Построяване на права на определено разстояние от точка. Определяне на разстояния

Определяне на разстояния

Разстояния от точка до точка и от точка до линия

Разстояние от точка до точкасе определя от дължината на отсечката, свързваща тези точки. Както е показано по-горе, този проблем може да бъде решен или чрез метода на правоъгълния триъгълник, или чрез замяна на проекционните равнини чрез преместване на сегмента до позицията на линията на нивото.

Разстояние от точка до линияизмерено чрез сегмент от перпендикуляр, прекаран от точка към права. Отсечка от този перпендикуляр се изобразява в пълен размер върху проекционната равнина, ако е начертана към проектиращата права. По този начин, първо правата линия трябва да се прехвърли в изпъкналата позиция и след това да се спусне перпендикуляр върху нея от дадена точка. На фиг. 1 показва решението на този проблем. За директен превод обща позиция AB в позицията на директното ниво прекарайте x14 IIA1 B1. След това AB се прехвърля в позицията на проектиране чрез въвеждане на допълнителна проекционна равнина P5, за която се извършва нова проекционна ос x45 \ A4 B4.

Снимка 1

Подобно на точки A и B, точка M се проектира върху проекционната равнина P5.

Проекцията K5 на основата K на перпендикуляра, пуснат от точката M към правата AB, върху проекционната равнина P5, ще съвпадне със съответните проекции на точките

A и B. Проекцията M5 K5 на перпендикуляра MK е естествената стойност на разстоянието от точка M до правата AB.

В системата от проекционни равнини P4 / P5, перпендикулярът MK ще бъде линия на ниво, тъй като лежи в равнина, успоредна на равнината на проекциите P5. Следователно неговата проекция M4 K4 върху равнината P4 е успоредна на x45 , т.е. перпендикулярна на проекцията A4 B4. Тези условия определят позицията на проекцията K4 на основата на перпендикуляра K, която се намира чрез начертаване на права линия от M4, успоредна на x45, докато се пресече с проекцията A4 B4. Останалите проекции на перпендикуляра се намират чрез проектиране на точката K върху равнината на проекциите P1 и P2.

Разстояние от точка до равнина

Решението на този проблем е показано на фиг. 2. Разстоянието от точка M до равнината (ABC) се измерва с отсечка от перпендикуляра, спуснат от точката към равнината.

Фигура 2

Тъй като перпендикулярът към проектиращата равнина е линия на ниво, превеждаме в тази позиция дадена равнина, в резултат на което върху нововъведената проекционна равнина P4 получаваме изродена проекция C4 B4 на равнината ABC. След това проектираме точката M върху P4.Естествената стойност на разстоянието от точката M до равнината се определя от сегмента на перпендикуляра

[MK]=[M4 K4]. Останалите проекции на перпендикуляра се конструират по същия начин, както в предишната задача, т.е. като се вземе предвид фактът, че сегментът MK в системата от проекционни равнини P1 / P4 е линия на ниво и неговата проекция M1 K1 е успоредна на оста

x14.

Разстояние между две прави линии

Най-късото разстояние между косите линии се измерва от сегмента на общия перпендикуляр към тях, отрязан от тези линии. Задачата се решава, като се избере (в резултат на две последователни промени) равнината на проекцията, перпендикулярна на една от пресичащите се прави. В този случай желаният сегмент от перпендикуляра ще бъде успореден на избраната проекционна равнина и ще бъде показан върху нея без изкривяване. На фиг. 3 показва две пресичащи се прави, определени от отсечки AB и CD.

Фигура 3

Правите линии се проектират в началото върху проекционната равнина P4, успоредна на една (която и да е) от тях, например AB, и перпендикулярна на P1.

В равнината на проекциите P4 сегментът AB ще бъде показан без изкривяване. След това сегментите се проектират върху нова равнина P5, перпендикулярна на същата права AB и равнината P4. Върху равнината на проекциите P5 проекцията на отсечката AB, перпендикулярна на нея, се изражда в точка A5 =B5, а желаната стойност N5 M5 на отсечката NM е перпендикулярна на C5 D5 и е изобразена в пълен размер. С помощта на съответните комуникационни линии проекциите на отсечката MN се изграждат върху инициала

рисунка. Както беше показано по-рано, проекцията N4 M4 на желания сегмент върху равнината P4 е успоредна на проекционната ос x45, тъй като е линия на ниво в системата от проекционни равнини P4 / P5.

Задачата за определяне на разстоянието D между две успоредни прави AB до CD - специален случайпредходната (фиг. 4).

Фигура 4

Чрез двойна замяна на проекционните равнини успоредните прави се прехвърлят в проектиращо положение, в резултат на което върху проекционната равнина P5 ще имаме две изродени проекции A5 = B5 и C5 = D5 на правите AB и CD. Разстоянието между тях D ще бъде равно на естествената му стойност.

Разстоянието от права линия до равнина, успоредна на нея, се измерва с сегмент от перпендикуляра, пуснат от която и да е точка на правата линия към равнината. Следователно е достатъчно да се преобразува равнината на общото положение в позицията на проектиращата равнина, да се вземе директна точка и решението на проблема ще се сведе до определяне на разстоянието от точката до равнината.

За да се определи разстоянието между успоредни равнини, е необходимо да се преведат в изпъкнало положение и да се изгради перпендикуляр на изродените проекции на равнините, чийто сегмент между тях ще бъде необходимото разстояние.

155*. Определете действителния размер на сегмента AB на права линия в общо положение (фиг. 153, а).

Решение. Както знаете, проекцията на сегмент от права линия върху всяка равнина е равна на самия сегмент (като се вземе предвид мащабът на чертежа), ако е успореден на тази равнина

(Фиг. 153, b). От това следва, че чрез преобразуване на чертежа е необходимо да се постигне паралелизъм на този сегмент pl. V или мн. H или допълнете системата V, H с друга равнина, перпендикулярна на квадрата. V или към мн.ч. H и същевременно успоредна на дадената отсечка.

На фиг. 153, c показва въвеждането на допълнителна равнина S, перпендикулярна на квадрата. H и успоредна на дадената отсечка AB.

Проекцията a s b s е равна на естествената стойност на отсечката AB.

На фиг. 153, d показва друг метод: сегментът AB се завърта около права линия, минаваща през точка B и перпендикулярна на квадрата. H, до успоредна позиция

кв. V. В този случай точка B остава на мястото си, а точка A заема нова позиция A 1 . Хоризонт на нова позиция. проекция a 1 b || ос x. Проекцията a "1 b" е равна на естествената стойност на отсечката AB.

156. Дадена е пирамида SABCD (фиг. 154). Определете естествения размер на ръбовете на пирамидата AS и CS, като използвате метода за промяна на проекционните равнини, а ръбовете BS и DS, като използвате метода на въртене, и вземете оста на въртене, перпендикулярна на квадрата. з.

157*. Определете разстоянието от точка А до правата линия BC (фиг. 155, а).

Решение. Разстоянието от точка до права се измерва с отрязък от перпендикуляр, прекаран от точка до права.

Ако линията е перпендикулярна на която и да е равнина (фиг. 155.6), тогава разстоянието от точката до линията се измерва с разстоянието между проекцията на точката и проекционна точкаправа линия на тази равнина. Ако една права линия заема общо положение в системата V, H, тогава за да се определи разстоянието от точка до права линия чрез промяна на проекционните равнини, трябва да се въведат още две допълнителни равнини в системата V, H.

Първо (фиг. 155, в) влизаме в квадрата. S, успоредна на отсечката BC (новата ос S/H е успоредна на проекцията bс), и построяваме проекциите b s c s и a s . След това (фиг. 155, d) въвеждаме друг квадрат. T перпендикулярна на правата BC (нова T/S ос перпендикулярна на b s c s). Изграждаме проекции на права линия и точка - с t (b t) и a t. Разстоянието между точки a t и c t (b t) е равно на разстоянието l от точка A до правата BC.

На фиг. 155e, същата задача се изпълнява чрез метода на въртене в неговата форма, която се нарича метод на паралелно движение. Първо, правата BC и точка A, запазвайки взаимното си положение непроменено, се обръщат около някаква (непосочена на чертежа) права, перпендикулярна на квадрата. H, така че правата BC да е успоредна на квадрата. V. Това е еквивалентно на преместване на точки A, B, C в равнини, успоредни на квадрата. З. В същото време хоризонтът. проекция дадена система(BC + A) не се променя нито по величина, нито по конфигурация, променя се само позицията му спрямо оста x. Настройте хоризонт. проекцията на правата линия BC, успоредна на оста x (позиция b 1 c 1) и определя проекцията a 1, оставяйки настрана c 1 1 1 \u003d c-1 и a 1 1 1 \u003d a-1, и a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Начертавайки прави линии b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1, успоредни на оста x, намираме предната страна върху тях. проекции b "1, a" 1, c "1. След това преместваме точките B 1, C 1 и A 1 в равнини, успоредни на квадрат V (също без да променяме относителната им позиция), така че да получим B 2 C 2 ⊥ площ H. В този случай проекцията на правата линия отпред ще бъде перпендикулярна на оси x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, и за да изградите проекцията a" 2, трябва да вземете b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, нарисувайте 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c" 2 и оставете настрана a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. Сега, като плъзнете от 1 към 2 и 1 a 2 || x 1 получаваме проекциите b 2 c 2 и a 2 и желаното разстояние l от точка A до правата BC. Можете да определите разстоянието от A до BC, като завъртите равнината, определена от точка A и правата линия BC около хоризонтала на тази равнина до позиция T || кв. H (фиг. 155, д).

В равнината, дадена от точка A и правата линия BC, начертаваме хоризонтална линия A-1 (фиг. 155, g) и завъртаме около нея точка B. Точка B се премества в квадрат. R (посочено на чертежа след R h), перпендикулярно на A-1; в точка O е центърът на въртене на точка B. Сега определяме естествената стойност на радиуса на въртене на VO, (фиг. 155, c). В необходимата позиция, т.е. когато мн. T, определено от точка A и права BC, ще стане || кв. H, точка B ще се окаже на R h на разстояние Ob 1 от точка O (може да има друга позиция на същата писта R h, но от другата страна на O). Точка b 1 е хоризонтът. проекцията на точка B след преместването й в позиция B 1 в пространството, когато равнината, определена от точка A и правата BC, е заела позиция T.

След като начертахме (фиг. 155, и) правата линия b 1 1, получаваме хоризонта. проекция на правата BC, вече разположена || кв. H е в същата равнина като A. В това положение разстоянието от a до b 1 1 е равно на желаното разстояние l. Равнината P, в която лежат дадените елементи, може да се комбинира с квадрата. H (фиг. 155, j), завъртайки квадрата. P около нейния хоризонт. следа. След като преминахме от поставянето на равнината от точката A и линията BC до определянето на линиите BC и A-1 (фиг. 155, l), намираме следите на тези линии и начертаваме следи P ϑ и P h през тях. Изграждаме (фиг. 155, m) в комбинация с площада. H позиция отпред. следа - P ϑ0 .

Начертайте хоризонта през точка а. фронтална проекция; комбинираният фронт минава през точка 2 на трасето Р h успоредно на Р ϑ0 . Точка А 0 - комбинирана с мн. H е позицията на точка A. По същия начин намираме точка B 0 . Пряко слънце в комбинация с pl. H позиция минава през точка B 0 и точка m (хоризонтална следа от права линия).

Разстоянието от точка A 0 до правата B 0 C 0 е равно на желаното разстояние l.

Възможно е да се извърши посочената конструкция, като се намери само една следа P h (фиг. 155, n и o). Цялата конструкция е подобна на завъртане около хоризонталата (виж фиг. 155, f, c, i): следата P h е една от хоризонталните линии на квадрата. Р.

От методите за преобразуване на чертеж, даден за решаване на този проблем, методът на въртене около хоризонтала или фронтално е за предпочитане.

158. Дадена е пирамида SABC (фиг. 156). Определете разстоянията:

а) от върха B на основата до нейната страна AC по метода на успоредното движение;

б) от върха S на пирамидата към страните BC и AB на основата чрез въртене около хоризонтала;

в) от върха S към страната AC на основата чрез промяна на проекционните равнини.

159. Дадена е призма (фиг. 157). Определете разстоянията:

а) между ръбовете AD и CF чрез промяна на проекционните равнини;

б) между ребрата BE и CF чрез ротация около предната част;

в) между ръбовете AD и BE по метода на успоредното движение.

160. Определете действителния размер на четириъгълника ABCD (фиг. 158), като комбинирате с квадрата. N. Използвайте само хоризонталната следа на равнината.

161*. Определете разстоянието между пресичащите се прави AB и CD (фиг. 159, а) и изградете проекции на общия перпендикуляр към тях.

Решение. Разстоянието между пресичащите се линии се измерва със сегмента (MN) на перпендикуляра на двете линии (фиг. 159, b). Очевидно, ако една от линиите е поставена перпендикулярно на всеки квадрат. Т тогава

отсечката MN от перпендикуляра на двете прави ще бъде успоредна на квадрата. Проекцията му върху тази равнина ще покаже желаното разстояние. Проекция прав ъгълменада MN n AB на пл. T също се оказва прав ъгъл между m t n t и a t b t , тъй като една от страните на правия ъгъл AMN, а именно MN. успореден на квадрат. T.

На фиг. 159, c и d, желаното разстояние l се определя чрез метода на промяна на проекционните равнини. Първо въвеждаме допълнителен квадрат. проекции S, перпендикулярни на квадрата. H и успоредна на правата CD (фиг. 159, c). След това въвеждаме още един допълнителен квадрат. T, перпендикулярна на квадрата. S и перпендикулярна на същата линия CD (фиг. 159, d). Сега можете да построите проекция на общия перпендикуляр, като начертаете m t n t от точката c t (d t) перпендикулярно на проекцията a t b t . Точките m t и n t са проекции на пресечните точки на този перпендикуляр с правите AB и CD. От точката m t (фиг. 159, д) намираме m s на a s b s: проекцията m s n s трябва да бъде успоредна на оста T / S. Освен това от m s и n s намираме m и n на ab и cd, а от тях m "и n" на a "b" и c "d".

На фиг. 159, в показва решението на този проблем по метода на паралелните движения. Първо поставяме правата CD успоредна на квадрата. V: проекция c 1 d 1 || Х. След това преместваме правите CD и AB от позиции C 1 D 1 и A 1 B 1 в позиции C 2 B 2 и A 2 B 2, така че C 2 D 2 да е перпендикулярна на H: проекция c "2 d" 2 ⊥ х. Отсечката от търсения перпендикуляр се намира || кв. H и следователно m 2 n 2 изразява желаното разстояние l между AB и CD. Намираме позицията на проекциите m "2 и n" 2 върху a "2 b" 2 и c "2 d" 2, след това проекциите и m 1 и m "1, n 1 и n" 1, накрая, проекциите m "и n", m и n.

162. Дадена е пирамида SABC (фиг. 160). Определете разстоянието между ръба SB и страната AC на основата на пирамидата и изградете проекции на общия перпендикуляр на SB и AC, като използвате метода на промяна на проекционните равнини.

163. Дадена е пирамида SABC (фиг. 161). Определете разстоянието между ръба SH и страната BC на основата на пирамидата и построете проекциите на общия перпендикуляр на SX и BC, като използвате метода на успоредно преместване.

164*. Определете разстоянието от точка А до равнината в случаите, когато равнината е дадена: а) от триъгълника BCD (фиг. 162, а); б) следи (фиг. 162, б).

Решение. Както знаете, разстоянието от точка до равнина се измерва с големината на перпендикуляра, прекаран от точката до равнината. Това разстояние се проектира върху произволен квадрат. проекции в естествена големина, ако дадената равнина е перпендикулярна на квадрата. проекции (фиг. 162, c). Тази ситуация може да се постигне чрез преобразуване на чертежа, например чрез промяна на квадрата. проекции. Нека представим квадрата. S (фиг. 16ts, d), перпендикулярна на квадрата. триъгълник BCD. За да направите това, прекарваме на площада. хоризонтален триъгълник B-1 и позиционирайте оста на проекциите S перпендикулярно на хоризонталната проекция b-1. Строим проекции на точка и равнина - a s и отсечка c s d s . Разстоянието от a s до c s d s е равно на желаното разстояние l на точката до равнината.

На Рио. 162, г се прилага методът на успоредно движение. Преместваме цялата система, докато хоризонталата B-1 на равнината стане перпендикулярна на равнината V: проекцията b 1 1 1 трябва да бъде перпендикулярна на оста x. В това положение равнината на триъгълника ще стане изпъкнала, а разстоянието l от точка А до нея ще се окаже квадратно. V без изкривяване.

На фиг. 162b равнината е дадена чрез следи. Въвеждаме (фиг. 162, д) допълнителен квадрат. S, перпендикулярна на квадрата. P: оста S/H е перпендикулярна на P h. Останалото е ясно от чертежа. На фиг. 162, добре че проблемът се решава с помощта на едно изместване: pl. P преминава в позиция P 1, тоест става изпъкнал напред. Писта. P 1h е перпендикулярна на оста x. Изграждаме предна част в това положение на самолета. следата на хоризонтала е точката n "1, n 1. Следата P 1ϑ ще минава през P 1x и n 1. Разстоянието от a" 1 до P 1ϑ е равно на желаното разстояние l.

165. Дадена е пирамида SABC (виж фиг. 160). Определете разстоянието от точка А до лицето SBC на пирамидата, като използвате метода на успоредното преместване.

166. Дадена е пирамида SABC (виж фиг. 161). Определете височината на пирамидата, като използвате метода на успоредно изместване.

167*. Определете разстоянието между пресичащите се прави AB и CD (вижте фиг. 159, а) като разстоянието между успоредните равнини, прекарани през тези прави.

Решение. На фиг. 163, а равнините P и Q са показани успоредни една на друга, от които pl. Q е начертано през CD успоредно на AB и pl. P - през AB успоредно на квадрата. Q. Разстоянието между тези равнини се счита за разстоянието между косите прави AB и CD. Можете обаче да се ограничите да построите само една равнина, например Q, успоредна на AB, и след това да определите разстоянието поне от точка A до тази равнина.

На фиг. 163с показва равнина Q през CD, успоредна на АВ; в проекции, отбелязани с "e" || a"b" и se || аб. Използване на метода за промяна на квадрата. проекции (фиг. 163, c), въвеждаме допълнителен квадрат. S, перпендикулярна на квадрата. V и в същото време

перпендикулярно на квадрат. В. За да начертаем S/V оста, вземаме фронталната D-1 в тази равнина. Сега рисуваме S / V перпендикулярно на d "1" (фиг. 163, c). Пл. Q ще се покаже на квадрата. S като права линия с s d s. Останалото е ясно от чертежа.

168. Дадена е пирамида SABC (виж фиг. 160). Определете разстоянието между ръбовете SC и AB.Приложете: 1) метод за промяна на площта. проекции, 2) метод на паралелно движение.

169*. Определете разстоянието между успоредни равнини, едната от които е дадена с прави линии AB и AC, а другата с прави линии DE и DF (фиг. 164, а). Също така извършете конструкция за случая, когато равнините са дадени от следи (фиг. 164, b).

Решение. Разстоянието (фиг. 164, c) между успоредни равнини може да се определи чрез изчертаване на перпендикуляр от всяка точка на една равнина към друга равнина. На фиг. 164, g въведе допълнителен квадрат. S перпендикулярно на квадрата. H и към двете дадени равнини. Оста S.H е перпендикулярна на хоризонта. проекция на хоризонтална линия, начертана в една от равнините. Изграждаме проекция на тази равнина и точки В друга равнина на пл. 5. Разстоянието на точката d s до правата l s a s е равно на желаното разстояние между успоредни равнини.

На фиг. 164, г е дадена друга конструкция (според метода на успоредно движение). За да бъде равнината, изразена от пресичащите се прави AB и AC, перпендикулярна на квадрата. V, хоризонт. задаваме хоризонталната проекция на тази равнина перпендикулярна на оста x: 1 1 2 1 ⊥ x. Разстояние между предните. проекцията d "1 на точката D и правата a" 1 2 "1 (челна проекция на равнината) е равна на желаното разстояние между равнините.

На фиг. 164, e показва въвеждането на допълнителен квадрат. S, перпендикулярна на pl.H и на дадените равнини P и Q (оста S/H е перпендикулярна на следите P h и Q h). Построяваме следи Р s и Q s . Разстоянието между тях (виж фиг. 164, c) е равно на желаното разстояние l между равнините P и Q.

На фиг. 164, g показва движението на равнините P 1 n Q 1, до позицията P 1 и Q 1, когато хоризонтът. следите се оказват перпендикулярни на оста x. Разстояние между нов фронт. следи P 1ϑ и Q 1ϑ е равно на необходимото разстояние l.

170. Даден е паралелепипед ABCDEFGH (фиг. 165). Определете разстоянията: а) между основите на паралелепипеда - l 1; б) между лицата ABFE и DCGH - l 2 ; c) между лицата на ADHE и BCGF-l 3.

Тези задачи включват: задачи за определяне на разстояния от точка до права, до равнина, до повърхнина; между успоредни и пресичащи се прави; между успоредни равнини и др.

Всички тези задачи са обединени от три обстоятелства:

първо, тъй като най-късото разстояниемежду такива фигури има перпендикуляр, тогава всички те се свеждат до изграждането на взаимно перпендикулярни линии и равнини.

Второ, във всяка от тези задачи е необходимо да се определи естествената дължина на сегмента, тоест да се реши втората основна метрична задача.

трети, това са комплексни задачи, решават се на няколко етапа, като на всеки етап се решава отделна, малка специфична задача.

Нека разгледаме решението на един от тези проблеми.

Задача:Определете разстоянието от точката Мдо линия обща позиция а(Фигура 4-26).

Алгоритъм:

Етап 1: Разстоянието от точка до права е перпендикуляр. Тъй като директната а- общо положение, тогава за да се построи перпендикуляр към него, е необходимо да се реши задача, подобна на тази, дадена на страници M4-4 от този модул, тоест първо през точката Мдържа самолет С, перпендикулярно а. Настроихме този самолет, както обикновено, чÇ f, при което h1^ а 1, а f2^ а 2

Етап 2: За да построите перпендикуляр, трябва да намерите втора точка за него. Това ще бъде точката Да сепринадлежащ на линията а. За да го намерите, трябва да решите позиционния проблем, тоест да намерите пресечната точка на линията асъс самолет С. Решаваме 1GPZ според третия алгоритъм (фиг. 4-28):

Въвеждаме самолет - посредник Ж, Ж^^ P 1 , GÉ аÞ Г 1 = a 1;

- ЖÇ S = b, G^^ П 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ СÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- б 2З a 2 = K 2Þ K 1.

Етап 3: Намиране на действителния размер МКметод на правоъгълен триъгълник

Пълното решение на проблема е показано на фиг. 4-30.

Алгоритмично записване на решението:

1. С^a,S = hЗ f = M, h 1^ a 1 , f 2^ a 2 .

2. Въвеждаме самолет - посредник Ж,

- Ж^^ P 1 , GÉ аÞ Г 1 = a 1 ;

- ЖÇ S = b, G^^ П 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ СÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- б 2З a 2 = K 2Þ K 1 .

3. Намиране на действителния размер МК.

Изводи:

1. Решаването на всички метрични задачи се свежда до решаването на първата основна метрична задача - за взаимната перпендикулярност на права и равнина.

2. При определяне на разстояния между геометрични формивинаги се използва втората основна метрична задача - за определяне на естествения размер на отсечката.

3. Равнина, допирателна към повърхност в една точка, може да бъде определена от две пресичащи се прави, всяка от които е допирателна към дадената повърхност.

тестови въпроси

1. Какви задачи се наричат метрични?

2. Кои две основни метрични задачи познавате?

3. Какво е по-изгодно да поставите равнина, перпендикулярна на права линия в общо положение?

4. Как се нарича равнината, перпендикулярна на една от нивата?

5. Как се нарича равнина, перпендикулярна на една от проектиращите прави?

6. Какво се нарича равнина, допирателна към повърхността?

Необходимо е да се определи разстоянието от точка до права. Общ планразрешаване на проблем:

- през дадена точканачертайте равнина, перпендикулярна на дадена права;

- намерете срещата на линията

със самолет;

- определя естествената стойност на разстоянието.

През дадена точка прекарваме равнина, перпендикулярна на правата AB. Равнината се задава от пресичащите се хоризонтална и фронтална, чиито проекции се изграждат по алгоритъма за перпендикулярност (обратна задача).

Намерете пресечната точка на правата AB с равнината. то типична задачаотносно пресичането на права линия с равнина (вижте раздела "Пресичане на права линия с равнина").

Перпендикулярност на равнината

Равнините са взаимно перпендикулярни, ако една от тях съдържа права, перпендикулярна на другата равнина. Следователно, за да начертаете равнина, перпендикулярна на друга равнина, първо трябва да начертаете перпендикуляр на равнината и след това да начертаете желаната равнина през нея. На диаграмата равнината е дадена от две пресичащи се прави, едната от които е перпендикулярна на равнината ABC.

Ако равнините са дадени чрез следи, тогава са възможни следните случаи:

- ако две перпендикулярни равнинисе проектират, тогава техните колективни следи са взаимно перпендикулярни;

- равнина в общо положение и проектираща равнина са перпендикулярни, ако общата следа на проектиращата равнина е перпендикулярна на едноименната следа на равнината в общо положение;

- ако подобни следи от две равнини в общо положение са перпендикулярни, тогава равнините не са перпендикулярни една на друга.

Метод за замяна на проекционни равнини

	подмяна на проекционна равнина
се крие във факта, че самолетите
секциите се заменят с други плоски
	така че	геометричен
обект в нова системасамолети
прогнозите започнаха да стават частни
позиция, което прави възможно опростяването на повторното
разрешаване на проблем. В пространствен мащаб
ket показва замяната на равнината V с
нов V 1 . Показано е също
точка А на оригиналните равнини
проекции и нова проекционна равнина
V1. При смяна на проекционни равнини
ортогоналността на системата се запазва.

Нека трансформираме пространственото оформление в планарно оформление чрез завъртане на равнините по стрелките. Получаваме три проекционни равнини, комбинирани в една равнина.

След това премахваме проекционните равнини и
		проекции
От сюжета на точката следва правилото: когато
замествайки V с V 1, за да
		челен
точка, е необходимо от новата ос
оставете настрана точката на приложение, взета от
предишната система от самолети
акции. По същия начин може да се докаже
	замяната на H с H 1 е необходима
задайте ординатата на точката.

Първият типичен проблем на метода за замяна на проекционни равнини

Първата типична задача на метода за заместване на проекционни равнини е трансформирането на линия в общо положение, първо в линия на ниво, а след това в проектираща линия. Тази задача е една от основните, тъй като се използва при решаването на други задачи, например при определяне на разстоянието между успоредни и коси линии, при определяне двустенен ъгъли т.н.

Правим промяната V → V 1 .
оста е начертана успоредно на хоризонталата
	проекции.
фронтална проекция директна, за
		отлагам
точки приложения. Нова предна част
проекцията на права линия е HB права линия.
Самата права линия става фронтална.
Определя се ъгълът α °.

Правим замяната H → H 1. Начертайте нова перпендикулярна ос предна проекцияправ. Изграждаме нов хоризонтална проекцияправа, за която отделяме ординатите на правата, взети от предишната система от проекционни равнини от новата ос. Линията се превръща в хоризонтално стърчаща линия и се „изражда“ в точка.

Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра от точката до правата. AT дескриптивна геометриято е определено графичноспоред алгоритъма по-долу.

Алгоритъм

Правата линия се прехвърля в позиция, в която ще бъде успоредна на всяка проекционна равнина. За да направите това, приложете методите за трансформация на ортогонални проекции.
Начертайте перпендикуляр от точка към права. В основата тази конструкцияе теорема за проекцията под прав ъгъл.
Дължината на перпендикуляра се определя чрез преобразуване на неговите проекции или чрез използване на метода на правоъгълния триъгълник.

Следващата фигура е сложен чертеж на точка M и линия b, даден от сегмента CD. Трябва да намерите разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията на позицията успоредна на равнинатапроекции. Важно е да разберете, че след трансформациите действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо тук е удобно да се използва методът за заместване на равнината, който не включва движещи се фигури в пространството.

Резултатите от първия етап от строителството са показани по-долу. Фигурата показва как се въвежда допълнителна фронтална равнина P 4, успоредна на b. В новата система (P 1 , P 4) точките C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 са на същото разстояние от оста X 1 като C"", D"", M"" от оста ос х.

Изпълнявайки втората част от алгоритъма, от M"" 1 спускаме перпендикуляра M"" 1 N"" 1 към правата b"" 1, тъй като правият ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 в цял размер. Определяме позицията на точка N" по линията на комуникация и чертаем проекцията M"N" на отсечката MN.

На финален етапнеобходимо е да се определи стойността на сегмента MN чрез неговите проекции M"N" и M"" 1 N"" 1 . За това ние изграждаме правоъгълен триъгълник M"" 1 N"" 1 N 0 , чийто катет N"" 1 N 0 е равен на разликата (Y M 1 – Y N 1) на отстраняването на точки M" и N" от оста X 1. Дължината на хипотенузата M"" 1 N 0 на триъгълника M"" 1 N"" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Вторият начин за решаване

Успоредно на CD въвеждаме нова фронтална равнина П 4 . Тя пресича P 1 по оста X 1 и X 1 ∥C"D". В съответствие с метода на замяна на равнини, ние определяме проекциите на точките C "" 1, D"" 1 и M"" 1, както е показано на фигурата.
Перпендикулярно на C "" 1 D "" 1 изграждаме допълнителна хоризонтална равнина P 5, върху която правата b се проектира към точката C" 2 \u003d b" 2.
Разстоянието между точка M и правата b се определя от дължината на сегмента M "2 C" 2, маркиран в червено.

Свързани задачи: