Съкращаване на дроби с букви. Извършване на намаляване на дроби

Когато ученикът се премести в гимназията, математиката се разделя на 2 предмета: алгебра и геометрия. Концепциите стават все повече, задачите стават все по-трудни. Някои хора трудно разбират дробите. Пропуснах първия урок по тази тема и готово. дроби? Въпрос, който ще измъчва през целия училищен живот.

Понятието алгебрична дроб

Да започнем с определение. Под алгебрична дроб P/Q изразите се разбират, където P е числителят, а Q е знаменателят. Число, числов израз, числово-буквен израз могат да бъдат скрити под буквен запис.

Преди да се чудите как да решавате алгебрични дроби, първо трябва да разберете, че такъв израз е част от едно цяло.

По правило цялото е 1. Числото в знаменателя показва на колко части е разделена единицата. Числителят е необходим, за да разберете колко елемента са взети. Дробната лента съответства на знака за деление. Разрешено е да се запише дробен израз като математическа операция "Делене". В този случай числителят е дивидентът, знаменателят е делителят.

Основното правило за обикновените дроби

Когато учениците преминават през тази тема в училище, им се дават примери за затвърждаване. За да ги решите правилно и да намерите различни изходи от трудни ситуации, трябва да приложите основното свойство на дробите.

Звучи така: Ако умножите и числителя, и знаменателя по едно и също число или израз (различен от нула), тогава стойността на обикновена дроб няма да се промени. Специален случай на това правило е разделянето на двете части на израза на едно и също число или полином. Такива трансформации се наричат тъждествени равенства.

По-долу ще разгледаме как да решаваме събиране и изваждане на алгебрични дроби, да извършваме умножение, деление и съкращаване на дроби.

Математически действия с дроби

Помислете как да решите основното свойство на алгебрична дроб, как да го приложите на практика. Ако трябва да умножите две дроби, да ги съберете, разделите една на друга или извадите, винаги трябва да следвате правилата.

Така че за операцията събиране и изваждане трябва да се намери допълнителен множител, за да се приведат изразите в общ знаменател. Ако първоначално дробите са дадени с едни и същи изрази Q, тогава трябва да пропуснете този елемент. Когато се намери общ знаменател, как се решават алгебрични дроби? Събиране или изваждане на числители. Но! Трябва да се помни, че ако има знак „-“ пред дробта, всички знаци в числителя са обърнати. Понякога не трябва да извършвате никакви замествания и математически операции. Достатъчно е да смените знака пред дробта.

Терминът често се използва като намаляване на фракцията. Това означава следното: ако числителят и знаменателят се разделят с израз, различен от единица (еднакъв за двете части), тогава се получава нова дроб. Дивидентът и делителят са по-малки от преди, но поради основното правило за дробите те остават равни на оригиналния пример.

Целта на тази операция е да се получи нов нередуцируем израз. Тази задача може да бъде решена чрез намаляване на числителя и знаменателя с най-големия общ делител. Алгоритъмът на работа се състои от две точки:

Намиране на НОД за двете части на дроб.
Разделяне на числителя и знаменателя на намерения израз и получаване на несъкратима дроб, равна на предходната.

Таблицата по-долу показва формулите. За удобство можете да го разпечатате и да го носите със себе си в тетрадка. Въпреки това, така че в бъдеще, когато решавате тест или изпит, няма да има трудности по въпроса как да решавате алгебрични дроби, тези формули трябва да се научат наизуст.

Няколко примера с решения

От теоретична гледна точка се разглежда въпросът как да се решават алгебрични дроби. Примерите, дадени в статията, ще ви помогнат да разберете по-добре материала.

1. Преобразувайте дроби и ги приведете към общ знаменател.

2. Преобразувайте дроби и ги приведете към общ знаменател.

След изучаване на теоретичната част и разглеждане на практическите въпроси не трябва да възникват повече въпроси.

Тази статия продължава темата за преобразуването на алгебрични дроби: помислете за такова действие като намаляване на алгебрични дроби. Нека дефинираме самия термин, формулираме правилото за съкращение и анализираме практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Значение на съкращението за алгебрична дроб

В материалите за обикновената фракция разгледахме нейното намаляване. Дефинирахме намаляването на обикновена дроб като разделяне на нейния числител и знаменател на общ множител.

Намаляването на алгебрична дроб е подобна операция.

Определение 1

Редукция на алгебрична дробе разделянето на неговия числител и знаменател на общ множител. В този случай, за разлика от намаляването на обикновена дроб (само число може да бъде общ знаменател), полином, по-специално моном или число, може да служи като общ фактор за числителя и знаменателя на алгебрична дроб.

Например, алгебричната дроб 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 може да бъде намалена с числото 3, в резултат на което получаваме: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Можем да намалим същата дроб с променливата x и това ще ни даде израза 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Също така е възможно да се намали дадена дроб с моном 3 хили някой от полиномите x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y или 3 x 2 + 6 x y.

Крайната цел за намаляване на алгебрична дроб е дроб с по-проста форма, в най-добрия случай несъкратима дроб.

Всички алгебрични дроби подлежат ли на съкращаване?

Отново, от материалите за обикновените дроби знаем, че има съкратими и несъкратими дроби. Несъкратими - това са дроби, които нямат общи множители на числителя и знаменателя, различни от 1.

С алгебричните дроби всичко е същото: те могат или не могат да имат общи множители на числителя и знаменателя. Наличието на общи множители ви позволява да опростите първоначалната дроб чрез редукция. Когато няма общи множители, е невъзможно да се оптимизира дадена фракция чрез редукционния метод.

В общи случаи за даден вид дроби е доста трудно да се разбере дали подлежи на редукция. Разбира се, в някои случаи наличието на общ фактор на числителя и знаменателя е очевидно. Например в алгебричната дроб 3 · x 2 3 · y е съвсем ясно, че общият множител е числото 3 .

В една дроб - x · y 5 · x · y · z 3 ние също веднага разбираме, че е възможно да я намалим с x, или y, или с x · y. И все пак много по-често се срещат примери за алгебрични дроби, когато общият фактор на числителя и знаменателя не се вижда толкова лесно и дори по-често - той просто отсъства.

Например, можем да намалим дробта x 3 - 1 x 2 - 1 с x - 1, докато зададеният общ множител не е в записа. Но дробта x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 не може да бъде намалена, тъй като числителят и знаменателят нямат общ множител.

По този начин въпросът за намиране на свиваемостта на алгебрична дроб не е толкова прост и често е по-лесно да се работи с дроб от дадена форма, отколкото да се опитвате да разберете дали тя е свиваема. В този случай се извършват такива трансформации, които в определени случаи ни позволяват да определим общия множител на числителя и знаменателя или да заключим, че дробта е несъкратима. Ще анализираме подробно този въпрос в следващия параграф на статията.

Правило за намаляване на алгебричната дроб

Правило за намаляване на алгебричната дробсе състои от две последователни стъпки:

намиране на общите множители на числителя и знаменателя;
в случай на намиране на такива, изпълнението на прякото действие за намаляване на фракцията.

Най-удобният метод за намиране на общи знаменатели е да се факторизират полиномите, присъстващи в числителя и знаменателя на дадена алгебрична дроб. Това ви позволява незабавно визуално да видите наличието или отсъствието на общи фактори.

Самото действие на редуциране на алгебрична дроб се основава на основното свойство на алгебрична дроб, изразено чрез равенството undefined , където a , b , c са някои полиноми, а b и c са различни от нула. Първата стъпка е да редуцираме дробта до вида a c b c , в който веднага забелязваме общия множител c . Втората стъпка е да извършите намаляването, т.е. преминаване към дроб от вида a b .

Типични примери

Въпреки известна очевидност, нека изясним специалния случай, когато числителят и знаменателят на алгебрична дроб са равни. Подобни дроби са идентично равни на 1 върху цялата ODZ на променливите на тази дроб:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Тъй като обикновените дроби са частен случай на алгебрични дроби, нека си припомним как се редуцират. Естествените числа, записани в числителя и знаменателя, се разлагат на прости множители, след което общите множители се намаляват (ако има такива).

Например 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Продуктът от прости идентични множители може да се запише като степени и в процеса на редукция на дроби използвайте свойството да разделяте степени с еднакви основи. Тогава горното решение ще бъде:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(числител и знаменател, разделени на общ множител 2 2 3). Или, за по-голяма яснота, въз основа на свойствата на умножението и делението, ще дадем на решението следната форма:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

По аналогия се извършва редукция на алгебрични дроби, в които числителят и знаменателят имат мономи с цели коефициенти.

Пример 1

Дадена е алгебрична дроб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Трябва да се намали.

Решение

Възможно е да запишете числителя и знаменателя на дадена дроб като произведение на прости множители и променливи и след това да намалите:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Въпреки това, по-рационален начин би бил да напишете решението като израз със степени:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Отговор:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Когато има дробни числови коефициенти в числителя и знаменателя на алгебрична дроб, има два възможни начина за по-нататъшни действия: или отделно разделяне на тези дробни коефициенти, или първо се отървете от дробните коефициенти, като умножите числителя и знаменателя по някакво естествено число . Последната трансформация се извършва поради основното свойство на алгебрична дроб (можете да прочетете за това в статията „Намаляване на алгебрична дроб до нов знаменател“).

Пример 2

Дадена е дроб 2 5 x 0, 3 x 3. Трябва да се намали.

Решение

Възможно е да се намали фракцията по този начин:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Нека се опитаме да решим проблема по различен начин, като преди това сме се отървали от дробните коефициенти - умножаваме числителя и знаменателя по най-малкото общо кратно на знаменателите на тези коефициенти, т.е. за LCM(5, 10) = 10. Тогава получаваме:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Отговор: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Когато редуцираме общи алгебрични дроби, в които числителите и знаменателите могат да бъдат както мономи, така и полиноми, е възможен проблем, когато общият множител не винаги се вижда веднага. Или повече от това, просто не съществува. След това, за да се определи общият множител или да се фиксира фактът на неговото отсъствие, числителят и знаменателят на алгебричната фракция се факторизират.

Пример 3

Дадена е рационална дроб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Трябва да се съкрати.

Решение

Нека разложим на множители полиномите в числителя и знаменателя. Нека направим скобите:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Виждаме, че изразът в скоби може да бъде преобразуван с помощта на формулите за съкратено умножение:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Ясно се вижда, че е възможно да се намали дробта с общ множител b 2 (a + 7). Нека направим намаление:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Записваме кратко решение без обяснение като верига от равенства:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Отговор: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Случва се общите множители да са скрити от числови коефициенти. След това, когато се редуцират дроби, оптимално е да се извадят числовите множители при по-високи степени на числителя и знаменателя.

Пример 4

Дадена е алгебрична дроб 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Трябва да се намали, ако е възможно.

Решение

На пръв поглед числителят и знаменателят нямат общ знаменател. Нека обаче се опитаме да преобразуваме дадената дроб. Нека извадим фактора x от числителя:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Сега можете да видите известно сходство между израза в скоби и израза в знаменателя поради x 2 y . Нека извадим числените коефициенти при по-високи степени на тези полиноми:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Сега общият множител става видим, извършваме редукция:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Отговор: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Нека подчертаем, че умението за редуциране на рационални дроби зависи от способността да се факторизират полиноми.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Въз основа на тяхното основно свойство: ако числителят и знаменателят на дроб се разделят на един и същ ненулев полином, тогава ще се получи дроб, равен на него.

Можете само да намалите множителите!

Членове на полиноми не могат да бъдат редуцирани!

За да се намали алгебрична дроб, полиномите в числителя и знаменателя трябва първо да бъдат разложени на множители.

Помислете за примери за намаляване на фракцията.

Числителят и знаменателят на една дроб са мономи. Те представляват работа(числа, променливи и техните степени), умножителиможем да намалим.

Намаляваме числата с техния най-голям общ делител, тоест с най-голямото число, на което се дели всяко от дадените числа. За 24 и 36 това е 12. След намаляването от 24 остава 2, от 36 - 3.

Намаляваме градусите със степента с най-малък показател. Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на един и същ делител и да извадиш показателите.

a² и a⁷ се намаляват с a². В същото време в числителя от a² остава единица (пишем 1 само ако след редукция не са останали други множители. От 24 остава 2, така че не пишем 1, останала от a²). От a⁷ след редукция остава a⁵.

b и b се съкращават с b, получените единици не се изписват.

c³º и c5 се редуцират с c5. От c³º остава c²⁵, от c5 - единица (не я пишем). По този начин,

Числителят и знаменателят на тази алгебрична дроб са полиноми. Невъзможно е да се намалят членовете на полиномите! (не може да се намали, например, 8x² и 2x!). За да се намали тази фракция, е необходимо. Числителят има общ множител 4x. Нека го извадим от скобите:

И числителят, и знаменателят имат един и същ коефициент (2x-3). Намаляваме дроба с този фактор. Получихме 4x в числителя, 1 в знаменателя.Според 1 свойство на алгебричните дроби дробта е 4x.

Можете само да намалите факторите (не можете да намалите дадена дроб с 25x²!). Следователно полиномите в числителя и знаменателя на дроб трябва да бъдат разложени на множители.

Числителят е пълният квадрат на сбора, а знаменателят е разликата на квадратите. След разширяване по формулите за съкратено умножение получаваме:

Намаляваме дробта с (5x + 1) (за да направите това, зачеркнете двете в числителя като показател, от (5x + 1) ² това ще остави (5x + 1)):

Числителят има общ множител 2, нека го извадим от скобите. В знаменателя - формулата за разликата на кубчетата:

В резултат на разширяване в числителя и знаменателя, получихме същия коефициент (9 + 3a + a²). Намаляваме фракцията върху него:

Полиномът в числителя се състои от 4 члена. първия член с втория, третия с четвъртия и изваждаме общия множител x² от първите скоби. Разлагаме знаменателя по формулата за сбора на кубовете:

В числителя изваждаме общия множител (x + 2) извън скоби:

Намаляваме дроба с (x + 2):

В тази статия ще се съсредоточим върху намаляване на алгебрични дроби. Първо, нека да разберем какво се има предвид под термина "намаляване на алгебрична дроб" и да разберем дали алгебричната дроб винаги е редуцируема. След това даваме правило, което ни позволява да извършим тази трансформация. И накрая, помислете за решенията на типични примери, които ще ви позволят да разберете всички тънкости на процеса.

Навигация в страницата.

Какво означава да намалим алгебрична дроб?

Проучвайки, говорихме за тяхното намаляване. нарекохме деление на неговия числител и знаменател на общ множител. Например обикновената дроб 30/54 може да бъде намалена с 6 (т.е. разделена на 6 нейните числител и знаменател), което ще ни доведе до дробта 5/9.

Намаляването на алгебрична дроб се разбира като подобно действие. Намалете алгебричната дробе да разделим числителя и знаменателя на общ множител. Но ако общият фактор на числителя и знаменателя на обикновена дроб може да бъде само число, тогава общият фактор на числителя и знаменателя на алгебрична дроб може да бъде полином, по-специално моном или число.

Например алгебрична дроб може да бъде намалена с числото 3, което дава дробта . Възможно е също да се редуцира върху променливата x , което ще доведе до израза . Оригиналната алгебрична дроб може да бъде намалена от монома 3 x, както и от който и да е от полиномите x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y или 3 x 2 +6 x y.

Крайната цел на редуцирането на алгебрична дроб е да се получи дроб с по-проста форма, в най-добрия случай несъкратима дроб.

Всяка алгебрична дроб подлежи ли на редукция?

Знаем, че обикновените дроби се подразделят на . Несъкратимите дроби нямат общи множители, различни от единица в числителя и знаменателя, следователно не могат да бъдат намалени.

Алгебричните дроби могат или не могат да имат общи числители и знаменатели. При наличие на общи множители е възможно да се намали алгебричната дроб. Ако няма общи множители, тогава опростяването на алгебричната дроб чрез нейното намаляване е невъзможно.

AT общ случайчрез появата на алгебрична дроб е доста трудно да се определи дали е възможно да се извърши нейното намаляване. Несъмнено в някои случаи общите множители на числителя и знаменателя са очевидни. Например, ясно се вижда, че числителят и знаменателят на алгебрична дроб имат общ коефициент 3. Също така е лесно да се види, че една алгебрична дроб може да бъде намалена с x, с y или веднага с x·y. Но много по-често общият множител на числителя и знаменателя на алгебрична дроб не се вижда веднага, а още по-често просто не съществува. Например една дроб може да бъде намалена с x−1, но този общ множител очевидно не присъства в нотацията. И алгебрична дроб не може да се намали, тъй като неговият числител и знаменател нямат общи множители.

По принцип въпросът за свиваемостта на алгебрична дроб е много труден. И понякога е по-лесно да решите проблем, като работите с алгебрична дроб в оригиналната й форма, отколкото да разберете дали тази дроб може да бъде предварително намалена. Но все пак има трансформации, които в някои случаи позволяват с относително малко усилия да се намерят общите множители на числителя и знаменателя, ако има такива, или да се заключи, че оригиналната алгебрична дроб е несъкратима. Тази информация ще бъде разкрита в следващия параграф.

Правило за намаляване на алгебричната дроб

Информацията от предишните параграфи ви позволява естествено да възприемете следното правило за редукция на алгебрична дроб, който се състои от две стъпки:

първо се намират общите множители на числителя и знаменателя на първоначалната дроб;
ако има такива, тогава се извършва намаление с тези фактори.

Тези стъпки от обявеното правило се нуждаят от пояснение.

Най-удобният начин за намиране на общи е да разложим на множители полиномите, които са в числителя и знаменателя на оригиналната алгебрична дроб. В този случай общите множители на числителя и знаменателя веднага стават видими или става ясно, че няма общи множители.

Ако няма общи множители, тогава можем да заключим, че алгебричната дроб е несъкратима. Ако се открият общите фактори, тогава на втората стъпка те се редуцират. Резултатът е нова фракция с по-проста форма.

Правилото за съкращаване на алгебричните дроби се основава на основното свойство на алгебричната дроб, което се изразява чрез равенството , където a , b и c са някои полиноми, а b и c са различни от нула. На първата стъпка първоначалната алгебрична дроб се редуцира до формата , от която общият множител c става видим, а на втората стъпка се извършва редукция - преходът към дробта .

Нека да преминем към решаване на примери с помощта на това правило. На тях ще анализираме всички възможни нюанси, които възникват при разлагането на числителя и знаменателя на алгебрична дроб на фактори и последващото намаляване.

Типични примери

Първо трябва да кажете за намаляването на алгебрични дроби, чиито числител и знаменател са еднакви. Такива дроби са еднакво равни на единица в цялата ODZ на променливите, включени в него, например,
и т.н.

Сега не боли да си спомняте как се извършва редуцирането на обикновени дроби - в крайна сметка те са специален случай на алгебрични дроби. Естествени числа в числителя и знаменателя на обикновена дроб, след което се намаляват общите множители (ако има такива). Например, . Произведението на еднакви прости множители може да се запише под формата на степени и когато се намали, използвайте. В този случай решението ще изглежда така: , тук разделихме числителя и знаменателя на общ множител 2 2 3 . Или, за по-голяма яснота, въз основа на свойствата на умножението и деленето, решението е представено във формуляра.

Съгласно абсолютно подобни принципи се извършва редуцирането на алгебрични дроби, в числителя и знаменателя на които има мономи с цели коефициенти.

Пример.

Намалете алгебричната дроб .

Решение.

Можете да представите числителя и знаменателя на оригиналната алгебрична дроб като произведение на прости множители и променливи и след това да извършите редукция:

Но е по-рационално решението да се напише като израз със степени:

Отговор:

Що се отнася до намаляването на алгебрични дроби, които имат дробни числови коефициенти в числителя и знаменателя, можете да направите две неща: или да разделите отделно тези дробни коефициенти, или първо да се отървете от дробните коефициенти, като умножите числителя и знаменателя по някакво естествено число. Говорихме за последното преобразуване в статията, привеждащо алгебрична дроб към нов знаменател, то може да се извърши поради основното свойство на алгебрична дроб. Нека се справим с това с пример.

Пример.

Извършете намаляване на дроб.

Решение.

Можете да намалите фракцията по следния начин: .

И беше възможно първо да се отървем от дробните коефициенти, като умножим числителя и знаменателя по знаменателите на тези коефициенти, тоест по LCM(5, 10)=10. В този случай имаме .

Отговор:

Можете да преминете към алгебрични дроби от общ вид, в които числителят и знаменателят могат да съдържат както числа, така и мономи, както и полиноми.

При намаляването на такива дроби основният проблем е, че общият множител на числителя и знаменателя не винаги се вижда. Освен това не винаги съществува. За да намерите общ множител или да се уверите, че той не съществува, трябва да разложите на множители числителя и знаменателя на алгебрична дроб.

Пример.

Намалете рационалната дроб .

Решение.

За да направим това, разлагаме на множители полиномите в числителя и знаменателя. Да започнем със скоби: . Очевидно изразите в скоби могат да бъдат преобразувани с помощта на

дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, което е различно от единица, се нарича намаляване на фракцията.

За да намалите обикновена дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на едно и също естествено число.

Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.

Възможни са следните формуляри за запис на решенияПримери за редукция на обикновени дроби.

Студентът има право да избере всяка форма на запис.

Примери. Опростете дробите.

Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;

разделете знаменателя на 3).

Намаляваме дробта със 7.

Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.

Получената дроб се намалява с 5.

Нека намалим тази дроб 4) на 5 7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.

Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.

Получаваме: 756=2² 3³ 7и 1176=2³ 3 7².

Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .

Това е произведението на общите множители, взети с най-малките показатели.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на техния НОД, т.е 2² 3 7получаваме несъкратима дроб 9/14 .

И беше възможно да се напишат разширенията на числителя и знаменателя като произведение на прости множители, без да се използва концепцията за степен, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .

И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаците за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Мислете така: числа 756 и 1176 завършват с четно число, така че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 и 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим знака за делимост на числата 189 и 294 на 3 .

(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 и 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - Не. Повторете други прости множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и вземете несъкратимата дроб 9/14 .