Максимална скорост на пружинното махало. А

Тела под действието на еластична сила, чиято потенциална енергия е пропорционална на квадрата на преместването на тялото от равновесното положение:

където k е твърдостта на пружината.

При свободни механични вибрации кинетичната и потенциалната енергия се променят периодично. При максималното отклонение на тялото от равновесното положение неговата скорост, а оттам и кинетичната енергия, се равнява на нула. В това положение потенциалната енергия на трептящото тяло достига максималната си стойност. За товар върху хоризонтално разположена пружина потенциалната енергия е енергията на еластичните деформации на пружината.

Когато тялото при своето движение преминава през равновесното положение, неговата скорост е максимална. В този момент той има максимална кинетична и минимална потенциална енергия. Нараства кинетична енергиявъзниква поради намаляване потенциална енергия. При по-нататъшно движение потенциалната енергия започва да нараства поради намаляването на кинетичната енергия и т.н.

Така по време на хармонични трептения възниква периодична трансформация на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно.

Ако няма триене в трептящата система, тогава общото механична енергияостава непроменена по време на свободни вибрации.

За пружинно натоварване:

Стартът на осцилаторното движение на тялото се извършва с помощта на бутона Старт. Бутонът Stop ви позволява да спрете процеса по всяко време.

Графично показва връзката между потенциалната и кинетичната енергия по време на трептения по всяко време. Имайте предвид, че при липса на затихване обща енергияна колебателната система остава непроменена, потенциалната енергия достига своя максимум при максималното отклонение на тялото от равновесното положение, а кинетичната енергия отнема максимална стойносткогато тялото премине през равновесно положение.

(1.7.1)

Ако топката се измести от равновесното положение на разстояние x, тогава удължението на пружината ще стане равно на Δl 0 + x. Тогава получената сила ще приеме стойността:

Като вземем предвид условието за равновесие (1.7.1), получаваме:

Знакът минус показва, че изместването и силата са в противоположни посоки.

Еластичната сила f има следните свойства:

1. Тя е пропорционална на изместването на топката от равновесното положение;
2. Тя винаги е насочена към равновесното положение.

За да кажете на системата отместването x, трябва да извършите срещу еластична силаработа:

Това работа в процес на осъществяванеза създаване на резерв от потенциална енергия на системата:

Под действието на еластична сила топката ще се движи към равновесното положение с все по-голяма скорост. Следователно потенциалната енергия на системата ще намалее, но кинетичната енергия ще се увеличи (пренебрегваме масата на пружината). След като достигне равновесно положение, топката ще продължи да се движи по инерция. Това е бавен каданс и ще спре, когато кинетичната енергия се преобразува напълно в потенциална. След това същият процес ще продължи, когато топката влезе обратна посока. Ако в системата няма триене, топката ще трепти неограничено дълго.

Уравнението на втория закон на Нютон в този случай е:

Нека трансформираме уравнението така:

Въвеждайки означението , получаваме линейна хомогенна диференциално уравнениевтора поръчка:

Чрез директно заместване е лесно да се провери това общо решениеуравнение (1.7.8) има формата:

където a е амплитудата и φ е началната фаза на трептенето - константи. Следователно, флуктуацията пружинно махалое хармоничен (фиг. 1.7.2).

Ориз. 1.7.2. хармонично трептене

Поради периодичността на косинуса, различни състояния на трептящата система се повтарят след определен период от време (период на трептене) T, през който фазата на трептене получава увеличение от 2π. Можете да изчислите периода, като използвате уравнението:

от където следва:

Броят на трептенията за единица време се нарича честота:

Единицата за честота е честотата на такова трептене, чийто период е 1 s. Тази единица се нарича 1 Hz.

От (1.7.11) следва, че:

Следователно ω 0 е броят на трептенията, направени за 2π секунди. Стойността ω 0 се нарича кръгова или циклична честота. Използвайки (1.7.12) и (1.7.13), записваме:

Диференцирайки () по отношение на времето, получаваме израз за скоростта на топката:

От (1.7.15) следва, че скоростта също се променя по хармоничния закон и изпреварва фазовото отместване с ½π. Диференцирайки (1.7.15), получаваме ускорението:

1.7.2. Математическо махало

Математическо махалосе нарича идеализирана система, състояща се от неразширима безтегловна нишкана който е окачено тяло, чиято цялата маса е съсредоточена в една точка.

Отклонението на махалото от равновесното положение се характеризира с ъгъла φ, образуван от нишката с вертикалата (фиг. 1.7.3).

Ориз. 1.7.3. Математическо махало

Когато махалото се отклони от равновесното положение, въртящ момент, което се стреми да върне махалото в равновесното му положение:

Нека напишем уравнението на динамиката на махалото въртеливо движение, като се има предвид, че неговият инерционен момент е равен на ml 2:

Това уравнение може да се доведе до формата:

Ограничавайки се до случая на малки флуктуации sinφ ≈ φ и въвеждайки обозначението:

уравнение (1.7.19) може да бъде представено по следния начин:

което съвпада по форма с уравнението на трептенията на пружинно махало. Следователно неговото решение ще бъде хармонично трептене:

От (1.7.20) следва, че цикличната честота на трептене математическо махалозависи от неговата дължина и ускорение свободно падане. Използвайки формулата за периода на трептене () и (1.7.20), получаваме известната връзка:

1.7.3. физическо махало

Физическото махало се нарича твърдоспособни да осцилират наоколо фиксирана точка, който не съвпада с центъра на инерцията. В равновесно положение центърът на инерцията на махалото C е под точката на окачване O на същия вертикал (фиг. 1.7.4).

Ориз. 1.7.4. физическо махало

Когато махалото се отклони от равновесното положение с ъгъл φ, възниква въртящ момент, който се стреми да върне махалото в равновесно положение:

където m е масата на махалото, l е разстоянието между точката на окачване и центъра на инерцията на махалото.

Нека напишем уравнението за динамиката на въртеливото движение на махалото, като вземем предвид, че инерционният момент е равен на I:

За малки флуктуации sinφ ≈ φ. След това, въвеждайки нотацията:

което също съвпада по форма с уравнението на трептенията на пружинно махало. От уравнения (1.7.27) и (1.7.26) следва, че за малки отклонения физическо махалоот положението на равновесие извършва хармонично трептене, чиято честота зависи от масата на махалото, инерционния момент и разстоянието между оста на въртене и инерционния център. Използвайки (1.7.26), можете да изчислите периода на трептене:

Сравнявайки формулите (1.7.28) и (), получаваме, че математическо махало с дължина:

ще има същия период на трептене като разглежданото физическо махало. Извиква се количеството (1.7.29). намалена дължинафизическо махало. Следователно намалената дължина на физическо махало е дължината на такова математическо махало, чийто период на трептене е равен на периода на трептене на дадено физическо махало.

Точка на права линия, свързваща точката на окачване с центъра на инерцията, която лежи на разстояние на намалената дължина от оста на въртене, се нарича люлеещ се центърфизическо махало. Според теоремата на Щайнер инерционният момент на физическото махало е:

където I 0 е инерционният момент около центъра на инерцията. Замествайки (1.7.30) в (1.7.29), получаваме:

Следователно намалената дължина винаги е по-голяма от разстоянието между точката на окачване и центъра на инерцията на махалото, така че точката на окачване и центърът на люлеене лежат на различни страниот центъра на инерцията.

1.7.4. Енергия на хармоничните вибрации

При хармонично трептене има периодично взаимно преобразуване на кинетичната енергия на трептящото тяло E k и потенциалната енергия E p, поради действието на квазиеластична сила. От тези енергии се добавя общата енергия E на осцилаторната система:

Нека напишем последния израз

Но k \u003d mω 2, така че получаваме израза за общата енергия на осцилиращото тяло

По този начин общата енергия на хармонично трептене е постоянна и пропорционална на квадрата на амплитудата и на квадрата на кръговата честота на трептенето.

1.7.5. гасени вибрации .

При учене хармонични вибрациисилите на триене и съпротивление, които съществуват в реални системи. Действието на тези сили значително променя характера на движението, трептенето става затихване.

Ако освен квазиеластичната сила в системата действат и силите на съпротивление на средата (сили на триене), тогава вторият закон на Нютон може да се запише, както следва:

където r е коефициентът на триене, който характеризира свойствата на средата да се съпротивлява на движението. Заменяме (1.7.34b) в (1.7.34a):

Графиката на тази функция е показана на фиг. 1.7.5 като плътна крива 1, а пунктирана линия 2 показва промяната в амплитудата:

При много ниско триене периодът на затихнало трептене е близък до периода на незатихване свободно трептене(1.7.35.b)

Скоростта на намаляване на амплитудата на трептенията се определя от фактор на затихване: колкото по-голямо е β, толкова по-силен е забавящият ефект на средата и толкова по-бързо намалява амплитудата. На практика често се характеризира степента на затихване логаритмичен декремент на затихване, което означава с това стойност, равна на натурален логаритъмсъотношението на две последователни амплитуди на трептене, разделени от интервал от време, равен на периода на трептене:

;

Следователно коефициентът на затихване и логаритмичен декрементзатихванията са свързани с доста проста зависимост:

При силно затихване от формула (1.7.37) се вижда, че периодът на трептене е имагинерна величина. Движението в този случай вече се нарича апериодичен. Графиката на апериодичното движение е показана на фиг. 1.7.6. Непрекъснато и затихващи трептенияНаречен собствен или Безплатно. Те възникват поради първоначалното изместване или начална скорости се извършват в отсъствие външно влияниеот първоначално съхранената енергия.

1.7.6. Принудителни вибрации. Резонанс .

принудени трептения са тези, които възникват в системата с участието външна сила, която варира според периодичния закон.

Да приемем, че на материална точкав допълнение към квазиеластичната сила и силата на триене действа външна движеща сила

,

където F 0 - амплитуда; ω - кръгова честота на трептенията на движещата сила. Съставяме диференциално уравнение (втори закон на Нютон):

,

Амплитудата на принудителното трептене (1.7.39) е право пропорционална на амплитудата на движещата сила и има сложна зависимоствърху коефициента на затихване на средата и кръговите честоти на собствените и принудените трептения. Ако за системата са дадени ω 0 и β, тогава амплитудата принудителни вибрацииима максимална стойност при някои определена честотапринудителна сила т.нар резонансен.

Самото явление - достигане на максимална амплитуда за дадени ω 0 и β - се нарича резонанс.

Ориз. 1.7.7. Резонанс

При липса на съпротивление амплитудата на принудените трептения при резонанс е безкрайно голяма. В този случай от ω res = ω 0, т.е. резонанс в система без затихване възниква, когато честотата на движещата сила съвпада с честотата на собствените трептения. Графична зависимост на амплитудата на принудените трептения от кръговата честота на движещата сила при различни значениякоефициентът на затихване е показан на фиг. 5.

Механичният резонанс може да бъде както полезен, така и вреден. Вредният ефект на резонанса се дължи главно на разрушаването, което може да причини. Така че, в технологията, като се вземат предвид различните вибрации, е необходимо да се осигурят възможни явлениярезонансни условия, в противен случай може да има разрушения и бедствия. Телата обикновено имат няколко собствени честоти на трептене и съответно няколко резонансни честоти.

Ако коефициентът на затихване на вътрешните органи на човек не би бил голям, тогава резонансните явления, възникнали в тези органи под въздействието на външни вибрации или звукови вълни, може да доведе до трагични последици: разкъсване на органи, увреждане на връзки и др. Такива явления обаче практически не се наблюдават при умерени външни въздействия, тъй като коефициентът на затихване на биологичните системи е доста голям. Въпреки това, резонансни явления под действието на външни механични вибрациисе проведе по време на вътрешни органи. Това, очевидно, е една от причините за негативното въздействие на инфразвуковите трептения и вибрации върху човешкото тяло.

1.7.7. Автоколебания

Съществуват и такива осцилаторни системи, които сами регулират периодичното попълване на изразходваната енергия и следователно могат да се колебаят за дълго време.

Незатихващите трептения, които съществуват във всяка система при липса на променливо външно влияние, се наричат собствени трептения, и самите системи самоосцилиращ.

Амплитудата и честотата на автоколебанията зависят от свойствата на самата автоколебателна система, за разлика от принудителните трептения, те не се определят от външни влияния.

В много случаи автоколебателните системи могат да бъдат представени от три основни елемента (фиг. 1.7.8): 1) действителната трептяща система; 2) източник на енергия; 3) регулатор на енергоснабдяването на действителната осцилаторна система. Осцилираща система по канал обратна връзка(фиг. 6) влияе на регулатора, като информира регулатора за състоянието на тази система.

Класически пример за механична самоосцилираща система е часовник, в който махало или баланс е осцилираща система, пружина или повдигната тежест е източник на енергия, а котвата е регулатор на входящата енергия от източник в осцилаторна система.

много биологични системи(сърце, бели дробове и др.) са автоколебателни. Типичен пример за електромагнитна автоколебателна система са генераторите на автоколебателни трептения.

1.7.8. Добавяне на вибрации в една посока

Помислете за добавянето на две хармонични трептения с еднаква посока и еднаква честота:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2).

Хармонично трептене може да се зададе с помощта на вектор, чиято дължина е равна на амплитудата на трептенията, а посоката образува ъгъл с някаква ос, равна на началната фаза на трептенията. Ако този вектор се върти с ъглова скоростω 0 , тогава неговата проекция върху избраната ос ще се промени според хармоничния закон. Въз основа на това избираме някаква ос X и представяме трептенията с помощта на векторите a 1 и a 2 (фиг. 1.7.9).

От фигура 1.7.6 следва, че

.

Схеми, в които трептенията се изобразяват графично като вектори в равнина, се наричат ​​векторни диаграми.

Това следва от формула 1.7.40. Че ако фазовата разлика на двете трептения е равна на нула, амплитудата на полученото трептене е равна на сумата от амплитудите на добавените трептения. Ако фазовата разлика на добавените трептения е равна на , то амплитудата на полученото трептене е равна на . Ако честотите на добавените трептения не са еднакви, тогава векторите, съответстващи на тези трептения, ще се въртят с различни скорости. В този случай полученият вектор пулсира по величина и се върти с непостоянна скорост. Следователно в резултат на добавянето се получава не хармонично трептене, а сложен колебателен процес.

1.7.9. удари

Помислете за добавянето на две хармонични трептения в една и съща посока, леко различни по честота. Нека честотата на единия от тях е равна на ω , а честотата на втория ω + ∆ω и ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t.

Събирайки тези изрази и използвайки формулата за сумата от косинусите, получаваме:

Трептенията (1.7.41) могат да се разглеждат като хармонични трептения с честота ω, чиято амплитуда варира според закона . Тази функция е периодична с честота два пъти по-голяма от честотата на израза под знака на модула, т.е. с честота ∆ω. По този начин честотата на амплитудните пулсации, наречена честота на биене, е равна на разликата в честотите на добавените трептения.

1.7.10. Добавяне на взаимно перпендикулярни вибрации (фигури на Лисажу)

Ако материална точка осцилира както по оста x, така и по оста y, тогава тя ще се движи по някаква криволинейна траектория. Нека честотата на трептене е една и съща и началната фаза на първото трептене е равна на нула, тогава записваме уравненията на трептене във формата:

Уравнение (1.7.43) е уравнението на елипса, чиито оси са произволно ориентирани спрямо координатните оси x и y. Ориентацията на елипсата и размерът на нейните полуоси зависят от амплитудите a и b и фазовата разлика α. Нека разгледаме някои специални случаи:

(m=0, ±1, ±2, …). В този случай уравнението има формата

Това е уравнението на елипса, чиито оси съвпадат с координатните оси, а нейните полуоси са равни на амплитудите (фиг. 1.7.12). Ако амплитудите са равни, тогава елипсата става кръг.

Фиг.1.7.12

Ако честотите на взаимно перпендикулярни трептения се различават с малко ∆ω, те могат да се разглеждат като трептения със същата честота, но с бавно променяща се фазова разлика. В този случай могат да се напишат уравненията на трептенията

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

и изразът ∆ωt+α се разглежда като фазова разлика, която бавно се променя с времето според линеен закон. Полученото движение в този случай следва бавно променяща се крива, която последователно ще приеме формата, съответстваща на всички стойности на фазовата разлика от -π до +π.

Ако честотите на взаимно перпендикулярните трептения не са еднакви, тогава траекторията на полученото движение има формата на доста сложни криви, т.нар. Фигури на Лисажу. Нека, например, честотите на добавените трептения се отнасят към 1 : 2 и фазова разлика π/2. Тогава уравненията на трептенията имат формата

x=a cos ωt, y=b cos.

Докато по оста x точката успява да се премести от едно крайно положение в друго, по оста y, излизайки от нулевата позиция, тя успява да достигне едно крайно положение, след това друго и да се върне. Изгледът на кривата е показан на фиг. 1.7.13. Кривата със същото съотношение на честотите, но фазовата разлика равна на нула, е показана на фиг. 1.7.14. Съотношението на честотите на добавените трептения е обратно на отношението на броя на точките на пресичане на фигурите на Лисажу с прави линии, успоредни на координатните оси. Следователно, чрез появата на фигурите на Лисажу, може да се определи съотношението на честотите на добавените трептения или неизвестна честота. Ако една от честотите е известна.

Фиг.1.7.13

Фиг.1.7.14

Колкото по-близо до единица е рационалната дроб, изразяваща съотношението на честотите на вибрациите, толкова по-сложни са получените фигури на Лисажу.

1.7.11. Разпространение на вълната в еластична среда

Ако в някое място на еластична (твърда течна или газообразна) среда се възбудят вибрации на нейните частици, тогава поради взаимодействието между частиците тази вибрация ще се разпространява в средата от частица към частица с определена скорост υ. се нарича процесът на разпространение на трептенията в пространството вълна.

Частиците на средата, в която се разпространява вълната, не са въвлечени от вълната в постъпателно движение, те само осцилират около своите равновесни положения.

В зависимост от посоките на трептенията на частиците по отношение на посоката, в която се разпространява вълната, има надлъжни и напреченвълни. При надлъжна вълна частиците на средата осцилират по посока на разпространението на вълната. При напречна вълна частиците на средата осцилират в посоки, перпендикулярни на посоката на разпространение на вълната. Еластични напречни вълни могат да възникнат само в среда с устойчивост на срязване. Следователно в течни и газообразни среди могат да възникнат само надлъжни вълни. В твърда среда е възможно възникването както на надлъжни, така и на напречни вълни.

На фиг. 1.7.12 показва движението на частиците по време на разпространение в среда на напречна вълна. Числата 1, 2 и т.н. означават частици, които изостават една от друга на разстояние, равно на (¼ υT), т.е. от разстоянието, изминато от вълната за една четвърт от периода на трептенията, направени от частиците. В момента, приет за нулев, вълната, разпространяваща се по оста отляво надясно, достигна частица 1, в резултат на което частицата започна да се движи нагоре от равновесното положение, увличайки следващите частици със себе си. След една четвърт от периода частица 1 достига най-горната равновесна позиция на частица 2. След още една четвърт от периода първата част ще премине равновесното положение, движейки се в посока отгоре надолу, втората частица ще достигне най-горната позиция, а третата частица ще започне да се движи нагоре от равновесната позиция. В момент от време, равен на T, първата частица ще завърши пълния цикъл на трептене и ще бъде в същото състояние на движение като началния момент. Вълната към момента T, след като е преминала пътя (υT), ще достигне до частица 5.

На фиг. 1.7.13 показва движението на частици по време на разпространение в среда на надлъжна вълна. Всички съображения относно поведението на частиците в напречна вълна могат да се приложат и към този случай, като изместванията нагоре и надолу се заменят с измествания надясно и наляво.

От фигурата се вижда, че при разпространението на надлъжна вълна в средата се създават редуващи се кондензации и разреждания на частици (местата на кондензация са оградени на фигурата с пунктирана линия), движещи се по посока на разпространение на вълната със скорост υ.

Ориз. 1.7.15

Ориз. 1.7.16

На фиг. 1.7.15 и 1.7.16 показва трептения на частици, чиито позиции и равновесия лежат на оста х.В действителност не само частиците осцилират по оста х,а сбор от частици, затворени в определен обем. Разпространявайки се от източниците на трептения, вълновият процес обхваща все повече и повече части от пространството, местоположението на точките, до които достигат трептенията към момента t, се нарича фронт на вълната(или фронт на вълната). Вълновият фронт е повърхността, която разделя частта от пространството, която вече е въвлечена във вълновия процес, от областта, в която трептенията все още не са възникнали.

Географското място на точките, осцилиращи в една и съща фаза, се нарича вълнова повърхност . Вълновата повърхност може да бъде начертана през всяка точка от пространството, обхванато от вълновия процес. Следователно има безкраен брой вълнови повърхности, докато във всеки момент има само един вълнов фронт. Вълновите повърхности остават неподвижни (преминават през равновесните позиции на частици, осцилиращи в една и съща фаза ). Вълновият фронт се движи постоянно.

Вълновите повърхности могат да бъдат с всякаква форма. В най-простите случаи те имат формата на равнина или сфера. Съответно вълната в тези случаи се нарича плоска или сферична. При плоска вълна вълновите повърхности са набор от равнини, успоредни една на друга, при сферична вълна - набор от концентрични сфери.

Ориз. 1.7.17

Нека плоска вълна се разпространява по оста х. Тогава всички точки на сферата, позициите, равновесията на които имат една и съща координата х(но разликата в стойностите на координатите ги z),трептят в една и съща фаза.

На фиг. 1.7.17 показва крива, която дава отместване ξ от равновесното положение на точки с различни хв някакъв момент от време. Тази рисунка не трябва да се приема като видимо изображение на вълна. Фигурата показва графика на функциите ξ (x, t)за някои фиксирани точка във времето T.Такава графика може да се изгради както за надлъжни, така и за напречни вълни.

Разстоянието λ за къса вълна, която се разпространява за време, равно на периода на трептене на частиците на средата, се нарича дължина на вълната. Очевидно е, че

където υ е скоростта на вълната, T е периодът на трептене. Дължината на вълната може да се определи и като разстоянието между най-близките точки на средата, осцилираща с фазова разлика, равна на 2π (виж Фиг. 1.7.14)

Заменяйки във връзка (1.7.45) T с 1/ν (ν е честотата на трептене), получаваме

До тази формула може да се стигне и от следните съображения. За една секунда източникът на вълна извършва ν трептения, генерирайки в средата по време на всяко трептене един "гребен" и един "корито" на вълната. Докато източникът завърши ν -тото колебание, първият "гребен" ще има време да премине през пътя υ. Следователно, ν „гребени“ и „корита“ на вълната трябва да се поберат в дължината υ.

1.7.12. Уравнение на плоска вълна

Вълновото уравнение е израз, който дава изместването на осцилираща частица като функция на нейните координати x, y, z и време T :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(има предвид координатите на равновесното положение на частицата). Тази функция трябва да бъде периодична по отношение на времето T , и спрямо координатите x, y, z. . Периодичността във времето следва от факта, че точките са отдалечени една от друга на разстояние λ , се колебаят по същия начин.

Намерете вида на функцията ξ в случай на плоска вълна, като приемем, че трептенията са хармонични. За да опростим, насочваме координатните оси така, че оста х съвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновите повърхности ще бъдат перпендикулярни на оста х и тъй като всички точки от вълновата повърхност трептят еднакво, преместването ξ ще зависи само от х и T:

ξ = ξ (x, t) .

Фиг.1.7.18

Нека трептения на точки, лежащи в равнината х = 0 (фиг. 1.7.18), имат формата

Нека намерим вида на трептене на точки в равнината, съответстващи на произволна стойност х . Да отидеш далеч от самолета х=0 до тази равнина вълната отнема време ( υ е скоростта на разпространение на вълната). Следователно, трептения на частици, лежащи в равнината х , ще изостане във времето с τ от вибрации на частици в равнината х = 0 , т.е. ще изглежда като

Така, уравнение на равнинна вълна(надлъжни и напречни), разпространяващи се по посока на оста х , както следва:

Този израз определя връзката между времето t и това място х , в който фазата има фиксирана стойност. Получената dx/dt стойност дава скоростта, с която се движи дадената фазова стойност. Диференцирайки израза (1.7.48), получаваме

Уравнението на вълна, разпространяваща се в посока на намаляване х :

При извеждането на формула (1.7.53) приехме, че амплитудата на трептене не зависи от х . За плоска вълна това се наблюдава, когато вълновата енергия не се абсорбира от средата. При разпространение в енергопоглъщаща среда интензитетът на вълната постепенно намалява с отдалечаване от източника на трептенията - наблюдава се затихване на вълната. Опитът показва, че в хомогенна среда такова затихване се извършва по експоненциален закон:

Съотв уравнение на равнинна вълна, като се има предвид затихването, има следната форма:

(1.7.54)

(a 0 е амплитудата в точките на равнината x = 0).

Когато в училище има трептения, те се илюстрират с два от най-простите примери: тежест върху пружина и математическо махало (т.е. точка на тежест върху неразтеглива нишка) в полето на гравитацията. И в двата случая се наблюдава важна закономерност в трептенията: периодът им не зависи от амплитудата - поне докато тази амплитуда остава малка - а се определя само от механичните свойства на системата.

Сега нека комбинираме тези два примера и да разгледаме вибрациите на тежест, окачена на опъваща пружина в гравитационно поле (фиг. 1).

За простота пренебрегваме третото измерение и приемаме, че това пружинно махало осцилира стриктно в равнината на фигурата. В този случай тежестта (която също се счита за точкова тежест) може да се движи във вертикална равнина в произволна посока, а не само нагоре и надолу или наляво и надясно, както е показано на фиг. 2. Но ако отново се ограничим само до малки отклонения от равновесното положение, тогава хоризонталните и вертикалните колебания възникват почти независимо, със собствени периоди T xи T y.

Изглежда, че тъй като тези колебания се определят от напълно различни сили и характеристики на системата, тогава техните периоди могат да бъдат напълно произволни, по никакъв начин не свързани помежду си. Оказва се – не!

Задача

Докажиче за такова махало периодът на хоризонталните колебания винаги е по-голям от периода на вертикалните: T x > T y.

Улика

Първоначално проблемът може да ви изненада с факта, че изглежда, че в него нищо не е дадено, но нещо трябва да се докаже. Но тук няма нищо лошо. Когато проблемът е формулиран по този начин, това означава, че можете да въведете за себе си някои обозначения, които ви трябват, да изчислите с тях какво се изисква и след това да стигнете до заключение, което вече е не зависиот тези стойности. Направете го за тази задача. Вземете формулите за периодите на колебание, помислете за включените количества и сравнете двата периода един с друг, като разделите един на друг.

Решение

Периодът на колебание на масовото тегло мвърху втвърдяваща пружина ки дължина Л 0 е

.

Тази формула не се променя дори ако тежестта е окачена в гравитационното поле с ускорение на свободното падане ж. Разбира се, равновесното положение на тежестта ще се измести надолу до височина Δ L = mg/k- при такова удължение на пружината еластичната сила компенсира силата на гравитацията. Но периодът на вертикално колебание около това ново равновесно положение с опъната пружина ще остане същият.

Периодът на хоризонталните трептения на разтегнато махало се изразява чрез гравитационното ускорение жИ неговият пълендължина L = L 0 +Δ Л:

.

Именно благодарение на допълнителното разтягане в гравитационното поле установяваме това

Това е цялото решение.

Послеслов

Въпреки привидната си простота, махало върху пружина е система, която е доста богата на явления. Това е един от най-простите примери за сладко явление - резонансът на Ферми. Състои се в това. Най-общо казано, ако тежестта по някакъв начин бъде издърпана и освободена, тогава тя ще осцилира както вертикално, така и хоризонтално. Тези два вида трептене просто ще се припокриват и няма да си пречат. Но ако периодите на вертикални и хоризонтални колебания са свързани с връзката T x = 2T y, тогава хоризонталните и вертикалните трептения, сякаш против волята си, постепенно ще се превърнат едно в друго, както в анимацията вдясно. Енергията на вибрациите ще бъде така да се каже, изпомпвана от вертикални вибрации към хоризонтални вибрации и обратно.

Изглежда така: дърпате тежестта надолу и я отпускате. Първоначално трепти само нагоре-надолу, после от само себе си започва да се люлее настрани, за момент трептенето става почти напълно хоризонтално и след това отново се връща във вертикала. Изненадващо, строго вертикално трептене се оказва нестабилно.

Обяснение на този забележителен ефект, както и на магическото съотношение T x:T y= 2:1, това е. Означаваме с хи готклонения на тежестта от равновесното положение (ос гнасочен нагоре). При такова отклонение потенциалната енергия нараства с количество

Това е точна формула, подходяща е за всякакви отклонения, големи и малки. Но ако хи гмалък, много по-малко Л, тогава изразът е приблизително равен на

плюс други термини, съдържащи още по-високи степени на отклонение. Количества U yи U xса обикновени потенциални енергии, от които се получават вертикални и хоризонтални трептения. И тук е стойността, маркирана в синьо Уксие специална добавка, която генерира взаимодействиемежду тези вибрации. Поради това малко взаимодействие, вертикалните вибрации влияят на хоризонталните вибрации и обратно. Това става доста ясно, ако извършим изчисленията по-нататък и напишем уравнението за хоризонтални и вертикални колебания:

където нотацията

Без синята добавка бихме имали обичайните независими трептения вертикално и хоризонтално с честоти ωyи ω x. Тази добавка играе роля движеща сила, допълнително изпомпване на вибрации. Ако честотите ωyи ω xса произволни, тогава тази малка сила не води до някакъв значителен ефект. Но ако отношението ωy = 2ω x, настъпва резонанс: движещата сила и за двата вида трептения съдържа компонент със същата честота като самото трептене. В резултат на това тази сила бавно, но постоянно натрупва един вид трептене и потиска друг. Ето как хоризонталните и вертикалните вибрации преливат една в друга.

Допълнителни красоти възникват, ако в този пример честно се вземе предвид третото измерение. Приемаме, че тежестта може да свива-разтваря пружината вертикално и да се люлее като махало в две хоризонтални посоки. Тогава, когато условието за резонанс е изпълнено, когато се гледа отгоре, тежестта изписва звездна траектория, както например на фиг. 3. Това се случва, защото равнината на трептене не остава неподвижна, а се върти - но не плавно, а сякаш на скокове. Докато колебанието се движи от една страна на друга, тази равнина се задържа повече или по-малко и завъртането се случва в този кратък интервал, когато колебанието е почти вертикално. Каним читателите сами да помислят какви са причините за това поведение и какво определя ъгъла на завъртане на самолета. А тези, които искат да се потопят с глава в тази доста дълбока задача, могат да прегледат статията Стъпаловидна прецесия на резонансната люлееща се пружина, която не само предоставя подробен анализ на проблема, но също така говори за неговата история и връзката на този проблем с други раздели на физиката, по-специално с атомната физика.

Пружинното махало е осцилаторна система, състояща се от материална точка с маса m и пружина. Помислете за хоризонтално пружинно махало (фиг. 13.12, а). Представлява масивно тяло, пробито в средата и поставено на хоризонтален прът, по който може да се плъзга без триене (идеална трептяща система). Прътът е фиксиран между две вертикални опори. В единия край към тялото е прикрепена безтегловна пружина. Другият му край е закрепен върху опора, която в най-простия случай е в покой спрямо инерциалната отправна система, в която се колебае махалото. В началото пружината не е деформирана и тялото е в равновесно положение C. Ако чрез разтягане или компресиране на пружината тялото се изведе от равновесие, тогава от страната на деформираната пружина ще започне еластична сила да действа върху него, винаги насочен към равновесното положение. Нека свием пружината, премествайки тялото в позиция А, и отпуснем \((\upsilon_0=0).\) Под действието на еластичната сила то ще се движи по-бързо. В този случай в позиция А върху тялото действа максималната еластична сила, тъй като тук абсолютното удължение x m на пружината е най-голямо. Следователно в това положение ускорението е максимално. Когато тялото се премести в равновесно положение, абсолютното удължение на пружината намалява и следователно ускорението, придадено от еластичната сила, намалява. Но тъй като ускорението при това движение е сънасочено със скоростта, скоростта на махалото се увеличава и в равновесно положение ще бъде максимална. След като достигне равновесно положение C, тялото няма да спре (въпреки че в това положение пружината не се деформира и еластичната сила е нула), но имайки скорост, тя ще се движи по-нататък по инерция, разтягайки пружината. Възникналата еластична сила сега е насочена срещу движението на тялото и го забавя. В точка D скоростта на тялото ще бъде равна на нула, а ускорението е максимално, тялото ще спре за момент, след което под действието на еластичната сила ще започне да се движи в обратна посока, до равновесното положение. Преминавайки го отново по инерция, тялото, компресирайки пружината и забавяйки движението, ще достигне точка А (тъй като няма триене), т.е. прави пълен размах. След това движението на тялото ще се повтори в описаната последователност. И така, причините за свободните колебания на пружинното махало са действието на еластичната сила, която възниква, когато пружината се деформира, и инерцията на тялото.

Според закона на Хук \(~F_x=-kx.\) Според втория закон на Нютон \(~F_x = ma_x.\) Следователно \(~ma_x = -kx.\) Следователно

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) или \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - динамично уравнение на движение на пружинно махало.

Виждаме, че ускорението е право пропорционално на преместването и насочено обратно на него. Сравнявайки полученото уравнение с уравнението на хармоничните трептения \(~a_x + \omega^2 x = 0,\), виждаме, че пружинното махало извършва хармонични трептения с циклична честота \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Тъй като \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) тогава

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) е периодът на трептене на пружинното махало.

Същата формула може да се използва за изчисляване на периода на трептене на вертикално пружинно махало (фиг. 13.12. b). Наистина, в равновесно положение, поради действието на гравитацията, пружината вече е опъната с определено количество x 0, определено от съотношението \(~mg=kx_0.\) Когато махалото се измести от равновесното положение Она хпроекция на еластична сила \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) и според втория закон на Нютон \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Като заместим тук стойността \( ~kx_0 =mg,\) получаваме уравнението на движение на махалото \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\), съвпадащо с уравнението на движение на хоризонталното махало.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в гимназията: теория. Задачи. Тестове: Proc. надбавка за институции, осигуряващи общ. среда, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Изд. К. С. Фарино. - Мн.: Адукация и вихване, 2004. - С. 377-378.

1. Действието върху тялото на еластична сила, пропорционална на изместването на тялото x от равновесното положение и винаги насочена към това положение.

2. Инерция на трептящо тяло, поради което то не спира в равновесно положение (когато еластичната сила изчезне), а продължава да се движи в същата посока.

Изразът за цикличната честота е:

където w е цикличната честота, k е твърдостта на пружината, m е масата.

Тази формула показва, че честотата на свободните трептения не зависи от началните условия и се определя напълно от собствените характеристики на самата осцилаторна система - в този случай твърдостта k и масата m.

Този израз определя период на свободно трептене на пружинно махало.

Край на работата -

Тази тема принадлежи на:

Скорост на движение средна земна скорост моментна скорост/скорост на движение

Точковата кинематика е раздел от кинематиката, който изучава математическото описание на движението на материалните точки. Основната задача на кинематиката е .. основната задача на механиката е да определи положението на тялото във всеки момент .. механичното движение е промяна в позицията на едно тяло в пространството във времето спрямо други тела ..

Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

туит

Всички теми в този раздел:

Енергия на еластичните вълни
вектор на плътността на енергийния поток на физическото поле; числено равно на енергия

Законът на Максуел за разпределението на молекулите според скоростите на топлинно движение
Законът на Максуел се описва от някаква функция f(v), наречена функция на разпределение на скоростта на молекулите. Ако разделим обхвата на скоростите на молекулите на малки интервали, равни на dv, тогава

Топлина
Топлината е един от двата метода за пренос на енергия, познати на съвременната естествена наука - мярка за пренос на неуредено движение. Количеството предадена енергия се нарича количество топлина.

Топлинни двигатели и хладилни машини. Цикъл на Карно
Цикълът на Карно е идеален термодинамичен цикъл. Работещ топлинен двигател на Карно