Комбинация. Методи за решаване на комбинаторни задачи

При решаването на много практически задачи трябва да се използват комбинации от елементи, да се избират от даден набор тези, които имат определени свойства, и да се поставят в определен ред. Такива задачи се наричат комбинативен. Разделът от математиката, посветен на решаването на проблеми с избора и подреждането на елементи в съответствие с дадени условия, се нарича комбинаторика. Терминът "комбинаторика" идва от латинска дума съчетавам, което в превод на руски означава - "съчетавам", "свързвам".

Избраните групи от елементи се наричат ​​връзки. Ако всички елементи на връзката са различни, тогава получаваме връзки без повторения, които ще разгледаме по-долу.

Мнозинство комбинаторни задачирешен с помощта на две основни правила - правила за сбор и правила за произведение.

Задача 1.

В магазина All for Tea има 6 различни чаши и 4 различни чинийки. Колко чаши и чинийки можете да купите?

Решение.

Чаша можем да изберем по 6 начина, а чинийка по 4 начина. Тъй като трябва да купим чифт чаша и чинийка, можем да го направим по 6 4 = 24 начина (според правилото за продукта).

Отговор: 24.

За успешно решаване на комбинаторни задачи е необходимо също да се избере правилната формула, по която да се търси броят на желаните съединения. Следващата диаграма ще ви помогне с това.

Помислете за решаване на няколко проблема на различни видовевръзки без повторение.

Задача 2.

Намерете броя на трицифрените числа, които могат да бъдат съставени от числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ако числата в числото не могат да се повтарят.

Решение.

За да изберем формула, откриваме, че за числата, които ще съставим, се взема предвид редът и не всички елементи се избират едновременно. Това означава, че тази връзка е подреждане от 7 елемента по 3. Нека използваме формулата за броя на разположенията: A 7 3 = 7(7 - 1)(7 - 2) = 7 6 5 = 210 числа.

Отговор: 210.

Задача 3.

Колко седем цифри има телефонни номера, в който всички цифри са различни и числото не може да започне от нула?

Решение.

На пръв поглед тази задача е същата като предишната, но трудността е, че не трябва да се вземат предвид онези връзки, които започват от нула. Така че е необходимо да съставите всички седемцифрени телефонни номера от съществуващите 10 цифри и след това да извадите броя на числата, започващи от нула, от полученото число. Формулата ще изглежда така:

A 10 7 - A 9 6 \u003d 10 9 8 7 6 5 4 - 9 8 7 6 5 4 \u003d 544 320.

Отговор: 544 320.

Задача 4.

По колко начина могат да се подредят 12 книги на един рафт, от които 5 книги са стихосбирки, така че сборниците да стоят една до друга?

Решение.

Първо, да вземем 5 сборника условно за една книга, защото трябва да стоят един до друг. Тъй като редът е от съществено значение при връзката и се използват всички елементи, това означава, че това са пермутации от 8 елемента (7 книги + условно 1 книга). Номерът им е R 8 . По-нататък ще пренаредим помежду си само стихосбирки. Това може да стане по 5 начина. Тъй като трябва да подредим както колекции, така и други книги, ще използваме правилото за продукта. Следователно R 8 · R 5 = 8! · 5!. Броят на начините ще бъде голям, така че отговорът може да бъде оставен като произведение на факториели.

Отговор: 8! · 5!

Задача 5.

В класа има 16 момчета и 12 момичета. За почистване на района до училището са необходими 4 момчета и 3 момичета. По колко начина могат да бъдат избрани от всички ученици в класа?

Решение.

Първо, отделно избираме 4 момчета от 16 и 3 момичета от 12. Тъй като редът на класиране не се взема предвид, съответните съединения са комбинации без повторения. Като се има предвид необходимостта от избор на момчета и момичета едновременно, ние използваме правилото за продукта. В резултат на това броят на начините ще бъде изчислен, както следва:

C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 ) 4)) ((10 11 12 ) / (2 3)) = 400 400.

Отговор: 400 400.

По този начин, успешно решениена комбинаторна задача зависи от правилния анализ на нейните условия, определянето на вида на съединенията, които трябва да бъдат съставени, и избора на подходяща формула за изчисляване на техния брой.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате комбинаторни задачи?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Задача 1.Осемте ученици си стиснаха ръцете. Колко ръкостискания имаше?

Решение.„Подмножество“, състоящо се от двама студенти (m=2), участва в ръкостискането, докато цялото множество от ученици е 8 души (n=8). Тъй като редът не е важен в процеса на ръкостискане, ние избираме формулата за броя на комбинациите:

Задача.По колко начина може да се направи знаме с трицветни ивици от пет парчета плат в различни цветове?

Решение. Редът е важен, тъй като пермутацията на материята в рамките на трицветното знаме означава различни страни. Затова избираме формулата за броя на поставянията без повторения, където наборът от сегменти на материята n = 5, а подмножеството от цветове m=3:

Задача 2.Колко речници трябва да бъдат публикувани, за да можете да превеждате от всеки от шестте езика на всеки от тях?

Решение. Комплектът включва 6 езика n=6. Тъй като преводът е връзка между два езика, тогава m=2 и редът е важен, тъй като например руско-английският и англо-руският речник имат различни приложения. Затова избираме разположения без повторения:

Задача 3.Колко варианта за разписание за понеделник има, ако учениците имат 9 предмета, а в понеделник има 4 двойки часове и предметите не се повтарят?

Решение. а) За учениците редът не е важен, затова избираме формулата за броя на комбинациите:

б) За учителите редът е важен, затова избираме формулата за разположение без повторения:

Задача 4.По колко начина могат да се подредят девет книги на една лавица, сред които има тритомник на А.С. Пушкин?

Решение.

Тъй като трите тома, включени в комплекта от три тома, трябва да стоят един до друг и във възходящ ред на славата вдясно, ние ги считаме за един елемент даден набор, който има още 6 елемента. Следователно ние избираме пермутации без повторения в набор, съдържащ седем елемента:

P 7 = 7! = 5040

Задача 5.По колко начина на група от 30 души могат да бъдат назначени трима придружители?

Решение.

а) Ако тяхната роля в процеса на дежурство е една и съща, тогава редът не е важен, така че избираме комбинации без повторения:

C 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

б) Ако редът е важен, т.е. по време на тяхното дежурство функционални отговорностиса различни, тогава според формулата за поставяне без повторения имаме:

И 3 30 = 30! / 27! = 24360

Задача 6.Колко са шестцифрените телефонни номера, за които: а) са възможни всякакви цифри; б) всички числа различни ли са?

Решение.

а) 1. Тъй като при шестцифрено набиране на телефонен номер са възможни произволни цифри, на всяко от шестте места може да се намери всяка от 10-те цифри от 0 до 9. Необходимо е да се избере само от всички възможни десет цифри тези шест, които ще се използват за шестцифрени телефонни номера. Тъй като редът на цифрите в записа на телефонните номера е важен, според формулата за поставяне с повторения имаме:

A 10 6 \u003d 10 6 \u003d 1000000

2. Както знаете, няма шестцифрени числа, започващи с нула, така че трябва да преброите техния брой и да го извадите от общия брой комбинации. Броят на числата, чиято първа цифра е 0, намираме по формулата за поставяне с повторения, "фиксирайки" нула, т.е. на всеки от останалите пет възможни местанякоя от десетте цифри от
0 до 9. Тогава броят на тези комбинации:

A 10 5 \u003d 10 5 \u003d 100000

3. Общият брой на шестцифрените телефонни номера, които могат да имат всякакви, включително повтарящи се цифри, е равен на разликата:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 1000000 - 100000 \u003d 900000

б) 1. Нека сега всички цифри в шестцифрения набор са различни. Необходимо е от всички възможни десет цифри да се изберат само тези шест, които се използват за шестцифрени телефонни номера, като нито една цифра не се повтаря. Тогава, според формулата за поставяне без повторения, имаме:

И 10 6 = 10! / (10 - 6)! = 5x6x7x8x9x10 = 151200

2. Тъй като няма шестцифрени числа, започващи с нула, трябва да преброите техния брой и да го извадите от общия брой комбинации. Броят на числата, чиято първа цифра е 0, намираме чрез формулата за поставяне без повторения, „фиксиране на нула“, т.е. на всяко от петте останали възможни места може да има числа от 0 до 9. Тогава броят на тези комбинации ще бъде намерен по формулата за поставяне без повторения. Ние имаме:

И 10 5 = 10! / (10-5)! \u003d 6x7x8x9x10 \u003d 30240

3. Общият брой на шестцифрените телефонни номера, които не могат да имат повтарящи се цифри, е равен на разликата:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 151200 - 30240 \u003d 120960

Задача 7.По колко начина може да бъде избрана делегация от трима души измежду четири семейни двойки, ако:

а) делегацията включва трима от тези осем души;

б) делегацията да се състои от две жени и един мъж;

делегацията не включва членове на едно и също семейство?

Решение.

а) Редът не е важен:

C 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

б) Избираме две жени от наличните 4 C 4 2 начина и един мъж от 4 C 4 1 начина. Според продуктовото правило ( имъжкият, идве жени) имаме C 4 2 x C 4 1 \u003d 24.

в) Избираме 3 члена на делегацията от четири семейства по четири начина (защото С 4 3 = 4! / 3!1! = 4). Но във всяко семейство има два начина за избор на член на делегацията. Според правилото за продукта C 4 3 x2x2x2 \u003d 4x8 \u003d 32.

Задача 8.Колежът има 2000 студенти. Може ли да се твърди, че поне двама от тях имат еднакви инициали и име и фамилия?

Решение.

В руската азбука има 33 букви, от които ъ, ь, ы, й не могат да се използват, така че n = 33-4 = 29. Всяка от 29-те букви може да бъде инициал ииме, ифамилни имена. Според правилото за произведение 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 различни опции, а сред 2000 студента определено ще има съвпадения.

Решение: A (начини).

Задача 6.

Страница на албума 6 свободни местаза снимки.

По колко начина можете да инвестирате в празни пространства

а) 4 снимки;

б) 6 снимки.

Решение: а) А

Задача 7.

Колко трицифрени числа (без повтарящи се цифри във въведеното число) могат да се съставят от числата 0,1,2,3,4,5 и 6?

Обяснение: ако сред седемте цифри няма нула, тогава броят на трицифрените числа, които могат да бъдат съставени от тези цифри, е равен на броя на разположенията на 7 елемента от 3 A . Сред тези седем числа обаче има цифра 0, която не може да започва с трицифрено число. Следователно от поставянето на 7 елемента по 3 е необходимо да се изключат тези, чийто първи елемент е числото 0. Броят им е равен на броя на поставянията на 6 елемента по 2.

Така желаното число е: A
.

Решение: А

Задача 8.

От трицифрените числа, записани с числата 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторение на числата), колко от тях са в кои: а) числата 6 и 7 не възникват;

б) числото 8 последно ли е?

Решение: а) А

б) А

Задача 9.

Колко седемцифрени телефонни номера има, в които всички цифри са различни и първата цифра е различна от 0?

Решение: А

Сега нека да разгледаме този сюжет:

Има 5 карамфила в различни цветове. Нека ги обозначим с букви. а , b , ° С , д , д . Необходимо е да направите букет от три карамфила.

Нека да разберем какви букети могат да бъдат направени.

Ако букетът включва карамфил а, тогава можете да направите такива букети:

Abc, abd, abc, acd, асо, adc.

Ако букетът не включва карамфил а, и включва карамфил b, тогава можете да получите такива букети:

Bcd, bce, bdc.

И накрая, ако букетът не включва карамфил а, карамфил b, тогава можете да направите букет

cde.

Показахме всички възможни начини за съставяне на букети, в които три от тези пет карамфила се комбинират по различни начини.

Казват, че се правят всички възможни комбинации от 5 елемента от 3.

Комбинация от n елемента по k е всяко множество, съставено от k елемента, избрани от дадени n елемента и се означава с

за разлика от разположенията, при комбинациите няма значение в какъв ред са посочени елементите.

ОТ

Така че примерът с карамфил може бързо да бъде решен по следния начин:

Решение: C

Задача 10.

От 15 души в туристическата група трябва да изберете трима дежурни. По колко начина може да стане това?

Решение: C

Задача 11.

От една фруктиера с 9 ябълки и 6 круши трябва да изберете 3 ябълки и 2 круши. По колко начина може да стане това?

Решение: 3 ябълки от 9 могат да бъдат избрани C начини. При всеки избор на ябълки, круши можете да изберете C начини. Следователно, според правилото за умножение, изборът на плодове може да бъде направен C
начини.

Решение: C
=

Задачи за коригиране.

Задача I.

В класа има 7 човека, които се справят успешно с математика.

По колко начина могат да бъдат избрани двама от тях за участие в олимпиадата по математика?

Решение: C

Задача II.

В лаборатория с началник и 10 служители трябва да се командироват 5 човека.

По колко начина може да стане това, ако:

а) ръководителят на лабораторията трябва да бъде в командировка;

б) управителят трябва да остане.

Решение: а) В
б) В

Задача III.

В класа има 16 момчета и 12 момичета. За да почистите територията, трябва да разпределите 4 момчета и три момичета.

По колко начина може да стане това?

Решение: C

Задача IV.

В библиотеката на читателя беше предложен избор от 10 книги и 4 списания. По колко начина може да избере от тях 3 книги и 2 списания?

Решение: C
.

Комбинаториката е дял от математиката, посветен на решаването на проблеми с избора и подреждането на елементи от определено множество в съответствие с дадени правила. Комбинаториката изучава комбинации и пермутации на обекти, подреждане на елементи, които имат дадени свойства. общ въпросв комбинаторни задачи: по колко начина...

Към комбинаторните проблеми се отнасят и задачите за конструиране на магически квадрати, задачите за декодиране и кодиране.

Раждането на комбинаториката като клон на математиката се свързва с трудовете на великите френски математици от 17 век Блез Паскал (1623–1662) и Пиер дьо Ферма (1601–1665) върху теорията хазарт. Тези произведения съдържат принципи за определяне на броя на комбинациите от елементи на крайно множество. От 50-те години на 20 век интересът към комбинаториката се възражда поради бързото развитие на кибернетиката.

Основните правила на комбинаториката са правило за суматаи правило върши работа.

• Правило за сумата

Ако може да се избере някакъв елемент А нначини и елемент B може да бъде избран мначини, тогава може да се направи изборът „или А, или Б“. н+ мначини.

Например, ако в чинията има 5 ябълки и 6 круши, тогава един плод може да бъде избран по 5 + 6 = 11 начина.

• продуктово правило

Ако може да се избере елемент А нначини и елемент B може да бъде избран мначини, тогава може да се избере двойката A и B н мначини.

Например, ако има 2 различни плика и 3 различни марки, тогава има 6 начина за избор на плик и марка (2 3 = 6).

Правилото за продукта е вярно и когато се разглеждат елементи от няколко комплекта.

Например, ако има 2 различни плика, 3 различни марки и 4 различни пощенски картички, тогава има 24 начина да изберете плик, марка и пощенска картичка (2 3 4 = 24).

продукт на всички естествени числаот 1 до n включително се нарича n - факториел и се означава със символа n!

н! = 1 2 3 4 … n.

Например 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Например, ако има 3 топки - червена, синя и зелена, тогава можете да ги поставите в един ред по 6 начина (3 2 1 \u003d 3! \u003d 6).

Понякога комбинаторна задача се решава чрез конструиране дърво настроики .

Например, нека решим предишната задача с 3 топки, като построим дърво.

Уъркшоп за решаване на задачи по комбинаторика.

ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА и РЕШЕНИЯ

1. Във ваза има 6 ябълки, 5 круши и 4 сливи. Колко възможности за избор за един плод?

Отговор: 15 варианта.

2. Колко варианта има за закупуване на една роза, ако продават 3 алени, 2 алени и 4 жълти рози?

Отговор: 9 варианта.

3. Пет пътя водят от град A до град B и три пътя водят от град B до град C. Колко пътя през B водят от A до C?

Отговор: 15 начина.

4. По колко начина можете да направите двойка от една гласна и една съгласна от буквите на думата "кърпа"?

гласни: а, о - 2 бр.
съгласни: p, l, t, k - 4 бр.

Отговор: 8 начина.

5. Колко танцови двойки могат да бъдат съставени от 8 момчета и 6 момичета?

Отговор: 48 чифта.

6. В трапезарията има 4 първи ястия и 7 втори ястия. Колко различни опции за обяд с две ястия могат да бъдат поръчани?

Отговор: 28 варианта.

7. Колко различни двуцифрени числамогат да бъдат съставени с помощта на числата 1, 4 и 7, ако числата могат да се повтарят?

1 цифра - 3 начина
2 цифри - 3 начина
3-та цифра - 3 начина

Отговор: 9 различни двуцифрени числа.

8. Колко различни трицифрени числа могат да се съставят с числата 3 и 5, ако числата могат да се повтарят?

1 цифра - 2 начина
2 цифри - 2 начина
3-та цифра - 2 начина

Отговор: 8 различни числа.

9. Колко различни двуцифрени числа могат да се съставят от числата 0, 1, 2, 3, ако числата могат да се повтарят?

1 цифра - 3 начина
2 цифри - 4 начина

Отговор: 12 различни числа.

10. Колко трицифрени числа има, в които всички цифри са четни?

Четните числа са 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра - 4 начина
2 цифри - 5 начина
3 цифри - 5 начина

Отговор: Има 100 числа.

11. Колко са четните трицифрени числа?

1 цифра - 9 начина (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2-ра цифра - 10 начина (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3-та цифра - 5 начина (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Отговор: Има 450 числа.

12. Колко различни трицифрени числа могат да се направят от три различни числа 4, 5, 6?

1 цифра - 3 начина
2 цифри - 2 начина
3 цифри - 1 начин

Отговор: 6 различни числа.

13. По колко начина могат да бъдат отбелязани върховете на триъгълник с буквите A, B, C, D?

1 връх - 4 начина
2 върха - 3 начина
3 отгоре - 2 начина

Отговор: 24 начина.

14. Колко различни трицифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 3, 4, 5, при условие че нито едно число не се повтаря?

1 цифра - 5 начина
2 цифри - 4 начина
3-та цифра - 3 начина

Отговор: 60 различни числа.

15. Колко различни трицифрени числа, по-малки от 400, могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9, ако някое от тези числа може да се използва само веднъж?

1 цифра - 2 начина
2 цифри - 4 начина
3-та цифра - 3 начина

Отговор: 24 различни числа.

16. По колко начина може да се състави знаме от три хоризонтални ивици с различни цветове, ако има материал от шест цвята?

1 лента - 6 посоки
2 лента - 5 посоки
3 лента - 4 посоки

Отговор: 120 начина.

17. От класа изберете 8 души с най-добри резултатив бягство. По колко начина могат да формират екип от трима душиза участие в щафетата?

1 човек - 8 начина
2 души - 7 начина
3 души - 6 начина

Отговор: 336 начина.

18. В четвъртък в първи клас да има четири урока: писане, четене, математика и физическо възпитание. Колко различни графици можете да направите за този ден?

1 урок - 4 начина
Урок 2 - 3 начина
Урок 3 - 2 начина
Урок 4 - 1 начин

4 3 2 1 = 24

Отговор: 24 варианта.

19. В пети клас се изучават 8 предмета. Колко различни графици могат да се направят за понеделник, ако в този ден има 5 урока и всички уроци са различни?

1 урок - 8 варианта
Урок 2 - 7 варианта
Урок 3 - 6 варианта
Урок 4 - 5 варианта
Урок 5 - 4 варианта

8 7 6 5 4 = 6720

Отговор: 6720 опции.

20. Шифърът на сейфа се състои от пет различни числа. Колко различни шифри има?

1 цифра - 5 начина
2 цифри - 4 начина
3-та цифра - 3 начина
4 цифри - 2 начина
5 цифри - 1 начин

5 4 3 2 1 = 120

Отговор: 120 варианта.

21. По колко начина могат да се настанят 6 души на маса с 6 прибора за хранене?

6 5 4 3 2 1 = 720

Отговор: 720 начина.

22. Колко варианта на седемцифрени телефонни номера могат да бъдат направени, ако от тях се изключат числата, започващи с нула и 9?

1 цифра - 8 начина
2 цифри - 10 начина
3 цифри - 10 начина
4 цифри - 10 начина
5-та фигура - 10 начина
6 цифри - 10 начина
7-ма фигура - 10 начина

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Отговор: 8 000 000 опции.

23. Телефонната централа обслужва абонати, чиито телефонни номера се състоят от 7 цифри и започват с 394. За колко абоната е предназначена тази станция?

тел. 394

10 10 10 10 = 10.000

Отговор: 10 000 абонати.

24. Има 6 чифта ръкавици в различни размери. По колко начина може да се избере една ръкавица от тях? лява ръкаи една ръкавица дясна ръкатака че тези ръкавици да се предлагат в различни размери?

Леви ръкавици - 6 начина
Десни ръкавици - 5 начина (6 ръкавици са със същия размер като лявата)

Отговор: 30 начина.

25 . От числата 1, 2, 3, 4, 5 се съставят петцифрени числа, в които всички числа са различни. Колко четни числа?

5 цифри - 2 начина (две четни цифри)
4 цифри - 4 начина
3-та цифра - 3 начина
2 цифри - 2 начина
1 цифра - 1 начин

2 4 3 2 1 = 48

Отговор: 48 четни числа.

26. Колко четирицифрени числа има, съставени от нечетни цифри и делими на 5?

Нечетни числа - 1, 3, 5, 7, 9.
От тях те са разделени на 5 - 5.

4 цифри - 1 начин (номер 5)
3 цифри - 4 начина
2 цифри - 3 начина
1 цифра - 2 начина

1 4 3 2 = 24

Отговор: 24-ти.

27. Колко са петцифрените числа, в които третата цифра е 7, а последната е четна?

1 цифра - 9 начина (всички освен 0)
2 цифри - 10 начина
3 цифри - 1 начин (номер 7)
4 цифри - 10 начина
5-та цифра - 5 начина (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Отговор: 4500 числа.

28. Колко шестцифрени числа има, в които втората цифра е 2, четвъртата е 4, шестата е 6, а всички останали са нечетни?

1 цифра - 5 опции (от 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифри - 1 опция (номер 2)
3-та цифра - 5 опции
4 цифри - 1 опция (номер 4)
5 цифри - 5 опции
6 цифри - 1 опция (номер 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Отговор: 125 числа.

29. Колко различни числа, по-малки от милион, могат да бъдат записани с числата 8 и 9?

Едноцифрени - 2
Двуцифрено - 2 2 \u003d 4
Трицифрено - 2 2 2 \u003d 8
Четирицифрено - 2 2 2 2 \u003d 16
Петцифрено - 2 2 2 2 2 = 32
Шестцифрено - 2 2 2 2 2 2 = 64

Общо: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Отговор: 126 числа.

30. Във футболния отбор има 11 души. Трябва да изберете капитан и негов заместник. По колко начина може да стане това?

Капитан - 11 начина
Заместник - 10 начина

Отговор: 110 начина.

31. В класа има 30 души. По колко начина могат да бъдат избрани директорът и мениджърът на билети измежду тях?

Headman - 30 начина
Отговор. за билети - 29 начина

Отговор: 870 начина.

32. В кампанията участват 12 момчета, 10 момичета и 2 учители. Колко варианта за дежурни групи от трима души (1 момче, 1 момиче, 1 учител) могат да се направят?

12 10 2 = 240

Отговор: 240 начина.

33. Колко комбинации от четири букви на руската азбука (в азбуката има само 33 букви) могат да бъдат направени, при условие че 2 съседни букви са различни?

Методическа разработка на урок по математика в 5 клас

Кожокар Ирина Евгениевна, учител по математика.

GBOU средно училище № 354 на Санкт Петербург

Тема на урока: Запознайте се с комбинаториката!

Целта на урока: формулират първоначалните умения за комбинаторни задачи чрез изброяване на възможни варианти.

Цели на урока:

Образователни:

1. Развитие на способността за решаване на комбинаторни задачи по метода на пълното изброяване на опциите;
2. Развиване на способността за прилагане математическа теорияв конкретни ситуации;
3. Запознаване на учениците с елементите на хуманитарните знания, свързани с математиката.

Разработване:

1. Развитие на способността за самостоятелен избор на метод за вземане на решение и способността за обосноваване на избора;
2. Развитие на способността за решаване на проблеми само чрез логически разсъждения;
3. Развитие на способността за избор на рационален начин на кодиране;
4. Развитие на комуникацията и креативностстуденти.

Образователни:

1. Да възпитава чувство за отговорност за качеството и резултата от извършената работа;
2. внушавам съзнателно отношениеда работиш;

1. Формиране на отговорност за крайния резултат.

Оборудване:

1. интерактивна дъска;
2. раздаване (цветни ивици: бяло, синьо, червено);
3. карти със задачи.

По време на часовете.

1. Организиране на времето.
2. Учене на нов материал.
3. Практическа част.
4. Отражение
5. Маркиране
6. Домашна работа

1. Организиране на времето.

Учител: Здравейте момчета!

Много често в живота трябва да направите избор, да вземете решение. Това е много трудно да се направи, не защото няма избор, а защото трябва да избирате от много възможни опции, различни начини, комбинации. И винаги искаме този избор да е оптимален.

Задачите, които ще решим днес, ще ви помогнат да творите, да мислите необичайно, по оригинален начин, да видите това, което често сте подминавали, без да забележите.

И днес отново ще се уверим, че нашият свят е пълен с математика и ще продължим нашите изследвания, за да идентифицираме математиката около нас.

1. Актуализиране на темата и мотивация.

Нека решим задача номер 1,

Задача 1 . Четирима момчета стоят на касата на киното. Две от тях имат банкноти от сто рубли, другите две имат банкноти от петдесет рубли.(Учителят извиква 4 ученика на дъската и им дава модели на банкноти).Билет за кино струва 50 рубли. В началото на продажбата касата е празна.(Учителят вика "касиера" и му дава "билети"). Как трябва да се установят момчетата, така че никой да не чака да се предаде?

Разиграваме сцена, с помощта на която можем да намерим две възможни решения:

1. 50 рубли, 100 рубли, 50 рубли, 100 рубли;
2. 50 рубли, 50 рубли, 100 рубли, 100 рубли (слайд № 2 и № 3).

Задача №2 . Няколко страни са избрали да използват за своите държавно знамесимволика под формата на три хоризонтални ивици с еднаква ширина различни цветове- бяло, синьо, червено. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?

(На учениците се раздават цветни ивици (бяло, синьо, червено) и се канят да композират различни вариантизнамена? (Слайд номер 4)

1. Учене на нов материал.

Учител: При решаването на тези проблеми извършихме изброяване на всички възможни варианти,

или, както обикновено се казва в тези случаи, всички възможни комбинации. Следователно такива задачи се наричат ​​комбинаторни. В живота е доста обичайно да се изчисляват възможни (или невъзможни) варианти, така че е полезно да се запознаете с комбинаторни проблеми, а разделът от математиката, който се занимава с решаването на тези проблеми, се нарича комбинаторика. (Слайд номер 5)

Учениците записват определението в тетрадка:

Комбинаторика е дял от математиката, посветен на решаването на проблеми с избора и подреждането на дадени елементи според дадени правила

Често срещан въпрос в комбинаторните задачи е "Колко много начини…?" или

« Колко опции…?»

Учител : Нека се върнем към проблема с флаговете, решете го, като използвате изброяването на възможните опции: (слайд номер 7)

KBS KSB

BSC BCS

SBC SKB

Отговор: 6 варианта.

Така че, когато решавахме този проблем, ние търсихме начин да изброим възможните опции. в

в много случаи се оказва полезен приемконструиране на картина - схема за изброяване на варианти. Това е преди всичко илюстративно Второ, ни позволява да вземем предвид всичко, да не пропуснем нищо.

Флаг за решение

Варианти на BSK, BKS, SBC, SKB, KBS, KSB.

Отговор: 6 варианта.

Въпросът, отговорът на който всеки трябва да знае, кой от представените варианти на знамето е държавното знаме на Руската федерация (Слайд № 7)

Оказва се, че не само знамето на Русия има тези три цвята. Има държави, чиито знамена имат еднакви цветове.

KBS - Люксембург,

Холандия.

Франция SKB

Учител: Нека намерим правило за решаване на такива проблеми чрез логически разсъждения.

Нека да разгледаме примера с цветни ивици. Да вземем бяла лента - тя може да се пренареди 3 пъти, да вземем синя лента - тя може да се пренареди само 2 пъти, т.к. едно от местата вече е заето от бяло, вземете червената лента - тя може да бъде поставена само 1 път.

ОБЩО: 3 x 2 x 1=6

Основното правило на продукта:

Правило за умножение: ако първият елемент в комбинация може да бъде избран по начини, то вторият елемент по b начина, тогава общ бройкомбинации ще бъдат равни на a x b. (слайд номер 8)

Физическо възпитание за очите. (слайд номер 9)

Форми за упражнения.

Начертайте с очите си квадрат, кръг, триъгълник, овал, ромб по посока на часовниковата стрелка и след това обратно на часовниковата стрелка.

1. Практическа част

Учител: Сега нека да преминем към математически задачи. (раздават карти със задачи)

1. Един доста известен мускетар има в гардероба си 3 елегантни шапки, 4 прекрасни наметала и 2 чифта страхотни ботуши. Колко опции за костюм може да направи? (Избираме един елемент от три комплекта, тоест съставяме „три“, което означава, че според правилото за умножение получаваме 3 4 2 = 24 опции за костюми.)
2. Във футболния отбор има 11 души. Необходимо е да се избере капитан и негов заместник. По колко начина може да стане това? (Има общо 11 души, което означава, че капитанът може да бъде избран по 11 начина, остават 10 играча, от които можете да изберете заместник-капитан. Така че двойка капитан и неговият заместник могат да бъдат избрани по 11 10 \u003d 110 начина.)
3. Колко различни двуцифрени числа могат да се образуват от числата 1, 4, 7, ако е разрешено повторението на числата? (Трябва да получите двуцифрено число - само две позиции. На първата позиция можете да поставите произволно от предложените числа - 3 варианта, на втората позиция, като вземете предвид възможността за повторение на числото, също има 3 И така, правим двойка числа 3 3 = 9 начина, т.е. получаваме 9 числа.
4. Колко различни трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 1, 2, 3, 4, 5, при условие че нито една цифра не се повтаря? ( трицифрено число: първа позиция - 5 опции за числа, втора позиция, като се вземе предвид изключването на повторения на числа - 4 опции, трета позиция - 3 опции. Получаваме 5 4 3 = 60 числа.)
5. Колко различни двуцифрени числа могат да се съставят от числата 0, 1, 2, 3, ако числата: а) могат да се повтарят; б) не може да се повтори? (a) Двуцифрено число, като всяко многоцифрено число, не може да започва с 0, следователно само 3 от наличните 4 цифри, 3 избора могат да бъдат поставени на първа позиция, всяко от числата може да бъде поставено в втора позиция с отчитане на повторението - 4 избора. Следователно се оказва 3 4 \u003d 12 числа; б) Първа позиция – 3 варианта, втора позиция – 3 варианта, т.к повторението е изключено. Получаваме 3 3 = 9 числа.)
6. Шифърът на сейфа се състои от пет различни числа. Колко различни шифри има? (5 4 3 2 1 = 120 опции.) По колко начина могат да седнат 6 души на маса с 6 прибора за хранене? (6 5 4 3 2 1 = 720 начина.)
7. 6 уреда? (6 5 4 3 2 1 = 720 начина.)
8. (8 7 6 5 4 = 6720 опции.)
9. (Използвани са числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - общо 10 цифри, без 0 и 9 в началото на номера по условие, като се има предвид възможността за повторение, получаваме 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 числа.)

1. Отражение

Учител: Момчета, нашият урок е към своя край. Мислите ли, че постигнахме целта си днес, защо? Какво беше трудно в урока, как можете да се справите с тях? Помислете и си дайте оценка за работата и работата си, поставете я сами, никой от момчетата няма да види тази оценка, опитайте се да бъдете честни със себе си. Участвахте ли напълно в урока? Какво трябва да се направи, за да получите по-добри резултати?

Освен това учениците са поканени да отговорят на 3 блиц въпроса:

1. В днешния урок имах ... (лесно, обикновено, трудно)
2. нов материалАз ... (научих и мога да кандидатствам, научих и ми е трудно да кандидатствам, не научих)
3. Моята самооценка за урока...

Отговорите на горните въпроси не могат да бъдат подписани, т.к. основната им функция е да помогнат на учителя да анализира урока и резултатите от него

1. Обобщаване. Маркиране

7. Домашна работа:

1) Направете задача за вашия клас

2) Няколко държави са решили да използват символи за националното си знаме под формата на 3 хоризонтални ивици с различна ширина, различни цветове - бяло, синьо, червено. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?

3) а) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9?

б) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9, при условие че числата не трябва да се повтарят

учител: И така, радвам се да се запозная с вас, интересувайте се от математика, това несъмнено ще се отрази в положителна странавъв вашите мисли и действия. Довиждане

Литература:

Е.А. Бунимович, В.А. Буличев. Вероятност и статистика в курса на математиката средно училище: лекции 1-4, 5 - 8. - М .: Педагогически университет"Първи септември", 2006 г.

Виленкин Н.Я. Математика. 5 клас: Учебник за общообразователна подготовка. институции / Н. Я. Виленкин и др. - М .: Мнемозина, 2009.

Смикалова Е.В. Допълнителни глави по математика за ученици от 5 клас. Санкт Петербург: СМИО. Преса, 2006.

5 клас "Математика-5", I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004.

Задачи (карти)

1. Един доста известен мускетар има в гардероба си 3 елегантни шапки, 4 прекрасни наметала и 2 чифта страхотни ботуши. Колко опции за костюм може да направи?
2. Във футболния отбор има 11 души. Необходимо е да се избере капитан и негов заместник. По колко начина може да стане това?
3. Колко различни двуцифрени числа могат да се образуват с числата 1, 4, 7, ако е разрешено повторението на числата
4. Колко различни трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 1, 2, 3, 4, 5, при условие че нито една цифра не се повтаря?
5. Колко различни двуцифрени числа могат да се съставят от числата 0, 1, 2, 3, ако числата: а) могат да се повтарят; б) не може да се повтори?
6. Шифърът на сейфа се състои от пет различни числа. Колко различни шифри има?
7. По колко начина могат да се настанят 6 души на маса с 6 уреда?
8. В пети клас се изучават 8 предмета. Колко различни графици могат да се направят за понеделник, ако този ден трябва да има 5 урока и всички уроци са различни?
9. Колко варианта на седемцифрени телефонни номера могат да се образуват, ако от тях се изключат числата, започващи с 0 и 9?

Отговори

1. Избираме един елемент от три комплекта, тоест съставяме „три“, което означава, че според правилото за умножение получаваме 3 4 2 = 24 опции за костюми.
2. Има общо 11 души, което означава, че капитанът може да бъде избран по 11 начина, остават 10 играча, от които можете да изберете заместник-капитана. И така, една двойка, капитанът и неговият заместник, могат да бъдат избрани по 11 10 = 110 начина.
3. Трябва да получите двуцифрено число - само две позиции. На първа позиция можете да поставите произволно от предложените числа - 3 избора, на втора позиция, имайки предвид възможността за повторение на числото, също има 3 избора. Това означава, че съставяме двойка цифри по 3 3 = 9 начина, т.е. получавате 9 числа.
4. Трицифрено число: първа позиция - 5 опции за числа, втора позиция, като се вземат предвид изключването на повторения на числа, - 4 опции, трета позиция - 3 опции. Получаваме 5 4 3 = 60 числа.
5. (a) Двуцифрено число, като всяко многоцифрено число, не може да започва с 0, следователно само 3 от наличните 4 цифри, 3 избора могат да бъдат поставени на първа позиция, всяко от числата може да бъде поставено в втора позиция с отчитане на повторението - 4 избора. Следователно се оказва 3 4 \u003d 12 числа; б) Първа позиция – 3 варианта, втора позиция – 3 варианта, т.к повторението е изключено. Получаваме 3 3 = 9 числа.
6. 5 4 3 2 1 = 120 опции.
7. 6 5 4 3 2 1 = 720 начина
8. 8 7 6 5 4 = 6720 опции
9. Използват се числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - общо 10 цифри, без 0 и 9 в началото на номера по условие, като се има предвид възможността за повторение , получаваме 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 числа.

Преглед:

Задача 2 Отговор: Има общо 6 възможни варианта. Това знаме може да се използва от 6 държави. Кожокар И.Е. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Комбинаториката е дял от математиката, посветен на решаването на проблеми с избора и подреждането на дадени елементи според дадени правила. Често срещан въпрос в комбинаторните задачи е "По колко начина ...?" или "Колко опции...?" Кожокар И.Е. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Няколко страни са решили да използват за своите национални знамена символи под формата на три хоризонтални ивици с еднаква ширина в различни цветове - бяло, синьо, червено. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме? Изброяване на възможните варианти на KBS KSB BSK BKS SBK SKB Отговор: 6 варианта. Схема за изброяване на опции Флаг Kozhokari I.Ye. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Знаме на Холандия Знаме на Люксембург Знаме на Франция Не само знамето на Русия има тези три цвята. Има държави, чиито знамена имат еднакви цветове Знаме на Русия Кожокар I.E. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Правило за продукта (избор на двойка от няколко елемента) Kozhokar I.E. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Физическо възпитание за очите Kozhokar I.E. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Задачи 1) Един доста известен мускетар има 3 елегантни шапки, 4 прекрасни наметала и 2 чифта страхотни ботуши в гардероба си. Колко опции за костюм може да направи? 2) Във футболния отбор има 11 души. Необходимо е да се избере капитан и негов заместник. По колко начина може да стане това? 3) Колко различни двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 4, 7, ако е разрешено повторението на числата 4) Колко различни трицифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 3, 4 , 5, при условие че нито едно число не се повтаря? 5) Колко различни двуцифрени числа могат да се съставят от числата 0, 1, 2, 3, ако числата: а) могат да се повтарят; б) не може да се повтори? 6) Шифърът за сейфа се състои от пет различни числа. Колко различни шифри има? 7) По колко начина могат да се настанят 6 души на маса с 6 прибора за хранене? 8) В пети клас се изучават 8 предмета. Колко различни графици могат да се направят за понеделник, ако този ден трябва да има 5 урока и всички уроци са различни? 9) Колко варианта на седемцифрени телефонни номера могат да се образуват, ако от тях се изключат числата, започващи с 0 и 9? Кожокар И.Е. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

5) (a) Двуцифрено число, като всяко многоцифрено число, не може да започва с 0, следователно само 3 от наличните 4 цифри, 3 избора могат да бъдат поставени на първа позиция, която и да е от цифрите - 4 избора . Следователно се оказва 3 4 \u003d 12 числа; б) Първа позиция – 3 варианта, втора позиция – 3 варианта, т.к повторението е изключено. Получаваме 3 3 = 9 числа. 6) 5 4 3 2 1 = 120 опции. 7) 6 5 4 3 2 1 = 720 начина 8) 8 7 6 5 4 = 6720 опции по условие 0 и 9 в началото на числото, като се вземе предвид възможността за повторение, получаваме 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 номера получаваме 3 4 2 = 24 опции за костюми. 2) Има общо 11 души, което означава, че капитанът може да бъде избран по 11 начина, остават 10 играча, от които можете да изберете заместник-капитана. И така, една двойка, капитанът и неговият заместник, могат да бъдат избрани по 11 10 = 110 начина. 3) Трябва да получите двуцифрено число - само две позиции. На първа позиция можете да поставите произволно от предложените числа - 3 избора, на втора позиция, имайки предвид възможността за повторение на числото, също има 3 избора. Това означава, че съставяме двойка цифри по 3 3 = 9 начина, т.е. получавате 9 числа. 4) Трицифрено число: първа позиция - 5 опции за числа, втора позиция, като се вземе предвид изключването на повторения на числа, - 4 опции, трета позиция - 3 опции. Получаваме 5 4 3 = 60 числа. Отговори Kozhokar I.E. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Блиц анкета На днешния урок бях ... (лесно, обикновено, трудно) Аз ... (научих и мога да прилагам, научих и ми е трудно да прилагам, не научих) Моята самооценка за урока ... Отговорите на горните въпроси не могат да бъдат подписани Kozhokar I.E. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Домашна работа Напишете задача за вашия клас Няколко държави са решили да използват символи под формата на 3 хоризонтални ивици с различна ширина, различни цветове - бяло, синьо, червено за националния си флаг. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме? а) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9? б) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9, при условие че числата не трябва да се повтарят Кожокар И.Е. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Много добре! Благодаря за урока Kozhokar I.E. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург

Кожокар И.Е. GBOU средно училище № 354 Санкт Петербург