Разширена Питагорова теорема. Различни начини за доказване на Питагоровата теорема

Питагоровата теорема е най-важното твърдение на геометрията. Теоремата е формулирана по следния начин: площта на квадрат, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху неговите крака.

Обикновено откриването на това твърдение се приписва на древногръцкия философ и математик Питагор (VI век пр.н.е.). Но изследване на вавилонските клинописни плочки и древните китайски ръкописи (копия на още по-стари ръкописи) показа, че това твърдение е било известно много преди Питагор, може би хилядолетие преди него. Заслугата на Питагор беше, че той откри доказателството на тази теорема.

Вероятно фактът, посочен в Питагоровата теорема, е установен за първи път за равнобедрен правоъгълен триъгълник. Достатъчно е да погледнете мозайката от черни и светли триъгълници, показана на фиг. 1 за проверка на валидността на теоремата за триъгълника: квадрат, построен върху хипотенузата, съдържа 4 триъгълника, а квадрат, съдържащ 2 триъгълника, е построен върху всеки катет. За доказателство общ случайв древна индияподредени по два начина: в квадрат със страна бяха изобразени четири правоъгълни триъгълника с крака с дължини и (фиг. 2, а и 2, б), след което написаха една дума „Вижте!”. И наистина, гледайки тези фигури, виждаме, че отляво е фигура без триъгълници, състояща се от два квадрата със страни и съответно площта му е равна, а отдясно - квадрат със страна - площта му е равен. Следователно, , което е твърдението на Питагоровата теорема.

Въпреки това, в продължение на две хилядолетия не беше използвано това визуално доказателство, а по-сложно доказателство, измислено от Евклид, което е поставено в известната му книга „Начала“ (вижте Евклид и неговите „Начала“), Евклид намали височината от върха прав ъгълвърху хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя построения върху хипотенузата квадрат на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху краката (фиг. 3). Чертежът, използван в доказателството на тази теорема, се нарича шеговито "Питагорови панталони". Дълго време той е смятан за един от символите на математическата наука.

Днес има няколко десетки различни доказателстваПитагорови теореми. Някои от тях се основават на дял от квадрати, в който квадратът, построен върху хипотенузата, се състои от части, включени в дяловете на квадрати, построени върху краката; други - на допълнение към равни фигури; третият - на факта, че височината, спусната от върха на правия ъгъл до хипотенузата, разделя правоъгълния триъгълник на два подобни на него триъгълника.

Теоремата на Питагор е в основата на повечето геометрични изчисления. Дори в древен Вавилон той е бил използван за изчисляване на дължината на височината равнобедрен триъгълникспоред дължините на основата и страната, стрелката на сегмента според диаметъра на окръжността и дължината на хордата, установени са съотношенията между елементите на някои правилни многоъгълници. С помощта на Питагоровата теорема се доказва нейното обобщение, което дава възможност да се изчисли дължината на страната, лежаща срещу остър или тъп ъгъл:

От това обобщение следва, че наличието на прав ъгъл в е не само достатъчно, но и необходимо условие за изпълнение на равенството . Формула (1) предполага отношението между дължините на диагоналите и страните на успоредник, с които лесно се намира дължината на медианата на триъгълник от дължините на страните му.

Въз основа на питагоровата теорема се извежда и формула, която изразява площта на всеки триъгълник по отношение на дължините на страните му (вижте формулата на Heron). Разбира се, Питагоровата теорема се използва и за решаване на различни практически проблеми.

Вместо квадрати от страните на правоъгълен триъгълник можете да изградите всякакви фигури, подобни една на друга (равностранни триъгълници, полукръгове и др.). В този случай площта на фигурата, изградена върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на фигурите, изградени върху краката. Друго обобщение е свързано с прехода от равнина към пространство. Формулира се по следния начин: квадрат на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равно на суматаквадрати на неговите измервания (дължина, ширина и височина). Подобна теорема е вярна и в многомерни и дори безкрайномерни случаи.

Питагоровата теорема съществува само в евклидовата геометрия. Това не се случва нито в геометрията на Лобачевски, нито в други неевклидови геометрии. Няма аналог и на Питагоровата теорема за сферата. Два меридиана, образуващи ъгъл от 90°, и екваторът ограничават равностранен сферичен триъгълник върху сферата, като и трите са прави ъгли. За него не като в самолета.

Използвайки Питагоровата теорема, изчислете разстоянието между точките и координатна равнинаспоред формулата

.

След откриването на Питагоровата теорема възниква въпросът как да се намерят всички тройки естествени числа, които могат да бъдат страни на правоъгълни триъгълници (вижте голямата теорема на Ферма). Те са открити от питагорейците, но някои общи методи за намиране на такива тройки числа са били известни дори на вавилонците. Една от клинописните плочки съдържа 15 триплета. Сред тях има триплети, състоящи се от т.н големи числаче не може да става дума за намирането им чрез подбор.

ХИПОКРАТОВ АД

Хипократови дупки - фигури, ограничени от дъги от две окръжности и освен това такива, че по радиуси и дължина общ акордот тези кръгове, с помощта на пергел и линейка, можете да построите квадрати с еднаква площ с тях.

От обобщението на Питагоровата теорема до полукръгове следва, че сумата от площите на розовите дупки, показани на фигурата вляво, е равна на площта на синия триъгълник. Следователно, ако вземем равнобедрен правоъгълен триъгълник, тогава получаваме две дупки, площта на всяка от които ще бъде равна на половината от площта на триъгълника. Опитвайки се да решим проблема с квадратурата на кръг (вж. Класически проблемиантичността), древногръцкият математик Хипократ (5 век пр. н. е.) открива още няколко дупки, чиито площи се изразяват чрез площите на праволинейни фигури.

Пълен списък на хипомаргиналните дупки е получен едва през 19-20 век. чрез използването на методите на теорията на Галоа.

Питагорова теорема

Съдбата на други теореми и проблеми е особена... Как може да се обясни например такова изключително внимание от страна на математици и математици към Питагоровата теорема? Защо много от тях не се задоволиха с вече известните доказателства, а намериха свои собствени, довеждайки броя на доказателствата до няколкостотин за двадесет и пет сравнително наблюдаеми века?
Кога говорим сиотносно Питагоровата теорема необичайното започва още с нейното име. Смята се, че в никакъв случай Питагор не го е формулирал за първи път. Също така е съмнително, че той й е дал доказателство. Ако Питагор - истинско лице(някои дори се съмняват в това!), тогава той най-вероятно е живял през 6-5 век. пр.н.е д. Самият той не пише нищо, той се нарича философ, което означава, според неговото разбиране, „стремеж към мъдрост“, основава Питагорейския съюз, чиито членове се занимават с музика, гимнастика, математика, физика и астрономия. Очевидно той беше и велик оратор, както се вижда от следната легенда, свързана с престоя му в град Кротон: очерта задълженията на младите мъже, които старейшините в града помолиха да не ги оставят без преподаване. В тази втора реч той посочи законността и чистотата на морала като основи на семейството; в следващите две се обръща към децата и жените. Последица последна речв който той особено осъди лукса, беше, че хиляди скъпоценни рокли бяха доставени в храма на Хера, тъй като нито една жена вече не се осмели да се покаже в тях на улицата ... ”Въпреки това, през втория век на нашата ера, т. е. след 700 години те са живели и работили напълно истински хора, изключителни учени, които са били явно повлияни от Питагорейския съюз и с голямо уважение към това, което според легендата е създал Питагор.
Несъмнено е също, че интересът към теоремата е породен както от факта, че тя заема едно от централните места в математиката, така и от удовлетворението на авторите на доказателствата, които са преодолели трудностите, за които римският поет Квинт Хорас Флак , който е живял преди нашата ера, добре е казал: „Трудно е да се изразят добре известни факти“ .
Първоначално теоремата установява връзката между площите на квадратите, построени върху хипотенузата и краката на правоъгълен триъгълник:
.
Алгебрична формулировка:
AT правоъгълен триъгълникквадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.
Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника чрез c и дължините на краката през a и b: a 2 + b 2 \u003d c 2. И двете формулировки на теоремата са еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за площта и чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.
Обратната теорема на Питагор. За всяко трио положителни числа a, b и c такива, че
a 2 + b 2 = c 2 , има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Доказателство за

На този моментв научна литератураЗаписани са 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства (например с помощта на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от доказателствата, изградени директно от аксиомите. По-специално, той не използва концепцията за площта на фигурата.
Нека ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C. Начертайте височина от C и означете нейната основа с H. Триъгълник ACH е подобен на триъгълник ABC в два ъгъла.
По същия начин, триъгълник CBH е подобен на ABC. Въвеждане на нотацията

получаваме

Какво е еквивалентно

Добавяйки, получаваме

или

Площни доказателства

Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички те използват свойствата на площта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата Питагорова теорема.

Доказателство чрез еквивалентност

1. Подредете четири равни правоъгълни триъгълника, както е показано на фигурата.
2. Четириъгълник със страни c е квадрат, тъй като сборът от две остри ъгли 90°, а правият ъгъл е 180°.
3. Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, на сумата четиритриъгълници и вътрешен квадрат.



Q.E.D.

Доказателство чрез еквивалентност

Пример за едно от тези доказателства е показано на чертежа вдясно, където квадратът, построен върху хипотенузата, се преобразува чрез пермутация в два квадрата, построени върху катетите.

Доказателството на Евклид

Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от половините площи на квадратите, построени върху краката, и след това площите на големият и двата малки квадрата са равни. Разгледайте рисунката вляво. Върху него построихме квадрати от страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на прав ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ , съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака. Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK. За да направим това, използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като дадената правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от определянето на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълника ACK е равна на площта на триъгълника AHK (не е показан), който от своя страна е равен на половината от площта на правоъгълника AHJK. Нека сега докажем, че площта на триъгълника ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата по горното свойство). Това равенство е очевидно, триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях. А именно - AB=AK,AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD е лесно да се докаже чрез метода на движението: нека завъртим триъгълника CAK на 90 ° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата разглеждани триъгълника ще съвпадат (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°). Аргументът за равенството на лицата на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно аналогичен. Така доказахме, че площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Основните елементи на доказателството са симетрия и движение.

Разгледайте чертежа, както се вижда от симетрията, сегментът CI разрязва квадрата ABHJ на две еднакви части (тъй като триъгълниците ABC и JHI са равни по конструкция). Използвайки завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, виждаме равенството на защрихованите фигури CAJI и GDAB. Сега е ясно, че площта на фигурата, засенчена от нас, е равна на сумата от половината от площите на квадратите, построени върху краката, и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, плюс площта на оригиналния триъгълник. Последната стъпка в доказателството е оставена на читателя.

Уверете се, че триъгълникът, който ви е даден, е правоъгълен триъгълник, тъй като Питагоровата теорема се прилага само за правоъгълни триъгълници. В правоъгълните триъгълници един от трите ъгъла винаги е 90 градуса.

• Прав ъгъл в правоъгълен триъгълник се обозначава с квадрат вместо крива, която представлява неправи ъгли.

Маркирайте страните на триъгълника.Обозначете краката като "a" и "b" (катетите са страни, пресичащи се под прав ъгъл), а хипотенузата като "c" (хипотенузата е най-голямата страна на правоъгълен триъгълник, която лежи срещу правия ъгъл).

Определете коя страна на триъгълника искате да намерите.Теоремата на Питагор ви позволява да намерите която и да е страна на правоъгълен триъгълник (ако другите две страни са известни). Определете коя страна (a, b, c) трябва да бъде намерена.

• Например, дадена е хипотенуза, равна на 5, и даден катет, равен на 3. В този случай трябва да намерите втория катет. Ще се върнем към този пример по-късно.
• Ако другите две страни са неизвестни, е необходимо да се намери дължината на една от неизвестните страни, за да може да се приложи Питагоровата теорема. За да направите това, използвайте основния тригонометрични функции(ако ви е дадена стойността на един от неправите ъгли).

Заменете във формулата a 2 + b 2 \u003d c 2 стойностите, които са ви дадени (или стойностите, които сте намерили).Запомнете, че a и b са катети, а c е хипотенузата.

• В нашия пример напишете: 3² + b² = 5².

Квадратирайте всяка известна страна.Или оставете градусите - можете да повдигнете числата на квадрат по-късно.

• В нашия пример напишете: 9 + b² = 25.

Изолирайте непозната странаот едната страна на уравнението.За да направите това, преместете се известни стойностиот другата страна на уравнението. Ако намерите хипотенузата, тогава в Питагоровата теорема тя вече е изолирана от едната страна на уравнението (така че нищо не трябва да се прави).

• В нашия пример преместете 9 в дясната страна на уравнението, за да изолирате неизвестното b². Ще получите b² = 16.

Екстракт Корен квадратенот двете страни на уравнението, след като неизвестното (на квадрат) присъства от едната страна на уравнението, а свободният член (числото) присъства от другата страна.

• В нашия пример b² = 16. Вземете корен квадратен от двете страни на уравнението и получете b = 4. Така че вторият крак е 4.

Използвайте Питагоровата теорема в Ежедневието, тъй като може да се използва в големи числапрактически ситуации. За да направите това, научете се да разпознавате правоъгълни триъгълници в ежедневието - във всяка ситуация, в която два обекта (или линии) се пресичат под прав ъгъл, а трети обект (или линия) свързва (по диагонал) върховете на първите два обекта (или линии), можете да използвате Питагоровата теорема, за да намерите неизвестната страна (ако другите две страни са известни).

• Пример: дадена е стълба, облегната на сграда. Долна частстълби се намира на 5 метра от основата на стената. Горна частстълби се намира на 20 метра от земята (нагоре по стената). Каква е дължината на стълбата?
  • "5 метра от основата на стената" означава, че a = 5; „е на 20 метра от земята“ означава, че b = 20 (т.е. дадени са ви два крака на правоъгълен триъгълник, тъй като стената на сградата и повърхността на Земята се пресичат под прав ъгъл). Дължината на стълбата е дължината на хипотенузата, която е неизвестна.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • с = 20,6. Така приблизителната дължина на стълбите е 20,6 метра.

Анимирано доказателство на Питагоровата теорема е едно от фундаменталентеореми на евклидовата геометрия, установяващи връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Смята се, че е доказана от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстена (има и други версии, по-специално алтернативно мнение, че тази теорема е в общ изгледе формулиран от питагорейския математик Хипас).
Теоремата казва:

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Означаване на дължината на хипотенузата на триъгълника ° С,и дължините на краката като аи б,получаваме следната формула:

По този начин теоремата на Питагор установява връзка, която ви позволява да определите страната на правоъгълен триъгълник, като знаете дължините на другите две. Питагоровата теорема е специален случай на косинусовата теорема, която определя връзката между страните произволен триъгълник.
Доказано е и обратното твърдение (наричано още обратна теоремаПитагор):

За всеки три положителни числа a, b и c, така че a ? +b? = c ?, има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Визуално доказателство за триъгълника (3, 4, 5) от Чу Пей 500-200 г. пр.н.е. Историята на теоремата може да бъде разделена на четири части: знания за числата на Питагор, знания за съотношението на страните в правоъгълен триъгълник, знания за отношението съседни ъглии доказателство на теоремата.
Мегалитни структури около 2500 г. пр.н.е в Египет и Северна Европа съдържат правоъгълни триъгълници с цели страни. Бартел Лендерт ван дер Ваерден предположи, че в онези дни числата на Питагор са били намирани алгебрично.
Написана между 2000 и 1876 г. пр.н.е папирус от Средното царство на Египет Берлин 6619съдържа задача, чието решение са числата на Питагор.
По време на управлението на Хамурапи Велики, вивилонска плоча Плимптън 322,написана между 1790 и 1750 г. пр. н. е. съдържа много записи, тясно свързани с числата на Питагор.
В Будхаяна сутрите, които датират от различни версии 8 или 2 век пр.н.е в Индия, съдържа числа на Питагор, извлечени алгебрично, формулировка на Питагоровата теорема и геометрично доказателство за равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Сутрите на Апастамба (около 600 г. пр.н.е.) съдържат числено доказателствоТеореми на Питагор, използващи изчисление на площ. Ван дер Ваерден смята, че се основава на традициите на своите предшественици. Според Алберт Бурко това е оригиналното доказателство на теоремата и той предполага, че Питагор е посетил Аракони и го е копирал.
Питагор, чиито години на живот обикновено се посочват 569 - 475 г. пр.н.е. използва алгебрични методиизчисляване на числата на Питагор, според коментарите на Проклов за Евклид. Прокъл обаче е живял между 410 и 485 г. сл. Хр. Според Томас Гизе пет века след Питагор няма индикация за авторство на теоремата. Въпреки това, когато автори като Плутарх или Цицерон приписват теоремата на Питагор, те го правят така, сякаш авторството е широко известно и сигурно.
Около 400 г. пр.н.е Според Прокъл Платон е дал метод за изчисляване на питагорейските числа, съчетаващ алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е., в НаченкиЕвклид, имаме най-старото аксиоматично доказателство, оцеляло до днес.
Написано някъде между 500 г. пр.н.е. и 200 г. пр.н.е., китайски математическа книга„Чу Пей“ (? ? ? ?), дава визуално доказателство на Питагоровата теорема, която в Китай се нарича теорема гугу (????), за триъгълник със страни (3, 4, 5). По време на управлението на династия Хан, от 202 г. пр.н.е. преди 220 г. сл. Хр Числата на Питагор се появяват в книгата "Девет раздела на математическото изкуство" заедно със споменаването на правоъгълни триъгълници.
Използването на теоремата е документирано за първи път в Китай, където е известна като теоремата на гугу (????) и в Индия, където е известна като теоремата на Баскар.
Мнозина спорят дали Питагоровата теорема е открита веднъж или многократно. Boyer (1991) вярва, че знанието, открито в Shulba Sutra, може да е от месопотамски произход.
Алгебрично доказателство
От четири правоъгълни триъгълника се образуват квадрати. Известни са повече от сто доказателства на Питагоровата теорема. Тук доказателствата се основават на теоремата за съществуване на площта на фигура:

Поставете четири еднакви правоъгълни триъгълника, както е показано на фигурата.
Четириъгълник със страни ° Се квадрат, тъй като сумата от два остри ъгъла е , И изправен ъгъл е .
Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна "a + b", а от друга - на сумата от площите на четири триъгълника и вътрешния квадрат .

Което трябва да се докаже.
По сходството на триъгълниците
Използване подобни триъгълници. Позволявам ABCе правоъгълен триъгълник, в който ъгълът ° Справ, както е показано на снимката. Нека начертаем височина от точка ° С,и се обади зточка на пресичане със страна AB.Оформен триъгълник ACHкато триъгълник abc,тъй като и двете са правоъгълни (по дефиниция на височина) и споделят ъгъл а,очевидно третият ъгъл ще бъде същият и в тези триъгълници. По същия начин mirkuyuyuchy, триъгълник CBHсъщо подобен на триъгълник ABC.От подобието на триъгълници: Ако

Това може да се запише като

Ако съберем тези две равенства, получаваме

HB + c по AH = c по (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

С други думи, Питагоровата теорема:

Доказателството на Евклид
Доказателство на Евклид в Евклидовите "Принципи", Питагоровата теорема, доказана чрез метода на успоредниците. Позволявам А, Б, Ввърхове на правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл А.Пуснете перпендикуляр от точка Акъм страната срещу хипотенузата в квадрат, построен върху хипотенузата. Линията разделя квадрата на два правоъгълника, всеки от които има същата площ като квадратите, построени върху краката. основна идеядоказателството е, че горните квадрати се превръщат в успоредници със същата площ и след това се връщат обратно и се превръщат в правоъгълници в долния квадрат и отново със същата площ.

Нека начертаем сегменти CFи AD,получаваме триъгълници BCFи ИАЛ.
ъгли ТАКСИи ЧАНТА- права; точки С, Аи Жса колинеарни. Същия начин Б, Аи з.
ъгли CBDи FBA- двете са прави, след това ъгълът ABD равен на ъгъла fbc,тъй като и двете са сбор от прав ъгъл и ъгъл ABC.
Триъгълник ABDи FBCниво от двете страни и ъгъла между тях.
Тъй като точките А, Ки Л– колинеарно, площта на правоъгълника BDLK е равна на две области на триъгълника ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
По същия начин получаваме CKLE = ACIH = AC 2
От едната страна площта CBDEравна на сумата от площите на правоъгълниците BDLKи CKLE,от друга страна, площта на квадрата BC2,или AB 2 + AC 2 = пр.н.е. 2.

Използване на диференциали
Използването на диференциали. До Питагоровата теорема може да се стигне, като се проучи как нарастването на страната влияе върху дължината на хипотенузата, както е показано на фигурата вдясно, и се приложат малко изчисления.
В резултат на растежа на страната а,от подобни триъгълници за безкрайно малки нараствания

Интегрирането получаваме

Ако а= 0 тогава ° С = б,така че "константата" е б 2.Тогава

Както може да се види, квадратите се дължат на пропорцията между увеличенията и страните, докато сборът е резултат от независимия принос на увеличенията на страните, неочевиден от геометрични доказателства. В тези уравнения даи dcса съответно безкрайно малки увеличения на страните аи ° С.Но вместо тях използваме? аи? ° С,тогава границата на съотношението, ако клонят към нула, е да / DC,производна, и също е равно на ° С / а,съотношението на дължините на страните на триъгълниците, като резултат получаваме диференциално уравнение.
В случай на ортогонална система от вектори има равенство, което се нарича още Питагорова теорема:

Ако - Това са проекциите на вектора върху координатни оси, то тази формула съвпада с евклидовото разстояние и означава, че дължината на вектора е равна на корена квадратна сумаквадрати на неговите компоненти.
Аналог на това равенство в случая безкрайна системавектори се нарича равенство на Парсевал.

Всеки ученик знае, че квадратът на хипотенузата винаги е равен на сбора от катетите, всеки от които е на квадрат. Това твърдение се нарича Питагорова теорема. Тя е една от най известни теоремитригонометрия и математика като цяло. Нека го разгледаме по-подробно.

Концепцията за правоъгълен триъгълник

Преди да пристъпим към разглеждане на Питагоровата теорема, в която квадратът на хипотенузата е равен на сумата от катетите, които са повдигнати на квадрат, трябва да разгледаме концепцията и свойствата на правоъгълния триъгълник, за които е валидна теоремата.

триъгълник - плоска фигура, който има три ъгъла и три страни. Правоъгълният триъгълник, както подсказва името му, има един прав ъгъл, тоест този ъгъл е 90 o.

от общи имотиза всички триъгълници е известно, че сумата от трите ъгъла на тази фигура е 180 o , което означава, че за правоъгълен триъгълник сумата от два ъгъла, които не са прави, е 180 o - 90 o = 90 o . Последен фактозначава, че всеки ъгъл в правоъгълен триъгълник, който не е прав ъгъл, винаги ще бъде по-малък от 90o.

Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза. Другите две страни са катетите на триъгълника, те могат да бъдат равни една на друга или да се различават. От тригонометрията е известно, че колкото по-голям е ъгълът, срещу който лежи една страна в триъгълник, толкова по-голяма е дължината на тази страна. Това означава, че в правоъгълен триъгълник хипотенузата (лежаща срещу ъгъл 90 o) винаги ще бъде по-голяма от който и да е от катетите (лежаща срещу ъглите< 90 o).

Математическа нотация на Питагоровата теорема

Тази теорема гласи, че квадратът на хипотенузата е равен на сбора от катетите, всеки от които преди това е повдигнат на квадрат. За да напишете тази формула математически, помислете за правоъгълен триъгълник, в който страните a, b и c са съответно двата катета и хипотенузата. В този случай теоремата, която е формулирана като квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката, може да бъде представена със следната формула: c 2 \u003d a 2 + b 2. От тук могат да бъдат получени други формули, важни за практиката: a \u003d √ (c 2 - b 2), b = √ (c 2 - a 2) и c = √ (a 2 + b 2).

Имайте предвид, че в случай на правоъгълник равностранен триъгълник, тоест a \u003d b, формулировката: квадратът на хипотенузата е равен на сбора от краката, всеки от които е на квадрат, математически написан, както следва: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 , от което следва равенството: c \u003d a√2.

История справка

Питагоровата теорема, която гласи, че сумата от краката, всеки от които е на квадрат, е равна на квадрата на хипотенузата, е известна много преди известният гръцки философ да привлече вниманието към нея. Много папируси от древен Египет, както и глинени плочки на вавилонците потвърждават, че тези народи са използвали отбелязаното свойство на страните на правоъгълен триъгълник. Например един от първите Египетски пирамиди, пирамидата на Хефрен, чиято конструкция датира от 26-ти век пр. н. е. (2000 години преди живота на Питагор), е построена въз основа на знанието за съотношението на страните в правоъгълен триъгълник 3x4x5.

Защо тогава теоремата сега носи името на грък? Отговорът е прост: Питагор е първият, който доказва математически тази теорема. В съществуващите вавилонски и египетски писмени източницитой само говори за употребата му, но не предоставя никакви математически доказателства.

Смята се, че Питагор е доказал разглежданата теорема, използвайки свойствата на подобни триъгълници, които той е получил, като начертае височина в правоъгълен триъгълник от ъгъл 90 o към хипотенузата.

Пример за използване на Питагоровата теорема

Обмисли проста задача: необходимо е да се определи дължината на наклоненото стълбище L, ако е известно, че има височина H \u003d 3 метра, а разстоянието от стената, на която стълбището лежи до подножието му, е P \u003d 2,5 метра.

AT този случай H и P са катетите, а L е хипотенузата. Тъй като дължината на хипотенузата е равна на сумата от квадратите на краката, получаваме: L 2 \u003d H 2 + P 2, откъдето L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2,5 2) \u003d 3,905 метра или 3 m и 90, 5 cm