Произведението на корените на квадратно уравнение. Как да намерим сумата от корените на уравнение

Определянето на сумата от корените на уравнение е една от необходимите стъпки при решаване на квадратни уравнения (уравнения от вида ax² + bx + c = 0, където показателите a, b и c са произволни числа, а a ? 0) с подкрепата на теоремата на Виета.

Инструкция

1. Напишете квадратното уравнение като ax² + bx + c = 0 Пример: Първоначално уравнение: 12 + x²= 8x Правилно написано уравнение: x² - 8x + 12 = 0

2. Приложете теоремата на Vieta, според която сумата от корените на уравнението ще бъде равна на числото “b”, взето с обратен знак, а произведението им ще бъде равно на числото “c” Пример: В уравнението разглеждани, b \u003d -8, c \u003d 12, съответно: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Разберете дали корените на уравненията са правилни или отрицателни числа. Ако и произведението, и сумата от корените са положителни числа, всички корени са валидно число. Ако произведението на корените е правилно и сборът на корените е отрицателно число, тогава и двата корена са отрицателни. Ако произведението на корените е отрицателно, тогава корените имат един знак за корен "+" и друг знак "-". отрицателно число - по-голям корен - отрицателен. ”Пример: В разглежданото уравнение както сумата, така и произведението са правилните числа: 8 и 12, което означава, че и двата корена са положителни числа.

4. Решете получената система от уравнения, като изберете корените. Ще бъде по-удобно да започнете селекцията от фактори и след това, за проверка, заменете всяка двойка фактори във второто уравнение и проверете дали сумата от тези корени съответства на решението Пример: x1∗x2=12 Подходящи двойки на корените ще бъдат съответно: 12 и 1, 6 и 2, 4 и 3. Проверете получените двойки с подкрепата на уравнението x1+x2=8. Двойки 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Съответно, корените на уравнението са числата 6 и 8.

Уравнението е равенство във формата f(x,y,…)=g(x,y,..), където f и g са функции на една или повече променливи. Намирането на корена на уравнение означава намиране на набор от аргументи, при които това равенство е изпълнено.

Ще имаш нужда

• Познания по математически преглед.

Инструкция

1. Може би имате уравнение като: x+2=x/5. Като начало прехвърляме всички компоненти на това равенство от дясната страна в лявата страна, като променяме знака на компонента на противоположния. Нула ще остане от дясната страна на това уравнение, тоест получаваме следното: x + 2-x / 5 \u003d 0.

2. Нека представим подобни термини. Получаваме следното: 4x/5 + 2 = 0.

3. Освен това от полученото редуцирано уравнение намираме неизвестния член в този случайтова е X. Получената стойност на неизвестната променлива ще бъде решението на първоначалното уравнение. В този случай получаваме следното: x = -2,5.

Подобни видеа

Забележка!
В резултат на решението могат да се появят допълнителни корени. Те няма да бъдат решение на първоначалното уравнение, дори ако сте решили всичко положително. Не забравяйте да проверите всички решения, които получавате.

Полезни съвети
Винаги проверявайте получените стойности на непознат. Това може да се направи примитивно чрез заместване на получената стойност в начално уравнение. Ако уравнението е правилно, тогава решението е правилно.

Теоремата на Виета установява пряка връзка между корените (x1 и x2) и показателите (b и c, d) на уравнение като bx2+cx+d=0. С помощта на тази теорема е позволено, без да се определят стойностите на корените, да се изчисли тяхната сума, смело казано, в ума. В това няма нищо трудно, основното е да знаете някои правила.

Ще имаш нужда

• - калкулатор;
• - хартия за бележки.

Инструкция

1. Води до стандартен изгледизследваното квадратно уравнение, така че всички експоненти да вървят в низходящ ред, т.е. най-висока степен- x2, а накрая нулевата степен - x0. Уравнението ще приеме формата: b*x2 + c*x1 + d*х0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Проверете неотрицателността на дискриминанта. Тази проверка е необходима, за да се уверите, че уравнението има корени. D (дискриминант) приема формата: D = c2 – 4*b*d. Тук има няколко варианта. D - дискриминант - правилно, което означава, че уравнението има два корена. D - равно на нула, следва, че има корен, но той е двоен, т.е. x1 \u003d x2. D - отрицателен, за училищен курс по алгебра това условие означава, че няма корени, за висша математикаИма корени, но са сложни.

3. Определете сумата от корените на уравнението. Използвайки теоремата на Vieta, това е лесно да се направи: b * x2 + c * x + d \u003d 0. Сумата от корените на уравнението е право пропорционална на „–c“ и обратно пропорционална на индикатора „b“. А именно, x1+x2 = -c/b. Определете произведението на корените според формулировката - произведението на корените на уравнението е право пропорционално на "d" и обратно пропорционално на индикатора "b": x1 * x2 \u003d d / b.

Забележка!
Ако имате отрицателен дискриминант, това не означава, че няма корени. Това означава, че корените на уравнението са така наречените комплексни корени. Теоремата на Vieta също е приложима в този случай, но нейната форма ще бъде леко променена: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Полезни съвети
Ако не сте изправени пред квадратно уравнение, а пред кубично или уравнение от степен n: b0 * xn + b1 * xn-1 + ... .. + bn = 0, тогава можете също да използвате теоремата на Vieta, за да изчислете сумата или произведението на корените на уравнението :едно. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Ако при заместване на число в уравнение се получи правилното равенство, такова число се нарича корен. Корените могат да бъдат правилни, отрицателни и нула. Сред всеки набор от корени на уравнението се разграничават максимумът и минимумът.

Инструкция

1. Намерете всички корени на уравнението, измежду тях изберете отрицателния, ако има такъв. Да кажем, че е дадено квадратното уравнение 2x?-3x+1=0. Приложете формулата на корена квадратно уравнение: x(1,2)=/2=/2=/2, тогава x1=2, x2=1. Лесно е да се забележи, че сред тях няма отрицателни.

2. Също така е възможно да се намерят корените на квадратно уравнение с помощта на теоремата на Vieta. Според тази теорема x1+x1=-b, x1?x2=c, където b и c са съответно показателите на уравнението x?+bx+c=0. Прилагайки тази теорема, е възможно да не се изчислява дискриминанта b?-4ac, което в някои случаи може значително да опрости задачата.

3. Ако показателят при x е четен в квадратно уравнение, е позволено да се използва не основната, а съкратена формула за намиране на корените. Ако основната формула изглежда като x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, тогава в съкратена форма тя се записва, както следва: x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/a. Ако няма свободен член в квадратното уравнение, много лесно е да преместите x извън скобите. И понякога лявата страна се сгъва пълен квадрат: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Има видове уравнения, които дават не едно число, а цял куп решения. Да речем тригонометрични уравнения. Така че резултатът от уравнението 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 ще бъде x=?/4+?k, където k е цяло число. Тоест, при заместване на която и да е цяло число на параметъра k, аргументът x ще удовлетворява даденото уравнение.

5. AT тригонометрични задачиможе да е необходимо да се намерят всички отрицателни корени или най-високият от отрицателните. При решаването на такива проблеми се използва логическо разсъждение или метод математическа индукция. Заменете някои цели числа за k в израза x=?/4+?k и наблюдавайте как се държи аргументът. Между другото, най-големият отрицателен корен в предишното уравнение ще бъде x=-3?/4 с k=1.

Подобни видеа

Забележка!
AT този примербеше разгледан вариант на квадратното уравнение, в който a=1. За да решите пълното квадратно уравнение със същия метод, където a & ne 1, трябва да съставите спомагателно уравнение, привеждайки „a“ към едно.

Полезни съвети
Използвайте този методрешаване на уравнения с цел бързо откриване на корените. Също така ще ви помогне, ако трябва да решите уравнение наум, без да прибягвате до бележки.

Сумата от корените на даденото квадратно уравнение е равна на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

(Припомнете си: даденото квадратно уравнение е уравнение, при което първият коефициент е 1).

Обяснение:

Нека квадратното уравнение ax2+bx +° С= 0 има корени х 1 и х 2. Тогава по теоремата на Виета:

Пример 1:

Горното уравнение x 2 - 7x + 10 \u003d 0 има корени 2 и 5.

Сборът на корените е 7, а произведението е 10.

И в нашето уравнение вторият коефициент е -7, а пресечната точка е 10.

Така сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е свободният член.

Доста често има квадратни уравнения, които могат лесно да бъдат изчислени с помощта на теоремата на Vieta − освен това, с негова помощ е по-лесно да ги изчислите. Лесно е да се види това както в предишния пример, така и в следващия.

Пример 2 . Решаване на квадратно уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.

Решение .

Прилагаме теоремата на Виета и записваме две идентичности:

хедин · х 2 = –24

х 1 + х 2 = 2

Избираме такива множители за -24, така че сумата им да е равна на 2. След кратък размисъл намираме: 6 и -4. Да проверим:

6 (- 4) = -24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Както забелязахте, на практика същността на теоремата на Виета е да разложи свободния член в даденото квадратно уравнение на такива множители, чиято сума е равна на втория коефициент с противоположен знак. Тези фактори ще бъдат корените.

Така че корените на нашето квадратно уравнение са 6 и -4.

Отговор: х 1 = 6, х 2 = –4.

Пример 3 . Нека решим квадратното уравнение 3x 2 + 2x - 5 = 0.

Тук нямаме работа с редуцирано квадратно уравнение. Но такива уравнения могат да бъдат решени и с помощта на теоремата на Виета, ако техните коефициенти са балансирани - например, ако сумата от първия и третия коефициент е равна на втория с противоположен знак.

Решение .

Коефициентите на уравнението са балансирани: сборът от първия и третия член е равен на втория с противоположен знак:

3 + (–5) = –2.

Според теоремата на Виета

x 1 + x 2 = -2/3
x 1 x 2 = -5/3.

Трябва да намерим две числа, чиято сума е -2/3, а произведението е -5/3. Тези числа ще бъдат корените на уравнението.

Първото число се отгатва веднага: то е 1. В крайна сметка, с x \u003d 1, уравнението се превръща в най-простото добавяне-изваждане:
3 + 2 - 5 = 0. Как да намеря втория корен?
Нека представим 1 като 3/3, така че всички числа да са същия знаменател: е по-лесно. И веднага питат по-нататъшни действия. Ако x 1 \u003d 3/3, тогава:

3/3 + x 2 = -2/3.

Решаваме просто уравнение:

x 2 \u003d -2/3 - 3/3.

Отговор: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5/3

Пример 4: Решаване на квадратно уравнение 7 х 2 – 6х – 1 = 0.

Решение :

Един корен се намира веднага - хваща окото ви: х 1 = 1 (защото се получава проста аритметика: 7 - 6 - 1 = 0).

Коефициентите на уравнението са балансирани: сборът от първия и третия е равен на втория с противоположен знак:
7 + (– 1) = 6.

В съответствие с теоремата на Vieta съставяме две идентичности (въпреки че в този случай едно от тях е достатъчно):

хедин · х 2 = –1/7
х 1 + х 2 = 6/7

Заместете стойността на x 1 в някой от тези два израза и намерете x 2:

х 2 = –1/7: 1 = –1/7

Отговор : х 1 = 1; х 2 = –1/7

Дискриминантът на редуцираното квадратно уравнение.

Дискриминантът на редуцираното квадратно уравнение може да се изчисли като обща формула, и по опростен начин:

ПриD = 0 корените на горното уравнение могат да бъдат изчислени по формулата:

Ако Д< 0, то уравнение не имеет корней.

Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

Между корените и коефициентите на квадратното уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които са дадени от Теорема на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теорема, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-характерните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между истинските корени алгебрично уравнение степен n и нейните коефициенти.

Навигация в страницата.

Теорема на Виета, формулировка, доказателство

От формулите на корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 от вида , където D=b 2 −4 a c , отношенията x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Тези резултати се потвърждават Теорема на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата от корените е равна на отношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на отношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателство.

Ще докажем теоремата на Виета по следната схема: съставяме сумата и произведението на корените на квадратното уравнение, използвайки известни формуликорени, след което трансформираме получените изрази и се уверяваме, че те са равни съответно на −b/a и c/a.

Нека започнем със сбора на корените, съставете го. Сега привеждаме дробите до общ знаменател, ние имаме . В числителя на получената дроб , след което : . Накрая след 2 получаваме . Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто.

Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение:. Според правилото за умножение на дроби, последна работаможе да се запише като . Сега умножаваме скобата по скобата в числителя, но е по-бързо да свием този продукт с формула за разлика на квадратите, Така . След това, спомняйки си, извършваме следващия преход. И тъй като формулата D=b 2 −4 a·c съответства на дискриминанта на квадратното уравнение, тогава b 2 −4·a·c може да бъде заменено в последната дроб вместо D, получаваме . След отваряне на скобите и отливане подобни условиястигаме до дробта , а намаляването й с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, тогава доказателството на теоремата на Виета ще приеме кратка форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че когато дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Но ако приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, то равенствата от теоремата на Виета също са в сила. Наистина, за D=0 коренът на квадратното уравнение е , тогава и , и тъй като D=0 , тоест b 2 −4·a·c=0 , откъдето b 2 =4·a·c , тогава .

На практика теоремата на Vieta най-често се използва във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с най-висок коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0 . Понякога се формулира само за квадратни уравнения от този тип, което не ограничава общото, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете му части на ненулево число a. Ето съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q \u003d 0 е равна на коефициента при x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е свободен член, т.е. x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Vieta, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. От друга страна, от записаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, твърдението, обратно на теоремата на Виета, е вярно. Ние го формулираме под формата на теорема и го доказваме.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 .

Доказателство.

След заместване в уравнението x 2 +p x+q=0 на коефициентите p и q на израза им чрез x 1 и x 2, то се преобразува в еквивалентно уравнение.

Заместваме числото x 1 вместо x в полученото уравнение, имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всяко x 1 и x 2 е правилното числово равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p x+q=0 .

Ако в уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0заместваме числото x 2 вместо x, тогава получаваме равенството x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Това е правилното уравнение, защото x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Следователно x 2 също е коренът на уравнението x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, а оттам и уравненията x 2 +p x+q=0 .

Това завършва доказателството на теоремата, обратна теоремаВиета.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и нейната обратна теорема. В този подраздел ще анализираме решенията на няколко от най-типичните примери.

Започваме с прилагане на теорема, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да го използвате, за да проверите дали дадените две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се заключава, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2), или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4 , b=−16 , c=9 . Според теоремата на Виета сумата от корените на квадратното уравнение трябва да е равна на −b/a, т.е. 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, т.е. 9 /4.

Сега изчисляваме сумата и произведението на числата във всяко от трите дадени двойкии ги сравнете с току-що получените стойности.

В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Получената стойност е различна от 4, така че не може да се извърши допълнителна проверка, но чрез теоремата, обратна на теоремата на Виета, можем незабавно да заключим, че първата двойка числа не е двойка корени на дадено квадратно уравнение.

Да преминем към втория случай. Тук, тоест, първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: , получената стойност е различна от 9/4 . Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратно уравнение.

Остана последен случай. Тук и . И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

Отговор:

Теоремата, обратната на теоремата на Виета, може да се използва на практика за избиране на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В същото време те използват факта, че ако сборът от две числа е равен на втория коефициент на квадратното уравнение, взет със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корените на това квадратно уравнение. Нека се справим с това с пример.

Нека вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0 . За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да бъдат изпълнени две равенства x 1 + x 2 \u003d 5 и x 1 x 2 \u003d 6. Остава да изберем такива номера. В този случай това е доста лесно да се направи: такива числа са 2 и 3, тъй като 2+3=5 и 2 3=6 . Така 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за прилагане при намиране на втория корен на редуцираното квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен се намира от която и да е от релациите.

Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x−3=0 . Тук е лесно да се види, че единицата е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от връзката x 1 x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, откъдето x 2 =−3/512. Така дефинирахме и двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е целесъобразен само в най-много прости случаи. В други случаи, за да намерите корените, можете да приложите формулите на корените на квадратното уравнение чрез дискриминанта.

Друг практическа употребатеоремата, обратната на теоремата на Виета, се състои в съставянето на квадратни уравнения за дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да изчислите сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числата −11 и 23.

Решение.

Означаваме x 1 =−11 и x 2 =23 . Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 + x 2 \u003d 12 и x 1 x 2 \u003d −253. Следователно, посочени числаса корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент -12 и свободен член -253 . Тоест x 2 −12·x−253=0 е желаното уравнение.

Отговор:

x 2 −12 x−253=0 .

Теоремата на Виета много често се използва при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратни уравнения. Как теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 ? Ето две уместни твърдения:

• Ако свободният член q е положително числои ако квадратното уравнение има реални корени, тогава или и двете са положителни, или и двете са отрицателни.
• Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения следват от формулата x 1 x 2 \u003d q, както и правилата за умножаване на положителни, отрицателни числаи числа с различни знаци. Помислете за примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положителен. Съгласно дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , стойността на израза r 2 +8 е положително за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега нека разберем кога имат корените различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава произведението им е отрицателно и по теоремата на Виета произведението на корените на даденото квадратно уравнение е равно на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от тези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, трябва да реши линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Отговор:

при r<1 .

Виета формули

По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме отношенията, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, четворни уравнения и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Виета формули.

Записваме формулите на Vieta за алгебрично уравнение от степен n на формата, като приемаме, че то има n реални корена x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има едни и същи):

Вземете Vieta формули позволява теорема за полиномна факторизация, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, за n=2 вече имаме познати формули на Vieta за квадратното уравнение.

За кубично уравнение формулите на Vieta имат формата

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Vieta има така наречените елементарни симетрични полиноми.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.