Синусът на острия ъгъл на трапеца. Ъгли на равнобедрен трапец

На прост въпрос "Как да намеря височината на трапец?" има множество отговори, всички защото могат да бъдат дадени различни входове. Следователно формулите ще се различават.

Тези формули могат да се запомнят, но не са трудни за извеждане. Необходимо е само да се приложат предварително изучени теореми.

Нотация, използвана във формулите

Във всички математически обозначения по-долу тези четения на буквите са правилни.

В оригиналните данни: всички страни

За да намерите височината на трапец в общия случай, трябва да използвате следната формула:

n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2).Номер 1.

Не е най-краткият, но също така е доста рядък в задачите. Обикновено можете да използвате други данни.

Формулата, която ви казва как да намерите височината на равнобедрен трапец в същата ситуация, е много по-кратка:

n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4).Номер 2.

Задачата е дадена: страните и ъглите в долната основа

Приема се, че ъгълът α е съседен на страната с обозначението "c", съответно ъгълът β на страната d. Тогава формулата за това как да намерите височината на трапец, в общи линии, ще бъде:

n \u003d c * sin α \u003d d * sin β.Номер 3.

Ако фигурата е равнобедрена, тогава можете да използвате тази опция:

n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α.Номер 4.

Известен с: диагонали и ъгли между тях

Обикновено към тези данни се добавят известни количества. Например основите или средната линия. Ако са дадени основанията, тогава за да се отговори на въпроса как да се намери височината на трапец, е полезна следната формула:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ c) или n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​​​+ c).Номер 5.

Това е за общия вид на фигурата. Ако е даден равнобедрен, тогава записът ще се трансформира, както следва:

n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ c) или n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​​​+ c).Номер 6.

Когато задачата се занимава със средната линия на трапец, тогава формулите за намиране на неговата височина стават както следва:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m или n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m.Номер 5а.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m или n = (d 1 2 * sin δ) / 2m.Номер 6а.

Сред известните величини: площ с основи или средна линия

Това са може би най-кратките и прости формули за намиране на височината на трапец. За произволна фигура ще бъде така:

n \u003d 2S / (a ​​​​+ c).Номер 7.

Същото е, но с добре позната средна линия:

n = S / m.Номер 7а.

Колкото и да е странно, но за равнобедрен трапец, формулите ще изглеждат еднакви.

Задачи

номер 1. Да се ​​определят ъглите при долната основа на трапеца.

Състояние.Даден е равнобедрен трапец, чиято страна е 5 см. Основите му са 6 и 12 см. Изисква се да се намери синус на остър ъгъл.

Решение.За удобство трябва да се въведе обозначение. Нека долният ляв връх е A, всички останали по посока на часовниковата стрелка: B, C, D. Така долната основа ще бъде обозначена като AD, горната - BC.

Необходимо е да се изчертаят височини от върховете B и C. Точките, които показват краищата на височините, ще бъдат обозначени съответно с H 1 и H 2. Тъй като във фигурата BCH 1 H 2 всички ъгли са прави, тя е правоъгълник. Това означава, че сегментът H 1 H 2 е 6 cm.

Сега трябва да разгледаме два триъгълника. Те са равни, защото са правоъгълни с еднаква хипотенуза и вертикални катети. От това следва, че по-малките им крака също са равни. Следователно те могат да бъдат определени като частно от разликата. Последното се получава чрез изваждане на горната от долната основа. Ще бъде разделено на 2. Тоест 12 - 6 трябва да бъде разделено на 2. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).

Сега, от Питагоровата теорема, трябва да намерите височината на трапеца. Необходимо е да се намери синусът на ъгъл. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (cm).

Използвайки знанията за това как синусът на остър ъгъл е разположен в триъгълник с прав ъгъл, можем да напишем следния израз: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0,8.

Отговор.Желаният синус е 0,8.

номер 2. Да се ​​намери височината на трапец по известна тангенс.

Състояние.За равнобедрен трапец трябва да изчислите височината. Известно е, че неговите основи са 15 и 28 см. Тангенсът на остър ъгъл е даден: 11/13.

Решение.Обозначаването на върховете е същото като в предишната задача. Отново трябва да нарисувате две височини от горните ъгли. По аналогия с решението на първата задача, трябва да намерите AH 1 = H 2 D, които се определят като разликата между 28 и 15, разделена на две. След изчисления се оказва: 6,5 cm.

Тъй като допирателната е съотношението на два крака, можем да напишем следното равенство: tg α \u003d AN 1 / VN 1. Освен това това съотношение е равно на 11/13 (по условие). Тъй като AH 1 е известен, височината може да се изчисли: HH 1 \u003d (11 * 6,5) / 13. Простите изчисления дават резултат от 5,5 cm.

Отговор.Желаната височина е 5,5см.

Номер 3. За изчисляване на височината от известни диагонали.

Състояние.За трапеца се знае, че неговите диагонали са 13 и 3 см. Трябва да намерите височината му, ако сборът от основите е 14 см.

Решение.Нека обозначението на фигурата е същото като преди. Да предположим, че AC е по-малкият диагонал. От връх C трябва да начертаете желаната височина и да я обозначите CH.

Сега трябва да направим допълнителна конструкция. От ъгъл C трябва да начертаете права линия, успоредна на по-големия диагонал, и да намерите точката на нейното пресичане с продължението на страната AD. Ще бъде D 1 . Оказа се нов трапец, вътре в който е начертан триъгълник ASD 1. Това е необходимото за по-нататъшно решаване на проблема.

Желаната височина също ще бъде същата в триъгълника. Следователно можете да използвате формулите, изучавани в друга тема. Височината на триъгълник се определя като произведението на числото 2 и площта, разделена на страната, към която е начертан. И страната се оказва равна на сумата от основите на първоначалния трапец. Това идва от правилото, по което се изпълнява допълнителното застрояване.

В разглеждания триъгълник всички страни са известни. За удобство въвеждаме обозначението x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Сега можете да изчислите площта, като използвате теоремата на Heron. Полупериметърът ще бъде равен на p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (cm). Тогава формулата за площта след заместване на стойностите ще изглежда така: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2 ).

Отговор.Височината е 6√10 / 7 см.

номер 4. За да намерите височината отстрани.

Състояние.Даден е трапец, трите страни на който са 10 см, а четвъртата е 24 см. Трябва да намерите височината му.

Решение.Тъй като фигурата е равнобедрена, се изисква формула номер 2. Просто трябва да замените всички стойности в нея и да преброите. Ще изглежда така:

n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (cm).

Отговор. h = √51 cm.

Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (сечение с правоъгълен трапец). Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук - пишете за това във форума. В задачите вместо символа "квадратен корен" се използва функцията sqrt (), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби. За прости радикални изрази може да се използва знакът "√"

Свойства на правоъгълен трапец

• При правоъгълен трапеци два ъгъла трябва да са прави
• И двата прави ъгълаправоъгълен трапец непременно принадлежат на съседни върхове
• И двата прави ъгълав правоъгълен трапец непременно са съседни на една и съща странична страна
• Диагонали на правоъгълен трапецобразуват правоъгълен триъгълник от едната страна
• Странична дължинатрапец, перпендикулярен на основите, е равен на неговата височина
• При правоъгълен трапец основите са успоредни, едната страна е перпендикулярна на основите, а втората страна е наклонена към основите
• При правоъгълен трапец два ъгъла са прави, а другите два са остри и тъпи

Задача

AT правоъгълен трапецнай-дългата страна е равна на сбора от основите, височината е 12 см. Намерете площта на правоъгълник, чиито страни са равни на основите на трапеца.

Решение.
Нека означим трапеца като ABCD. Нека означим дължините на основите на трапеца като a (по-голямата основа AD) и b (по-малката основа BC). Нека правият ъгъл е

∠А.

Площта на правоъгълник, чиито страни са равни на основите на трапец, ще бъде равна на
S=аб

От върха C на горната основа на трапеца ABCD спускаме височината CK към долната основа. Височината на трапеца е известна от условието на задачата. Тогава по Питагоровата теорема
CK 2 + KD

2=CD 2

Тъй като дългата страна на трапеца е условно равна на сумата от основите, тогава CD = a + b
Тъй като трапецът е правоъгълен, височината, изтеглена от горната основа на трапеца, разделя долната основа на два сегмента

AD = AK + KD. Стойността на първия сегмент е равна на по-малката основа на трапеца, тъй като височината образува правоъгълника ABCK, т.е. BC = AK = b, следователно KD ще бъде равна на разликата в дължините на основите на правоъгълен трапец KD = a - b.
това е
12 2 + (a - b) 2 = (a + b) 2
където
144 + a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144=4ab

Тъй като площта на правоъгълника S = ab (виж по-горе), тогава
144=4S
S=144 / 4=36

Отговор: 36 см

2 .

Инструкция

Ако са известни дължините на двете основи (b и c) и страните на равнобедрения, които са еднакви по дефиниция (a), тогава може да се използва правоъгълен триъгълник за изчисляване на стойността на един от неговите остри ъгли (γ) . За да направите това, намалете височината от всеки ъгъл, съседен на късата основа. Правоъгълен триъгълник ще бъде образуван от височината (), страната (хипотенузата) и сегмент от дългата основа между височината и близката страна (втори крак). Дължината на този сегмент може да се намери, като се извади дължината на по-малката основа от дължината на по-голямата основа и резултатът се раздели наполовина: (c-b) / 2.

След като получите стойностите на дължините на две съседни страни на правоъгълен триъгълник, преминете към изчисляването на ъгъла между тях. Съотношението на дължината на хипотенузата (a) към дължината на катета ((c-b)/2) дава стойността на косинуса на този ъгъл (cos(γ)), ​​а функцията аркосинус ще помогне за преобразуването му към ъгъла в градуси: γ=arccos(2*a/(c-b )). Така че получаваш стойността на един от острите и тъй като е равнобедрен, тогава вторият остър ъгъл ще има същата стойност. Сумата от всички ъгли трябва да бъде 360°, което означава, че сумата от двата ъгъла ще бъде равна на разликата между този и два пъти по-големия от острия ъгъл. Тъй като и двата тъпи ъгъла също ще бъдат еднакви, тогава, за да се намери стойността на всеки от тях (α), тази разлика трябва да се раздели наполовина: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2 *a/(c-b)) . Сега имате изчислението на всички ъгли на равнобедрен трапец предвид дължините на страните му.

Ако дължините на страните на фигурата са неизвестни, но е дадена нейната височина (h), тогава трябва да действате по същия начин. В този случай в правоъгълен триъгълник, съставен от странична страна и къса отсечка от дълга основа, ще знаете дължините на два крака. Тяхното съотношение определя тангенса на нужния ви ъгъл, като тази тригонометрична функция има и своя антипод, който преобразува стойността на тангенса в стойността на ъгъла - арктангенса. Трансформирайте съответно формулите за остър и тъп ъгъл, получени в предишната стъпка: γ=arctg(2*h/(c-b)) и α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

За да решите този проблем с помощта на методите на векторната алгебра, трябва да знаете следните понятия: геометрична векторна сума и скаларно произведение на вектори, а също така трябва да запомните свойството на сумата от вътрешните ъгли на четириъгълник.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химикалка;
• - владетел.

Инструкция

Векторът е насочен сегмент, т.е. стойност, която се счита за напълно дадена, ако са дадени неговата дължина и посока (ъгъл) спрямо дадена ос. Позицията на вектора вече не е ограничена. Два вектора с дължини и еднаква посока се считат за равни. Следователно, когато се използват координати, векторите се представят чрез радиус вектори на точките от неговия край (започвайки от началото).

По дефиниция: резултантният вектор на геометричната сума от вектори е вектор, който произхожда от началото на първия и има край на втория, при условие че краят на първия е подравнен с началото на втория. Това може да бъде продължено по-нататък, като се изгради верига от подобно разположени вектори.
Начертайте даденото ABCD с вектори a, b, c и d на фиг. 1. Очевидно при тази подредба резултантният вектор е d=a+b+c.

Скаларното произведение в този случай е по-удобно въз основа на векторите a и d. Точково произведение, означено с (a, d)= |a||d|cosφ1. Тук φ1 е ъгълът между векторите a и d.
Скаларното произведение на вектори, дадени от координати, се дефинира, както следва:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогава
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Ъгли на равнобедрен трапец. Здравейте! Тази статия ще се фокусира върху решаването на задачи с трапец. Тази група задачи е част от изпита, задачите са прости. Ще изчислим ъглите на трапеца, основата и височината. Решаването на редица проблеми се свежда до решаването, както се казва: къде сме без Питагоровата теорема?

Ще работим с равнобедрен трапец. Има равни страни и ъгли в основите. Има статия в блога за трапеца.

Отбелязваме малък и важен нюанс, който няма да описваме подробно в процеса на решаване на самите задачи. Вижте, ако имаме две основи, тогава по-голямата основа е разделена на три сегмента от височините, спуснати към нея - едната е равна на по-малката основа (това са противоположните страни на правоъгълника), другите две са равни една на друга ( това са катетите на равни правоъгълни триъгълници):

Прост пример: дадени са две основи на равнобедрен трапец 25 и 65. По-голямата основа е разделена на сегменти, както следва:

* И по-нататък! В задачите не се въвеждат буквени означения. Това е направено умишлено, за да не се претовари решението с алгебрични тънкости. Съгласен съм, че това е математически неграмотно, но целта е да се предаде същината. И винаги можете сами да направите обозначенията на върхове и други елементи и да запишете математически правилно решение.

Помислете за задачите:

27439. Основите на равнобедрен трапец са 51 и 65. Страните са 25. Намерете синуса на острия ъгъл на трапеца.

За да намерите ъгъла, трябва да начертаете височини. На скицата обозначаваме данните в условието за размер. Долната основа е 65, тя е разделена по височини на сегменти 7, 51 и 7:

В правоъгълен триъгълник знаем хипотенузата и катета, можем да намерим втория катет (височината на трапеца) и след това да изчислим синуса на ъгъла.

Според Питагоровата теорема посоченият катет е равен на:

По този начин:

Отговор: 0,96

27440. Основите на равнобедрен трапец са 43 и 73. Косинусът на остър ъгъл на трапец е 5/7. Намерете страната.

Нека изградим височините и маркираме данните в условието за величина, долната основа е разделена на сегменти 15, 43 и 15:

27441. По-голямата основа на равнобедрен трапец е 34. Страничната страна е 14. Синусът на остър ъгъл е (2√10)/7. Намерете по-малка основа.

Да строим височини. За да намерим по-малка основа, трябва да намерим на какво е равен сегментът, който е катет в правоъгълен триъгълник (обозначен в синьо):

Можем да изчислим височината на трапеца и след това да намерим крака:

По теоремата на Питагор изчисляваме крака:

Така че по-малката основа е:

27442. Основите на равнобедрен трапец са 7 и 51. Тангенсът на остър ъгъл е 5/11. Намерете височината на трапеца.

Нека да начертаем височините и да отбележим данните в условието за величина. Долната основа е разделена на сегменти:

Какво да правя? Изразяваме тангенса на познатия ни ъгъл в основата в правоъгълен триъгълник:

27443. По-малката основа на равнобедрен трапец е 23. Височината на трапеца е 39. Тангенсът на остър ъгъл е 13/8. Намерете по-голяма база.

Изграждаме височини и изчисляваме на какво е равен кракът:

Така че по-голямата база ще бъде:

27444. Основите на равнобедрен трапец са 17 и 87. Височината на трапеца е 14. Намерете тангенса на остър ъгъл.

Изграждаме височини и маркираме известни стойности на скицата. Долната основа е разделена на сегменти 35, 17, 35:

По дефиниция на допирателната:

77152. Основите на равнобедрен трапец са 6 и 12. Синусът на острия ъгъл на трапеца е 0,8. Намерете страната.

Нека да изградим скица, да изградим височини и да отбележим известните стойности, по-голямата основа е разделена на сегменти 3, 6 и 3:

Изразяваме хипотенузата, означена като x, чрез косинуса:

От основното тригонометрично тъждество намираме cosα

По този начин:

27818. Какъв е най-големият ъгъл на равнобедрен трапец, ако се знае, че разликата между срещуположните ъгли е 50 0 ? Дайте отговора си в градуси.

От курса по геометрия знаем, че ако имаме две успоредни прави и секуща, сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 0 . В нашия случай това

Условието казва, че разликата на срещуположните ъгли е 50 0 , т.е

От точки D и C изпускаме две височини:

Както бе споменато по-горе, те разделят по-голямата основа на три сегмента: единият е равен на по-малката основа, другите два са равни един на друг.

В този случай те са 3, 9 и 3 (общо 15). Освен това отбелязваме, че правоъгълните триъгълници са отрязани от височини и те са равнобедрени, тъй като ъглите в основата са равни на 45 0 . От това следва, че височината на трапеца ще бъде равна на 3.

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър.