Дата на публикуване: 2016-03-23

Кратко описание: ...

ПРИМЕРИ ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ С ИЗПОЛЗВАНЕ НА НЯКОИ ОРИГИНАЛНИ ТЕХНИКИ.

1
. Решение ирационални уравнения.

1. Метод на заместване.

1.1.1 Решете уравнението .

Обърнете внимание, че знаците на x под радикала са различни. Въвеждаме нотацията

, .

Тогава,

Нека извършим събиране член по член на двете части на уравнението.

И имаме система от уравнения

защото a + b = 4, тогава

Z се чете: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Отговор: x \u003d 1.

1.1.2. Решете уравнението .

Въвеждаме обозначението: , ; , .

означава:

Добавяйки член по член от лявата и дясната страна на уравненията, имаме .

И имаме система от уравнения

a + b = 2, , , ,

Да се ​​върнем към системата от уравнения:

, .

След като решихме уравнението за (ab), имаме ab = 9, ab = -1 (-1 външен корен, т.к. , .).

Тази системаняма решения, така че оригиналното уравнение също няма решение.

Отговор: няма решения.

1. 1. Решете уравнението: .

Въвеждаме обозначението , където . Тогава , .

, ,

Разгледайте три случая:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a = 1, 1  [0; 1). [ един ; 2). а = 2.

Решение: [ 1 ; 2].

Ако , тогава , , .

Отговор: .

1.2. Метод за оценяване на лява и дясна част (мажорантен метод).

Мажорантният метод е метод за намиране на ограничеността на функция.

Мажоризация - намиране на точките на ограничение на функцията. М е мажоранта.

Ако имаме f(x) = g(x) и ODZ е известна и ако

, , тогава

1. 1. Решете уравнението: .

ODZ: .

Обмисли правилната странауравнения.

Нека въведем функция. Графиката е парабола с връх A(3 ; 2).

Най-малката стойност на функцията y(3) = 2, т.е.

Помислете за лявата страна на уравнението.

Нека въведем функция. С помощта на производната е лесно да се намери максимумът на функция, която е диференцируема по x  (2 ; 4).

При ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Ние имаме .

В резултат на това, тогава

Нека съставим система от уравнения въз основа на горните условия:

Решавайки първото уравнение на системата, имаме x = 3. Като заместваме тази стойност във второто уравнение, се уверяваме, че x = 3 е решението на системата.

Отговор: x = 3.

1.3. Приложение на монотонността на функцията.

1.3.1. Решете уравнението:

Относно DZ: , защото  .

Известно е, че сумата от нарастващи функции е нарастваща функция.

Лявата страна е нарастваща функция. Дясната страна е линейна функция (k=0). Графичното тълкуване предполага, че коренът е уникален. Намираме го чрез селекция, имаме x = 1.

Доказателство:

Да предположим, че има корен x 1, по-голям от 1, тогава

защото x 1 >1,

.Заключаваме, че няма корени, по-големи от единица.

По същия начин може да се докаже, че няма корени, по-малки от едно.

Така че x=1 е единственият корен.

Отговор: x = 1.

1.3.2. Решете уравнението:

За ДЗ: [ 0.5 ; + ), защото тези. .

Нека трансформираме уравнението,

Лявата страна е нарастваща функция (продукт на нарастващи функции), дясната страна е линейна функция (k = 0). Геометричната интерпретация показва, че оригиналното уравнение трябва да има един корен, който може да бъде намерен чрез напасване, x = 7.

Преглед:

Може да се докаже, че няма други корени (вижте примера по-горе).

Отговор: x = 7.

2. Логаритмични уравнения.

1. Метод за оценка на лявата и дясната част.

2.1.1. Решете уравнението: log 2 (2x - x 2 + 15) = х 2 - 2x + 5.

Нека оценим лявата страна на уравнението.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

След това регистрирайте 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Нека оценим дясната страна на уравнението.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Първоначалното уравнение може да има решение само ако двете страни са равни на четири.

Средства

Отговор: x = 1.

За самостоятелна работа.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Отговор: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Отговор: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Отговор: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Отговор: x \u003d 3.

2.2. Използване на монотонността на функцията, избор на корени.

2.2.1. Решете уравнението: log 2 (2x - x 2 + 15) = х 2 - 2x + 5.

Нека направим промяната 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Тогава x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, тогава

log 2 t = 20 - t .

Функцията y = log 2 t е нарастваща, а функцията y = 20 - t е намаляваща. Геометричната интерпретация ни кара да разберем, че оригиналното уравнение има един корен, което не е трудно да се намери, като се избере t = 16.

Решавайки уравнението 2x - x 2 + 15 = 16, намираме, че x = 1.

Проверява се дали избраната стойност е правилна.

Отговор: x = 1.

2.3. Някои „интересни“ логаритмични уравнения.

2.3.1. Решете уравнението .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Да преминем към уравнението

, , ,

Да преминем към еквивалентното уравнение

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, или cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,

х=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Нека проверим намерените стойности, като ги заменим в ODZ.

1) ако x = 15, тогава (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 е грешно.

x = 15 - не е коренът на уравнението.

2) ако x = 2  k, k Z, тогава (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, имайте предвид, че 15  5 . Ние имаме

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, ….

3) ако x =  + 2 l, l Z, тогава ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 l< 15,

2l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Имаме: л< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Отговор: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, - 2, ...).

3. Тригонометрични уравнения.

3.1. Метод за оценка на лявата и дясната част на уравнението.

4.1.1. Решете уравнението cos3x cos2x = -1.

Първи начин..

0,5 (cos х+ cos 5 х) = -1, cos х+ cos 5 х = -2.

Защото cos х - 1, cos 5 х - 1, заключаваме, че cos х+ cos 5 х> -2, следователно

следва системата от уравнения

c os х = -1,

защото 5 х = - 1.

Решаване на уравнението cos х= -1, получаваме х=  + 2 k, където k Z.

Тези ценности хсъщо са решения cos уравнения 5х= -1, защото

защото 5 х= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

По този начин, х=  + 2 k, където k Z , са всички решения на системата, а оттам и първоначалното уравнение.

Отговор: х=  (2k + 1), k Z.

Вторият начин.

Може да се покаже, че наборът от системи следва от първоначалното уравнение

защото 2 х = - 1,

защото 3 х = 1.

защото 2 х = 1,

защото 3 х = - 1.

Решавайки всяка система от уравнения, намираме обединението на корените.

Отговор: x = (2  до + 1), k Z.

За самостоятелна работа.

Решете уравненията:

3.1.2. 2 защото 3х + 4 sin x/2 = 7. Отговор: няма решения.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Отговор: няма решения.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Отговор: x = 2 към, к З.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Отговор: x = /2 +  към, к З.

3.1.6. cos 8 х + грях 7 x = 1. Отговор: x = м, м Z; x = /2 + 2  n, n З.

Общинско учебно заведение

"Кудинская средно училище № 2"

Начини за решаване на ирационални уравнения

Изпълнител: Егорова Олга,

Ръководител:

Учител

математика,

по-висока квалификация

Въведение....……………………………………………………………………………………… 3

Раздел 1. Методи за решаване на ирационални уравнения…………………………………6

1.1 Решаване на ирационалните уравнения от част C……….….….……………………21

Раздел 2. Индивидуални задачи…………………………………………….....………...24

Отговори………………………………………………………………………………………….25

Библиография…….…………………………………………………………………….26

Въведение

Математическо образование, получено през общообразователно училище, е съществен компонент общо образованиеи обща култура модерен човек. Почти всичко, което заобикаля съвременния човек, е свързано по един или друг начин с математиката. НО скорошни постиженияпо физика, инженерство и информационни технологии не оставят никакво съмнение, че в бъдеще състоянието на нещата ще остане същото. Следователно решаването на много практически проблеми се свежда до решаване различни видовеуравнения, за да научите как да решавате. Един от тези видове са ирационалните уравнения.

Ирационални уравнения

Уравнение, съдържащо неизвестно (или рационално алгебричен изразот неизвестното) под знака на радикала, се нарича ирационално уравнение. В елементарната математика решенията на ирационални уравнения се търсят в множеството от реални числа.

Всяко ирационално уравнение с помощта на елементарни алгебрични операции (умножение, деление, повдигане на двете части на уравнението до цяло число) може да се сведе до рационално алгебрично уравнение. В този случай трябва да се има предвид, че полученото рационално алгебрично уравнение може да се окаже нееквивалентно на първоначалното ирационално уравнение, а именно то може да съдържа "допълнителни" корени, които няма да бъдат корените на оригиналния ir рационално уравнение. Следователно, след като се намерят корените на полученото рационално алгебрично уравнение, е необходимо да се провери дали всички корени на рационалното уравнение ще бъдат корените на ирационалното уравнение.

Общо взето е трудно да се посочи нещо генеричен методрешение на всяко ирационално уравнение, тъй като е желателно в резултат на трансформациите на първоначалното ирационално уравнение да се получи не просто някакъв вид рационално алгебрично уравнение, сред корените на което ще има корените на това ирационално уравнение, а рационално алгебрично уравнение, образувано от полиноми с най-малката възможна степен. Желанието да се получи това рационално алгебрично уравнение, образувано от полиноми с най-малката възможна степен, е съвсем естествено, тъй като намирането на всички корени на рационално алгебрично уравнение само по себе си може да бъде доста трудна задача, която можем да решим напълно само в много ограничен брой на случаите.

Видове ирационални уравнения

Решаването на ирационални уравнения с четна степен винаги причинява повече проблемиотколкото решението на ирационални уравнения от нечетна степен. При решаване на ирационални уравнения от нечетна степен ODZ не се променя. Следователно по-долу ще разгледаме ирационални уравнения, чиято степен е четна. Има два вида ирационални уравнения:

2..

Нека разгледаме първия от тях.

уравнение на odz: f(x)≥ 0. В ODZ лявата страна на уравнението винаги е неотрицателна, така че решение може да съществува само когато g(х)≥ 0. В този случай двете страни на уравнението са неотрицателни и степенуването 2 ндава еквивалентно уравнение. Разбираме това

Нека обърнем внимание на факта, че докато ОДЗ се изпълнява автоматично, като не можете да го напишете, а условиетоg(x) ≥ 0 трябва да се провери.

Забележка: Това е много важно условиееквивалентност. Първо, освобождава ученика от необходимостта да изследва и след намиране на решения да провери условието f(x) ≥ 0 - неотрицателността на коренния израз. Второ, фокусира се върху проверката на състояниетоg(x) ≥ 0 са неотрицателността на дясната страна. В крайна сметка след повдигане на квадрат уравнението е решено т.е. две уравнения се решават наведнъж (но на различни интервали от числовата ос!):

1. - къде g(х)≥ 0 и

2. - където g(x) ≤ 0.

Междувременно мнозина, според училищния навик да намират ODZ, правят точно обратното, когато решават такива уравнения:

а) проверете след намиране на решения условието f(x) ≥ 0 (което се изпълнява автоматично), допуснете аритметични грешки и получете неправилен резултат;

б) игнорирайте условиетоg(x) ≥ 0 - и отново отговорът може да е грешен.

Забележка: Условието за еквивалентност е особено полезно при решаване тригонометрични уравнения, в който намиране на ОДЗсвързани с решението тригонометрични неравенства, което е много по-трудно от решаването на тригонометрични уравнения. Проверка на четни условия в тригонометричните уравнения g(х)≥ 0 не винаги е лесно да се направи.

Помислете за втория вид ирационални уравнения.

. Нека уравнението . Неговото ODZ:

В ODZ и двете страни са неотрицателни и повдигането на квадрат дава еквивалентното уравнение е(x) =g(х).Затова в ОДЗ или

С този метод на решение е достатъчно да проверите неотрицателността на една от функциите - можете да изберете по-проста.

Раздел 1. Методи за решаване на ирационални уравнения

1 метод. Освобождаване от радикалите чрез последователно повдигане на двете страни на уравнението до съответните естествена степен

Най-често използваният метод за решаване на ирационални уравнения е методът за освобождаване от радикали чрез последователно повдигане на двете части на уравнението до съответната естествена степен. В този случай трябва да се има предвид, че когато и двете части на уравнението са повдигнати до дори степенполученото уравнение е еквивалентно на оригиналното и когато и двете части на уравнението се повдигнат на четна степен, полученото уравнение, най-общо казано, ще бъде нееквивалентно на оригиналното уравнение. Това може лесно да се провери чрез повдигане на двете страни на уравнението на произволна четна степен. Тази операция води до уравнението , чието множество от решения е обединението на множества от решения: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Въпреки това, въпреки този недостатък, това е процедурата за повишаване на двете части на уравнението до някаква (често дори) степен, която е най-честата процедура за редуциране на ирационално уравнение до рационално уравнение.

Решете уравнението:

Където са някои полиноми. По силата на дефиницията на операцията за извличане на корена в множеството от реални числа, допустимите стойности на неизвестното https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Тъй като и двете части на първото уравнение бяха повдигнати на квадрат, може да се окаже, че не всички корени на второто уравнение ще бъдат решения на първоначалното уравнение, необходимо е да се проверят корените.

Решете уравнението:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Повдигайки двете страни на уравнението в куб, получаваме

Като се има предвид, че https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(последното уравнение може да има корени, които, най-общо казано, не са корени на уравнение ).

Повдигаме двете страни на това уравнение до куб: . Пренаписваме уравнението във формата x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Чрез проверка установяваме, че x1 = 0 е външен корен на уравнението (-2 ≠ 1), а x2 = 1 удовлетворява оригинално уравнение.

Отговор:х = 1.

2 метод. Замяна на съседна система от условия

При решаване на ирационални уравнения, съдържащи радикали от четен ред, отговорите може да се появят външни кореникоито не винаги са лесни за идентифициране. За да се улесни идентифицирането и изхвърлянето на външни корени, в хода на решаването на ирационални уравнения те незабавно се заменят със съседна система от условия. Допълнителните неравенства в системата всъщност отчитат ODZ на решаваното уравнение. Можете да намерите ODZ отделно и да го вземете предвид по-късно, но е за предпочитане да използвате смесени системи от условия: има по-малка опасност да забравите нещо, да не го вземете предвид в процеса на решаване на уравнението. Следователно в някои случаи е по-рационално да се използва методът на преход към смесени системи.

Решете уравнението:

Отговор: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Това уравнениее равносилно на система

Отговор:уравнението няма решения.

3 метод. Използване на свойствата на корена n-ти

При решаването на ирационални уравнения се използват свойствата на корена от n-та степен. аритметичен корен н- thстепени измежду аобадете се на неотрицателен номер, н- i, чиято степен е равна на а. Ако н-дори( 2n), тогава a ≥ 0, в противен случай коренът не съществува. Ако н-странно( 2 n+1), тогава a е всяко и = - ..gif" width="45" height="19"> Тогава:

2.

3.

4.

5.

Прилагайки формално някоя от тези формули (без да се вземат предвид посочените ограничения), трябва да се има предвид, че ODZ на лявата и дясната част на всяка от тях може да бъде различна. Например, изразът е дефиниран с f ≥ 0и g ≥ 0, а изразът е както в f ≥ 0и g ≥ 0, както и f ≤ 0и g ≤ 0.

За всяка от формулите 1-5 (без да се вземат предвид посочените ограничения) ODZ на дясната й част може да бъде по-широка от ODZ на лявата. От това следва, че трансформациите на уравнението с формалното използване на формули 1-5 "отляво надясно" (както са написани) водят до уравнение, което е следствие от първоначалното. В този случай могат да се появят външни корени на оригиналното уравнение, така че проверката е задължителна стъпка при решаването на оригиналното уравнение.

Трансформациите на уравненията с формалното използване на формули 1-5 "отдясно наляво" са неприемливи, тъй като е възможно да се прецени ODZ на оригиналното уравнение и следователно загубата на корени.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

което е следствие от оригинала. Решението на това уравнение се свежда до решаване на набор от уравнения .

От първото уравнение на този набор намираме https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> откъдето намираме . По този начин корените на това уравнение може да бъде само числа (-1) и (-2) Проверката показва, че и двата намерени корена удовлетворяват това уравнение.

Отговор: -1,-2.

Решете уравнението: .

Решение: въз основа на идентичностите заменете първия член с . Обърнете внимание, че като сбор от две неотрицателни числа от лявата страна. „Премахнете“ модула и след като въведете подобни членове, решете уравнението. Тъй като получаваме уравнението. Тъй като и , след това https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Отговор:х = 4,25.

4 метод. Въвеждане на нови променливи

Друг пример за решаване на ирационални уравнения е начинът, по който се въвеждат нови променливи, по отношение на които се получава или по-просто ирационално уравнение, или рационално уравнение.

Решаването на ирационални уравнения чрез замяна на уравнението с неговото следствие (с последваща проверка на корените) може да се извърши, както следва:

1. Намерете ODZ на първоначалното уравнение.

2. Преминете от уравнението към неговото следствие.

3. Намерете корените на полученото уравнение.

4. Проверете дали намерените корени са корените на първоначалното уравнение.

Проверката е както следва:

А) проверява се принадлежността на всеки намерен корен на ОДЗ към изходното уравнение. Тези корени, които не принадлежат на ODZ, са външни за оригиналното уравнение.

Б) за всеки корен, включен в ОДЗ на изходното уравнение, се проверява дали имат идентични знацилявата и дясната част на всяко от уравненията, които възникват в процеса на решаване на първоначалното уравнение и се повдигат на четна степен. Тези корени, за които имат частите на всяко уравнение, повдигнато на четна степен различни знаци, са външни за оригиналното уравнение.

В) само тези корени, които принадлежат към ODZ на първоначалното уравнение и за които и двете части на всяко от уравненията, които възникват в процеса на решаване на оригиналното уравнение и са повдигнати до четна степен, имат едни и същи знаци, се проверяват чрез директно заместване в първоначалното уравнение.

Такъв метод на решение с посочения метод за проверка позволява да се избегнат тромавите изчисления в случай на директно заместване на всеки от намерените корени на последното уравнение в оригиналното.

Решете ирационалното уравнение:

.

Наборът от допустими стойности на това уравнение:

Задавайки , след заместване получаваме уравнението

или негово еквивалентно уравнение

което може да се разглежда като квадратно уравнение за . Решавайки това уравнение, получаваме

.

Следователно наборът от решения на оригиналното ирационално уравнение е обединението на наборите от решения на следните две уравнения:

, .

Поставете двете страни на всяко от тези уравнения на куб и ще получим две рационални алгебрични уравнения:

, .

Решавайки тези уравнения, откриваме, че това ирационално уравнение има един корен x = 2 (не се изисква проверка, тъй като всички трансформации са еквивалентни).

Отговор:х = 2.

Решете ирационалното уравнение:

Означаваме 2x2 + 5x - 2 = t. Тогава първоначалното уравнение ще приеме формата . Като повдигаме на квадрат двете части на полученото уравнение и привеждаме подобни членове, получаваме уравнението , което е следствие от предишното. От него намираме t=16.

Връщайки се към неизвестното x, получаваме уравнението 2x2 + 5x - 2 = 16, което е следствие от първоначалното. Чрез проверка се уверяваме, че неговите корени x1 \u003d 2 и x2 \u003d - 9/2 са корените на оригиналното уравнение.

Отговор: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 метод. Трансформация на уравнение на идентичност

Когато решавате ирационални уравнения, не трябва да започвате решаването на уравнение, като повдигате двете части на уравненията на естествена степен, опитвайки се да намалите решението на ирационално уравнение до решаване на рационално алгебрично уравнение. Първо, необходимо е да се види дали е възможно да се направи някакво идентично преобразуване на уравнението, което може значително да опрости неговото решение.

Решете уравнението:

Наборът от валидни стойности за това уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Разделете това уравнение на .

.

Получаваме:

За a = 0 уравнението няма да има решения; за , уравнението може да бъде написано като

за това уравнение няма решения, тъй като за всяко х, принадлежащи към набора от допустими стойности на уравнението, изразът от лявата страна на уравнението е положителен;

когато уравнението има решение

Като вземем предвид, че множеството от допустимите решения на уравнението се определя от условието , накрая получаваме:

Когато решавате това ирационално уравнение, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> решението на уравнението ще бъде . За всички други стойности хуравнението няма решения.

ПРИМЕР 10:

Решете ирационалното уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Решение квадратно уравнениеСистемата дава два корена: x1 = 1 и x2 = 4. Първият от получените корени не удовлетворява неравенството на системата, следователно x = 4.

Бележки.

1) Задържане идентични трансформацииви позволява да правите без проверка.

2) Неравенството x - 3 ≥0 се отнася за тъждествени преобразувания, а не за областта на уравнението.

3) Има намаляваща функция от лявата страна на уравнението и нарастваща функция от дясната страна на това уравнение. Графиките на намаляващи и нарастващи функции в пресечната точка на техните области на дефиниция могат да имат не повече от една обща точка. Очевидно в нашия случай x = 4 е абсцисата на пресечната точка на графиките.

Отговор:х = 4.

6 метод. Използване на областта на дефиниране на функции при решаване на уравнения

Този метод е най-ефективен при решаване на уравнения, които включват функции https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> и намиране на техните дефиниции на площ (е)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, тогава трябва да проверите дали уравнението е вярно в краищата на интервала, освен това, ако< 0, а b >0, тогава е необходимо да проверите интервалите (a;0)и . Най-малкото цяло число в E(y) е 3.

Отговор: x = 3.

8 метод. Приложение на производната при решаване на ирационални уравнения

Най-често при решаване на уравнения чрез метода на производните се използва методът на оценка.

ПРИМЕР 15:

Решете уравнението: (1)

Решение: Тъй като https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Разгледайте функцията ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> изобщо и следователно нараства. Следователно уравнението е еквивалентно на уравнение, което има корен, който е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор:

ПРИМЕР 16:

Решете ирационалното уравнение:

Областта на дефиниране на функцията е сегмент. Намерете най-големия и най-малка стойностстойностите на тази функция на интервала. За да направим това, намираме производната на функцията е(х): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19"> Нека намерим стойностите на функцията е(х)в краищата на сегмента и в точката: So, But и, следователно, равенството е възможно само при условие https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Проверката показва, че числото 3 е коренът на това уравнение.

Отговор:х = 3.

9 метод. Функционален

На изпитите понякога предлагат решаване на уравнения, които могат да бъдат записани във формата , където е определена функция.

Например, някои уравнения: 1) 2) . Наистина в първия случай , във втория случай . Следователно, решете ирационални уравнения, като използвате следното твърдение: ако функция е строго нарастваща върху множеството хи за всеки , тогава уравненията и т.н. са еквивалентни на множеството х .

Решете ирационалното уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго нарастващ на снимачната площадка R,и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > което има уникален корен Следователно еквивалентното уравнение (1) също има уникален корен

Отговор:х = 3.

ПРИМЕР 18:

Решете ирационалното уравнение: (1)

По дефиниция корен квадратенполучаваме, че ако уравнение (1) има корени, тогава те принадлежат към множеството https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Считайте, че функцията https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> строго нараства в този набор за всеки ..gif" width="100" височина ="41"> което има един корен Следователно и еквивалентно на него в множеството хуравнение (1) има един корен

Отговор: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Решение: Това уравнение е еквивалентно на смесена система

Реални числа. Приближаване на реални числа чрез крайни десетични дроби.

Реално или реално число е математическа абстракция, възникнала от необходимостта да се измерват геометрични и физични величинисвета наоколо, както и извършване на такива операции като извличане на корен, изчисляване на логаритми, решаване алгебрични уравнения. Ако цели числавъзникнали в процеса на броене, рационални - от необходимостта да се работи с части от цяло, тогава реалните числа са предназначени за измерване непрекъснати количества. Така разширяването на разглеждания запас от числа доведе до набор от реални числа, който освен рационални числа включва и други елементи, т.нар. ирационални числа .

Абсолютна грешка и нейната граница.

Нека има някаква числена стойност и числова стойност, която му е възложена, се счита за точна, след това под грешка в приблизителната стойност числова стойност (грешка) разбират разликата между точната и приблизителната стойност на числова стойност: . Грешката може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. Стойността се нарича известно приближениедо точната стойност на числова стойност - всяко число, което се използва вместо точната стойност. Протозои количествена мяркагрешката е абсолютната грешка. Абсолютна грешка приблизителна стойност се нарича стойността, за която е известно, че: Относителна грешка и нейната граница.

Качеството на приближението съществено зависи от приетите мерни единици и скали на количествата, поради което е препоръчително да се съотнесе грешката на дадено количество и неговата стойност, за което се въвежда понятието относителна грешка. Относителна грешкаПриблизителна стойност се нарича стойност, за която е известно, че: . Относителната грешка често се изразява като процент. Използване относителни грешкиудобни, по-специално, защото не зависят от скалите на количествата и мерните единици.

Ирационални уравнения

Уравнение, в което променлива се съдържа под знака на корена, се нарича ирационално. При решаване на ирационални уравнения получените решения изискват проверка, тъй като например неправилно равенство при повдигане на квадрат може да даде правилното равенство. Наистина, неправилно равенство, когато се повдигне на квадрат, дава правилното равенство 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Понякога е по-удобно да се решават ирационални уравнения, като се използват еквивалентни преходи.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на това уравнение; След трансформации стигаме до квадратно уравнение; и да го облечем.

Комплексни числа. Действия върху комплексни числа.

Комплексни числа - разширение на множеството от реални числа, обикновено означ. Всяко комплексно число може да бъде представено като формална сума х + iy, където хи г- реални числа, аз- имагинерна единица Комплексните числа образуват алгебрично затворено поле - това означава, че полиномът от степен нс комплексни коефициенти има точно нсложни корени, тоест основната теорема на алгебрата е вярна. Това е една от основните причини за широкото му използване комплексни числав математически изследвания. В допълнение, използването на комплексни числа ни позволява удобно и компактно да формулираме много математически моделиприложен в математическа физикаи в природни науки- електротехника, хидродинамика, картография, квантова механика, теорията на трептенията и много други.

Сравнение а + би = ° С + диозначава, че а = ° Си b = д(две комплексни числа са равни тогава и само ако техните реална и имагинерна част са равни).

Добавка ( а + би) + (° С + ди) = (а + ° С) + (b + д) аз .

изваждане ( а + би) − (° С + ди) = (а − ° С) + (b − д) аз .

Умножение

Числова функция. Начини за задаване на функция

По математика числова функцияе функция, чиито домейни и стойности са подмножества набори от числа- обикновено набори от реални числа или набори от комплексни числа.

Вербален: Използване естествен език Y е равно на цяла частот х. Аналитично: Използване на аналитична формула f (х) = х !

Graphical Via graph Фрагмент от графиката на функцията.

Табличен: Използване на таблица със стойности

Основни свойства на функцията

1) Функционален обхват и функционален диапазон . Обхват на функцията х(променлива х), за която функцията y=f(x)дефинирани.

Функционален диапазон гче функцията приема. В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.2 ) Функция нула) Монотонност на функцията . Увеличаване на функцията Намаляваща функция . Равномерна функция х f(-x) = f(x). странна функция- функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всеки х f(-x) = -f(x. Функцията се извиква ограничен неограничен .7) Периодичност на функцията. Функция f(x) - периодично издание функционален период

Функционални графики. Най-простите трансформации на графики чрез функция

Функционална графика- набор от точки, чиито абсциси са валидни стойностиаргумент х, а ординатите са съответните стойности на функцията г .

Права- график линейна функция y=ax+b. Функцията y нараства монотонно при a > 0 и намалява при a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола- графика на функцията квадратен тричлен y \u003d ax 2 + bx + c. То има вертикална оссиметрия. Ако a > 0, има минимум, ако a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Хипербола- графика на функцията. Когато a > O се намира в I и III четвърти, когато a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) или y - x (a< 0).

Логаритмична функция y = log a x(a > 0)

тригонометрични функции.Когато конструираме тригонометрични функции, използваме радианмярка за ъгли. След това функцията г= грях хпредставена с графика (фиг. 19). Тази крива се нарича синусоида .

Функционална графика г= cos хпоказано на фиг. двадесет; това също е синусоида в резултат на преместване на графиката г= грях хпо оста хналяво от /2.

Основни свойствафункции. Монотонност, четност, нечетност, периодичност на функциите.

Функционален обхват и функционален диапазон . Обхват на функциятае набор от всички валидни валидни стойности на аргумента х(променлива х), за която функцията y=f(x)дефинирани.

Функционален диапазоне набор от всички реални стойности гче функцията приема.

В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.2 ) Функция нула- е стойността на аргумента, при която стойността на функцията е равна на нула.3 ) Интервали на постоянство на функцията- тези набори от стойности на аргументи, на които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.4 ) Монотонност на функцията .

Увеличаване на функцията(в някакъв интервал) - функция, за която по-голяма стойностаргумент от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща функция(в някакъв интервал) - функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.5 ) Четни (нечетни) функции . Равномерна функция- функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всеки хот областта на дефиницията равенството f(-x) = f(x).График дори функциясиметричен спрямо оста y. странна функция- функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всеки хот областта на дефиницията равенството f(-x) = -f(x). График странна функциясиметрични относно произхода.6 ) Ограничени и неограничени функции. Функцията се извиква ограничен, ако има положително число M такова, че |f (x) | ≤ M за всички стойности на x. Ако не съществува такъв номер, тогава функцията е неограничен .7) Периодичност на функцията. Функция f(x) - периодично издание, ако има такова ненулево число T, че за всяко x от домейна на функцията важи следното: f (x+T) = f (x). Такива най-малкото числоНаречен функционален период. Всички тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).

Периодични функции. Правила за намиране на главния период на функция.

Периодична функцияе функция, която повтаря стойностите си след някакъв ненулев период, т.е. не променя стойността си, когато към аргумента се добави фиксирано ненулево число (период). Всички тригонометрични функции са периодични. грешатизвлечения за сумата периодични функции: Сума от 2 функции със сравними (дори основни) периоди T 1 и T 2 е функция с период LCM ( T 1 ,T 2). Сума 2 непрекъснати функциис несъизмерими (дори основни) периоди е непериодична функция. Няма периодични функции равно на константа, чиито периоди са несъизмерими числа.

График на степенни функции.

Силова функция. Това е функцията: y = ax n, където a,n- постоянен. При н= 1 получаваме пряка пропорционалност : г =брадва; при н = 2 - квадратна парабола; при н = 1 - обратна пропорционалностили хипербола. По този начин тези функции са специални случаи на степенна функция. Знаем, че нулевата степен на всяко число, различно от нула, е равна на 1, следователно, когато н = 0 степенна функцияпревръща се в постоянна стойност: г =а, т.е. нейната графика е права линия, успоредна на оста х, с изключение на произхода на координатите (моля, обяснете защо?). Всички тези случаи (с а= 1) са показани на фиг. 13 ( н 0) и фиг.14 ( н < 0). Отрицательные значения хне се разглеждат тук, защото тогава някои функции:

Обратна функция

Обратна функция- функция, която обръща зависимостта, изразена от тази функция. Функцията е обратна на функцията, ако са валидни следните идентичности: за всички за всички

Граница на функция в точка. Основни свойства на границата.

Коренът на n-та степен и неговите свойства.

Коренът n-ти от число a е число, чиято n-та степен е равна на a.

Определение: Аритметичният корен от n-та степен на числото a е неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на a.

Основните свойства на корените:

Степен с произвол реален показатели неговите свойства.

Нека са дадени положително число и произволно реално число. Числото се нарича степен, числото е основа на степента, числото е показател.

По дефиниция се приема:

Ако и - положителни числа, и - всякакви реални числа, тогава следните свойства:

.

.

Степенна функция, нейните свойства и графики

Силова функциякомплексна променлива f (z) = z nс целочислен показател се определя с помощта на аналитичното продължение на подобна функция на реален аргумент. За това се използва експоненциалната форма на записване на комплексни числа. степенна функция с цяло число е аналитична в цялата комплексна равнина като произведение крайно числоекземпляри за картографиране на идентичност f (z) = z. Съгласно теоремата за уникалност тези два критерия са достатъчни за уникалността на полученото аналитично продължение. Използвайки тази дефиниция, можем незабавно да заключим, че степенната функция на комплексна променлива има значителни разлики от нейния реален аналог.

Това е функция на формата , . Разглеждат се следните случаи:

а). Ако, тогава. Тогава , ; ако числото е четно, тогава функцията е четна (т.е. за всички ); ако числото е нечетно, тогава функцията е нечетна (т.е. за всички).

Експоненциалната функция, нейните свойства и графики

Експоненциална функция- математическа функция.

В реалния случай основата на степента е някакво неотрицателно реално число, а аргументът на функцията е реален показател.

На теория сложни функцииразглежда повече общ случай, когато аргументът и степента могат да бъдат произволно комплексно число.

В самата общ изглед - u v, въведен от Лайбниц през 1695г.

Особено се подчертава случаят, когато числото e действа като основа на степента. Такава функция се нарича експонента (реална или комплексна).

Имоти ; ; .

експоненциални уравнения.

Нека преминем директно към експоненциалните уравнения. За да се реши експоненциално уравнениенеобходимо е да се използва следната теорема: Ако степените са равни и основите са равни, положителни и различни от единица, тогава техните показатели също са равни. Нека докажем тази теорема: Нека a>1 и a x =a y .

Нека докажем, че в този случай x=y. Да приемем обратното на това, което се иска да се докаже, т.е. да кажем, че x>y или това x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . И двата резултата противоречат на хипотезата на теоремата. Следователно x=y, което е необходимо да се докаже.

Теоремата е доказана и за случая, когато 0 0 и a≠1.

експоненциални неравенства

Неравенства от вида (или по-малко) за a(x) >0и се решават въз основа на свойствата на експоненциалната функция: за 0 < а (х) < 1 при сравняване f(x)и g(x)знакът на неравенството се променя и кога a(x) > 1- е запазено. Най-трудният случай за a(x)< 0 . Тук можем да дадем само обща индикация: да определим при какви стойности хпоказатели f(x)и g(x)са цели числа и изберете от тях тези, които отговарят на условието. И накрая, ако първоначалното неравенство е валидно за a(x) = 0или a(x) = 1(например, когато неравенствата не са строги), тогава тези случаи също трябва да бъдат разгледани.

Логаритми и техните свойства

Логаритъм на число bпо разум а (от гръцки λόγος – „дума“, „отношение“ и ἀριθμός – „число“) се определя като индикатор за степента, до която трябва да се повдигне основата аза да получите номера b. Обозначаване: . От дефиницията следва, че вписванията и са еквивалентни. Пример: защото. Имоти

Основна логаритмична идентичност:

Логаритмична функция, нейните свойства и графики.

Логаритмичната функция е функция на формата f (х) = дневник a x, определени при

Домейн:

Диапазон на стойността:

Графиката на всяка логаритмична функция минава през точката (1; 0)

Производната на логаритмичната функция е:

Логаритмични уравнения

Уравнение, съдържащо променлива под знака на логаритъма, се нарича логаритмично уравнение. Най-простият пример за логаритмично уравнение е уравнението log a x \u003d b (където a > 0 и 1). Неговото решение x = a b .

Решаване на уравнения въз основа на дефиницията на логаритъм, например уравнението log a x \u003d b (a\u003e 0, но 1)има решение x = a b .

метод на потенциране. Под потенциране се разбира преходът от равенство, съдържащо логаритми, към равенство, което не ги съдържа:

ако log a f (x) = log a g (x),тогава f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,а > 0 , а 1 .

Метод за свеждане на логаритмично уравнение до квадратно.

Методът за вземане на логаритъм на двете части на уравнението.

Метод за редуциране на логаритми към една и съща основа.

Логаритмични неравенства.

Логаритмично се нарича неравенство, което съдържа променлива само под знака на логаритъм: log a f (x) > log a g (x).

При решаването на логаритмични неравенства трябва да се вземат предвид общите свойства на неравенствата, свойството монотонност на логаритмичната функция и нейната област на дефиниране. Неравенство log a f (x) > log a g (x)е равносилно на система f (x) > g (x) > 0 за a > 1и система 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Радианно измерване на ъгли и дъги. Синус, косинус, тангенс, котангенс.

степенна мярка. Тук е мерната единица степен (обозначение ) - е завъртането на лъча с 1/360 от един пълен оборот. По този начин пълното завъртане на лъча е 360. Един градус се състои от 60 минути (тяхното обозначение“); една минута - съответно от 60 секунди (отбелязани с ").

радианова мярка. Както знаем от планиметрията (вижте параграфа „Дължина на дъгата“ в раздела „Место на точките. Окръжност и окръжност“), дължината на дъгата л,радиус rи съответният централен ъгъл са свързани с: = l / r.

Тази формула е в основата на определението за радианова мярка на ъглите. Така че, ако л = r,тогава = 1 и казваме, че ъгълът е равен на 1 радиан, което се означава: = 1 радвам се. Така имаме следната дефиниция на радианова мярка:

Радианът е централният ъгъл, чиято дължина и радиус на дъгата са равни(А м B = AO, фиг. 1). Така, радианната мярка на ъгъл е отношението на дължината на дъга, начертана от произволен радиус и затворена между страните на този ъгъл, към радиуса на дъгата.

Тригонометричните функции на острите ъгли могат да се дефинират като отношението на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Синус:

Косинус:

Тангенса:

Котангенс:

Тригонометрични функции на числов аргумент

Определение .

Синусът на x е числото, равно на синуса на ъгъла в x радиани. Косинусът на число x е числото, равно на косинуса на ъгъла в x радиани .

Други тригонометрични функции на числен аргумент се дефинират по подобен начин х .

Призрачни формули.

Формули за добавяне. Формули за двоен и половин аргумент.

Двойна.

( ; .

Тригонометрични функции и техните графики. Основни свойства на тригонометричните функции.

Тригонометрични функции- вид елементарни функции. Обикновено се посочват синусите (грях х), косинус (cos x), допирателна (tg x), котангенс (ctg x), Тригонометричните функции обикновено се дефинират геометрично, но те могат да бъдат дефинирани аналитично по отношение на суми от серии или като решения на някои диференциални уравнения, което ни позволява да разширим областта на дефиниране на тези функции до комплексни числа.

Функция y sinx нейните свойства и графика

Имоти:

2. E (y) \u003d [-1; един].

3. Функцията y \u003d sinx е странна, тъй като по дефиниция синусът на тригонометричен ъгъл грях (- х)= - y/R = - sinx, където R е радиусът на окръжността, y е ординатата на точката (фиг.).

4. T \u003d 2n - най-малкият положителен период. Наистина ли,

sin(x+p) = sinx.

с ос Ox: sinx= 0; x = pn, nОZ;

с оста y: ако x = 0, тогава y = 0,6. Интервали на постоянство:

sinx > 0, ако xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , ако xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Знаци за синус в четвъртинки

y > 0 за ъгли a от първата и втората четвърт.

при< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Интервали на монотонност:

y= sinxнараства на всеки от интервалите [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz и намалява на всеки от интервалите , nнz.

8. Крайни точки и екстремни точки на функцията:

xмакс= p/2 + 2pn, nнz; г макс = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nнz; ymin = - 1.

Функционални свойства y= cosxи нейния график:

Имоти:

2. E (y) \u003d [-1; един].

3. Функция y= cosx- дори, защото по дефиниция на косинуса на тригонометричния ъгъл cos (-a) = x/R = cosa върху тригонометричната окръжност (ориз)

4. T \u003d 2p - най-малкият положителен период. Наистина ли,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Пресечни точки с координатни оси:

с оста Ox: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

с оста y: ако x = 0, тогава y = 1.

6. Интервали на постоянство на знака:

cos > 0, ако xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , ако xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Това се доказва на тригонометрична окръжност (фиг.). Знаци за косинус в четвъртинки:

x > 0 за ъгли a на първи и четвърти квадрант.

х< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Интервали на монотонност:

y= cosxнараства на всеки от интервалите [-p + 2pn; 2pn],

nнz и намалява на всеки от интервалите , nнz.

Функционални свойства y= tgxи парцела му: имоти -

1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. Функция y = tgx - нечетно

tgx > 0

tgx< 0 за xн (-p/2 + pn; pn), nнZ.

Вижте фигурата за знаците на тангентата в четвъртинки.

6. Интервали на монотонност:

y= tgxсе увеличава на всеки интервал

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Крайни точки и екстремни точки на функцията:

8. x = p/2 + pn, nнz - вертикални асимптоти

Функционални свойства y= ctgxи нейния график:

Имоти:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Функция y= ctgx- странно.

4. T \u003d p - най-малкият положителен период.

5. Интервали на постоянство на знака:

ctgx > 0за xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 за xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Котангенсни знаци за четвъртинки, вижте фигурата.

6. Функция при= ctgxнараства на всеки от интервалите (pn; p + pn), nОZ.

7. Точки на екстремум и екстремуми на функция y= ctgxне.

8. Функционална графика y= ctgxе тангентоид, получен чрез изместване на сюжета y=tgxпо оста Ox наляво с p/2 и умножено по (-1) (Фиг.)

Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики

Обратни тригонометрични функции (кръгови функции , дъгови функции) са математически функции, които са обратни на тригонометричните функции. Обратните тригонометрични функции обикновено включват шест функции: арксинус , аркосинус , дъгова допирателна ,arccotanges.Името на обратната тригонометрична функция се образува от името на съответната тригонометрична функция чрез добавяне на префикса "arc-" (от лат. дъга- дъга). Това се дължи на факта, че геометрично стойността на обратната тригонометрична функция може да бъде свързана с дължината на дъгата на единична окръжност (или ъгъла, който обхваща тази дъга), съответстваща на един или друг сегмент. Понякога в чуждестранната литература се използват обозначения като sin −1 за арксинус и т.н.; това се счита за не съвсем правилно, тъй като е възможно объркване с повишаване на функция на степен -1. Основно съотношение

Функция y=arcsinX, нейните свойства и графики.

арксинусчисла мтози ъгъл се нарича хза която функция г= грях х г= arcsin хстриктно нараства. (функцията е странна).

Функция y=arccosX, нейните свойства и графики.

Аркосинусчисла мтози ъгъл се нарича х, за което

функция г= cos хнепрекъсната и ограничена по цялата си числова линия. функция г= arccos хстриктно намалява. cos (arccos х) = хпри arccos (cos г) = гпри д(аркос х) = [− 1; 1], (домейн), д(аркос х) = . (диапазон от стойности). Свойства на функцията arccos (функцията е централно симетрична по отношение на точката

Функция y=arctgX, нейните свойства и графики.

Арктангенсчисла мЪгъл α се нарича такъв, че функцията е непрекъсната и ограничена по цялата си реална линия. Функцията е строго нарастваща.

при

свойства на функцията arctg

,

.

Функция y=arcctg, нейните свойства и графики.

Арктангенсчисла мтози ъгъл се нарича х, за което

Функцията е непрекъсната и ограничена по цялата си реална линия.

Функцията е строго намаляваща. на 0< г < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки за всякакви х .

.

Най-простите тригонометрични уравнения.

Определение.уравнения на wada sin x = a ; cos x = a ; тен х = а ; ctg x = a, където х

Специални случаи на тригонометрични уравнения

Определение.уравнения на wada sin x = a ; cos x = a ; тен х = а ; ctg x = a, където х- променлива, aR, се извикват прости тригонометрични уравнения.

Тригонометрични уравнения

Аксиоми на стереометрията и следствия от тях

Основни фигури в пространството: точки, прави и равнини. Основните свойства на точките, правите и равнините, отнасящи се до тяхното взаимно разположение, са изразени в аксиоми.

A1.През всеки три точки, които не лежат на една и съща права, минава равнина, при това само една. A2.Ако две точки от една права лежат в равнина, тогава всички точки от правата лежат в тази равнина.

Коментирайте.Ако права и равнина имат само една обща точка, тогава се казва, че се пресичат.

A3.Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права, на която лежат всички общи точки на тези равнини.

	A и се пресичат по правата a.

Следствие 1.През права и точка, която не лежи на нея, минава равнина, при това само една. Следствие 2.Една равнина минава през две пресичащи се прави линии и освен това само една.

Взаимно разположение на две линии в пространството

Две прави линии, дадени с уравнения

пресичат се в точка.

Успоредност на права и равнина.

Определение 2.3Права и равнина се наричат ​​успоредни, ако нямат общи точки. Ако правата a е успоредна на равнината α, тогава напишете || а. Теорема 2.4 Признак за успоредност на права и равнина.Ако права извън равнина е успоредна на права в равнината, тогава тази права също е успоредна на самата равнина. Доказателство Нека b α, a || b и a α (чертеж 2.2.1). Ще докажем от противното. Нека a не е успоредна на α, тогава правата a пресича равнината α в някаква точка A. Освен това A b, тъй като a || b. Според критерия за наклонени линии, линиите a и b са наклонени. Стигнахме до противоречие. Теорема 2.5Ако равнината β минава през правата a, успоредна на равнината α, и пресича тази равнина по правата b, то b || а. Доказателство Действително, правите a и b не са наклонени, тъй като лежат в равнината β. Освен това тези прави нямат общи точки, тъй като || а. Определение 2.4Правата b понякога се нарича следа от равнината β върху равнината α.

Пресичане на прави линии. Знак за пресичащи се линии

Правите се наричат ​​пресичащи се, ако е изпълнено следното условие: Ако си представим, че една от правите принадлежи на произволна равнина, тогава другата права ще пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права. С други думи, две прави в триизмерното евклидово пространство се пресичат, ако няма равнина, която да ги съдържа. Просто казано две прави в пространството, които нямат общи точки, но не са успоредни.

Теорема (1): Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези линии са наклонени.

Теорема (2): През всяка от двете пресичащи се прави минава равнина, успоредна на другата права, при това само една.

Теорема (3): Ако страните на два ъгъла са съответно еднакво насочени, тогава тези ъгли са равни.

Успоредност на линиите. Свойства на успоредните равнини.

Паралелни (понякога - равнобедрени) прави линиинаричат ​​прави линии, които лежат в една равнина и или съвпадат, или не се пресичат. В някои училищни дефиниции съвпадащите линии не се считат за успоредни; такова определение не се разглежда тук. Свойства Паралелизмът е двоична релация на еквивалентност, следователно разделя целия набор от линии на класове линии, успоредни една на друга. През всяка дадена точка може да има точно една права, успоредна на дадената. Това е отличително свойство на евклидовата геометрия, в други геометрии числото 1 се заменя с други (в геометрията на Лобачевски има поне две такива линии) 2 успоредни прави в пространството лежат в една и съща равнина. b При пресичане на 2 успоредни прави с трета, т.нар секуща: Секансът задължително пресича двете прави. При кръстосването се образуват 8 ъгъла, някои характерни двойки от които имат специални имена и свойства: Лежащ кръстъглите са равни. Съответноъглите са равни. Едностранноъглите се събират до 180°.

Перпендикулярност на права и равнина.

Права, която пресича равнина, се нарича перпендикулярентази равнина, ако тя е перпендикулярна на всяка права, която лежи в дадената равнина и минава през пресечната точка.

ПРИЗНАК ЗА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ НА ПРАВА И РАВНИНА.

Ако права, пресичаща равнина, е перпендикулярна на две прави в тази равнина, минаващи през пресечната точка на дадената права и равнината, тогава тя е перпендикулярна на равнината.

1-во СВОЙСТВО НА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИ ПРАВИ И РАВНИНИ .

Ако една равнина е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.

2-ро СВОЙСТВО НА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИ ПРАВИ И РАВНИНИ .

Две прави, перпендикулярни на една и съща равнина, са успоредни.

Теорема за трите перпендикуляра

Позволявам AB- перпендикулярна на равнината α, AC- наклонени и ° С- права линия в равнината α, минаваща през точката ° Си перпендикулярна проекция пр.н.е. Нека начертаем права линия CKуспоредна на права линия AB. Направо CKперпендикулярна на равнината α (защото е успоредна на AB), и следователно всяка линия на тази равнина, следователно, CKперпендикулярна на правата ° С ABи CKравнина β (успоредни прави определят равнина и то само една). Направо ° Се перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнината β, това пр.н.епо условие и CKпо конструкция, което означава, че е перпендикулярна на всяка права, принадлежаща на тази равнина, което означава, че е перпендикулярна и на права AC .

Обратно на теоремата за трите перпендикуляра

Ако права линия, начертана в равнина през основата на наклонена линия, е перпендикулярна на наклонената линия, тогава тя е перпендикулярна и на нейната проекция.

Позволявам AB- перпендикулярна на равнината а , AC- наклонени и с- права линия в равнината аминаваща през основата на склона ОТ. Нека начертаем права линия SC, успоредна на правата AB. Направо SCперпендикулярна на равнината а(по тази теорема, тъй като е успоредна AB), и следователно всяка линия на тази равнина, следователно, SCперпендикулярна на правата с. Начертайте през успоредни линии ABи SCсамолет b(успоредните прави определят равнина и то само една). Направо сперпендикулярна на две прави, лежащи в една равнина b, това е ACпо условие и SCпо конструкция означава, че е перпендикулярна на всяка права, принадлежаща на тази равнина, което означава, че е перпендикулярна и на права слънце. С други думи, проекция слънцеперпендикулярна на правата слежи в самолета а .

Перпендикулярни и наклонени.

Перпендикулярен, спусната от дадена точка до дадена равнина, се нарича отсечка, свързваща дадена точка с точка в равнината и лежаща на права линия, перпендикулярна на равнината. Краят на този сегмент, лежащ в равнина, се нарича основата на перпендикуляра .

косо, начертан от дадена точка към дадена равнина, е всеки сегмент, свързващ дадена точка с точка в равнината, която не е перпендикулярна на равнината. Краят на сегмент, който лежи в равнина, се нарича основата на наклонения. Отсечката, свързваща основите на перпендикуляра на наклонената права, изтеглена от същата точка, се нарича наклонена проекция .

Определение 1. Перпендикуляр към дадена права е отсечка, перпендикулярна на дадена права, която има един от краищата си в тяхната пресечна точка. Краят на отсечка, която лежи на дадена права, се нарича основа на перпендикуляра.

Определение 2. Наклонена линия, прекарана от дадена точка до дадена права, е свързваща отсечка дадена точкас всяка точка от права, която не е основата на перпендикуляра, пуснат от същата точка към дадената права. AB - перпендикуляр на равнината α.

AC - наклонена, CB - проекция.

C - основата на наклонената, B - основата на перпендикуляра.

Ъгълът между права и равнина.

Ъгъл между права и равнинаВсеки ъгъл между права линия и нейната проекция върху тази равнина се нарича.

Двустенен ъгъл.

Двустенен ъгъл- пространствени геометрична фигура, образувана от две полуравнини, излизащи от една права линия, както и част от пространството, ограничено от тези полуравнини. Полуравнините се наричат лицадвустенен ъгъл и тяхната обща права - ръб, край. Двустенните ъгли се измерват чрез линеен ъгъл, т.е. ъгълът, образуван от пресечната точка на двустенен ъгъл с равнина, перпендикулярна на неговия ръб. Всеки полиедър, правилен или неправилен, изпъкнал или вдлъбнат, има двустенен ъгълна всеки ръб.

Перпендикулярност на две равнини.

ЗНАК ЗА РАВНИНСКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ.

Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.

1.1 Ирационални уравнения

Ирационални уравнения често се срещат на входни изпитив математиката, тъй като с тяхна помощ е лесно да се диагностицира познаването на такива понятия като еквивалентни трансформации, област на дефиниция и други. Методите за решаване на ирационални уравнения като правило се основават на възможността за замяна (с помощта на някои трансформации) на ирационално уравнение с рационално, което е или еквивалентно на първоначалното ирационално уравнение, или е негово следствие. Най-често двете страни на уравнението се повдигат на еднаква степен. Еквивалентността не се нарушава, когато и двете части са повдигнати на нечетна степен. В противен случай е необходимо да се проверят намерените решения или да се оцени знакът на двете части на уравнението. Но има и други трикове, които могат да бъдат по-ефективни при решаването на ирационални уравнения. Например методът на тригонометричното заместване.

Пример 1: Решете уравнението

От тогава . Следователно, човек може да постави . Уравнението ще приеме формата

Тогава да поставим къде

.

.

Отговор: .

Алгебрично решение

От тогава . означава, , така че можете да разширите модула

.

Отговор: .

Решаването на уравнение по алгебричен начин изисква добро умение за извършване на идентични трансформации и компетентно боравене с еквивалентни преходи. Но като цяло и двата подхода са еквивалентни.

Пример 2: Решете уравнението

.

Решение, използващо тригонометрично заместване

Областта на уравнението е дадена от неравенството, което е еквивалентно на условието, тогава. Следователно можем да поставим. Уравнението ще приеме формата

От тогава . Нека отворим вътрешния модул

Да сложим , тогава

.

Условието се изпълнява от две стойности и .

.

.

Отговор: .

Алгебрично решение

.

Нека повдигнем на квадрат уравнението на първата наборна система, получаваме

Нека тогава. Уравнението ще бъде пренаписано във формата

Чрез проверка установяваме, че това е коренът, след което чрез разделяне на полинома на бинома получаваме разлагането на дясната страна на уравнението на множители

Нека преминем от променлива към променлива, получаваме

.

състояние удовлетворяват две стойности

.

Замествайки тези стойности в оригиналното уравнение, получаваме, че това е коренът.

Решавайки уравнението на втората система на първоначалната съвкупност по подобен начин, откриваме, че тя също е корен.

Отговор: .

Ако в предишния пример алгебричното решение и решението, използващо тригонометричното заместване, са еквивалентни, тогава в този случайрешението за заместване е по-изгодно. Когато решавате уравнение с помощта на алгебра, трябва да решите набор от две уравнения, тоест да повдигнете два пъти на квадрат. След това нееквивалентно преобразуване се получават две уравнения от четвърта степен с ирационални коефициенти, от които замяната помага да се отървем. Друга трудност е проверката на намерените решения чрез заместване в първоначалното уравнение.

Пример 3. Решете уравнението

.

Решение, използващо тригонометрично заместване

От тогава . Имайте предвид, че отрицателна стойност на неизвестното не може да бъде решение на проблема. Наистина, ние трансформираме оригиналното уравнение във формата

.

Факторът в скоби от лявата страна на уравнението е положителен, дясната страна на уравнението също е положителна, така че факторът от лявата страна на уравнението не може да бъде отрицателен. Ето защо тогава, ето защо можете да поставите Оригиналното уравнение ще бъде пренаписано във формата

Тъй като , тогава и . Уравнението ще приеме формата

Позволявам . Нека преминем от уравнението към еквивалентна система

.

Числата и са корените на квадратното уравнение

.

Алгебрично решение Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението

Представяме замяната , тогава уравнението ще бъде записано във формата

Вторият корен е излишен, така че разгледайте уравнението

.

От тогава .

В този случай алгебричното решение е технически по-просто, но е необходимо да се разгледа горното решение с помощта на тригонометрично заместване. Това се дължи, първо, на нестандартния характер на самото заместване, което разрушава стереотипа, че използването на тригонометрично заместване е възможно само когато . Оказва се, че ако тригонометричната замяна също намери приложение. Второ, има известна трудност при решаването на тригонометричното уравнение , което се редуцира чрез въвеждане на промяна в система от уравнения. В известен смисъл тази замяна също може да се счита за нестандартна и запознаването с нея ви позволява да обогатите арсенала от трикове и методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Пример 4. Решете уравнението

.

Решение, използващо тригонометрично заместване

Тъй като една променлива може да приеме всяка реална стойност, поставяме . Тогава

,

защото .

Първоначалното уравнение, като се вземат предвид извършените трансформации, ще приеме формата

Тъй като , разделяме двете страни на уравнението на , получаваме

Позволявам , тогава . Уравнението ще приеме формата

.

Предвид замяната , получаваме набор от две уравнения

.

Нека решим всяко уравнение на групата поотделно.

.

Не може да бъде синусова стойност, както за всички стойности на аргумента.

.

защото и дясната страна на първоначалното уравнение е положителна, тогава . От което следва, че .

Това уравнение няма корени, тъй като .

Така че първоначалното уравнение има един корен

.

Алгебрично решение

Това уравнение може лесно да се "превърне" в рационално уравнение от осма степен чрез повдигане на квадрат на двете части на първоначалното уравнение. Търсенето на корените на полученото рационално уравнение е трудно и е необходимо да има висока степеннаходчивост, за да се свърши работата. Ето защо е препоръчително да знаете различен начин за решаване, по-малко традиционен. Например замяната, предложена от I. F. Sharygin.

Да сложим , тогава

Нека трансформираме дясната страна на уравнението :

Като се вземат предвид трансформациите, уравнението ще приеме формата

.

Тогава въвеждаме заместник

.

Вторият корен е излишен, следователно и .

Ако идеята за решаване на уравнението не е известна предварително , тогава е проблематично да се реши по стандартния начин чрез повдигане на квадрат на двете части на уравнението, тъй като резултатът е уравнение от осма степен, чиито корени са изключително трудни за намиране. Решението, използващо тригонометрично заместване, изглежда тромаво. Може да е трудно да намерите корените на уравнението, ако не забележите, че то се повтаря. Решение посоченото уравнениесе случва с помощта на апарата на алгебрата, така че можем да кажем, че предложеното решение е комбинирано. В него информацията от алгебрата и тригонометрията работят заедно за една цел – да се получи решение. Освен това решението на това уравнение изисква внимателно разглеждане на два случая. Решението за заместване е технически по-просто и по-красиво от използването на тригонометрично заместване. Желателно е учениците да познават този метод на заместване и да го прилагат при решаване на задачи.

Подчертаваме, че използването на тригонометрично заместване за решаване на задачи трябва да бъде съзнателно и оправдано. Препоръчително е да се използва заместване в случаите, когато решението по друг начин е по-трудно или дори невъзможно. Нека дадем още един пример, който за разлика от предишния е по-лесен и бърз за решаване по стандартния начин.