Правоъгълна координатна система. Правоъгълна координатна система на равнината

Правоъгълната координатна система на равнината се задава от две взаимно перпендикулярни прави. Правите линии се наричат координатни оси (или координатни оси). Пресечната точка на тези прави се нарича начало и се обозначава с буквата О.

Обикновено една от линиите е хоризонтална, другата е вертикална. Хоризонталната линия е обозначена като ос x (или Ox) и се нарича абсцисната ос, вертикалната е оста y (Oy), нарича се ординатна ос. Цялата координатна система се означава с xOy.

Точката O разделя всяка от осите на две полуоси, едната от които се счита за положителна (обозначена е със стрелка), а другата се счита за отрицателна.

На всяка точка F от равнината се задава двойка числа (x;y) — нейните координати.

Координатата x се нарича абциса. То е равно на Ox, взето със съответния знак.

Координатата y се нарича ордината и е равна на разстоянието от точката F до оста Oy (със съответния знак).

Разстоянията между осите обикновено (но не винаги) се измерват в една и съща единица дължина.

Точките отдясно на оста y имат положителни абсциси. За точки, които лежат отляво на оста y, абсцисите са отрицателни. За всяка точка, лежаща на оста Oy, нейната x-координата е равна на нула.

Точките с положителна ордината лежат над оста x, тези с отрицателна ордината лежат отдолу. Ако дадена точка лежи на оста x, нейната y-координата е нула.

Координатните оси разделят равнината на четири части, които се наричат координатни четвъртини (или координатни ъгли или квадранти).

1 координатна четвъртразположен в горния десен ъгъл на координатната равнина xOy. И двете координати на точките, разположени в I четвърт, са положителни.

Преходът от една четвърт към друга се извършва обратно на часовниковата стрелка.

2-ра четвъртразположен в горния ляв ъгъл. Точките, разположени във втората четвърт, имат отрицателна абциса и положителна ордината.

3-та четвъртлежи в долния ляв квадрант на равнината xOy. И двете координати на точките от III координатен ъгъл са отрицателни.

4-та координатна четвърте долният десен ъгъл на координатната равнина. Всяка точка от IV четвърт има положителна първа координата и отрицателна втора.

Пример за местоположението на точки в правоъгълна координатна система:

1. Правоъгълна координатна система на равнината

Правоъгълна координатна система в равнина се образува от две взаимно перпендикулярни координатни оси х"хи Y"Y О, което се нарича начало, всяка ос има положителна посока. AT дясна ръкакоординатна система, положителната посока на осите е избрана така, че с посоката на ос Y"Yнагоре, ос х"хпогледна надясно.

Четири ъгъла (I, II, III, IV), образувани от координатните оси х"хи Y"Y, се наричат координатни ъгли или квадранти (виж фиг. 1).

Точкова позиция Ана равнината се определя от две координати хи г. Координирайте хравна на дължината на отсечката ОВ, координирайте г- дължина на сегмента OCв избраните мерни единици. Сегменти ОВи OCопределени от линии, изтеглени от точка Ауспоредни на осите Y"Yи х"хсъответно. Координирайте хНаречен абсцисататочки А, координирайте г - ординататочки А. Написано така: А х, г)

Ако точка Алежи в координатния ъгъл I, тогава точката Аима положителна абциса и ордината. Ако точка Алежи в координатния ъгъл II, тогава точката Аима отрицателна абциса и положителна ордината. Ако точка Алежи в координатния ъгъл III, тогава точката Аима отрицателна абциса и ордината. Ако точка Алежи в координатния ъгъл IV, тогава точката Аима положителна абциса и отрицателна ордината.

2. Полярни координати.

Полярна мрежа с няколко ъгъла, отбелязани в градуси.

Полярна координатна система- двумерна координатна система, в която всяка точка от равнината се определя от две числа - ъгъл и разстояние. Полярната координатна система е особено полезна, когато връзките между точките са по-лесни за представяне като разстояния и ъгли; в по-разпространената декартова или декартова координатна система такива връзки могат да бъдат установени само чрез прилагане на тригонометрични уравнения.

Полярната координатна система се задава от лъч, който се нарича нулева или полярна ос. Точката, от която излиза този лъч, се нарича начало или полюс. Всяка точка от равнината се определя от две полярни координати: радиална и ъглова. Радиална координата (обикновено се обозначава r) съответства на разстоянието от точката до началото. Ъгловата координата, наричана още полярен ъгъл или азимут и обозначавана с φ, е равна на ъгъла, на който полярната ос трябва да се завърти обратно на часовниковата стрелка, за да стигне до тази точка.

Определената по този начин радиална координата може да приема стойности от нула до безкрайност, а ъгловата координата варира от 0° до 360°. Въпреки това, за удобство, диапазонът от стойности на полярната координата може да бъде разширен отвъд пълния ъгъл и също така да бъде позволено да се вземат отрицателни стойности, което съответства на въртенето на полярната ос по посока на часовниковата стрелка.

3. Разделяне на сегменти в това отношение.

Необходимо е да се раздели отсечката AB, свързваща точките A(x1;y1) и B(x2;y2) в дадено отношение λ > 0, т.е..jpg" align="left" width="84 height=84" height =" 84">

Решение: Нека представим вектори https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src="> т.е. и т.е.

Уравнение (9.1) приема формата

Като се има предвид това равни векториимат равни координати, получаваме:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) и

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Формули (9.2) и (9.3) се наричат формули за разделяне на сегменти в това отношение. По-специално, за λ = 1, т.е..gif" width="54" height="29 src=">. В този случай точката M(x;y) е средата на сегмента AB.

коментар:

Ако λ = 0, това означава, че точките A и M съвпадат, ако λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. Разстояние между точките.

Изисква се да се намери разстоянието d между точките A(x1;y1) и B(x2;y2) на равнината.

Решение: Желаното разстояние d е равно на дължината на вектора, т.е.

5. Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Ако две произволни точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) са маркирани на права линия в пространството, тогава координатите на тези точки трябва да удовлетворяват уравнението на правата линия, получено по-горе:

Освен това за точка M1 можем да запишем:

Решавайки тези уравнения заедно, получаваме:

Това е уравнението на права линия, минаваща през две точки в пространството.

6. Детерминанти от 2-ри ред.

Стойността на детерминанта от 2-ри ред се изчислява лесно по дефиниция с помощта на формула.

7. Детерминанти от 3-ти ред.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> схема за изчисляване на детерминанта по метода на триъгълника, т.е.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Решение на SLEE по метода на Крамер.

Теорема на Крамър: Система от N уравнения с N неизвестни, чиято детерминанта е различна от нула, винаги има решение, освен това е единствена. Намира се по следния начин: стойността на всяко от неизвестните е равна на дроб, чийто знаменател е детерминантата на системата, а числителят се получава от детерминантата на системата със замяната на колоната от коефициенти в неизвестните неизвестни с колоната на необходимите членове.

Тази система от уравнения ще има уникално решение само когато детерминантата, съставена от коефициентите при X1 - n, не е равна на нула. Нека означим тази детерминанта със знака - Δ. Ако този детерминант не е равен на нула, тогава решаваме допълнително. Тогава всеки Xi = Δi / Δ, където Δi е детерминантата, съставена от коефициентите при X1 - n, само стойностите на коефициентите в i -та колона се заменят със стойности зад знака за равенство в системата на уравнения, а Δ е основната детерминанта

Система от N-ти ред https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Решение на SLE по матричен метод.

Матриците позволяват накратко да се напише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> и матрични колони на неизвестни и безплатни членове

Да намерим продукта

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> или по-къс А∙X=B.

Ето матрици Аи бса известни, а матрицата хнеизвестен. Тя трябва да бъде намерена, тъй като нейните елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратната на матрицата А: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Решете следната система от уравнения по матричен начин:

Внимание: Нулите се появяват, ако няма нито една променлива, т.е., например, ако X3 не е дадено в условието, тогава то автоматично е равно на нула. Същото с X1 и X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Отговор:

# даденост:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Отговор:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Нека намерим обратната матрица.

Извадете първия ред от всички редове под него. Това действие не противоречи на елементарните матрични трансформации.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Извадете 3-тия ред от всички редове над него. Това действие не противоречи на елементарните матрични трансформации.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Привеждаме всички коефициенти на главния диагонал на матрицата до 1. Разделете всеки ред от матрицата на коефициента на този ред, разположен на главния диагонал, ако не е равен на 1. Квадратната матрица, която се оказа на вдясно от единичната матрица, е обратна на основната.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Вектори. Добавяне на вектори.

http://www. bigpi. *****/енцикл/статии/15/1001553/1001553A. htm

вектор наричат величина, характеризираща се с числова стойност, посока в пространството и се развива с друга, подобна стойност геометрично.

Графично векторите се изобразяват като насочени прави сегменти с определена дължина, като https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> или DIV_ADBLOCK254">

Векторно добавяне:Сумата от векторите a(a1; a2) и b(b1; b2) е векторът c(a1+b1; a2+b2). За всякакви вектори a(a1; a2), b(b1; b2), c(c1; c2) равенствата са верни:

Теорема: Каквито и да са трите точки A, B и C, векторното равенство е в сила

При добавяне двевекторите често използват т.нар. правило на успоредник". В този случай се изгражда успоредник, като се използват членовете на векторите като негови съседни страни. Диагоналът на успоредника, изтеглен от точката, където са свързани началата на векторите, е търсената сума (фиг. 4, вляво).

Лесно се вижда (фиг. 4, вдясно), че това правило води до същия резултат като горния метод. При добавяне на повече от два вектора " правило на успоредник» практически не се използва поради тромавите конструкции. Векторното добавяне е комутативно, т.е.
а + b = b + а.

И все пак сумата от определен брой вектори не зависи от реда, в който са добавени, т.е. а + b) + д = а + (b + д). В този случай казваме, че добавянето на вектори е асоциативно, тоест за него важи асоциативният закон.

12. Скаларно произведение на вектори.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Точковият продукт на векторите е операция върху два вектора, която води до число (не вектор).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

С други думи, скаларното произведение на векторите е равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях. Трябва да се отбележи, че ъгълът между два вектора е ъгълът, който те образуват, ако са отложени от една точка, т.е. началото на векторите трябва да съвпадат.

Следните прости свойства следват директно от дефиницията:

1. Скаларното произведение на произволен вектор a и себе си (скаларен квадрат на вектор а) винаги е неотрицателна и е равна на квадрата на дължината на този вектор. Освен това, скаларният квадрат на вектор е равен на нула тогава и само ако дадения вектор е нула.

2. Скаларното произведение на всеки перпендикулярен вектор a и b е равно на нула.

3. Скаларното произведение на два вектора е равно на нула тогава и само ако те са перпендикулярни или поне един от тях е нула.

4. Скаларното произведение на два вектора a и b е положително тогава и само ако между тях има остър ъгъл.

5. Скаларното произведение на два вектора a и b е отрицателно тогава и само ако между тях има тъп ъгъл.

Алтернативна дефиниция на скаларното произведение или изчисляване на скаларното произведение на два вектора, дадени от техните координати.

(Много е лесно да се изчислят координатите на вектор, дадени неговите начални и крайни координати.:

Нека има вектор AB, A - началото на вектора, B - краят и координатите на тези точки

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Тогава координатите на вектора AB:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

По същия начин в двумерното пространство - просто няма трети координати)

И така, нека са дадени два вектора, дадени от набор от техните координати:

а) В двумерно пространство (на равнина)..gif" width="49" height="19 src=">

Тогава тяхното скаларно произведение може да се изчисли по формулата:

б) В триизмерното пространство: ;

Подобно на двумерния случай, тяхното скаларно произведение се изчислява по формулата:

DIV_ADBLOCK257">

Да кажем, че имаме два вектора: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

И трябва да намерим ъгъла между тях. Използвайки координатите им, намираме дължините им и след това просто приравняваме двете формули за точковия продукт. Така получаваме косинуса на желания ъгъл.

Дължина на вектора аизчислен като корен от скаларния квадрат на вектора а, което ще изчислим по формулата за скаларно произведение на вектори, зададени с координати:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

означава, ,

Намерен е желаният ъгъл.

13. Векторен продукт.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

Векторно произведение на два вектора a и bе операция върху тях, дефинирана само в тримерното пространство, резултатът от която е векторсъс следните свойства:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, където аи b.

3) Векторът е насочен по такъв начин, че ако донесете вектора https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> преди векторът да е ОБРАТЕН НА ЧАСОВНИКОВАТА СТРЕЛКА.

За по-голяма яснота даваме пример - на фигурата вдясно векторът е векторното произведение на векторите a и b. Както е посочено в дефиницията, доведохме и трите вектора до общо начало и след това, ако погледнете векторите a и b от края на вектора, най-късият завой от вектор a към вектор b ще бъде обратно на часовниковата стрелка.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Също така, директно от дефиницията следва, че за всеки скаларен фактор k (число) е вярно следното:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Намиране на детерминанта на матрица от 3-ти ред по правилото на триъгълника

DIV_ADBLOCK261">

На всеки елемент от квадратната матрица (чийто ред е по-голям или равен на три) могат да бъдат присвоени две числа, наречени МИНОРИ или АЛГЕБРИЧНО ДОПЪЛНЕНИЕ. Минорът на елемента Aij от квадратната матрица A (от всякакъв ред) е ДЕТЕРМИНАНТЪТ на МАТРИЦАТА, получен от матрицата A чрез изтриване на реда и колоната, в пресечната точка на които стои елементът Aij. Знак М - второстепенно обозначение.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

ЕЛЕМЕНТИ

Незначителен

Алгебрично допълнение

Нека A \u003d някаква матрица от III ред, тогава детерминантата на матрицата A е равна на:

Забележка: Детерминантата може да се изчисли върху елементите всякаквиструни или всякаквиколони на тази Матрица.

# Намерете детерминантата на матрицата по елементите на първия ред и първата колона:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 детерминанта на матрицата от n-ти ред

Нека A е квадратна матрица от ред n. Тогава детерминантата на матрицата от n-ти ред ще изглежда така:

Разгъване на елементите от 1 ред, за да се намерят елементите на Матрица А

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- един

6. ОСНОВНИ СВОЙСТВА НА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

1. Детерминантата няма да се промени, ако нейните редове се сменят със съответните колони (транспониране)

2. При разместване на два реда или колони, Дефиницията ще промени знака си на противоположния.

3. Общият фактор на всички елементи на ред (колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата

4. Детерминанта с два еднакви реда или колони винаги е нула.

5. Ако елементите на два реда (колони) на детерминантата са пропорционални, то детерминантата е равна на нула.

6. Ако в някой ред или колона от детерминантата се добавят съответно елементи от друг ред или колона, умножени по същото число, то детерминантата няма да промени стойността си.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> и т.н.

триъгълна детерминанта- това е детерминантата, за която всички елементи, лежащи над (или под) главния диагонал, са нули, равни на произведението на елементите на главния диагонал.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Ако съществува обратната матрица А, тогава матрицата се нарича ОБРАТНА.Намирането на квадратна матрица е от голямо значение при решаването на системни линейни уравнения.

17. Обратна матрица.

http://www. mathelp. *****/книга1/матрица. htm

1. Намерете детерминантата на матрица A

2. Намерете алгебричното допълнение на всички елементи на матрицата A (Aij) и запишете нова матрица

3. Транспонирайте новата матрица

4. Умножете транспонираната матрица по реципрочната стойност на детерминантата. (Например: на числото 6 обратната детерминанта ще бъде числото)

Означаваме ∆ =det A. За да може квадратната матрица A да има обратна, е необходимо и достатъчно матрицата да е неизродена (различна от нула). Обратната матрица A се обозначава с A-1, така че B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src= " > - нормализиращ фактор на равнината, чийто знак е избран срещу знака д, ако произволно, ако D=0.

21. Криви 2-ра (окръжно уравнение).

Определение 11.1.Криви от втори редна равнина се наричат пресечните линии на кръгъл конус с равнини, които не минават през върха му.

Ако такава равнина пресича всички генератори на една кухина на конуса, тогава в секцията се оказва елипса, в пресечната точка на генераторите на двете кухини - хипербола, и ако сечащата равнина е успоредна на която и да е образуваща, тогава сечението на конуса е парабола.

Коментирайте. Всички криви от втори ред са дадени чрез уравнения от втора степен в две променливи.

Класификация на кривите от втори ред

Неизродени криви

неизродениако могат да възникнат следните опции:

Неизродена кривавтори ред се нарича централен ако

елипса - при условие д> 0 и ∆ аз < 0;

частен случай на елипса - кръг - при условие аз 2 = 4дили а 11 = а 22,а 12 = 0;

въображаема елипса (без реална точка) - предмет на Δ аз > 0;

хипербола - предмет на д < 0;

Неизродена крива от втори ред се нарича нецентрална, ако Δ аз = 0

парабола - предмет на д = 0.

Изродени криви:Кривата от втори ред се нарича изродениако Δ = 0. Могат да възникнат следните опции:

реална точка в пресечната точка на две въображаеми прави (изродена елипса) – при условие д > 0;

двойка реални пресичащи се прави (изродена хипербола) - при условие д < 0;

изродена парабола – при условие д = 0:

двойка реални успоредни прави - предвидени б < 0;

една реална права (две слети успоредни прави) – предвидени б = 0;

двойка въображаеми успоредни прави (без нито една реална точка) - при условие б > 0.

22. Елипса и нейното уравнение.

Определение 11.2.Елипсае множеството от точки в равнината, за които сумата от разстоянията до две фиксирани точки Е 1 и Е 2 от този самолет, т.нар трикове, е постоянна стойност.

Коментирайте. Когато точките съвпадат Е 1 и Е 2 елипсата се превръща в кръг.

Директорка Диелипса, съответстваща на фокуса фи, се нарича права линия, разположена в една и съща полуравнина с фиотносно оста OUперпендикулярно на оста она разстояние а/еот произхода.

Коментирайте. При различен избор на координатна система елипсата може да бъде дадена не от каноничното уравнение (11.1), а от уравнение от втора степен от различен вид.

Свойства на елипса:

1) Елипса има две взаимно перпендикулярни оси на симетрия (главните оси на елипсата) и център на симетрия (центъра на елипсата). Ако една елипса е дадена с канонично уравнение, тогава нейните главни оси са координатните оси, а центърът е началото. Тъй като дължините на сегментите, образувани от пресечната точка на елипсата с главните оси, са равни на 2 аи 2 b (2а>2b), тогава главната ос, минаваща през фокусите, се нарича голяма ос на елипсата, а втората голяма ос се нарича малка ос.

След това https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Извеждаме каноничното уравнение на хиперболата по аналогия с извеждането на уравнението на елипсата, използвайки същата нотация.

|r1 - r2 | = 2а, където. Ако обозначим b² = ° С² - а², от тук можете да получите https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

за които реалните и въображаемите оси са разменени, като се запазват същите асимптоти.

4) Ексцентричност на хиперболата д> 1.

5) Коефициент на разстояние риот точка на хипербола до фокус фида дистанцираме диот тази точка до директрисата, съответстваща на фокуса, е равна на ексцентрицитета на хиперболата.

Доказателството може да се извърши по същия начин, както при елипсата.

23. Парабола.

Определение 11.8.параболае множеството точки в равнината, за които разстоянието до някаква фиксирана точка Етази равнина е равна на разстоянието до някаква фиксирана права линия. Точка ЕНаречен фокуспараболи, а права линия - нейн директорка.

За да изведем уравнението на параболата, избираме декартова координатна система, така че нейното начало да е средата на перпендикуляра FD, спуснати от фокуса към директрисата, а координатните оси са успоредни и перпендикулярни на директрисата. Нека дължината на сегмента FD

D O F x е Р. След това от равенството r = дследва, че https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Чрез алгебрични трансформации това уравнение може да се сведе до формата:

г² = 2 px, (11.4) наречено каноничното уравнение на параболата.

Стойност РНаречен параметърпараболи.

Парабола свойства :

1) Параболата има ос на симетрия (оста на параболата). Пресечната точка на параболата с оста се нарича връх на параболата. Ако параболата е дадена от каноничното уравнение, тогава нейната ос е оста оа върхът е началото на координатите.

2) Цялата парабола се намира в дясната полуравнина на равнината Оху.

Коментирайте. Използвайки свойствата на директрисите на елипса и хипербола и дефиницията на парабола, можем да докажем следното твърдение:

Наборът от равнинни точки, за които отношението дразстоянието до някаква фиксирана точка до разстоянието до някаква права линия е постоянна стойност, е елипса (с д<1), гиперболу (при д>1) или парабола (когато д=1).

Привеждане на уравнение от втори ред до каноничен вид.

Определение 11.9.Линия, определена от общо уравнение от втори ред

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> можете да зададете матрицата

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (приемайки, че λ .

В случай, когато една от собствените стойности на матрицата НОе равно на 0, уравнението (11.5) в резултат на две трансформации на координати може да се сведе до формата: , (11.8) което е каноничното уравнение на парабола.

24. Правоъгълни координати в пространството.

Правоъгълна координатна система в пространствотообразувани от три взаимно перпендикулярни координатни оси ОХ, ойи унция. Координатните оси се пресичат в точка О, което се нарича начало, на всяка ос се избира положителната посока, указана със стрелките, и мерната единица на сегментите по осите. Мерните единици обикновено са еднакви за всички оси (което не е задължително). ОХ- абсцисната ос, ой- у-ос, унция- апликационна ос.

Ако за посока се приеме палецът на дясната ръка х, сочейки за посока Y, и средната стойност за посока З, тогава се формира точнокоординатна система. Подобни пръсти на лявата ръка образуват лявата координатна система. С други думи, положителната посока на осите е избрана така, че когато оста се завърти ОХобратно на часовниковата стрелка на 90° положителната му посока съвпадна с положителната посока на оста ой, ако това въртене се наблюдава от страната на положителната посока на оста унция. Дясната и лявата координатни системи не могат да се комбинират така, че съответните оси да съвпадат (виж фиг. 2).

Точкова позиция Ав пространството се определя от три координати х, ги z. Координирайте хравна на дължината на отсечката ОВ, координирайте г- дължина на сегмента OC, координирайте z- дължина на сегмента ODв избраните мерни единици. Сегменти ОВ, OCи ODсе определят от равнини, начертани от точка Ауспоредни на равнини YOZ, XOZи XOYсъответно. Координирайте хнаречена абсцисата на точката А, координирайте г- ординатна точка А, координирайте z- точка на приложение А. Те го записват така:

Ако през точката O в пространството начертаем три per-pen-di-ku-lar-линии, ние ги наричаме, we-take on-right-le-nie, обозначавайки единични разрези, тогава ще получим правоъгълен si-ste-mu ko-or-di-nat в пространството. Осите на ko-or-di-nat са na-zy-va-yut-sya така: О - абс-цисната ос, Oy - оста на or-di-nat и Oz - ос up-pli-cat. Цялата si-ste-ma ko-or-di-nat означава-me-cha-et-sya - Oxyz. По този начин има три ко-или-ди-нат-ние самолети: Oxy, Oxz, Oyz.

Даваме пример за изграждане на точка B (4; 3; 5) в правоъгълна система от co-or-di-nat (виж Фиг. 1).

Ориз. 1. Построяване на точка B в пространството

Първата co-or-di-na-ta точка B - 4, така че от-cla-dy-va-em до Ox 4, ние-затъмняваме директна пара-ral-lel-but ос Oy, за да повторим re-se -che-tion с права линия, минаваща през y \u003d 3. По този начин получаваме точката K. Тази точка лежи в равнината Oxy и има co-or-di-na-you K (4; 3; 0). Сега трябва да про-ве-сти директен пар-рал-лел-но оста Оз. И направо, някой-рай минава през точка с app-pli-ka-that 5 и para-ral-lel-on dia-go-on-with para-ral-le-lo-gram -ma в равнината Oxy. На техните re-se-che-nii ще получим желаната точка B.

Помислете за разпределението на точките, за някои една или две co-or-di-na-you са равни на 0 (вижте фиг. 2).

Например точка A(3;-1;0). Необходимо е да продължим оста Oy наляво до стойността -1, да намерим точка 3 на оста Ox и при повторното разместване на линиите, минаващи през тези стойности, получаваме точка А. Това точка има app-pli-ka-tu 0, което означава, че лежи в равнината Oxy.

Точка C (0; 2; 0) има abs-cis-su и app-pli-ka-tu 0 - не от-me-cha-e. Or-di-na-ta е равно на 2, което означава, че точка C лежи само на оста Oy, нещо-рай е-la-is-a-re-re-se-che-no-to е плоско stey Oxy и Ойз.

За да преместим точката D (-4; 0; 3), продължаваме оста Ox назад за na-cha-lo ko-or-di-nat до точката -4. Сега, възстановете сто-nav-li-va-em от тази точка per-pen-di-ku-lyar - права, успоредна на оста Oz до re-re-se-che-niya с права линия, успореден на оста Ox и минаващ през стойността 3 на оста Oz. Според текущия D (-4; 0; 3). Тъй като точката or-di-on-that е равна на 0, тогава точката D лежи в равнината Oxz.

Следващата точка е E(0;5;-3). Or-di-na-ta точки 5, app-pli-ka-ta -3, преминаваме прави линии, минаващи през тези стойности на отговор -th-оси, и на техните re-se-che-nii , получаваме точка E (0; 5; -3). Тази точка има първия co-or-di-to-tu 0, което означава, че лежи в равнината Oyz.

2. Векторни координати

Проклет правоъгълен si-ste-mu ko-or-di-nat в космоса Oxyz. Za-da-dim в пространството на правоъгълен si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. На всяка от lo-zhi-tel-nyh in-lu-оси от-lo-weep от na-cha-la ko-or-di-nat един вектор, т.е. вектор-торус, дължината на нещо-ro- go е равно на едно. Означаваме единичен вектор на абс-цисната ос, единичен вектор на оста or-di-nat и единичен вектор на оста up-pli-kat (виж Фиг. 1). Тези клепачи са co-on-right-le-na с on-right-le-ni-i-mi оси, имат една дължина и or-to-go-nal-na - по двойки - но per-pen-di -ку-ляр-ни. Такъв век-ра-на-зи-ва-ют ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-miили ба-зи-сом.

Ориз. 1. Raz-lo-same-age-that-ra в три co-or-di-nat-ny век-that-frames

Вземете mem-tor, in-me-stim го в na-cha-lo ko-or-di-nat и разпръснете този вектор-tor в три определена-plan-nar-nym - le-zha -shim в различни равнини - един век до кадър. За да направим това, нека намалим проекцията на точката M върху равнината Oxy и намерим ко-или-ди-върху вас вектор-ров, и. On-lu-cha-eat:. Ras-look-rim on from-del-no-sti всеки от тези векове-that-rov. Векторният тор лежи на оста Ox, което означава, че според свойството за умножаване на вектора по число, той може да бъде представен като някакво число x женско начало върху co-or-di-nat-ny вектор. , а дължината на клепача е точно x пъти по-голяма от дължината на . По същия начин, нека да стъпим с век-това-ра-ми и, и в lu-cha-яде пъти-lo-същата възраст век-че-ра в три ko-or-di-nat-ny centuries-to-ram:

Co-ef-fi-qi-en-you от това време x, y и z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra в космоса.

Ras-look-rim right-vi-la, some-rye pozes-in-la-yut според ko-or-di-on-there дадени векове за изкопаване, за да намерите ko-or-di-na- вие сте тяхната сума и разлика, както и ко-или-ди-на-ти про-от-ве-де-ния на даден век-че-ра на дадено число.

1) Сложност:

2) Вие-чи-та-ние:

3) Умножение с число: ,

Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go owl-pa-yes-et с na-cha-scrap ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya радиус-век-ром.(фиг. 2). Vector-tor - ra-di-us-vector, където x, y и z са co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion от този век до-ra според co-or - di-nat-ny век до овен,,. В този случай x е първият co-or-di-on-ta на точка A на оста Ox, y е co-or-di-on-ta на точка B на оста Oy, z е co-or - di-na-ta точка C на оста Oz. Според ri-sun-ku е ясно, че ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-men-but is-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi точки М.

Вземете точката A(x1;y1;z1) и точката B(x2;y2;z2) (вижте Фиг. 3). Ние си представяме век-тор като разлика между век и канавка и, по свойството си, векове-ров. Освен това, и - ra-di-us-vek-to-ry, и техните co-or-di-na-you co-pa-da-yut с co-or-di-na-ta-mi con- tsov тези векове-ров. Тогава можем да си представим ko-or-di-na-you century-that-ra като разлика с-from-the-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat century-that-ditch и : . По този начин, ko-or-di-na-you век до-ra, можем да vy-ra-zit през ko-or-di-na-you на края и na-cha-la век до-ra .

Ras-погледнете примерите, il-lu-stri-ru-yu-sche свойства на вековна канавка и тяхното ви-ra-same-tion чрез co-or-di-on-you. Take-meme century-that-ry , , . Ние сме попитани-shi-va-yut вектор. В този случай да го намериш означава да намериш co-or-di-na-you век-that-ra, някой, който е напълно определен от него. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie вместо сто века-a-ditch with-from-rep-stven-no their co-or-di-on-you. By-lu-cha-eat:

Сега умножаваме числото 3 за всеки co-or-di-na-tu в скоби и същото de-la-em с 2:

Имаме сумата от три вековни ровове, съхраняваме ги според проученото по-горе свойство:

Отговор:

Пример №2.

Дадено: Триъгълна pi-ra-mi-da AOBC (виж фиг. 4). Самолети AOB, AOC и OCB - по двойки, но на пер-ди-ку-ляр-ни. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P - сер. CB.

Намирам: ,,,,,,,.

Решение: Нека въведем правоъгълен si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz с началото на броенето в точка O. По условието на ние знаем точки A, B и C на осите и se-re -di-ny на ръбовете на pi-ra-mi-dy - M, P и N. Според ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you върховете на pi-ra-mi -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

С въвеждането на координатна система на равнина или в триизмерно пространство възниква уникална възможност да се опишат геометричните форми и техните свойства с помощта на уравнения и неравенства. Това има друго име - методи на алгебрата.

Тази статия ще ви помогне да разберете задачата на правоъгълна декартова координатна система и определянето на координатите на точките. По-визуално и подробно изображение е налично в графични илюстрации.

За да се въведе координатна система на равнина, е необходимо да се начертаят две перпендикулярни прави на равнината. Избирам положителна посока, отбелязано със стрелка. Трябва да изберете мащаб.Пресечната точка на линиите ще се нарича буквата O. Тя се смята отправна точка. Това се казва правоъгълна координатна системана повърхността.

Линии с начало O, които имат посока и мащаб, се наричат координатна линияили координатна ос.

Правоъгълната координатна система се означава с O x y . Координатните оси се наричат O x и O y, наречени съответно абсцисатаи у-ос.

Изображение на правоъгълна координатна система върху равнина.

Абсцисната и ординатната ос имат една и съща единица за промяна и мащаб, която е показана като тире в началото на координатните оси. Стандартната посока е O x отляво надясно и O y отдолу нагоре. Понякога се използва алтернативно завъртане под необходимия ъгъл.

Правоъгълната координатна система се нарича декартова в чест на нейния откривател Рене Декарт. Често можете да намерите името като правоъгълна декартова координатна система.

Триизмерното евклидово пространство има подобна система, само че се състои не от две, а от три оси O x, O y, O z. Това са три взаимно перпендикулярни прави, където O z има името апликационна ос.

По посока на координатните оси те са разделени на дясна и лява правоъгълна координатна система на тримерното пространство.

Координатните оси се пресичат в точката О, наречена начало. Всяка ос има положителна посока, която е обозначена със стрелките върху осите. Ако, когато O x се завърти обратно на часовниковата стрелка на 90 °, неговата положителна посока съвпада с положителното O y, тогава това е приложимо за положителната посока на O z. Такава система се разглежда точно.С други думи, ако сравним посоката на X с палеца, тогава показалецът отговаря за Y, а средният за Z.

Лявата координатна система се формира по подобен начин. И двете системи не могат да се комбинират, тъй като съответните оси няма да съвпадат.

Като начало заделяме точката M на координатната ос O x. Всяко реално число x M е равно на единствената точка M, разположена на дадената права. Ако точката се намира на координатната линия на разстояние 2 от началото в положителна посока, тогава тя е равна на 2, ако - 3, тогава съответното разстояние е 3. Нулата е началото на координатните линии.

С други думи, всяка точка M, разположена върху O x, е равна на реално число x M . Това реално число е нула, ако точката M се намира в началото, тоест в пресечната точка на O x и O y. Номерът на дължината на сегмента винаги е положителен, ако точката се отстрани в положителна посока и обратно.

Наличното число x M се извиква координирамточка М на дадена координатна права.

Нека вземем точка като проекция на точката M x върху O x и като проекция на точката M y върху O y. Това означава, че през точката M могат да се прекарат прави линии, перпендикулярни на осите O x и O y, където се получават съответните пресечни точки M x и M y .

Тогава точката M x на оста O x има съответното число x M , а M y на O y - y M . На координатните оси изглежда така:

Всяка точка M на дадена равнина в правоъгълна декартова координатна система има една съответстваща двойка числа (x M, y M), наречена координати. Абсцисата Ме x M, ординат Ме y M .

Обратното твърдение също се счита за вярно: всяка подредена двойка (x M , y M) има съответстваща точка, дадена в равнината.

Определение на точка М в тримерното пространство. Нека има M x , M y , M z , които са проекции на точката M върху съответните оси O x, O y, O z . Тогава стойностите на тези точки по осите О x, О у, О z ще приемат стойностите на x M , y M , z M . Нека го представим на координатни линии.

За да получите проекциите на точка M, трябва да добавите перпендикулярни линии O x, O y, O z, за да продължите и изобразите под формата на равнини, които минават през M. Така равнините се пресичат в M x , M y , M z

Всяка точка от триизмерното пространство има свои собствени данни (x M, y M, z M), които имат името координати на точка M, x M, y M, z M -това са извиканите числа абсциса, ординатаи апликациядадена точка M . За това съждение е вярно и обратното твърдение: всяка подредена тройка от реални числа (x M, y M, z M) в дадена правоъгълна координатна система има една съответстваща точка M от триизмерното пространство.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Координатният метод, разбира се, е много добър, но в реалните задачи на C2 няма координати и вектори. Следователно те трябва да бъдат въведени. Да, да, просто го вземете и го въведете така: посочете началото, единичния сегмент и посоката на осите x, y и z.

Страхотното при този метод е, че няма значение как въвеждате координатната система. Ако всички изчисления са правилни, тогава отговорът ще бъде правилен.

Координати на куба

Ако има куб в задача C2, считайте се за късметлия. Това е най-простият многостен, чийто двустенен ъгъл е 90°.

Координатната система също се въвежда много просто:

Началото на координатите е в точка А;
Най-често ръбът на куба не е посочен, така че го приемаме като един сегмент;
Насочваме оста x по ръба AB, y - по ръба AD, а оста z - по ръба AA 1 .

Обърнете внимание, че оста z сочи нагоре! След двумерна координатна система това е малко необичайно, но всъщност много логично.

И така, сега всеки връх на куба има координати. Нека ги съберем в таблица - отделно за долната равнина на куба:

Лесно се вижда, че точките от горната равнина се различават от съответните точки от долната равнина само по z-координатата. Например B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Основното нещо е да не се объркате!

Prism вече е много по-забавен. С правилния подход е достатъчно да знаете координатите само на долната основа - горната ще бъде изчислена автоматично.

В задачи C2 има изключително правилни триъгълни призми (прави призми, базирани на правилен триъгълник). При тях координатната система се въвежда почти по същия начин, както при куба. Между другото, ако някой не е наясно, кубът също е призма, само че тетраедърна.

Така че да тръгваме! Въведете координатната система:

Началото на координатите е в точка А;
Страната на призмата се приема като единичен сегмент, освен ако не е посочено друго в условието на задачата;
Насочваме оста x по ръба AB, z - по ръба AA 1 и позиционираме оста y така, че равнината OXY да съвпада с равнината на основата ABC.

Тук е необходимо известно обяснение. Факт е, че оста у НЕ съвпада с ръба AC, както много хора си мислят. Защо не съвпада? Помислете сами: триъгълник ABC е равностранен триъгълник с всички ъгли 60°. И ъглите между координатните оси трябва да бъдат 90 °, така че горната снимка ще изглежда така:

Надявам се, че сега е ясно защо оста y не минава по AC. Начертайте височина CH в този триъгълник. Триъгълник ACH е правоъгълен и AC = 1, така че AH = 1 cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Тези факти са необходими за изчисляване на координатите на точка C.

Сега нека да разгледаме цялата призма заедно с конструираната координатна система:

Получаваме следните координати на точките:

Както можете да видите, точките на горната основа на призмата отново се различават от съответните точки на долната основа само по z координатата. Основният проблем са точките C и C 1 . Те имат ирационални координати, които просто трябва да запомните. Е, или да разберем откъде идват.

Координати на шестоъгълна призма

Шестоъгълната призма е "клонирана" триъгълна призма. Можете да разберете как става това, ако погледнете долната основа - нека я обозначим ABCDEF. Нека изпълним допълнителни конструкции: отсечки AD, BE и CF. Оказаха се шест триъгълника, всеки от които (например триъгълник ABO) е основа за тристенна призма.

Сега нека представим действителната координатна система. Началото на координатите - точката O - ще бъде поставено в центъра на симетрия на шестоъгълника ABCDEF. Оста x ще минава покрай FC, а оста y - през средите на отсечките AB и DE. Получаваме тази снимка:

Моля, обърнете внимание: началото на координатите НЕ съвпада с върха на полиедъра! Всъщност, когато решавате реални проблеми, ще откриете, че това е много удобно, тъй като ви позволява значително да намалите количеството на изчисленията.

Остава да добавим оста z. По традиция го рисуваме перпендикулярно на равнината OXY и го насочваме вертикално нагоре. Получаваме крайната картина:

Нека запишем координатите на точките. Да приемем, че всички ръбове на нашата правилна шестоъгълна призма са равни на 1. И така, координатите на долната основа:

Координатите на горната основа се изместват с единица по оста z:

Пирамидата като цяло е много тежка. Ще анализираме само най-простия случай - правилна четириъгълна пирамида, всички ръбове на която са равни на единица. Въпреки това, в реални задачи C2, дължините на ръбовете могат да се различават, така че общата схема за изчисляване на координатите е дадена по-долу.

И така, правилната четириъгълна пирамида. Това е същото като Хеопс, само малко по-малко. Нека го обозначим като SABCD, където S е върха. Въвеждаме координатна система: началото е в точка A, единичната отсечка AB = 1, оста x е насочена по дължината на AB, оста y е по дължината на AD, а оста z е насочена нагоре, перпендикулярна на равнината OXY . За по-нататъшни изчисления ни трябва височината SH - така че нека я изградим. Получаваме следната картина:

Сега нека намерим координатите на точките. Да започнем със самолета OXY. Тук всичко е просто: основата е квадрат, координатите му са известни. Проблеми възникват с точка S. Тъй като SH е височината до равнината OXY, точките S и H се различават само по z-координатата. Всъщност дължината на отсечката SH е z координатата за точка S, тъй като H = (0,5; 0,5; 0).

Обърнете внимание, че триъгълниците ABC и ASC имат три равни страни (AS = CS = AB = CB = 1, а страната AC е обща). Следователно SH = BH. Но BH е половината от диагонала на квадрата ABCD, т.е. BH = AB sin 45°. Получаваме координатите на всички точки:

Това е всичко с координатите на пирамидата. Но изобщо не с координати. Разгледахме само най-често срещаните полиедри, но тези примери са достатъчни за самостоятелно изчисляване на координатите на всякакви други форми. Следователно можем да продължим всъщност към методите за решаване на конкретни проблеми C2.