Приложение на графики при решаване на уравнения. Изучаването на основните елементарни функции в училищния курс по математика

Знаете, че за всяка подредена двойка числа има съответстващо определена точкана координатна равнина. Тъй като всяко решение на уравнение с две променливи x и y е подредена двойка числа, всички негови решения могат да бъдат представени чрез точки в координатната равнина. В тези точки абсцисата е стойността на променливата x, а ординатата е съответната стойност на променливата y. Следователно получаваме графика на уравнение с две променливи.

Помня!

Графиката на уравнение с две променливи е изображението в координатната равнина на всички точки, чиито координати удовлетворяват дадено уравнение.

Погледнете фигури 64 и 65. Виждате графика на уравнението 0,5 x - y \u003d 2, където x е четно едноцифрено число (фиг. 64), и графика на уравнението x 2 + y 2 \u003d 4 (фиг. 65). Първата графика съдържа само четири точки, тъй като x и y могат да приемат само четири стойности. Втората графика е права в координатната равнина. Той съдържа много точки, тъй като променливата x може да приеме произволна стойност от -2 до 2 и има много такива числа. Има и много съответстващи стойности. Променят се от 2 на 2.

Фигура 66 показва графика на уравнението x + y \u003d 4. За разлика от графиката на уравнението x 2 + y 2 \u003d 4 (вижте фиг. 65), всяка абциса на точките на тази графика съответства на една ордината. А това означава, че фигура 66 показва графиката на функцията. Уверете се сами, че графиката на уравнението на Фигура 64 също е графика на функция.

Забележка

не всяко уравнение има графика на функция, но всяка графика на функция е графика на някакво уравнение.

Уравнението x + y = 4 е линейно уравнение с две променливи. Решавайки го за y, получаваме: y \u003d -x + 4. Полученото равенство може да се разбира като формула, която определя линейна функция y \u003d -x + 4. Графиката на такава функция е права линия. Така че графикът линейно уравнение x + y \u003d 4, което е показано на фигура 66, е права линия.

Може ли да се твърди, че графиката на всяко линейно уравнение с две променливи е права линия? Не. Например линейното уравнение 0 ∙ x + 0 ∙ y \u003d 0 удовлетворява всяка двойка числа и следователно графиката на това уравнение съдържа всички точки от координатната равнина.

Нека да разберем каква е графиката на линейно уравнение с две променливи ax + by + c = 0 в зависимост от стойностите на коефициентите a, b и c. Такива случаи са възможни.

Нека a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 може да бъде представено като:

Получихме равенство, което определя линейна функция y(x). Неговата графика, а оттам и графиката на това уравнение, е права линия, която не минава през началото (фиг. 67).

2. Нека a ≠ 0, b ≠ 0, c \u003d 0. Тогава уравнението ax + by + c \u003d 0 приема формата ax + by + 0 = 0, или y \u003d x.

Получаваме равенство, което определя правата пропорционалност на y(x). Неговата графика, а оттам и графиката на това уравнение, е права линия, минаваща през началото (фиг. 68).

3. Нека a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата ax + 0 ∙ y + c = 0 или x = -.

Полученото равенство не задава функцията y(). Това равенство се изпълнява от такива двойки числа (x; y), в които x \u003d и y е всяко число. В координатната равнина тези точки лежат на права линия, успоредна на оста OY. И така, графиката на това уравнение е права линия, успоредна на оста y (фиг. 69).

4. Нека a ≠ 0, b = 0, c = 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата ax + 0 ∙ y + 0 = 0 или x = 0.

Това равенство се изпълнява от такива двойки числа (x; y), в които x \u003d 0, а y е всяко число. В координатната равнина тези точки лежат на оста OY. И така, графиката на това уравнение с права линия, съвпадаща с оста у.

5. Нека a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата 0 ∙ x + by + c = 0, или y = -. Това равенство определя функцията y(x), която придобива еднакви стойности за всякакви стойности на x, т.е. тя е постоянна. Неговата графика, а оттам и графиката на това уравнение, е права линия, успоредна на оста x (фиг. 70).

6. Нека a = 0, b ≠ 0, c = 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 става 0 ∙ x + by + 0 = 0, или b = 0. Получаваме постоянна функция y(x), в която всяка точка от графиката лежи на оста x. И така, графиката на това уравнение е права линия, съвпадаща с оста x.

7. Нека a = 0, b = 0, c ≠ 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0 или 0 ∙ x + 0 ∙ c = c . И такова линейно уравнение няма решения, така че неговата графика не съдържа нито една точка от координатната равнина.

8. Нека a = 0, b = 0, c = 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0 или 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Такова линейно уравнение има много решения, така че неговата графика е цялата координатна равнина.

Можем да обобщим получените резултати.

Графика на линейно уравнение с две променливи ax + bu + c = 0:

Той е директен, ако a ≠ 0 или b ≠ 0;

Е цялата равнина, ако a = 0, b = 0 и c = 0;

Не съдържа нито една точка от координатната равнина, ако a = 0, b = 0 и c ≠ 0.

Задача. Начертайте уравнението 2x - y - 3 = 0

Решения. Уравнението 2x - y - 3 = 0 е линейно. Следователно неговата графика е линията y \u003d 2x - 3. За да я конструирате, достатъчно е да посочите две точки, принадлежащи на тази линия. Нека направим таблица от стойности на y за две произволни стойности на x, например за x \u003d 0 и x \u003d 2 (Таблица 27).

Таблица 27

На координатната равнина отбелязваме точките с координати (0; -3) и (2; 1) и прекарваме през тях права линия (фиг. 70). Тази линия е желаната графика на уравнението 2x - y - 3 = 0.

Възможно ли е да се идентифицира графиката на линейно уравнение с две променливи и графиката на уравнение от първа степен с две променливи? Не, тъй като съществуват линейни уравнения, те не са уравнения от първа степен. Например, това са уравнението 0 ∙ x + 0 ∙ y + c \u003d 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 \u003d 0.

Забележка:

Графиката на линейно уравнение с две променливи може да бъде права линия, цялата равнина или да не съдържа точки в координатната равнина;

Графиката на уравнение от първа степен с две променливи винаги е права линия.

Открийте повече

1. Нека a ≠ 0. Тогава общо решениеуравненията също могат да бъдат представени в тази форма: X \u003d - y -. Имаме линейна функция x(y). Графиката му е права линия. За да се изгради такава графика, е необходимо да се наслагват координатните оси по различен начин: първият координатна ос(независима променлива) разгледайте оста y, а втората (зависима променлива)

Оста OH. След това оста y е удобно разположена хоризонтално, а оста x

Вертикално (фиг. 72). Графиката на уравнението в този случай също ще бъде поставена различно върху координатната равнина, в зависимост от маркировките на коефициентите b и c. Разгледайте го сами.

2. Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) - изключителен руски математик и механик, теоретичен физик, основател научни школипо нелинейна механика и теоретична физика, академик на Академията на науките на Украинската ССР (1948) и на Академията на науките на СССР (от 1953 г.). Роден в Нижни Новгород Руска империя. През 1921 г. семейството се премества в Киев. След като завършва седемгодишно училище, Боголюбов самостоятелно изучава физика и математика, а от 14-годишна възраст вече участва в семинара на катедрата математическа физикаКиевски университет под ръководството на академик Д. А. Граве. През 1924 г., на 15-годишна възраст, Боголюбов пише първата си научна работа, а през следващата годинае приет в аспирантурата на Академията на науките на Русия към академиците. М. Крилов, който завършва през 1929 г., като получава степента доктор на математическите науки на 20-годишна възраст.

През 1929 p. ММ. Боголюбов става научен сътрудник в Украинската академия на науките, а през 1934 г. започва да преподава в Киевския университет (от 1936 г. е професор). От края на 40-те години на ХХ век. същевременно работи в Русия. Бил е директор на Обединения институт за ядрени изследвания, а по-късно - директор на Математическия институт на името на. А. Стеклов в Москва, преподавал в Москва държавен университетна името на Михаил Ломоносов. През 1966 г. той става първият директор на Института по теоретична физика на Академията на науките на Украинската ССР, който основава в Киев, в същото време (1963-1988) е академик - секретар на катедрата по математика на Академията на науките на СССР.

ММ. Боголюбов - два пъти герой Социалистически труд(1969,1979), нагр Ленинска награда(1958), Държавната награда на СССР (1947,1953,1984), Златен медал. М. В. Ломоносов Академия на науките на СССР (1985).

21 септември 2009 г. на фасадата на Червената сграда на Киев национален университете открита на името на Тарас Шевченко Паметна плочана гениалния академик Николай Боголюбов в чест на стогодишнината от рождението му.

През 1992г Национална академиянауките на Украйна е основана наградата Н. М. Боголюбов на Националната академия на науките на Украйна, която се присъжда от Департамента по математика на Националната академия на науките на Украйна за изключителни научна работапо математика и теоретична физика. В чест на учения е наречена малката планета "22616 Боголюбов".

ЗАПОМНЕТЕ ОСНОВНИТЕ НЕЩА

1. Каква е графиката на линейно уравнение с две променливи?

2. Във всеки случай графиката на уравнение с две променливи е права линия; самолет?

3. В какъв случай графиката на линейно уравнение с две променливи минава през началото?

РЕШЕТЕ ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВАТА

1078 . Коя от фигури 73-74 показва графика на линейно уравнение с две променливи? Обяснете отговора.

1079 . При какви стойности на коефициентите a, b и c правата ax + bу + c =0.

1) преминава през произхода;

2) успоредна на оста x;

3) успоредно на оста y;

4) съвпада с абсцисната ос;

5) съвпада с оста y?

1080 . Без да извършвате конструкцията, определете дали точката принадлежи на графиката на линейно уравнение с две променливи 6x - 2y + 1 = 0:

1) A (-1; 2,5); 2)B(0;3,5); 3) С(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Без да извършвате конструкцията, определете дали точката принадлежи на графиката на линейно уравнение с две променливи 3x + 3y - 5 = 0:

1) A (-1; ); 2) B(0; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0, ако x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0, ако x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0, ако x = 0; 4) -5x - y + 6 \u003d 0, ако x \u003d 2.

1083 . Дадено е линейно уравнение с две променливи, намерете стойността на y, съответстваща на пер дадена стойностХ:

1) 3x - y + 2 = 0, ако x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0, ако x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8) -2y + 4 = 0;

3) 5x - 10y = 0; 6)x - y \u003d 0; 9) x - y \u003d 0.

1085 . Начертайте линейно уравнение с две променливи:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;

2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y \u003d 0; 6) y - 3 = 0.

1086 . Намерете координатите на пресечната точка на графиката на линейно уравнение с две променливи 2x - 3y - 18 = 0 с оста:

1) оси; 2) оси.

1087 . Намерете координатите на пресечната точка на графиката на линейно уравнение с две променливи 5x + 4y - 20 = 0 с оста:

1) оси; 2) оси.

1088 . На правата линия, която е графиката на уравнението 0,5 x + 2y - 4 = 0, е отбелязана точка. Намерете ординатата на тази точка, ако нейната абциса е:

5) 4 (x - y) \u003d 4 - 4y;

6) 7x - 2y \u003d 2 (1 + 3,5 x).

1094 . Графиката на линейно уравнение с две променливи минава през точката A (3; -2). Намерете неизвестния коефициент на уравнението:

1) ax + 3y - 3 = 0;

2) 2x - с + 8 = 0;

3)-x + 3y - c = 0.

1095 . Определете вида на четириъгълника, чиито върхове са пресечните точки на графиките на уравнението:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Начертайте уравнението:

1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ПРИЛАГАЙТЕ НА ПРАКТИКАТА

1097 . Направете линейно уравнение с две променливи според следните данни: 1) 3 кг сладки и 2 кг бисквити струват 120 UAH; 2) 2 химикалки са по-скъпи от 5 молива за 20 UAH. Начертайте полученото уравнение.

1098 . Начертайте уравнението за задачата за: 1) броя на момичетата и момчетата във вашия клас; 2) закупуване на тетрадки с черти и каре.

ЗАДАЧИ ЗА ПОВТОРЕНИЕ

1099. Турист изминал 12 км за час. Колко часа са необходими на един турист, за да измине разстояние от 20 km със същата скорост?

1100. Каква трябва да бъде скоростта на влака по новото разписание, за да може да измине разстоянието между две гари за 2,5 часа, ако по старото разписание, движейки се със скорост 100 км/ч, го е изминал за 3 часа?

Страница 2

Постройте графика на уравнението x + y \u003d 3 и използвайте графиката, за да намерите няколко решения на това уравнение.

Освен това вниманието на учениците се насочва към факта, че графиката на линейно уравнение с две променливи с две променливи се построява по-лесно, ако уравнението се преобразува във формата y=kx+b, за което терминът "линейна функция" се използва. По-късно им се казва, че има и други функции, като y=x2 (глава 7 е посветена на неговото изучаване).

Учебникът въвежда теореми без доказателство, например:

Теорема 2. Графика линейна функция y=kx+b е права линия.

Теорема 4. Правата, служеща за графика на линейната функция y=kx+b, е успоредна на правата, служеща за графика на правата пропорционалност y=kx.

С квадратична функция учениците в учебниците на Ш.А. Алимова се сблъсква за първи път в 8 клас.

В §35 учениците се запознават с дефиницията на квадратична функция. Дадени са примери от живота, където има квадратична функция. Например зависимостта на площта на квадрат от неговата страна е пример за функция y=x2.

В §36 се предлага да се разглежда функцията y=x2, т.е. квадратична функция y=ax2+bx+c at, a=1, b=0, c=0.

За да се изгради функция, се съставя таблица, след което точките се маркират върху координатната равнина и се свързват. Графиката на функцията y=x2 се нарича парабола.

След това се откриват някои свойства на функцията y=x2.

В §37 студентите са помолени да начертаят функцията y=ax2. Сравняват се графиките на функциите y=ax2 и y=x2. Казват, че графиката на функцията y=ax2 се получава чрез разтягане на графиката на функцията y=x2 от оста Ox по оста Oy с пъти.

Свойствата на функцията y=ax2, където a¹0

1) ако a>0, тогава функцията y=ax2 приема положителни стойностипри x¹0;

ако<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Параболата y=ax2 е симетрична спрямо оста y;

3) Ако a>0, тогава функцията y=ax2 нараства като x³0 и намалява като x£0;

Ако<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

В §38 авторът предлага да се построи графика на квадратична функция. За да направите това, се предлага да използвате метода на пълния квадрат (получихме y=(x+m)2+n) и след това да сравните получената графика с графиката на функцията y=x2. Изводът е, че получаваме парабола, изместена с m единици по оста Ox и с n единици по оста Oy.

§39 предоставя алгоритъм за начертаване на всяка квадратична функция y=ax2+bx+c:

Конструирайте върха на параболата (x0, y0), като изчислите x0, y0 с помощта на формулите .

Начертайте линия през върха на параболата, успоредна на оста y, - оста на симетрия на параболата.

Намерете нулите на функцията, ако има такива, и начертайте съответните точки на параболата върху оста x.

Построете две точки на парабола, които са симетрични спрямо нейната ос. За да направите това, вземете две точки на оста, които са симетрични по отношение на точката x0 (x0 ¹ 0) и изчислете съответните стойности на функцията (тези стойности са еднакви). Например, можете да построите точки на парабола с абсцисите x=0 и x=2x0 (ординатите на тези точки са c)

Начертайте парабола през построените точки.

При изучаване на темата се формира способността да се определят интервалите на нарастващи функции, интервалите на постоянство на знака, нулите на функцията. Намирането на най-големите и най-малките стойности на функция и решаването на проблеми с тях не е задължително.

В заключение се дава възможност на учениците още веднъж да повторят решаването на системи от две уравнения, едното от които е от първа, а другото от втора степен.

В учебниците на Ю.Н. Макаричева и др. с функцията y=x2 учениците се срещат за първи път в 7 клас. Цялата информация се разглежда в този параграф подобно на учебника от Sh.A. Алимов за 8 клас.

Линейно уравнение с две променливи е всяко уравнение, което има следната форма: a*x + b*y =c. Тук x и y са две променливи, a,b,c са някои числа.

Решението на линейното уравнение a*x + b*y = c е всяка двойка числа (x, y), която удовлетворява това уравнение, т.е. превръща уравнението с променливите x и y в правилно числово равенство. Едно линейно уравнение има безкраен брой решения.

Ако всяка двойка числа, които са решение на линейно уравнение с две променливи, е представена в координатната равнина като точки, тогава всички тези точки образуват графика на линейно уравнение с две променливи. Нашите x и y стойности ще служат като координати за точките. В този случай стойността x ще бъде абсцисата, а стойността y ще бъде ординатата.

Графика на линейно уравнение с две променливи

Графиката на линейно уравнение с две променливи е множеството от всички възможни точки на координатната равнина, чиито координати ще бъдат решенията на това линейно уравнение. Лесно е да се досетите, че графиката ще бъде права линия. Следователно такива уравнения се наричат ​​линейни.

Алгоритъм за изграждане

Алгоритъм за начертаване на линейно уравнение с две променливи.

1. Начертайте координатни оси, подпишете ги и маркирайте единичния мащаб.

2. В линейно уравнение поставете x = 0 и решете полученото уравнение за y. Маркирайте получената точка на графиката.

3. В линейно уравнение вземете числото 0 като y и решете полученото уравнение за x. Отбележете получената точка на графиката

4. Ако е необходимо, вземете произволна стойност на x и решете полученото уравнение за y. Маркирайте получената точка на графиката.

5. Свържете получените точки, продължете графиката за тях. Подпишете получения ред.

Пример:Начертайте уравнението 3*x - 2*y =6;

Да сложим х=0, тогава - 2*y=6; y=-3;

Нека поставим y=0, тогава 3*x = 6; х=2;

Отбелязваме получените точки на графиката, начертаваме права линия през тях и я подписваме. Погледнете снимката по-долу, графиката трябва да изглежда така.

ЦЕЛ: 1) Да запознае учениците с понятието „уравнение с две променливи”;

2) Научете се да определяте степента на уравнение с две променливи;

3) Научете се да определяте по дадена функция коя фигура е графика

дадено уравнение;

4) Разглеждане на трансформации на графики с две променливи;

дадено уравнение с две променливи с помощта на програмата Agrapher;

6) Развийте логическото мислене на учениците.

I. Нов материал – пояснителна лекция с елементи на беседа.

(лекцията се провежда с помощта на авторски слайдове; чертането е извършено в програмата Agrapher)

U: Когато изучаваме линии, има два проблема:

Въз основа на геометричните свойства на дадена права намерете нейното уравнение;

Обратна задача: според даденото уравнение на правата, изследвайте нейните геометрични свойства.

Разгледахме първата задача в курса на геометрията по отношение на окръжност и права линия.

Днес ще разгледаме обратната задача.

Разгледайте уравнения от формата:

а) x(x-y)=4;б) 2y-x 2 =-2 ; в) x(x+y 2 ) = x +1.

са примери за уравнения с две променливи.

Уравнения с две променливи хи при има формата f(x,y)=(x,y), където fи – изрази с променливи хи г.

Ако в уравнението x(x-y)=4заместител на променлива хстойността му е -1, а вместо при- стойност 3, тогава ще се получи правилното равенство: 1*(-1-3)=4,

Двойка (-1; 3) стойности на променливи хи прие решение на уравнението x(x-y)=4.

Това е решение на уравнението с две променливи се нарича наборът от подредени двойки променливи стойности, които образуват това уравнение в истинско равенство.

Уравнение с две променливи обикновено има безкраен брой решения. Изключенияпредставляват например уравнения като х 2 +(г 2 - 4) 2 = 0 или

2x 2 + при 2 = 0 .

Първият от тях има две решения (0; -2) и (0; 2), вторият има едно решение (0; 0).

Уравнението x 4 + y 4 + 3 = 0 изобщо няма решения. Интересно е, когато стойностите на променливите в уравнението са цели числа. Решавайки такива уравнения с две променливи, намерете двойки цели числа. В такива случаи се казва, че уравненията се решават в цели числа.

Наричат ​​се две уравнения, които имат еднакъв набор от решения еквивалентни уравнения. Например, уравнението x (x + y 2) \u003d x + 1 е уравнение от трета степен, тъй като може да се преобразува в уравнение xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0, дясната страна на което е полином от стандартната форма на трета степен.

Степента на уравнение с две променливи, представена като F(x, y) = 0, където F(x, y) е полином от стандартна форма, е степента на полинома F(x, y).

Ако всички решения на уравнение с две променливи са представени от точки в координатната равнина, тогава получаваме графика на уравнение с две променливи.

графикУравнение с две променливи е набор от точки, чиито координати служат като решения на това уравнение.

И така, графиката на уравнението ax + by + c = 0е права линия, ако поне един от коефициентите аили b не е равно на нула (фиг. 1). Ако a=b=c=0, тогава графиката на това уравнение е координатна равнина (фиг. 2), ако a=b=0, а c0, тогава графиката е празен комплект (фиг. 3).

Графика на уравнението y = брадва 2 + от + cе парабола (фиг. 4), графиката на уравнението xy=k (k0) – хипербола (фиг. 5). графика на уравнението х 2 + y 2 = r, където x и y са променливи, r е положително число, е кръгс център в началото и радиус равен на r(фиг. 6). Графиката на уравнението е елипса, където аи b- голямата и малката полуос на елипсата (фиг. 7).

Начертаването на някои уравнения се улеснява чрез използването на техните трансформации. Обмисли трансформации на графики на уравнения с две променливии формулирайте правилата, по които се извършват най-простите трансформации на графиките на уравненията

1) Графиката на уравнението F (-x, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0, като се използва симетрия спрямо оста г.

2) Графиката на уравнението F(x, -y) = 0 се получава от графиката на уравнението F(x, y) = 0, като се използва симетрия спрямо оста х.

3) Графиката на уравнението F(-x, -y) = 0 се получава от графиката на уравнението F(x, y) = 0, като се използва централна симетрия спрямо началото.

4) Графиката на уравнението F (x-a, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез преместване успоредно на оста x с |a| единици (вдясно, ако а> 0 и наляво ако а < 0).

5) Графиката на уравнението F(x, y-b) = 0 се получава от графиката на уравнението F(x, y) = 0 чрез преместване на |b| единици, успоредни на оста при(нагоре, ако b> 0 и надолу ако b < 0).

6) Графиката на уравнението F (ax, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез свиване до оста y и a пъти, ако а> 1 и чрез разтягане от оста y в пъти, ако е 0< а < 1.

7) Графиката на уравнението F(x, by) = 0 се получава от графиката на уравнението F(x, y) = 0 чрез използване на компресията към оста x в bпъти ако b> 1 и чрез разтягане от оста x в пъти, ако е 0 < b < 1.

Ако графиката на някое уравнение се завърти на някакъв ъгъл близо до началото, тогава новата графика ще бъде графиката на друго уравнение. Важни са частни случаи на завъртане под ъгли 90 0 и 45 0.

8) Графиката на уравнението F (x, y) \u003d 0 в резултат на завъртане около началото на ъгъл от 90 0 по часовниковата стрелка отива в графиката на уравнението F (-y, x) \u003d 0, и обратно на часовниковата стрелка - в графиката на уравнението F (y , -x) = 0.

9) Графиката на уравнението F (x, y) = 0 в резултат на завъртане около началото на ъгъл от 45 0 по часовниковата стрелка отива в графиката на уравнението F = 0, а обратно на часовниковата стрелка - в графиката на уравнението Е = 0.

От правилата, които разгледахме за трансформиране на графики на уравнения с две променливи, лесно се получават правила за трансформиране на графики на функции.

Пример 1. Нека покажем, че графиката на уравнението х 2 + y 2 + 2x - 8y + 8 = 0е кръг (фиг. 17).

Нека трансформираме уравнението, както следва:

1) групирайте термините, съдържащи променливата хи съдържаща променлива при, и представя всяка група членове като пълен квадрат на тричлен: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;

2) записваме получените триноми като квадрат на сумата (разликата) на два израза: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \u003d 0;

3) анализирайте, съгласно правилата за преобразуване на графики на уравнения с две променливи, уравнението (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: графиката на това уравнение е кръг с център в точка (-1; 4) и радиус от 3 единици.

Пример 2. Начертайте уравнението х 2 + 4 г 2 = 9 .

Нека представим 4y 2 във формата (2y) 2, получаваме уравнението x 2 + (2y) 2 \u003d 9, чиято графика може да бъде получена от кръга x 2 + y 2 \u003d 9 чрез компресиране до x -ос с 2 пъти.

Нека начертаем окръжност с център в началото и с радиус 3 единици.

Нека намалим 2 пъти разстоянието на всяка негова точка от оста X, получаваме графиката на уравнението

x 2 + (2y) 2 = 9.

Получихме фигурата, като свихме кръга до един от неговите диаметри (до диаметъра, който лежи на оста x). Такава фигура се нарича елипса (фиг. 18).

Пример 3. Разберете какво представлява графиката на уравнението x 2 - y 2 \u003d 8.

Нека използваме формулата F= 0.

Заместете в това уравнение вместо X и вместо Y, получаваме:

U: Каква е графиката на уравнението y = ?

D: Графиката на уравнението y = е хипербола.

Y: Преобразувахме уравнение от вида x 2 - y 2 = 8 в уравнение y = .

Коя линия ще бъде графиката на това уравнение?

D: И така, графиката на уравнението x 2 - y 2 \u003d 8 е хипербола.

Y: Кои прави са асимптотите на хиперболата y = .

D: Асимптотите на хиперболата y = са правите y = 0 и x = 0.

Y: Когато ходът е направен, тези линии ще преминат в линии = 0 и = 0, т.е. в линии y = x и y = - x. (фиг.19).

Пример 4: Нека разберем каква форма ще приеме уравнението y \u003d x 2 на парабола, когато се завърти около началото на ъгъл от 90 0 по часовниковата стрелка.

Използвайки формулата F (-y; x) \u003d 0, заменяме променливата x с - y в уравнението y \u003d x 2 и променливата y с x. Получаваме уравнението x \u003d (-y) 2, т.е. x \u003d y 2 (фиг. 20).

Разгледахме примери за графики на уравнения от втора степен с две променливи и установихме, че графиките на такива уравнения могат да бъдат парабола, хипербола, елипса (по-специално кръг). В допълнение, графика на уравнение от втора степен може да бъде двойка прави (пресичащи се или успоредни).Това е така нареченият изроден случай. Така че графиката на уравнението x 2 - y 2 \u003d 0 е двойка пресичащи се линии (фиг. 21а), а графиката на уравнението x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 е успоредни линии.

II Консолидация.

(На учениците се раздават „Инструкционни карти“ за изграждане на графики на уравнения с две променливи в програмата Agrapher (Приложение 2) и карти „Практическа задача“ (Приложение 3) с формулирането на задачи 1-8. Учителят демонстрира графики на уравнения за задачи 4-5 на слайдове ).

Упражнение 1. Кои от двойките (5; 4), (1; 0), (-5; -4) и (-1; -) са решения на уравнението:

а) x 2 - y 2 \u003d 0, б) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?

Решение:

Заместване в дадено уравнение, от своя страна, координатите на тези точки, ние се уверяваме, че нито една дадена двойка не е решение на уравнението x 2 - y 2 \u003d 0 и решенията на уравнението x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y са двойки (5; 4), (1; 0) и (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (И)

125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)

1 - 1 = - - (И)

Отговор:а); б) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Задача 2. Намерете такива решения на уравнението xy 2 - x 2 y \u003d 12, в които стойността хе равно на 3.

Решение: 1) Заместете стойността 3 вместо X в даденото уравнение.

2) Получаваме квадратно уравнение по отношение на променливата Y, което има формата:

3y 2 - 9y = 12.

4) Нека решим това уравнение:

3y 2 - 9y - 12 = 0

D \u003d 81 + 144 \u003d 225

Отговор: двойките (3; 4) и (3; -1) са решения на уравнението xy 2 - x 2 y \u003d 12

Задача3. Определете степента на уравнението:

а) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; в) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;

б) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; г) (2y - x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1).

Отговор: а) 3; б) 5; на 4; г) 4.

Задача 4. Коя фигура е графиката на уравнението:

а) 2x \u003d 5 + 3y; б) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; в) 2(x + 1) = x 2 - y;

г) (х - 1,5) (х - 4) = 0; д) ху - 1,2 = 0; д) x 2 + y 2 \u003d 9.

Задача 5. Напишете уравнение, чиято графика е симетрична на графиката на уравнението x 2 - xy + 3 \u003d 0 (фиг. 24) по отношение на: а) оста х; б) оси при; в) права линия y \u003d x; г) права линия y \u003d -x.

Задача 6. Направете уравнение, чиято графика се получава чрез разтягане на графиката на уравнението y \u003d x 2 -3 (фиг. 25):

а) от оста x 2 пъти; б) от оста y 3 пъти.

Използвайте програмата Agrapher, за да проверите правилността на задачата.

Отговор: а) y - x 2 + 3 = 0 (фиг. 25а); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (фиг. 25b).

б) правите са успоредни, преместват се успоредно на оста x с 1 единица надясно и успоредно на оста y с 3 единици надолу (фиг. 26b);

c) линиите се пресичат, симетрично показване спрямо оста x (фиг. 26c);

d) линиите се пресичат, симетрично показване спрямо оста y (фиг. 26d);

e) линиите са успоредни, симетрично показване спрямо началото (фиг. 26e);

е) линиите се пресичат, завъртат се около началото на координатите на 90° по посока на часовниковата стрелка и се показват симетрично спрямо оста x (фиг. 26f).

III. Самостоятелна работаобразователен характер.

(на учениците се дават карти „Самостоятелна работа“ и „Таблица за отчитане на резултатите от самостоятелната работа“, в които учениците записват отговорите си и след самопроверка оценяват работата според предложената схема) Приложение 4 ..

I. вариант.

а) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; б) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y).

а) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; б) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

а) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

б) x 2 -y 2 \u003d 1;

в) x - y 2 \u003d 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d 20.

Посочете координатите на центъра на кръга и неговия радиус.

6. Как трябва да се премести хиперболата y \u003d в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме формата x 2 - y 2 \u003d 16?

Проверете отговора си, като начертаете графично с помощта на Agrapher.

7. Как да преместите параболата y \u003d x 2 върху координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме формата x \u003d y 2 - 1

II вариант.

1. Определете степента на уравнението:

а) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); б) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0.

2. Дали двойка числа (-2; 3) е решение на уравнението:

а) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; б) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1.

3. Намерете набор от решения на уравнението:

x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0.

4. Коя крива (хипербола, окръжност, парабола) е набор от точки, ако уравнението на тази крива има формата:

а) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9

б) y 2 - x 2 \u003d 1

в) x \u003d y 2 - 1.

(проверете с помощта на програмата Agrapher правилността на задачата)

5. Начертайте с помощта на програмата Agrapher графика на уравнението:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Как трябва да се премести хиперболата y \u003d в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме формата x 2 - y 2 \u003d 28?

7. Как да преместите параболата y \u003d x 2 в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме формата x \u003d y 2 + 9.

аз ) Графично решение квадратно уравнение:

Разгледайте даденото квадратно уравнение: x2+px+q=0;

Нека го пренапишем така: x2=-px-q.(1)

Нека изградим графики на зависимости: y=x2 и y=-px-q.

Графиката на първата зависимост ни е известна, тя е парабола; второ зависимост - линейна; нейната графика е права линия. От уравнение (1) се вижда, че в случай, че x е негово решение, радиусите на точките на двете графики са равни един на друг. Това означава, че дадената стойност на x съответства на една и съща точка както на параболата, така и на правата, тоест параболата и правата се пресичат в точка с абсцисата x.

Следователно следващото графичен начинрешение на квадратно уравнение: начертайте парабола y \u003d x2, начертайте (по точки) права линия y \u003d -px-q.

Ако правата и параболата се пресичат, тогава абсцисите на пресечните точки са корените на квадратното уравнение. Този метод е удобен, ако не се изисква висока точност.

1. Решете уравнението: 4x2-12x+7=0

Нека го представим като x2=3x-7/4.

Нека построим парабола y=x2 и права линия y=3x-7/4.

Снимка 1.

За да построите права линия, можете да вземете например точки (0;-7/4) и (2;17/4). Параболата и правата линия се пресичат в две точки с абциси x1=0.8 и x2=2.2 (вижте Фигура 1).

2. Решете уравнението: x2-x+1=0.

Нека напишем уравнението във вида: x2=x-1.

След като построим парабола y=x2 и права линия y=x-1, ще видим, че те не се пресичат (Фигура 2), което означава, че уравнението няма корени.

Фигура 2.

Нека го проверим. Нека изчислим дискриминанта:

D=(-1)2-4=-3<0,

И така уравнението няма корени.

3. Решете уравнението: x2-2x+1=0

Фигура 3

Ако внимателно начертаем парабола y=x2 и права линия y=2x-1, ще видим, че те имат една обща точка (линията докосва параболата, вижте фигура 3), x=1, y=1; уравнението има един корен x=1 (не забравяйте да проверите това чрез изчисление).

II ) Системи уравнения.

Графиката на уравнение с две променливи е набор от точки в координатната равнина, чиито координати превръщат уравнението в истинско равенство. Графиките на уравнения с две променливи са доста разнообразни. Например графиката на уравнението 2x+3y=15 е права линия, уравнението y=0,5x2 –2 е парабола, уравнението x2 + y2=4 е кръг и т.н.

Степента на цяло уравнение с две променливи се определя по същия начин като степента на цяло уравнение с една променлива. Ако лявата страна на уравнение с две променливи е полином със стандартна форма, а дясната страна е 0, тогава степента на уравнението се счита за равна на степента на полинома. За да се разбере каква е степента на всяко уравнение с две променливи, то се заменя с еквивалентно уравнение, чиято лява страна е полином от стандартната форма, а дясната страна е нула. Помислете за графично решение.

Пример1: решаване на системата ⌠ x2 +y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

Нека изградим графики на уравнения в една координатна система (Фигура 4):

Нека изградим графики в една координатна система)

x2 + y2=25 и y=-x2+2x+5

Координатите на всяка точка от построената окръжност са решението на уравнение 1, а координатите на всяка точка от параболата са решението на уравнение 2. Следователно координатите на всяка от точките на пресичане на окръжността и параболата удовлетворяват както първото уравнение на системата, така и второто, т.е. са решението на разглежданата система. Използвайки фигурата, намираме приблизителните стойности на координатите на пресечните точки на графиките: A (-2.2; -4.5), B (0; 5), C (2.2; 4.5), D (4; - 3) Следователно системата от уравнения има четири решения:

x1≈-2,2, y1≈-4,5; x2≈0, y2≈5;

x3≈2.2, y3≈4.5; x4≈4, y4≈-3.

Като заместим намерените стойности в уравненията на системата, можем да се уверим, че второто и четвъртото от тези решения са точни, а първото и третото са приблизителни.

III) Тригонометрични уравнения:

Тригонометричните уравнения се решават както аналитично, така и графично. Помислете за графичен начин за решаване на пример.

Фигура 5.

Пример1: sinx+cosx=1. Нека изградим графики на функциите y=sinx u y=1-cosx (Фигура 5).

От графиката се вижда, че уравнението има 2 решения: x=2πp, където pЄZ и x=π/2+2πk, където kЄZ (Не забравяйте да проверите това с изчисления). Фигура 6

Пример2: Решете уравнението: tg2x+tgx=0. Ще решим това уравнение според принципа на решаване на предишното. Първо, нека изградим графики (вижте Фигура 6) на функции: y=tg2x u y=-tgx. Графиката показва, че уравнението има 2 решения: x=πp, pЄZ u x=2πk/3, където kЄZ (Проверете това с изчисления)

Използване на графики при решаване на неравенства.

1) Неравенства с модула.

Решете неравенството |x-1|+|x+1|<4.

Върху интеграла (-1;-∞), по дефиницията на модула, имаме |x-1|=-x+1,|x+1|=-x-1 и следователно върху този интеграл неравенството е еквивалентно на линейното неравенство –2x<4,которое справедливо при х>-2. Така интегралът (-2;-1) е включен в множеството от решения.На отсечката [-1,1] първоначалното неравенство е еквивалентно на правилното числено неравенство 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

Върху интеграла (1;+∞) отново получаваме линейното неравенство 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Въпреки това, същият резултат може да се получи от ясни и в същото време строги геометрични съображения. Фигура 7 изобразява функциите: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

Фигура 7

Върху интеграла (-2;2) графиката на функцията y=f(x) се намира под графиката на функцията y=4, което означава, че неравенството f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II) Неравенства с параметри.

Решаването на неравенства с един или повече параметри като правило е по-трудна задача от задача, в която няма параметри.

Например неравенството √a+x+√a-x>4, съдържащо параметъра a, естествено изисква много повече усилия за решаване от неравенството √1+x + √1-x>1.

Какво означава да се реши първото от тези неравенства? Това по същество означава решаване не на едно неравенство, а на цял клас, цял набор от неравенства, които се получават чрез присвояване на конкретни числени стойности на параметъра a. Второто от написаните неравенства е частен случай на първото, тъй като се получава от него при стойност a=1.

По този начин да се реши неравенство, съдържащо параметри, означава да се определи за какви стойности на параметрите неравенството има решения и за всички такива стойности на параметри да се намерят всички решения.

Решете неравенството |x-a|+|x+a| 0.

За да разрешим това неравенство с два параметъра aub, използваме геометрични съображения. Фигури 8 и 9 показват графики на функции.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| uy=b.

Очевидно за б<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, тогава правата y=b пресича графиката на функцията y=f(x) в две точки (-b/2;b) u (b/2;b) (Фигура 6) и неравенството в този случай е валиден за – b/2

Отговор: Ако b<=2|a| , то решений нет,

Ако b>2|a|, тогава x €(-b/2;b/2).

III ) Тригонометрични неравенства:

При решаване на неравенства с тригонометрични функции основно се използва периодичността на тези функции и тяхната монотонност на съответните интервали. Най-простите тригонометрични неравенства. Функцията sinx има положителен период от 2π. Следователно неравенства от вида: sinx>a, sinx>=a,

грях х

Достатъчно е първо да се реши някаква отсечка с дължина 2π. Получаваме множеството от всички решения, като към всяко от намерените решения на този сегмент добавим числата от вида 2πп, пЄZ.

Пример 1: Решете неравенството sinx>-1/2 (Фигура 10).

Първо решаваме това неравенство на интервала [-π/2;3π/2]. Помислете за лявата му страна - сегмента [-π / 2; 3π / 2] Тук уравнението sinx \u003d -1/2 има едно решение x \u003d -π / 6; и функцията sinx е монотонно нарастваща. Така че, ако –π/2<=x<= -π/6, то sinx<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sinx>sin(-π/6) = -1/2. Всички тези стойности на x не са решения на неравенството.

На останалия сегмент [π/2;3π/2] функцията sinx намалява монотонно и уравнението sinx = -1/2 има едно решение x=7π/6. Следователно, ако π/2<=x<7π/, то sinx>sin(7π/6)=-1/2, т.е. всички тези стойности на x са решения на неравенството. За x Є имаме sinx<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

Поради периодичността на функцията sinx с период от 2π, стойностите на x от всеки интеграл от вида: (-π / 6 + 2πn; 7π / 6 + 2πn), nЄZ, също са решения на неравенството . Никакви други стойности на x не са решения на това неравенство.

Отговор: -π/6+2πn

Фигура 10.