Интерполация. Въведение. Обща постановка на проблема

При решаване на различни практически задачи резултатите от изследването се изготвят под формата на таблици, показващи зависимостта на една или повече измерени величини от един определящ параметър (аргумент). Такива таблици обикновено се представят под формата на два или повече реда (колони) и се използват за формиране на математически модели.

Табулирани в математически моделифункциите обикновено се записват в таблици във формата:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Ограничената информация, предоставена от такива таблици, в някои случаи изисква получаване на стойностите на функциите Y j (X) (j=1,2,…,m) в точки X, които не съвпадат с възловите точки на таблицата X i (i=0,1,2,…,n). В такива случаи е необходимо да се определи някакъв аналитичен израз φ j (X), за да се изчислят приблизителните стойности на изследваната функция Y j (X) в произволно определени точки X . Функцията φ j (X), използвана за определяне на приблизителните стойности на функцията Y j (X), се нарича апроксимираща функция (от латинското approximo - приближаване). Близостта на апроксимиращата функция φ j (X) до апроксимираната функция Y j (X) се осигурява чрез избора на подходящ алгоритъм за апроксимация.

всичко допълнителни съображенияи ще направим изводи за таблици, съдържащи началните данни на една изследвана функция (т.е. за таблици с m=1).

1. Методи на интерполация

1.1 Постановка на проблема с интерполацията

Най-често за определяне на функцията φ(X) се използва постановка, наречена постановка на интерполационния проблем.

В тази класическа формулировка на проблема с интерполацията се изисква да се определи приблизителна аналитична функция φ(X), чиито стойности в възловите точки X i отговарят на стойностите Y(X i ) на оригиналната таблица, т.е. условия

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n)

Конструираната по този начин апроксимираща функция φ(X) дава възможност да се получи доста близко приближение до интерполираната функция Y(X) в рамките на диапазона от стойности на аргумента [X 0 ; X n ], определени от табл. Когато задавате стойностите на аргумента X, не е собственосттози интервал задачата за интерполация се преобразува в задачата за екстраполация. В тези случаи точността

стойностите, получени при изчисляване на стойностите на функцията φ(X), зависят от разстоянието на стойността на аргумента X от X 0, ако X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

При математическо моделиранеинтерполиращата функция може да се използва за изчисляване на приблизителните стойности на изследваната функция в междинни точки на подинтервалите [Х i ; Xi+1]. Такава процедура се нарича печат за маса.

Алгоритъмът за интерполация се определя от метода за изчисляване на стойностите на функцията φ(X). Най-простата и най-очевидна реализация на интерполиращата функция е да се замени изследваната функция Y(X) на интервала [X i ; Х i+1 ] с отсечка, свързваща точките Y i , Y i+1 . Този метод се нарича метод на линейна интерполация.

1.2 Линейна интерполация

При линейна интерполация стойността на функцията в точката X, разположена между възлите X i и X i+1, се определя по формулата на права линия, свързваща две съседни точки от таблицата

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 ) − Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	Xi+ 1− Xi

На фиг. 1 показва примерна таблица, получена в резултат на измервания на определена стойност Y(X) . Редовете на изходната таблица са маркирани. Вдясно от таблицата има точкова диаграма, съответстваща на тази таблица. Уплътняването на таблицата се извършва поради изчислението по формулата

(3) стойности на функцията, която се апроксимира в точки Х, съответстващи на средните точки на подинтервали (i=0, 1, 2, … , n ).

Фиг. 1. Компактна таблица на функцията Y(X) и съответната й диаграма

При разглеждане на графиката на фиг. 1 се вижда, че точките, получени в резултат на уплътняването на таблицата по метода на линейната интерполация, лежат върху отсечките, свързващи точките на оригиналната таблица. Линейна точност

интерполация, по същество зависи от естеството на интерполираната функция и от разстоянието между възлите на таблицата X i, , X i+1 .

Очевидно е, че ако функцията е гладка, дори и при относително голямо разстояние между възлите, графиката, изградена чрез свързване на точките с прави сегменти, позволява точно да се оцени естеството на функцията Y(X). Ако функцията се променя достатъчно бързо и разстоянията между възлите са големи, тогава линейната интерполираща функция не позволява получаване на достатъчно точно приближение до реалната функция.

Линейната интерполираща функция може да се използва за общ предварителен анализ и оценка на коректността на резултатите от интерполацията, които след това се получават от други точни методи. Такава оценка става особено актуална в случаите, когато изчисленията се извършват ръчно.

1.3 Интерполация чрез каноничен полином

Методът за интерполиране на функция чрез каноничен полином се основава на конструирането на интерполираща функция като полином във формата [ 1 ]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Коефициентите с i на полинома (4) са свободни интерполационни параметри, които се определят от условията на Лагранж:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Използвайки (4) и (5), записваме системата от уравнения

	Cx+ cx2				C xn = Y
	Cx+ cx2				Cxn
			Cx2			C xn = Y

Вектор на решение с i (i = 0, 1, 2, …, n ) на система от линейни алгебрични уравнения(6) съществува и може да бъде намерен, ако няма съвпадащи възли сред i възли. Детерминантата на система (6) се нарича детерминанта на Вандермонд1 и има аналитичен израз [2].

1 Детерминанта на Вандермонд наречен детерминанта

То е нула, ако и само ако xi = xj за някои. (Материал от Wikipedia - свободната енциклопедия)

За определяне на стойностите на коефициентите с i (i = 0, 1, 2, …, n)

уравнения (5) могат да бъдат записани във векторно-матрична форма

A* C=Y,

където A е матрицата на коефициентите, определена от таблицата на степените на аргументния вектор X= (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C е колонен вектор на коефициенти i (i = 0, 1, 2, …, n), а Y е колонен вектор на стойности Y i (i = 0, 1, 2, …, n) на интерполирания функция в интерполационните възли.

Решението на тази система от линейни алгебрични уравнения може да бъде получено чрез един от методите, описани в [3]. Например, според формулата

С = A− 1 Y,

където A -1 е матрицата, обратна на матрица A. За получаване обратна матрицаИ -1, можете да използвате функцията MOBR(), включена в комплекта стандартни функциипрограми Microsoft Excel.

След като се определят стойностите на коефициентите с i, като се използва функцията (4), стойностите на интерполираната функция могат да бъдат изчислени за всяка стойност на аргументите.

Нека напишем матрицата A за таблицата, показана на фиг. 1, без да вземаме предвид редовете, които уплътняват таблицата.

Фиг.2 Матрица на системата от уравнения за изчисляване на коефициентите на каноничния полином

С помощта на функцията MOBR() получаваме матрицата A -1, обратна на матрица A (фиг. 3). Тогава съгласно формула (9) получаваме вектора на коефициентите С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T показан на фиг. четири.

За да изчислим стойностите на каноничния полином в клетката на колоната Y канонични, съответстващи на стойностите 0, въвеждаме преобразуваното в следващ видформула, съответстваща на нулевата линия на системата (6)

=((((c 5	* x 0 + c 4) * x 0 + c 3) * x 0 + c 2) * x 0 + c 1) * x 0 + c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Вместо да пишете " c i " във формула, въведена в клетка Excel таблици, трябва да има абсолютна препратка към съответната клетка, съдържаща този коефициент (виж Фиг. 4). Вместо "x 0" - относителна препратка към колоната колона X (виж фиг. 5).

Y каноничен (0) на стойността, която съвпада със стойността в клетка Y lin (0) . Когато плъзгате формула, написана в клетка Y canonical (0), стойностите на Y canonical (i) също трябва да съвпадат, съответстващи на възловите точки на оригинала

таблици (виж фиг. 5).

Ориз. 5. Диаграми, изградени по таблиците на линейната и каноничната интерполация

Сравнявайки графики на функции, изградени според таблици, изчислени с помощта на формулите на линейна и канонична интерполация, виждаме в редица междинни възли значително отклонение на стойностите, получени от формулите на линейна и канонична интерполация. Възможно е да се прецени точността на интерполацията по-разумно въз основа на получаването Допълнителна информацияза естеството на моделирания процес.

Интерполацията е вид приближение, при което кривата на построената функция минава точно през наличните точки от данни.

Съществува и проблем, близък до интерполацията, който се състои в приближаване на някои сложна функциядруга, по-проста функция. Ако определена функция е твърде сложна за продуктивни изчисления, можете да опитате да изчислите нейната стойност в няколко точки и да изградите от тях, тоест да интерполирате, повече проста функция. Разбира се, използването на опростена функция не ви позволява да получите същите точни резултати, каквито би дала оригиналната функция. Но в някои класове проблеми печалбата в простотата и скоростта на изчисленията може да надделее над получената грешка в резултатите.

Трябва да споменем и съвсем различен вид математическа интерполация, известна като "операторна интерполация". Класическите трудове по операторна интерполация включват теоремата на Riesz-Thorin и теоремата на Marcinkiewicz, които са в основата на много други работи.

Определения

Помислете за система от несъвпадащи точки () от някаква област. Нека стойностите на функцията са известни само в тези точки:

Проблемът на интерполацията е да се намери такава функция от даден клас функции, която

Пример

1. Нека имаме таблична функция, като този по-долу, който за множество стойности дефинира съответните стойности:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполацията ни помага да разберем каква стойност може да има такава функция в точка, различна от посочените (например, когато х = 2,5).

Към днешна дата има много различни начиниинтерполация. Изборът на най-подходящия алгоритъм зависи от отговорите на въпросите: колко точен е избраният метод, каква е цената за използването му, колко гладка е функцията за интерполация, колко точки от данни изисква и т.н.

2. Намерете междинна стойност (чрез линейна интерполация).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Интерполационни методи

Интерполация на най-близкия съсед

Най-простият метод за интерполация е интерполацията на най-близкия съсед.

Интерполация чрез полиноми

В практиката най-често се използва интерполация чрез полиноми. Това се дължи главно на факта, че полиномите са лесни за изчисляване, лесно е аналитично да се намерят техните производни и наборът от полиноми е плътен в пространството непрекъснати функции(теорема на Вайерщрас).

• IMN-1 и IMN-2
• Полином на Лагранж (интерполационен полином)
• Схемата на Ейткен

Обратна интерполация (изчисляване на x при дадено y)

• Обратна интерполация по формулата на Нютон

Интерполация на функция с множество променливи

Други методи за интерполация

• Тригонометрична интерполация

Свързани понятия

• Екстраполация - методи за намиране на точки извън определен интервал(удължаване на кривата)
• Апроксимация – методи за построяване на приближени криви

Вижте също

• Изглаждане на данните от експеримента

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Синоними:

Вижте какво е "Интерполация" в други речници:

1) начин за определяне от серия от дадени стойности на всеки математически израз, неговите междинни стойности; така, например, според обсега на гюлето при ъгъл на повдигане на оста на канала на оръдието от 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° и т.н., може да се определи с помощта на ... ... Речник чужди думируски език

Вмъкване, интерполация, включване, търсене Речник на руските синоними. интерполация вижте вмъкване Речник на синонимите на руския език. Практическо ръководство. М.: Руски език. З. Е. Александрова. 2… Речник на синонимите

интерполация- Изчисляване на междинни стойности между две известни точки. Например: линейна линейна интерполация експоненциаленинтерполация Процесът на извеждане на цветно изображение, когато пикселите, принадлежащи към областта между два цвята ... ... Наръчник за технически преводач

- (интерполация) Оценка на стойността на неизвестна стойност между две точки от поредица от известни стойности. Например, познавайки показателите за населението на страната, получени по време на преброяването, проведено на интервали от 10 години, можете ... ... Речник на бизнес термините

От латински всъщност "фалшив". Това е името, дадено на грешни корекции или по-късни вмъквания в ръкописи, направени от писари или читатели. Особено често този термин се използва в критиката на ръкописите на древни писатели. В тези ръкописи... Литературна енциклопедия

Намиране на междинни стойности на някаква закономерност (функция) по редица нейни известни стойности. На английски: Интерполация Вижте също: Трансформации на данни Finam Financial Dictionary ... Финансов речник

интерполация- и добре. интерполация f. лат. интерполационна промяна; промяна, изкривяване. 1. Вложка от по-късен произход, в която л. текст, който не принадлежи на оригинала. ALS 1. Има много интерполации, направени от писари в древни ръкописи. Уш. 1934. 2 ... Исторически речникгалицизми на руския език

ИНТЕРПОЛАЦИЯ- (interpolatio), завършване на емпирих. поредица от стойности на произволно количество чрез липсващите междинни стойности. Интерполацията може да се извърши по три начина: математически, графичен. и логично. Те се основават на общата хипотеза, че ... Голям медицинска енциклопедия

- (от латинската interpolatio промяна, промяна), търсенето на междинни стойности на количество според някои от неговите известни стойности. Например, намиране на стойностите на функцията y = f(x) в точки x, разположени между точките x0 и xn, x0 ... Съвременна енциклопедия

- (от лат. interpolatio промяна промяна), в математиката и статистиката, търсенето на междинни стойности на количество според някои от известните му стойности. Например, намиране на стойностите на функцията f (x) в точки x, разположени между точките xo x1 ... xn, според ... ... Голям енциклопедичен речник

Този термин има други значения, вижте Интерполация. За функцията вижте: Interpolant.

Интерполация, интерполация (отлат. интерполис - « изгладен, обновен, обновен; преобразуван"") - в изчислителната математика, начин за намиране на междинни стойности на количество от съществуващ дискретен набор известни стойности. Терминът "интерполация" е използван за първи път от Джон Валис в неговия трактат "Аритметиката на безкрайното" (1656).

Във функционалния анализ интерполацията на линейни оператори е раздел, който разглежда банаховите пространства като елементи от определена категория.

Много от тези, които се занимават с научни и инженерни изчисления, често трябва да оперират с набори от стойности, получени емпирично или чрез метод. произволна извадка. По правило на базата на тези набори се изисква да се конструира функция, върху която може висока прецизностза да получите други получени стойности. Такава задача се нарича апроксимация. Интерполацията е вид приближение, при което кривата на построената функция минава точно през наличните точки от данни.

Съществува и проблем, близък до интерполацията, който се състои в апроксимирането на сложна функция с друга, по-проста функция. Ако определена функция е твърде сложна за продуктивни изчисления, можете да опитате да изчислите нейната стойност в няколко точки и да изградите, тоест да интерполирате, по-проста функция от тях. Разбира се, използването на опростена функция не позволява да се получи същата точни резултати, което ще даде оригиналната функция. Но в някои класове проблеми печалбата в простотата и скоростта на изчисленията може да надделее над получената грешка в резултатите.

Трябва да споменем и съвсем различен вид математическа интерполация, известна като "операторна интерполация". Класическите трудове по операторна интерполация включват теоремата на Riesz-Thorin и теоремата на Marcinkiewicz, които са в основата на много други работи.

Определения

Да разгледаме система от несъвпадащи точки x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) от някакъв домейн D ( \displaystyle D) . Нека стойностите на функцията f (\displaystyle f) са известни само в тези точки:

Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Проблемът с интерполацията е да се намери функция F (\displaystyle F) от даден клас функции, така че

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Точките x i (\displaystyle x_(i)) се извикват интерполационни възли, а съвкупността им е интерполационна мрежа.
• Двойките (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) се наричат точки за данниили базови точки.
• Разлика между "съседни" стойности Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - стъпка на интерполационната мрежа. Тя може да бъде както променлива, така и постоянна.
• Функция F (x) (\displaystyle F(x)) - интерполираща функцияили интерполант.

Пример

1. Да кажем, че имаме таблична функция като тази по-долу, която за множество стойности на x (\displaystyle x) определя съответните стойности на f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполацията ни помага да знаем каква стойност може да има такава функция в точка, различна от посочените точки (например, когато х = 2,5).

Към днешна дата има много различни методи за интерполация. Изборът на най-подходящия алгоритъм зависи от отговорите на въпросите: колко точен е избраният метод, каква е цената за използването му, колко гладка е функцията за интерполация, колко точки от данни изисква и т.н.

2. Намерете междинна стойност (чрез линейна интерполация).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19,2- 15.5))(1))=16.1993)

В езиците за програмиране

Пример за линейна интерполация за функцията y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Потребителят може да въведе число между 1 и 10.

Fortran

програма interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 измерение x(10) измерение y(10) извикване prisv(x, i) извикване func(x, y, i) write(*,*) "въведете число: " прочетете(*,*) xv ако ((xv >= 1).и.(xv xv)) тогава yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end подпрограма

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2 "); system("echo Enter число: "); cin >> ob; система ("ехо Например 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Интерполационни методи

Интерполация на най-близкия съсед

Най-простият метод за интерполация е интерполацията на най-близкия съсед.

Интерполация чрез полиноми

В практиката най-често се използва интерполация чрез полиноми. Това се дължи главно на факта, че полиномите са лесни за изчисляване, лесно е аналитично да се намерят техните производни и множеството от полиноми е плътно в пространството на непрекъснатите функции (теорема на Вайерщрас).

• Линейна интерполация
• Интерполационна формула на Нютон
• Метод на крайните разлики
• IMN-1 и IMN-2
• Полином на Лагранж (интерполационен полином)
• Схемата на Ейткен
• сплайн функция
• кубичен сплайн

Обратна интерполация (изчисляване на x при дадено y)

• Полином на Лагранж
• Обратна интерполация по формулата на Нютон
• Обратна интерполация на Гаус

Интерполация на функция с множество променливи

• Билинейна интерполация
• Бикубична интерполация

Други методи за интерполация

• Рационална интерполация
• Тригонометрична интерполация

Свързани понятия

• Екстраполация - методи за намиране на точки извън даден интервал (разширение на кривата)
• Апроксимация – методи за построяване на приближени криви

Обратна интерполация

върху класа функции от пространството C2, чиито графики минават през точките от масива (xi, yi), i = 0, 1, . . . , м.

Решение. Сред всички функции, които преминават през референтните точки (xi, f(xi)) и принадлежат към споменатото пространство, кубичният сплайн S(x) отговаря на граничните условия S00(a) = S00(b) = 0 който осигурява екстремния (минимален) функционал I(f).

Често в практиката възниква проблем с търсенето на дадена стойност на функцията на стойността на аргумента. Този проблем се решава чрез методи на обратна интерполация. Ако дадена функцияе монотонна, тогава обратната интерполация се извършва най-лесно чрез замяна на функцията с аргумент и обратно и след това интерполиране. Ако дадената функция не е монотонна, тогава тази техника не може да се използва. След това, без да променяме ролите на функцията и аргумента, записваме тази или онази интерполационна формула; използвайки известните стойности на аргумента и, ако приемем, че функцията е известна, решаваме полученото уравнение по отношение на аргумента.

Оценката на остатъчния член при използване на първия трик ще бъде същата като при директна интерполация, само производните на директната функция трябва да бъдат заменени с производни на обратна функция. Нека оценим грешката на втория метод. Ако ни е дадена функция f(x) и Ln (x) е интерполационният полином на Лагранж, конструиран за тази функция върху възлите x0, x1, x2, . . . , xn, тогава

f (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Да предположим, че трябва да намерим стойност x¯, така че f (¯x) = y¯ (y¯ е дадено). Ще решим уравнението Ln (x) = y¯. Нека получим някаква стойност x¯. Замествайки в предишното уравнение, получаваме:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Прилагайки формулата на Лангранж, получаваме
(x¯ − x¯) f0 (η) =
където η е между x¯ и x¯. If е интервал, който съдържа x¯ и x¯ и min

от последния израз следва:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

В този случай, разбира се, се приема, че сме решили точно уравнението Ln (x) = y¯.

Използване на интерполация за табулиране

Теорията на интерполацията има приложения при съставянето на таблици с функции. След като получи такъв проблем, математикът трябва да реши редица въпроси, преди да започне изчисленията. Трябва да се избере формулата, по която ще се извършват изчисленията. Тази формула може да варира от сайт на сайт. Обикновено формулите за изчисляване на стойностите на функцията са тромави и затова се използват за получаване на някои референтни стойности и след това, чрез подтаблиране, те удебеляват таблицата. Формулата, която дава референтните стойности на функцията, трябва да осигури необходимата точност на таблиците, като се вземе предвид следната подтаблица. Ако искате да компилирате таблици с постоянна стъпка, първо трябва да определите нейната стъпка.

Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропусни индекс

Най-често функционалните таблици се съставят така, че да е възможна линейна интерполация (т.е. интерполация, използваща първите два члена на формулата на Тейлър). В този случай оставащият срок ще изглежда така

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Тук ξ принадлежи на интервала между две съседни таблични стойности на аргумента, в който се намира x, а t е между 0 и 1. Продуктът t(t − 1) взема най-големия модул

стойност при t = 12. Тази стойност е равна на 14. Така,

Трябва да се помни, че до тази грешка - грешката на метода, при практическото изчисляване на междинните стойности, все още ще има непоправима грешка и грешка при закръгляване. Както видяхме по-рано, фаталната грешка при линейна интерполация ще бъде равна на грешката на табличните стойности на функцията. Грешката при закръгляване ще зависи от изчислителните средства и от програмата за изчисление.

Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропусни индекс

Предметен индекс

разделени разлики от втори ред, 8 от първи ред, 8

шпонка, 15

интерполационни възли, 4

Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропусни индекс

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Как се прави интерполация

Формула за интерполиране на таблични данни

Използва се във 2-ра стъпка, когато количеството NXR (Q, t) от условието е междинно между 100 т и 300 т.

(Изключение:ако Q е равно на 100 или 300 по условие, тогава не е необходима интерполация).

г о- Вашето първоначално количество NHR от условието, в тонове

(съответства на буквата Q)

г 1 – по-малък

(от таблици 11-16, обикновено 100).

г 2 – Повече ▼ най-близката до вашата стойност на количеството NCR, в тонове

(от таблици 11-16, обикновено 300).

х 1 г 1 (х 1 разположен отсреща г 1 ), км.

х 2 - таблична стойност на дълбочината на разпространение на облак от замърсен въздух (G t), съответно г 2 (х 2 разположен отсреща г 2 ), км.

х 0 - желана стойност Ж Tсъответстващ г о(според формулата).

Пример.

NCR - хлор; Q = 120 t;

Тип SVSP (степен на вертикално съпротивление на въздуха) - инверсия.

намирам Ж T- таблична стойност на дълбочината на разпространение на облака от замърсен въздух.

Преглеждаме таблици 11-16 и намираме данни, които отговарят на вашето състояние (хлор, инверсия).

Подходяща таблица 11.

Избор на ценности г 1 , г 2, х 1 , х 2 . важно - вземаме скоростта на вятъра 1 m / s., вземаме температурата - 20 ° C.

Заменете избраните стойности във формулата и намерете х 0 .

важно - изчислението е правилно, ако х 0 ще има стойност някъде между х 1 , х 2 .

1.4. Интерполационна формула на Лагранж

Предложеният от Лагранж алгоритъм за конструиране на интерполация

функции съгласно таблици (1) осигурява изграждането на интерполационния полином Ln(x) във формата

Очевидно изпълнението на условия (11) за (10) определя изпълнението на условия (2) от постановката на интерполационния проблем.

Полиномите li(x) се записват по следния начин

Обърнете внимание, че нито един фактор в знаменателя на формула (14) не е равен на нула. След като изчислите стойностите на константите ci, можете да ги използвате, за да изчислите стойностите на интерполираната функция в дадени точки.

Формулата на интерполационния полином на Лагранж (11), като се вземат предвид формули (13) и (14), може да бъде записана като

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Организиране на ръчни изчисления по формулата на Лагранж

Директното прилагане на формулата на Лагранж води до голям брой еднотипни изчисления. За таблици с малки размери тези изчисления могат да се извършват както ръчно, така и в софтуерната среда.

На първия етап разглеждаме алгоритъма на изчисленията, извършени ръчно. В бъдеще същите изчисления трябва да се повторят в околната среда

Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc.

На фиг. 6 показва пример на изходна таблица на интерполирана функция, дефинирана от четири възела.

Фиг.6. Таблица, съдържаща началните данни за четирите възела на интерполираната функция

В третата колона на таблицата записваме стойностите на коефициентите qi, изчислени по формули (14). По-долу е даден запис на тези формули за n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Следващата стъпка в изпълнението на ръчните изчисления е изчисляването на стойностите li(x) (j=0,1,2,3), извършено по формули (13).

Нека напишем тези формули за версията на таблицата, която разглеждаме с четири възела:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Нека изчислим стойностите на полиномите li(xj) (j=0,1,2,3) и ги запишем в клетките на таблицата. Стойностите на функцията Ycalc(x), съгласно формула (11), ще бъдат получени в резултат на сумиране на стойностите на li(xj) в редове.

Форматът на таблицата, която включва колони с изчислени стойности li(xj) и колона със стойности Ycalc(x), е показан на фиг.8.

Ориз. 8. Таблица с резултатите от ръчните изчисления, извършени по формули (16), (17) и (11) за всички стойности на аргумента xi

След завършване на формирането на таблицата, показана на фиг. 8, по формули (17) и (11) е възможно да се изчисли стойността на интерполираната функция за всяка стойност на аргумента X. Например, за X=1 изчисляваме стойностите li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)=0,2966.

Обобщавайки стойностите на li(1) получаваме стойността Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Реализиране на алгоритъма за интерполация по формули на Лагранж в средата на програмата Microsoft Excel

Изпълнението на алгоритъма за интерполация започва, както при ръчните изчисления, с писане на формули за изчисляване на коефициентите qi. 9 показва колоните на таблицата с дадени стойностиаргумент, интерполирана функция и коефициенти qi. Вдясно от тази таблица са формулите, които са записани в клетките на колона C за изчисляване на стойностите на коефициентите qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Ориз. 9 Таблица с коефициенти qi и формули за изчисление

След въвеждане на формулата q0 в клетка C2, тя се изтегля през клетки от C3 до C5. След това формулите в тези клетки се коригират в съответствие с (16) във формата, показана на фиг. 9.

Ycalc(xi),

Внедрявайки формули (17), ние пишем формули за изчисляване на стойностите li(x) (i=0,1,2,3) в клетките на колони D, E, F и G. В клетка D2 за изчисляване на стойността l0(x0), записваме формулата:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

получаваме стойностите l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Форматът на връзката $A2 ви позволява да разтегнете формулата по колони E, F, G, за да формирате изчислителни формули за изчисляване на li(x0) (i=1,2,3). Плъзгането на формула върху ред не променя индекса на колоната на аргументите. За да се изчисли li(x0) (i=1,2,3) след изчертаване на формулата l0(x0) е необходимо да се коригират по формули (17).

В колона Н поставете Формули на Excelза сумиране на li(x) по формулата

(11) алгоритъм.

На фиг. 10 показва таблица, реализирана в средата Програми на Microsoft Excel. Признак за коректността на формулите, записани в клетките на таблицата, и извършените изчислителни операции е получената диагонална матрица li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), повтаряйки резултатите, показани на фиг. 8 и колона със стойности, съответстващи на стойностите на интерполираната функция във възлите на оригиналната таблица.

Ориз. 10. Таблица със стойности li(xj) (j=0,1,2,3) и Ycalc(xj)

За да изчислите стойностите в някои междинни точки, това е достатъчно

В клетките на колона A, започвайки от клетка A6, въведете стойностите на аргумента X, за които искате да определите стойностите на интерполираната функция. Маркирайте

в последния (5-ти) ред на таблицата с клетки от l0(xn) до Ycalc(xn) и разтегнете формулите, записани в избраните клетки, до реда, съдържащ последния

дадената стойност на аргумента x.

На фиг. 11 показва таблица, в която изчисляването на стойността на функцията в три точки: x=1, x=2 и x=3. В таблицата е въведена допълнителна колона с номера на редове от таблицата с изходни данни.

Ориз. 11. Изчисляване на стойностите на интерполирани функции с помощта на формули на Лагранж

За по-голяма яснота на показване на резултатите от интерполацията ще изградим таблица, която включва колона със стойности на аргумента X, подредени във възходящ ред, колона с начални стойности на функцията Y(X) и колона

Кажете ми как да използвам формулата за интерполация и коя при решаването на задачи в термодинамиката (топлотехника)

Иван Шестакович

Най-простата, но често недостатъчно точна интерполация е линейната. Когато вече имате две известни точки (X1 Y1) и (X2 Y2) и трябва да намерите Y стойностите на деня на някой X, който е между X1 и X2. Тогава формулата е проста.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Между другото, тази формула работи и за X стойности извън интервала X1..X2, но това вече се нарича екстрополация и на значително разстояние от този интервал дава много голяма грешка.
Има много други изтривалки. методи на интерполация - съветвам те да прочетеш учебника или да се поровиш в интернет.
Методът на графичната интерполация също не е изключен - ръчно начертайте графика през известни точки и намерете Y от графиката за търсеното X. ;)

Роман

Имате две значения. И приблизително зависимостта (линейна, квадратна, ..)
Графиката на тази функция минава през вашите две точки. Имате нужда от стойност някъде по средата. Е, експрес!
Например. В таблицата при температура 22 градуса налягането на наситените пари е 120 000 Ра, а при 26 124 000 Ра. След това при температура 23 градуса 121000 Pa.

Интерполация (координати)

На картата (изображение) има координатна мрежа.
Има някои добре известни референтни точки (n>3) с две x,y стойности- координати в пиксели и координати в метри.
Необходимо е да се намерят междинни стойности на координатите в метри, като се знаят координатите в пиксели.
Линейната интерполация не е подходяща - твърде много грешки извън линията.
Подобно на това: (Xc - координата в метри по x, Xp - координата в пиксели по x, Xc3 - желана стойност по x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Как да намерим същата формула за намиране на Xc и Yc, при дадени не две (като тук), а N известни референтни точки?

Joka папрат lowd

Съдейки по написаните формули, съвпадат ли осите на координатните системи в пиксели и метри?
Тоест Xp -> Xc се интерполира независимо и Yp -> Yc се интерполира независимо. Ако не, тогава трябва да използвате двумерна интерполация Xp,Yp->Xc и Xp,Yp->Yc, което донякъде усложнява задачата.
Освен това се приема, че координатите Xp и Xc са свързани с някаква зависимост.
Ако природата на зависимостта е известна (или се предполага, например, че Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), тогава можете да получите параметрите на тази зависимост (за дадената зависимост a , b, c) използвайки регресионен анализ(Метод най-малки квадрати) . При този метод, ако бъде поискано определена зависимост Xc(Xp) можете да получите формулата за параметрите в зависимост от референтните данни. Този метод позволява по-специално да се намерят и линейна зависимост, по най-добрия начинудовлетворяващи този набор от данни.
Недостатък: При този метод координатите Xc, получени от данните на контролните точки Xp, могат да се различават от дадените. Например, апроксимационната права линия, начертана през експерименталните точки, не минава точно през самите тези точки.
Ако се изисква точно съвпадение и естеството на зависимостта е неизвестно, трябва да се използват методи на интерполация. Най-простият математически е интерполационният полином на Лагранж, минаващ точно през референтните точки. Въпреки това, поради висока степентози полином при големи числареферентни точки и Лошо качествоинтерполация, по-добре е да не я използвате. Предимството е сравнително простата формула.
По-добре е да използвате сплайн интерполация. Същността на този метод е, че във всеки участък между две съседни точки изследваната зависимост се интерполира с полином, а в точките на свързване на два интервала се записват условия за гладкост. Предимството на този метод е качеството на интерполацията. Недостатъци - почти невъзможно за изтегляне обща формула, трябва да се намерят коефициентите на полинома във всяка секция алгоритмично. Друг недостатък е трудността при обобщаване на 2D интерполация.

Има ситуация, когато в масив от известни стойности трябва да намерите междинни резултати. В математиката това се нарича интерполация. В Excel този методможе да се използва както за таблични данни, така и за начертаване на графики. Нека да разгледаме всеки от тези методи.

Основното условие, при което може да се приложи интерполация е, че желаната стойност трябва да е вътре в масива от данни и да не надхвърля границата му. Например, ако имаме набор от аргументи 15, 21 и 29, тогава когато намираме функция за аргумент 25, можем да използваме интерполация. И да намерим съответната стойност за аргумента 30 - вече не. Това е основната разлика между тази процедура и екстраполацията.

Метод 1: Интерполация за таблични данни

Първо, помислете за използването на интерполация за данни, които се намират в таблица. Например, нека вземем масив от аргументи и съответните им функционални стойности, съотношението на които може да бъде описано линейно уравнение. Тези данни са поставени в таблицата по-долу. Трябва да намерим съответната функция за аргумента 28 . Най-лесният начин да направите това е с оператора ПРОГНОЗА.

Метод 2: интерполиране на графика чрез нейните настройки

Процедурата на интерполация може да се използва и при чертане на функция. Уместно е, ако таблицата, на която се основава графиката, не указва съответната стойност на функцията за един от аргументите, както е на изображението по-долу.

Както можете да видите, графиката е коригирана и празнината е премахната чрез интерполация.

Метод 3: Интерполация на графика с функция

Можете също да интерполирате графиката с помощта на специалната функция ND. Той връща нулеви стойности в указаната клетка.

Можете да го направите още по-лесно, без да бягате Съветник за функции, но просто използвайте клавиатурата, за да поставите стойност в празна клетка "#N/A"без кавички. Но вече зависи как за кой потребител е по-удобно.

Както можете да видите, в програмата Excel можете да интерполирате като таблични данни, като използвате функцията ПРОГНОЗА, както и графики. AT последен случайтова може да стане с помощта на настройките на диаграмата или с помощта на функцията ND, което води до грешка "#N/A". Изборът кой метод да се използва зависи от постановката на проблема, както и от личните предпочитания на потребителя.

Това е глава от книгата на Бил Джелен.

Предизвикателство: Някои проблеми на инженерния дизайн изискват използването на таблици за изчисляване на стойностите на параметрите. Тъй като таблиците са дискретни, дизайнерът използва линейна интерполация, за да получи междинна стойност на параметъра. Таблицата (фиг. 1) включва височината над земята (контролен параметър) и скоростта на вятъра (изчислен параметър). Например, ако трябва да намерите скоростта на вятъра, съответстваща на височина от 47 метра, тогава трябва да приложите формулата: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s.

Изтеглете бележка в или формат, примери във формат

Ами ако има два контролни параметъра? Възможно ли е да се извършват изчисления с една формула? Таблицата (фиг. 2) показва стойностите на налягането на вятъра за различни височинии разстояния на конструкции. Необходимо е да се изчисли налягането на вятъра на височина 25 метра и разстояние от 300 метра.

Решение: Решаваме проблема, като разширяваме използвания метод за случая с един контролен параметър. Направете следното.

Започнете с таблицата, показана на фиг. 2. Добавете изходни клетки за височина и обхват съответно към J1 и J2 (Фигура 3).

Ориз. 3. Формулите в клетки J3:J17 обясняват как работи мега формулата

За удобство при използване на формули, дефинирайте имена (фиг. 4).

Следвайте работата на формулата, последователно преминавайки от клетка J3 към клетка J17.

Чрез обратно последователно заместване сглобете мега формулата. Копирайте текста на формулата от клетка J17 в J19. Заменете препратката към J15 във формулата със стойността в клетка J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. И така нататък. Резултатът ще бъде формула, състояща се от 984 знака, които не могат да бъдат възприети в този вид. Можете да го видите в прикачения excel файл. Не съм сигурен дали този вид мегаформули са полезни за използване.

Резюме: Линейната интерполация се използва за получаване на междинна стойност на параметър if таблични стойностизадава се само за граници на диапазон; предложен е метод за изчисление, базиран на два контролни параметъра.