Математическите модели на много сигнали, широко използвани в радиотехниката, не отговарят на условието за абсолютна интегрируемост, така че методът на преобразуване на Фурие в обичайната му форма не е приложим за тях. Въпреки това, както беше посочено, може да се говори за спектрални плътности на такива сигнали, ако приемем, че тези плътности се описват с обобщени функции.

Обобщена формула на Релей. Нека докажем едно важно спомагателно твърдение относно спектралните свойства на сигналите.

Нека два сигнала в общия случай са с комплексни стойности, определени от техните обратни преобразувания на Фурие:

Нека намерим скаларното произведение на тези сигнали, изразявайки един от тях, например, чрез неговата спектрална плътност:

Тук вътрешният интеграл очевидно е спектралната плътност на сигнала. Ето защо

Получената връзка е обобщена формула на Рейли. Лесно запомняща се интерпретация на тази формула е следната: скаларното произведение на два сигнала с точност до коефициент е пропорционално на скаларното произведение на техните спектрални плътности.

Обобщение на понятието спектрална плътност.

Приемаме, че сигналът е абсолютно интегрируема функция. Тогава нейното преобразуване на Фурие е обичайната класическа честотна функция. Нека, заедно с това, сигналът не удовлетворява условието за абсолютна интегрируемост и преобразуването на Фурие не съществува в обичайния класически смисъл. Човек обаче може да разшири концепцията за спектралната плътност, като приеме, че тя е обобщена функция в смисъла, установен в § 1.2. За да направите това, в съответствие с обобщената формула на Rayleigh, е достатъчно да приемем, че това е функционал, който, действайки върху известна функция, дава следния резултат:

Препоръчително е да се разгледат методите за изчисляване на спектрите на неинтегрируеми сигнали, като се използват конкретни примери.

Спектрална плътност на постоянен във времето сигнал. Най-простият неинтегрируем сигнал е постоянна стойност и . Да предположим, че това е произволен реален абсолютно интегрируем сигнал с известна спектрална плътност

Разширявайки формула (2.43), имаме

Но, както е лесно да се види,

Следователно, въз основа на филтриращото свойство на делта функцията, заключаваме, че равенството (2.43) е възможно само при условие, че

Физическият смисъл на получения резултат е ясен - непроменливият във времето сигнал има спектрална компонента само при нулева честота.

Спектрална плътност на сложен експоненциален сигнал.

Нека е комплексен експоненциален сигнал с дадена реална честота. Този сигнал не е абсолютно интегрируем, тъй като функцията s(t) не клони към никаква граница при . Преобразуването на Фурие на този сигнал, разглеждано в обобщен смисъл, трябва да удовлетворява съотношението

Следователно желаната спектрална плътност S (co) се изразява, както следва:

Обърнете внимание на следното:

1. Спектралната плътност на сложен експоненциален сигнал е равна на нула навсякъде, с изключение на точката, където има делта сингулярност.

2. Спектърът на този сигнал е асиметричен спрямо точката и е концентриран в областта на положителните или отрицателните честоти.

Спектрална плътност на хармоничните трептения. Нека Според формулата на Ойлер

Спектърът на комплексния експоненциален сигнал, намерен по-горе, както и свойството за линейност на преобразуването на Фурие, ни позволяват незабавно да напишем израза за спектралната плътност на косинусния сигнал:

Читателят може лесно да провери сам, че за синусоидален сигнал отношението

Трябва да се отбележи, че израз (2.46) е четна, а израз (2.47) е нечетна функция на честотата.

Спектрална плътност на произволен периодичен сигнал.

Преди това периодичните сигнали бяха изследвани чрез методите на теорията на редовете на Фурие. Сега можете да разширите разбирането си за техните спектрални свойства, като опишете периодични сигнали с помощта на преобразуването на Фурие.

Периодичен сигнал, даден от неговия ред на Фурие в сложна форма. Въз основа на формула (2.45), като се вземе предвид свойството на линейността на преобразуването на Фурие, веднага получаваме израза за спектралната плътност на такъв сигнал:

Съответната графика на спектралната плътност в своята конфигурация повтаря обичайната спектрална диаграма на периодичен сигнал. Графиката се формира от делта импулси в честотната област, които са разположени в точки с координати

Спектрална плътност на превключващата функция.

Нека изчислим спектралната плътност на функцията на включване, която за простота дефинираме във всички точки, с изключение на точката t = 0 [вж. с (1.2)]:

На първо място, отбелязваме, че функцията за включване се получава чрез преминаване към границата от експоненциалния видео импулс:

Следователно, може да се опита да се получи спектралната плътност на функцията на включване, като се премине към границата като a - 0 във формулата за спектралната плътност на експоненциално колебание:

Директен преход към границата, според която е валиден за всички честоти, с изключение на стойността на , когато е необходимо по-внимателно разглеждане.

Първо, разделяме реалната и въображаемата част в спектралната плътност на експоненциалния сигнал:

Може да се провери, че

Наистина, граничната стойност на тази фракция изчезва за всяко и в същото време

независимо от стойността на a, от която следва твърдението.

И така, получихме едно към едно съответствие между функцията на включване и нейната спектрална плътност:

Делта сингулярността при показва, че функцията за включване има постоянен компонент, равен на 1/2.

Спектрална плътност на радиоимпулс.

Както е известно, радиоимпулсът се дава като произведение на някакъв видеоимпулс, който играе ролята на обвивка, и неинтегрируемо хармонично трептене: .

За да намерим спектралната плътност на радиоимпулс, приемаме, че известна функция е спектърът на неговата обвивка. Спектърът на косинус сигнал с произволна начална фаза се получава чрез елементарно обобщение на формула (2.46):

Спектърът на радиоимпулса е намотка

Като вземем предвид филтриращото свойство на делта функцията, получаваме важен резултат:

Ориз. 2.8 илюстрира трансформацията на спектъра на видео импулс, когато той се умножи с високочестотен хармоничен сигнал.

Ориз. 2.8. Честотни зависимости на модула на спектралната плътност: а - видеоимпулс; b - радио импулс

Вижда се, че преходът от видеоимпулс към радиоимпулс в спектралния подход означава прехвърляне на спектъра на видеоимпулса към високочестотната област - вместо един максимум на спектрална плътност при , се наблюдават два максимума при при , абсолютните стойности на максимумите са наполовина.

Имайте предвид, че графиките на фиг. 2.8 съответстват на ситуации, при които честотата значително надвишава ефективната ширина на спектъра на видеоимпулса (това е случаят, който обикновено се прилага на практика). В този случай няма забележимо "припокриване" на спектрите, съответстващи на положителни и отрицателни честоти. Въпреки това може да се окаже, че честотната лента на спектъра на видео импулса е толкова голяма (за кратък импулс), че избраната стойност на честотата не елиминира ефекта на „припокриване“. В резултат на това профилите на спектрите на видеоимпулса и радиоимпулса престават да бъдат сходни.

Пример 2.3. Спектрална плътност на правоъгълен радиоимпулс.

За простота задаваме началната фаза да бъде нула и записваме математическия модел на радиоимпулса във формата

Познавайки спектъра на съответния видео импулс [вж формула (2.20)], въз основа на (2.50) намираме необходимия спектър:

На фиг. 2.9 показва резултатите от изчисляването на спектралната плътност с помощта на формула (2.51) за два характерни случая,

В първия случай (фиг. 2.9, а) импулсът на обвивката съдържа 10 периода на високочестотно запълване, честотата тук е достатъчно висока, за да се избегне "припокриване". Във втория случай (фиг. 2.9, b) радиоимпулсът се състои само от един период на запълване.Суперпозицията на компонентите, които съответстват на областите на положителни и отрицателни честоти, води до характерна асиметрия на структурата на венчелистчетата на графиката на спектралната плътност на радиоимпулса.

Ориз. 2.9. Графики на спектралните плътности на радиоимпулс с правоъгълна обвивка: a - at ; b - при

В статистическата радиотехника и физика, когато се изучават детерминирани сигнали и случайни процеси, широко се използва тяхното спектрално представяне под формата на спектрална плътност, която се основава на преобразуването на Фурие.

Ако процесът има крайна енергия и е квадратно интегрируем (и това е нестационарен процес), тогава за едно изпълнение на процеса преобразуването на Фурие може да се дефинира като произволна комплексна функция на честотата:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

Той обаче се оказва почти безполезен за описание на ансамбъла. Изходът от тази ситуация е да се изхвърлят някои параметри на спектъра, а именно спектърът на фазите, и да се конструира функция, която характеризира разпределението на енергията на процеса по честотната ос. След това, според теоремата на Парсевал, енергията

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X(f) | 2d f. (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

функция S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2))по този начин характеризира разпределението на енергията на реализацията по честотната ос и се нарича спектрална плътност на реализацията. Чрез осредняване на тази функция за всички реализации може да се получи спектралната плътност на процеса.

Нека сега се обърнем към един широко стационарен централен стохастичен процес x (t) (\displaystyle x(t)), чиито реализации имат безкрайна енергия с вероятност 1 и следователно нямат преобразуване на Фурие. Спектралната плътност на мощността на такъв процес може да се намери въз основа на теоремата на Винер-Хинчин като преобразуване на Фурие на корелационната функция:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau .)

(3)

Ако има пряка трансформация, тогава има и обратна трансформация на Фурие, която определя от известното k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.)

(4)

Ако приемем във формули (3) и (4), съответно, f = 0 (\displaystyle f=0)и τ = 0 (\displaystyle \tau =0), ние имаме

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau ,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Формула (6), като вземе предвид (2), показва, че дисперсията определя общата енергия на стационарен случаен процес, която е равна на площта под кривата на спектралната плътност. Размерна стойност S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df)може да се интерпретира като част от енергията, концентрирана в малък честотен диапазон от f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2)преди f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Ако се разбира от x (t) (\displaystyle x(t))случаен (флуктуационен) ток или напрежение, след това стойността S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))ще има размерността на енергията [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Ето защо S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))понякога се нарича енергиен спектър. Често можете да намерите друга интерпретация в литературата: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))- счита се за средна мощност, отделена от тока или напрежението при съпротивление от 1 ом. В същото време стойността S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))Наречен спектър на мощностслучаен процес.

Свойства на спектралната плътност

• Енергийният спектър на стационарен процес (реален или сложен) е неотрицателна стойност:

S x (f) ≥ 0 (\displaystyle S_(x)(f)\geq 0).

(7)

• Енергийният спектър на реален стационарен обект в широкия смисъл на случаен процес е реална и равномерна функция на честотата:

S x (− f) = S x (f) (\displaystyle S_(x)(-f)=S_(x)(f)).

(8)

1. Сигнали и спектри. Теоретични основи на цифровата комуникация

1. Сигнали и спектри

1.1. Обработка на сигнали в цифровите комуникации

1.1.1. Защо "цифров"

Защо "номера" се използват във военни и търговски комуникационни системи? Има много причини. Основното предимство на този подход е лесното възстановяване на цифровите сигнали в сравнение с аналоговите. Разгледайте фиг. 1.1, който показва идеален двоичен цифров импулс, разпространяващ се през канал за данни. Формата на вълната се влияе от два основни механизма: (1) тъй като всички канали и предавателни линии имат неидеална честотна характеристика, идеалният импулс е изкривен; и (2) нежелан електрически шум или друга външна намеса допълнително изкривява формата на вълната. Колкото по-дълъг е каналът, толкова по-значително тези механизми изкривяват импулса (фиг. 1.1). Въпреки че предаваният импулс все още може да бъде надеждно открит (преди да се деградира до двусмислено състояние), импулсът се усилва от цифров усилвател, възстановявайки оригиналната си идеална форма. Инерцията се "преражда" или възстановява. За възстановяването на сигнала са отговорни регенеративни ретранслатори, разположени в комуникационния канал на определено разстояние един от друг.

Цифровите канали са по-малко податливи на изкривяване и смущения от аналоговите канали. Тъй като двоичните цифрови канали произвеждат значим сигнал само когато работят в едно от двете състояния - включено или изключено - смущението трябва да е достатъчно голямо, за да премести работната точка на канала от едно състояние в друго. Наличието само на две състояния улеснява възстановяването на сигнала и следователно предотвратява натрупването на шум или други смущения по време на предаване. Аналоговите сигнали, от друга страна, не са сигнали с две състояния; те могат да приемат безкраен брой форми. В аналоговите канали дори малко смущение може да изкриви сигнала до неузнаваемост. След като аналоговият сигнал е изкривен, смущението не може да бъде отстранено чрез усилване. Тъй като натрупването на шум е неразривно свързано с аналоговите сигнали, в резултат на това те не могат да бъдат възпроизведени перфектно. С цифровата технология, много ниският процент грешки плюс прилагането на процедури за откриване и коригиране на грешки правят възможна висока точност на сигнала. Остава само да се отбележи, че подобни процедури не са налични при аналоговите технологии.

Фиг.1.1. Изкривяване и възстановяване на инерцията

Има и други важни предимства на цифровата комуникация. Цифровите канали са по-надеждни и могат да бъдат произведени на по-ниски цени от аналоговите канали. Освен това цифровият софтуер позволява повече гъвкава реализация от аналоговата (напр. микропроцесори, цифрово превключване и широкомащабни интегрални схеми (LSI)). Използването на цифрови сигнали и мултиплексиране с разделяне по време (TDM) е по-лесно от аналоговите сигнали и мултиплексиране с разделяне по честота (FDM). При предаване и комутация различните видове цифрови сигнали (данни, телеграф, телефон, телевизия) могат да се считат за идентични: в края на краищата малкото е малко. В допълнение, за по-лесно превключване и обработка, цифровите съобщения могат да бъдат групирани в автономни единици, наречени пакети. Цифровите технологии естествено включват функции, които предпазват от смущения и потискане на сигнала или осигуряват криптиране или поверителност. (Такива технологии се обсъждат в глави 12 и 14.) Освен това комуникацията е основно между два компютъра или между компютър и цифрови устройства или терминал. Такива цифрови терминали се обслужват по-добре (и по-естествено!) от цифрови комуникационни канали.

Какво плащаме за предимствата на цифровите комуникационни системи? Цифровите системи изискват повече обработка от аналоговите системи. В допълнение, цифровите системи изискват значително количество ресурси, които да бъдат разпределени за синхронизация на различни нива (вижте глава 10). Аналоговите системи, от друга страна, са по-лесни за синхронизиране. Друг недостатък на цифровите комуникационни системи е, че влошаването на качеството е от прагов характер. Ако съотношението сигнал/шум падне под определен праг, качеството на услугата може внезапно да се промени от много добро на много лошо. В аналоговите системи обаче деградацията става по-плавно.

1.1.2. Типична кутийна диаграма и основни трансформации

Функционалната блокова схема, показана на фиг. 1.2 илюстрира разпространението на сигнала и стъпките за обработка в типична цифрова комуникационна система (DCS). Горните блокове - форматиране, кодиране на източника, криптиране, кодиране на канали, мултиплексиране, импулсна модулация, лентова модулация, разширен спектър и множествен достъп - отразяват трансформациите на сигнала по пътя от източника до предавателя. Долните блокове на диаграмата са сигнални трансформации по пътя от приемника към получателя на информацията и всъщност са противоположни на горните блокове. Блоковете за модулация и демодулация/откриване се наричат ​​заедно модем. Терминът "модем" често съчетава няколко стъпки за обработка на сигнала, показани на фиг. 1.2; в този случай модемът може да се разглежда като "мозъкът" на системата. Предавателят и приемникът могат да се разглеждат като "мускулите" на системата. За безжични приложения предавателят се състои от верига за мащабиране на радиочестота (RF), усилвател на мощност и антена, а приемникът се състои от антена и нискошумящ усилвател (LNA). Намаляването на обратната честота се извършва на изхода на приемника и/или демодулатора.

На фиг. 1.2 илюстрира съответствието между блоковете на горната (предавателна) и долната (приемаща) части на системата. Стъпките за обработка на сигнала, които се извършват в предавателя, са предимно обратни на стъпките на приемника. На фиг. 1.2 изходната информация се преобразува в двоични цифри (битове); след това битовете се групират в цифрови съобщения или знаци за съобщения. Всеки такъв знак ( където ) може да се разглежда като елемент от крайна азбука, съдържаща Мелементи. Следователно, за М=2 символът на съобщението е двоичен (т.е. състои се от един бит). Въпреки че двоичните знаци могат да бъдат класифицирани като М-ary (с M=2), обикновено името " М-ary" се използва за случаи М>2; следователно такива символи се състоят от последователност от два или повече бита. (Сравнете подобната крайна азбука на DCS системите с това, което имаме в аналоговите системи, където сигналът на съобщението е елемент от безкраен набор от възможни сигнали.) За системи, използващи канално кодиране (кодове за коригиране на грешки), последователността от символи на съобщението е преобразуван в поредица от символи на канални символи), и всеки символ на канала се обозначава с . Тъй като символите на съобщенията или символите на канала могат да се състоят от един бит или група от битове, последователност от такива символи се нарича битов поток (Фигура 1.2).

Разгледайте ключовите блокове за обработка на сигнала, показани на Фиг. 1.2; само стъпките за форматиране, модулация, демодулация/откриване и синхронизация са необходими за DCS системите.

Форматирането преобразува оригиналната информация в битове, като по този начин гарантира, че функциите за обработка на информацията и сигнала са съвместими с DCS системата. От тази точка на фигурата и до блока за импулсна модулация, информацията остава под формата на битов поток.

Ориз. 1.2. Блокова схема на типична цифрова комуникационна система

Модулацията е процесът, чрез който символите на съобщенията или символите на канала (ако се използва кодиране на канала) се преобразуват в сигнали, съвместими с изискванията, наложени от канала за данни. Импулсната модулация е друга необходима стъпка, тъй като всеки символ, който трябва да бъде предаден, трябва първо да бъде преобразуван от двоично представяне (нивата на напрежение представляват двоични 0s и 1s) в теснолентова форма на сигнала. Терминът "теснолентов" (бейсбенд) дефинира сигнал, чийто спектър започва от (или близо до) постоянния компонент и завършва с някаква крайна стойност (обикновено не повече от няколко мегахерца). PCM блокът обикновено включва филтриране за минимизиране на честотната лента на предаване. Когато към двоични символи се прилага импулсна модулация, полученият двоичен сигнал се нарича PCM (импулсно-код модулация) кодиран сигнал. Има няколко вида PCM сигнали (описани в Глава 2); в телефонните приложения тези сигнали често се наричат ​​канални кодове. Когато импулсната модулация се прилага към недвоични символи, полученият сигнал се нарича Мимпулсно модулиран. Има няколко вида такива сигнали, които също са описани в глава 2, която се фокусира върху импулсно-амплитудна модулация (PAM). След импулсна модулация всеки символ на съобщението или канален символ приема формата на лентов сигнал, където . Във всяка електронна реализация битовият поток, предхождащ импулсната модулация, се представя чрез нива на напрежение. Може да възникне въпросът защо има отделен блок за импулсна модулация, когато всъщност нивата на напрежение за двоични нули и единици вече могат да се разглеждат като идеални правоъгълни импулси, продължителността на всеки от които е равна на времето за предаване на един бит? Има две важни разлики между тези нива на напрежение и лентовите сигнали, използвани за модулация. Първо, блокът за импулсна модулация позволява използването на двоични и М-арни сигнали. Раздел 2.8.2 описва различните полезни параметри на тези типове сигнали. Второ, филтрирането, извършено в блока за импулсна модулация, генерира импулси, чиято продължителност е по-голяма от времето за предаване на един бит. Филтрирането ви позволява да използвате по-дълги импулси; по този начин импулсите се разпространяват върху съседни битови времеви интервали. Този процес понякога се нарича оформяне на импулса; използва се за поддържане на честотната лента на предаване в рамките на определена желана област от спектъра.

За приложения, включващи радиочестотно предаване, следващата важна стъпка е лентовата модулация; необходимо е винаги, когато предавателната среда не поддържа разпространението на импулсни сигнали. В такива случаи средата изисква лентов сигнал, където . Терминът "лентов пропуск" се използва, за да отрази, че теснолентовият сигнал се измества от носеща вълна с честота, много по-голяма от спектралните компоненти. Тъй като сигналът се разпространява през канала, той се влияе от характеристиките на канала, които могат да бъдат изразени по отношение на импулсната характеристика (вижте раздел 1.6.1). Също така, в различни точки по пътя на сигнала, допълнителен случаен шум изкривява получения сигнал, така че приемането трябва да бъде изразено като повредена версия на сигнала от предавателя. Полученият сигнал може да се изрази, както следва:

където знакът "*" представлява операцията на навиване (вижте Приложение A) и е шумовият процес (вижте раздел 1.5.5).

В обратна посока предният край на приемника и/или демодулаторът осигуряват намаляване на честотата за всеки честотен сигнал. В подготовка за откриване, демодулаторът реконструира теснолентовия сигнал като оптимална обвивка. Обикновено няколко филтъра са свързани с приемника и демодулатора - филтрирането се извършва за премахване на нежелани високочестотни компоненти (по време на преобразуването на лентов сигнал в теснолентов) и оформяне на импулса. Изравняването може да се опише като вид филтриране, използвано в демодулатора (или след демодулатора), за да се премахнат всякакви ефекти на влошаване на сигнала, които могат да бъдат причинени от канала. Изравняването е необходимо, ако импулсната характеристика на канала е толкова лоша, че полученият сигнал е силно изкривен. Еквалайзер (еквалайзер) се прилага, за да компенсира (т.е. да премахне или отслаби) всяко изкривяване на сигнала, причинено от неидеалната реакция. И накрая, стъпката на вземане на проби преобразува оформения импулс в проба, за да възстанови (приблизително) символа на канала или символа на съобщението (ако не се използва кодиране на канала). Някои автори използват термините "демодулация" и "откриване" взаимозаменяемо. В тази книга демодулацията се отнася до възстановяването на сигнал (импулс на честотната лента), а откриването се отнася до вземането на решение относно цифровата стойност на този сигнал.

Останалите етапи на обработка на сигнала в модема са незадължителни и са насочени към задоволяване на специфични нужди на системата. Кодирането на източника е преобразуване на аналогов сигнал в цифров (за аналогови източници) и премахване на излишната (ненужна) информация. Обърнете внимание, че типичната DCS система може да използва кодиране на източника (за дигитализиране и компресиране на оригиналната информация) или по-проста трансформация на форматиране (само за дигитализиране). Системата не може да прилага както кодиране на източника, така и форматиране едновременно, тъй като първото вече включва необходимата стъпка за дигитализиране на информацията. Шифроването, което се използва за гарантиране на тайната на комуникациите, не позволява на неупълномощен потребител да разбере съобщението и да въведе фалшиви съобщения в системата. Кодирането на канала при дадена скорост на данни може да намали вероятността за PE грешка или да намали съотношението сигнал/шум, необходимо за получаване на желаната PE вероятност чрез увеличаване на честотната лента на предаване или усложняване на декодера. Процедурите за мултиплексиране и множествен достъп комбинират сигнали, които могат да имат различни характеристики или могат да идват от различни източници, така че да могат да споделят някои от комуникационните ресурси (напр. спектър, време). Честотното разпръскване може да осигури сигнал, който е относително имунизиран срещу смущения (както естествени, така и умишлени) и може да се използва за увеличаване на поверителността на комуникиращите страни. Това също е ценна технология, използвана за множествен достъп.

Блокове за обработка на сигнали, показани на фиг. 1.2 представлява типична схема на цифрова комуникационна система; тези блокове обаче понякога се изпълняват в малко по-различен ред. Например, мултиплексирането може да възникне преди кодирането на канала или модулацията, или, в двуетапен процес на модулация (подносеща и носеща), може да възникне между два етапа на модулация. По същия начин, блокът за разширение на честотата може да бъде разположен на различни места в горния ред на фиг. 1.2; точното му местоположение зависи от конкретната използвана технология. Синхронизацията и нейният ключов елемент, синхронизиращият сигнал, участват във всички етапи на обработка на сигнала в DCS системата. За простота блокът за синхронизация на фиг. 1.2 е показан без оглед на нищо, въпреки че всъщност той участва в регулирането на операциите в почти всеки блок, показан на фигурата.

На фиг. Фигура 1.3 показва основните функции за обработка на сигнали (които могат да се разглеждат като трансформации на сигнали), разделени в следните девет групи.

Фиг.1.3. Големи трансформации в цифровите комуникации

1. Форматиране и кодиране на източника

2. Теснолентова сигнализация

3. Сигнализиране на честотната лента

4. Изравняване

5. Кодиране на канала

6. Запечатване и множествен достъп

7. Разширен спектър

8. Криптиране

9. Синхронизация

На фиг. 1.3 Блокът за теснолентова сигнализация съдържа списък с двоични алтернативи при използване на PCM модулация или линейни кодове. Този блок също така определя недвоична категория сигнали, наречена М-арна импулсна модулация. Друга трансформация на фиг. 1.3, обозначен като Bandwidth signaling, е разделен на два основни блока, кохерентни и некохерентни. Демодулацията обикновено се извършва с помощта на референтни сигнали. Чрез използване на известни сигнали като мярка за всички параметри на сигнала (особено фазата), процесът на демодулация се счита за кохерентен; когато информацията за фазата не се използва, се казва, че процесът е некохерентен.

Каналното кодиране се занимава с техники, използвани за подобряване на цифровите сигнали, които в резултат стават по-малко уязвими към фактори на влошаване като шум, затихване и потискане на сигнала. На фиг. 1.3, кодирането на канала е разделено на два блока, блок за кодиране на формата на вълната и блок със структурирана последователност. Кодирането на формата на вълната включва използването на нови сигнали, които носят подобрено качество на откриване спрямо оригиналния сигнал. Структурираните последователности включват използването на допълнителни битове, за да се определи дали има грешка, причинена от шум в канала. Една такава технология, автоматична заявка за повторение (ARQ), просто разпознава появата на грешка и моли подателя да препредаде съобщението; друга техника, известна като корекция на грешки напред (FEC), позволява автоматична корекция на грешки (с определени ограничения). Когато разглеждаме структурирани последователности, ще обсъдим три общи метода - блоково, конволюционно и турбо кодиране.

В цифровите комуникации времето включва изчисляване както на времето, така и на честотата. Както е показано на фиг. 1.3, синхронизацията се извършва на пет нива. Референтните честоти на кохерентните системи трябва да бъдат синхронизирани с носещата (и евентуално подносещата) по честота и фаза. За некохерентни системи не е необходима фазова синхронизация. Основният процес на времева синхронизация е символна синхронизация (или битова синхронизация за двоични символи). Демодулаторът и детекторът трябва да знаят кога да започнат и завършат процеса на откриване на символи и битове; грешката при синхронизация води до намаляване на ефективността на откриване. Следващото ниво на времева синхронизация, кадрова синхронизация, позволява съобщенията да бъдат пренаредени. И последното ниво, мрежовата синхронизация, ви позволява да се координирате с други потребители, за да използвате ресурсите ефективно.

1.1.3. Основна терминология за цифрова комуникация

По-долу са някои от основните термини, често използвани в областта на цифровите комуникации.

Източникът на информация(източник на информация). Устройство, което предава информация през DCS системата. Източникът на информация може да бъде аналогов или дискретен. Изходът на аналогов източник може да приеме произволна стойност от непрекъснат диапазон от амплитуди, докато изходът на дискретен източник на информация може да приеме стойности от краен набор от амплитуди. Аналоговите източници на информация се преобразуват в цифрови чрез семплиране или квантуване. Методи за вземане на проби и квантуване, наречени форматиране и кодиране на източника (Фигура 1.3).

Текстово съобщение(текстово съобщение). Последователността на знаците (фиг. 1.4, а). При цифрово предаване на данни съобщението е поредица от числа или знаци, принадлежащи към краен набор от знаци или азбука.

Знак(Характер). Елемент от азбуката или набор от знаци (фиг. 1.4, b). Знаците могат да бъдат съпоставени с поредица от двоични цифри. Има няколко стандартизирани кода, използвани за кодиране на знаци, включително ASCII (Американски стандартен код за обмен на информация), EBCDIC (Разширен двоично кодиран десетичен код за обмен), Холерит (код на Холерит), код на Бодо, код на Мъри и Морзов код.

Фиг.1.4. Илюстрация на термини: а) текстови съобщения; б) символи;

в) битов поток (7-битов ASCII код); г) символи, ;

д) лентов цифров сигнал

двоична цифра(двоична цифра) (бит) (бит). Основната единица информация за всички цифрови системи. Терминът "бит" също се използва като единица информация, която е описана в глава 9.

битов поток(побитов поток). Поредица от двоични цифри (нули и единици). Битовият поток често се нарича бейсбенд сигнал; това означава, че неговите спектрални компоненти варират от (или около) DC до някаква крайна стойност, обикновено не повече от няколко мегахерца. На фиг. 1.4, съобщението "КАК" е представено с помощта на седембитов ASCII код и битовият поток е показан под формата на двустепенни импулси. Последователността от импулси е изобразена чрез силно стилизирани (съвършено правоъгълни) вълнови форми с празнини между съседни импулси. В реална система импулсите никога няма да изглеждат така, тъй като такива пропуски са абсолютно безполезни. При дадена скорост на данни пропуските ще увеличат честотната лента, необходима за предаване; или, предвид честотната лента, те ще увеличат забавянето във времето, необходимо за получаване на съобщението.

Символ(символ) (цифрово съобщение) (цифрово съобщение). Символът е група от кбитове, разглеждани като цяло. Освен това ще наречем този блок символ на съобщение () от краен набор от символи или азбука (фиг. 1.4, d.) Размер на азбуката Ме равно на , където ке броят на битовете в знак. При теснолентово предаване всеки от символите ще бъде представен от един от набор от теснолентови импулсни сигнали . Понякога, когато се предава поредица от такива импулси, единицата за предаване (бод) се използва за изразяване на скоростта на импулса (символна скорост). За типично лентово предаване всеки импулс ще бъде представен от един от набор от лентови импулсни сигнали . По този начин, за безжични системи, символът се изпраща чрез предаване на цифров сигнал за Tсекунди. Следващият знак се изпраща през следващия времеви интервал, T. Фактът, че наборът от символи, предаван от DCS системата, е ограничен, е основната разлика между тези системи и аналоговите комуникационни системи. DCS приемникът трябва само да определи кой Мпредадени са възможни сигнали; докато аналоговият приемник трябва точно да определи стойността, която принадлежи към непрекъснат диапазон от сигнали.

цифров сигнал(цифрова форма на вълната). Описван от ниво на напрежение или ток, сигнал (импулс за теснолентово предаване или синусоида за лентово предаване), представляващ цифров знак. Характеристиките на сигнала (за импулси - амплитуда, продължителност и местоположение, или за синусоида - амплитуда, честота и фаза) позволяват той да бъде идентифициран като един от символите на крайната азбука. На фиг. 1.4 дпоказан е пример за лентов цифров сигнал. Въпреки че сигналът е синусоидален и следователно има аналогова форма, той все пак се нарича цифров, защото кодира цифрова информация. На тази фигура цифровата стойност е показана чрез предаване през всеки интервал от време Tсигнал с определена честота.

Скорост на трансфер(скорост на данните). Тази стойност в битове за секунда (bps) се дава от (bps), където кбитове дефинират знак от азбуката на символите - и Tе продължителността да се-битов символ.

1.1.4. Цифрови и аналогови показатели за ефективност

Основната разлика между аналоговите и цифровите комуникационни системи е свързана с метода за оценка на тяхната производителност. Сигналите на аналоговата система са в континуум, така че приемникът трябва да работи с безкраен брой възможни сигнали. Мярката за производителност на аналоговите комуникационни системи е точността, като съотношение сигнал/шум, процент на изкривяване или очаквана RMS грешка между предаваните и получените сигнали.

За разлика от аналоговите, цифровите комуникационни системи предават сигнали, които представляват числа. Тези цифри образуват краен набор или азбука и този набор е известен предварително на получателя. Критерият за качество на цифровите комуникационни системи е вероятността от неправилно откриване на цифра или вероятността от грешка ().

1.2. Класификация на сигналите

1.2.1. Детерминирани и случайни сигнали

Сигналът може да бъде класифициран като детерминистичен (когато няма несигурност относно стойността му в който и да е момент от време) или случаен по друг начин. Детерминистичните сигнали се моделират чрез математически израз. Невъзможно е да се напише такъв израз за случаен сигнал. Въпреки това, когато се наблюдава случаен сигнал (наричан още случаен процес) за достатъчно дълъг период от време, могат да се отбележат някои модели, които могат да бъдат описани от гледна точка на вероятности и средна статистическа стойност. Такъв модел, под формата на вероятностно описание на случаен процес, е особено полезен за описание на характеристиките на сигналите и шума в комуникационните системи.

1.2.2. Периодични и непериодични сигнали

Казва се, че сигналът е периодичен във времето, ако съществува константа, такава че

за (1.2)

къде през Tе посочено време. Най-малката стойност, която отговаря на това условие, се нарича период на сигнала. Периодът определя продължителността на един пълен цикъл на функцията. Сигнал, за който няма стойност, удовлетворяваща уравнение (1.2), се нарича непериодичен.

1.2.3. Аналогови и дискретни сигнали

Аналоговият сигнал е непрекъсната функция на времето, т.е. уникално определени за всички T. Електрически аналогов сигнал възниква, когато физически сигнал (като реч) се преобразува в електрически сигнал от някакво устройство. За сравнение, дискретният сигнал е сигнал, който съществува на дискретни интервали от време; характеризира се с поредица от числа, определени за всеки момент от време, kT, където ке цяло число и T- фиксиран период от време.

1.2.4. Сигнали, изразени като енергия или мощност

Електрическият сигнал може да се разглежда като промяна в напрежението или тока с моментна мощност, приложена към съпротивление Р:

В комуникационните системи мощността често се нормализира (предполага се, че съпротивлението Ре равно на 1 Ohm, въпреки че в реален канал може да бъде всичко). Ако се изисква да се определи действителната стойност на мощността, тя се получава чрез "денормализиране" на нормализираната стойност. В нормализирания случай уравненията (1.3.a) и (1.3.6) имат еднакъв вид. Следователно, независимо дали сигналът е представен от напрежение или ток, нормализираната форма ни позволява да изразим моментната мощност като

където е напрежение или ток. Разсейването на енергия по време на интервала от време () на реален сигнал с моментна мощност, получена с помощта на уравнение (1.4), може да бъде записано по следния начин.

(1.5)

Средната мощност, разсейвана от сигнала през този интервал, е както следва.

(1.6)

Ефективността на комуникационната система зависи от енергията на получения сигнал; сигналите с по-висока енергия се детектират по-надеждно (с по-малко грешки) - работата по детекцията се извършва от получената енергия. От друга страна, мощността е скоростта на входящата енергия. Тази точка е важна по няколко причини. Мощността определя напрежението, което трябва да се приложи към предавателя, и силата на електромагнитните полета, които трябва да се вземат предвид в радиосистемите (т.е. полетата във вълноводите, свързващи предавателя с антената, и полетата около излъчващите елементи на антената).

Когато анализирате комуникационните сигнали, често е желателно да работите с енергията на сигнала. Ще го наречем енергиен сигнал тогава и само ако има ненулева крайна енергия във всеки момент от време (), където

(1.7)

В реална ситуация ние винаги предаваме сигнали с ограничена енергия (). Въпреки това, за да се опишат периодични сигнали, които по дефиниция (Уравнение (1.2)) винаги съществуват и следователно имат безкрайна енергия, и за да се работи със случайни сигнали, които също имат неограничена енергия, е удобно да се дефинира клас сигнали, изразени чрез термини на властта. Така че е удобно да се представи сигнал с помощта на мощност, ако е периодичен и по всяко време има ненулева крайна мощност (), където

(1.8)

Определен сигнал може да бъде приписан или на енергиен, или на периодичен. Един енергиен сигнал има ограничена енергия, но нулева средна мощност, докато периодичният сигнал има нулева средна мощност, но безкрайна енергия. Сигналът в системата може да бъде изразен или чрез неговата енергия, или чрез периодични стойности. Като общо правило, периодичните и случайни сигнали се изразяват като мощност, а сигналите, които са детерминистични и непериодични, се изразяват като енергия.

Енергията и мощността на сигнала са два важни параметъра при описание на комуникационна система. Класифицирането на сигнал като енергиен сигнал или като периодичен е удобен модел, който улеснява математическото третиране на различни сигнали и шумове. Раздел 3.1.5 развива тези идеи в контекста на цифровите комуникационни системи.

1.2.5. Единична импулсна функция

Полезна функция в теорията на комуникацията е единичният импулс или делта функцията на Дирак. Импулсната функция е абстракция, импулс с безкрайна амплитуда, нулева ширина и единично тегло (площ под импулса), концентриран в точката, където стойността на неговия аргумент е нула. Единичният импулс се дава от следните отношения.

Неограничен в точка (1.11)

(1.12)

Единичният импулс не е функция в обичайния смисъл на думата. Ако влезе в някаква операция, е удобно да се разглежда като импулс с крайна амплитуда, единица площ и ненулева продължителност, след което е необходимо да се вземе предвид границата, тъй като продължителността на импулса клони към нула. Графично може да се изобрази като връх, разположен в точка, чиято височина е равна на интеграла от него или неговата площ. По този начин, с константа НОпредставлява импулсна функция, чиято площ (или тегло) е НОи стойността е нула навсякъде с изключение на точката.

Уравнение (1.12) е известно като пресяващото (или квантуващото) свойство на единичната импулсна функция; интегралът на единичен импулс и произволна функция дава образец на функцията в точката.

1.3. Спектрална плътност

Спектралната плътност на характеристиките на сигнала е разпределението на енергията или мощността на сигнала в диапазон от честоти. Тази концепция е от особено значение, когато се разглежда филтрирането в комуникационните системи. Трябва да можем да оценим сигнала и шума на изхода на филтъра. При извършване на такава оценка се използва спектралната плътност на енергията (ESD) или спектралната плътност на мощността (спектрална плътност на мощността - PSD).

1.3.1. Спектрална плътност на енергията

Общата енергия на реален енергиен сигнал, определен в интервала, се описва с уравнение (1.7). Използвайки теоремата на Парсевал, можем да свържем енергията на такъв сигнал, изразена във времевата област, с енергията, изразена в честотната област:

, (1.13)

където е преобразуването на Фурие на непериодичния сигнал. (Обобщение на анализа на Фурие може да се намери в Приложение А.) Означава се с правоъгълен амплитуден спектър, дефиниран като

(1.14)

Количеството е спектралната енергийна плътност (ESD) на сигнала. Следователно, от уравнение (1.13) може да се изрази общата енергия чрез интегриране на спектралната плътност по отношение на честотата.

(1.15)

Това уравнение показва, че енергията на сигнала е равна на площта под графиката в честотната област. Спектралната енергийна плътност описва енергията на сигнала за единица честотна лента и се измерва в J/Hz. Положителните и отрицателните честотни компоненти дават еднакъв енергиен принос, така че за реален сигнал стойността е равномерна функция на честотата. Следователно, спектралната енергийна плътност е честотно симетрична спрямо началото и общата енергия на сигнала може да бъде изразена по следния начин.

(1.16)

1.3.2. Спектрална плътност на мощността

Средната мощност на реален сигнал в периодичното представяне се определя от уравнение (1.8). Ако е периодичен сигнал с период, той се класифицира като сигнал в периодичното представяне. Изразът за средната мощност на периодичен сигнал се дава с формула (1.6), където средното време се взема за един период.

(1.17a)

Теоремата на Парсевал за реален периодичен сигнал има формата

, (1.17,б)

където членовете са комплексните коефициенти на реда на Фурие за периодичен сигнал (вижте Приложение A).

За да се използва уравнение (1.17.6), е необходимо само да се знае стойността на коефициентите. Спектралната плътност на мощността (PSD) на периодичен сигнал, която е реална, равномерна и неотрицателна функция на честотата и дава разпределение на мощността на сигнала в честотен диапазон, се определя, както следва.

(1.18)

Уравнение (1.18) дефинира спектралната плътност на мощността на периодичен сигнал като последователност от претеглени делта функции. Следователно PSD на периодичен сигнал е дискретна функция на честотата. Използвайки PSD, дефиниран в уравнение (1.18), може да се напише средната нормализирана мощност на реалния сигнал.

(1.19)

Уравнение (1.18) описва PSD само на периодични сигнали. Ако е непериодичен сигнал, той не може да бъде изразен чрез ред на Фурие; ако е непериодичен сигнал в периодичното представяне (с безкрайна енергия), той може да няма трансформация на Фурие. Все пак можем да изразим спектралната плътност на мощността на такива сигнали в границата. Ако формираме пресечена версия на непериодичен сигнал в периодичното представяне, като за това вземем само неговите стойности от интервала (), тогава той ще има крайна енергия и съответното преобразуване на Фурие . Може да се покаже, че спектралната плътност на мощността на непериодичен сигнал се определя като граница.

(1.20)

Пример 1.1. Средна номинална мощност

а) Намерете средната нормализирана сила на сигнала използване на осредняване на времето.

б) Изпълнете точка а, като сумирате спектралните коефициенти.

Решение

а) Използвайки уравнение (1.17, а), имаме следното.

б) Използвайки уравнения (1.18) и (1.19), получаваме следното.

(вижте приложение А)

1.4. автокорелация

1.4.1. Автокорелация на енергиен сигнал

Корелацията е процес на съпоставяне; автокорелацията е съпоставяне на сигнал с неговата собствена забавена версия. Автокорелационната функция на реален енергиен сигнал се дефинира както следва.

за (1.21)

Функцията за автокорелация дава мярка за сходството на сигнала със собственото му копие, изместено с единици време. Променливата играе ролята на параметър за сканиране или търсене. не е функция на времето; това е просто функция на времевата разлика между сигнала и неговото изместено копие.

Автокорелационната функция на реален енергиен сигнал има следните свойства.

1.

3. автокорелацията и ESD са трансформации на Фурие една от друга, което е обозначено с двуглава стрелка

4. стойността при нула е равна на енергията на сигнала

При удовлетворяване на ал. 1-3 е автокорелационна функция. Условие 4 е следствие от условие 3, така че не е необходимо да го включвате в основния набор за тестване на автокорелационната функция.

1.4.2. Автокорелация на периодичен сигнал

Автокорелацията на реален периодичен сигнал се определя по следния начин.

за (1.22)

Ако сигналът е периодичен с период, средното време в уравнение (1.22) може да бъде взето за един период и автокорелацията може да бъде изразена, както следва.

за (1,23)

Автокорелацията на периодичен сигнал, който приема реални стойности, има свойства, подобни на тези на енергиен сигнал.

1. симетрия по отношение на нулата

2. за всички максималната стойност е нула

3. автокорелацията и ESD са трансформации на Фурие една от друга

4.

1.5. случайни сигнали

Основната задача на комуникационната система е да предава информация по комуникационен канал. Всички сигнали за полезни съобщения се появяват на случаен принцип, т.е. получателят не знае предварително кои от възможните символи на съобщението ще бъдат предадени. Освен това, поради различни електрически процеси, възниква шум, който придружава информационните сигнали. Следователно се нуждаем от ефективен начин за описване на случайни сигнали.

1.5.1. случайни променливи

Нека случайната променлива HA)представлява функционална връзка между случайно събитие НОи реално число. За удобство на записа, ние означаваме случайната променлива с х, и неговата функционална зависимост от НОще се считат за изрични. Случайната променлива може да бъде дискретна или непрекъсната. Разпределение на случайна величина хсе намира чрез израза:

, (1.24)

където е вероятността стойността да бъде приета; случайна величина хпо-малко от реално число хили равен на него. Функцията на разпределение има следните свойства.

2. ако

Друга полезна функция, свързана със случайната променлива х, е плътността на вероятността, която се записва по следния начин.

(1.25, а)

Както при функцията на разпределение, плътността на вероятността е функция на реално число х. Името "функция на плътност" идва от факта, че вероятността за събитие е равна на следното.

Използвайки уравнение (1.25.6), можем приблизително да запишем вероятността една случайна променлива хима стойност, която принадлежи на много малък интервал между и .

Така, в границата като клоняща към нула, можем да запишем следното.

Плътността на вероятността има следните свойства.

2. .

По този начин плътността на вероятността винаги е неотрицателна и има единица площ. В текста на книгата ще използваме нотацията за означаване на плътността на вероятността за непрекъсната случайна променлива. За удобство на означение често ще пропускаме индекса хи пишете просто. Ако случайна променлива хможе да приема само дискретни стойности, ще използваме нотацията .

1.5.1.1. Ансамбъл означава

Средна стойност или очаквана стойност на случайна променлива хсе определя от израза

, (1.26)

където се нарича оператор на очакваната стойност. момент нвероятностно разпределение от -ти ред на случайна променлива хнаречена следващата стойност.

(1.27)

За анализа на комуникационните системи са важни първите два момента на променливата х. Да, при н=1 уравнение (1.27) дава момента, разгледан по-горе, и кога н= 1 - средноквадратична стойност х.

(1.28)

Могат да се определят и централни моменти, които са моментите на разликата хи . Централният момент от втори ред (наричан още дисперсия) е както следва.

дисперсия хсъщо се записва като , а квадратният корен от тази стойност, , се нарича стандартно отклонение х. Дисперсията е мярка за "разсейването" на случайна променлива х. Определянето на дисперсията на случайна променлива ограничава ширината на функцията за плътност на вероятността. Дисперсията и RMS са свързани със следната връзка.

По този начин дисперсията е равна на разликата между средния квадрат и квадрата на средната стойност.

1.5.2. случайни процеси

Случайният процес може да се разглежда като функция на две променливи: събития НОи време. На фиг. 1.5 показва пример за случаен процес. Показване нпримерни функции на времето. Всяка от примерните функции може да се разглежда като изход на отделен генератор на шум. За всяко събитие имаме една функция за време (т.е. примерна функция). Наборът от всички примерни функции се нарича ансамбъл. Във всеки даден момент , е случайна променлива, чиято стойност зависи от събитието. И последното, за конкретно събитие и за определен момент от време, е редовно число. За удобство на записа ще обозначим случайния процес като X(t), и функционалната зависимост от НОще се считат за изрични.

Фиг.1.5. Процес на случаен шум

1.5.2.1. Статистическа средна стойност на случаен процес

Тъй като стойността на случаен процес във всяка следваща точка от времето е неизвестна, случаен процес, чиито функции на разпределение са непрекъснати, може да бъде описан статистически от гледна точка на плътност на вероятността. Като цяло, в различно време тази функция за произволен процес ще има различна форма. В повечето случаи е нереалистично да се определи емпирично вероятностното разпределение на случаен процес. В същото време за нуждите на комуникационните системи често е достатъчно частично описание, включващо средната и автокорелационната функция. И така, нека дефинираме средната стойност на произволния процес X(t)как

, (1.30)

където е случайна променлива, получена чрез разглеждане на случаен процес във време, a е плътността на вероятността (плътността върху ансамбъла от събития в момента).

Нека дефинираме автокорелационната функция на случайния процес X(t)като функция на две променливи и

където и са случайни променливи, получени чрез разглеждане X(t)на моменти и съответно. Автокорелационната функция е мярка за връзката между две времеви проби на един случаен процес.

1.5.2.2. стационарност

случаен процес X(t)се нарича стационарен в строгия смисъл, ако нито една от неговите статистики не е засегната от прехвърлянето на произхода на времето. Случаен процес се нарича стационарен в широк смисъл, ако две от неговите статистики, средната и автокорелационната функция, не се променят, когато началото на времето се премести. По този начин процесът е като цяло стационарен, ако

Стационарността в строгия смисъл предполага стационарност в широкия смисъл, но не и обратното. Повечето от полезните резултати на теорията на комуникацията се основават на предположението, че произволните информационни сигнали и шумът са стационарни в широк смисъл. От практическа гледна точка, случайният процес не винаги трябва да бъде стационарен, достатъчно е да бъде стационарен в някакъв наблюдаем интервал от време от практически интерес.

За стационарни процеси автокорелационната функция в уравнение (1.33) не зависи от времето, а само от разликата. С други думи, всички двойки стойности X(t)в моменти, разделени от интервала, имат една и съща корелационна стойност. Следователно за стационарни системи функцията може да бъде записана просто като .

1.5.2.3. Автокорелация на случайни процеси, стационарни в широк смисъл

Точно както дисперсията предлага мярка за случайност за случайни променливи, автокорелационната функция предлага подобна мярка за случайни процеси. За процеси, които са стационарни в широк смисъл, автокорелационната функция зависи само от времевата разлика.

За широко стационарен процес с нулева средна стойност функцията показва колко статистически корелирани са случайните променливи на процеса, разделени от секунди. С други думи, дава информация за честотната характеристика, свързана с произволния процес. Ако се променя бавно, докато се увеличава от нула до някаква стойност, това показва, че средните стойности на извадката X(t), взети на моменти и , са почти равни. Следователно имаме право да очакваме това в честотното представяне X(t)ще доминират ниските честоти. От друга страна, ако бързо намалява с нарастване, може да се очаква това X(t)ще се променя бързо с времето и следователно ще включва предимно високи честоти.

Автокорелационната функция на процес, който е стационарен в широк смисъл и приема реални стойности, има следните свойства.

1. симетрия по отношение на нулата

2. за всички максималната стойност е нула

3. автокорелацията и спектралната плътност на мощността са трансформации на Фурие една от друга

4. стойността при нула е равна на средната сила на сигнала

1.5.3. Осредняване на времето и ергодичност

За да изчислим и чрез осредняване за ансамбъла, трябва да ги осредним за всички примерни функции на процеса и следователно се нуждаем от пълна информация за взаимното разпределение на функциите на плътност на вероятността в първото и второто приближение. В общия случай, като правило, такава информация не е налична.

Ако случаен процес принадлежи към специален клас, наречен клас на ергодични процеси, неговата средна стойност за времето е равна на средната стойност на ансамбъла и статистическите свойства на процеса могат да бъдат определени чрез осредняване на една примерна функция на процеса във времето. За да бъде случаен процес ергодичен, той трябва да бъде стационарен в строгия смисъл на думата (обратното не е необходимо). Въпреки това, за комуникационни системи, където стационарността в широк смисъл е достатъчна за нас, ние се интересуваме само от средната и автокорелационната функция.

Казва се, че случаен процес е ергодичен по отношение на средното if

(1.35)

и ергодична по отношение на автокорелационната функция ако

(1.36)

Тестването на произволен процес за ергодичност обикновено е доста трудно. На практика, като правило, се използва интуитивно предположение за целесъобразността на замяната на ансамбълните средни с времеви средни. Когато се анализират повечето сигнали в комуникационните канали (при липса на импулсни ефекти), е разумно да се приеме, че случайните сигнали са ергодични по отношение на автокорелационната функция. Тъй като за ергодичните процеси средните времеви стойности са равни на средните стойности на ансамбъла, фундаментални електрически параметри, като амплитудата на DC компонента, средната квадратична стойност и средната мощност, могат да бъдат свързани с моментите на ергодичния случаен процес.

1. Стойността е равна на DC компонента на сигнала.

2. Стойността е равна на нормализираната мощност на DC компонента.

3. Момент от втори ред X(t), , е равно на общата средна нормализирана мощност.

4. Стойността е равна на средноквадратичната стойност на сигнала, изразена като ток или напрежение.

5. Дисперсията е равна на средната нормализирана мощност на променливия сигнал.

6. Ако средната стойност на процеса е нула (т.е.), тогава и дисперсията е равна на средноквадратичната стойност или (друга формулировка) дисперсията представлява общата мощност в нормализирания товар.

7. Стандартното отклонение е стандартната стойност на променливия сигнал.

8. Ако , тогава е RMS стойността на сигнала.

1.5.4. Спектрална плътност на мощността и автокорелация на стохастичен процес

случаен процес X(t)може да се припише на периодичен сигнал с такава спектрална плътност на мощността, както е посочено в уравнение (1.20). Функцията е особено полезна в комуникационни системи, тъй като описва разпределението на мощността на сигнала в честотен диапазон. Спектралната плътност на мощността ви позволява да оцените мощността на сигнала, който ще бъде предаден през мрежа с известни честотни характеристики. Основните свойства на функциите на спектралната плътност на мощността могат да бъдат формулирани по следния начин.

1. винаги приема реални стойности

2. за X(t)вземане на реални стойности

3. автокорелацията и спектралната плътност на мощността са трансформации на Фурие една от друга

4. връзката между средната нормализирана мощност и спектралната плътност на мощността

На фиг. 1.6 показва визуално представяне на автокорелационната функция и функцията на спектралната плътност на мощността. Какво означава терминът "корелация"? Когато се интересуваме от корелацията на две явления, ние питаме колко тясно са свързани по поведение или външен вид и доколко съвпадат. В математиката автокорелационната функция на сигнал (във времевия домейн) описва съответствието на сигнала със самия себе си, изместено с известно време. Точно копие се счита за създадено и локализирано на минус безкрайност. След това последователно преместваме копието в положителната посока на времевата ос и питаме как те (оригиналната версия и копието) си съответстват. След това преместваме копието с още една стъпка в положителната посока и питаме колко съвпадат сега и т.н. Корелацията между два сигнала е изобразена като функция на времето, означена с ; в този случай времето може да се разглежда като сканиращ параметър.

На фиг. 1.6 а-гситуацията, описана по-горе, е изобразена в някои моменти от времето. Ориз. 1.6 аилюстрира единичен сигнал на широко стационарен случаен процес X(t). Сигналът е произволна двоична последователност с положителни и отрицателни (биполярни) импулси с единична амплитуда. Положителните и отрицателните импулси се появяват с еднаква вероятност. Продължителността на всеки импулс (двоична цифра) е Tсекунди, а средната стойност или стойността на постоянния компонент на произволната последователност е нула. На фиг. 1.6 bпоказва се същата последователност, изместена във времето със секунди. Според приетата нотация тази последователност се означава с . Да приемем процеса X(t)е ергодична по отношение на автокорелационната функция, така че можем да използваме усредняване на времето вместо усредняване на ансамбъла, за да намерим. Стойността се получава чрез умножаване на две последователности X(t)и с последващо намиране на средната с помощта на уравнение (1.36), което е валидно за ергодични процеси само в границата. Въпреки това, интегрирането върху цял брой периоди може да ни даде известна оценка на . Обърнете внимание какво може да се получи чрез преместване X(t)както в положителна, така и в отрицателна посока. Подобен случай е илюстриран на фиг. 1.6 в, на който се използва оригиналната последователност на пробата (фиг. 1.6, а) и неговото изместено копие (фиг. 1.6, b). Засенчените зони под продуктовата крива допринасят положително за продукта, докато сивите зони допринасят отрицателно. Интегрирането върху времето за предаване дава точка на кривата. Последователността може да бъде допълнително изместена с и всяко такова изместване ще даде точка върху общата автокорелационна функция, показана на фиг. 1.6 Ж. С други думи, всяка произволна последователност от биполярни импулси съответства на автокорелационна точка на общата крива, показана на фиг. 1.6 Ж. Максимумът на функцията е в точка (най-доброто съвпадение е, когато , равно на нула, тъй като за всички ), и функцията пада като . На фиг. 1.6 Жпоказани са точките, съответстващи на и.

Аналитичният израз за автокорелационната функция, показан на фиг. 1.6 Ж, има следния вид.

(1.37)

Имайте предвид, че функцията за автокорелация ни дава информация за честотата; това ни казва нещо за честотната лента на сигнала. В същото време автокорелацията е времева функция; във формула (1.37) няма членове в зависимост от честотата. И така, как ни дава информация за честотната лента?

Фиг.1.6. Автокорелация и спектрална плътност на мощността

Фиг.1.6. Автокорелация и спектрална плътност на мощността (край)

Да приемем, че сигналът се движи много бавно (сигналът има ниска честотна лента). Ако преместим копието на сигнала по оста, задавайки на всеки етап от преместването въпроса доколко копието и оригиналът съответстват един на друг, съответствието ще бъде доста силно за дълго време. С други думи, триъгълната автокорелационна функция (фиг. 1.6, Жи формула 1.37) бавно ще намалява с увеличаване на . Нека сега приемем, че сигналът се променя достатъчно бързо (т.е. имаме голяма лента). В този случай дори малка промяна ще доведе до нулева корелация и много тясна форма на автокорелационната функция. Следователно сравняването на автокорелационните функции по форма ни дава известна информация за честотната лента на сигнала. Функцията намалява ли постепенно? В този случай имаме сигнал с тясна лента. Формата на функцията прилича ли на тесен връх? Тогава сигналът има широка лента.

Функцията за автокорелация ви позволява изрично да изразите спектралната плътност на мощността на случаен сигнал. Тъй като спектралната плътност на мощността и автокорелационната функция са трансформации на Фурие една от друга, спектралната плътност на мощността, , на произволна последователност от биполярни импулси може да се намери като трансформация на Фурие на функцията, чийто аналитичен израз е даден в уравнение (1.37) . За да направите това, можете да използвате таблицата. А.1. забележи това

(1.38)

Общият изглед на функцията е показан на фиг. 1.6 д.

Имайте предвид, че площта под кривата на спектралната плътност на мощността представлява средната мощност на сигнала. Една удобна мярка за честотната лента е ширината на главния спектрален лоб (вижте раздел 1.7.2). На фиг. 1.6 дпоказано е, че честотната лента на сигнала е свързана с реципрочната стойност на продължителността на символа или ширината на импулса. Ориз. 1.6 е-кформално повторете фиг. 1.6 по дяволите, с изключение на това, че на следващите фигури продължителността на импулса е по-кратка. Обърнете внимание, че за по-къси импулси функцията е по-тясна (фиг. 1.6, и), отколкото за по-дългите (фиг. 1.6, Ж). На фиг. 1.6 и; с други думи, в случай на по-кратка продължителност на импулса, изместване от е достатъчно, за да създаде нулево съвпадение или за пълна загуба на корелация между изместените последователности. Тъй като на фиг. 1.6 дпродължителност на импулса Tпо-малко (по-висока скорост на предаване на импулса), отколкото на фиг. 1.6 а, заетостта на лентата на фиг. 1.6 да сеповече заетост на лентата за по-ниската честота на импулса, показана на фиг. 1.6 д.

1.5.5. Шум в комуникационни системи

Терминът "шум" се отнася до нежелани електрически сигнали, които винаги присъстват в електрическите системи. Наличието на шум, насложен върху сигнала, "закрива" или маскира сигнала; това ограничава способността на получателя да взема точни решения относно значението на символите и следователно ограничава скоростта на информацията. Природата на шума е разнообразна и включва както естествени, така и изкуствени източници. Създадените от човека шумове са шум от искрово запалване, импулсен шум от превключване и шум от други свързани източници на електромагнитно излъчване. Естествените шумове идват от атмосферата, слънцето и други галактически източници.

Добрият инженерен дизайн може да елиминира повечето шумове или техните нежелани ефекти чрез филтриране, екраниране, избор на модулация и оптимално местоположение на приемника. Например чувствителните радиоастрономически измервания обикновено се извършват в отдалечени пустинни райони, далеч от естествени източници на шум. Има обаче един естествен шум, наречен топлинен шум, който не може да бъде елиминиран. Топлинният шум се причинява от топлинното движение на електроните във всички дисипативни компоненти - резистори, проводници и др. Същите електрони, които са отговорни за електрическата проводимост, са отговорни и за топлинния шум.

Топлинният шум може да се опише като случаен процес по Гаус с нулева средна стойност. Гаусов процес n(t)е произволна функция, чиято стойност и в произволен момент от време Tсе характеризира статистически с функция на плътност на вероятността на Гаус:

, (1.40)

къде е дисперсията н. Нормализираната Гаусова функция на плътност на процеса с нулева средна стойност се получава при допускането, че . Схематично нормализираната функция на плътност на вероятността е показана на фиг. 1.7.

Ето един случаен сигнал, а- сигнал в комуникационния канал и н е случайна променлива, изразяваща Гаусов шум. Тогава функцията на плътността на вероятността се изразява като

, (1.41)

където, както по-горе, е дисперсията н.

Фиг.1.7. Нормализирана () Гаусова функция на плътност на вероятността

Разпределението на Гаус често се използва като модел за шума в система, тъй като има централна гранична теорема, която гласи, че при много общи условия вероятностното разпределение на сумата йстатистически независимите случайни променливи се подчиняват на разпределението на Гаус и формата на отделните функции на разпределение няма значение. По този начин, дори ако отделните шумови механизми ще имат не-гаусово разпределение, наборът от много такива механизми ще клони към гаусово разпределение.

1.5.5.1. бял шум

Основната спектрална характеристика на топлинния шум е, че неговата спектрална плътност на мощността е еднаква за всички честоти, представляващи интерес в повечето комуникационни системи; с други думи, източник на термичен шум излъчва на всички честоти с еднаква мощност на единица честотна лента - от DC до честота от порядъка на Hz. Следователно, прост модел на термичен шум предполага, че неговата спектрална плътност на мощността е еднаква за всички честоти, както е показано на фиг. 1.8 а, и се записва в следната форма.

(1.42)

Тук е включен коефициент 2, за да се покаже, че това е двустранната спектрална плътност на мощността. Когато мощността на шума има такава равномерна спектрална плътност, ние наричаме този шум бял. Прилагателното "бял" се използва в същия смисъл като за бяла светлина, съдържаща равни части от всички честоти във видимия електромагнитен спектър.

Фиг.1.8. Бял шум: а) спектрална плътност на мощността;

б) автокорелационна функция

Автокорелационната функция на белия шум се дава чрез обратното преобразуване на Фурие на спектралната плътност на мощността на шума (виж таблица A.1) и се записва, както следва.

(1.43)

По този начин автокорелацията на белия шум е делта функция, претеглена с фактор и разположена в точката, както е показано на фиг. 1.8 b. Обърнете внимание, че е равно на нула за , т.е. две различни проби от бял шум не са корелирани, независимо колко близки са.

Средната мощност на белия шум е безкрайна, защото честотната лента на белия шум е безкрайна. Това може да се види, като се получи следният израз от уравнения (1.19) и (1.42).

(1.44)

Въпреки че белият шум е много полезна абстракция, нито един шумов процес всъщност не може да бъде бял; въпреки това, шумът, който се появява в много реални системи, вероятно може да се счита за бял. Можем да наблюдаваме такъв шум само след като е преминал през реална система с ограничена честотна лента. Следователно, докато честотната лента на шума е значително по-голяма от честотната лента, използвана от системата, може да се счита, че шумът има безкрайна честотна лента.

Делта функцията в уравнение (1.43) означава, че шумовият сигнал n(t)е абсолютно несвързан със собствената си предубедена версия за който и да е . Уравнение (1.43) показва, че всеки две проби от процеса на бял шум не са корелирани. Тъй като термичният шум е процес на Гаус и неговите проби не са корелирани, пробите на шум също са независими. По този начин ефектът от допълнителен канал с бял шум на Гаус върху процеса на откриване е, че шумът засяга независимо всеки предаван символ. Такъв канал се нарича канал без памет. Терминът "добавка" означава, че шумът просто се наслагва или добавя към сигнала - не съществуват мултипликативни механизми.

Тъй като топлинният шум присъства във всички комуникационни системи и е значителен източник на шум за повечето системи, характеристиките на топлинния шум (адитивен, бял и Гаус) често се използват за моделиране на шума в комуникационните системи. Тъй като гаусовият шум с нулева средна стойност се характеризира напълно със своята вариация, този модел е особено лесен за използване при откриване на сигнал и оптимален дизайн на приемника. В тази книга ще приемем (освен ако не е посочено друго), че системата е повредена от адитивен бял шум на Гаус с нулева средна стойност, въпреки че понякога това опростяване ще бъде прекалено силно.

1.6. Предаване на сигнал през линейни системи

Сега, след като разработихме набор от модели на сигнал и шум, нека да разгледаме характеристиките на системите и техния ефект върху сигналите и шума. Тъй като една система може да се характеризира еднакво добре както в честотната, така и във времевата област, и в двата случая са разработени методи за анализиране на реакцията на линейна система към произволен входен сигнал. Сигналът, подаден на входа на системата (фиг. 1.9), може да бъде описан или като времеви сигнал, , или чрез неговото преобразуване на Фурие, . Използването на времеви анализ дава времеви изход и в процеса ще бъдат определени функцията, импулсният отговор или импулсният отговор на мрежата. Когато разглеждаме входа в честотната област, трябва да определим честотната характеристика на системата или трансферната функция, която ще определи честотния изход. Приема се, че системата е линейна и инвариантна по отношение на времето. Приема се също, че системата няма латентна енергия в момента на подаване на входния сигнал.

Фиг.1.9. Линейна система и нейните основни параметри

1.6.1. импулсна реакция

Линейната, инвариантна във времето система или мрежа, показана на фиг. 1.9 се описва (във времевата област) от импулсната характеристика, която е реакцията на системата, когато единичен импулс е приложен към нейния вход.

Помислете за термина "импулсна реакция", който е изключително подходящ за това събитие. Описанието на характеристиките на една система чрез нейния импулсен отговор има пряка физическа интерпретация. На входа на системата прилагаме единичен импулс (нереален сигнал с безкрайна амплитуда, нулева ширина и единична площ), както е показано на фиг. 1.10, а. Подаването на такъв импулс към системата може да се приеме като „моментално въздействие“. Как системата ще реагира („отговори“) на такова прилагане на сила (импулс)? Изходният сигнал е импулсната характеристика на системата. (Възможна форма на този отговор е показана на фиг. 1.10, b.)

Отговорът на мрежата на произволен сигнал е конволюция с , която се записва по следния начин.

(1.46)

Фиг.1.10. Илюстрация на понятието "импулсна характеристика": а) входният сигнал е единична импулсна функция; б) изходният сигнал е импулсната характеристика на системата

Тук знакът "*" обозначава операция на навиване (вижте точка A.5). Приема се, че системата е причинно-следствена, което означава, че няма сигнал на изхода до момента, в който сигналът бъде приложен към входа. Следователно долната граница на интегрирането може да се приеме равна на нула и изходът може да бъде изразен по малко по-различен начин.

(1.47, а)

или във формата

(1.47b)

Изразите в уравнения (1.46) и (1.47) се наричат ​​конволюционни интеграли. Конволюцията е основен математически инструмент, който играе важна роля в разбирането на всички комуникационни системи. Ако читателят не е запознат с тази операция, той трябва да се обърне към раздел A.5 за извеждането на уравнения (1.46) и (1.47).

1.6.2. Честотна трансферна функция

Честотният изход се получава чрез прилагане на трансформацията на Фурие към двете страни на уравнение (1.46). Тъй като конволюцията във времевата област се превръща в умножение в честотната област (и обратно), от уравнение (1.46) получаваме следното.

(Предполага се, разбира се, че за всички .) Тук , преобразуването на Фурие на импулсната характеристика, наречено честотна трансферна функция, честотна характеристика или честотна характеристика на мрежата. Като цяло функцията е сложна и може да бъде написана като

, (1.50)

където е модулът на реакцията. Фазата на отговор се определя по следния начин.

(1.51)

(и обозначават реалните и въображаемите части на аргумента.)

Честотната предавателна функция на линейна, времеинвариантна мрежа може лесно да се измери в лаборатория - в мрежа с хармоничен генератор на входа и осцилоскоп на изхода. Ако входният сигнал се изрази като

,

тогава изходът може да бъде написан по следния начин.

Входната честота се измества със стойността, която ни интересува; по този начин измерванията на входа и изхода позволяват да се определи вида.

1.6.2.1. Стохастични процеси и линейни системи

Ако случаен процес формира входа на линейна, инвариантна във времето система, тогава на изхода на тази система също получаваме случаен процес. С други думи, всяка примерна функция на входния процес дава примерна функция на изходния процес. Спектралната плътност на входната мощност и спектралната плътност на изходната мощност са свързани със следната зависимост.

(1.53)

Уравнение (1.53) осигурява лесен начин за намиране на спектралната плътност на мощността на изхода на линейна, времеинвариантна система, когато произволен процес се прилага като вход.

В глави 3 и 4 ще разгледаме откриването на сигнал в шума на Гаус. Основното свойство на гаусовите процеси ще бъде приложено към линейна система. Ще бъде показано, че ако Gaussian процес се подава към инвариантен във времето линеен филтър, тогава произволният процес, който се извежда, също е Gaussian.

1.6.3. Предаване без изкривяване

Какво е необходимо, за да може една мрежа да се държи като идеален канал за предаване? Сигналът на изхода на идеален комуникационен канал може да бъде забавен по отношение на сигнала на входа; освен това тези сигнали могат да имат различни амплитуди (просто преразмеряване), но както за всичко останало - сигналът не трябва да бъде изкривен, т.е. трябва да има същата форма като входния сигнал. Следователно, за идеално неизкривено предаване, можем да опишем изходния сигнал като

, (1.54)

където и са константи. Прилагайки трансформацията на Фурие към двете части (вижте раздел A.3.1), имаме следното.

(1.55)

Замествайки израз (1.55) в уравнение (1.49), виждаме, че необходимата трансферна функция на системата за предаване без изкривяване има следния вид.

(1.56)

Следователно, за да се получи идеално предаване без изкривяване, цялостният отговор на системата трябва да има постоянен модул и фазовото изместване трябва да бъде линейно по честота. Не е достатъчно системата да повишава или намалява еднакво всички честотни компоненти. Всички хармоници на сигнала трябва да пристигнат на изхода с еднакво закъснение, за да могат да бъдат сумирани. Тъй като забавянето е свързано с фазовото изместване и цикличната честота чрез връзката

, (1.57,а)

очевидно е, че за да бъде забавянето на всички компоненти еднакво, фазовото изместване трябва да бъде пропорционално на честотата. За измерване на изкривяването на сигнала, причинено от забавяне, често се използва характеристика, наречена групово забавяне; тя се определя по следния начин.

(1.57b)

По този начин, за предаване без изкривяване, имаме две еквивалентни изисквания: фазата трябва да е линейна по честота или груповото закъснение трябва да бъде равно на константа. На практика сигналът ще бъде изкривен, докато преминава през някои части на системата. За да се елиминира това изкривяване, в системата могат да се въведат схеми за коригиране на фазата или амплитудата (изравняване). Като цяло, изкривяването е обща I/O характеристика на системата, която определя нейната производителност.

1.6.3.1. Идеален филтър

Нереалистично е да се изгради идеална мрежа, описана с уравнение (1.56). Проблемът е, че уравнение (1.56) предполага безкрайна честотна лента, като честотната лента на системата се определя от обхвата на положителните честоти, където модулът има дадена стойност. (Като цяло има няколко измервания на честотната лента; най-често срещаните са изброени в раздел 1.7.) Като приближение към идеална мрежа с безкрайна честотна лента, ние избираме пресечена мрежа, която пропуска без изкривяване всички хармоници с честоти между и където е долната гранична честота и е горната, както е показано на фиг. 1.11. Всички такива мрежи се наричат ​​идеални филтри. Предполага се, че извън обхвата, който се нарича лента на пропускане (лента на пропускане), амплитудата на отговор на идеален филтър е нула. Ефективната честотна лента се определя от честотната лента на филтъра и е Hz.

Ако и , филтърът се нарича предавателен (фиг. 1.11, а). Ако и има крайна стойност, той се нарича нискочестотен филтър (фиг. 1.11, b). Ако има ненулева стойност и , той се нарича високочестотен филтър (фиг. 1.11, в).

Фиг.1.11. Предавателна функция на идеалните филтри: а) идеален пропускателен филтър; б) идеален нискочестотен филтър; в) идеален нискочестотен филтър

Използвайки уравнение (1.59) и допускайки идеален нискочестотен филтър с Hz честотна лента, показана на фиг. 1.11 b, трансферната функция може да бъде записана по следния начин.

(1.58)

Импулсният спектър на идеален нискочестотен филтър, показан на фиг. 1.12 се изразява със следната формула.

Фиг.1.12. Импулсна характеристика на идеален нискочестотен филтър

където функцията е дефинирана в уравнение (1.39). Импулсният спектър, показан на фиг. 1.12 не е причинно-следствена; това означава, че в момента, в който сигналът е приложен към входа (), има ненулева реакция на изхода на филтъра. По този начин трябва да е очевидно, че идеалният филтър, описан от уравнение (1.58), всъщност не се среща.

Пример 1.2. Преминаване на бял шум през идеален филтър

Бял шум със спектрална плътност на мощността показано на фигура 1.8, а, се прилага към входа на идеалния нискочестотен филтър, показан на фиг. 1.11 b. Определете спектралната плътност на мощността и автокорелационната функция на изходния сигнал.

Решение

Автокорелационната функция е резултат от прилагане на обратното преобразуване на Фурие към спектралната плътност на мощността. Автокорелационната функция се определя от следния израз (виж таблица A.1).

Сравнявайки резултата, получен с формула (1.62), виждаме, че той има същата форма като импулсната характеристика на идеален нискочестотен филтър, показан на фиг. 1.12. В този пример идеалният нискочестотен филтър преобразува автокорелационната функция на белия шум (дефинирана от гледна точка на делта функцията) във функция. След филтриране системата вече няма да има бял шум. Изходният шумов сигнал ще има нулева корелация само с неговите изместени копия, когато е изместен с , където е всяко ненулево цяло число.

1.6.3.2. Внедрени филтри

Най-простият нискочестотен филтър, който може да бъде реализиран, се състои от съпротивление (R) и капацитет (C), както е показано на фиг. 1.13 а; този филтър се нарича RC филтър и неговата трансферна функция може да се изрази по следния начин.

, (1.63)

където . Амплитудната характеристика и фазовата характеристика са показани на фиг. 1.13 b, в. Ширината на честотната лента на нискочестотния филтър се определя в точката на половин мощност; тази точка представлява честотата, при която мощността на изходния сигнал е половината от максималната стойност, или честотата, при която амплитудата на изходното напрежение е равна на максималната стойност.

Като цяло точката на половин мощност се изразява в децибели (dB) като точка -3 dB или точка с 3 dB под максималната стойност. По дефиниция стойността в децибели се определя от съотношението на мощностите и .

(1.64, а)

Тук и са напрежения, a и са съпротивления. В комуникационните системи нормализираната мощност обикновено се използва за анализ; в този случай съпротивленията и се считат за равни на 1 ом, тогава

Фиг.1.13. RC филтър и неговата предавателна функция: а) RC филтър; б) амплитудна характеристика на RC филтъра; в) фазова характеристика на RC филтъра

(1.64, б)

Амплитудната характеристика може да се изрази в децибели като

, (1,64, инча)

където и са входното и изходното напрежение, а входното и изходното съпротивление се приемат за равни.

От уравнение (1.63) е лесно да се провери дали точката на половин мощност на RC нискочестотния филтър съответства на rad/s или Hz. По този начин честотната лента в херци е . Форм-факторът на филтъра е мярка за това доколко истинският филтър се доближава до идеалния. Обикновено се определя като съотношението на лентите на филтъра -60 dB и -6 dB. Достатъчно малък форм фактор (около 2) може да се получи в предавателен филтър с много рязко прекъсване. За сравнение, форм-факторът на обикновен RC нискочестотен филтър е около 600.

Има няколко полезни приближения на характеристиката на идеален нискочестотен филтър. Един от тях се осигурява от филтъра Butterworth, който доближава идеалния нискочестотен филтър с функцията

, (1.65)

където е горната гранична честота (-3 dB) и е редът на филтъра. Колкото по-висока е поръчката, толкова по-висока е сложността и цената на внедряването на филтъра. На фиг. 1.14 показва амплитудни графики за няколко стойности. Имайте предвид, че с нарастването и амплитудните характеристики се доближават до характеристиките на идеален филтър. Филтрите Butterworth са популярни, защото са най-доброто приближение на идеалния случай по отношение на максималната плоскост на честотната лента на филтъра.

Периодично продължаване на импулса. Концепцията за спектралната плътност на сигнала Обратно преобразуване на Фурие. Условието за наличие на спектрална плътност на сигнала Връзка между продължителността на импулса и ширината на спектъра му Обобщена формула на Релей Взаимна спектрална плътност на сигналите. Енергиен спектър Корелационен анализ на сигнали Сравнение на изместени във времето сигнали.

Цел на лекцията:

Получаване на спектрални характеристики на непериодични (импулсни) сигнали чрез обобщаване на редове на Фурие. Определете изискванията за честотната лента на радиоустройството. Представете сигналите по отношение на техните спектрални плътности. Използвайте енергийния спектър, за да получите различни инженерни оценки. Разберете как възниква необходимостта от сигнали със специално подбрани свойства.

Нека s (t) е единичен импулсен сигнал с крайна продължителност. Допълвайки го мислено със същите сигнали, периодично следващи през определен интервал от време T, получаваме изследваната по-рано периодична последователност S per (T),който може да се представи като сложен ред на Фурие

(12.1) с коефициенти . (12.2)

За да се върнем към един импулсен сигнал, нека настроим периода на повторение на безкрайност T.В този случай е очевидно:

а) честотите на съседните хармоници nω 1 и (n+ l)ω 1 ще бъдат произволно близки, така че във формули (12.1) и (12.2) дискретната променлива nω 1 може да бъде заменена с непрекъсната променлива ω - текущата честота;

б) амплитудните коефициенти C n ще станат безкрайно малки поради наличието на T в знаменателя на формула (12.2).

Нашата задача сега е да намерим пределната форма на формула (12.1) при T→∞.

Нека разгледаме малък честотен интервал Δω, който образува околност на някаква избрана честотна стойност ω 0 . В рамките на този интервал ще съдържа N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) отделни двойки спектрални компоненти, чиито честоти се различават толкова малко, колкото се желае. Следователно компонентите могат да се добавят като сякаш всички те имат еднаква честота и се характеризират с еднакви комплексни амплитуди

В резултат на това намираме комплексната амплитуда на еквивалентния хармоничен сигнал, който отразява приноса на всички спектрални компоненти, съдържащи се в интервала Δω

. (12.3)

функция (12.4)

е наречен спектрална плътностсигнал s (t). Формула (12.4) прилага Преобразуване на Фуриетози сигнал.

Нека да решим обратната задача на спектралната теория на сигналите: да намерим сигнала по неговата спектрална плътност, която ще считаме за дадена.

Тъй като в границата честотните интервали между съседни хармоници намаляват за неопределено време, последната сума трябва да бъде заменена с интеграла

. (12.5)

Тази важна формула се нарича обратно преобразуване на Фуриеза сигнала s(t).

Нека накрая формулираме основния резултат: сигналът s(t)и неговата спектрална плътност S(ω) са свързани едно към едно чрез директно и обратно преобразуване на Фурие

, (12.6)

.

Спектралното представяне на сигналите отваря директен път към анализа на преминаването на сигнали през широк клас радио вериги, устройства и системи.

Сигналът s(t) може да бъде свързан с неговата спектрална плътност s(ω), ако този сигнал абсолютно интегрируеми,т.е. има интеграл

Подобно условие значително стеснява класа на допустимите сигнали. По този начин, в посочения класически смисъл, не може да се говори за спектрална плътност на хармоничен сигнал и(t) = U m cosω 0 t , съществуващи по цялата безкрайна ос на времето.

Важен извод: колкото по-малка е продължителността на импулса, толкова по-широк е неговият спектър.

Ширината на спектъра се разбира като честотен интервал, в рамките на който модулът на спектралната плътност е не по-малък от някакво предварително определено ниво, например варира от |S| макс., до 0,1|S| макс.

Произведението на ширината на импулсния спектър и неговата продължителност е постоянно число, което зависи само от формата на импулса и като правило има ред на единица: Колкото по-малка е продължителността на импулса, толкова по-широка е честотната лента на съответния усилвател трябва да бъде. Късият импулсен шум има широк спектър и следователно може да влоши условията на радиоприемане в широка честотна лента.

Математическите модели на много сигнали, широко използвани в радиотехниката, не отговарят на условието за абсолютна интегрируемост, така че методът на преобразуване на Фурие в обичайната му форма не е приложим за тях. Въпреки това можем да говорим за спектрални плътности на такива сигнали, ако приемем, че тези плътности се описват с обобщени функции.

Нека два сигнала u(t)и v(t),обикновено комплексно стойностни, дефинирани от техните обратни преобразувания на Фурие.

Нека намерим скаларното произведение на тези сигнали, като изразим един от тях, например v(t),чрез неговата спектрална плътност

Получената връзка е обобщена формула на Рейли. Лесно запомняща се интерпретация на тази формула е следната: скаларното произведение на два сигнала с точност до коефициент е пропорционално на скаларното произведение на техните спектрални плътности. Ако сигналите съвпадат идентично, тогава скаларното произведение става равно на енергията

. (12.7)

Да се ​​обадим взаимен енергиен спектърреални сигнали u(t) и v(t) функция

, (12.8)

такова, че

. (4.9)

Лесно е да се види, че Re W UV(ω)-четно и Im W UV(ω)-нечетна честотна функция. Интегралът (12.9) допринася само за реалната част, така че

. (12.10)

Последната формула дава възможност да се анализира "фината структура" на взаимното свързване на сигналите.

Освен това обобщената формула на Rayleigh, представена във формата (12.10), показва фундаментален начин за намаляване на степента на връзка между два сигнала, постигайки тяхната ортогоналност в границата. За да направите това, един от сигналите трябва да бъде обработен в специална физическа система, наречена честотен филтър.Този филтър се изисква да не пропуска към изхода спектралните компоненти, които са в честотния интервал, където реалната част от взаимния енергиен спектър е голяма. Честотната зависимост на коефициента на предаване на такива ортогонализиращ филтърще има ясно изразен минимум в посочения честотен диапазон.

Спектралното представяне на енергията на сигнала може лесно да се получи от обобщената формула на Rayleigh, ако сигналите в нея u(t)и v(t)считайте същото. Формула (12.8), изразяваща спектралната плътност на енергията, приема формата

Стойността W u (ω) се нарича спектрална енергийна плътностсигнал u(t),или накратко неговият енергиен спектър.Формула (3.2) тогава ще бъде записана като

. (12.12)

Съотношението (4.12) е известно като Формула на Рейли(в тесен смисъл), който гласи следното: енергията на всеки сигнал е резултат от сумирането на приносите от различни интервали на честотната ос.

Когато изучаваме сигнал, използвайки неговия енергиен спектър, ние неизбежно губим информация, съдържаща се във фазовия спектър на сигнала, тъй като, в съответствие с формула (4.11), енергийният спектър е квадрат на модула на спектралната плътност и не зависи от неговата фаза.

Нека се обърнем към опростена идея за работата на импулсен радар, предназначен да измерва обхвата до целта. Тук информацията за обекта на измерване е заложена в стойността τ - времезакъснението между сондиращия и приетия сигнал. Форми за сондиране и(t) и се приема и(t-τ) сигналите са еднакви за всяко забавяне. Блоковата схема на устройство за обработка на радарни сигнали, проектирано за измерване на обхват, може да изглежда като показаното на фигура 12.1.

Фигура 12.1 - Устройство за измерване на времето на забавяне на сигнала

Помислете за така наречената енергийна форма на интеграла на Фурие. В глава 5 бяха представени формули (7.15) и (7.16), които дават прехода от времевата функция към образа на Фурие и обратно. Ако се разглежда някаква случайна функция на времето x (s), тогава за нея тези формули могат да бъдат записани във формата

и се интегрира над всичко

замени с израз (11.54):

Стойността в квадратни скоби (11.57), както е лесно да се види, е оригиналната функция на времето (11.55). Следователно резултатът е така наречената формула на Рейли (теорема на Парсевал), която съответства на енергийната форма на интеграла на Фурие:

Дясната страна на (11.58) и (11.39) е величина, пропорционална на енергията на разглеждания процес. Така, например, ако вземем предвид тока, протичащ през определен резистор със съпротивление K, тогава енергията, освободена в този резистор с течение на времето, ще бъде

Формули (11.58) и (11.59) и изразяват енергийната форма на интеграла на Фурие.

Тези формули обаче са неудобни, защото за повечето процеси енергията също клони към безкрайност за безкраен интервал от време. Следователно е по-удобно да се работи не с енергия, а със средната мощност на процеса, която ще се получи, ако енергията се раздели на интервала на наблюдение. Тогава формула (11.58) може да бъде представена като

Въвеждане на нотацията

се нарича спектрална плътност. важно

Според физичния си смисъл спектралната плътност е величина, която е пропорционална на средната мощност на процеса в честотния диапазон от co до co + d?co.

В някои случаи спектралната плътност се разглежда само за положителни честоти, като едновременно с това се удвоява, което може да се направи, тъй като спектралната плътност е равномерна функция на честотата. Тогава, например, формула (11.62) трябва да бъде написана като

- спектрална плътност за положителни честоти.

тъй като в този случай формулите стават по-симетрични.

Много важно обстоятелство е, че спектралната плътност и корелационната функция на случайните процеси са взаимни преобразувания на Фурие, т.е. те са свързани чрез интегрални зависимости от вида (11.54) и (11.55). Този имот се дава без доказателство.

Така могат да бъдат записани следните формули:

Тъй като спектралната плътност и корелационната функция са дори реални функции, понякога формулите (11.65) и (11.66) се представят в по-проста форма;

)

Това следва от факта, че се изпълняват равенствата:

и имагинерните части могат да бъдат изхвърлени след заместване в (11.65) и (11.66), тъй като реалните функции са отляво.

се крие във факта, че колкото по-тясна е графиката на спектралната плътност (фиг. 11.16, а), т.е. колкото по-ниски честоти са представени в спектралната плътност, толкова по-бавно се променя стойността x с течение на времето. Напротив, колкото по-широка е графиката на спектралната плътност (фиг. 11.16, b), т.е. колкото по-големи са честотите, представени в спектралната плътност, толкова по-фина е структурата на функцията x (r) и толкова по-бързи са промените във времето .

Както може да се види от това съображение, връзката между вида на спектралната плътност и вида на времевата функция се получава обратно пропорционална на връзката между корелационната функция и самия процес (фиг. 11.14). От това следва, че по-тясна графика на корелационната функция трябва да съответства на по-широка графика на спектралната плътност и обратно.

И 8 (ко). Тези функции, за разлика от импулсните функции, обсъдени в глава 4, са четни. Това означава, че функцията 8(m) е разположена симетрично спрямо началото и може да бъде дефинирана по следния начин;

Подобна дефиниция се прилага за функция 8(co). Понякога нормализираната спектрална плътност се въвежда под внимание, което е изображението на Фурие на нормализираната корелационна функция (11.52):

и следователно

където O е дисперсията.

Взаимните спектрални плътности също са мярка за връзката между две случайни променливи. При липса на комуникация взаимните спектрални плътности са равни на нула.

Нека да разгледаме някои примери.

Тази функция е показана на фиг. 11.17 ч. Съответстващото му изображение на Фурие на базата на табл. 11.3 ще

Спектърът на процеса се състои от един пик от типа на импулсната функция, разположен в началото на координатите (фиг. 11.17, b).

Това означава, че цялата мощност на разглеждания процес е концентрирана в честотата на куршума, което може да се очаква.

Тази функция е показана на фиг. 11.18, а, В съответствие с таблицата. 11.3 спектралната плътност ще бъде

3. За периодична функция, разширена в ред на Фурие

в допълнение към периодичната част ще съдържа непериодична компонента, тогава спектърът на тази функция ще съдържа, наред с отделни линии от типа на импулсната функция, също и непрекъсната част (фиг. 11.20). Индивидуалните пикове на графиката на спектралната плътност показват наличието на скрити нередности в изследваната функция.

не съдържа периодична част, тогава ще има непрекъснат спектър без ясно изразени пикове.

Нека разгледаме някои стационарни случайни процеси, които са важни при изучаването на системите за управление. Ще разгледаме само центрирани

В този случай средният квадрат на случайната променлива ще бъде равен на дисперсията:

отчитането на постоянното изместване в системата за управление е елементарно.

(Фиг. 11.21, а):

Пример за такъв процес е топлинният шум на резистор, който дава нивото на спектралната плътност на хаотичното напрежение в този резистор

абсолютна температура.

Въз основа на (11.68), спектралната плътност (11.71) съответства на корелационната функция

няма корелация между следващите и предишните стойности на случайната променлива x.

и следователно безкрайна сила.

За да се получи физически реален процес, е удобно да се въведе концепцията за бял шум с ограничена спектрална плътност (фиг. 11.21, b):

Широчина на честотната лента за спектрална плътност.

Този процес съответства на корелационната функция

RMS стойността на случайна променлива е пропорционална на корен квадратен от честотната лента:

Често е по-удобно зависимостта (11.73) да се апроксимира с гладка крива. За тази цел можете да използвате например израза

Фактор, който определя честотната лента.

Процесът се доближава до бял шум, така че

що се отнася до тези честоти

Интегрирането (11.77) върху всички честоти позволява да се определи дисперсията:

Следователно спектралната плътност (11.77) може да бъде записана в друга форма:

Корелационна функция за този процес

Корелационната функция също е показана на фиг. 11.21, c.

Преходът от една стойност към друга е мигновен. Времевите интервали се подчиняват на закона за разпределение на Поасон (11.4).

Графика от този тип се получава например в първо приближение при проследяване на движеща се цел с радар. Постоянната стойност на скоростта съответства на движението на целта по права линия. Промяната в знака или величината на скоростта съответства на маневрата на целта.

Ще бъде средната стойност на интервала от време, през който ъгловата скорост остава постоянна. За радар тази стойност ще бъде средното време, през което целта се движи по права линия.

За да се определи корелационната функция, е необходимо да се намери средната стойност на продукта

При намирането на тази работа може да има два случая.

принадлежат към същия интервал. Тогава средната стойност на произведението на ъгловите скорости ще бъде равна на средния квадрат на ъгловата скорост или дисперсията:

принадлежат към различни интервали. Тогава средната стойност на произведението на скоростите ще бъде равна на куршума:

тъй като продуктите с положителни и отрицателни знаци ще бъдат еднакво вероятни. Корелационната функция ще бъде равна на

Вероятността да ги намерите в различни интервали.

Вероятност за отсъствие

За интервал от време

тъй като тези събития са независими.

В резултат на това за краен интервал Am получаваме

Знакът на модула при m е зададен, защото изразът (11.80) трябва да съответства на четна функция. Изразът за корелационната функция съвпада с (11.79). Следователно спектралната плътност на разглеждания процес трябва да съвпада с (11.78):

Обърнете внимание, че за разлика от (11.78), формулата за спектрална плътност (11.81) е написана за ъгловата скорост на процеса (фиг. 11.22). Ако преминем от ъглова скорост към ъгъл, тогава получаваме нестационарен случаен процес с дисперсия, клоняща към безкрайност. Въпреки това, в повечето случаи сервосистемата, на входа на която работи този процес, има астатизъм от първи и по-висок порядък. Следователно първият коефициент на грешка c0 на сервосистемата е равен на нула и неговата грешка ще се определя само от входната скорост и производните от по-високи порядъци, по отношение на които процесът е стационарен. Това прави възможно използването на спектралната плътност (11.81) при изчисляване на динамичната грешка на системата за проследяване.

3. Неравномерно накланяне. Някои обекти, като кораби, самолети и други, намиращи се под въздействието на неравномерни смущения (неравномерни вълни, атмосферни смущения и др.), се движат по случаен закон честоти на смущения, които са близки до собствената им честота на трептене. Полученото произволно движение на обекта се нарича неравномерно търкаляне, за разлика от редовното търкаляне, което е периодично движение.

Типична диаграма на неравномерно накланяне е показана на фиг. 11.23. От разглеждането на тази графика се вижда, че въпреки случайния характер, това

движението е доста близко до периодичното.

На практика корелационната функция на неправилното търкаляне често се апроксимира чрез израза

дисперсия.

обикновено се откриват чрез обработка на експериментални данни (полеви тестове).

Корелационната функция (11.82) съответства на спектралната плътност (вижте таблица 11.3)

Неудобството на приближението (11.82) е, че тази формула може да опише поведението на всяко едно количество неравномерно търкаляне (ъгъл, ъглова скорост или ъглово ускорение). В този случай стойността на O ще съответства на дисперсията на ъгъла, скоростта или ускорение.

Ако например напишем формула (11.82) за ъгъл, то този процес ще съответства на неправилна дамаска с дисперсия за ъглови скорости, клоняща към безкрайност, т.е. това ще бъде физически нереален процес.

По-удобна формула за приблизително определяне на ъгъла на наклона

Това приближение обаче отговаря и на физически нереалистичен процес, тъй като се оказва, че дисперсията на ъгловото ускорение клони към безкрайност.

За да се получи крайната дисперсия на ъгловото ускорение, са необходими още по-сложни формули за приближение, които не са представени тук.

Типични криви за корелационната функция и спектралната плътност на неравномерно търкаляне са показани на фиг. 11.24.