Приложения на определената интегрална площ на плоска фигура. Площ на плоска фигура

Лекция 21 Приложения определен интеграл(2 часа)

Геометрични приложения

а) площ на фигурата

Както беше отбелязано в Лекция 19, числено равна на площ криволинеен трапец, ограничена крива при = f(х) , прави линии х = а, х = bи сегмент [ а, b] на оста OX. В същото време, ако f(х) £ 0 на [ а, b], тогава интегралът трябва да се вземе със знак минус.

Ако е включено даден сегментфункция при = f(х) променя знака, след което за да изчислите площта на фигурата, затворена между графиката на тази функция и оста OX, трябва да разделите сегмента на части, на всяка от които функцията запазва своя знак, и да намерите площта на всяка част от фигурата. Желаната област в този случай е алгебричната сума на интегралите върху тези сегменти, а интегралите, съответстващи на отрицателните стойности на функцията, се вземат в тази сума със знак минус.

Ако фигурата е ограничена от две криви при = f 1 (х) и при = f 2 (х), f 1 (х)£ f 2 (х), тогава, както следва от фиг. 9, неговата площ е равна на разликата между площите на криволинейните трапеци аслънце bи а AD b, всеки от които е числено равен на интеграла. означава,

Имайте предвид, че площта на фигурата, показана на фигура 10, a, се намира по същата формула: S = (Докажи го!). Помислете как да изчислите площта на фигурата, показана на фигура 10, b?

Говорихме само за криволинейни трапеци, съседни на оста OX. Но подобни формули са валидни и за фигури, съседни на оста y. Например площта на фигурата, показана на фигура 11, се намира по формулата

Нека линията г=f(х), ограничаващи криволинейния трапец, могат да бъдат дадени параметрични уравнения , TО , и j(a)= а, j(b) = b, т.е. при= . Тогава площта на този криволинеен трапец е

.

б) Дължина на дъгата на кривата

Нека има крива при = f(х). Помислете за дъгата на тази крива, съответстваща на промяната хна сегмента [ а, b]. Нека намерим дължината на тази дъга. За да направим това, разделяме дъгата AB на Пчасти с точки A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M П= B (фиг. 14), съответстващи на точките х 1 , х 2 , ..., x n Î [ а, b].

Означете D аздължина на дъгата, тогава л= . Ако дължините на дъгата D аздостатъчно малки, те могат да се считат приблизително равни дължинисъответните сегменти, свързващи точките М аз-1,М аз. Тези точки имат координати M аз -1 (x i -1, f (x i-1)), М аз(x i, f(x i)). Тогава дължините на отсечките са съответно равни

Тук се използва формулата на Лагранж. Да сложим x i – x i-1=D x i, получаваме

Тогава л = , където

л = .

И така, дължината на дъгата на кривата при = f(х), съответстващ на промяната хна сегмента [ а, b], се намира по формулата

л = , (1)

Ако кривата е зададена параметрично, TО, т.е. г(T) = f(х(T)), тогава от формула (1) получаваме:

л=
.

Така че, ако кривата е дадена параметрично, тогава дължината на дъгата на тази крива, съответстваща на промяната Tн, се намира по формулата

в) Обемът на тялото на въртене.

Фиг.15

Помислете за криволинеен трапец а AB b, ограничена с линия при = f(х), прав х = а, х = bи сегмент [ а,b] на оста OX (фиг. 15). Нека този трапец се върти около оста OX, резултатът ще бъде въртящо се тяло. Може да се докаже, че обемът на това тяло ще бъде равен на

По подобен начин можете да изведете формулата за обема на тяло, получено чрез въртене около оста y на криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията х= j( при), прав г = ° С , г = ди сегмент [ ° С,д] ос y (фиг. 15):

Физически приложенияопределен интеграл

В Лекция 19 доказахме, че от физическа гледна точка интегралът е числено равна на масатаправолинеен тънък нееднороден прът с дължина л= b – а, с променлива линейна плътност r = f(х), f(х) ³ 0, където хе разстоянието от върха на пръта до левия му край.

Нека разгледаме други физически приложения на определения интеграл.

Задача 1. Намерете работата, необходима за изпомпване на масло от вертикален цилиндричен резервоар с височина H и радиус на основата R. Плътността на маслото е r.

Решение.Да строим математически моделтази задача. Нека оста OX минава по оста на симетрия на цилиндъра с височина H и радиус R, началото - в центъра на горната основа на цилиндъра (фиг. 17). Нека разделим цилиндъра Пмалки хоризонтални части. Тогава къде Ai- помпена работа азти слой. Това разделение на цилиндъра съответства на разделянето на сегмента на промяната във височината на слоя в Пчасти. Помислете за един от тези слоеве, разположен на разстояние x iот повърхността, ширина D х(или веднага dx). Изпомпването на този слой може да се разглежда като "повдигане" на слоя на височина x i.

Тогава извършената работа за изпомпване на този слой е равна на

Ai„Р i x i, ,

където П аз=rgV аз= rgpR 2 dx, Р аз– тегло, V азе обемът на слоя. Тогава Ai" Р i x i= rgpR 2 dx.x i, където

, и следователно .

Задача 2. Намерете инерционния момент

а) кух тънкостенен цилиндър около ос, минаваща през неговата ос на симетрия;

б) плътен цилиндър около ос, минаваща през неговата ос на симетрия;

в) дължина на тънък прът локоло оста, минаваща през средата му;

г) дължина на тънък прът локоло оста, минаваща през левия му край.

Решение.Както знаете, инерционният момент на точка спрямо оста е равен на Дж=г-н 2 , и точкови системи .

а) Цилиндърът е тънкостенен, което означава, че дебелината на стената може да се пренебрегне. Нека радиусът на основата на цилиндъра R, неговата височина H и плътността на масата по стените са равни на r.

Нека разделим цилиндъра Пчасти и намерете къде J i- момент на инерция аз-ти дялов елемент.

Обмисли аз-ти преграден елемент (безкрайно малък цилиндър). Всички негови точки са на разстояние R от оста л. Нека масата на този цилиндър t i, тогава t i= rV аз» RS страна= 2prR dx i, където x iО. Тогава J i» R 2 prR dx i, където

.

Ако r е константа, тогава Дж= 2prR 3 N, и тъй като масата на цилиндъра е M = 2prRН, тогава Дж= MR 2.

б) Ако цилиндърът е твърд (напълнен), тогава го разделяме на П vloтънки цилиндри, сгушени един в друг. Ако Пголеми, всеки от тези цилиндри може да се счита за тънкостенен. Това разделение съответства на разделянето на сегмента в Пчасти по точки R аз. Да намерим масата аз-ти тънкостенен цилиндър: t i= rV аз, където

V аз=pR аз 2 H - pR аз- 1 2 H \u003d pH (R аз 2-R аз -1 2) =

PH(R аз-Р аз-1)(Р аз+Р аз -1).

Тъй като стените на цилиндъра са тънки, можем да приемем, че R аз+Р аз-1 » 2R ази Р аз-Р аз-1=DR аз, след това В аз» pH2R азд-р аз, където t i» rpН×2R азд-р аз,

Тогава най-накрая

в) Да разгледаме прът с дължина л, чиято масова плътност е равна на r. Нека оста на въртене минава през средата му.

Моделираме пръта като сегмент от оста OX, тогава оста на въртене на пръта е оста OY. Помислете за елементарен сегмент, неговата маса, разстоянието до оста може да се счита за приблизително равно на r i= x i. Тогава инерционният момент на този участък е , откъдето инерционният момент на целия прът е . Като се има предвид, че масата на пръта е , тогава

г) Сега нека оста на въртене минава през левия край на пръта, т.е. прътовият модел е сегмент от оста OX. Тогава по подобен начин, r i= x i, , където , и тъй като , тогава .

Задача 3.Намерете силата на натиск на течност с плътност r върху правоъгълен триъгълник с катети аи b, потопени вертикално в течност, така че кракът ае на повърхността на течността.

Решение.

Нека изградим модел на задача. Нека горната част прав ъгълтриъгълник е в началото, катет асъвпада със сегмента на оста OY (оста OY определя повърхността на течността), оста OX е насочена надолу, кракът bсъвпада с сегмента на тази ос. Хипотенузата на този триъгълник има уравнението , или .

Известно е, че ако върху хоризонталната зона на района С, потопен в течност с плътност r, се притиска от стълб течност с височина ч, тогава силата на натиск е равна на (закон на Паскал). Нека използваме този закон.

Определеният интеграл (OI) се използва широко в практическите приложения на математиката и физиката.

По-специално в геометрията с помощта на ИЛИ се намират области прости фигурии сложни повърхнини, обеми на тела на въртене и тела с произволна форма, дължини на криви в равнината и в пространството.

по физика и теоретична механика RI се използва за изчисляване на статичните моменти, масите и центровете на масата на материални криви и повърхности, за изчисляване на работата на променлива сила по крива пътека и др.

Площ на плоска фигура

Нека някаква равнина фигурира в декартова система правоъгълна системакоординати $xOy$ е ограничен отгоре от кривата $y=y_(1) \left(x\right)$, отдолу от кривата $y=y_(2) \left(x\right)$, и отляво и надясно с вертикални линии $ x=a$ и $x=b$ съответно. AT общ случайплощта на такава фигура се изразява с помощта на ИЛИ $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left( x\right)\right )\cdot dx $.

Ако някаква плоска фигура в декартовата правоъгълна координатна система $xOy$ е ограничена отдясно от кривата $x=x_(1) \left(y\right)$, отляво - от кривата $x=x_(2 ) \left(y\right) $, а отдолу и отгоре с хоризонтални линии $y=c$ и $y=d$, съответно, тогава площта на такава фигура се изразява с помощта на OI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Нека разглеждаме плоска фигура (криволинеен сектор). полярна системакоординати, се образува от графиката на непрекъснатата функция $\rho =\rho \left(\phi \right)$, както и от два лъча, преминаващи под ъглите $\phi =\alpha $ и $\phi =\ бета $, съответно. Формулата за изчисляване на площта на такъв криволинеен сектор е: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

Дължина на дъгата на кривата

Ако в сегмента $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривата се дава от уравнението $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярни координати, тогава дължината на нейната дъга се изчислява с помощта на ИЛИ $L=\int \limits _ (\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $.

Ако кривата на сегмента $\left$ е дадена от уравнението $y=y\left(x\right)$, тогава дължината на нейната дъга се изчислява с помощта на ИЛИ $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Ако в сегмента $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривата е зададена параметрично, т.е. $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, тогава дължината на нейната дъга се изчислява с помощта на ИЛИ $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Изчисляване на обема на тялото от площите на успоредни сечения

Нека е необходимо да се намери обемът на пространствено тяло, чиито координати на точката отговарят на условията $a\le x\le b$ и за които площите на напречните сечения $S\left(x\right)$ с равнини, перпендикулярни на оста $Ox$ са известни.

Формулата за изчисляване на обема на такова тяло е $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Обем на въртеливото тяло

Нека на отсечката $\left$ е дадена неотрицателна непрекъсната функция $y=y\left(x\right)$, образуваща криволинеен трапец (KrT). Ако завъртим този CRT около оста $Ox$, тогава се образува тяло, наречено тяло на въртене.

Изчисляването на обема на тяло на въртене е частен случай на изчисляване на обема на тяло от известни площадинеговите успоредни участъци. Съответната формула е $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx$.

Нека някаква плоска фигура в декартовата правоъгълна координатна система $xOy$ е ограничена отгоре от кривата $y=y_(1) \left(x\right)$, отдолу от кривата $y=y_(2) \left (x\right)$, където $y_(1) \left(x\right)$ и $y_(2) \left(x\right)$ са неотрицателни непрекъснати функции, а вертикалните линии $x=a$ и $x= b$ съответно. Тогава обемът на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста $Ox$, се изразява чрез ИЛИ $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) ^(2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Нека някаква плоска фигура в декартовата правоъгълна координатна система $xOy$ е ограничена отдясно от кривата $x=x_(1) \left(y\right)$, отляво - от кривата $x=x_(2 ) \left(y\right)$, където $x_(1) \left(y\right)$ и $x_(2) \left(y\right)$ са неотрицателни непрекъснати функции, а хоризонталните линии $y =c$ и $y= d$ съответно. Тогава обемът на тялото, образуван от въртенето на тази фигура около оста $Oy$, се изразява чрез OI $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Площ на повърхността на тялото на въртене

Нека на сегмента $\left$ е дадена неотрицателна функция $y=y\left(x\right)$ с непрекъсната производна $y"\left(x\right)$. Тази функция образува KrT. Ако въртим това KrT около оста $Ox $, тогава то самото образува тяло на въртене, а дъгата KrT е неговата повърхност. Площта на повърхността на такова тяло на въртене се изразява с формулата $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Да предположим, че кривата $x=\phi \left(y\right)$, където $\phi \left(y\right)$ е неотрицателна функция, дефинирана на сегмента $c\le y\le d$, се върти около оста $Oy$. В този случай площта на образуваното въртящо се тяло се изразява като ИЛИ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

Физически приложения на OI

1. За да изчислите изминатото разстояние в момент $t=T$ с променлива скорост $v=v\left(t\right)$ на материална точка, която е започнала да се движи в момент $t=t_(0) $, използвайте ИЛИ $ S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. За изчисляване на работата на променливата сила $F=F\left(x\right)$, приложена към материална точкадвижейки се прав пътпо оста $Ox$ от точката $x=a$ до точката $x=b$ (посоката на силата съвпада с посоката на движение) използвайте ИЛИ $A=\int \limits _(a)^ (b)F\left(x \right)\cdot dx $.
3. Статични моменти спрямо координатни осиматериалната крива $y=y\left(x\right)$ на интервала $\left$ се изразяват с формулите $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ ляво(x\ дясно)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ и $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, където линейната плътност $\rho $ на тази крива се приема за постоянна.
4. Центърът на масата на материалната крива е точка, в която цялата му маса е условно концентрирана по такъв начин, че статичните моменти на точката спрямо координатните оси са равни на съответните статични моменти на цялата крива като цяло.

Формулите за изчисляване на координатите на центъра на масата на равнинна крива са $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2 ) \left(x\ right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ и $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right) ) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. Статични моменти на материала плоска фигурапод формата на КрТ по отношение на координатните оси се изразяват с формулите $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^ (2) \left(x\ right)\cdot dx $ и $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. Координатите на центъра на масата на материална плоска фигура под формата на KrT, образувана от кривата $y=y\left(x\right)$ на интервала $\left$, се изчисляват по формулите $x_( C) =\frac(\int \limits _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ и $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

Лекции 8. Приложения на определен интеграл.

Приложение на интеграла към физически задачисе основава на свойството за адитивност на интеграла върху множество. Следователно с помощта на интеграла могат да се изчислят такива величини, които сами по себе си са адитивни в множеството. Например, площта на фигура е равна на сумата от площите на частите й. Дължината на дъгата, повърхността, обемът на тялото и масата на тялото имат същото свойство. Следователно всички тези величини могат да бъдат изчислени с помощта на определен интеграл.

Има два начина за решаване на проблеми: методът на интегралните суми и методът на диференциалите.

Методът на интегралните суми повтаря конструкцията на определен интеграл: конструира се дял, маркират се точки, в тях се изчислява функция, изчислява се интегрална сума и се извършва преминаването към границата. При този метод основната трудност е да се докаже, че в границата ще се получи точно това, което е необходимо в проблема.

Диференциалният метод използва неопределения интеграл и формулата на Нютон–Лайбниц. Изчислява се диференциалът на стойността, която трябва да се определи, и след това, като се интегрира този диференциал, се получава необходимата стойност с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц. При този метод основната трудност е да се докаже, че се изчислява диференциалът на желаната стойност, а не нещо друго.

Изчисляване на площите на равнинни фигури.

1. Фигурата е ограничена до графиката на функцията, посочена в Декартова системакоординати.

Стигнахме до концепцията за определен интеграл от проблема за площта на криволинейния трапец (всъщност, използвайки метода на интегралните суми). Ако функцията приема само не отрицателни стойности, тогава площта под графиката на функцията върху сегмента може да се изчисли с помощта на определен интеграл. забележи това така че тук можете да видите метода на диференциалите.

Но функцията може също да приема отрицателни стойности на определен сегмент, тогава интегралът върху този сегмент ще даде отрицателна площ, което противоречи на определението за площ.

Можете да изчислите площта с помощта на формулатаС=. Това е еквивалентно на промяна на знака на функцията в онези области, в които тя приема отрицателни стойности.

Ако трябва да изчислите площта на фигура, ограничена отгоре от графиката на функцията и отдолу от графиката на функцията, тогава можете да използвате формулатаС= , защото .

Пример. Изчислете площта на фигурата, ограничена от прави линии x=0, x=2 и графики на функции y=x 2 , y=x 3 .

Забележете, че на интервала (0,1) е изпълнено неравенството x 2 > x 3, а за x >1 е изпълнено неравенството x 3 > x 2. Ето защо

2. Фигурата е ограничена до графиката на функцията, дадена в полярната координатна система.

Нека графиката на функцията е дадена в полярната координатна система и искаме да изчислим площта на криволинейния сектор, ограничен от два лъча и графиката на функцията в полярната координатна система.

Тук можете да използвате метода на интегралните суми, изчислявайки площта на извит сектор като границата на сумата от площите на елементарните сектори, в които графиката на функцията се заменя с дъга от кръг .

Можете също да използвате диференциалния метод: .

Можете да разсъждавате така. Замяна на елементарния криволинеен сектор, съответстващ на централен ъгълкръгъл сектор, имаме пропорцията . Оттук . Интегрирайки и използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме .

Пример. Изчислете площта на кръга (проверете формулата). Ние вярваме . Площта на кръга е .

Пример. Изчислете площта, ограничена от кардиоидата .

3 Фигурата е ограничена до графиката на функция, зададена параметрично.

Функцията може да бъде зададена параметрично във формата . Използваме формулата С= , замествайки в него границите на интегриране по отношение на новата променлива. . Обикновено при изчисляване на интеграла се разграничават областите, в които интеграндът има определен знак и се взема предвид съответната област с един или друг знак.

Пример. Изчислете площта, оградена от елипсата.

Използвайки симетрията на елипсата, изчисляваме площта на една четвърт от елипсата, разположена в първия квадрант. в този квадрант. Ето защо .

Изчисляване на обеми на тела.

1. Изчисляване на обемите на тела от площите на успоредни сечения.

Нека се изисква да се изчисли обемът на някакво тяло V от известните площи на сеченията на това тяло чрез равнини, перпендикулярни на правата OX, прекарана през която и да е точка x от сегмента OX.

Прилагаме метода на диференциалите. Като се има предвид елементарният обем над отсечката като обем на прав кръгов цилиндър с основна площ и височина, получаваме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме

2. Изчисляване на обемите на телата на въртене.

Нека се изисква да се изчисли ОХ.

Тогава .

по същия начин, обем на въртящо се тяло около осой, ако функцията е дадена във формата , може да се изчисли с помощта на формулата .

Ако функцията е дадена във формата и се изисква да се определи обемът на тялото на въртене около остаой, тогава формулата за изчисляване на обема може да се получи, както следва.

Преминавайки към диференциала и пренебрегвайки квадратичните членове, имаме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, имаме .

Пример. Изчислете обема на сферата.

Пример. Да се ​​изчисли обемът на прав кръгов конус, ограничен от повърхнина и равнина.

Изчислете обема като обем на въртеливо тяло, образувано от въртене около оста OZ правоъгълен триъгълникв равнината OXZ, чиито крака лежат на оста OZ и линията z \u003d H, а хипотенузата лежи на линията.

Изразявайки x чрез z, получаваме .

Изчисляване на дължината на дъгата.

За да получим формули за изчисляване на дължината на дъга, нека си припомним формулите за диференциала на дължината на дъга, получени през 1-ви семестър.

Ако дъгата е графика на непрекъснато диференцируема функция, разликата в дължината на дъгата може да се изчисли по формулата

. Ето защо

Ако параметрично е зададена гладка дъга, тогава

. Ето защо .

Ако дъгата е в полярни координати, тогава

. Ето защо .

Пример. Изчислете дължината на дъгата на графиката на функцията, . .

Начало > Лекция

Лекция 18. Приложения на определен интеграл.

18.1. Изчисляване на площите на равнинни фигури.

Известно е, че определеният интеграл върху сегмент е площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията f(x). Ако графиката е разположена под оста x, т.е. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, тогава областта има знак „+“.

Формулата се използва за намиране на общата площ.

Площта на фигура, ограничена от няколко линии, може да се намери с помощта на определени интеграли, ако уравненията на тези линии са известни.

Пример.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2.

Желаната област (защрихована на фигурата) може да се намери по формулата:

18.2. Намиране на площта на криволинейния сектор.

За да намерим площта на криволинейния сектор, въвеждаме полярна координатна система. Уравнението на кривата, която ограничава сектора в тази координатна система, има формата  = f(), където  е дължината на радиус вектора, свързващ полюса с произволна точкакрива, а  - ъгълът на наклона на този радиус-вектор спрямо полярната ос.

Площта на извит сектор може да се намери по формулата

18.3. Изчисляване на дължината на дъгата на крива.

y y = f(x)

S i y i

Дължината на полилинията, която съответства на дъгата, може да се намери като
.

Тогава дължината на дъгата е
.

от геометрични съображения:

В същото време

Тогава може да се покаже, че

Тези.

Ако уравнението на кривата е дадено параметрично, тогава, като се вземат предвид правилата за изчисляване на производната на параметрично дадената, получаваме

,

където x = (t) и y = (t).

Ако е зададено пространствена криваи x = (t), y = (t) и z = Z(t), тогава

Ако кривата е настроена на полярни координати, тогава

,  = f().

Пример:Намерете обиколката, дадена от уравнението x 2 + y 2 = r 2 .

1 начин.Нека изразим променливата y от уравнението.

Нека намерим производната

Тогава S = 2r. Получихме добре познатата формула за обиколка на кръг.

2 начина.Ако представим даденото уравнение в полярна координатна система, получаваме: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, т.е. функция  = f() = r,
тогава

18.4. Изчисляване на обеми на тела.

Изчисляване на обема на тяло от известните площи на успоредните му сечения.

Нека има тяло с обем V. Площта на всяко напречно сечение на тялото, Q, е известна като непрекъсната функция Q = Q(x). Нека разделим тялото на “слоеве” чрез напречни сечения, минаващи през точките x i от делението на отсечката. защото функцията Q(x) е непрекъсната на някакъв междинен сегмент на дяла, след което поема най-големия и най-малка стойност. Нека ги обозначим съответно M i и m i .

Ако върху тези най-големи и най-малки секции да се изградят цилиндри с генератори, успоредни на оста x, тогава обемите на тези цилиндри ще бъдат съответно равни на M i x i и m i x i тук x i = x i - x i -1 .

След като направим такива конструкции за всички сегменти на преградата, получаваме цилиндри, чиито обеми са съответно
и
.

Тъй като стъпката на разделяне  клони към нула, тези суми имат обща граница:

Така обемът на тялото може да се намери по формулата:

Недостатъкът на тази формула е, че за да се намери обемът, е необходимо да се знае функцията Q(x), което е много проблематично за сложни тела.

Пример:Намерете обема на сфера с радиус R.

AT напречни сечениятопка се получават кръгове с променлив радиус y. В зависимост от текущата координата x, този радиус се изразява с формулата
.

Тогава функцията на площта на напречното сечение има формата: Q(x) = .

Получаваме обема на топката:

Пример:Намерете обема на произволна пирамида с височина H и основна площ S.

При пресичане на пирамидата с равнини, перпендикулярни на височината, в разрез получаваме фигури, подобни на основата. Коефициентът на сходство на тези фигури е равен на отношението x / H, където x е разстоянието от равнината на сечението до върха на пирамидата.

От геометрията е известно, че отношението на площите на подобни фигури е равно на коефициента на подобие на квадрат, т.е.

От тук получаваме функцията на площите на напречните сечения:

Намиране на обема на пирамидата:

18.5. Обемът на телата на въртене.

Разгледайте кривата, дадена от уравнението y = f(x). Да приемем, че функцията f(x) е непрекъсната на отсечката . Ако съответният му криволинеен трапец с основи a и b се завърти около оста Ox, то се получава т.нар. тяло на революцията.

защото всяко сечение на тялото от равнината x = const е окръжност с радиус , тогава обемът на тялото на въртене може лесно да се намери с помощта на формулата, получена по-горе:

18.6. Площ на повърхността на тялото на въртене.

М и Б

определение: Повърхностна площ на въртенекрива AB около дадена ос е границата, към която се стремят площите на повърхностите на въртене на начупени линии, вписани в кривата AB, когато най-голямата от дължините на връзките на тези начупени линии клони към нула.

Нека разделим дъгата AB на n части от точки M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Върховете на получената полилиния имат координати x i и y i . При завъртане на счупената линия около оста получаваме повърхност, състояща се от странични повърхности на пресечени конуси, чиято площ е равна на P i . Тази област може да се намери с помощта на формулата:

Тук S i е дължината на всяка хорда.

Ние прилагаме теоремата на Лагранж (вж. Теорема на Лагранж) към отношението
.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

федерална държавна автономна образователна институция

висше професионално образование

„Северен (Арктика) федерален университетна името на M.V. Ломоносов"

Катедра по математика

КУРСОВА РАБОТА

По дисциплина Математика

Пятишева Анастасия Андреевна

Ръководител

Изкуство. учител

Бородкина Т. А.

Архангелск 2014 г

ЗАДАЧА ЗА КУРСОВА РАБОТА

Приложения на определения интеграл

ИЗХОДНИ ДАННИ:

21. y=x 3 , y= ; 22.

ВЪВЕДЕНИЕ

В тази курсова работа имам следните задачи: да изчисля площите на фигури, ограничени от графики на функции, ограничени от линии, дадени от уравнения, също ограничени от линии, дадени от уравнения в полярни координати, изчислете дължините на дъгите на кривите, дадени от уравнениятав правоъгълна координатна система, зададена от параметрични уравнения, дадена от уравнения в полярни координати, както и изчисляване на обемите на тела, ограничени от повърхности, ограничени от графики на функции и образувани от въртенето на фигури, ограничени от графики на функции около полярна ос. Избрах курсова работа на тема „Определен интеграл. В тази връзка реших да разбера колко лесно и бързо можете да използвате интегрални изчисления и колко точно можете да пресмятате поставените ми задачи.

ИНТЕГРАЛ е едно от най-важните понятия на математиката, възникнало във връзка с необходимостта, от една страна, да се намерят функции по техните производни (например да се намери функция, която изразява пътя, изминат от движеща се точка, според скорост на тази точка), а от друга страна, за измерване на площи, обеми, дължини, дъги, работата на силите за определен период от време и др.

Разкриване на темата срочна писмена работаСледвах следния план: дефиниране на определен интеграл и неговите свойства; дължина на дъгата на кривата; площ на криволинейния трапец; повърхност на въртене.

За всяка функция f(x), непрекъсната на сегмента, има първоизводна на този сегмент, което означава, че има неопределен интеграл.

Ако функцията F(x) е някаква антипроизводна на непрекъсната функция f(x), тогава този израз е известен като формулата на Нютон-Лайбниц:

Основните свойства на определения интеграл:

Ако долната и горната граница на интегриране са равни (a=b), тогава интегралът е равен на нула:

Ако f(x)=1, тогава:

При пренареждане на границите на интегриране, определеният интеграл променя знака на противоположния:

Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл:

Ако функциите са интегрируеми на, то тяхната сума е интегрируема и интегралът на сумата е равно на суматаинтеграли:

Има и основни методи за интегриране, като например промяна на променлива,:

Поправка на диференциала:

Формулата за интегриране по части позволява да се намали изчисляването на интеграла до изчисляването на интеграла, което може да се окаже по-просто:

геометричен смисълна определен интеграл е, че за непрекъсната и неотрицателна функция той е в геометричен смисъл площта на съответния криволинеен трапец.

Освен това, като използвате определен интеграл, можете да намерите площта на областта, ограничена от криви, прави линии и, където

Ако криволинеен трапец е ограничен от крива, зададена параметрично от правите x = a и x = b и оста Ox, тогава неговата площ се намира по формулата, където те се определят от равенството:

. (12)

Основната област, площта на която се намира с помощта на определен интеграл, е криволинеен сектор. Това е областта, ограничена от два лъча и крива, където r и са полярни координати:

Ако кривата е графика на функцията където и функцията на нейната производна е непрекъсната на този сегмент, тогава повърхността на фигурата, образувана от въртенето на кривата около оста Ox, може да се изчисли по формулата:

. (14)

Ако функция и нейната производна са непрекъснати на сегмент, тогава кривата има дължина, равна на:

Ако уравнението на кривата е дадено в параметрична форма

където x(t) и y(t) са непрекъснати функции с непрекъснати производни и тогава дължината на кривата се намира по формулата:

Ако кривата е дадена чрез уравнение в полярни координати, където и са непрекъснати в сегмента, тогава дължината на дъгата може да се изчисли, както следва:

Ако криволинеен трапец се върти около оста Ox, ограничен от непрекъснат сегмент и прави линии x \u003d a и x \u003d b, тогава обемът на тялото, образуван от въртенето на този трапец около оста Ox, ще бъде равен на :

Ако криволинеен трапец е ограничен от графика на непрекъсната функция и прави x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Ако фигурата е ограничена от криви и (е „по-висока“ отколкото от прави линии x = a, x = b, тогава обемът на тялото на въртене около оста Ox ще бъде равен на:

и около оста y (:

Ако криволинейният сектор се завърти около полярната ос, тогава площта на полученото тяло може да се намери по формулата:

2. РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМИ

Задача 14: Изчислете площите на фигури, ограничени от графики на функции:

1) Решение:

Фигура 1 - Графика на функциите

X се променя от 0 на

x 1 = -1 и x 2 = 2 - граници на интегриране (това може да се види на фигура 1).

3) Изчислете площта на фигурата, като използвате формула (10).

Отговор: S = .

Задача 15: Изчислете повърхнините на фигурите, ограничени от линиите, дадени с уравненията:

1) Решение:

Фигура 2 - Графика на функциите

Да разгледаме функция на интервала.

Фигура 3 - Таблица с променливи за функцията

Тъй като тогава 1 дъга ще се побере на този период. Тази дъга се състои от централна част (S 1) и странични части. Централната част се състои от желаната част и правоъгълник (S pr):. Нека изчислим площта на една централна част на дъгата.

2) Намерете границите на интеграция.

и y = 6, следователно

За интервал, границите на интегриране.

3) Намерете площта на фигурата, като използвате формула (12).

криволинеен интегрален трапец

Задача 16: Изчислете площите на фигури, ограничени от линии, дадени с уравнения в полярни координати:

1) Решение:

Фигура 4 - Графика на функциите,

Фигура 5 - Таблица с променливи функции,

2) Намерете границите на интеграция.

Следователно -

3) Намерете площта на фигурата, като използвате формула (13).

Отговор: S=.

Задача 17: Изчислете дължините на дъгите на криви, дадени с уравнения в правоъгълна координатна система:

1) Решение:

Фигура 6 - Графика на функцията

Фигура 7 - Таблица с функционални променливи

2) Намерете границите на интеграция.

варира от ln до ln, това е очевидно от условието.

3) Намерете дължината на дъгата, като използвате формула (15).

Отговор: л =

Задача 18: Изчислете дължините на дъгите на криви, дадени от параметрични уравнения: 1)

1) Решение:

Фигура 8- Функционална графика

Фигура 11 - Таблица с функционални променливи

2) Намерете границите на интеграция.

ts варира от, това е очевидно от условието.

Нека намерим дължината на дъгата с помощта на формула (17).

Задача 20: Изчислете обемите на тела, ограничени от повърхности:

1) Решение:

Фигура 12 - Графика на функциите:

2) Намерете границите на интеграция.

Z се променя от 0 на 3.

3) Намерете обема на фигурата по формула (18)

Задача 21: Изчислете обемите на тела, ограничени от графики на функции, ос на въртене Ox: 1)

1) Решение:

Фигура 13 - Графика на функциите

Фигура 15 - Таблица с функционална графика

2) Намерете границите на интеграция.

Точките (0;0) и (1;1) са общи за двете графики, следователно това са границите на интегриране, което е очевидно на фигурата.

3) Намерете обема на фигурата по формула (20).

Задача 22: Изчислете площта на телата, образувани от въртенето на фигури, ограничени от функционални графики около полярната ос:

1) Решение:

Фигура 16 - Графика на функцията

Фигура 17 - Таблица с променливи за графиката на функцията

2) Намерете границите на интеграция.

c промени от

3) Намерете площта на фигурата, като използвате формула (22).

Отговор: 3,68

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процеса на завършване на моята курсова работа по темата „Определен интеграл“ научих как да изчислявам площи различни тела, намерете дължините на различни дъги от криви и изчислете обеми. Това представянеотносно работата с интеграли, ще ми помогне в бъдеще професионална дейносткак да изпълнявате бързо и ефективно различни дейности. В крайна сметка самият интеграл е едно от най-важните понятия на математиката, възникнало във връзка с необходимостта, от една страна, да се намерят функции по техните производни (например да се намери функция, изразяваща пътя, изминат от движещ се точка, според скоростта на тази точка), а от друга страна, за измерване на площи, обеми, дължини на дъги, работа на силите за определен период от време и др.

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНИТЕ ИЗТОЧНИЦИ

1. Написано, D.T. Конспекти от лекции по висша математика: Част 1 - 9-то изд. - М.: Ирис-прес, 2008. - 288 с.

2. Бугров, Я.С., Николски, С.М. Висша математика. Диференциал и интегрално смятане: V.2 - М.: Дрофа, 2004. - 512 с.

3. В. А. Зорич, Математически анализ. Част I. - Изд. 4-ти - М.: МЦНМО, 2002. - 664 с.

4. Кузнецов Д.А. „Сборник задачи за висша математика» Москва, 1983 г

5. Николски С. Н. „Елементи математически анализ". - М.: Наука, 1981.

Подобни документи

Изчисляване на площите на равнинни фигури. Намиране на определен интеграл на функция. Определяне на площта под кривата, площта на фигурата, затворена между кривите. Изчисляване на обемите на телата на въртене. Границата на интегралната сума на функция. Определяне на обема на цилиндър.

презентация, добавена на 18.09.2013 г


Характеристики на изчисляване на обемите на тела, ограничени от повърхности, използвайки геометричен смисъл двоен интеграл. Определяне на площите на равнинни фигури, ограничени от линии, с помощта на метода на интегриране в хода на математическия анализ.

презентация, добавена на 17.09.2013 г


Производна на определен интеграл по отношение на променлива горен лимит. Изчисляване на определен интеграл като граница на интегралната сума по формулата на Нютон–Лайбниц, промяна на променлива и интегриране по части. Дължина на дъгата в полярни координати.

контролна работа, добавена на 22.08.2009 г


Моменти и масови центрове на равнинни криви. Теорема на Гулден. Повърхнината, образувана от въртенето на дъга от равнинна крива около ос, която лежи в равнината на дъгата и не я пресича, е равна на произведението от дължината на дъгата и дължината на окръжността.

лекция, добавена на 09/04/2003


Техниката и основните етапи на намиране на параметрите: площта на криволинейния трапец и сектор, дължината на дъгата на кривата, обемът на телата, повърхността на телата на въртене, работата на променлива сила. Редът и механизмът за изчисляване на интеграли с помощта на пакета MathCAD.

контролна работа, добавена на 21.11.2010 г


Необходими и достатъчно условиеналичието на определен интеграл. Равенство на определен интеграл от алгебрична сума(разлика) на две функции. Теорема за средната стойност – следствие и доказателство. Геометричният смисъл на определен интеграл.

презентация, добавена на 18.09.2013 г


Задача числено интегриранефункции. Изчисляване на приближената стойност на определен интеграл. Намиране на определен интеграл чрез методите на правоъгълници, средни правоъгълници, трапеци. Грешката на формулите и сравнението на методите по отношение на точността.

ръководство за обучение, добавено на 01.07.2009 г


Методи за изчисляване на интеграли. Формули и валидиране неопределен интеграл. Площ на криволинеен трапец. Неопределено, определено и сложен интеграл. Основни приложения на интегралите. Геометричен смисъл на определени и неопределени интеграли.

презентация, добавена на 15.01.2014 г


Изчисляване на площта на фигура, ограничена от дадени линии, използвайки двоен интеграл. Изчисляване на двойния интеграл чрез преминаване към полярни координати. Метод на определяне криволинейни интегралиот втори вид по дадена линия и поток на векторно поле.

контролна работа, добавена на 14.12.2012 г


Понятието за определен интеграл, изчисляване на площта, обема на тялото и дължината на дъгата, статичния момент и центъра на тежестта на кривата. Изчисляване на площта в случай на правоъгълна криволинейна област. Приложение на криволинейни, повърхностни и тройни интеграли.