:

Повтарям, че при точковата конструкция най-често границите на интеграция се откриват „автоматично“.

А сега и работещата формула: Ако има някаква непрекъсната функция на интервала по-голямо или равнонякаква непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери по формулата:

Тук вече не е необходимо да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ГОРЕ(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършването на решението може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случай на формулата . Тъй като оста е дадена от уравнението и се намира графиката на функцията не по-високаоси, тогава

А сега няколко примера за независимо решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, оградена от линиите , .

В процеса на решаване на задачи за изчисляване на площта с определен интеграл понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание ... намери областта на грешната фигура, така покорният ти слуга се прецака няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Нека първо направим чертеж:

…Ех, рисунката излезе скапана, но май всичко се чете.

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо.(внимателно погледнете състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигурата, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че в него площта на фигурата се изчислява с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На сегмента над оста има графика с права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Да преминем към една по-смислена задача.

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и изпълним чертеж точка по точка:

От чертежа се вижда, че нашата горна граница е „добра“: .
Но каква е долната граница? Ясно е, че това не е цяло число, но какво? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да се окаже, че. Или корен. Ами ако изобщо не сме направили графиката правилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да прецизирате аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на правата и параболата.
За да направим това, решаваме уравнението:


,

Наистина ли, .

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в замествания и знаци, изчисленията тук не са най-лесните.

На сегмента , по съответната формула:

Отговор:

Е, в заключение на урока ще разгледаме две по-трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии , ,

Решение: Начертайте тази фигура на чертежа.

По дяволите, забравих да подпиша графика и преправянето на снимката, съжалявам, не е горещо. Не е рисунка, накратко, днес е ден =)

За изграждането точка по точка е необходимо да знаете външния вид на синусоидата (и като цяло е полезно да знаете графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е позволено да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат показани принципно правилно.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: - "x" се променя от нула на "pi". Вземаме допълнително решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

Нека функцията е неотрицателна и непрекъсната на интервала . След това, според геометричния смисъл на определен интеграл, площта на криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на тази функция, отдолу от оста , отляво и отдясно с прави линии и (виж фиг. 2 ) се изчислява по формулата

Пример 9Намерете площта на фигурата, ограничена от линията и оста.

Решение. Функционална графика е парабола, чиито клонове сочат надолу. Нека го изградим (фиг. 3). За да определим границите на интегриране, намираме точките на пресичане на линията (парабола) с оста (права линия). За да направим това, решаваме системата от уравнения

Получаваме: , където , ; Следователно, , .

Ориз. 3

Площта на фигурата се намира по формулата (5):

Ако функцията е неположителна и непрекъсната на сегмента , тогава площта на криволинейния трапец, ограничена отдолу от графиката на тази функция, отгоре от оста, отляво и отдясно от прави линии и , е изчислено по формулата

. (6)

Ако функцията е непрекъсната на сегмент и променя знака си в краен брой точки, тогава площта на защрихованата фигура (фиг. 4) е равна на алгебричната сума на съответните определени интеграли:

Ориз. четири

Пример 10Изчислете площта на фигурата, ограничена от оста и графиката на функцията за .

Ориз. 5

Решение. Да направим чертеж (фиг. 5). Желаната площ е сумата от площите и . Нека намерим всяка от тези области. Първо, ние определяме границите на интеграция чрез решаване на системата Получаваме , . Следователно:

;

.

По този начин площта на защрихованата фигура е

(кв. единици).

Ориз. 6

Нека, накрая, криволинейният трапец е ограничен отгоре и отдолу от графиките на функциите, непрекъснати на сегмента и ,
а отляво и отдясно - прав и (фиг. 6). След това неговата площ се изчислява по формулата

. (8)

Пример 11.Намерете площта на фигурата, оградена от линиите и .

Решение.Тази фигура е показана на фиг. 7. Изчисляваме неговата площ по формула (8). Решавайки системата от уравнения, намираме , ; Следователно, , . На сегмента имаме: . Следователно във формула (8) приемаме като х, и като - . Получаваме:

(кв. единици).

По-сложните проблеми с изчисляването на площите се решават чрез разбиване на фигурата на непресичащи се части и изчисляване на площта на цялата фигура като сума от площите на тези части.

Ориз. 7

Пример 12.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , , .

Решение. Да направим чертеж (фиг. 8). Тази фигура може да се разглежда като криволинеен трапец, ограничен отдолу от оста, отляво и отдясно - с прави линии и отгоре - с графики на функции и . Тъй като фигурата е ограничена отгоре от графиките на две функции, за да изчислим нейната площ, разделяме тази права фигура на две части (1 е абсцисата на пресечната точка на линиите и). Площта на всяка от тези части се намира по формулата (4):

(кв. единици); (кв. единици). Следователно:

(кв. единици).

Ориз. осем

х= j ( при)

Ориз. 9

В заключение отбелязваме, че ако криволинейният трапец е ограничен от прави линии и , оста и непрекъсната върху кривата (фиг. 9), тогава неговата площ се намира по формулата

Обем на въртеливото тяло

Нека криволинейният трапец е ограничен от графика на функция, непрекъсната на сегмент, ос, прави линии и се върти около оста (фиг. 10). След това обемът на полученото тяло на въртене се изчислява по формулата

. (9)

Пример 13Да се ​​изчисли обемът на тяло, получено при въртене около оста на криволинеен трапец, ограничен от хипербола, прави линии и оста.

Решение. Да направим чертеж (фиг. 11).

От условието на задачата следва, че , . По формула (9) получаваме

.

Ориз. десет

Ориз. единадесет

Обемът на тялото, получен при въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от прави линии y = cи y = d, ос OUи графика на функция, непрекъсната на сегмент (фиг. 12), се определя по формулата

. (10)

х= j ( при)

Ориз. 12

Пример 14. Изчислете обема на тяло, получено при въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от линии х 2 = 4при, y= 4, x = 0 (фиг. 13).

Решение. В съответствие с условието на задачата намираме границите на интегриране: , . По формула (10) получаваме:

Ориз. 13

Дължина на дъгата на плоска крива

Нека кривата, дадена от уравнението , където , лежи в равнина (фиг. 14).

Ориз. четиринадесет

Определение. Дължината на дъгата се разбира като границата, към която се стреми дължината на полилиния, вписана в тази дъга, когато броят на връзките на полилинията клони към безкрайност, а дължината на най-голямата връзка клони към нула.

Ако функцията и нейната производна са непрекъснати на отсечката , тогава дължината на дъгата на кривата се изчислява по формулата

. (11)

Пример 15. Изчислете дължината на дъгата на кривата, затворена между точките, за които .

Решение. От състоянието на проблема, който имаме . По формула (11) получаваме:

4. Неправилни интеграли
с безкрайни граници на интеграция

При въвеждането на концепцията за определен интеграл се приема, че са изпълнени следните две условия:

а) граници на интеграция аи са крайни;

б) подинтегралната функция е ограничена на отсечката .

Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, тогава се извиква интеграл неправилно.

Нека първо разгледаме неправилни интеграли с безкрайни граници на интегриране.

Определение. Нека функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала , тогаваи неограничен отдясно (фиг. 15).

Ако неправилният интеграл се сближава, тогава тази област е крайна; ако неправилният интеграл се разминава, тогава тази област е безкрайна.

Ориз. петнадесет

Неправилен интеграл с безкрайна долна граница на интегриране се дефинира по подобен начин:

. (13)

Този интеграл се сближава, ако границата от дясната страна на равенството (13) съществува и е крайна; в противен случай се казва, че интегралът е дивергентен.

Неправилен интеграл с две безкрайни граници на интегриране се дефинира, както следва:

, (14)

където с е всяка точка от интервала. Интегралът се събира само ако и двата интеграла се събират в дясната страна на равенството (14).

;

G) = [изберете пълния квадрат в знаменателя: ] = [замяна:

] =

Следователно неправилният интеграл се събира и стойността му е равна на .