Приложение на интегралното смятане в професионалната дейност. Обобщение на урока "Приложение на интеграла"

"Омска държавна медицинска академия"

Министерство на здравеопазването и социалното развитие на Руската федерация

на тема: приложение на определен интеграл

в медицината

завършен от студент 1-ва година

отделения по обща медицина

група 102F

Глушнева Н.А.

Въведение

Изключителен италиански физик и астроном, един от основателите на точното естествознание, Галилео Галилей (1564-1642) каза, че "Книгата на природата е написана на езика на математиката". Почти двеста години по-късно основателят на немската класическа философия Кант (1742-1804) твърди, че „Във всяка наука има толкова истина, колкото математика в нея“. Накрая, след почти сто и петдесет години, практически вече в наше време, немският математик и логик Давид Хилберт (1862-1943) заявява: „Математиката е основата на всички точни природни науки“.

Леонардо да Винчи е казал: „Нека никой, който не е математик, не ме чете в моите основи.“ Опитвайки се да намери математическа обосновка на законите на природата, смятайки математиката за мощно средство за познание, той я прилага дори в такава наука като анатомията.

Всеки има нужда от математика. И лекарите също. Поне за да разчетете правилно обичайната кардиограма. Без познаване на основите на математиката е невъзможно да бъдеш добър компютърен техник, да използваш възможностите на компютърната томография ... В крайна сметка съвременната медицина не може без най-сложната технология.

Днес е невъзможно да се изследва хемодинамиката - движението на кръвта през съдовете без използването на интеграла.

Дълго време катетеризацията на дясното сърце беше единственият метод за изследване, който позволяваше да се оцени състоянието на дясното сърце, да се получат характеристики на интракардиалния кръвен поток и да се определи налягането в дясната сърдечна и белодробната артерия.
Основното предимство на ехокардиографията (ЕхоКГ) е, че неинвазивно в реално време е възможно да се оцени размерът и движението на сърдечните структури, да се получат характеристики на интракардиалната хемодинамика и да се определи налягането в камерите на сърцето и белодробната артерия. Доказана е добра сравнимост на резултатите от ехокардиографията с данните, получени при сърдечна катетеризация.
Ехокардиографското изследване позволява не само да се установи наличието на белодробна хипертония, но и да се изключат редица заболявания, които причиняват вторична белодробна хипертония: дефекти на митралната клапа, вродени сърдечни дефекти, дилатативна кардиомиопатия, хроничен миокардит.

Въпреки това, по-близо до практиката. Първо, нека намерим линейната скорост на кръвния поток

Промяна в линейната скорост на кръвния поток в различни съдове

Това е пътят, изминат за единица време от частица кръв в съд. Линейната скорост в съдовете от различни видове е различна (виж фигурата) и зависи от обемната скорост на кръвния поток и площта на напречното сечение на съдовете. В практическата медицина линейната скорост на кръвния поток се измерва с помощта на ултразвукови и индикаторни методи, по-често се определя времето на пълно кръвообращение, което е 21-23 s.

За да се определи, в кубиталната вена се въвежда индикатор (белязани с радиоактивен изотоп еритроцити, разтвор на метиленово синьо и др.) и се отбелязва времето на първото му появяване във венозната кръв на същия съд на другия крайник.

Като начало, нека припомним, че интегралът е математически обект, възникнал исторически въз основа на необходимостта от решаване на различни приложни проблеми на физиката и технологиите. Това са физическите приложения на определен интеграл: изчисляване на пътя на материална точка, движеща се по праволинейна или криволинейна траектория със скоростта на нейното движение.

Физичните величини, които се определят с помощта на интеграл, обикновено се наричат ​​интегрални, а тези, чрез които се изразяват интегрални величини, се наричат ​​диференциални. Например скоростта на тялото в точка е диференциална характеристика на тялото, а масата на тялото е интегрална характеристика.

Диференциалните характеристики се определят от стойността в дадена точка и обикновено са различни в различните точки на пространството.

Интегралните характеристики винаги изразяват свойствата на обектите, свързани с целия регион на пространството. Например масата характеризира цялото тяло като някакъв обект, заемащ област от пространството. Пътят, изминат от тялото, също е интегрална характеристика, тъй като характеризира цялата траектория, състояща се от много точки, а скоростта е различна във всяка точка от траекторията и характеризира всяка точка поотделно.

Възниква въпросът - как да се изчисли интегралната скорост за целия съд (артерия или вена), като се знае линейната скорост на кръвния поток. Много е просто: имате нужда

• да раздели цялата област на пространството на отделни достатъчно малки части (например чрез взаимно перпендикулярни равнини). В този случай ще получим много малки кубчета вътре в тялото, вътре в които условно считаме диференциалната характеристика за непроменена, постоянна.
• умножете стойността на диференциалната характеристика във всеки куб по стойността на обема на този куб и сумирайте тези продукти. На този етап получаваме интегралната сума. Интегралната сума не е точно равна на интеграла, но може да служи като негова приблизителна стойност.
• отидете до границата на интегралната сума, когато обемът на кубовете на преградата на тялото клони към нула. На този етап получаваме точната стойност на интеграла на линейната скорост.

По-долу са изчисленията на ударния обем (ударен обем на сърцето (син.: систоличен обем на кръвта, систоличен обем на сърцето, ударен обем на кръвта) - обемът на кръвта (в ml), изхвърлена от вентрикула на сърцето в един систола) - една от основните стойности в ECHOkg, изчислена с помощта на интеграла на линейната скорост на кръвния поток.

a - Схеми за изчисляване на ударния обем, a - използване на уравнението за непрекъснатост на потока, b - използване на уравнението за непрекъснатост на потока при наличие на значителна митрална регургитация.

VTI = V cp ET,

където CSA е площта на напречното сечение, VTI е линейният интеграл на скоростта на потока, V cp е средната скорост на потока в изходящия тракт на лявата камера, ET е времето на изтласкване.

В случай на хемодинамично значима митрална регургитация (повече от 2-ра степен), общият ударен обем на лявата камера се изчислява по формулата:

TSV=FSV+RSV

[Интеграл на линейната скорост (FVI или VTI)] = [Време на кръвния поток (ET)] x [Средна скорост на кръвния поток (Vmean)];

Сърдечният дебит може да се определи от интеграла на линейната скорост на аортния и белодробния поток.

В заключение бих искал да добавя, че работата ми не е предназначена за математик, който е добре запознат с интеграцията, а за всеки човек, който е проявил интерес към използването на интеграла в медицината. Затова се опитах да го направя възможно най-достъпен за възприемане и интересен дори за дете.

Библиография:

1. Болести на сърцето и кръвоносните съдове http://old.consilium-medicum. com/media/bss/06_02/42.shtml
2. Хемодинамика http://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC% D0%B8% D0%BA%D0%B0
3. Интегрален знак http://ru.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
4. Медицински съвет http://www.consilium-medicum. com/статия/7144
5. Основни уравнения - сърце http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
6. Практическо ръководство за ултразвукова диагностика http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe-rukovodstvo-po-ultrazvukovoj-diagnostike

Мотото на урока: „Математиката е езикът, на който говорят всички точни науки“ Н.И. Лобачевски

Целта на урока: да се обобщят знанията на учениците по темата "Интеграл", "Приложение на интеграла"; да разширят техния кръгозор, знания за възможното приложение на интеграла за изчисляване на различни величини; консолидират уменията за използване на интеграла за решаване на приложни задачи; внушават познавателен интерес към математиката, развиват култура на общуване и култура на математическа реч; да може да се научи да говори с ученици и учители.

Вид на урока: итеративно-обобщаващ.

Тип урок: урок - защита на проект „Приложение на интеграла“.

Оборудване: магнитна дъска, плакати „Приложение на интеграла“, карти с формули и задачи за самостоятелна работа.

План на урока:

1. Защита на проекта:

1. от историята на интегралното смятане;
2. интегрални свойства;
3. приложение на интеграла в математиката;
4. приложение на интеграла във физиката;

2. Решение на упражнения.

По време на часовете

Учител: Мощен изследователски инструмент в математиката, физиката, механиката и други дисциплини е определен интеграл - едно от основните понятия на математическия анализ. Геометричното значение на интеграла е площта на криволинейния трапец. Физическият смисъл на интеграла е 1) масата на нееднороден прът с плътност, 2) преместването на точка, движеща се праволинейно със скорост за период от време.

Учител: Момчетата от нашия клас се справиха страхотно, подбраха задачи, в които се прилага определен интеграл. Имат дума.

2 ученик: Свойства на интеграла

3 ученик: Приложение на интеграла (таблица на магнитната дъска).

4 ученик: Разглеждаме използването на интеграла в математиката за изчисляване на площта на фигурите.

Площта на всяка плоска фигура, разглеждана в правоъгълна координатна система, може да бъде съставена от областите на криволинейни трапеци, съседни на оста ои брадви OU.Площ на криволинеен трапец, ограничен от крива y = f(x),ос ои две прави х=аи x=b,където a x b, f(x) 0изчислено по формулата см. ориз.Ако криволинейният трапец е съседен на оста OU, тогава неговата площ се изчислява по формулата , см. ориз.При изчисляване на площите на фигурите могат да възникнат следните случаи: а) Фигурата е разположена над оста Ox и е ограничена от оста Ox, кривата y \u003d f (x) и две прави линии x \u003d a и x \u003d b. (Вж. ориз.) Площта на тази фигура се намира по формула 1 или 2. б) Фигурата е разположена под оста Ox и е ограничена от оста Ox, кривата y \u003d f (x) и две прави линии x \u003d a и x \u003d b (вж. ориз.). Площта се намира по формулата . в) Фигурата е разположена над и под оста Ox и е ограничена от оста Ox, кривата y \u003d f (x) и две прави линии x \u003d a и x \u003d b ( ориз.). г) Областта е ограничена от две пресичащи се криви y \u003d f (x) и y \u003d (x) ( ориз.)

5 ученик: Решете проблема

x-2y+4=0 и x+y-5+0 и y=0

7 ученик: Интеграл, широко използван във физиката. Дума на физиците.

1. ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ПЪТЯ, ИЗМИНАТ ОТ ТОЧКА

Пътят, изминат от точка при неравномерно движение по права линия с променлива скорост за интервал от време от до, се изчислява по формулата.

Примери:

1. Скорост на движение на точката Госпожица. Намерете пътя, изминат от точката за 4 секунди.

Решение: според условието, . Следователно,

2. Две тела са започнали да се движат едновременно от една и съща точка в една и съща посока по права линия. Първото тяло се движи със скорост m / s, втората - със скорост v = (4t+5)Госпожица. Колко далеч ще бъдат един от друг след 5 секунди?

Решение: очевидно е, че желаната стойност е разликата между разстоянията, изминати от първото и второто тяло за 5 s:

3. Тяло се хвърля вертикално нагоре от повърхността на земята със скорост u = (39,2-9,8^) m/s. Намерете максималната височина на тялото.

Решение: тялото ще достигне най-високата височина на повдигане в момент t, когато v = 0, т.е. 39.2- 9.8t = 0, откъдето I= 4 сек. По формула (1) намираме

2. ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА РАБОТНАТА СИЛА

Работата, извършена от променливата сила f(x) при движение по оста оматериална точка от x = апреди x=b,се намира по формулата При решаване на задачи за изчисляване на работата на сила често се използва законът G y k a: F=kx, (3)където F - сила N; х-абсолютно удължение на пружината, m, причинено от силата Е, а к- коефициент на пропорционалност, N/m.

Пример:

1. Една пружина в покой има дължина 0,2 м. Сила от 50 N разтяга пружината с 0,01 м. Каква работа трябва да се извърши, за да се разтегне от 0,22 до 0,32 м?

Решение: използвайки равенство (3), имаме 50=0,01k, т.е. kK = 5000 N/m. Намираме границите на интегриране: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b = 0,32- 0,2 = 0,12 (m). Сега, съгласно формула (2), получаваме

3. ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ИЗВЪРШЕНАТА РАБОТА ПРИ ПОВДИГАНЕ НА ТОВАР

Задача. Цилиндричен резервоар с радиус на основата 0,5 m и височина 2 m се пълни с вода. Изчислете работата, която трябва да се извърши, за да се изпомпва вода от резервоара.

Решение: изберете хоризонтален слой на дълбочина x с височина dx ( ориз.). Работата A, която трябва да бъде извършена, за да се издигне слой вода с тегло P до височина x, е равна на Px.

Промяна в дълбочината x с малко dx ще доведе до промяна в обема V с dV = pr 2 dx и изменение на теглото Р с * dР = 9807 r 2 dх; в този случай извършената работа A ще се промени със стойността dА=9807пr 2 xdх. Интегрирайки това равенство, когато x се променя от 0 на H, получаваме

4. ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА СИЛАТА НА НАЛЯГАНЕТО НА ТЕЧНОСТТА

Значението на силата Рналягането на течността върху хоризонтална платформа зависи от дълбочината на потапяне хтова място, т.е. от разстоянието на мястото до повърхността на течността.

Силата на натиск (N) върху хоризонтална платформа се изчислява по формулата P = 9807Sx,

където - плътност на течността, kg/m 3 ; S - площ на обекта, m 2; Х -дълбочина на потапяне на платформата, m

Ако платформата под налягане на течността не е хоризонтална, тогава налягането върху нея е различно на различни дълбочини, следователно силата на натиск върху платформата е функция на дълбочината на нейното потапяне P(x).

5. ДЪГА ДЪГА

Нека плоска крива AB(ориз.)дадено от уравнението y \u003d f (x) (aхб)и f(x)и f ?(x)са непрекъснати функции в интервала [а, b]. След това диференциала длдължината на дъгата ABсе изразява с формулата или , и дължината на дъгата ABизчислено по формула (4)

където a и b са стойностите на независимата променлива хв точките А и В. Ако кривата е дадена от уравнението x =(y)(с yд)тогава дължината на дъгата AB се изчислява по формулата (5) където си дстойности на независими променливи припо точки НОи В.

6. ЦЕНТЪР НА МАСАТА

При намиране на центъра на масата се използват следните правила:

1) x координата ? центърът на масата на системата от материални точки А 1 , А 2 ,..., А n с маси m 1 , m 2 , ..., m n разположени на права линия в точки с координати x 1 , x 2 , ..., x n , се намират по формулата

(*); 2) При изчисляване на координатата на центъра на масата всяка част от фигурата може да бъде заменена с материална точка, като я постави в центъра на масата на тази част и й присвои маса, равна на масата на разглежданата част на фигурата. Пример. Нека по пръта-сегмент [a;b] на оста Ox - масата е разпределена с плътност (x), където (x) е непрекъсната функция. Нека покажем това а) общата маса M на пръта е равна на; б) координата на центъра на масата x " е равно на .

Нека разделим отсечката [a; b] на n равни части с точки a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (ориз.). На всеки от тези n сегмента, плътността може да се счита за постоянна за големи n и приблизително равна на (x k - 1) на k-тия сегмент (поради непрекъснатостта на (x). Тогава масата на k-тия сегмент е приблизително равно на а масата на целия прът е

Разглеждайки всеки от n малки сегмента като материална точка с маса m k , поставена в точката , получаваме по формулата (*), че координатата на центъра на масата е приблизително както следва

Сега остава да отбележим, че за n -> числителят клони към интеграла, а знаменателят (изразяващ масата на целия прът) клони към интеграла

За намиране на координатите на центъра на масата на система от материални точки в равнина или в пространството се използва и формулата (*)

Учител: Имате таблица и задачи на вашите маси, като използвате таблицата намерете: а) количеството електричество; б) масата на пръта по неговата плътност.

Количества

Производно изчисляване

Интегрално изчисление Опция 1 Вариант 2 Резултатът от урока: Завършихме темата „Интеграл“, научихме как да изчисляваме първоизводни, интеграли, площи на фигури, разгледахме използването на интеграла на практика, тези задачи могат да бъдат намерени на изпита, мисля, че можете да се справите с тях .

Интегралното смятане възниква във връзка с решаването на задачи за определяне на площи и обеми. 2000 г. пр.н.е жителите на Египет и Вавилон вече знаеха как да определят приблизителната площ на кръг и знаеха правилото за изчисляване на обема на пресечена пирамида. Теоретичната обосновка на правилата за изчисляване на площи и обеми се появява за първи път сред древните гърци. Философът материалист Демокрит V век пр.н.е разглежда телата като състоящи се от голям брой малки частици. Тоест, конусът е набор от много тънки цилиндрични дискове с различни радиуси. Огромна роля в историята на интегралното смятане изигра проблемът за квадратурата на кръга(квадратура на кръг - изграждане на квадрат, чиято площ е равна на площта на даден кръг). Точната квадратура на няколко криволинейни фигури е открита от Хипократ (ср 5 век).

Първият известен метод за изчисляване на интеграла е методът на изчерпване на Евдокс (ок. 370 г. пр.н.е.). Той се опита да намери области и обеми, като ги раздели на безкраен брой части, за които площта или обемът вече са известни. Този метод е подбран и разработен от Архимед, използван за изчисляване на площите на параболите и приблизително изчисляване на площта на кръг.В своето есе Квадратура на парабола Архимед използва метода на изчерпване, за да изчисли площта на сектор от парабола. Тези. Архимед е първият, който съставя суми, които в наше време се наричат ​​интегрални суми. Първите значителни опити за разработване на интеграционните методи на Архимед, които бяха увенчани с успех, бяха направени през XVII век, когато, от една страна, е постигнат значителен напредък в областта на алгебрата, а от друга страна, икономиката, технологиите, естествените науки се развиват все по-интензивно и там са необходими обширни и задълбочени методи за изучаване и изчисляване на величини .

При изчисляване на площта на криволинейния трапецНютон и Лайбниц стигат до концепциятаантипроизводна (или примитивна) функция за дадена производна функцияf(Х),къдетоОТможе да е всичко. Тада се обадят днес формулаНютон-Лайбниц ви позволява да намалите доста сложното изчисление на определени интеграли, т.е. намиране на границите на интегрални суми, до сравнително проста операция за намиране на антипроизводни.Лайбниц притежава диференциалния символ a p По-късно се появява и интегралният символОпределен интегрален символвъвежда Ж. Фурие и термина "интеграл" (от латцяло число - цяло) е предложено от И. Бернули.

Работата по изучаването на основите на диференциалното и интегралното смятане започва през XIX век от трудовете на О. Коши и Б. Болцано. В същото време руските математици М. В. имат значителен принос в развитието на интегралното смятане. Остроградски, В.Я. Буняковски, В.Я. Чебишев. Това беше времето, когато съвременният математически анализ едва се създаваше. Това беше може би единствената епоха на математическото творчество по отношение на неговата интензивност и Ойлер обедини обширния, но разнороден материал на новия анализ в цялостна наука.

С време, човек придобива все по-голяма власт над природата, но мечтата за полет до звездите остава също толкова неосъществима. Писатели на научна фантастика са споменавали ракети за космически полети. Тези ракети обаче бяха технически несъстоятелна мечта. Честта да отвори пътя към звездите за хората падна на нашия сънародник К. Е. Циолковски. Цяла плеяда учени, водени от S.P. Корольов.

Особен интерес представляват задачи, които са прототип на задачи за изчисляване на траекториите на космически кораби, влизащи в дадена орбита, за намиране на височината и скоростта на издигане или спускане на тяло и някои други задачи с помощта на интегрално смятане.

Задача 1. Дадена е скоростта на праволинейното движение на тялото

уравнение . Намерете уравнението на пътя S, ако тялото е изминало 20m за време t = 2sec.

Решение: където Ние интегрираме: където Използвайки данните, намираме С = 4. Т.е. уравнението на движението на тялото има вида .

Когато летите в космоса, е необходимо да вземете предвид всички фактори на околната среда около нас и за да стигнете там, където трябва, трябва да изчислите траекторията на движение, като използвате първоначалните данни. Всичко това трябва да се направи преди полета да се осъществи.През 2016 г. се навършват 55 години от полета в орбита на първия космонавт Юрий Алексеевич Гагарин. При изчисляването беше необходимо да се решат такива проблеми.

Задача 2. Необходимо е да се изстреля ракета с тегло P \u003d 2 10 4 H (T)от повърхността на земята до височинач= 1500 км.Изчислете работата, необходима за изпълнението му.

Решение.f - силата на привличане на тялото от Земята е функция на разстоянието до него хдо центъра на Земята: , където На повърхността на Земята, където силата на гравитацията е равна на теглото на тялото Р, а x = R- радиус на Земята, следователно, и При повдигане на ракета от повърхността на Земята на височина чпроменлива хпромени отх = Rпреди х= Р+ ч. Намираме търсената работа по формулата: Тогава получаваме: работата за изстрелване на ракета е равна на

Задача 3. сила в 10 Нопъва пружината 2 см. Каква работа е тя

наистина ли?

Решение . Според закона на Хук силатаЕ , разтягане на пружината, е пропорционално на разтягането на пружината, т.е.Е =х.От условието на проблема

k= 10/0,02(N/m),тогава Е= 500x. работа: .

Задача 4. От дълбока минал= 100 ме необходимо клетката да се повдига равномерно с тежест R 1 = 10 4 з, който виси на въже, навито на барабан. Изчислете общата работа Пъленнеобходими за повдигане на клетката, ако теглото на един линеен метър въже R 2= 20з.

Решение . Работата по повдигането на клетката: и повдигането на въжето е пропорционално на теглото на въжето, т.е. Следователно цялата работа е завършена:

Задача 5. Пружината се огъва под действието на сила от 1,5 10 4 зс 1 см. Колко работа трябва да се извърши, за да се деформира пружината с 3 cm? (Деформиращата сила е пропорционална на деформацията на пружината.)

Решение . Е\u003d kx,където х- деформация на пружината. При x = 0,01mние имаме: . Тогава извършената работа за деформиране е:

Издигането в открития космос е трудно и опасно, но не по-малко трудно е връщането на Земята, когато космическият кораб трябва да кацне със скорост не повече от 2 м/с. Само в този случай устройството, инструментите в него и най-важното членовете на екипажа няма да получат рязък силен удар. Константин Едуардович Циолковски решава да използва забавянето на космическия кораб от въздушната обвивка на Земята. Движейки се със скорост 8 m/s, космическият кораб не пада на Земята. Първият етап на спускане е включването на спирачен двигател за кратко време. Скоростта намалява с 0,2 km/s и веднага започва спускането. Помислете за пример за решаване на проблема за съставяне на закона за движение при дадени условия.

Задача 6. Намерете закона за движение на свободно падащо тяло с постоянно ускорение g, ако тялото е било в покой в ​​момента на движение.

Решение:Известно е, че ускорението на праволинейно движещо се тяло е втората производна на пътя S по време T , или производна на скоростта спрямо времето T : , но, следователно, , откъде . Интегрираме: , и От условието: , откъдето намираме и скоростта на движение: . Нека намерим закона за движение на тялото: , или . Ние интегрираме: , . Според началните условия: , откъдето намираме Имаме уравнението на движението на падащо тяло: - това е позната формула на физиката.

Задача 7. Тяло се хвърля вертикално нагоре с начална скорост

Намерете уравнението на движението на това тяло (пренебрегвайте въздушното съпротивление).

Решение:Да вземем: вертикалната посока нагоре е положителна, а ускорението на гравитацията, насочено надолу, е отрицателно. Имаме: откъде. Ние интегрираме: тогава . защото и след това C 1: и Уравнение на скоростта: Намираме закона за движение на тялото: тъй като. и тогава където .Интегриране: или Когато и намерете , и Имаме уравнението на движението на тялото: или .

Следващият пример показва изчисляването на траекторията за изхвърляне на отработени участъци, ненужни устройства, материали. В този случай те се изпращат на Земята, като са изчислили орбитата така, че при преминаване през атмосферните слоеве те изгарят, а неизгорелите остатъци падат на Земята (най-често в океана), без да причиняват вреда.

Задача 8. Напишете уравнение за крива, минаваща през точка M (2; -3) и имаща допирателна с наклон .

Решение:Дадено е условието на задачата: или Интегрирайки, имаме: При х = 2и y \u003d -3, C \u003d - 5, а траекторията на движение има формата: .

Понякога строителите трябва да решават проблеми с изчисляването на площите на необичайни фигури, за които няма добре известни формули. В този случай интегралите отново идват на помощ.

Задача 9. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: и

Решение: Нека изградим чертеж (фиг. 1), за който ще решим система от уравнения. Нека намерим пресечните точки на линиите: A(-2;4) и B(4;16). Желаната площ е разликата между областите с границите на интеграция, a \u003d x 1 \u003d -2и в \u003d x 2 \u003d 4.Тогава имаме областта:

.

Космонавтите и учените, работещи на орбиталната станция, за чистотата на експеримента решават и изследват много въпроси от астрономията, физиката, химията, медицината, биологията и др. Ще придружим следния проблем с литературен пример. Известният научно-фантастичен роман на Хърбърт Уелс "Войната на световете" описва атаката на марсианците на планетата Земя, които решили да разширят пренаселените си територии, като завземат нашите, т.к. Климатичните условия на Земята бяха подходящи. Започва завземането на територии и унищожаването на земляните, които получават помощ оттам, където изобщо не са очаквали. Нашите "местни" бактерии, с които вече сме се научили да се борим, влязоха в тялото на марсианците с въздух, храна, вода, намериха в него благоприятна среда за тяхното развитие и възпроизводство, бързо се адаптираха и, след като унищожиха марсианците, отървете Земята от нашествениците. Помислете за решението на проблема, което дава концепцията за това.

Задача 10.Скоростта на възпроизвеждане на някои бактерии е пропорционална на броя на наличните бактерии в разглеждания момент t. Броят на бактериите се е утроил в рамките на 5 часа. Намерете зависимостта на броя на бактериите от времето.

Решение:Нека x(t ) е броят на бактериите в момент t, а в началния момент след това скоростта на тяхното размножаване. По условие имаме: или следното: Да намерим С: и функция Известно е, че т.е. или откъдето коефициентът на пропорционалност е: и функцията има формата: .

В известния роман на A.N. Толстой "Хиперболоид на инженер Гарин" Бих искал да почувствам, да почувствам какво е - хиперболоид? Какви са неговите размери, форма, повърхност, обем? Следващата задача е за това.

Задача 11.Хипербола, ограничена от линии: y=0, x= а, x = 2aсе върти около оста x. Намерете обема на получения хиперболоид (фиг. 2).

Решение.Използваме формулата за изчисляване на обема на телата на въртене около оста OX с помощта на определен интеграл:

Уфолозите изучават фактите, цитирани от „очевидци“, казвайки, че са видели летящ космически кораб под формата на огромен светещ диск („чиния“), приблизително същата форма като на фигура 3. Помислете за решаване на проблема за определяне на обема на такова „ястие““.

Задача 12. Изчислете обема на тялото, образувано от въртене около оста OX на площта, ограничена от линиите y \u003d x 2 - 9и y = 0.

Решение: При чертане на параболоид (фиг. 3) имаме границите на интегриране от х = -3преди х = 3. Нека заменим границите на интегриране поради симетрията на фигурата по отношение на оста y с х = 0и х = 3и удвоете резултата. Следователно обемът на диска е:

Икономическият смисъл на определен интеграл изразява обема на производството с известна функция f(t ) - производителността на труда в момента T . След това обемът на продукцията за периода се изчислява по формулата. Да разгледаме пример за предприятие.

Задача 13. Намерете обема на произведената продукция за 4 години, ако функцията на Коб-Дъглас има формата

Решение. Обемът на продукцията, произведена от предприятието, е равен на:

Обобщавайки, можем да заключим, че използването на интеграла отваря големи възможности. Когато изучават геометрията, те разглеждат изчисляването на площите на плоски фигури, ограничени от сегменти (триъгълници, успоредници, трапеци, многоъгълници), и обемите на телата, получени по време на тяхното въртене. Определеният интеграл ви позволява да изчислите площите на сложни фигури, ограничени от всякакви криви линии, както и да намерите обемите на телата, получени чрез въртене на криволинейни трапеци около всяка ос.

Бих искал също да отбележа, че използването на определен интеграл не се ограничава само до изчисляването на различни геометрични величини, но се използва и при решаване на задачи от различни области на физиката, аеродинамиката, астрономията, химията и медицината, астронавтиката, както и като икономически проблеми.

Библиография:

1. Апанасов, П.Т. Сборник задачи по математика: учебник. надбавка / P.T. Апанасов, М.И. Орлов. - М.: Висше училище, 1987.- 303 с.
2. Беденко, Н.К. Уроци по алгебра и началото на анализа: методическо ръководство / Н.К. Беденко, Л.О. Денишчев. - М.: Висше училище, 1988. - 239 с.
3. Богомолов, Н.В. Практически занятия по висша математика: учебник. надбавка / Н.В. Богомолов. - М.: Висше училище, 1973. - 348 с.
4. Висша математика за икономисти: учебник / изд. Н.Ш. Кремер. - 3-то изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 479 с.
5. Запорожец, Г.И. Ръководство за решаване на задачи по математически анализ: учебник. помощ / G.I. Запорожец - М .: Висше училище, 1966. - 460 с.

Вижте съдържанието на документа
"MR на комбинирания урок за учителя "Основи на интегралното смятане. Определен интеграл.""

ДЪРЖАВНО АВТОНОМНО ОБРАЗОВАТЕЛНО

ИНСТИТУЦИЯ ЗА СРЕДНО ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

НОВОСИБИРСКА ОБЛАСТ

"МЕДИЦИНСКИ КОЛЕЖ БАРАБИНСКИ"

МЕТОДИЧЕСКА РАЗРАБОТКА

комбиниран урок за учителя

ДИСЦИПЛИНА "МАТЕМАТИКА"

Секция 1.Математически анализ

Тема1.6. Основи на интегралното смятане. Определен интеграл

Специалност

060101 Обща медицина

добре- първият

Методически лист

Формиране на изискванията на SES при изучаване на темата

« Основи на интегралното смятане. Определен интеграл"

трябва да знам:

значението на математиката в професионалните дейности и в разработването на професионална образователна програма;

основни математически методи за решаване на приложни задачи;

основи на интегралното и диференциалното смятане.

В резултат на изучаването на темата ученикът трябва да може да:

решават приложни проблеми в областта на професионалната дейност;

Цели на урока:

Образователни цели:повторете и консолидирайте уменията за изчисляване на неопределен и определен интеграл, разгледайте методите за изчисляване на определени интеграли, консолидирайте умението за намиране на определен интеграл

образователни цели: да насърчава формирането на култура на общуване, внимание, интерес към предмета, да насърчава разбирането на ученика за същността и социалното значение на бъдещата му професия, проявата на устойчив интерес към нея.

Цели за развитие:

насърчавам

формиране на умения за прилагане на методи за сравнение, обобщение, подчертаване на основното;

развитие на математическия кръгозор, мислене и реч, внимание и памет.

Тип клас: комбиниран урок

Продължителност на урока: 90 минути

Междупредметни връзки:физика, геометрия и всички предмети, където се използва математическият апарат

Литература:

Гилярова М.Г. Математика за медицински колежи. - Ростов н / Д: Феникс, 2011. - 410, с. - (Лекарството)

Математика: учебник. надбавка / V.S. Михеев [и др.]; изд. Н.М. Демин. - Ростов n / D: Phoenix, 2009. - 896 с. – (Средно професионално образование).

Оборудване на урока:

Раздавателен материал

Напредък на урока

№ п/п	Етап на урока	време (мин)	Насоки
	Организационна част		Проверка на присъствието и външния вид на учениците. Представяне на темата, целта и плана на урока.
	Мотивация		Понятието интеграл е едно от основните понятия в математиката. До края на 17в. Нютон и Лайбниц създават апарата на диференциалното и интегралното смятане, който формира основата на математическия анализ. Изучаването на тази тема завършва училищния курс по математически анализ, запознава учениците с нов инструмент за разбиране на света, а разглеждането в училище на приложението на интегралното смятане към най-важните раздели на физиката показва на учениците важността и силата на висшата математика . Необходимостта от пълно изучаване на най-важните елементи на интегралното смятане е свързана с голямото значение и важност на този материал при разработването на професионална образователна програма. В бъдеще познаването на определен интеграл ще ви бъде полезно, когато намирате решение на уравнения, които определят скоростта на радиоактивен разпад, възпроизвеждане на бактерии, мускулна контракция, разтваряне на лекарствено вещество в таблетка и много други проблеми на диференциалното смятане използвани в медицинската практика.
	Актуализиране на основни знания		Необходимо е да се проверят изчислителните умения и познаването на таблицата на интегралите (Приложение 1)
	Представяне на нов материал		План за презентация (Приложение 2) Определен интеграл Свойства на определения интеграл Формула на Нютон-Лайбниц Изчисляване на определени интеграли по различни методи Приложение на определен интеграл за изчисляване на различни величини. Изчисляване на площта на плоска фигура
	Практическа част Изпълнение на упражнения за консолидиране на материала по темата		(приложение 3) Първично затвърдяване на придобитите знания и умения Разбиране на придобитите знания и умения
	Обобщаване на урока		Поставяне на оценки, коментиране на грешките, допуснати в хода на работата
	Домашна работа		Подгответе теоретичен материал за практически урок и изпълнете задачите на раздела „Самоконтрол“ (Приложение 4)

Приложение 1

Актуализиране на основни знания

Математическа диктовка

1 вариант

аз.

II.

Вариант 2

азИзчисляване на неопределени интеграли

II. Назовете метода за изчисляване на интеграли

Приложение 2

Информационни и справочни материали

Определен интеграл

Понятието интеграл е свързано с обратната задача за диференциране на функция. Удобно е да се разгледа концепцията за определен интеграл при решаването на проблема за изчисляване на площта на криволинейния трапец.

За да намерите площта на фигура, ограничена от двете страни от перпендикуляри, възстановени в точки аи b, върха на непрекъснатата крива y=f(Х)и долната ос о, разделете сегмента [a,b] на малки части:

а = х 0 х 1 х 2 ... х н -1 х н = b.

Възстановете перпендикулярите от тези точки до пресечната точка с кривата y=f(Х). Тогава площта на цялата фигура ще бъде приблизително равна на сумата от елементарни правоъгълници с основа, равна на  х аз = х аз -Х аз -1 , а височината е равна на стойността на функцията f(Х)вътре във всеки правоъгълник. Колкото по-малка е стойността  х аз, толкова по-точно ще се определи площта на фигурата С . Следователно:

Определение.Ако съществува граница на интегралната сума, която не зависи от метода на разделяне на сегмента [a,b] и избор на точка, тогава тази граница се нарича определен интеграл на функциятаf(Х) на отсечката [a,b] и обозначават:

къдетоf(х) е интегралната функция, x е интегралната променлива и иb- граници на интегриране (да се чете: определен интеграл наадо bef от x de x).

По този начин, геометричен смисълна определен интеграл е свързано с дефиницията на площта на криволинейния трапец, ограничен отгоре от функцията y=f(Х), долната ос о, а отстрани - с възстановени в точки перпендикуляри аи b.

Процесът на изчисляване на определен интеграл се нарича интеграция.Числа а иb се наричат ​​съответно долна и горна граница на интеграция.

Свойства на определения интеграл

Ако границите на интегриране са равни, тогава определеният интеграл е равен на нула:



Ако пренаредим границите на интегриране, тогава знакът на интеграла ще се промени на обратното:



Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл:



Определен интеграл от сумата на краен брой непрекъснати функцииf 1 (х), f 2 (х)... f н (х), определени на интервала [а,b], е равна на сумата от определени интеграли на членовете на функциите:

Сегментът на интеграция може да бъде разделен на части:



Ако функцията е винаги положителна или винаги отрицателна на сегмента [a,b], тогава определеният интеграл е число със същия знак като функцията:

Формула на Нютон-Лайбниц

Формулата на Нютон-Лайбниц установява връзка между определени и неопределени интеграли.

Теорема.Стойността на определения интеграл на функциятаf(Х) на отсечката [a,b] е равно на нарастването на която и да е от антипроизводните за тази функция върху даден сегмент:

От тази теорема следва, че определеният интеграл е число, докато неопределеният интеграл е набор от първообразни функции. По този начин, според формулата, за да се намери определен интеграл, е необходимо:

1. Намерете неопределения интеграл на дадена функция чрез задаване C = 0.

2. Заместете първоизводната в израза вместо аргумента хпърво горната граница b, след това долна граница а,и извадете втория от първия резултат.

Изчисляване на определени интеграли по различни методи

При изчисляване на определени интеграли се използват методите, разглеждани за намиране на неопределени интеграли.

Метод на директна интеграция

Този метод се основава на използването на таблични интеграли и основните свойства на определен интеграл.

ПРИМЕРИ:

1) намирам

Решение:

2) намирам

Решение:

3) намирам

Решение:

Метод за промяна на интеграционна променлива

ПРИМЕР:

Решение.За да намерим интеграла, използваме метода на промяната на променливата. Въвеждаме нова променлива

u=3 х ‑ 1 , тогава ду = 3 dx, dx = . Когато се въвежда нова променлива, е необходимо да се променят границите на интегриране, тъй като новата променлива ще има различни граници на промяна. Те се намират чрез промяна на формулата на променливата. Така че горната граница ще бъде и b = 32 ‑ 1 = 5 , нисък - и а =31 ‑ 1 = 2 . Заменяйки променливата и границите на интегриране, получаваме:

Метод на интегриране по части

Този метод се основава на използването на формулата за интегриране по части за определен интеграл:

ПРИМЕР:

1) намирам

Решение:

Позволявам u = вътре х, дв = xdx, тогава

Приложение на определен интеграл за изчисляване на различни величини.

Изчисляване на площта на плоска фигура

По-рано беше показано, че определеният интеграл може да се използва за изчисляване на площта на фигурата, затворена между графиката на функцията y=f(х), ос ои две прави х = a и x =b.

Ако функцията y=f(х) е под абсцисната линия, т.е. f(х)

Ако функцията y=f(х) няколко пъти пресича оста о, тогава е необходимо отделно да се намерят площите за парцелите, когато f(х) 0 и ги добавете към абсолютните стойности на областите, когато функцията f(х)

ПРИМЕР 1.Намерете областта на фигура, ограничена от функция y= гряххи ос оМестоположение на 0  х 2.

Решение.Площта на фигурата ще бъде равна на сумата от площите:

С = С 1 + | С 2 |,

където S1-; площ при при0 ; С 2 - площ при на 0.

S=2 + 2 = 4 квадратни единици

ПРИМЕР 2.Намерете площта на фигура, затворена между крива y = x 2 , ос ои директно х=0, х=2.

Решение.Нека изградим графики на функции при= х 2 и х = 2.

Защрихованата област ще бъде желаната област на фигурата. защото f(х) 0 тогава

Изчисляване на дължината на дъгата на равнинна крива

Ако кривата y=f(Х)на сегмента [a,b] има непрекъсната производна, тогава дължината на дъгата на тази крива се намира по формулата:

ПРИМЕР

Намерете дължината на дъгата на крива г 2 = х 3 на сегмента (y0)

Решение

Уравнение на кривата y = x 3/2, след това y’ = 1,5 x 1/2.

Правейки заместването 1+ получаваме:

Да се ​​върнем към оригиналната променлива:

изчисление тяло на революцията

Ако криволинеен трапец, ограничен от крива y=f(х) и директно х=аи x=b, се върти около ос о, тогава обемът на въртене се изчислява по формулата:

ПРИМЕР

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около ос ополувълнова синусоида
г= грях х, при 0≤ x≤.

Решение

Според формулата имаме:

За да изчислим този интеграл, правим следните трансформации:

Приложение 3

Първично затвърдяване на изучения материал

1. Изчисляване на определени интеграли

2. Приложения на определен интеграл

площ на фигурата

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии:

Пътят, изминат от тяло (точка) при праволинейно движение за интервал от време отT 1 предиT 2 (

v =3 T 2 +2 T -1 (Tв s,vв m/s).Намерете пътя, изминат от тялото за 10 секунди от началото на движението.

Скоростта на точката се променя според закона v =6 T 2 +4 (Tв s,vв m/s).Намерете пътя, изминат от точката за 5s от началото на движението.

Скорост на движение на точката v =12 T -3 T 2 (Tв s,vв m/s).Намерете пътя, изминат от точката от началото на движението до спирането му.

Две тела са започнали да се движат едновременно от една и съща точка в една и съща посока по права линия. Първото тяло се движи със скорост v =6 T 2 +2 T(Госпожица),второ
v =4 T+5 (m/s).Колко далеч ще бъдат един от друг след 5 секунди?

Приложение 4

Самоконтрол по темата

"Определен интеграл и неговото приложение"

1 вариант 1. Изчисляване на интеграли 2. г = - х 2 + х + 6 и г = 0 3. Скоростта на точката се променя според закона v =9 T 2 -8 T (Tв s,vв m/s).Намерете пътя, изминат от тялото за четвъртата секунда от началото на движението.

Вариант 2 1. Изчисляване на интеграли 2. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии г = - х 2 + 2 х + 3 и г = 0 3. Скоростта на точката се променя според закона v = 8 T - 3 T 2 (Tв s,vв m/s).Намерете пътя, изминат от тялото за пет секунди от началото на движението.

I. По физика

Принудителна работа

(A=FScos, cos 1)

Ако върху частица действа сила F, кинетичната енергия не остава постоянна. В случая според

нарастването на кинетичната енергия на частицата за време dt е равно на скаларното произведение Fds, където ds е изместването на частицата за време dt. Стойност

се нарича работата, извършена от силата F.

Нека точка се движи по оста OX под действието на сила, чиято проекция върху оста OX е функция f(x) (f-непрекъсната функция). Под действието на силата точката се премести от точка S1(a) до S2(b). Разделете отсечката на n отсечки с еднаква дължина

Работата на силата ще бъде равна на сумата от работата на силата върху получените сегменти. защото f(x) -непрекъснато, тогава за малка работна сила на този сегмент е равно на

По същия начин, на втория сегмент f(x1)(x2-x1), на n-тия сегмент --

f(xn-1)(b-xn-1).

Следователно работата върху е равна на:

И An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f( xn-1))

Приблизителното равенство става точно за n

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (по дефиниция)

Нека пружина с твърдост C и дължина l е компресирана наполовина от дължината си. Определете големината на потенциалната енергия Ep е равна на работата A, извършена от силата -F (s) еластичността на пружината, когато е компресирана, тогава

Ep \u003d A \u003d - (-F (s)) dx

От курса на механиката е известно, че

От тук намираме

En \u003d - (-Cs) ds \u003d CS2 / 2 | = C/2 l2/4

Отговор: Cl2/8.

Каква работа трябва да се извърши, за да се разтегне пружината с 4 cm, ако се знае, че от товар 1 N тя се разтяга с 1 cm.

Според закона на Хук силата X N, разтягаща пружината с x, е равна на

Намираме коефициента на пропорционалност k от условието: ако x=0,01 m, тогава X=1 N, следователно k=1/0,01=100 и X=100x. Тогава

Отговор: A=0,08 J

С помощта на кран се изважда стоманобетонен улей от дъното на реката с дълбочина 5 м. Каква работа ще се извърши, ако улеят има формата на правилен тетраедър с ръб 1 м? Плътността на стоманобетона е 2500 kg/m3, плътността на водата е 1000 kg/m3.

Височина на тетраедър

обем на тетраедър

Теглото на вдлъбнатината във вода, като се вземе предвид действието на Архимедовата сила, е равно на

Сега нека намерим работата Ai при изваждането на глътка от водата. Нека върхът на тетраедъра излезе на височина 5+y, тогава обемът на малкия тетраедър, излязъл от водата, е равен, а теглото на тетраедъра е:

Следователно,

Следователно A=A0+A1=7227,5 J + 2082,5 J = 9310 J = 9,31 kJ

Отговор: A=9,31 (J).

Каква сила на натиск изпитва правоъгълна плоча с дължина a и ширина b (a>b), ако е наклонена към хоризонталната повърхност на течността под ъгъл b и най-дългата й страна е на дълбочина h?

Координати на центъра на масата

Центърът на масата е точката, през която преминава резултантната на гравитацията за всяко пространствено разположение на тялото.

Нека материалната хомогенна плоча o има формата на криволинеен трапец (x; y | axb; 0yf (x)) и функцията

е непрекъснат на , а площта на този криволинеен трапец е равна на S, тогава координатите на центъра на масата на плочата o се намират по формулите:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Намерете центъра на масата на еднороден полукръг с радиус R.

Начертайте полукръг в координатната система OXY.

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Отговор: M(0; 4R/3).

Намерете координатите на центъра на тежестта на фигурата, ограничена от дъгата на елипсата x=acost, y=bsint, разположена в първи квадрант, и координатните оси.

През първата четвърт, когато x нараства от 0 до a, t намалява от p/2 до 0, т.е

Използвайки формулата за площта на елипсата S \u003d rab, получаваме

Пътят, изминат от материална точка

Ако материална точка се движи праволинейно със скорост = (t) и във времето

T=t2-t1 (t2>t1)

премина пътя S, тогава

В геометрията

Обемът е количествена характеристика на пространствено тяло. За единица обем се приема куб с ръб 1 mm (1 dm, 1 m и т.н.).

Броят на кубчетата от единица обем, поставени в дадено тяло, е обемът на тялото.

Аксиоми на обема:

Обемът е неотрицателна стойност.

Обемът на едно тяло е равен на сбора от обемите на телата, които го изграждат.

Нека намерим формулата за изчисляване на обема:

изберете оста OX в посоката на местоположението на това тяло;

определяне на границите на местоположението на тялото спрямо OX;

Нека въведем спомагателна функция S(x), която определя следното съответствие: на всеки x от отсечката, поставяме в съответствие площта на сечението на дадената фигура от равнината, минаваща през дадената точка x, перпендикулярна на оста OX.

нека разделим сегмента на n равни части и начертаем равнина, перпендикулярна на оста OX през всяка точка от разделението, докато тялото ни ще бъде разделено на части. Според аксиомата

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

а обемът на частта, затворена между две съседни равнини, е равен на обема на цилиндъра Vc = SonH.

Имаме сумата от продуктите на стойностите на функцията в точките на разделяне по стъпката на разделяне, т.е. интегрална сума. По дефиницията на определен интеграл границата на тази сума при n се нарича интеграл

където S(x) е сечението на равнината, минаваща през избраната точка, перпендикулярна на оста OX.

За да намерите необходимия обем:

• 1) Изберете оста OX по удобен начин.
• 2) Определете границите на местоположението на това тяло спрямо оста.
• 3) Да се ​​построи сечение на дадено тяло с равнина, перпендикулярна на оста OX и минаваща през съответната точка.
• 4) Изразете чрез известни количества функция, която изразява площта на дадено сечение.
• 5) Направете интеграл.
• 6) След като изчислите интеграла, намерете обема.

Намерете обема на триосна елипса

Равнинни сечения на елипсоид, успоредни на равнината xOz и отдалечени от нея на разстояние y=h, представляват елипса