Равновесното положение на пружинното махало. Трептения на пружинно махало

Пружинното махало е материална точка от маса, закрепена към абсолютно еластична безтегловна пружина с коравина . Има два най-прости случая: хоризонтален (фиг. 15, а) и вертикално (фиг. 15, b) махала.

а) Хоризонтално махало(фиг. 15а). При преместване на товара
извън равновесие по количеството действа върху него в хоризонтална посока. връщане еластична сила
(закон на Хук).

Предполага се, че хоризонталната опора, върху която се плъзга товарът
по време на своите вибрации, той е абсолютно гладък (без триене).

б) вертикално махало(фиг.15, b). Равновесното положение в този случай се характеризира с условието:

където - големината на еластичната сила, действаща върху товара
когато пружината е статично опъната под въздействието на гравитацията
.

а

Фиг.15. Пружинно махало: а- хоризонтални и b– вертикален

Ако пружината се разтегне и товарът се освободи, тя ще започне да трепти вертикално. Ако отместването в даден момент от време е
, тогава еластичната сила сега ще бъде записана като
.

И в двата разгледани случая пружинното махало извършва хармонични трептения с период

(27)

и циклична честота

. (28)

На примера на разглеждане пружинно махаломожем да заключим, че хармоничните трептения са движение, причинено от сила, която нараства пропорционално на изместването . По този начин, ако възстановяващата сила изглежда като закона на Хук
(тя получи иметоквазиеластична сила ), тогава системата трябва да извършва хармонични трептения.В момента на преминаване на равновесното положение възстановяващата сила не действа върху тялото, но тялото прескача равновесното положение по инерция и възстановяващата сила променя посоката си в противоположната.

Математическо махало

Фиг.16. Математическо махало

Математическо махалое идеализирана система под формата на материална точка, окачена на безтегловна неразтеглива нишка с дължина , който извършва малки трептения под действието на гравитацията (фиг. 16).

Трептения на такова махало при малки ъгли на отклонение
(не надвишава 5º) може да се счита за хармонична, а цикличната честота математическо махало:

, (29)

и периода:

. (30)

2.3. Енергия на тялото по време на хармонични вибрации

Енергията, предадена на осцилиращата система по време на първоначалния тласък, ще се трансформира периодично: потенциалната енергия на деформираната пружина ще се преобразува в кинетичната енергия на движещия се товар и обратно.

Нека пружинното махало извършва хармонични трептения с началната фаза
, т.е.
(фиг.17).

Фиг.17. закон за опазване механична енергия

когато пружинното махало трепти

При максимално отклонение на товара от равновесното положение общата механична енергия на махалото (енергията на деформирана пружина с твърдост ) е равно на
. При преминаване през равновесното положение (
) потенциална енергияпружината ще стане равна на нула и общата механична енергия на трептящата система ще се определи като
.

Фигура 18 показва зависимостите на кинетичната, потенциалната и пълната енергия в случаите, когато хармоничните трептения се описват с тригонометрични функции на синуса (пунктирана линия) или косинуса (плътна линия).

Фиг.18. Графики на времевата зависимост на кинетиката

и потенциална енергия за хармонични трептения

От графиките (фиг. 18) следва, че честотата на промяна на кинетичната и потенциалната енергия е два пъти по-висока от собствената честота на хармоничните трептения.

Осцилаторно движение е всяко периодично повтарящо се движение. Следователно зависимостите на координатата и скоростта на тялото от времето по време на трептения се описват с периодични функции на времето. AT училищен курсфизиците разглеждат такива трептения, при които зависимостите и скоростите на тялото са тригонометрични функции , или комбинация от тях, където е някакво число. Такива трептения се наричат ​​хармонични (функции и често наричани хармонични функции). За решаване на задачи за вибрации, включени в програмата на унифициран държавен изпитвъв физиката трябва да знаете дефинициите на основните характеристики трептящо движение: амплитуда, период, честота, кръгова (или циклична) честота и фаза на трептене. Нека дадем тези дефиниции и да свържем изброените величини с параметрите на зависимостта на координатата на тялото от времето, която в случай на хармонични трептения винаги може да бъде представена като

където , и са някои числа.

Амплитудата на трептене е максималното отклонение на трептящо тяло от равновесното положение. Тъй като максималната и минималната стойност на косинуса в (11.1) е равна на ±1, тогава амплитудата на трептенията на тялото, което трепти (11.1), е равна на . Периодът на трептене е минималното време, след което движението на тялото се повтаря. За зависимостта (11.1) периодът може да бъде зададен от следните съображения. косинус - периодична функцияс период. Следователно движението се повтаря напълно през такава стойност, че . От тук получаваме

Кръговата (или циклична) честота на трептене е броят на трептенията за единица време. От формула (11.3) заключаваме, че кръговата честота е стойността от формула (11.1).

Фазата на трептене е аргументът на тригонометричната функция, която описва зависимостта на координатата от времето. От формула (11.1) виждаме, че фазата на трептения на тялото, чието движение се описва от зависимостта (11.1), е равна на . Стойността на фазата на трептене в момент = 0 се нарича начална фаза. За зависимост (11.1) началната фаза на трептенията е равна на стойността . Очевидно началната фаза на трептенията зависи от избора на времевата отправна точка (момент = 0), която винаги е условна. Чрез промяна на произхода на еталонното време началната фаза на трептенията винаги може да бъде "направена" равна на нула, а синусът във формулата (11.1) да бъде "превърнат" в косинус или обратно.

Програмата на единния държавен изпит включва и познаване на формулите за честотата на трептене на пружинните и математическите махала. Обичайно е да се нарича пружинно махало тяло, което може да се колебае върху гладка хоризонтална повърхност под действието на пружина, чийто втори край е фиксиран (лява фигура). Математическото махало е масивно тяло, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати, което се люлее върху дълга, безтегловна и неразтеглива нишка (дясната фигура). Името на тази система - "математическо махало" се дължи на факта, че тя е абстрактна математическиреален модел ( физически) на махалото. Необходимо е да запомните формулите за периода (или честотата) на колебанията на пружинните и математическите махала. За пружинно махало

където е дължината на нишката, е ускорението свободно падане. Помислете за прилагането на тези определения и закони на примера за решаване на проблеми.

За да намерите цикличната честота на товара в задача 11.1.1нека първо намерим периода на трептене и след това използваме формулата (11.2). Тъй като 10 m 28 s е 628 s и през това време товарът прави 100 трептения, периодът на трептене на товара е 6,28 s. Следователно честотата на цикличните трептения е 1 s -1 (отговорът 2 ). AT задача 11.1.2товарът направи 60 трептения за 600 s, така че честотата на трептене е 0,1 s -1 (отговорът 1 ).

Да разбере какво пътят ще минетовар за 2,5 периода ( задача 11.1.3), следвайте движението му. След определен период товарът ще се върне обратно до точката на максимално отклонение, правейки пълно трептене. Следователно през това време натоварването ще премине разстоянието, равна на четири амплитуди: до равновесното положение - една амплитуда, от равновесното положение до точката на максимално отклонение в другата посока - втората, обратно в равновесното положение - третата, от равновесното положение до началната точка - четвъртият. През втория период натоварването отново ще премине четири амплитуди, а през останалата половина от периода - две амплитуди. Следователно изминатото разстояние е равно на десет амплитуди (отговорът 4 ).

Количеството движение на тялото е разстоянието от началната до крайната точка. За 2,5 периода в задача 11.1.4тялото ще има време да извърши две пълни и полупълни трептения, т.е. ще бъде при максимално отклонение, но от другата страна на равновесното положение. Следователно размерът на изместването е равен на две амплитуди (отговорът 3 ).

По дефиниция фазата на трептенията е аргумент на тригонометрична функция, която описва зависимостта на координатата на трептящо тяло от времето. Следователно правилният отговор е задача 11.1.5 - 3 .

Периодът е времето на пълно трептене. Това означава, че връщането на тялото обратно в същата точка, от която тялото е започнало да се движи, не означава, че периодът е изтекъл: тялото трябва да се върне в същата точка със същата скорост. Например, тяло, започнало колебания от равновесно положение, през периода ще има време да се отклони с максималната стойност в една посока, да се върне назад, да се отклони до максимума в другата посока и да се върне отново. Следователно през периода тялото ще има време да се отклони два пъти с максималната стойност от равновесното положение и да се върне обратно. Следователно преминаването от равновесното положение до точката на максимално отклонение ( задача 11.1.6) тялото прекарва четвъртата част от периода (отговорът 3 ).

Такива трептения се наричат ​​хармонични, при които зависимостта на координатата на трептящото тяло от времето се описва с тригонометрична (синус или косинус) функция на времето. AT задача 11.1.7това са функциите и въпреки факта, че включените в тях параметри са означени като 2 и 2 . Функцията е тригонометричната функция на квадрата на времето. Следователно, колебанията само на количества и са хармонични (отговорът 4 ).

При хармоничните трептения скоростта на тялото се променя по закон , където е амплитудата на трептенията на скоростта (референтният момент е избран така, че началната фаза на трептенията да е равна на нула). От тук намираме зависимостта кинетична енергиятела от времето
(задача 11.1.8). Използвайки добре познатите тригонометрична формула, получаваме

От тази формула следва, че кинетичната енергия на тялото се променя при хармонични трептения също по хармоничния закон, но с удвоена честота (отговорът е 2 ).

Зад съотношението между кинетичната енергия на товара и потенциалната енергия на пружината ( задача 11.1.9) могат лесно да бъдат проследени от следните съображения. Когато тялото се отклони максимално от равновесното положение, скоростта на тялото е нула и следователно потенциалната енергия на пружината е по-голяма от кинетичната енергия на товара. За разлика от това, когато тялото премине през равновесното положение, потенциалната енергия на пружината е нула и следователно кинетичната енергия е по-голяма от потенциалната. Следователно, между преминаването на равновесното положение и максималното отклонение, кинетичната и потенциалната енергия се сравняват веднъж. И тъй като през периода тялото преминава четири пъти от равновесно положение до максимално отклонение или обратно, тогава през периода кинетичната енергия на товара и потенциалната енергия на пружината се сравняват четири пъти една с друга (отговорът е 2 ).

Амплитуда на колебанията на скоростта ( задача 11.1.10) се намира най-лесно по закона за запазване на енергията. В точката на максимално отклонение енергията на осцилаторната система е равна на потенциалната енергия на пружината , където е коефициентът на твърдост на пружината, е амплитудата на трептене. При преминаване през равновесното положение енергията на тялото е равна на кинетичната енергия , където е масата на тялото, е скоростта на тялото при преминаване през равновесното положение, която е максимална скоросттяло в процес на трептене и следователно представлява амплитудата на колебанията на скоростта. Приравнявайки тези енергии, намираме

(отговор 4 ).

От формула (11.5) заключаваме ( задача 11.2.2), че неговият период не зависи от масата на математическото махало и с увеличаване на дължината с 4 пъти, периодът на трептене се увеличава с 2 пъти (отговорът е 1 ).

Часовникът е колебателен процес, който се използва за измерване на времеви интервали ( задача 11.2.3). Думите часовник "бързам" означават, че периодът на този процес по-малко от товакакво трябва да бъде. Следователно, за да се изясни хода на тези часовници, е необходимо да се увеличи периодът на процеса. Според формула (11.5), за да се увеличи периодът на трептене на математическо махало, е необходимо да се увеличи дължината му (отговорът е 3 ).

За да намерите амплитудата на трептенията в задача 11.2.4, е необходимо да се представи зависимостта на координатата на тялото от времето под формата на една тригонометрична функция. За функцията, дадена в условието, това може да стане чрез въвеждане на допълнителен ъгъл. Умножаване и деление на тази функция на и използвайки формулата за събиране тригонометрични функции, получаваме

къде е такъв ъгъл, че . От тази формула следва, че амплитудата на трептенията на тялото е (отговор 4 ).

Добър ден!

Всичко е доста просто. Сега мога да кажа няколко сложни думи, но след това ще се опитам да обясня значението им. За простота на представянето ще говорим за едномерния случай; всичко може лесно да се обобщи за случая на много степени на свобода.

Така, основната задачамеханика --- да се намери зависимостта на координатата на тялото от времето, тоест всъщност да се намери някаква функция, която свързва определена стойност на координатата с всеки момент от времето. Ние описваме всяко движение с помощта на втория закон на Нютон. Този закон включва ускорение, което е втората производна на координатата на тялото по отношение на времето, и сила, която обикновено зависи от самата координата. Освен това силата може да зависи от скоростта на тялото, тоест от първата производна на координатата по отношение на времето. По този начин, с математическа точкаот гледна точка вторият закон на Нютон представлява определена връзка между координатата, нейната първа и втора производни. Тази връзка се нарича в математиката диференциално уравнение. Най-голямата производна, включена в такова уравнение, е втората. Математиката казва, че решението на такова уравнение, т.е обща формафункция, която удовлетворява нашата връзка, зависи от две произволни константи, които не могат да бъдат определени от уравнението. Тези произволни константи се определят за всеки отделен случай, например чрез така наречените начални условия. Тоест, за да разберете как точно ще се движи тялото, трябва да знаете не само какви сили действат върху него, но и каква е началната му координата и скорост. Две произволни константи в решението са избрани по такъв начин, че получената от нас функция и нейната производна (т.е. скоростта) в начален моментвремето даде ценности.

Това е абсолютно обща ситуация. Спомнете си, когато говорим за движението на тялото с постоянно ускорение, за да зададем точно движението, са ни необходими точно две числа, началната координата и начална скорост.

Същото важи и за трептенията. Трептенията на определено махало (т.е. махало с дадена собствена честота) също се определят от две числа. Обикновено решението на уравнението на махалото, получено от втория закон на Нютон, се записва като .

Тук те играят само ролята на произволни константи, които трябва да се определят от началните условия. Нека изчислим скоростта: . Уведомете ни, че в нулев моментвреме, координатата и скоростта на махалото са равни и . След решаване на системата от обикновени уравнения могат да се намерят конкретни изрази за и чрез и .

няма да дам отговор на общ случайако искате, можете лесно да го направите сами. Ще говоря само за конкретни случаи. Нека например е известно, че в нулевия момент от време тялото е в равновесие (т.е. ), а скоростта му е равна на максималната му стойност (т.е. ). Тогава получаваме за нашия частен случай, че системата от уравнения приема формата: . От първото уравнение веднага става ясно, че (разбира се, първото уравнение също отговаря на условието , но тогава нашето решение ще се окаже нула, но това не ни устройва). След това вторият приема формата: , откъдето . Така намерихме изрази и за двете константи. В резултат на това имаме: В същото време за ускорение се оказва. Ако сега означим с по-познат израз за амплитудата , ще получим по-познати формули.

Нека разгледаме още един пример. Сега оставете товара да влезе крайна позиция, тоест скоростта му е нула. Ще приемем, че се е отклонил от отрицателна странаос, тоест нейната координата е . Тогава уравненията за начални условияприемете формата: от второто уравнение. От първия:. По този начин за координатата има: (второто равенство, използвайки формулата за редукция). За скорост:. Да забързаш: .

Конкретните формули зависят от първоначалните данни. Като се вземе предвид периодичността на синусите и косинусите, като се използва различни формулиотливки, можете да премахвате знаци от формули, да добавяте фази и т.н.

Що се отнася до формулата в задачата, няма , честота, тъй като нейната специфична стойност се замества:

Безплатни вибрацииса направени под влияние вътрешни силисистема, след като системата е била изведена от равновесие.

Да сесвободните вибрации са направени съгласно хармоничния закон, необходимо е силата, стремяща се да върне тялото в равновесно положение, да бъде пропорционална на изместването на тялото от равновесното положение и насочена в посока, обратна на изместването (виж § 2.1):

Силата на всяка друга физическа природаотговарящи на това условие се наричат квазиеластичен .

По този начин, товар с някаква маса мприкрепен към втвърдяващата пружина к, чийто втори край е фиксиран неподвижно (фиг. 2.2.1), представляват система, способна да извършва свободни хармонични трептения при липса на триене. Масата на пружината се нарича линеен хармоник осцилатор.

Кръгова честота ω 0 свободни вибрацииТеглото върху пружината се намира от втория закон на Нютон:

При хоризонтално разположение на системата за пружинно натоварване, силата на гравитацията, приложена към товара, се компенсира от силата на реакция на опората. Ако товарът е окачен на пружина, тогава силата на гравитацията е насочена по линията на движение на товара. В равновесно положение пружината се разтяга с известно количество х 0 равно на

Следователно вторият закон на Нютон за товар върху пружина може да бъде написан като

Извиква се уравнение (*). уравнението на свободните трептения . трябва да бъде отбелязано че физични свойстваосцилаторна система определят само собствената честота на трептенията ω 0 или периода T . Такива параметри на процеса на трептене като амплитуда х m и началната фаза φ 0 се определят от начина, по който системата е била изведена от равновесие в началния момент от време.

Ако, например, товарът е изместен от равновесното положение на разстояние Δ ли след това навреме T= 0 се освобождава без начална скорост, тогава х m = ∆ л, φ 0 = 0.

Ако обаче началната скорост ± υ 0 беше придадена на товара, който беше в равновесно положение, с помощта на рязък тласък, тогава,

Така че амплитудата х m свободни трептения и началната му фаза φ 0 се определят начални условия .

Има много разновидности на механични осцилаторни системи, които използват силите на еластичните деформации. На фиг. 2.2.2 е показан ъглов аналог на линеен хармоничен осцилатор. Хоризонтално разположен диск виси на еластична нишка, фиксирана в центъра на масата му. Когато дискът се завърти на ъгъл θ, възниква момент на силите Меластично усукване:

където аз = аз C - инерционният момент на диска около оста, минаваща през центъра на масата, ε - ъглово ускорение.

По аналогия с натоварването на пружината можете да получите:

Безплатни вибрации. Математическо махало

Математическо махалонаречено тяло с малки размери, окачено на тънка неразтеглива нишка, чиято маса е незначителна в сравнение с масата на тялото. В равновесно положение, когато махалото виси на отвес, силата на гравитацията се балансира от силата на опън на конеца. Когато махалото се отклони от равновесното положение с определен ъгъл φ, се появява тангенциална компонента на гравитацията Е τ = - мг sin φ (фиг. 2.3.1). Знакът минус в тази формула означава, че тангенциалната компонента е насочена в посока, противоположна на отклонението на махалото.

Ако се обозначава с хлинейно изместване на махалото от равновесното положение по дъгата на окръжност с радиус л, тогава ъгловото му преместване ще бъде равно на φ = х / л. Вторият закон на Нютон, написан за проекциите на векторите на ускорението и силата върху посоката на тангентата, дава:

Тази връзка показва, че математическото махало е комплекс нелинейнисистема, тъй като силата, стремяща се да върне махалото в равновесното му положение, е пропорционална на неотместването х, а

Само в случай малки колебаниякогато е близоможе да се замени с математическо махало е хармоничен осцилатор, т.е. система, способна да извършва хармонични трептения. На практика това приближение е валидно за ъгли от порядъка на 15-20°; докато стойността се различава от не повече от 2%. Трептенията на махалото при големи амплитуди не са хармонични.

За малки трептения на математическо махало вторият закон на Нютон се записва като

Тази формула изразява собствена честота на малки трептения на математическо махало .

Следователно,

Всяко тяло, монтирано на хоризонтална ос на въртене, е способно да извършва свободни трептения в гравитационното поле и следователно също е махало. Такова махало се нарича физически (фиг. 2.3.2). Тя се различава от математическата само по разпределението на масите. В положение на стабилно равновесие центърът на масата ° С физическо махалое под оста на въртене O по вертикалата, минаваща през оста. Когато махалото се отклони под ъгъл φ, възниква момент на гравитация, стремящ се да върне махалото в равновесно положение:

и вторият закон на Нютон за физическо махало става (вижте §1.23)

Тук ω 0 - собствена честота на малки трептения на физическо махало .

Следователно,

Следователно уравнението, изразяващо втория закон на Нютон за физическо махало, може да бъде написано като

Накрая, за кръговата честота ω 0 на свободните трептения на физическото махало се получава следният израз:

Енергийни трансформации при свободни механични вибрации

Когато е свободен механични вибрациикинетичната и потенциалната енергия се променят периодично. При максималното отклонение на тялото от равновесното положение неговата скорост, а оттам и кинетичната енергия, се равнява на нула. В това положение потенциалната енергия на трептящото тяло достига максимална стойност. За товар върху пружина потенциалната енергия е енергията на еластичната деформация на пружината. За едно математическо махало това е енергията в гравитационното поле на Земята.

Когато тялото при своето движение преминава през равновесното положение, неговата скорост е максимална. Тялото прескача равновесното положение според закона на инерцията. В този момент той има максимална кинетична и минимална потенциална енергия. Увеличаването на кинетичната енергия става за сметка на намаляване на потенциалната енергия. При по-нататъшно движение потенциалната енергия започва да нараства поради намаляването на кинетичната енергия и т.н.

Така по време на хармонични трептения възниква периодична трансформация на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно.

Ако в трептящата система няма триене, тогава общата механична енергия по време на свободните вибрации остава непроменена.

За пружинно натоварване(виж §2.2):

В реални условия всяка колебателна система е под въздействието на сили на триене (съпротивление). В този случай част от механичната енергия се преобразува в вътрешна енергия топлинно движениеатоми и молекули, и вибрациите стават затихване (фиг. 2.4.2).

Скоростта на затихване на трептенията зависи от големината на силите на триене. Интервалът от време τ, през който амплитудата на трептенията намалява д≈ 2,7 пъти, т.нар време на разпад .

Честотата на свободните трептения зависи от скоростта на затихване на трептенията. С увеличаването на силите на триене естествената честота намалява. Промяната в собствената честота обаче става забележима само при достатъчно големи сили на триене, когато собствените трептения бързо затихват.

Важна характеристика на осцилаторна система, която прави свободна затихващи трептения, е качествен фактор Q. Този параметър се определя като число нобщите трептения, направени от системата по време на времето на затихване τ, умножено по π:

По този начин коефициентът на качество характеризира относителната загуба на енергия на осцилаторната система поради наличието на триене за интервал от време, равен на един период на трептене.

Принудителни вибрации. Резонанс. Автоколебания

Наричат ​​се трептения, които възникват под въздействието на външна периодична сила принуден.

Външна силаизвършва положителна работа и осигурява приток на енергия към трептящата система. Не позволява трептенията да избледняват, въпреки действието на силите на триене.

Периодичната външна сила може да варира във времето според различни закони. От особен интерес е случаят, когато външна сила, променяща се по хармоничен закон с честота ω, действа върху колебателна система, способна да извършва собствени трептения с определена честота ω 0 .

Ако свободните трептения възникват при честота ω 0, която се определя от параметрите на системата, тогава винаги възникват постоянни принудителни трептения при честота ω на външната сила.

След началото на въздействието на външна сила върху трептящата система известно време Δ Tда се установи принудителни вибрации. Времето на установяване е равно по порядък на времето на затихване τ на свободните трептения в трептящата система.

В началния момент в трептящата система се възбуждат и двата процеса - принудени трептения с честота ω и свободни трептения със собствена честота ω 0 . Но свободните вибрации се гасят поради неизбежното наличие на сили на триене. Следователно след известно време в трептящата система остават само стационарни трептения с честотата ω на външната движеща сила.

Да разгледаме като пример принудени вибрации на тяло върху пружина (фиг. 2.5.1). Към свободния край на пружината се прилага външна сила. Той принуждава свободния (вляво на фиг. 2.5.1) край на пружината да се движи по закона

Ако левият край на пружината е изместен на разстояние г, а дясната - на разстояние хот първоначалното им положение, когато пружината не е била деформирана, тогава удължението на пружината Δ лсе равнява:

В това уравнение силата, действаща върху тялото, е представена като два члена. Първият член от дясната страна е еластичната сила, стремяща се да върне тялото в равновесно положение ( х= 0). Вторият термин е външното периодично въздействие върху тялото. Този термин се нарича принуждаваща сила.

Уравнението, изразяващо втория закон на Нютон за тяло върху пружина при наличие на външно периодично действие, може да бъде дадено строго математическа форма, ако вземем предвид връзката между ускорението на тялото и неговата координата: Тогава ще бъдат записани във формуляра

Уравнение (**) не отчита действието на силите на триене. За разлика от уравнения за свободни колебания(*) (виж §2.2) уравнение на принудени вибрации(**) съдържа две честоти - честотата ω 0 на свободните трептения и честотата ω на движещата сила.

Равномерните принудителни трептения на товара върху пружината възникват с честота външно влияниев правото

х(T) = х m cos (ω T + θ).

Амплитуда на принудени вибрации х m и началната фаза θ зависят от съотношението на честотите ω 0 и ω и от амплитудата г m външна сила.

При много ниски честоти, когато ω<< ω 0 , движение тела массой м, закрепен към десния край на пружината, повтаря движението на левия край на пружината. При което х(T) = г(T), а пружината остава практически недеформирана. Външната сила, приложена към левия край на пружината, не върши работа, тъй като модулът на тази сила при ω<< ω 0 стремится к нулю.

Ако честотата ω на външната сила се доближи до собствената честота ω 0, има рязко увеличение на амплитудата на принудените трептения. Това явление се нарича резонанс . Амплитудна зависимост х m принудени трептения от честотата ω на движещата сила се нарича резонансна характеристикаили резонансна крива(фиг. 2.5.2).

При резонанс амплитудата х m колебанията на натоварването могат да бъдат многократно по-големи от амплитудата г m трептения на свободния (ляв) край на пружината, причинени от външно въздействие. При липса на триене амплитудата на принудените трептения при резонанс трябва да нараства неограничено. В реални условия амплитудата на стационарните принудителни колебания се определя от условието: работата на външна сила по време на периода на колебания трябва да бъде равна на загубата на механична енергия за същото време поради триене. Колкото по-малко е триенето (т.е. толкова по-висок е качественият фактор Qосцилаторна система), толкова по-голяма е амплитудата на принудените трептения при резонанс.

За осцилаторни системи с не много висок качествен фактор (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Феноменът на резонанса може да причини разрушаване на мостове, сгради и други конструкции, ако естествените честоти на техните трептения съвпадат с честотата на периодично действаща сила, която е възникнала, например, поради въртенето на небалансиран двигател.

Принудителните вибрации са неамортизиранфлуктуации. Неизбежните загуби на енергия поради триене се компенсират чрез доставка на енергия от външен източник на периодично действаща сила. Има системи, в които незатихващите трептения възникват не поради периодично външно влияние, а в резултат на способността на такива системи да регулират потока на енергия от постоянен източник. Такива системи се наричат автоколебателен, и процесът на незатихващи трептения в такива системи - собствени трептения . В една автоколебателна система могат да се разграничат три характерни елемента - трептителна система, източник на енергия и устройство за обратна връзка между трептящата система и източника. Като осцилаторна система може да се използва всяка механична система, способна да извършва собствени затихващи трептения (например махало на стенен часовник).

Източникът на енергия може да бъде енергията на деформация на пружината или потенциалната енергия на товара в гравитационното поле. Устройството за обратна връзка е механизъм, чрез който автоколебателната система регулира потока на енергия от източника. На фиг. 2.5.3 показва диаграма на взаимодействието на различни елементи на самоосцилиращата система.

Пример за механична самоосцилираща система е часовников механизъм с котваход (фиг. 2.5.4). Работно колело с наклонени зъби е здраво закрепено към зъбен барабан, през който се хвърля верига с тежест. Прикрепен към горния край на махалото котва(котва) с две пластини от твърд материал, извити по дъга от окръжност с център върху оста на махалото. В ръчния часовник тежестта е заменена от пружина, а махалото е заменено от балансьор - ръчно колело, закрепено към спирална пружина. Балансьорът извършва усукващи вибрации около оста си. Осцилаторната система в часовника е махало или балансьор.

Източникът на енергия е вдигната тежест или навита пружина. Устройството за обратна връзка е анкер, който позволява на ходовото колело да завърти един зъб за един половин цикъл. Обратната връзка се осигурява от взаимодействието на котвата с движещото се колело. При всяко колебание на махалото зъбът на ходовото колело избутва вилицата на котвата по посока на движението на махалото, като му предава определена част от енергията, която компенсира загубите на енергия от триене. Така потенциалната енергия на тежестта (или усуканата пружина) постепенно, на отделни порции, се предава на махалото.

Механичните автоколебателни системи са широко разпространени в живота около нас и в техниката. Самоколебанията се извършват от парни машини, двигатели с вътрешно горене, електрически звънци, струни на лъкови музикални инструменти, въздушни колони в тръбите на духови инструменти, гласни струни при говор или пеене и др.

Фигура 2.5.4. Часовников механизъм с махало.

Когато в училище има трептения, те се илюстрират с два от най-простите примери: тежест върху пружина и математическо махало (т.е. точка на тежест върху неразтеглива нишка) в полето на гравитацията. И в двата случая се наблюдава важна закономерност в трептенията: периодът им не зависи от амплитудата - поне докато тази амплитуда остава малка - а се определя само от механичните свойства на системата.

Сега нека комбинираме тези два примера и да разгледаме вибрациите на тежест, окачена на опъваща пружина в гравитационно поле (фиг. 1).

За простота пренебрегваме третото измерение и приемаме, че това пружинно махало осцилира стриктно в равнината на фигурата. В този случай тежестта (която също се счита за точкова тежест) може да се движи във вертикална равнина в произволна посока, а не само нагоре и надолу или наляво и надясно, както е показано на фиг. 2. Но ако отново се ограничим само до малки отклонения от равновесното положение, тогава хоризонталните и вертикалните колебания възникват почти независимо, със собствени периоди T xи T y.

Изглежда, че тъй като тези колебания се определят от напълно различни сили и характеристики на системата, тогава техните периоди могат да бъдат напълно произволни, по никакъв начин не свързани помежду си. Оказва се – не!

Задача

Докажиче за такова махало периодът на хоризонталните колебания винаги е по-голям от периода на вертикалните: T x > T y.

Улика

Първоначално проблемът може да ви изненада с факта, че изглежда, че в него нищо не е дадено, но нещо трябва да се докаже. Но тук няма нищо лошо. Когато проблемът е формулиран по този начин, това означава, че можете да въведете за себе си някои обозначения, които ви трябват, да изчислите с тях какво се изисква и след това да стигнете до заключение, което вече е не зависиот тези стойности. Направете го за тази задача. Вземете формулите за периодите на колебание, помислете за включените количества и сравнете двата периода един с друг, като разделите един на друг.

Решение

Периодът на колебание на масовото тегло мвърху втвърдяваща пружина ки дължина Л 0 е

.

Тази формула не се променя дори ако тежестта е окачена в гравитационното поле с ускорение на свободното падане ж. Разбира се, равновесното положение на тежестта ще се измести надолу до височина Δ L = mg/k- при такова удължение на пружината еластичната сила компенсира силата на гравитацията. Но периодът на вертикално колебание около това ново равновесно положение с опъната пружина ще остане същият.

Периодът на хоризонталните трептения на разтегнато махало се изразява чрез гравитационното ускорение жИ неговият пълендължина L = L 0 +Δ Л:

.

Именно благодарение на допълнителното разтягане в гравитационното поле установяваме това

Това е цялото решение.

Послеслов

Въпреки привидната си простота, махало върху пружина е система, която е доста богата на явления. Това е един от най-простите примери за сладко явление - резонансът на Ферми. Състои се в това. Най-общо казано, ако тежестта по някакъв начин бъде издърпана и освободена, тогава тя ще осцилира както вертикално, така и хоризонтално. Тези два вида трептене просто ще се припокриват и няма да си пречат. Но ако периодите на вертикални и хоризонтални колебания са свързани с връзката T x = 2T y, тогава хоризонталните и вертикалните трептения, сякаш против волята си, постепенно ще се превърнат едно в друго, както в анимацията вдясно. Енергията на вибрациите ще бъде така да се каже, изпомпвана от вертикални вибрации към хоризонтални вибрации и обратно.

Изглежда така: дърпате тежестта надолу и я отпускате. Първоначално трепти само нагоре-надолу, после от само себе си започва да се люлее настрани, за момент трептенето става почти напълно хоризонтално и след това отново се връща във вертикала. Изненадващо, строго вертикално трептене се оказва нестабилно.

Обяснение на този забележителен ефект, както и на магическото съотношение T x:T y= 2:1, това е. Означаваме с хи готклонения на тежестта от равновесното положение (ос гнасочен нагоре). При такова отклонение потенциалната енергия нараства с количество

Това е точна формула, подходяща е за всякакви отклонения, големи и малки. Но ако хи гмалък, много по-малко Л, тогава изразът е приблизително равен на

плюс други термини, съдържащи още по-високи степени на отклонение. Количества U yи U xса обикновени потенциални енергии, от които се получават вертикални и хоризонтални трептения. И тук е стойността, маркирана в синьо Уксие специална добавка, която генерира взаимодействиемежду тези вибрации. Поради това малко взаимодействие, вертикалните вибрации влияят на хоризонталните вибрации и обратно. Това става доста ясно, ако извършим изчисленията по-нататък и напишем уравнението за хоризонтални и вертикални колебания:

където нотацията

Без синята добавка бихме имали обичайните независими трептения вертикално и хоризонтално с честоти ωyи ω x. Тази добавка играе роля движеща сила, допълнително изпомпване на вибрации. Ако честотите ωyи ω xса произволни, тогава тази малка сила не води до някакъв значителен ефект. Но ако отношението ωy = 2ω x, настъпва резонанс: движещата сила и за двата вида трептения съдържа компонент със същата честота като самото трептене. В резултат на това тази сила бавно, но постоянно натрупва един вид трептене и потиска друг. Ето как хоризонталните и вертикалните вибрации преливат една в друга.

Допълнителни красоти възникват, ако в този пример честно се вземе предвид третото измерение. Приемаме, че тежестта може да свива-разтваря пружината вертикално и да се люлее като махало в две хоризонтални посоки. Тогава, когато условието за резонанс е изпълнено, когато се гледа отгоре, тежестта изписва звездна траектория, както например на фиг. 3. Това се случва, защото равнината на трептене не остава неподвижна, а се върти - но не плавно, а сякаш на скокове. Докато колебанието се движи от една страна на друга, тази равнина се задържа повече или по-малко и завъртането се случва в този кратък интервал, когато колебанието е почти вертикално. Каним читателите сами да помислят какви са причините за това поведение и какво определя ъгъла на завъртане на самолета. А тези, които искат да се потопят с глава в тази доста дълбока задача, могат да прегледат статията Стъпаловидна прецесия на резонансната люлееща се пружина, която не само предоставя подробен анализ на проблема, но също така говори за неговата история и връзката на този проблем с други раздели на физиката, по-специално с атомната физика.