Теория на изчислителната техника нехомогенни диференциални уравнения(DU) няма да даваме в тази публикация, от предишните уроци можете да намерите достатъчно информация, за да намерите отговора на въпроса "Как да решим нехомогенно диференциално уравнение?"Степента на нехомогенна DE не играе голяма роля тук, няма толкова много начини, които позволяват да се изчисли решението на такава DE. За да ви е по-лесно да прочетете отговорите в примерите, основният акцент е само върху техниката на изчисление и съвети, които ще улеснят извеждането на крайната функция.

Пример 1 Решете диференциално уравнение
Решение: Дадено хомогенно диференциално уравнение трети ред, освен това съдържа само втората и третата производна и няма функция и нейната първа производна. В такива случаи използвайте метода на намаляванедиференциално уравнение. За целта се въвежда параметър - означаваме втората производна чрез параметъра p

тогава третата производна на функцията е

Оригиналният хомогенен DE ще бъде опростен до формата

Тогава го записваме в диференциали редуцирайте до уравнение с отделена променливаи намерете решението чрез интегриране

Не забравяйте, че параметърът е втората производна на функцията

следователно, за да намерим формулата на самата функция, ние интегрираме намерената диференциална зависимост два пъти

Във функцията старите C 1 , C 2 , C 3 са равни на произволни стойности.
Ето как изглежда веригата намирам общо решениехомогенно диференциално уравнение по метода на въвеждане на параметър.Следните задачи са по-трудни и от тях ще научите как да решавате нехомогенни диференциални уравнения от трети ред. Има известна разлика между хомогенните и нехомогенните DE по отношение на изчисленията, ще видите това сега.

Пример 2 намирам
Решение: Имаме трета поръчка. Следователно неговото решение трябва да се търси под формата на сумата от две - решението на хомогенно и частно решение нехомогенно уравнение

Първо да решим

Както можете да видите, той съдържа само второто и третото производни на функцията и не съдържа самата функция. Този вид диф. уравненията се решават по метода на въвеждане на параметър, който вна свой ред намалява и опростява намирането на решението на уравнението. На практика това изглежда така: нека втората производна е равна на определена функция, тогава третата производна формално ще има нотацията

Разглежданият хомогенен DE от 3-ти ред се трансформира в уравнение от първи ред

откъдето, разделяйки променливите, намираме интеграла
x*dp-p*dx=0;

Препоръчваме да номерирате тези, които са станали в такива проблеми, тъй като решението на диференциално уравнение от 3-ти ред има 3 константи, четвъртото - 4 и по-нататък по аналогия. Сега се връщаме към въведения параметър: тъй като втората производна има формата, интегрирайки я, след като имаме зависимост за производната на функцията

и чрез многократно интегриране намираме обща формахомогенна функция

Частично решение на уравнениетозапишете като променлива, умножена по логаритъм. Това следва от факта, че дясната (нехомогенна) част на DE е равна на -1/x и за да се получи еквивалентна нотация

решението трябва да се търси във формата

Намерете коефициента A , за това изчисляваме производните от първи и втори ред

Заместваме намерените изрази в оригиналното диференциално уравнение и приравняваме коефициентите при същите степени на x:

Стоманата е равна на -1/2 и има формата

Общо решение на диференциално уравнениезапишете като сбор от намерените

където C 1 , C 2 , C 3 са произволни константи, които могат да бъдат прецизирани от проблема на Коши.

Пример 3 Намерете DE интеграла от трети ред
Решение: Търсим общ интеграл на нехомогенно DE от трети ред под формата на сбор от решението на еднородно и частично нехомогенно уравнение. Първо, започваме за всеки тип уравнения анализира хомогенно диференциално уравнение

Той съдържа само втората и третата производна на неизвестната досега функция. Въвеждаме промяна на променливи (параметър): обозначаваме втората производна

Тогава третата производна е

Същите трансформации бяха извършени и в предишната задача. Това позволява редуцирайте диференциално уравнение от трети ред до уравнение от първи ред от формата

Чрез интегриране намираме

Спомнете си, че според промяната на променливите това е само втората производна

и за да се намери решение на хомогенно диференциално уравнение от трети ред, то трябва да бъде интегрирано два пъти

Въз основа на типа на дясната страна (нехомогенна част =x+1), частично решение на уравнението се търси във вида

Как да разберете в каква форма да търсите частично решение Трябва да сте научили в теоретичната част на курса по диференциални уравнения. Ако не, тогава можем само да предложим какъв вид функция е избран такъв израз, така че при заместване в уравнението членът, съдържащ най-високата производна или по-малката, да е от същия ред (подобен) с нехомогенната част на уравнението

Мисля, че сега ви е по-ясно откъде идва формата на дадено решение. Намерете коефициентите A, B, за това изчисляваме втората и третата производна на функцията

и заместваме в диференциалното уравнение. След групиране подобни условияполучаваме линейно уравнение

от което за равни степени на променливата съставете система от уравнения

и намиране на непознати стомани. След тяхното заместване се изразява чрез зависимостта

Общо решение на диференциално уравнениее равна на сумата от хомогенни и частични и има формата

където C1, C2, C3 са произволни константи.

Пример 4. Р ям диференциално уравнение
Решение: Имаме решението, на което ще намерим чрез сбора. Знаете схемата за изчисление, така че нека да преминем към разглеждането хомогенно диференциално уравнение

По стандартния метод въведете параметъра
Първоначалното диференциално уравнение ще приеме формата , от което, разделяйки променливите, намираме

Не забравяйте, че параметърът е равен на втората производна
Интегрирайки DE, получаваме първата производна на функцията

Реинтеграция намираме общия интеграл на хомогенното диференциално уравнение

Търсим частично решение на уравнението във формата, тъй като дясната страна е равна на
Нека намерим коефициента A - за това заместваме y* в диференциалното уравнение и приравняваме коефициента при същите степени на променливата

След заместване и групиране на членовете получаваме зависимостта

от които стоманата е равна на A=8/3.
Така можем да пишем частично решение на DE

Общо решение на диференциално уравнениеравно на намерената сума

където C1, C2, C3 са произволни константи. Ако е дадено условието на Коши, те могат много лесно да бъдат разширени.

Вярвам, че материалът ще ви бъде полезен при подготовката за практическо обучение, модули или контролна работа. Проблемът на Коши не е анализиран тук, но от предишните уроци като цяло знаете как да го направите.

Диференциални уравнения от по-висок ред

Основна терминология на диференциалните уравнения от по-висок ред (DE VP).

Уравнение от формата , където н >1 (2)

се нарича диференциално уравнение по-висок ред, т.е. н-та поръчка.

Домейн на дефиниране на дистанционно управление, нредът е площта.

Този курс ще се занимава със следните видове контрол на въздушното пространство:

Проблемът на Коши за VP:

Нека дадено DU,
и начални условия n/a: числа.

Изисква се да се намери непрекъсната и n пъти диференцируема функция
:

1)
е решението на дадения DE на , т.е.
;

2) удовлетворява зададените начални условия: .

За DE от втори ред геометричната интерпретация на решението на задачата е следната: търси се интегрална крива, която минава през т. (х 0 , г 0 ) и допирателна към правата фактор на наклона к = г 0 ́ .

Теорема за съществуване и уникалност(решения на проблема на Коши за DE (2)):

ако 1)
непрекъснато (в съвкупност (н+1) аргументи) в района
; 2)
непрекъснато (по набор от аргументи
) в , тогава ! решение на задачата на Коши за DE, което отговаря на дадените начални условия n/s: .

Регионът се нарича регион на уникалност на DE.

Общото решение на DP VP (2) – н - параметричнифункция,
, където
– произволни константи, отговарящи на следните изисквания:

1)

– решение на DE (2) на ;

2) n/a от района на уникалността!
:
удовлетворява дадените начални условия.

Коментирайте.

Коефициент на изглед
, което неявно определя общото решение на DE (2) на се нарича общ интеграл DU.

Частно решение DE (2) се получава от общото му решение за конкретна стойност .

Интегриране на DP VP.

Диференциалните уравнения от по-висок ред по правило не се решават с точни аналитични методи.

Нека отделим определен тип DSW, който допуска редукции и редукции до квадратури. Ние обобщаваме тези видове уравнения и начините за намаляване на техния ред в таблица.

ДП ВП, като се допускат намаления в поръчката

		Метод за понижаване
	DU е непълен, липсва . Например,	и т.н. След нмногократно интегриране, получаваме общото решение на диференциалното уравнение.
	Уравнението е непълно; явно не съдържа желаната функция и тя първи производни. Например,	Заместване намалява реда на уравнението с кединици.
	непълно уравнение; явно не съдържа аргумент желаната функция. Например,	Заместване редът на уравнението се намалява с единица.
	Уравнението е в точни производни, може да бъде пълно и непълно. Такова уравнение може да се преобразува във формата (*) ́= (*)́, където дясната и лявата част на уравнението са точни производни на някои функции.	Интегрирането на дясната и лявата страна на уравнението по отношение на аргумента намалява реда на уравнението с единица.
		Заместване намалява реда на уравнението с единица.

Дефиниция на хомогенна функция:

функция
се нарича хомогенна по променливи
, ако


във всяка точка от обхвата на функцията
;

е редът на хомогенност.

Например, е хомогенна функция от 2-ри ред по отношение на
, т.е. .

Пример 1:

Намерете общо решение на DE
.

DE от 3-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Интегрирайте уравнението три пъти последователно.

,

е общото решение на DE.

Пример 2:

Решете проблема на Коши за DE
при

.

DE от втори ред, непълен, не съдържа изрично .

Заместване
и негово производно
намалява реда на DE с единица.

. Получен DE от първи ред - уравнението на Бернули. За да решим това уравнение, прилагаме заместването на Бернули:

,

и го включете в уравнението.

На този етап решаваме проблема на Коши за уравнението
:
.

е уравнение от първи ред с разделими променливи.

Заместваме началните условия в последното равенство:

Отговор:
е решението на задачата на Коши, което отговаря на началните условия.

Пример 3:

Решете DU.

– DE от 2-ри ред, непълен, не съдържа изрично променливата и следователно позволява понижаване на реда с единица чрез заместване или
.

Получаваме уравнението
(позволявам
).

– DE от 1-ви ред с разделителни променливи. Нека ги споделим.

е общият интеграл на DE.

Пример 4:

Решете DU.

Уравнението
е точно производно уравнение. Наистина ли,
.

Нека интегрираме лявата и дясната част по отношение на , т.е.
или . Получени DE от 1-ви ред с разделими променливи, т.е.
е общият интеграл на DE.

Пример5:

Решете проблема на Коши за
при .

DE от 4-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Отбелязвайки, че това уравнение е в точни производни, получаваме
или
,
. Заменяме началните условия в това уравнение:
. Да вземем дистанционното
3-ти ред от първи тип (виж таблицата). Нека го интегрираме три пъти и след всяко интегриране ще заместваме началните условия в уравнението:

Отговор:
- решение на задачата на Коши на оригиналния DE.

Пример 6:

Решете уравнението.

– DE от 2-ри ред, пълен, съдържа еднаквост по отношение на
. Заместване
ще понижи реда на уравнението. За да направим това, свеждаме уравнението до формата
, разделяйки двете страни на първоначалното уравнение на . И ние разграничаваме функцията стр:

.

Заместител
и
в DU:
. Това е уравнение на разделима променлива от първи ред.

Като се има предвид това
, получаваме DE или
е общото решение на оригиналния DE.

Теория на линейните диференциални уравнения от по-висок ред.

Основна терминология.

– НЛДУ -ти ред, където - непрекъснати функциина някакъв интервал.

Нарича се интервал на непрекъснатост на DE (3).

Нека въведем (условен) диференциален оператор от ти ред

Когато действа върху функцията, получаваме

Това е лявата страна на линеен DE от -ти ред.

В резултат на това LDE може да бъде написан

Свойства на линейния оператор
:

1) - свойство на адитивност

2)
– брой – свойство за хомогенност

Свойствата се проверяват лесно, тъй като производните на тези функции имат подобни свойства ( крайна сумапроизводни е равна на сумата крайно числопроизводни; постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната).

Че.
е линеен оператор.

Разгледайте въпроса за съществуването и уникалността на решение на проблема на Коши за LDE
.

Нека решим LDE по отношение на
: ,
, е интервалът на непрекъснатост.

Функцията е непрекъсната в областта , производни
непрекъснато в региона

Следователно областта на уникалност , в която проблемът на Коши LDE (3) има единствено решение и зависи само от избора на точката
, всички други стойности на аргументите
функции
може да се вземе произволно.

Обща теория на OLDU.

е интервалът на непрекъснатост.

Основни свойства на OLDDE решенията:

1. Свойство на адитивност

(
– OLDDE решение (4) на )
(
е решението на OLDDE (4) на ).

Доказателство:

е решението на OLDDE (4) на

е решението на OLDDE (4) на

Тогава

2. Свойство хомогенност

( е решението на OLDDE (4) на ) (
(- числово поле))

е решението на OLDDE (4) на .

Доказва се по подобен начин.

Свойствата адитивност и хомогенност се наричат линейни свойстваОЛДУ (4).

Последица:

(
– решение на OLDDE (4) на )(

е решението на OLDDE (4) на ).

3. ( е комплексно-стойно решение на OLDDE (4) на )(
са реални решения на OLDDE (4) на ).

Доказателство:

Ако е решението на OLDDE (4) на , то при заместване в уравнението го превръща в тъждество, т.е.
.

Поради линейността на оператора , лявата страна на последното равенство може да се запише по следния начин:
.

Това означава, че , т.е. са реални решения на OLDDE (4) на .

Следните свойства на OLDDE решенията са свързани с понятието „ линейна зависимост”.

Определение линейна зависимосткрайна система от функции

Система от функции се нарича линейно зависима от ако има нетривиаленнабор от числа
така че линейната комбинация
функции
с тези числа е идентично равен на нула на , т.е.
.n , което е грешно. Теоремата е доказана.диференц уравненияпо-високпоръчки(4 часа...

Уравнение от вида: се нарича линейно диференциално уравнение от по-висок ред, където a 0, a 1, ... и n са функции на променлива x или константа, а a 0, a 1, ... и n и f (x) се считат за непрекъснати.

Ако 0 =1 (ако
тогава може да се раздели)
уравнението ще приеме формата:

Ако
уравнението е нехомогенно.

уравнението е хомогенно.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от ред n

Уравнение от вида: се наричат ​​линейни хомогенни диференциални уравнения от ред n.

Следните теореми са валидни за тези уравнения:

Теорема 1:Ако
- решение , след това сумата
- също решение

Доказателство: Заместете сумата в

Тъй като производната от всеки ред на сумата е равна на сумата от производните, можете да прегрупирате, като отворите скобите:

тъй като y 1 и y 2 са решението.

0=0(правилно)
сумата също е решение.

теоремата е доказана.

Теорема 2:Ако y 0 -решение , тогава
- също решение .

Доказателство: Заместник
в уравнението

тъй като C е извадено от знака на производната, тогава

защото решение, 0=0(правилно)
Cy 0 също е решение.

теоремата е доказана.

Последица от Т1 и Т2:ако
- решения (*)
линейна комбинация също е решение (*).

Линейно независими и линейно зависими системи от функции. Детерминант на Вронски и неговите свойства

определение:Функционална система
- се нарича линейно независим, ако линейната комбинация от коефициенти
.

определение:функционална система
- се нарича линейно зависим ако и има коефициенти
.

Да вземем система от две линейно зависими функции
защото
или
- състояние линейна независимостдве функции.

1)
линейно независими

2)
линейно зависими

3) линейно зависими

определение:Дадена е система от функции
- функции на променливата x.

Определящо
-Определител на Вронски за система от функции
.

За система от две функции детерминантата на Вронски изглежда така:

Свойства на детерминанта на Вронски:

Теорема:Върху общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред.

Ако y 1 и y 2 са линейно независими решения на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред, тогава

общото решение изглежда така:

Доказателство:
- решение за последствие от Т1 и Т2.

Ако са дадени начални условия тогава и трябва да са ясно разположени.

- начални условия.

Да направим система за намиране и . За да направим това, заместваме началните условия в общото решение.

детерминантата на тази система:
- детерминанта на Вронски, изчислена в точката x 0

защото и линейно независими
(от 2 0)

тъй като детерминантата на системата не е равна на 0, тогава системата има единствено решение и и недвусмислено са извън системата.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от ред n

Може да се покаже, че уравнението има n линейно независими решения

определение: n линейно независими решения
линейно хомогенно диференциално уравнение от ред n се нарича фундаментална система за решение.

Общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от ред n, т.е. (*) е линейна комбинация от основната система от решения:

Където
- фундаментална система за решение.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от 2-ри ред с постоянни коефициенти

Това са уравнения от вида:
, където p и g са числа (*)

определение:Уравнението
- Наречен характеристично уравнениедиференциалното уравнение (*) е обикновено квадратно уравнение, чието решение зависи от D, възможни са следните случаи:

1)D>0
са две наистина различни решения.

2)D=0
- един реален корен от кратност 2.

3)D<0
са два комплексно спрегнати корена.

За всеки от тези случаи посочваме фундаменталната система от решения, съставена от 2 функции и .

Ще покажем, че:

1) и - LNZ

2) и - решение (*)

Разгледайте 1 случай D>0
- 2 реални различни корена.

х
характеристично уравнение:

Да вземем като FSR:

а) покажете LNZ

б) покажете това - разтвор (*), заместител

+стр
+g
=0

истинско равенство

решение (*)

подобно показано за y 2 .

Заключение:
- FSR (*)
общо решение

Разгледайте 2 случая: D=0
- 1 реален корен от кратност 2.

Да вземем като FSR:

LNZ:
LNZ е.

-решение на уравнението (виж случай 1). Нека покажем това
- решение.

заместник в DU

-решение.

Заключение: FSR

Пример:

3 случай: д<0
- 2 комплексно спрегнати корена.

заместител
по характер уравнението

Комплексното число е 0, когато и реалната, и имагинерната част са 0.

- ще използваме.

Нека покажем това
- образуват FSR.

A) LNZ:

б)
- решение за дистанционно управление

истинско равенство
- решението на ДУ.

По същия начин е показано, че също решение.

Заключение: FSR:

Общо решение:

Ако n.o.s.

- тогава първо намерете общо решение
, неговата производна:
, а след това n.u. се замества в тази система и те намират и .

Добре:

В някои задачи на физиката не може да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но има възможност да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от решаването им, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е изградена по такъв начин, че с нулево разбиране на диференциалните уравнения можете да си вършите работата.

Всеки тип диференциални уравнения е свързан с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способност да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) на различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме ви да се обърнете към раздела.

Първо, разгледайте типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x .

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата .

Нека напишем няколко примера за такива DE .

Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнението , което ще бъде еквивалентно на първоначалното за f(x) ≠ 0 . Примери за такива ODE са.

Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за стойностите на тези аргументи. Примери за такива диференциални уравнения са.

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LODE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциални уравнения. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LDE с постоянни коефициенти е


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LIDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LODE и конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f (x), стояща от дясната страна на първоначалното уравнение, или чрез метода на вариация на произволни константи.

Като примери за LIDE от втори ред с постоянни коефициенти, представяме


За да разберете теорията и да се запознаете с подробните решения на примери, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE).

Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LODE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен интервал е представено от линейна комбинация от две линейно независими отделни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частични решения на този тип диференциално уравнение. Обикновено конкретните решения се избират от следните системи от линейно независими функции:


Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

Пример за LODU е .

Общото решение на LIDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LODE, а е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.

Пример за LNDE е .

Диференциални уравнения от по-висок ред.

Диференциални уравнения, допускащи редукция.

Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

В този случай и първоначалното диференциално уравнение се свежда до . След намиране на нейното решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната става разделимо уравнение и редът му се намалява от третото към първото.

Диференциални уравнения от втори и по-високи редове.
Линейни DE от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.

Преминаваме към разглеждането на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-високи редове. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на решение и основни понятия на диференциите от първи ред автоматично се разширяват до диференциални уравнения от по-висок ред, така че много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.

Много читатели може да имат предубеждение, че DE от 2-ри, 3-ти и други разряди е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това не е вярно . Да се ​​научите да решавате дифузи от по-висок ред едва ли е по-трудно от „обикновените“ DE от 1-ви ред. А на места е дори по-лесно, тъй като материалът от училищната програма се използва активно в решенията.

Най - известен диференциални уравнения от втори ред. В диференциално уравнение от втори ред непременновключва втората производна и които не са включени

Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:

Диференциалните уравнения от трети ред в практическите задачи са много по-рядко срещани, според моите субективни наблюдения в Държавната дума биха спечелили около 3-4% от гласовете.

В диференциално уравнение от трети ред непременновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:

Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: - татко е вкъщи, всички деца са на разходка.

По подобен начин могат да се дефинират диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. В практическите задачи такива DE се подхлъзват изключително рядко, но ще се опитам да дам подходящи примери.

Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.

1) Първата група – т.нар уравнения от по-нисък ред. Влетете!

2) Втората група - линейни уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.

Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти

В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения - хомогенно уравнениеи нехомогенно уравнение.

Хомогенна DE от втори ред с постоянни коефициентиима следната форма:
, където и са константи (числа), а от дясната страна - строгонула.

Както можете да видите, няма специални трудности с хомогенни уравнения, основното е това решете правилно квадратното уравнение.

Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата , където при втората производна има някаква константа , различна от единица (и, разбира се, различна от нула). Алгоритъмът за решение изобщо не се променя, трябва спокойно да съставите характеристичното уравнение и да намерите неговите корени. Ако характеристичното уравнение ще има два различни реални корена, например: , тогава общото решение може да бъде написано по обичайния начин: .

В някои случаи, поради печатна грешка в условието, могат да се окажат „лоши“ корени, нещо подобно . Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:

С "лоши" спрегнати сложни корени като също няма проблем, общо решение:

Това е, общо решение съществува във всеки случай. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.

В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:

Линейни хомогенни уравнения от по-висок ред

Всичко е много, много подобно.

Линейното хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За това уравнение също трябва да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така:
, и то така или иначеТо има точно трикорен.

Нека, например, всички корени са реални и различни: , тогава общото решение може да се запише по следния начин:

Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:

Специален случай е, когато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Записваме общото решение, както следва:

Ако характеристичното уравнение има, например, три кратни корена, тогава общото решение съответно е:

Пример 9

Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред

Решение:Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

, - получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.

Отговор:общо решение

По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.