Суворов Михаил, ученик от 10 клас

Тази работа е посветена на описанието на възгледите на древногръцкия философ Платон за структурата на Вселената, чрез използването правилни многоъгълници, като тетраедър, октаедър, хексаедър (куб), додекаедър и икосаедър. В съвременната математика тези тела се наричат ​​Платонови тела.

Работата също така отразява въпроса за това как Платоновите тела се използват в съвременните теории за природни науки.

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Изследователска работа по геометрия. Тема: "Платонови тела" Подготви презентация: Суворовец Суворов Михаил Учител по математика Харкова Марина Валериевна

Платон (427-347 г. пр. н. е.) - великият древногръцки философ, ученик на Сократ, основател на Академията. Основната заслуга на Платон в историята на математиката е, че той призна, че знанията по математика са необходими на всеки. образован човек. Приносът на Платон в математиката е незначителен. Неговите идеи за структурата и методите на математиката обаче са изключително ценни. Той въведе традицията да се дават безупречни дефиниции и да се определя какви предложения в математическите съображения могат да бъдат приети без доказателство. Платон е първият, който обосновава метода на доказателство от противното, който сега се използва широко в геометрията. В училището на Платон Специално вниманиепосветен на решаването на строителни проблеми. Благодарение на това в него се формира концепцията за геометричното място на точките и е разработена методология за решаване на конструктивни проблеми. Изпъкнали правилни полиедри - тетраедър, октаедър, хексаедър (куб), додекаедър и икосаедър - обикновено се наричат ​​платонови тела.

Определение: ТЕЛАТА НА ПЛАТОН - от гръцки. Платон 427-347 пр.н.е. - набор от всички правилни полиедри [т.е. обемни тела, ограничени от равни правилни многоъгълници] на триизмерния свят, описан за първи път от Платон.

Правилен многоъгълник се нарича: плоска фигура, ограничена от прави линии с равни страни и равни вътрешни ъгли. Аналог на правилния многоъгълник в триизмерното пространство е правилният многостен: пространствена фигура с еднакви лица под формата на правилни многоъгълници и еднакви полиедрични ъгли във върховете. Има само пет правилни изпъкнали многостени: правилен тетраедър, куб, октаедър, додекаедър и икосаедър.

Историята на създаването на платоновите тела. Четири полиедра олицетворяваха в него четири същности или „елементи“. Тетраедърът символизира Огъня, тъй като върхът му е насочен нагоре; Икосаедър - Вода, тъй като е най-"обтекаемият" многостен; Куб - Земята, като най-"стабилен" многостен; Октаедър - Въздух, като най-"въздушния" многостен. Петият полиедър, додекаедърът, въплъщава "всичко, което съществува"

Тетраедър Древните гърци са кръстили многостена на броя на лицата. "Тетра" означава четири, "кедра" - означава лице (тетраедър - тетраедър). Многостенът се отнася за правилните полиедри и е едно от петте платонови тела. Тетраедърът има следните характеристики: Тип лице - правилен триъгълник; Броят на страните на ръба е 3; Общият брой на лицата е 4; Броят на ръбовете, съседни на върха, е 3; Общият брой на върховете е 4; Общият брой на ръбовете е 6; Правилният тетраедър е съставен от четири равностранни триъгълника. Всеки негов връх е връх на три триъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°. Тетраедърът няма център на симетрия, но има 3 оси на симетрия и 6 равнини на симетрия.

Хексаедър (по-разпространено име - куб) Древните гърци са дали име на многостена за броя на лицата. "Hexo" означава шест, "khedra" - означава лице (Hexahedron - хексаедър).Многостенът принадлежи към правилните полиедри и е едно от петте платонови тела. Хексаедърът има следните характеристики: Броят на страните на лицето е 4; Общият брой на лицата е 6; Броят на ръбовете, съседни на върха, е 3; Общият брой на върховете е 8; Общият брой на ръбовете е 12; Хексаедърът се състои от шест квадрата. Всеки връх на куба е връх на три квадрата. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 270°. Хексаедърът няма център на симетрия, но има 3 оси на симетрия и 6 равнини на симетрия.

Икосаедър Древните гърци са кръстили полиедъра на броя на лицата. "Икоси" означава двадесет, "хедра" - означава лице (Икосаедър - двадесетстранно). Полиедърът принадлежи към правилните полиедри и е едно от петте платонови тела. Икосаедърът има следните характеристики: Тип лице - правилен триъгълник; Броят на страните на ръба е 3; Общият брой на лицата е 20; Броят на ръбовете, съседни на върха, е 5; Общият брой на върховете е 12; Общият брой на ръбовете е 30; Правилният икосаедър е съставен от двадесет равностранни триъгълника. Всеки връх на икосаедъра е връх на пет триъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 270°. Икосаедърът има център на симетрия - центърът на икосаедъра, 15 оси на симетрия и 15 равнини на симетрия.

Октаедър Древните гърци са кръстили многостена на броя на лицата. „Окто“ означава осем, „кедра“ означава лице (октаедър - октаедър).Полиедърът е правилен многостен и е едно от петте платонови тела. Октаедърът има следните характеристики: Тип лице - правилен триъгълник; Броят на страните на ръба е 3; Общият брой на лицата е 8; Броят на ръбовете, съседни на върха, е 4; Общият брой на върховете е 6; Общият брой на ръбовете е 12; Правилният октаедър е съставен от осем равностранни триъгълника. Всеки връх на октаедъра е връх на четири триъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 240°. Октаедърът има център на симетрия - център на октаедъра, 9 оси на симетрия и 9 равнини на симетрия.

Додекаедър Древните гърци са кръстили многостена на броя на лицата. "Додека" означава дванадесет, "кедра" означава лице (додекаедър - додекаедър). Полиедърът принадлежи към правилните полиедри и е едно от петте платонови тела. Додекаедърът има следните характеристики: Типът лице е правилен петоъгълник; Броят на страните на ръба е 5; Общият брой на лицата е 12; Броят на ръбовете, съседни на върха, е 3; Общият брой на върховете е 20; Общият брой на ръбовете е 30; Правилният додекаедър се състои от дванадесет правилни петоъгълника. Всеки връх на додекаедъра е връх на три правилни петоъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 324°. Додекаедърът има център на симетрия - центърът на додекаедъра, 15 оси на симетрия и 15 равнини на симетрия.

Използването на Платонови тела в науката Йоханес Кеплер (1571-1630) е немски астроном. Откри законите на движението на планетите. През 1596 г. Кеплер предлага правило, според което около сферата на Земята е описан додекаедър, а в него е вписан икосаедър. Разстоянието между орбитите на планетите може да се получи на базата на Платоновите тела, вложени едно в друго. Разстоянията, изчислени с помощта на този модел, бяха доста близки до истинските.

В. Макаров и В. Морозов смятат, че ядрото на Земята има формата и свойствата на растящ кристал, който развива всички естествени взаимодействия и процеси, протичащи на планетата. Силовото поле на този нарастващ кристал причинява икосаедъра - додекаедрична структураЗемя (IDSZ). Тези полиедри са вписани един в друг. Всички природни аномалии, както и центрове на развитие на цивилизациите, съответстват на върховете и ръбовете на тези фигури.

Примери: Някои от правилните полиедри се срещат естествено като кристални вируси. Полиомиелитният вирус има формата на додекаедър. Може да живее и да се размножава само в човешки или приматни клетки. На микроскопично ниво додекаедърът и икосаедърът са относителните параметри на ДНК, върху които е изграден целият живот. Можете да видите, че ДНК молекулата е въртящ се куб.

Приложения в кристалографията Платоновите твърди тела се използват широко в кристалографията, тъй като много кристали са правилни полиедри. Например, кубът е монокристал от обикновена сол (NaCl), октаедърът е единичен кристал от калиева стипца, една от формите на диамантените кристали е октаедър.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http:/ /www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

Стахов А.П.

„Шифърът на Да Винчи“, Платонови и Архимедови тела, квазикристали, фулерени, решетки на Пенроуз и артистичният свят на Матюшка Тея Крашек

анотация

Творчеството на словенската художничка Матюшка Тея Крашек е малко познато на рускоезичния читател. В същото време на Запад го наричат ​​"източноевропейския Ешер" и "словенския подарък" за световната културна общественост. Художествените й композиции са вдъхновени от най-новите научни открития (фулерени, квазикристали на Дан Шехтман, плочки на Пенроуз), които от своя страна се основават на правилни и полуправилни многоъгълници (тела на Платон и Архимед), златното сечение и числата на Фибоначи.

Какво представлява Шифърът на Да Винчи?

Със сигурност всеки човек е мислил повече от веднъж за въпроса защо природата е в състояние да създаде толкова невероятни хармонични структури, които радват и радват окото. Защо художници, поети, композитори, архитекти създават невероятни произведения на изкуството от век на век. Каква е тайната на тяхната Хармония и какви закони стоят в основата на тези хармонични създания?

Търсенето на тези закони, "Законите на хармонията на Вселената", започва в древната наука. Беше през този период човешката историяучените стигат до поредица от удивителни открития, които проникват в цялата история на науката. Първият от тях се смята за прекрасна математическа пропорция, изразяваща Хармонията. Нарича се по различен начин: "златно сечение", "златно число", "златна среда", "златно сечение"и дори „божествена пропорция“. Златно сечениесъщо наричан PHI номерв чест на великия древногръцки скулптор Фидий (Phidius), който използва това число в своите скулптури.

Трилърът "Шифърът на Да Винчи", написан от популярния английски писател Дан Браун, се превърна в бестселър на 21 век. Но какво означава Шифърът на Да Винчи? Има различни отговори на този въпрос. Известно е, че темата беше известното "Златно сечение". внимателно вниманиеи хобитата на Леонардо да Винчи. Още повече, че самото име „Златно сечение” е въведено в европейската култура от Леонардо да Винчи. По инициатива на Леонардо известният италиански математик и учен монах Лука Пачоли, приятел и научен съветник на Леонардо да Винчи, публикува книгата „Божествена пропорция“, първото математическо произведение в световната литература върху Златното сечение, което авторът нарече „ Божествена пропорция". Известно е също, че самият Леонардо е илюстрирал тази известна книга, като е нарисувал 60 прекрасни рисунки за нея. Именно тези факти, които не са много известни на широката научна общност, дават право да се изложи хипотезата, че Шифърът на Да Винчи не е нищо друго освен Златното сечение. И потвърждение на тази хипотеза може да се намери в лекция пред студенти от Харвардския университет, която припомня главният герой на книгата "Шифърът на Да Винчи" проф. Лангдън:

„Въпреки почти мистичния си произход, PHI номерът е изиграл уникална роля по свой начин. Ролята на тухлата в основата на изграждането на целия живот на земята. Всички растения, животни и дори човешки същества са надарени с физически пропорции, приблизително равен на коренаот съотношението на броя на PHI към 1. Това вездесъщност на PHI в природата ... показва връзката на всички живи същества. Преди се смяташе, че PHI числото е предварително определено от Създателя на Вселената. Учените от древността наричат ​​една точка шестстотин и осемнадесет хилядни „божествена пропорция“.

Така известното ирационално число PHI = 1,618, което Леонардо да Винчи нарича Златната среда, е Шифърът на Да Винчи!

Друго математическо откритие на древната наука е правилни полиедри, които бяха наименувани "Платонови тела"и "полуправилни многостени", на име „Архимедови тела“.Именно тези удивително красиви пространствени геометрични фигури са в основата на две от най-големите научни открития на 20 век - квазикристали(автор на откритието е израелският физик Дан Шехтман) и фулерени(Нобелова награда 1996). Тези две открития са най-значимото потвърждение на факта, че именно Златната пропорция е Универсалният код на природата („Шифърът на Да Винчи“), който е в основата на Вселената.

Откриването на квазикристали и фулерени е вдъхновило много съвременни художници да създават произведения, които отразяват в форма на изкуствонай-важните физически открития на 20 век. Един от тези художници е словенският художник Майка Тея Крашек.Тази статия представя артистичния свят на Матюшка Тейя Крашек през призмата на най-новите научни открития.

Платонови тела

Човек проявява интерес към правилните многоъгълници и многостени през цялата си съзнателна дейност - от двегодишно дете, което играе с дървени кубчета, до зрял математик. Някои от правилните и полу правилни теласрещат се естествено като кристали, други като вируси, които могат да се видят с електронен микроскоп.

Какво е правилен многостен? Полиедърът се нарича правилен, ако всички негови лица са равни (или съвпадащи) едно с друго и в същото време са правилни многоъгълници. Колко правилни многостени има? На пръв поглед отговорът на този въпрос е много прост – колкото са правилните многоъгълници. Обаче не е така. В Елементите на Евклид намираме строго доказателство, че има само пет изпъкнали правилни многостени и че само три вида правилни многоъгълници могат да бъдат техните лица: триъгълници, квадратии петоъгълници (правилни петоъгълници).

Много книги са посветени на теорията на полиедрите. Една от най-известните е книгата на английския математик М. Уенигер "Модели на полиедри". В руски превод тази книга е публикувана от издателство "Мир" през 1974 г. Епиграфът към книгата е изявлението на Бертран Ръсел: "Математиката притежава не само истина, но и висока красота - красота, изпипана и строга, възвишено чиста и стремяща се към истинско съвършенство, което е характерно само за най-великите образци на изкуството."

Книгата започва с описание на т.нар правилни полиедри, тоест полиедри, образувани от най-простите правилни многоъгълници от същия тип. Тези полиедри се наричат Платонови тела(Фиг. 1) , кръстен на древногръцкия философ Платон, който използва правилни полиедри в своите космология.

Снимка 1.Платонови тела: (а) октаедър ("Огън"), (б) хексаедър или куб ("Земя"),

(c) октаедър ("Въздух"), (d) икосаедър ("Вода"), (e) додекаедър ("Универсален разум")

Ще започнем нашето разглеждане с правилни полиедри, чиито лица са равностранни триъгълници.Първият от тях е тетраедър(фиг.1-а). В тетраедър три равностранни триъгълника се срещат в един връх; докато техните основи образуват нов равностранен триъгълник. Тетраедърът има най-малкото числолица сред Платоновите тела и е триизмерен аналог на плосък правоъгълен триъгълник, който има най-малък брой страни сред правилните многоъгълници.

Следващото тяло, което е образувано от равностранни триъгълници, се нарича октаедър(Фиг.1-б). В октаедър четири триъгълника се срещат в един връх; резултатът е пирамида с четириъгълна основа. Ако свържете две такива пирамиди с основи, ще получите симетрично тяло с осем триъгълни лица - октаедър.

Сега можете да опитате да свържете пет равностранни триъгълника в една точка. Резултатът е фигура с 20 триъгълни лица - икосаедър(фиг.1-г).

Следващия правилна формамногоъгълник - квадрат.Ако свържем три квадрата в една точка и след това добавим още три, получаваме идеална шестстранна форма, наречена хексаедърили куб(фиг. 1-в).

И накрая, има друга възможност за конструиране на правилен многостен въз основа на използването на следния правилен многоъгълник − Пентагон. Ако съберем 12 петоъгълника по такъв начин, че три петоъгълника да се срещнат във всяка точка, получаваме друго Платоново тяло, т.нар. додекаедър(Фиг.1-д).

Следващият правилен многоъгълник е шестоъгълник. Ако обаче свържем три шестоъгълника в една точка, тогава получаваме повърхност, тоест невъзможно е да се изгради от шестоъгълници обемна фигура. Всички други правилни многоъгълници над шестоъгълник изобщо не могат да образуват твърди тела. От тези съображения следва, че има само пет правилни полиедъра, чиито лица могат да бъдат само равностранни триъгълници, квадрати и петоъгълници.

Има невероятни геометрични връзкимежду всички правилни полиедри. Например, куб(Фиг.1-б) и октаедър(фиг.1-в) са двойни, т.е. се получават едно от друго, ако центроидите на лицата на едното се приемат за върхове на другото и обратно. По същия начин двоен икосаедър(фиг.1-d) и додекаедър(Фиг.1-д) . Тетраедър(Фиг.1-а) е дуален на себе си. Додекаедърът се получава от куба чрез конструиране на "покриви" върху лицата му (метод на Евклид), върховете на тетраедъра са всеки четири върха на куба, които не са съседни по двойки по ръба, т.е. всички други правилни полиедри могат да бъдат получени от куба. Самият факт за съществуването само на пет наистина правилни полиедра е изненадващ, защото в равнината има безкрайно много правилни многоъгълници!

Числени характеристики на платонови тела

Основните числени характеристики Платонови телае броят на страните на лицето м,броя на лицата, събиращи се във всеки връх, м,брой лица Ж, брой върхове AT,брой ребра Ри броя на плоските ъгли Привърху повърхността на полиедър, Ойлер открива и доказва известната формула

B P + G = 2,

свързване на броя на върховете, ръбовете и лицата на всеки изпъкнал многостен. Горните числени характеристики са дадени в табл. един.

маса 1

Числени характеристики на платонови тела

Многостен	Броят на страните на лицето, м	Броят на лицата, събиращи се във върха, н	Брой лица	Брой върхове	Брой ребра	Брой плоски ъгли на повърхност
Тетраедър
Хексаедър (куб)
икосаедър
додекаедър

Златно сечение в додекаедър и икосаедър

Додекаедърът и неговият двоен икосаедър (фиг. 1-d, e) заемат специално мястомежду Платонови тела. На първо място трябва да се подчертае, че геометрията додекаедъри икосаедърпряко свързани със златното сечение. Наистина ръбовете додекаедър(фиг.1-д) са петоъгълници, т.е. правилни петоъгълници, базирани на златното сечение. Ако се вгледате внимателно в икосаедър(фиг. 1-d), тогава можете да видите, че пет триъгълника се събират във всеки от върховете му, външните страни на които образуват петоъгълник. Вече тези факти са достатъчни, за да сме сигурни, че златното сечение действа съществена роляв дизайна на тези две Платонови тела.

Но има по-дълбоки математически доказателства за фундаменталната роля, която играе златното сечение в икосаедъри додекаедър. Известно е, че тези тела имат три специфични сфери. Първата (вътрешна) сфера е вписана в тялото и се допира до лицата му. Нека обозначим радиуса на тази вътрешна сфера като R i. Втората или средната сфера докосва нейните краища. Нека обозначим радиуса на тази сфера като R m .И накрая, третата (външна) сфера е описана около тялото и минава през неговите върхове. Нека обозначим неговия радиус с Rc. В геометрията е доказано, че стойностите на радиусите на посочените сфери за додекаедъри икосаедър, който има ръб с единица дължина, се изразява чрез златното сечение t (Таблица 2).

таблица 2

Златното сечение в сферите на додекаедъра и икосаедъра

икосаедър
додекаедър

Имайте предвид, че съотношението на радиусите = е същото като за икосаедър, и за додекаедър. По този начин, ако додекаедъри икосаедъримат еднакви вписани сфери, то описаните им сфери също са равни една на друга. Доказателство за това математически резултатдадено в НаченкиЕвклид.

В геометрията са известни и други отношения додекаедъри икосаедърпотвърждавайки връзката им със златното сечение. Например, ако вземем икосаедъри додекаедърс дължина на ръба, равна на единица, и се изчислява тяхната външна площ и обем, след което те се изразяват чрез златното сечение (Таблица 3).

Таблица 3

Златно сечение във външната зона и обем на додекаедъра и икосаедъра

	икосаедър	додекаедър
външна зона

По този начин има огромен брой връзки, получени от древните математици, потвърждаващи забележителния факт, че е златното сечение е основната пропорция на додекаедъра и икосаедъра, като този факт е особено интересен от гледна точка на т.нар "додекаедрично-икосаедрична доктрина",които ще разгледаме по-долу.

Космологията на Платон

Правилните полиедри, разгледани по-горе, се наричат Платонови тела, тъй като те заемат важно място във философската концепция на Платон за структурата на Вселената.

Платон (427-347 пр.н.е.)

Четири полиедра олицетворяваха в него четири същности или „елементи“. Тетраедърсимволизиран огън, тъй като върхът му е насочен нагоре; икосаедър — вода, тъй като е най-"рационализираният" многостен; куб — земя, като най-"стабилен" полиедър; Октаедър — Въздух, като най-„въздушния“ полиедър. Пети полиедър, додекаедър, олицетворява „всичко съществуващо“, „Универсален разум“, символизира цялата вселена и се смята основната геометрична фигура на Вселената.

Древните гърци смятат хармоничните взаимоотношения за основа на Вселената, така че четирите елемента са свързани в такава пропорция: земя / вода = въздух / огън. Атомите на "елементите" са били настроени от Платон в съвършени съзвучия, като четирите струни на лира. Спомнете си, че съзвучието е приятно съзвучие. Във връзка с тези тела би било уместно да се каже, че такава система от елементи, включваща четири елемента - земя, вода, въздух и огън, е канонизирана от Аристотел. Тези елементи остават четирите крайъгълни камъка на Вселената в продължение на много векове. Напълно възможно е да ги идентифицираме с четирите познати ни състояния на материята – твърдо, течно, газообразно и плазмено.

По този начин древните гърци свързват идеята за "чрез" хармонията на битието с нейното въплъщение в платоновите тела. Влиянието на известния гръцки мислител Платон също се отразява НаченкиЕвклид. В тази книга, която векове наред е била единственият учебник по геометрия, е дадено описание на "идеалните" линии и "идеалните" фигури. Най-"идеалната" линия - прав, а най-"идеалният" многоъгълник - правилен многоъгълник,имайки равни странии равни ъгли. Може да се разгледа най-простият правилен многоъгълник равностранен триъгълник,тъй като има най-малък брой страни, които могат да ограничат част от равнината. Интересно е че НаченкиЕвклид започва с описание на конструкцията правоъгълен триъгълники завършва с пет Платонови тела.забележи това Платонови телапосветена на последната, тоест 13-та книга започнаЕвклид. Между другото, този факт, тоест поставянето на теорията за правилните полиедри в последната (тоест, така да се каже, най-важната) книга започнаЕвклид, даде повод на древногръцкия математик Прокъл, който беше коментатор на Евклид, да изложи интересна хипотеза за истинските цели, преследвани от Евклид, създавайки своя Наченки. Според Прокъл Евклид създава Наченкине с цел представяне на геометрията като такава, а за да даде пълна систематизирана теория за изграждането на "идеални" фигури, по-специално пет Платонови тела, като по пътя подчертава някои от най-новите постижения в математиката!

Неслучайно един от авторите на откритието на фулерените, нобеловият лауреат Харолд Крото, в своята нобелова лекция започва разказа си за симетрията като „основа на нашето възприемане на физическия свят“ и нейната „роля в опитите за обяснение на то всеобхватно” именно с Платонови телаи "елементите на всички неща": „Концепцията за структурна симетрия датира от древни времена...“ Повечето забележителни примериможе, разбира се, да се намери в диалога на Платон от Тимей, където в раздел 53, позовавайки се на „Елементите“, той пише: „Първо, на всички е ясно (!), Разбира се, че огънят и земята, водата и въздухът са тела, а всяко тяло е твърдо ”(!!) Платон обсъжда проблемите на химията на езика на тези четири елемента и ги свързва с четирите платонови тела (по това време само четири, докато Хипарх не открива петото - додекаедър). Въпреки че на пръв поглед подобна философия може да изглежда донякъде наивна, тя показва дълбоко разбиране на това как природата всъщност функционира.

Архимедови тела

Полуправилни многостени

Известни са още много съвършени тела, т.нар полуправилни многостениили Архимедови тела.Те също така имат всички многостенни ъгли равни и всички лица са правилни многоъгълници, но няколко различни видове. Има 13 полуправилни полиедра, чието откритие се приписва на Архимед.

Архимед (287 пр.н.е. - 212 пр.н.е.)

Много Архимедови теламогат да бъдат разделени на няколко групи. Първият от тях се състои от пет полиедра, които се получават от Платонови телав резултат на тяхното съкращаване.Скъсеното тяло е тяло с отрязан връх. За Платонови телаотрязването може да се извърши по такъв начин, че както получените нови лица, така и останалите части на старите да са правилни многоъгълници. Например, тетраедър(Фиг. 1-а) може да се отреже, така че четирите му триъгълни лица да се превърнат в четири шестоъгълни и към тях да се добавят четири правилни триъгълни лица. По този начин пет Архимедови тела: пресечен тетраедър, пресечен хексаедър (куб), пресечен октаедър, пресечен додекаедъри пресечен икосаедър(фиг. 2).

(а)	б)	(в)

(G)	д)

Фигура 2. Архимедови тела: (a) пресечен тетраедър, (b) пресечен куб, (c) пресечен октаедър, (d) пресечен додекаедър, (e) пресечен икосаедър

В своята Нобелова лекция американският учен Смоли, един от авторите на експерименталното откритие на фулерените, говори за Архимед (287-212 г. пр. н. е.) като първия изследовател на пресечени полиедри, по-специално, пресечен икосаедър, но с уговорката, че може би Архимед си присвоява тази заслуга и може би икосаедрите са били пресечени много преди него. Достатъчно е да споменем тези, намерени в Шотландия и датирани около 2000 г. пр.н.е. стотици каменни предмети (очевидно за ритуални цели) във формата на сфери и разн полиедри(тела, ограничени от всички страни с плоски лица), включително икосаедри и додекаедри. Оригиналната работа на Архимед, за съжаление, не е запазена и резултатите от нея са достигнали до нас, както се казва, „втора ръка“. През Ренесанса всички Архимедови телаедин след друг бяха "открити" наново. В крайна сметка Кеплер през 1619 г. в книгата си "Световна хармония" ("Harmonice Mundi") дава изчерпателно описание на целия набор от архимедови тела - полиедри, всяко лице на които е правилен многоъгълник, и всичко върховеса в еквивалентна позиция (като въглеродните атоми в молекулата C60). Архимедовите тела се състоят от поне два различни вида многоъгълници, за разлика от 5 Платонови тела, чиито лица са еднакви (както в молекулата C 20 например).

Фигура 3. Конструкция на архимедовия пресечен икосаедър
от платоновия икосаедър

И така, как се конструира Архимедов пресечен икосаедърот Платонов икосаедър? Отговорът е илюстриран с помощта на фиг. 3. Действително, както се вижда от табл. 1, 5 лица се събират във всеки от 12-те върха на икосаедъра. Ако във всеки връх 12 части на икосаедъра се отрязват (отрязват) от равнина, тогава се образуват 12 нови петоъгълни лица. Заедно с вече съществуващите 20 лица, които след такова изрязване са се превърнали от триъгълни в шестоъгълни, те ще съставляват 32 лица на пресечен икосаедър. В този случай ще има 90 ръба и 60 върха.

друга група Архимедови теласъставят две тела т.нар квази-правилнополиедри. Частицата „квази“ подчертава, че лицата на тези полиедри са правилни многоъгълници само от два вида, като всяко лице от един тип е заобиколено от многоъгълници от друг тип. Тези две тела се наричат ромбокубооктаедъри икозидодекаедър(фиг. 4).

Фигура 5. Архимедови тела: (a) ромбокубооктаедър, (b) ромбикозидодекаедър

И накрая, има две така наречени "снуб" модификации - едната за куба ( куб), другият е за додекаедъра ( изпъкнал додекаедър) (фиг. 6).

(а)	б)

Фигура 6Архимедови тела: (а) изпъкнал куб, (б) изпъкнал додекаедър

В споменатата книга на Wenniger "Models of Polyhedra" (1974) читателят може да намери 75 различни модела на правилни многостени. „Теорията на полиедрите, по-специално на изпъкналите полиедри, е една от най-очарователните глави на геометрията“Това е мнението на руския математик Л.А. Люстернак, който направи много в тази област на математиката. Развитието на тази теория е свързано с имената на видни учени. Голям принос за развитието на теорията на полиедрите има Йоханес Кеплер (1571-1630). По едно време той написа етюда „За една снежинка“, в който направи следната забележка: „Сред правилните тела, първият, началото и прародителят на останалите е кубът, а неговият партньор, ако мога така да се изразя, е октаедърът, тъй като октаедърът има толкова ъгли, колкото лица има кубът.“Кеплер е първият, който публикува пълен списъктринадесет Архимедови телаи им дал имената, с които са известни и до днес.

Кеплер пръв изследва т.нар звездни полиедри,които за разлика от платоновото и архимедовото тела са правилни изпъкнали полиедри. В началото на миналия век френският математик и механик Л. Поансо (1777-1859), чиито геометрични работи се отнасят до звездообразни полиедри, развива работата на Кеплер и открива съществуването на още два вида правилни неизпъкнали полиедри. И така, благодарение на работата на Кеплер и Поансо, станаха известни четири вида такива фигури (фиг. 7). През 1812 г. О. Коши доказва, че няма други правилни многогранници с форма на звезда.

Фигура 7Правилни звездни полиедри (тела на Poinsot)

Много читатели може да имат въпрос: „Защо изобщо да изучаваме правилни полиедри? Каква е ползата от тях?" На този въпрос може да се отговори: „А каква е ползата от музика или поезия? Всичко красиво полезно ли е? Моделите на полиедри, показани на фиг. 1-7, на първо място, ни правят естетическо впечатление и могат да се използват като декоративни орнаменти. Но всъщност широкото проявление на правилните полиедри в природните структури предизвика голям интерес към този клон на геометрията в съвременна наука.

Мистерията на египетския календар

Какво е календар?

Една руска поговорка гласи: „Времето е окото на историята“. Всичко, което съществува във Вселената: Слънцето, Земята, звездите, планетите, познатите и непознатите светове и всичко, което съществува в природата, живо и неодушевено, всичко има пространствено-времево измерение. Времето се измерва чрез наблюдение на периодично повтарящи се процеси с определена продължителност.

Още в древността хората са забелязали, че денят винаги отстъпва място на нощта, а сезоните преминават в строга последователност: пролетта идва след зимата, лятото след пролетта, есента след лятото. В търсене на ключ към тези явления, човекът насочи вниманието към небесните тела - Слънцето, Луната, звездите - и към строгата периодичност на тяхното движение по небето. Това са първите наблюдения, предшестващи раждането на една от най-древните науки - астрономията.

Астрономията основава измерването на времето върху движението. небесни тела, който отразява три фактора: въртенето на Земята около оста си, въртенето на Луната около Земята и движението на Земята около Слънцето. На кое от тези явления се основава измерването на времето, зависят и различните концепции за времето. Астрономията знае звезденвреме, слънчевовреме, местенвреме, талиявреме, отпуск по майчинствовреме, атоменвреме и др.

Слънцето, както всички други светила, участва в движението по небето. С изключение денонощно движение, Слънцето има така нареченото годишно движение, а целият път на годишното движение на Слънцето по небето се нарича еклиптика.Ако например забележите разположението на съзвездията в някаква част вечерен часи след това повтаряйте това наблюдение всеки месец, тогава ще видим различна картина на небето. Изгледът на звездното небе се променя непрекъснато: всеки сезон има своя собствена картина на вечерните съзвездия и всяка такава картина се повтаря всяка година. Следователно, след изтичане на годината, Слънцето по отношение на звездите се връща на първоначалното си място.

За удобство на ориентацията в звездния свят астрономите разделиха цялото небе на 88 съзвездия. Всеки от тях има свое име. От 88-те съзвездия особено място в астрономията заемат тези, през които минава еклиптиката. Тези съзвездия, в допълнение към собствените си имена, имат и обобщено име - зодиакален(от гръцката дума "zoop" животно), както и символи (знаци), широко известни в целия свят и различни алегорични изображения, включени в календарните системи.

Известно е, че в процеса на движение по еклиптиката Слънцето пресича 13 съзвездия. Астрономите обаче намериха за необходимо да разделят пътя на Слънцето не на 13, а на 12 части, комбинирайки съзвездията Скорпион и Змиеносец в едно под често срещано имеСкорпион (защо?)

С проблемите на измерването на времето се занимава специална наука, т.нар хронология.Той е в основата на всички календарни системи, създадени от човечеството. Създаването на календари в древността е едно от критични задачиастрономия.

Какво е "календар" и какви са календарни системи? Слово календарполучен от латинска дума календариум, което буквално означава "дългова книга"; в такива книги бяха посочени първите дни на всеки месец - календи,при които в древен Рим длъжниците са плащали лихва.

От древни времена в страните от Източна и Югоизточна Азияпри съставянето на календари голямо значение се отдава на периодичността на движението на Слънцето, Луната, както и Юпитери Сатурн, двете гигантски планети от Слънчевата система. Има основание да се смята, че идеята за създаване юпитериански календарс небесна символика на 12-годишния животински цикъл, свързан с въртенето Юпитероколо Слънцето, което прави пълна обиколка около Слънцето за около 12 години (11,862 години). От друга страна, втората гигантска планета на Слънчевата система - Сатурнправи пълна обиколка около Слънцето за около 30 години (29,458 години). В желанието си да координират циклите на движение на гигантските планети, древните китайци излязоха с идеята да въведат 60-годишен цикъл на Слънчевата система. По време на този цикъл Сатурн прави 2 пълни оборотиоколо слънцето, а Юпитер 5 оборота.

При създаването на годишните календари се използват астрономически явления: смяната на деня и нощта, смяната на лунните фази и смяната на сезоните. Използването на различни астрономически явления доведе до създаването на три вида календари сред различните народи: лунен,въз основа на движението на луната, слънчева,въз основа на движението на слънцето и лунно-слънчева.

Структурата на египетския календар

Един от първите слънчеви календарибеше египетски, създаден през 4-то хилядолетие пр.н.е. Оригиналната египетска календарна година се състоеше от 360 дни. Годината беше разделена на 12 месеца по точно 30 дни всеки. По-късно обаче се установи, че такава продължителност на календарната година не съответства на астрономическата. И тогава египтяните добавили още 5 дни към календарната година, които обаче не били дните на месеците. Това бяха 5 празника, свързващи съседни календарни години. По този начин египетската календарна година има следната структура: 365 = 12ґ 30 + 5. Имайте предвид, че египетският календар е прототипът на съвременния календар.

Възниква въпросът защо египтяните са разделили календарната година на 12 месеца? Все пак имаше календари с различен брой месеци в годината. Например в календара на маите годината се е състояла от 18 месеца по 20 дни на месец. Следващ въпросотносно египетския календар: защо всеки месец е имал точно 30 дни (по-точно дни)? Някои въпроси могат да бъдат повдигнати относно египетската система за измерване на времето, по-специално относно избора на такива единици за време като час, минута, секунда.По-специално възниква въпросът: защо часовата единица е избрана така, че да пасва точно 24 пъти на ден, тоест защо 1 ден = 24 (2ґ 12) часа? Освен това: защо 1 час = 60 минути и 1 минута = 60 секунди? Същите въпроси важат и за избора на единици за ъглови величини, по-специално: защо кръгът е разделен на 360°, тоест защо 2p = 360° = 12ґ 30°? Към тези въпроси се добавят и други, по-специално: защо астрономите сметнаха за целесъобразно да считат, че има 12 зодиакаленпризнаци, въпреки че всъщност в процеса на движението си по еклиптиката Слънцето пресича 13 съзвездия? И още един "странен" въпрос: защо вавилонската бройна система има много необичайна основа - числото 60?

Връзка на египетския календар с числените характеристики на додекаедъра

Анализирайки египетския календар, както и египетските системи за измерване на време и ъглови стойности, откриваме, че четири числа се повтарят с удивително постоянство: 12, 30, 60 и произлизащото от тях число 360 \u003d 12ґ 30. Възниква въпросът: има ли някаква фундаментална научна идея, която би могла да даде просто и логично обяснение за използването на тези числа в египетските системи?

За да отговорим на този въпрос, се обръщаме отново към додекаедърпоказано на фиг. 1-г. Спомнете си, че всички геометрични съотношения на додекаедъра се основават на златното сечение.

Познавали ли са египтяните додекаедъра? Историците на математиката признават, че древните египтяни са имали познания за правилните полиедри. Но знаеха ли и петте правилни многостена, в частност додекаедъри икосаедъркак най-трудните? Древногръцкият математик Прокъл приписва изграждането на правилни полиедри на Питагор. Но много математически теореми и резултати (по-специално, Питагорова теорема) Питагор заимства от древните египтяни по време на много дългото си „командировъчно пътуване“ до Египет (според някои сведения Питагор е живял в Египет 22 години!). Следователно можем да предположим, че Питагор също е взаимствал знания за правилните многостени от древните египтяни (и вероятно от древните вавилонци, тъй като според легендата Питагор е живял в древен Вавилон 12 години). Но има други, по-солидни доказателства, че египтяните са имали информация за всичките пет правилни полиедра. По-специално, в Британския музей има зар от ерата на Птолемеите, който има формата икосаедър, тоест „платоновото тяло“, двойственото додекаедър. Всички тези факти ни дават право да изложим хипотезата, че Египтяните са познавали додекаедъра.И ако това е така, то от тази хипотеза следва много хармонична система, която позволява да се обясни произходът на египетския календар, а в същото време и произходът на египетската система за измерване на времеви интервали и геометрични ъгли.

По-рано установихме, че додекаедърът има 12 лица, 30 ръба и 60 плоски ъгли на повърхността си (Таблица 1). Въз основа на хипотезата, че египтяните са знаели додекаедъри числените му характеристики са 12, 30. 60, тогава каква беше тяхната изненада, когато откриха, че циклите на слънчевата система се изразяват с едни и същи числа, а именно 12-годишният цикъл на Юпитер, 30-годишният цикъл на Сатурн и накрая 60-летния цикъл на слънчевата система. По този начин, между такава перфектна пространствена фигура като додекаедър, и слънчевата система, има дълбока математическа връзка! Това заключение е направено от древни учени. Това доведе до факта, че додекаедъре приет за „главна фигура”, която символизира Хармония на Вселената. И тогава египтяните решиха, че всичките им основни системи (календарна система, система за измерване на времето, система за измерване на ъгли) трябва да съответстват на числови параметри. додекаедър! Тъй като според древните движението на Слънцето по еклиптиката е било строго кръгово, избирайки 12 знака на Зодиака, дъговото разстояние между които е точно 30 °, египтяните изненадващо красиво координират годишното движение на Слънцето по протежение на еклиптика със структурата на тяхната календарна година: един месец съответстваше на движението на Слънцето по еклиптиката между два съседни знака на Зодиака!Освен това движението на Слънцето с един градус съответства на един ден от египетската календарна година! В този случай еклиптиката автоматично се разделя на 360°. Разделяйки всеки ден на две части, следвайки додекаедъра, египтяните разделят всяка половина от деня на 12 части (12 лица додекаедър) и така въведен часе най-важната единица време. Разделяне на един час на 60 минути (60 плоски ъгъла на повърхността додекаедър), въведени от египтяните по този начин минутае следващата важна единица време. По същия начин те влязоха дай ми секунда- най-малката единица време за този период.

По този начин, избирайки додекаедъркато основна "хармонична" фигура на Вселената и следвайки стриктно числените характеристики на додекаедъра 12, 30, 60, египтяните успяват да изградят изключително хармоничен календар, както и системи за измерване на време и ъглови стойности. Тези системи бяха в пълно съгласие с тяхната "Теория за хармонията", основана на златното сечение, тъй като именно тази пропорция е в основата додекаедър.

Тези изненадващи заключения следват от сравнението додекаедърсъс слънчевата система. И ако нашата хипотеза е вярна (нека някой се опита да я опровергае), тогава следва, че в продължение на много хилядолетия човечеството живее под знака на златното сечение! И всеки път, когато погледнем циферблата на часовника си, който също е изграден върху използването на числови характеристики додекаедър 12, 30 и 60, ние се докосваме до основната "Мистерия на Вселената" златното сечение, без да го знаем!

Квазикристали от Дан Шехтман

На 12 ноември 1984 г. в малка статия, публикувана в авторитетното списание Physical Review Letters от израелския физик Дан Шехтман, са представени експериментални доказателства за съществуването на метална сплав с изключителни свойства. При изследване чрез методи на електронна дифракция тази сплав показва всички признаци на кристал. Неговата дифракционна картина е съставена от ярки и равномерно разположени точки, точно като кристал. Тази картина обаче се характеризира с наличието на "икосаедрична" или "петоъгълна" симетрия, което е строго забранено в кристал поради геометрични съображения. Такива необичайни сплави бяха наречени квазикристали.За по-малко от година бяха открити много други сплави този вид. Имаше толкова много от тях, че квазикристалното състояние се оказа много по-често срещано, отколкото може да се предположи.

Израелският физик Дан Шехтман

Концепцията за квазикристал е от фундаментален интерес, тъй като обобщава и допълва определението за кристал. Теория, базирана на тази концепция, заменя вековната идея за "структурна единица, повтаряща се в пространството по строго периодичен начин" с ключовата концепция далечен ред.Както се подчертава в статията "Квазикристали" на известния физик Д. Грация, „Тази концепция доведе до разширяването на кристалографията, чиито преоткрити богатства тепърва започваме да изследваме. Значението му в света на минералите може да се постави наравно с добавянето на концепцията ирационални числакъм рационалното в математиката.

Какво е квазикристал? Какви са неговите свойства и как може да се опише? Както бе споменато по-горе, според основен закон на кристалографиятасе налагат строги ограничения върху кристалната структура. Според класическите представи кристалът се състои ad infinitum от една клетка, която трябва плътно (лице в лице) да „покрие“ цялата равнина без никакви ограничения.

Както е известно, плътното запълване на равнината може да се извърши с помощта на триъгълници(фиг.7-а), квадрати(фиг.7-b) и шестоъгълници(фиг. 7-d). Като се използва петоъгълници (петоъгълници) такова запълване е невъзможно (фиг. 7-в).

а)	б)	в)	G)

Фигура 7Плътното запълване на равнината може да се извърши с помощта на триъгълници (a), квадрати (b) и шестоъгълници (d)

Това бяха каноните на традиционната кристалография, съществувала преди откриването на необичайна сплав от алуминий и манган, наречена квазикристал. Такава сплав се образува чрез ултрабързо охлаждане на стопилката със скорост 10 6 К в секунда. В същото време, по време на дифракционно изследване на такава сплав, на екрана се показва подреден модел, който е характерен за симетрията на икосаедъра, който има известните забранени оси на симетрия от 5-ти ред.

Няколко научни групи по света през следващите няколко години изучават тази необичайна сплав електронна микроскопияс висока резолюция. Всички те потвърждават идеалната хомогенност на материята, при която симетрията от 5-ти ред се запазва в макроскопични области с размери, близки до тези на атомите (няколко десетки нанометра).

Според модерни възгледие разработен следният модел за получаване на кристалната структура на квазикристал. Този модел се основава на концепцията за "основен елемент". Според този модел вътрешният икосаедър от алуминиеви атоми е заобиколен от външния икосаедър от манганови атоми. Икосаедрите са свързани с октаедри от манганови атоми. „Основният елемент“ има 42 атома алуминий и 12 атома манган. В процеса на втвърдяване има бързо образуване на "основни елементи", които бързо се свързват помежду си чрез твърди октаедрични "мостове". Спомнете си, че лицата на икосаедъра са равностранни триъгълници. За да се образува октаедричен мост от манган, е необходимо два такива триъгълника (по един във всяка клетка) да се приближат достатъчно близо един до друг и да се подредят успоредно. В резултат на такъв физически процес се образува квазикристална структура с "икосаедрична" симетрия.

През последните десетилетия бяха открити много видове квазикристални сплави. Освен че имат "икосаедрична" симетрия (5-ти ред), има и сплави с декагонална симетрия (10-ти ред) и дванадесетоъгълна симетрия (12-ти ред). Физическите свойства на квазикристалите започнаха да се изследват едва наскоро.

Какво е практическа стойностоткриване на квазикристали? Както е отбелязано в статията на Gratia, цитирана по-горе, „механичната якост на квазикристалните сплави нараства драматично; липсата на периодичност води до забавяне на разпространението на дислокации в сравнение с обикновените метали ... Това свойство има голям приложена стойност: използването на икосаедричната фаза ще направи възможно получаването на леки и много здрави сплави чрез въвеждане на малки частици от квазикристали в алуминиевата матрица.

В какво се състои методологическо значениеоткриване на квазикристали? На първо място, откриването на квазикристалите е моментът на голям триумф на „додекаедрично-икосаедричната доктрина“, която прониква в цялата история на естествените науки и е източник на дълбоки и полезни научни идеи. Второ, квазикристалите унищожиха традиционната представа за непреодолимото разделение между света на минералите, в който "петоъгълната" симетрия беше забранена, и света на дивата природа, където "петоъгълната" симетрия е една от най-често срещаните. И не трябва да забравяме, че основната пропорция на икосаедъра е "златното сечение". И откриването на квазикристали е още едно научно потвърждение, че може би именно „златната пропорция“, която се проявява както в света на дивата природа, така и в света на минералите, е основната пропорция на Вселената.

Плочки Пенроуз

Когато Дан Шехтман даде експериментално доказателство за съществуването на квазикристали с икосаедрична симетрия, физици в търсене теоретично обяснениефеномен на квазикристалите, привлече вниманието към математическо откритие, направено преди 10 години Английски математикРоджър Пенроуз. Като "плосък аналог" на квазикристалите избрахме плочки Пенроуз, които са апериодични правилни структури, образувани от "дебели" и "тънки" ромби, подчиняващи се на пропорциите на "златното сечение". Точно плочки Пенроузса приети от кристалографите, за да обяснят явлението квазикристали. В същото време ролята Диаманти Пенроузв пространството на трите измерения започна да играе икосаедри, с помощта на които се осъществява плътно запълване на триизмерното пространство.

Разгледайте отново внимателно петоъгълника на фиг. осем.

Фигура 8Пентагон

След начертаване на диагонали в него, оригиналният петоъгълник може да бъде представен като набор от три вида геометрични форми. В центъра има нов петоъгълник, образуван от пресечните точки на диагоналите. Освен това петоъгълникът на фиг. 8 включва пет жълти равнобедрени триъгълника и пет червени равнобедрени триъгълника. Жълтите триъгълници са "златни", защото отношението на бедрото към основата е равно на златното сечение; имат остри ъгли от 36° на върха и остри ъгли от 72° в основата. Червените триъгълници също са "златни", тъй като съотношението на бедрата към основата е равно на златното сечение; те имат тъп ъгълпри 108° при върха и остри ъгли при 36° при основата.

А сега нека свържем два жълти триъгълника и два червени триъгълника с техните основи. В резултат на това получаваме две "златен" ромб. Първият (жълт) е с остър ъгъл 36° и тъп ъгъл 144° (фиг. 9).

(а)	б)

Фигура 9."Златни" ромби: а) "тънък" ромб; (б) "дебел" ромб

Ромб на фиг. 9-а ще се обадим тънък ромб,и ромбът на фиг. 9-б - дебел ромб.

Английският математик и физик Роджърс Пенроуз използва "златни" ромби на фиг. 9 за изграждането на "златния" паркет, който беше наречен Плочки Пенроуз.Плочките Penrose са комбинация от дебели и тънки диаманти, показани на фиг. десет.

Фигура 10. Плочки Penrose

Важно е да се подчертае, че плочки Пенроузимат "петоъгълна" симетрия или симетрия от 5-ти ред, а съотношението на броя на дебелите ромби към тънките клони към златното сечение!

Фулерени

А сега нека поговорим за още едно изключително съвременно откритие в областта на химията. Това откритие е направено през 1985 г., тоест няколко години по-късно от квазикристалите. Говорим за така наречените „фулерени“. Терминът "фулерени" се отнася до затворени молекули като С 60, С 70, С 76, С 84, в които всички въглеродни атоми са разположени върху сферична или сфероидна повърхност. В тези молекули въглеродните атоми са разположени във върховете на правилни шестоъгълници или петоъгълници, които покриват повърхността на сфера или сфероид. Централното място сред фулерените се заема от молекулата С 60, която се характеризира с най-висока симетрия и в резултат на това най-висока стабилност. В тази молекула, наподобяваща гума за футболна топка и имаща структурата на правилен пресечен икосаедър (фиг. 2e и фиг. 3), въглеродните атоми са разположени върху сферична повърхност във върховете на 20 правилни шестоъгълника и 12 правилни петоъгълника, така че всеки шестоъгълник граничи с три шестоъгълника и три петоъгълника, а всеки петоъгълник е ограден с шестоъгълници.

Терминът "фулерен" произлиза от името на американския архитект Бъкминстър Фулър, който, оказва се, е използвал такива структури при изграждането на куполи на сгради (още една употреба на пресечен икосаедър!).

"Фулерените" са по същество "създадени от човека" структури, получени от фундаментални изследвания на физиката. За първи път те са синтезирани от учените Г. Крото и Р. Смолей (който получава Нобелова награда през 1996 г. за това откритие). Но те неочаквано бяха открити в скалите от докамбрийския период, тоест фулерените се оказаха не само „изкуствени“, но и естествени образувания. Сега фулерените се изследват интензивно в лаборатории. различни страни, опитвайки се да установи условията за тяхното образуване, структура, свойства и възможни области на приложение. Най-пълно изученият представител на семейството на фулерените е фулерен-60 (C 60) (понякога се нарича бъкминстер-фулерен. Известни са също фулерени C 70 и C 84. Фулерен C 60 се получава чрез изпаряване на графит в хелиева атмосфера. Това образува фин прах, подобен на сажди, съдържащ 10% въглерод; когато се разтвори в бензен, прахът дава червен разтвор, от който се отглеждат кристали C 60. Фулерените имат необичайни химични и физични свойства. Така при високо налягане C 60 става твърд като диамант.Неговите молекули образуват кристална структура, сякаш състояща се от съвършено гладки топки, свободно въртящи се в лицево центрирана кубична решетка.Благодарение на това свойство C 60 може да се използва като твърд лубрикант.Фулерените също имат магнитни и свръхпроводящи свойства.

Руски учени А.В. Елецки и Б.М. Смирнов в статията си „Фулерени“, публикувана в сп. „Успехи физически науки"(1993, том 163, № 2), имайте предвид, че „фулерени, чието съществуване е установено в средата на 80-те и ефективна технологиячието изолиране е разработено през 1990 г., сега се превърна в обект на интензивни изследвания от десетки научни групи. Резултатите от тези проучвания се следят отблизо от фирмите за приложения. Тъй като тази модификация на въглерода даде на учените цяла линияизненади, би било неразумно да обсъждаме прогнози и възможни последствияпроучване на фулерени през следващото десетилетие, но трябва да сте подготвени за нови изненади.

Художественият свят на словенската художничка Матюшка Тея Крашек

Матюшка Тея Красек има бакалавърска степен по живопис от Колежа по визуални изкуства (Любляна, Словения) и е художник на свободна практика. Живее и работи в Любляна. Нейните теоретични и практическа работасе фокусира върху симетрията като свързваща концепция между изкуството и науката. Нейни произведения са представени в много международни изложби и са публикувани в международни списания(Leonardo Journal, Leonardo онлайн).

М.Т. Крашек на изложбата си „Калейдоскопични аромати“, Любляна, 2005 г

Художественото творчество на Матюшка Тея Крашек е свързано с различни видове симетрия, плочки и ромби на Пенроуз, квазикристали, златното сечение като основен елемент на симетрията, числата на Фибоначи и др. С помощта на размисъл, въображение и интуиция тя се опитва да открийте нови взаимоотношения, нови нива на структура, нови и различни видоверед в тези елементи и структури. В своите творби тя широко използва компютърната графика като много полезно средство за създаване на произведения на изкуството, което е връзката между науката, математиката и изкуството.

На фиг. 11 е показан съставът на Т.М. Crashek, свързан с числата на Фибоначи. Ако изберем едно от числата на Фибоначи (например 21 см) за дължината на страната на диаманта на Пенроуз в тази осезаемо нестабилна композиция, можем да наблюдаваме как дължините на някои сегменти в композицията образуват редицата на Фибоначи.

Фигура 11.Матушка Тея Крашек "Числата на Фибоначи", платно, 1998 г.

Голям брой художествени композициина художника е посветен на квазикристалите на Шехтман и решетките на Пенроуз (фиг. 12).

(а)	б)

(в)	(G)

Фигура 12.Светът на Тея Крашек: (а) Светът на квазикристалите. Компютърна графика, 1996.
(б) Звезди. Компютърна графика, 1998 (c) 10/5. Холст, 1998 (d) Квазикуб. Платно, 1999 г

В композицията на Matyushka Teija Kraszek и Clifford Piccover "Biogenesis", 2005 (фиг. 13) е представен десетоъгълник, състоящ се от ромби на Пенроуз. Може да се наблюдава връзката между диамантите Петрус; всеки два съседни диаманта на Пенроуз образуват петоъгълна звезда.

Фигура 13.Матушка Тея Крашек и Клифърд Пиковър. Биогенезис, 2005.

на снимката Двойна звезда GA(Фигура 14) виждаме как плочките на Пенроуз пасват заедно, за да образуват двуизмерно представяне на потенциално хиперизмерен обект с десетоъгълна основа. Когато изобразява картината, художникът използва метода на твърдите ръбове, предложен от Леонардо да Винчи. Именно този метод на изображение ви позволява да видите в проекцията на картината върху равнина голямо числопетоъгълници и пентакли, които са образувани от проекции на отделни ръбове на ромби на Пенроуз. Освен това при проекцията на картината върху равнина виждаме десетоъгълник, образуван от ръбовете на 10 съседни ромба на Пенроуз. По същество в тази снимка Матюшка Тея Крашек откри нов правилен многостен, който е възможно наистина да съществува в природата.

Фигура 14.Матушка Тея Крашек. Двойна звезда GA

В композицията на Крашек "Звезди за Доналд" (фиг. 15) можем да наблюдаваме безкрайното взаимодействие на ромби, пентаграми, петоъгълници на Пенроуз, намаляващи към централната точка на композицията. Съотношенията на златното сечение са представени по много различни начини в различни мащаби.

Фигура 15.Матюшка Тея Крашек "Звезди за Доналд", компютърна графика, 2005 г.

Художествените композиции на Матюшка Тея Крашек привлякоха голямо внимание от представители на науката и изкуството. Нейното изкуство се приравнява с изкуството на Мауриц Ешер, а словенската художничка е наричана "източноевропейският Ешер" и "словенският дар" за световното изкуство.

Стахов А.П. „Шифърът на Да Винчи“, Платонови и Архимедови тела, квазикристали, фулерени, решетки на Пенроуз и художественият свят на Матюшка Тея Крашек // „Академия на тринитаризма“, М., Ел. № 77-6567, публикация 12561, 07.11. 2005 г

Въведение

Тази курсова работа е предназначена да:

1) консолидиране, задълбочаване и разширяване на теоретичните знания в областта на методите за моделиране на повърхности и обекти, практически умения и умения за софтуерно внедряване на методи;

2) подобряване на уменията за самостоятелна работа;

3) да развие способността да формулира преценки и заключения, да ги излага логично и убедително.

Солиди на Платон

Твърдите тела на Платон са изпъкнали полиедри, чиито лица са правилни многоъгълници. Всички многостенни ъгли на правилния многостен са еднакви. Както вече следва от изчисляването на сумата от плоските ъгли във върха, има не повече от пет изпъкнали правилни многостени. По посочения по-долу начин може да се докаже, че има точно пет правилни полиедъра (това е доказано от Евклид). Те са правилният тетраедър, хексаедър (куб), октаедър, додекаедър и икозаедър. Имената на тези правилни полиедри идват от Гърция. В буквален превод от гръцки "тетраедър", "октаедър", "хексахедър", "додекаедър", "икозаедър" означава: "тетраедър", "октаедър", "хексахедър". додекаедър, додекаедър.

Таблица №1

Таблица номер 2

Име:	Радиус на описаната сфера	Радиус на вписаната сфера
Тетраедър
Хексаедър
додекаедър
икосаедър

Тетраедър- тетраедър, всички лица на който са триъгълници, т.е. триъгълна пирамида; правилен тетраедър е ограничен от четири равностранни триъгълника. (Фиг. 1).

Куб или правилен хексаедър- правилна четириъгълна призма с равни ръбове, ограничена от шест квадрата. (Фиг. 1).

Октаедър- октаедър; тяло, ограничено от осем триъгълника; правилен октаедър е ограничен от осем равностранни триъгълника; един от петте правилни полиедра. (Фиг. 1).

додекаедър- додекаедър, тяло, ограничено от дванадесет многоъгълника; Правилен петоъгълник. (Фиг. 1).

икосаедър- двадесетстранно тяло, тяло, ограничено от двадесет многоъгълника; правилният икосаедър е ограничен от двадесет равностранни триъгълника. (Фиг. 1).

Кубът и октаедърът са дуални, т.е. се получават едно от друго, ако центроидите на лицата на едното се приемат за върхове на другото и обратно. Додекаедърът и икосаедърът са двойствени по подобен начин. Тетраедърът е двойствен на себе си. Правилен додекаедър се получава от куб чрез конструиране на „покриви“ върху лицата му (метод на Евклид), върховете на тетраедър са всеки четири върха на куба, които не са съседни по двойки по ръба. Така от куба се получават всички други правилни многостени. Самият факт за съществуването само на пет наистина правилни полиедъра е удивителен - все пак в равнината има безкрайно много правилни многоъгълници!

Всички правилни полиедри са били известни в Древна Гърция и на тях е посветена 13-та книга от „Началата” на Евклид. Наричат ​​ги още телата на Платон, т.к. те заемат важно място във философската концепция на Платон за структурата на Вселената. Четири полиедра олицетворяваха в него четири същности или „елементи“. Тетраедърът символизира огъня, т.к. върхът му е насочен нагоре; икосаедър? вода, защото той е най-"обтекаем"; куб - пръст, като най-"устойчив"; октаедър? въздух, като най-"въздушен". Петият полиедър, додекаедърът, въплъщава "всичко, което съществува", символизира цялата вселена и се смята за основен.

Древните гърци смятат хармоничните взаимоотношения за основа на Вселената, така че четирите елемента са свързани в такава пропорция: земя / вода = въздух / огън.

Във връзка с тези тела би било уместно да се каже, че първата система от елементи, включваща четири елемента? земя, вода, въздух и огън – е канонизиран от Аристотел. Тези елементи остават четирите крайъгълни камъка на Вселената в продължение на много векове. Напълно възможно е да ги идентифицираме с четирите познати ни състояния на материята – твърдо, течно, газообразно и плазмено.

Важно място заемат правилните полиедри в системата на хармоничната структура на света от И. Кеплер. Същата вяра в хармонията, красотата и математически правилната структура на Вселената доведе И. Кеплер до идеята, че тъй като има пет правилни полиедра, само шест планети им съответстват. Според него сферите на планетите са свързани помежду си с вписаните в тях платонови тела. Тъй като за всеки правилен полиедър центровете на вписаната и описаната сфера съвпадат, целият модел ще има един център, в който ще се намира Слънцето.

След като извърши огромна изчислителна работа, през 1596 г. И. Кеплер публикува резултатите от своето откритие в книгата "Тайната на Вселената". Той вписва куб в сферата на орбитата на Сатурн, в куб? сферата на Юпитер, сферата на Юпитер - тетраедър и така нататък последователно се вписват една в друга сферата на Марс? додекаедър, сферата на земята? икосаедър, сфера на Венера? октаедър, сферата на Меркурий. Тайната на Вселената изглежда открита.

Днес със сигурност може да се каже, че разстоянията между планетите не са свързани с никакви полиедри. Възможно е обаче без "Тайните на Вселената", "Хармонията на света" от И. Кеплер, правилните полиедри да не би имало три известни закона на И. Кеплер, които играят важна роляпри описанието на движението на планетите.

Къде другаде можете да видите тези невероятни тела? В книгата на немския биолог от началото на миналия век Е. Хекел „Красотата на формите в природата” могат да се прочетат следните редове: „Природата храни в лоното си неизчерпаемо количество. невероятни съществакоито по красота и многообразие далеч надминават всички форми, създадени от човешкото изкуство. "Творенията на природата, дадени в тази книга, са красиви и симетрични. Това е неделимо свойство на естествената хармония. Но тук също се виждат едноклетъчни организми? feodarii, the Формата на която точно предава икосаедъра Каква е тази естествена геометризация, причинена от факта, че от всички полиедри с еднакъв брой лица, именно икосаедърът има най-голям обем и най-малка площповърхности. Това геометрично свойство помага на морския микроорганизъм да преодолее налягането на водния стълб.

Интересен е и фактът, че именно икосаедърът се оказва в центъра на вниманието на биолозите в споровете им относно формата на вирусите. Вирусът не може да бъде идеално кръгъл, както се смяташе досега. За да установят формата му, те взеха различни полиедри, насочиха светлина към тях под същите ъгли, под които протича потокът от атоми към вируса. Оказа се, че само един полиедър дава точно същата сянка? икосаедър. Неговата геометрични свойства, споменати по-горе, ви позволяват да спестите генетична информация. Правилни полиедри? най-печелившите фигури. И природата се възползва от това. Кристалите на някои познати ни вещества са под формата на правилни полиедри. И така, кубът предава формата на кристалите на натриев хлорид NaCl, монокристалът на алуминиево-калиев стипца (KAlSO4) 2 · 12H2O има формата на октаедър, кристалът на серен пирит FeS има формата на додекаедър, натриевият антимон сулфат е тетраедър, борът е икосаедър. Правилните полиедри определят формата на кристалните решетки на някои химикали.

И така, правилните полиедри ни разкриха опитите на учените да се доближат до тайната на световната хармония и показаха неустоимата привлекателност и красота на тези геометрични фигури.

ПЛАТОНЕВИ ТЕЛА С ПОДРОБНОТО ИМ ОПИСАНИЕ

ТЕЛАТА НА ПЛАТОН [П. - от гръцки. Платон (427-347 пр. н. е. / T. - произход. вижте ТЯЛО), съвкупността от всички правилни многостени [т.е. д. обемни (триизмерни) тела, ограничени от еднакви правилни многоъгълници] на триизмерния свят, описан за първи път от Платон (на тях е посветена и последната, XIII-та книга на "Началата" на ученика на Платон Евклид); // с цялото безкрайно разнообразие от правилни многоъгълници (двуизмерни геометрични фигури, ограничени от равни страни, чиито съседни двойки образуват равни ъгли), има само пет обемни P.T. (виж табл. 6), в съответствие с което от времето на Платон са поставени петте елемента на Вселената; връзката, която съществува между хексаедъра и октаедъра, както и между додекаедъра и икосаедъра, е любопитна: геометричните центрове на лицата на всяко от първите са върховете на всяко от второто.

Човек проявява интерес към полиедрите през цялата си съзнателна дейност - от двегодишно дете, което играе с дървени кубчета, до зрял математик. Някои от правилните и полуправилните тела се срещат в природата под формата на кристали, други под формата на вируси, които могат да се видят с електронен микроскоп. Какво е полиедър? За да отговорим на този въпрос, нека припомним, че самата геометрия понякога се определя като наука за пространството и пространствените фигури – двуизмерни и триизмерни. Двуизмерната фигура може да се дефинира като набор от линейни сегменти, ограничаващи част от равнина. Такава плоска фигура се нарича многоъгълник. От това следва, че полиедърът може да се дефинира като набор от многоъгълници, ограничаващи част от триизмерното пространство. Многоъгълниците, които образуват многостен, се наричат ​​негови лица.

От древни времена учените се интересуват от „идеалните“ или правилни многоъгълници, тоест многоъгълници, които имат равни страни и равни ъгли. Равностранен триъгълник може да се счита за най-простият правилен многоъгълник, тъй като има най-малък брой страни, които могат да ограничат част от равнина. Общата картина на правилните многоъгълници, които ни интересуват, заедно с равностранен триъгълник, е: квадрат (четири страни), петоъгълник (пет страни), шестоъгълник (шест страни), осмоъгълник (осем страни), десетоъгълник ( десет страни) и др. Очевидно теоретично няма ограничения за броя на страните на правилен многоъгълник, тоест броят на правилните многоъгълници е безкраен.

Какво е правилен многостен? Полиедърът се нарича правилен, ако всички негови лица са равни (или съвпадащи) едно с друго и в същото време са правилни многоъгълници. Колко правилни многостени има? На пръв поглед отговорът на този въпрос е много прост – колкото са правилните многоъгълници. Обаче не е така. В Елементите на Евклид намираме строго доказателство, че има само пет правилни многостени и че само три вида правилни многоъгълници могат да бъдат техните лица: триъгълници, квадрати и петоъгълници.

Име Брой лица Елемент
Тетраедър 4 Огън
Хексаедър/Куб 6 Земя
Октаедър 8 Въздух
Икосаедър 10 Вода
Додекаедър 12 Етер

Светът на звездните полиедри

Нашият свят е пълен със симетрия. От древни времена представите ни за красотата са свързани с нея. Може би това обяснява трайния интерес на човека към удивителните символи на симетрията, които привлякоха вниманието на много видни мислители, от Платон и Евклид до Ойлер и Коши.

Полиедрите обаче съвсем не са обект само на научни изследвания. Формите им са завършени и причудливи, широко използвани в декоративното изкуство.

Звездообразните полиедри са много декоративни, което им позволява да бъдат широко използвани в бижутерийната индустрия при производството на всякакви бижута. Използват се и в архитектурата. Много форми на звездни полиедри са предложени от самата природа. Снежинките са многогранници с форма на звезда. От древни времена хората са се опитвали да опишат всички възможни видове снежинки и са съставяли специални атласи. Вече са известни няколко хиляди различни вида снежинки.

звездовиден додекаедър

Големият звездовиден додекаедър принадлежи към семейството на телата на Kepler-Poinsot, тоест правилни неизпъкнали полиедри. Лицата на големия звездовиден додекаедър са пентаграми, като тези на малкия звездовиден додекаедър. Всеки връх свързва три лица. Върховете на големия звездовиден додекаедър съвпадат с върховете на описания додекаедър.

Големият звездовиден додекаедър е описан за първи път от Кеплер през 1619 г. Това е последната звездовидна форма на правилния додекаедър.

додекаедър

Древните мъдреци са казали: „За да познаеш невидимото, вгледай се внимателно във видимото“. По отношение на свещените сили додекаедърът е най-мощният полиедър. Нищо чудно, че Салвадор Дали е избрал тази фигура за своята "Тайна вечеря". В него от дванадесет петоъгълника - също силна фигура, силите са съсредоточени в една точка - върху Исус Христос.

додекаедър(от гръцки dodeka - дванадесет и hedra - ръб) е правилен многостен, съставен от дванадесет равностранни петоъгълника.

Додекаедърът има 20 върха и 30 ръба.
Върхът на додекаедъра е връх на три петоъгълника, така че сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 324°.
Сборът от дължините на всички ръбове е 30a.
Додекаедърът има център на симетрия и 15 оси на симетрия.

Всяка от осите минава през средните точки на противоположни успоредни ребра. Додекаедърът има 15 равнини на симетрия. Всяка от равнините на симетрия минава във всяко лице през върха и средата на противоположния ръб.

Правилните полиедри привличат със съвършенството на формите си, пълната симетрия. Някои от правилните и полуправилни тела се срещат в природата под формата на кристали, други - под формата на вируси, най-простите микроорганизми.
Кристалите са тела, които имат многостранна форма. Ето един пример за такива тела: кристал от пирит (серен пирит FeS) е естествен модел на додекаедър.
Полиомиелитният вирус има формата на додекаедър. Той може да живее и да се размножава само в човешки и приматни клетки. Това по-специално означава, че можете да получите полиомиелит само от хора. В допълнение, много вируси се предават чрез вектори, често пренасяни от членестоноги (напр. кърлежи). Такива вируси могат да имат широк кръг от гостоприемници, включително гръбначни и безгръбначни.

Волвоксовите водорасли - един от най-простите многоклетъчни организми - представлява сферична обвивка, съставена главно от седмоъгълни, шестоъгълни и петоъгълни клетки (т.е. клетки, които имат седем, шест или пет съседни; три клетки се събират във всеки "върх").

Има случаи, които имат както четириъгълни, така и осмоъгълни клетки, но биолозите са забелязали, че ако няма такива „нестандартни“ клетки (с по-малко от пет и повече от седем) страни, тогава винаги има точно дванадесет петоъгълни клетки повече от седмоъгълните (общо може да има няколкостотин или дори хиляди клетки). Това твърдение следва от добре известната формула на Ойлер.
Фулерените са една от формите на въглерода. Те са открити, докато се опитват да моделират процесите, протичащи в космоса. По-късно учените в земните лаборатории успяват да синтезират и изследват множество производни на тези сферични молекули. Възникна химията на фулерените. Някои съединения, включени в кристалната решетка на C60 фулерен, се оказаха "горещи свръхпроводници" с критична температура до 117 K.
Правят се опити за създаване на материали на базата на фулерени за зараждащата се молекулярна електроника. Всичко това е интересно и важно. Но фулерените, както се оказа, се намират и в земните скали. Сега, с наличието на фулерени в шунгита, някои ентусиасти свързват лечебния ефект на откритите през 1714 г. бойни води, с които е бил лекуван Петър Велики. И последните открития на геохимиците ни карат да се върнем към проблема за произхода на фулерените. Възможно е, че нов химически изследванияземните фулерени леко ще отворят други страници от богатата история на планетата Земя!
В алхимията обикновено се говори само за тези елементи: огън, земя, въздух и вода; етерът рядко се споменава, защото е толкова свещен. В питагорейската школа, ако просто споменете думата "додекаедър" извън стените на школата, ще бъдете убит на място. Тази фигура се смяташе за толкова свещена. Дори не говореха за нея. Двеста години по-късно, по време на живота на Платон, те говориха за нея, но много внимателно. Защо? Тъй като додекаедърът е разположен на външния ръб на вашия енергийно полеи е най-висшата форма на съзнание. Когато достигнете границата от 55 фута на вашето енергийно поле, то ще бъде във формата на сфера. Но вътрешната фигура, която е най-близо до сферата, е додекаедърът (всъщност връзката додекаедър-икосаедър). В допълнение към това, ние живеем в голям додекаедър, който съдържа Вселената. Когато умът ви достигне границата на пространството на космоса – а граница има – тогава се натъква на додекаедър, затворен в сфера. Додекаедърът е последната фигура на геометрията и е много важна.
На микроскопично ниво додекаедърът и икосаедърът са относителните измерения на ДНК, от които е изграден целият живот. Можете също така да видите, че ДНК молекулата е въртящ се куб. Когато кубът се завърти последователно на 72 градуса по определен модел, се получава икосаедър, който от своя страна е двойка додекаедър.
По този начин двойната верига на ДНК спиралата е изградена на принципа на двупосочна кореспонденция: икосаедърът е последван от додекаедър, след това отново икосаедър и т.н. Това въртене през куба създава ДНК молекула.
Структурата на ДНК се основава на свещената геометрия, въпреки че други скрити връзки могат да бъдат разкрити.
Книгата Heartmath на Дан Уинтър показва, че молекулата на ДНК е съставена от двойствените връзки на додекаедри и икосаедри.

Текуща страница: 4 (общата книга има 36 страници) [достъпен откъс за четене: 9 страници]

Платон I: Структура от симетрия - Платонови тела

Платонови тела поддържат някакъв вид магия около тях. Те винаги са били и си остават тези предмети, с които можете да правите магии. Те се коренят дълбоко в праисторическите времена на човечеството и сега живеят като обекти, които обещават добър или лош късмет в най-известните настолни игри, по-специално в известните Dungeons and Dragons. В допълнение, тяхната мистериозна сила е вдъхновила учените за някои от най-важните открития в развитието на математиката и физиката. Тяхната неизразима красота е достойна за дълбоко съсредоточаване върху тях.

Албрехт Дюрер в своята гравюра "Меланхолия I" (ил. 4) внушава очарованието на правилните полиедри, въпреки че тялото, изобразено на неговата картина, не е съвсем платоническо. (Технически това е пресечен триъгълен трапецоедър. Може да се получи чрез разтягане на лицата на октаедъра по определен начин.) Може би Крилатият гений е изпаднал в меланхолия, защото не е могъл да разбере защо злото прилепхвърли в кабинета си точно това, не съвсем платоническо тяло вместо нормална фигура.

аз ще. 4. Албрехт Дюрер "Меланхолия I"

Картината показва пресечено Платоново тяло, магически квадрати много други езотерични символи. От моя гледна точка, това идеално илюстрира раздразнението, което често изпитвам, когато се опитвам да разбера реалността с чиста идея. За щастие това не винаги е така.

Правилни многоъгълници

Преди да преминем към Платоновите тела, нека започнем с нещо по-просто - с най-близките им аналози в две измерения, а именно правилните многоъгълници. Правилният многоъгълник е плоска фигура, в която всички страни са равни и се срещат под равни ъгли. Най-простият правилен многоъгълник има три страни - това е равностранен триъгълник. Следва квадрат с четири страни. След това - правилен петоъгълник или петоъгълник (който е избран за символ на питагорейците и е взет за основа в дизайна на добре познатия щаб на въоръжените сили 9
Става дума за Пентагона – главната административна сграда на Министерството на отбраната на САЩ. - Забележка. пер.

), шестоъгълник (част от кошер и, както ще видим по-късно, графен 10
Слой от въглеродни атоми, свързани в шестоъгълна двуизмерна кристална решетка. - Забележка. пер.

), седмоъгълник (може да се намери на различни монети), осмоъгълник (задължителни знаци за спиране), нонагон ... Тази поредица може да бъде продължена безкрайно: за всяко цяло число, започвайки от три, има уникален правилен многоъгълник. Във всеки случай броят на върховете е равен на броя на страните. Можем също да разглеждаме кръга като краен случай на правилен многоъгълник, където броят на страните става безкраен.

Правилните многоъгълници, в някакъв интуитивен смисъл, могат да приемат значението на идеалното въплъщение на равнинни "атоми". Те могат да служат като концептуални атоми, от които можем да съставим по-сложни структури на ред и симетрия.

Платонови тела

Сега нека да преминем от плоски фигури към триизмерни. За максимална еднородност можем да обобщим понятието правилен многостен по различни начини. Най-естественият от тях, който се оказва и най-плодотворен, води до Платоновите тела. Говорим за триизмерни тела, чиито лица са правилни многоъгълници, еднакви и затварящи се по един и същи начин във всеки връх. Тогава, вместо безкрайна поредица от решения, получаваме точно пет тела!

аз ще. 5. Пет платонови тела - магически фигури

Петте платонови тела са:

тетраедърс четири триъгълни лица и четири върха, във всеки от които се събират три лица;

октаедърс осем триъгълни лица и шест върха, всеки от които събира четири лица;

икосаедърс 20 триъгълни лица и 12 върха, във всяка от които се събират пет лица;

додекаедърс 20 петоъгълни лица и 20 върха, във всеки от които се събират три лица;

кубс шест квадратни лица и осем върха, всеки от които има три срещащи се лица.

Съществуването на тези пет полиедра е лесно разбираемо и техни модели могат да бъдат конструирани без особени затруднения. Но защо са само пет? (Или има и други?)

За да се справите с този въпрос, забележете, че върховете на тетраедъра, октаедъра и икосаедъра обединяват три, четири и пет триъгълника, събиращи се заедно, и задайте въпроса: "Какво ще се случи, ако продължим и има шест?" Тогава ще разберем, че шест равностранни триъгълника с общ връх ще лежат на равнината. Колкото и да повтаряме този плосък обект, той няма да ни позволи да изградим цялостна фигура, която ограничава определен обем. Вместо това фигурата ще се разпространи за неопределено време в равнината, както е показано на фиг. 6 (вляво).

аз ще. 6. Три безкрайни платонови повърхности

Фигурата показва само крайните им части. Тези три правилни замествания на равнината могат и трябва да се възприемат като сходни с платоновите тела - техните блудни братя, които са тръгнали на поклонение и никога няма да се върнат.

Ще получим същите резултати, ако свържем четири квадрата или три шестоъгълника. Тези три правилни разделина равнината - достойни допълнения към Платоновите тела. По-нататък ще видим как те оживяват в микрокосмоса (ил. 29).

Ако се опитаме да наместим повече от шест равностранни триъгълника, четири квадрата или произволни три големи правилни многоъгълника, ще ни свърши мястото и просто не можем да поставим общия им ъгъл около върха. И така петте платонови тела са крайни правилни полиедри, които могат да съществуват.

Показателно е, че определени крайно число- пет - възниква от съображения за геометрична коректност и симетрия. Коректността и симетрията са естествени и прекрасни неща, за които трябва да се мисли, но те нямат очевидна или пряка връзка с определени числа. Както ще видим, Платон тълкува това труден случайпоявата им по удивително креативен начин.

заден план

Често известни хораслава се дава за откритията, направени от други. Това е "ефектът на Матей", открит от социолога Робърт Мертън и базиран на редовете от Евангелието на Матей:

Защото на всеки, който има, ще се даде и той ще има изобилие, но от този, който няма, ще се вземе и това, което има. 11
Евангелие от Матей 13:12. - Забележка. пер.

Това се случи с платоновите тела.

В музея Ашмолайн в Оксфордския университет 12
Музей на изкуството и археологията, Оксфорд. - Забележка. пер.

Можете да видите стойка с пет издълбани камъка, изработени около 2000 г. пр.н.е. д. в Шотландия, които изглеждат като реализации на петте платонови тела (въпреки че някои учени оспорват това). Очевидно са били използвани в някаква игра на зарове. Човек може да си представи как пещерните хора са се събирали около общ огън и са издълбавали „Подземията и драконите“ от епохата на палеолита. Напълно възможно е не Платон, а неговият съвременник Теетет (417-369 г. пр. н. е.) да е първият, който математически доказва, че същите тези пет тела са единствените възможни правилни полиедри. Не е ясно до каква степен Платон е вдъхновил Теетет или обратното, или дали е имало нещо във въздуха на древна Атина, което и двамата са вдъхновили. Във всеки случай Платоновите тела са получили името си, защото Платон първоначално ги е използвал в работата на гениален талант творческо въображениеда създадем теория за физическия свят по визионерски начин.

аз ще. 7. Предплатонови изображения на Платонови тела, които може да са били използвани в игри със зарове около 2000 г. пр.н.е. д.

Поглеждайки към много по-далечно минало, разбираме, че някои от най-простите създания на биосферата, включително вируси и диатомеи (не двойки атоми, както може да се предположи от името, а водорасли, които често растат със сложни черупки под формата на Платонови тела), не само „откриха“, но и буквално въплътиха Платоновите тела много преди първите хора да се появят на Земята. херпесен вирус; вирусът, който причинява хепатит В; човешкият имунодефицитен вирус и вирусите на много други заболявания имат форма на икосаедър или додекаедър. Те обвиват своя генетичен материал – ДНК или РНК – в протеинови екзоскелетни капсули, които определят външните им форми, както е показано в цветен панел D. Капсулите са цветно кодирани, така че едни и същи цветове означават едни и същи градивни елементи. Хваща окото връзката на три петоъгълника, характерна за додекаедъра. Но ако начертаем прави линии през центровете на сините области, тогава ще видим икосаедър.

По-сложни микроскопични същества, включително радиолариите, които Ернст Хекел обичаше да изобразява в своята отлична книга „Красотата на формите в природата“, също вдъхват живот на платоновите тела. На болен. 8 виждаме сложния силициев екзоскелет на тези едноклетъчни организми. Радиоларите са древна форма на живот, открита в най-ранните вкаменелости. Днес океаните са пълни с тях. Всяко от петте платонови тела е въплътено в определено число видовеживи организми. Имената на някои от тях дори фиксираха формата си, вкл Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedraи Circorrhegma dodecahedra.

Вдъхновяващата идея на Евклид

Елементите на Евклид са най-великият учебник на всички времена и други книги не могат да се мерят с тях. Тази книга внесе система и строгост в геометрията. В по-широк план тя въвежда в областта на идеите - чрез практическо приложение - метода на анализа и синтеза.

аз ще. 8. Радиоляриите стават видими под обектива на най-простия микроскоп. Техните екзоскелети често показват симетрията на платоновите тела.

Анализът и синтезът е предпочитаната формулировка на „редукционизма“ за Исак Нютон и за нас също. Ето какво казва Нютон:

Чрез такъв анализ можем да преминем от съединенията към съставките, от движенията към силите, които ги произвеждат, и като цяло от ефектите към техните причини, от конкретните причини към по-общите, докато аргументът завърши с най-общата причина. Такъв е методът на анализа, докато синтезът предполага причини, открити и установени като принципи; тя се състои в обяснение с помощта на принципи на явленията, които произтичат от тях, и в доказване на обясненията 13
цит. Цитирано от: Нютон I. Оптика, или трактат за отраженията, пречупванията, огъванията и цветовете на светлината. - М.-Л.: Госиздат, 1927. - С. 306.

Тази стратегия може да се сравни с подхода на Евклид към геометрията, където той започва с прости, интуитивни аксиоми, за да изведе от тях по-сложни и изненадващи последствия. Великата Mathematica на Нютон, основополагащият документ на съвременната математическа физика, също следва експоненциалния стил на Евклид, преминавайки стъпка по стъпка от аксиоми през логически конструкции към по-значими резултати.

Важно е да подчертаете, че аксиомите (или законите на физиката) не ви казват какво да правите с тях. Събирайки ги заедно без никаква цел, е лесно да създадете голям брой нищо. смислени фактикоето скоро ще бъде забравено. Това е като парче или музикално произведение, което се лута като бездомно и не стига до никъде. Както установиха тези, които са се опитали да адаптират изкуствения интелект за решаване на творчески математически проблеми, най-трудното нещо в този бизнес е да се определят целите. Имайки предвид ценна цел, става по-лесно да намерите средства за постигането й. Обичам бисквитките с късмети и след като попаднах на най-късметлийската бисквитка в света, поговорката, която намерих в нея, обобщава всичко перфектно:

Самата работа ще ви научи как да го направите.

И, разбира се, за по-добро учене е изкушаващо учениците и потенциалните читатели да имат вдъхновяваща цел пред себе си. От самото начало те са дълбоко впечатлени от знанието, че могат да предвидят усещането за удивителния трик за създаване на конструкция, която се движи неумолимо от „очевидни“ аксиоми към далеч неочевидни заключения.

И така, каква беше целта на Евклид в Елементите? Тринадесетият и последен том на този шедьовър завършва с изграждането на петте платонови тела и доказателството защо съществуват само пет. Приятно ми е да мисля — още повече, че е доста правдоподобно — че Евклид е мислил за това заключение, когато е започнал да работи върху цялата книга и докато я е писал. Така или иначе, това е подходящо и удовлетворяващо заключение.

Платонови твърди тела като атоми

Древните гърци разпознават четири основни компонента или елемента в материалния свят: огън, вода, земя и въздух. Може би сте забелязали, че броят на елементите - четири - е близо до пет, броя на правилните полиедри. Платон, разбира се, забеляза! В неговия най-авторитетен, пророчески и неразбираем диалог, Тимей, се открива теория за елементите, основана на полиедри. Състои се от следното.

Всеки елемент е изграден от определени видове атоми. Атомите имат формата на платонови тела: атомите на огъня имат формата на тетраедър, атомите на водата имат формата на икосаедър, атомите на земята имат формата на куб, атомите на въздуха имат формата на октаедър.

Има известна правдоподобност в тези твърдения. Дават обяснения. Огнените атоми имат остра форма, което обяснява защо огънят е болезнен при допир. Водните атоми са най-гладките и кръгли, така че те могат плавно да текат един около друг. Атомите на земята могат да бъдат плътно притиснати един към друг и да запълнят пространството без празнини. Въздухът, който може да бъде както горещ, така и влажен, има междинна форма на атоми между огъня и водата.

Въпреки че четири е близо до пет, те не могат да бъдат равни, така че не може да има пълно съвпадение между правилните полиедри, считани за атоми, и елементите. Един по-малко надарен мислител може би би се обезсърчил от тази трудност, но брилянтният Платон не загуби присъствието си на духа. Той го прие едновременно като предизвикателство и възможност. Той предположи, че останалият правилен многостен, додекаедърът, също играе роля в ръцете на Създателя-строител, но не като атом. Не, додекаедърът не е просто някакъв вид атом, той по-скоро повтаря формата на самата Вселена като цяло.

Аристотел, който винаги се е опитвал да надмине Платон, предлага друга, по-консервативна и последователна теория. Двете основни идеи на тези влиятелни философи са, че луната, планетите и звездите, които обитават небесен свод, се състоят от съвсем различна материя от тази, която можем да намерим в подлунния свят, и че „природата не търпи празнота“; така че небесното пространство не може да бъде празно. Това разсъждение изискваше съществуването на пети елемент, или квинтесенция, различен от земята, огъня, водата и въздуха, за да изпълни небесния свод. Така додекаедърът намери своето място като атом на квинтесенцията или етера.

Днес е трудно да се съгласим с подробностите на двете теории. За науката е безполезно да анализира света от гледна точка на тези четири (или пет) елемента. В съвременния възглед атомите изобщо не са твърди тела, и още повече, че те нямат формата на Платонови тела. Теорията на Платон за елементите от днешна гледна точка изглежда груба и безнадеждно погрешна във всяко отношение.

Структура от симетрия

Но въпреки че възгледите на Платон се провалиха като научна теория, те бяха успешни като предсказание и, бих казал, като произведение на интелектуалното изкуство. За да оценим концепцията в това си качество, трябва да се отдалечим от детайлите и да я разгледаме като цяло. Дълбоко, ключово предположение в системата на физическия свят от гледна точка на Платон е, че този свят като цяло трябва да въплъщава красиви концепции. И тази красота трябва да бъде красота от специален вид: красотата на математическата коректност, съвършената симетрия. За Платон, както и за Питагор, тази хипотеза е била едновременно вяра, копнеж и основен принцип. Те копнеели да приведат Ума в хармония със Субстанцията, показвайки, че Субстанцията се състои от най-чистите продукти на Ума.

Важно е да се подчертае, че Платон се издига в идеите си над общоприетото ниво на философски обобщения на своето време, за да направи определени твърдения за това какво е материята. Неговите идиосинкратични, макар и погрешни идеи не попадат в прословутата категория „дори не е погрешно“. 14
Твърди се, че известният теоретичен физик Волфганг Паули веднъж е критикувал безпомощната работа на един млад учен с пословичните думи: „Това не само е грешно, но дори не е по-малко от грешно!“ - Забележка. пер.

Както видяхме, Платон дори предприе някои стъпки към сравняването на тази теория с реалността. Огънят гори, защото тетраедърът има остри ръбове, водата тече, защото икосаедрите лесно се търкалят един върху друг и т.н. химична реакцияи свойства на сложни (състоящи се от повече от един елемент) вещества. Тези обяснения се основават на геометрията на атомите. Но тези пропилени усилия са депресиращо далеч от това, което ние, с цялото си желание, бихме могли да считаме за сериозно експериментално доказателство за научна теория и дори по-далеч от използването на научно познаниеза практически цели.

И все пак възгледите на Платон по няколко начина предвиждат съвременни идеи, които са в челните редици на научното мислене днес.

Въпреки че предложените от Платон градивни елементи на материята изобщо не са това, което познаваме днес, самата идея, че има само няколко градивни елемента, които съществуват в много идентични копия, остава фундаментална.

Но дори и тази неясна вдъхновяваща идея да не бъде взета под внимание, по-специфичният принцип на изграждане на теорията на Платон е да се подчертае структуриот симетрияоставила своя отпечатък във вековете. Ние достигаме до малък брой специални структури от чисто математически съображения – съображения за симетрия – и ги представяме на природата като възможни елементинейните сгради. Видът математическа симетрия, която Платон избра, за да състави своя списък от съставни елементи, е доста различна от симетрията, която използваме днес. Но идеята за това какво е в основата на природата лъжисиметрията започна да доминира в нашето възприемане на физическата реалност. Спекулативната идея, че симетрията определя структурата - тоест, че човек може да използва високи изисквания за математическо съвършенство, за да излезе с малък списък от възможни реализации и след това да използва този списък като ръководство за изграждане на модел на света - се превърна в нашето ръководство звезда.на границите на неизвестното,небелязана на нито една карта. Тази идея е почти богохулна в своето безразсъдство, тъй като твърди, че можем да разберем как е действал Учителят и да знаем как точно е направено всичко. И както ще видим по-късно, това се оказа абсолютно правилно.

За да обозначи Създателя на физическия свят, Платон използва думата "демиург". Буквалното му значение е "господар"; обикновено се превежда с думата "творец", което не е съвсем вярно. Платон е избрал тази гръцка дума много внимателно. Това отразява неговото убеждение, че физическият свят не е крайната реалност. Съществува и вечен и вечен свят на Идеи, които съществуват преди всички, с необходимост от несъвършено, физическо въплъщение и независимо от него. Неспокойният творчески ум - Майсторът или Създателят - формира своите творения от идеи, използвайки последните като калъпи.

„Тимей“ е трудна за разбиране творба и винаги има изкушение да объркате неизвестността или грешката с дълбочина. Осъзнавайки това, въпреки това намирам за интересно и вдъхновяващо, че Платон не се спира на платоновите тела, а отразява атомите в други форми, като физически обекти, от своя страна, могат да бъдат съставени от по-примитивни триъгълници. Детайлите, разбира се, „дори не са погрешни“, но интуицията, която призовава моделът да се приеме сериозно, да се говори на неговия език и да се прокарат границите, е фундаментално правилна. Идеята, че атомите могат да имат съставни части, предупреждава съвременния стремеж към все по-задълбочен анализ. И идеята, че тези съставни части при нормални условия не могат да съществуват като отделни обекти, а се намират само като части от по-сложни обекти, може би току-що се реализира в днешните кварки и глуони, вечно свързани вътре в атомните ядра.

Освен всичко друго, сред размишленията на Платон ще открием идеята, която е централна в нашите разсъждения – идеята, че светът в своята дълбока структура въплъщава Красотата. Това е съживеният дух на разсъжденията на Платон. Той приема, че самата основа на структурата на света - неговите атоми - са въплъщения на чисти идеи, които могат да бъдат открити и ясно формулирани чрез просто усилие на ума.

Спестяване на пари

Обратно към вирусите: откъде са научили геометрията си?

Такъв е случаят, когато простотата приема формата на сложност, или по-точно, когато простите правила определят структурата на очевидното сложни структури, които при зрял размисъл стават идеално прости. Основното е, че ДНК на вирусите 15
Не всички вируси имат генетичен материал под формата на ДНК; Има и РНК-съдържащи вируси. - Забележка. изд.

Който трябва да носи информация за всички аспекти на техния живот, е много ограничен по размер. За спестяване на дължина строителен материал, струва си да направите нещо от прости идентични части, свързани по същия начин. Вече сме чували тази песен: "прости, еднакви части, еднакво свързани" - и точно в дефиницията на Платоновите тела! Тъй като частта прави цялото, вирусите не трябва да знаят за додекаедри или икосаедри, само за триъгълници, плюс едно или две правила, за да ги свържат заедно. Само че по-разнородните, неправилни и на пръв поглед дори произволни тела - като хората - изискват по-подробни инструкции за сглобяване. Симетрията се появява като структура по подразбиране, когато информацията и ресурсите са ограничени.