Решение на система от две линейни неравенства. Системи линейни неравенства

Нека да разгледаме примери как се решава система от линейни неравенства.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

За да се реши една система, е необходимо всяко от нейните съставни неравенства. Само решението е да се запише не отделно, а заедно, комбинирайки ги с къдрава скоба.

Във всяко от неравенствата на системата прехвърляме неизвестните от едната страна, известните от другата с обратен знак:

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

След опростяването и двете части на неравенството трябва да бъдат разделени на числото преди x. Разделяме първото неравенство на положително число, така че знакът на неравенството не се променя. Разделяме второто неравенство на отрицателно число, така че знакът за неравенство трябва да бъде обърнат:

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Отбелязваме решението на неравенствата на числовите редове:

В отговор записваме пресечната точка на решенията, тоест частта, където засенчването е на двете линии.

Отговор: x∈[-2;1).

Нека се отървем от дробта в първото неравенство. За да направим това, умножаваме двете части член по член по най-малкия общ знаменател 2. Когато се умножи по положително число, знакът за неравенство не се променя.

Отворете скобите във второто неравенство. Произведението на сбора и разликата на два израза е равно на разликата на квадратите на тези изрази. От дясната страна е квадратът на разликата между двата израза.

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Прехвърляме неизвестните от едната страна, известните от другата с обратен знак и опростяваме:

Разделете двете страни на неравенството на числото преди x. В първото неравенство делим на отрицателно число, така че знакът на неравенството е обърнат. Във втория разделяме на положително число, знакът за неравенство не се променя:

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

И двете неравенства са маркирани с „по-малко от“ (не е от съществено значение единият знак да е строго „по-малко от“, другият да не е строго „по-малко или равно на“). Не можем да маркираме и двете решения, а използваме правилото "". Най-малкото е 1, следователно системата се свежда до неравенството

Отбелязваме неговото решение на числовата ос:

Отговор: x∈(-∞;1].

Отваряме скобите. В първото неравенство - . Тя е равна на сумата от кубовете на тези изрази.

Във втория - произведението на сбора и разликата на два израза, което е равно на разликата на квадратите. Тъй като пред скобите има знак минус, по-добре е да ги отворите на два етапа: първо използвайте формулата и едва след това отворете скобите, като промените знака на всеки член на противоположния.

Прехвърляме неизвестните от едната страна, известните от другата с обратен знак:

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

И двете са по-големи от знаци. Използвайки правилото „повече от повече“, свеждаме системата от неравенства до едно неравенство. По-голямото от двете числа е 5, така че

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Отбелязваме решението на неравенството на числова ос и записваме отговора:

Отговор: x∈(5;∞).

Тъй като системите от линейни неравенства се срещат в алгебрата не само като самостоятелни задачи, но и в процеса на решаване на различни видове уравнения, неравенства и т.н., важно е тази тема да се научи навреме.

Следващият път ще разгледаме примери за решаване на системи от линейни неравенства в специални случаи, когато едно от неравенствата няма решения или което и да е число е негово решение.

Рубрика: |

вижте също Графично решаване на задача за линейно програмиране, Канонична форма на задачи за линейно програмиране

Системата от ограничения за такъв проблем се състои от неравенства в две променливи:
а целевата функция има формата Е = ° С 1 х + ° С 2 г, което трябва да бъде максимално увеличено.

Нека отговорим на въпроса: какви двойки числа ( х; г) са решения на системата от неравенства, т.е. удовлетворяват ли всяко от неравенствата едновременно? С други думи, какво означава да се реши система графично?
Първо трябва да разберете какво е решението на едно линейно неравенство с две неизвестни.
Решаването на линейно неравенство с две неизвестни означава да се определят всички двойки стойности на неизвестните, за които неравенството е изпълнено.
Например неравенство 3 х – 5г≥ 42 отговарят на двойките ( х , г) : (100, 2); (3, –10) и т.н. Проблемът е да се намерят всички такива двойки.
Разгледайте две неравенства: брадва + от≤ ° С, брадва + от≥ ° С. Направо брадва + от = ° Сразделя равнината на две полуравнини, така че координатите на точките на една от тях да удовлетворяват неравенството брадва + от >° С, а другото неравенство брадва + +от <° С.
Наистина, вземете точка с координата х = х 0; след това точка, лежаща на права линия и имаща абциса х 0 , има ордината

Нека за категоричност а<0, b>0, ° С>0. Всички точки с абсцисата х 0 по-горе П(напр. точка М), имам yM>г 0 и всички точки под точката П, с абсцисата х 0, имам yN<г 0 . Тъй като х 0 е произволна точка, тогава винаги ще има точки от едната страна на линията, за които брадва+ от > ° С, образувайки полуравнина, а от друга страна, точки, за които брадва + от< ° С.

Снимка 1

Знакът за неравенство в полуравнината зависи от числата а, b , ° С.
Това предполага следния метод за графично решаване на системи от линейни неравенства на две променливи. За да решите системата, трябва:

1. За всяко неравенство запишете уравнението, съответстващо на даденото неравенство.
2. Конструирайте линии, които са графики на функции, дадени от уравнения.
3. За всяка права определете полуравнината, която е дадена от неравенството. За да направите това, вземете произволна точка, която не лежи на права линия, заменете нейните координати в неравенството. ако неравенството е вярно, тогава полуравнината, съдържаща избраната точка, е решението на първоначалното неравенство. Ако неравенството е невярно, тогава полуравнината от другата страна на правата е множеството от решения на това неравенство.
4. За да се реши система от неравенства, е необходимо да се намери зоната на пресичане на всички полуравнини, които са решение на всяко неравенство в системата.

Тази област може да се окаже празна, тогава системата от неравенства няма решения, тя е непоследователна. В противен случай се казва, че системата е съвместима.
Решенията могат да бъдат краен брой и безкраен набор. Областта може да бъде затворен многоъгълник или може да бъде неограничена.

Нека разгледаме три подходящи примера.

Пример 1. Решете графично системата:
х + д- 1 ≤ 0;
–2х- 2г + 5 ≤ 0.

• разгледайте уравненията x+y–1=0 и –2x–2y+5=0, съответстващи на неравенствата;
• нека построим правите линии, дадени от тези уравнения.

Фигура 2

Нека дефинираме полуравнините, дадени от неравенствата. Вземете произволна точка, нека (0; 0). Обмисли х+ y– 1 0, заместваме точката (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. следователно в полуравнината, където лежи точката (0; 0), х + г – 1 ≤ 0, т.е. полуравнината, лежаща под правата, е решението на първото неравенство. Замествайки тази точка (0; 0) във втората, получаваме: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуравнината, където лежи точката (0; 0), -2 х – 2г+ 5≥ 0 и ни попитаха къде е -2 х – 2г+ 5 ≤ 0, следователно в друга полуравнина - в тази над правата.
Намерете пресечната точка на тези две полуравнини. Правите са успоредни, така че равнините не се пресичат никъде, което означава, че системата от тези неравенства няма решения, тя е непоследователна.

Пример 2. Намерете графично решения на системата от неравенства:

Фигура 3
1. Запишете уравненията, съответстващи на неравенствата, и постройте прави.
х + 2г– 2 = 0

х	2	0
г	0	1

г – х – 1 = 0

х	0	2
г	1	3

г + 2 = 0;
г = –2.
2. След като избрахме точката (0; 0), определяме знаците на неравенствата в полуравнините:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. х + 2г– 2 ≤ 0 в полуравнината под правата;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. г –х– 1 ≤ 0 в полуравнината под правата;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. г+ 2 ≥ 0 в полуравнината над правата.
3. Пресечната точка на тези три полуравнини ще бъде област, която е триъгълник. Не е трудно да се намерят върховете на региона като пресечни точки на съответните прави


По този начин, НО(–3; –2), AT(0; 1), ОТ(6; –2).

Нека разгледаме още един пример, в който резултантната област на решението на системата не е ограничена.

Определение 1 . набор от точки в пространството Р n , чиито координати удовлетворяват уравнението а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ ан хн = b, е наречен ( н - 1 )-мерна хиперравнина в н-измерно пространство.

Теорема 1. Хиперравнината разделя цялото пространство на две полупространства. Полупространството е изпъкнало множество.

Пресечната точка на краен брой полупространства е изпъкнало множество.

Теорема 2 . Решаване на линейно неравенство с ннеизвестен

а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ ан хн b

е едно от полупространствата, на които цялото пространство е разделено от хиперравнината

а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ан х n= b.

Помислете за система от млинейни неравенства с ннеизвестен.

Решението на всяко неравенство от системата е определено полупространство. Решението на системата ще бъде пресечната точка на всички полупространства. Този набор ще бъде затворен и изпъкнал.

Решаване на системи от линейни неравенства

с две променливи

Нека се даде система млинейни неравенства на две променливи.

Решението на всяко неравенство ще бъде една от полуравнините, на които цялата равнина е разделена от съответната права. Решението на системата ще бъде пресечната точка на тези полуравнини. Тази задача може да се реши графично на равнината х 1 0 х 2 .

37. Представяне на изпъкнал многостен

Определение 1. Затворено изпъкналограничен набор Р n с краен брой ъглови точки, се нарича изпъкнал н-мерен многостен.

Определение 2 . Затворено изпъкнало неограничено множество Р n , който има краен брой ъглови точки, се нарича изпъкнала многостенна област.

Определение 3 . Много НОР n се нарича ограничено, ако има н-измерна топка, съдържаща това множество.

Определение 4. Изпъкнала линейна комбинация от точки е израз, където t i , .

Теорема (теорема за представяне за изпъкнал многостен).Всяка точка на изпъкнал полиедър може да бъде представена като изпъкнала линейна комбинация от неговите ъглови точки.

38. Областта на допустимите решения на системата от уравнения и неравенства.

Нека се даде система млинейни уравнения и неравенства с ннеизвестен.

Определение 1 . Точка Р n се нарича възможно решение на системата, ако неговите координати удовлетворяват уравненията и неравенствата на системата. Съвкупността от всички възможни решения се нарича област на възможните решения (ROA) на системата.

Определение 2. Възможно решение, чиито координати са неотрицателни, се нарича допустимо решение на системата. Наборът от всички допустими решения се нарича област на допустимите решения (DDR) на системата.

Теорема 1 . ODE е затворено, изпъкнало, ограничено (или неограничено) подмножество в Рн.

Теорема 2. Допустимо решение на системата е референтно тогава и само тогава, когато тази точка е ъгловата точка на ODS.

Теорема 3 (теорема за представянето на ODT).Ако ODE е ограничено множество, тогава всяко допустимо решение може да бъде представено като изпъкнала линейна комбинация от ъгловите точки на ODE (под формата на изпъкнала линейна комбинация от опорните решения на системата).

Теорема 4 (теорема за съществуването на опорно решение на системата). Ако системата има поне едно допустимо решение (ODR), тогава сред допустимите решения има поне едно референтно решение.

Има само "X" и само абсцисната ос, сега се добавят "Y" и полето на дейност се разширява до цялата координатна равнина. По-нататък в текста фразата "линейно неравенство" се разбира в двумерен смисъл, което ще стане ясно след секунди.

В допълнение към аналитичната геометрия, материалът е подходящ за редица проблеми на математическия анализ, икономическото и математическото моделиране, така че ви препоръчвам да изучавате тази лекция с цялата сериозност.

Линейни неравенства

Има два вида линейни неравенства:

1) Строгнеравенства: .

2) Нестрогинеравенства: .

Какъв е геометричният смисъл на тези неравенства?Ако линейно уравнение определя права линия, тогава линейно неравенство определя полуравнина.

За да разберете информацията по-долу, трябва да знаете видовете линии в равнината и да можете да изграждате линии. Ако имате затруднения в тази част, прочетете помощта Графики и свойства на функциите– параграф за линейна функция.

Нека започнем с най-простите линейни неравенства. Синята мечта на всеки губещ е координатна равнина, на която няма нищо:

Както знаете, абсцисната ос е дадена от уравнението - "y" винаги (за всяка стойност на "x") е равно на нула

Нека разгледаме неравенството. Как да го разбираме неофициално? "Y" винаги е (за всяка стойност на "x") положително. Очевидно е, че това неравенство определя горната полуравнина, тъй като всички точки с положителни "игри" се намират там.

В случай, че неравенството не е строго, към горната полуравнина допълнителносе добавя ос.

По същия начин: неравенството е изпълнено от всички точки на долната полуравнина, нестриктното неравенство съответства на долната полуравнина + ос .

С у-оста същата прозаична история:

– неравенството определя дясната полуравнина;
– неравенството определя дясната полуравнина, включително оста y;
– неравенството определя лявата полуравнина;
– неравенството определя лявата полуравнина, включително оста y.

На втората стъпка разглеждаме неравенства, в които една от променливите липсва.

Липсва "y":

Или липсва "X":

С тези неравенства може да се работи по два начина. моля, разгледайте и двата подхода. По пътя нека си припомним и консолидираме училищните действия с неравенствата, които вече бяха обсъдени в урока Обхват на функцията.

Пример 1

Решете линейни неравенства:

Какво означава да се реши линейно неравенство?

Да се ​​реши линейно неравенство означава да се намери полуравнина, чиито точки удовлетворяват даденото неравенство (плюс самата права, ако неравенството не е строго). Решение, обикновено, графика.

По-удобно е веднага да изпълните чертежа и след това да коментирате всичко:

а) Решете неравенството

Метод първи

Методът е много подобен на историята с координатните оси, която обсъдихме по-горе. Идеята е да трансформираме неравенството - да оставим една променлива от лявата страна без константи, в този случай променливата x.

правило: В неравенството членовете се прехвърлят от част на част с промяна на знака, докато знакът на самото неравенство не се променя(например, ако е имало знак „по-малко от“, тогава той ще остане „по-малко“).

Прехвърляме "петицата" от дясната страна с промяна на знака:

правило ПОЛОЖИТЕЛЕН не се променя.

Сега начертайте права линия (пунктирана синя линия). Правата линия е прекъсната, защото неравенството строг, и точките, принадлежащи на тази права, със сигурност няма да бъдат включени в решението.

Какво е значението на неравенството? "X" винаги е (за всяка стойност на "y") по-малко от . Очевидно това твърдение е изпълнено от всички точки на лявата полуравнина. Тази полуравнина по принцип може да бъде засенчена, но ще се огранича до малки сини стрелки, за да не превърна рисунката в художествена палитра.

Метод втори

Това е универсален начин. ЧЕТЕТЕ МНОГО ВНИМАТЕЛНО!

Първо начертайте права линия. За по-голяма яснота, между другото, е препоръчително да представите уравнението във формата .

Сега изберете всяка точка от равнината, не принадлежащи на права линия. В повечето случаи най-вкусната точка, разбира се. Заместете координатите на тази точка в неравенството:

получено грешно неравенство(с прости думи това не може да бъде), което означава, че точката не удовлетворява неравенството .

Основното правило на нашата задача:
не удовлетворяванеравенство, тогава ВСИЧКОточки от дадена полуравнина не задоволяваткъм това неравенство.
– Ако някоя точка от полуравнината (която не принадлежи на правата) удовлетворяванеравенство, тогава ВСИЧКОточки от дадена полуравнина задоволяваткъм това неравенство.

Можете да тествате: всяка точка отдясно на линията няма да удовлетвори неравенството.

Какъв е изводът от експеримента с точката? Няма накъде, неравенството е изпълнено от всички точки на другата - лявата полуравнина (можете и да проверите).

б) Решете неравенството

Метод първи

Нека трансформираме неравенството:

правило: Двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по ОТРИЦАТЕЛЕНчисло, докато знакът за неравенство ПРОМЯНАна обратното (например, ако е имало знак „по-голямо или равно на“, тогава той ще стане „по-малко или равно на“).

Умножете двете страни на неравенството по:

Нека начертаем права линия (червен цвят), освен това начертайте плътна линия, тъй като имаме неравенство нестроги, а линията със сигурност принадлежи на решението.

След като анализираме полученото неравенство, стигаме до извода, че неговото решение е долната полуравнина (+ самата права).

Подходяща полуравнина е щрихована или маркирана със стрелки.

Метод втори

Нека начертаем права линия. Нека да изберем произволна точка от равнината (която не принадлежи на права линия), например, и да заместим нейните координати в нашето неравенство:

получено правилно неравенство, тогава точката удовлетворява неравенството , и като цяло ВСИЧКИ точки от долната полуравнина удовлетворяват това неравенство.

Тук с експерименталната точка „улучваме“ желаната полуравнина.

Решението на задачата е обозначено с червена права линия и червени стрелки.

На мен лично първото решение ми харесва повече, защото второто е по-формално.

Пример 2

Решете линейни неравенства:

Това е пример за „направи си сам“. Опитайте се да разрешите проблема по два начина (между другото, това е добър начин да проверите решението). В отговора в края на урока ще има само финалната рисунка.

Мисля, че след всички действия, извършени в примерите, ще трябва да ги ожените, няма да е трудно да решите най-простото неравенство, като и т.н.

Обръщаме се към разглеждането на третия общ случай, когато и двете променливи присъстват в неравенството:

Алтернативно, свободният термин "ce" може да бъде нула.

Пример 3

Намерете полуравнини, съответстващи на следните неравенства:

Решение: Това използва универсалния метод за заместване на точки.

а) Нека съставим уравнението на права линия, докато линията трябва да бъде начертана с пунктирана линия, тъй като неравенството е строго и самата права линия няма да бъде включена в решението.

Избираме експериментална точка от равнината, която не принадлежи на дадената права, например, и заместваме нейните координати в нашето неравенство:

получено грешно неравенство, така че точката и ВСИЧКИ точки на тази полуравнина не отговарят на неравенството . Решението на неравенството ще бъде друга полуравнина, възхищаваме се на синята светкавица:

б) Да решим неравенството. Нека първо начертаем права линия. Това е лесно да се направи, имаме канонична права пропорционалност. Правата е начертана плътна, тъй като неравенството не е строго.

Избираме произволна точка от равнината, която не принадлежи на правата. Бих искал отново да използвам произхода, но, уви, сега не е подходящ. Следователно ще трябва да работите с друга приятелка. По-изгодно е да вземете точка с малки координатни стойности, например . Заместете неговите координати в нашето неравенство:

получено правилно неравенство, така че точката и всички точки от дадената полуравнина отговарят на неравенството . Желаната полуравнина е маркирана с червени стрелки. В допълнение, решението включва самата линия.

Пример 4

Намерете полуравнини, съответстващи на неравенствата:

Това е пример за „направи си сам“. Цялостно решение, приблизителна проба на доработка и отговор в края на урока.

Нека да разгледаме обратния проблем:

Пример 5

а) Дадена е права линия. Дефинирайте полуравнината, в която се намира точката, докато самата права трябва да бъде включена в решението.

б) Дадена е права линия. Дефинирайте полуравнината, в която се намира точката. Самата линия не е включена в решението.

Решение: тук няма нужда от чертеж и решението ще бъде аналитично. Нищо трудно:

а) Съставете спомагателен полином и изчислете стойността му в точката :
. Така търсеното неравенство ще бъде със знака "по-малко". По условие правата е включена в решението, така че неравенството няма да е строго:

б) Съставете полинома и изчислете стойността му в точката :
. Така търсеното неравенство ще бъде със знак "по-голямо от". По условие правата не е включена в решението, следователно неравенството ще бъде строго: .

Отговор:

Творчески пример за самообучение:

Пример 6

Дадени са точки и права. Сред изброените точки намерете тези, които заедно с началото лежат от една и съща страна на дадената права.

Малък съвет: първо трябва да напишете неравенство, което определя полуравнината, в която се намира началото. Аналитично решение и отговор в края на урока.

Системи линейни неравенства

Система от линейни неравенства е, както разбирате, система, съставена от няколко неравенства. Леле, дадох дефиницията =) Таралежът си е таралеж, ножът си е нож. Но истината е - оказа се просто и достъпно! Не, сериозно, не искам да давам някои примери по общ начин, така че нека веднага да преминем към належащите проблеми:

Какво означава да се реши система от линейни неравенства?

Решете система от линейни неравенства- това означава намерете множеството точки в равнинатакоито задоволяват за всекисистемно неравенство.

Като най-прости примери, помислете за системи от неравенства, които определят координатните четвърти на правоъгълна координатна система („рисуването на двойки“ е в самото начало на урока):

Системата от неравенства определя първата координатна четвърт (горе вдясно). Координати на всяка точка от първата четвърт, например, и т.н. задоволяват за всекинеравенството на тази система.

По същия начин:
– системата от неравенства определя втората координатна четвърт (горе вляво);
– системата от неравенства определя третата координатна четвърт (долу вляво);
– системата от неравенства определя четвъртата координатна четвърт (долу вдясно).

Система от линейни неравенства може да няма решения, тоест да бъде несъвместими. Отново най-простият пример: . Съвсем очевидно е, че "x" не може да бъде повече от три и по-малко от две едновременно.

Решението на системата от неравенства може да бъде права линия, например: . Лебед, рак, без щука, тегли каруцата в две различни посоки. Да, нещата все още са там - решението на тази система е права линия.

Но най-честият случай, когато решението на системата е някакво равнинна площ. Област за вземане на решенияможе би неограничен(например координатни квартали) или ограничен. Ограничената област на решенията се нарича многоъгълна система за решение.

Пример 7

Решете система от линейни неравенства

На практика в повечето случаи трябва да се справите с нестроги неравенства, така че те ще танцуват останалата част от урока.

Решение: фактът, че има твърде много неравенства, не трябва да плаши. Колко неравенства може да има в една система?Да, колкото искаш. Основното нещо е да се придържате към рационален алгоритъм за конструиране на зоната на решение:

1) Първо се занимаваме с най-простите неравенства. Неравенствата определят първата координатна четвърт, включително границата на координатните оси. Вече е много по-лесно, тъй като зоната за търсене е стеснена значително. На чертежа веднага маркираме съответните полуравнини със стрелки (червени и сини стрелки)

2) Второто най-просто неравенство - тук няма "y". Първо, изграждаме самата линия и, второ, след като трансформираме неравенството във формата , веднага става ясно, че всички „xes” са по-малки от 6. Маркираме съответната полуравнина със зелени стрелки. Е, зоната за търсене стана още по-малка - такъв правоъгълник, който не е ограничен отгоре.

3) На последната стъпка решаваме неравенствата „с пълни боеприпаси“: . Обсъдихме подробно алгоритъма за решение в предишния раздел. Накратко: първо изграждаме права линия, след което с помощта на експериментална точка намираме нужната ни полуравнина.

Станете, деца, застанете в кръг:


Областта на решение на системата е многоъгълник, на чертежа е ограден с пурпурна линия и засенчен. Прекалих малко =) В тетрадката е достатъчно или да засенчите зоната на решенията, или да я очертаете по-смело с обикновен молив.

Всяка точка от този многоъгълник удовлетворява ВСЯКО неравенство от системата (за интерес можете да проверите).

Отговор: решението на системата е многоъгълник.

Когато правите чисто копие, би било хубаво да опишете подробно в кои точки сте изградили прави линии (вижте урока Графики и свойства на функциите), и как са определени полуравнините (вижте първия параграф на този урок). На практика обаче в повечето случаи ще ви бъде признат само правилният чертеж. Самите изчисления могат да се извършват на чернова или дори устно.

Освен полигона за решение на системата, на практика, макар и по-рядко, се среща и открита площ. Опитайте се да анализирате сами следния пример. Въпреки че, за точност, тук няма мъчения - алгоритъмът за изграждане е същият, просто зоната ще се окаже неограничена.

Пример 8

Решете системата

Решение и отговор в края на урока. Най-вероятно ще имате други буквени обозначения за върховете на получената област. Това не е важно, основното е да намерите правилно върховете и да изградите правилно района.

Не е необичайно, когато в задачите се изисква не само да се конструира домейнът на решенията на системата, но и да се намерят координатите на върховете на домейна. В предишните два примера координатите на тези точки бяха очевидни, но на практика всичко далеч не е лед:

Пример 9

Решете системата и намерете координатите на върховете на получената област

Решение: ще изобразим областта на решенията на тази система на чертежа. Неравенството задава лявата полуравнина с оста y и тук вече няма безплатни. След изчисления върху чиста/чернова или задълбочени мисловни процеси, получаваме следната област за вземане на решения: