§ 1 Степен c естествен показател

Нека си припомним такава операция, известна ни като добавяне на няколко еднакви члена. Например 5 + 5 + 5. Математикът ще замени такъв запис с по-кратък:

5 ∙ 3. Или 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 ще бъде записано като 7 ∙ 6

И писането на a + a + a + ... + a (където n членове a) - изобщо няма да се пише, а ще пише a ∙ n. По същия начин един математик няма да напише дълго произведение от няколко същите множители. Продуктът 2 ∙ 2 ∙ 2 ще бъде записан като 23 (2 на трета степен). И произведението 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 като 46 (4 на шеста степен). Но ако е необходимо, можете да замените кратък запис с по-дълъг. Например 74 (7 на четвърта степен) се записва като 7∙7∙7∙7. Сега нека дадем определение.

Под записа an (където n е естествено число) разбира произведението на n множители, всеки от които е равен на a.

Самият запис an се нарича степен на числото a, числото a е основа на степента, числото n е показател.

Нотацията an може да се чете като "a на n-та степен" или като "a на степен en". Записите a2 (a на втора степен) могат да се четат като "a на квадрат", а записът a3 (a на трета степен) може да се чете като "a на куб". Друг специален случайе степен с показател 1. Тук трябва да се отбележи следното:

Степента на число a със степен 1 ​​е самото число. Тези. а1 = а.

Всяка степен на 1 е 1.

Сега нека разгледаме няколко степени с основа 10.

Забелязали ли сте, че степени на десет са единица с толкова нули, колкото степента? Като цяло 10n = 100..0 (където има n нули в нотацията).

§ 2 Примери по темата на урока

Пример 1. Запишете произведението (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) като степен.

Тъй като има 4 еднакви фактора, всеки от които е равен на -2, имаме обозначението (-2)4.

Пример2. Изчислете 1,52.

Индекс 2 казва, че трябва да намерим произведението на два еднакви фактора, всеки от които е равен на 1,5. Тези. изчислете произведението 1,5∙1,5 = 2,25.

Пример 3. Изчислете произведението 102 ∙ (-1)3.

Първо изчисляваме 102 = 100. След това изчисляваме (-1)3 = -1. И накрая, умножете 100 и -1. Получаваме -100.

Списък на използваната литература:

1. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 1, Учебник за образователни институции/А.Г. Мордкович. - 10 изд., преработено - Москва, "Мнемозина", 2007 г
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 2, Задачна книга за учебни заведения / [А.Г. Мордкович и др.]; редактиран от A.G. Мордкович - 10 издание, преработено - Москва, "Мнемозина", 2007 г.
3. НЕЯ. Тулчинская, Алгебра 7 клас. Блиц анкета: ръководство за студенти от образователни институции, 4-то издание, преработено и допълнено, Москва, "Мнемозина", 2008 г.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичен работа по проверкав нова формаза студенти от образователни институции, под редакцията на A.G. Мордкович, Москва, "Мнемозина", 2011 г
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостоятелна работаза студенти от образователни институции, под редакцията на A.G. Мордкович - 6-то издание, стереотипно, Москва, "Мнемозина", 2010 г.

В тази статия ще разберем какво е степен на. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като разгледаме подробно всички възможни показатели на степента, като започнем с естествен показател, завършвайки с ирационален. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.

Навигация в страницата.

Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число

Да започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че определението на степента на a с естествен показател n е дадено за a , което ще наречем основа на степен, и n , които ще наречем експонент. Също така имайте предвид, че степента с естествен показател се определя чрез продукта, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате представа за умножението на числата.

Определение.

Степен на числото a с естествен показател nе израз на формата a n , чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a , т.е.
По-специално, степента на число a с показател 1 е самото число a, тоест a 1 =a.

Веднага си струва да споменем правилата за четене на степени. Универсален начинчетенето на записа a n е: "a на степен n". В някои случаи такива опции също са приемливи: "a на n-та степен" и "n-та степен на числото a". Например, нека вземем степен 8 12, това е "осем на степен дванадесет", или "осем на дванадесета степен", или "дванадесета степен на осем".

Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на число, например 7 2 се чете като "седем на квадрат" или "квадрат на числото седем". Третата степен на число се нарича номер куб, например, 5 3 може да се прочете като "пет кубчета" или да се каже "куб на числото 5".

Време е да донесете примери за степени с физически показатели. Нека започнем със степента на 5 7 , където 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4,32 е основата, а естественото число 9 е показателят (4,32) 9 .

Моля, имайте предвид, че в последен примеросновата на степента 4.32 е записана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще вземем в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите във формата (−2) 3 и −2 3 . Изразът (−2) 3 е степента на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да се запише като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .

Обърнете внимание, че има нотация за степента на a с показател n във формата a^n . Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още примери за записване на степени с помощта на символа „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . По-нататък ще използваме основно обозначението на степента на формата a n .

Един от проблемите, обратни на степенуването с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степента чрез известна стойностстепен и известен показател. Тази задача води до.

Известно е, че множеството от рационални числа се състои от цели и дробни числа и всяко дробно числомогат да бъдат представени като положителни или отрицателни обикновена дроб. Ние дефинирахме степента с цяло число в предходния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степента с рационален показател, трябва да дадете значение на степента на с дробен индикатор m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Хайде да го направим.

Помислете за степен с дробен показател на формата . За да остане валидно свойството степен в степен, трябва да е спазено равенството . Ако вземем предвид полученото равенство и начина, по който сме дефинирали , тогава е логично да приемем, при условие че за дадени m, n и a изразът има смисъл.

Лесно е да се провери дали всички свойства на степен с цяло число са валидни за as (това се прави в раздела за свойствата на степен с рационален показател).

Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако за дадени m, n и a изразът има смисъл, тогава степента на числото a с дробен показател m / n е корен от n-та степен на a на степен m.

Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Остава само да се опише за кои m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.

Най-лесният начин да ограничите a е да приемете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (защото m≤0 няма степен 0 m). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число, а n е естествено число, се нарича корен на n-та от числото a на степен m, т.е.

Дробната степен на нула също се дефинира с единственото предупреждение, че показателят трябва да е положителен.

Определение.

Степен нула с дробен положителен показател m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е дефинирана, тоест степента на нула с дробна част отрицателен показателняма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при такова определение на степента с дробен показател има един нюанс: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, има смисъл да се пише или , и горната дефиниция ни принуждава да кажем, че степени с дробен показател на формата са безсмислени, тъй като основата не трябва да е отрицателна.

Друг подход за определяне на степента с дробен показател m / n е да се разгледат отделно четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е , се счита за степента на числото a, чийто показател е съответната несъкратима дроб (важността на това условие ще бъде обяснена по-долу). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .

За четно n и положително m изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (коренът на четна степен от отрицателно число няма смисъл), за отрицателно m числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай деленето с нула ще се случи). А за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула).

Горните разсъждения ни водят до такова определение на степента с дробен показател.

Определение.

Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка съкратима обикновена дроб степента се заменя с . Степента на a с нередуцируем дробен показател m / n е за



Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m / n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10=3/5, тогава равенството , но , a .

Първо ниво

Степен и неговите свойства. Изчерпателно ръководство (2019)

Защо са необходими дипломи? Къде ти трябват? Защо трябва да отделяте време за изучаването им?

За да научите всичко за дипломите, за какво служат, как да използвате знанията си в Ежедневиетопрочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степените ще ви доближи до успеха преминаване на OGEили Единния държавен изпит и да влезете в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

Важна забележка! Ако вместо формули видите безсмислици, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

ПЪРВО НИВО

Степенуването е същото математическа операциякато събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко човешки езикмного прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това измислят начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още една, по-красива:

И какви други хитри трикове за броене са измислили мързеливите математици? Правилно - повишаване на число на степен.

Повдигане на число на степен

Ако трябва да умножите едно число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е. И те решават такива задачи наум - по-бързо, по-лесно и без грешки.

За да направите това, трябва само запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втората степен квадратчисла и третото куб? Какво означава? Силно Добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрат или втора степен на число.

Представете си квадратен басейн с размери метри на метри. Басейнът е във вашия двор. Горещо е и много искам да плувам. Но ... басейн без дъно! Необходимо е дъното на басейна да се покрие с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете площта на дъното на басейна.

Можете просто да преброите, като бъркате с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако вашите плочки са метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде видяхте такава плочка? Плочката ще бъде по-скоро см на см. И тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().

Забелязахте ли, че умножихме същото число по себе си, за да определим площта на дъното на басейна? Какво означава? Тъй като едно и също число се умножава, можем да използваме техниката на степенуване. (Разбира се, когато имате само две числа, пак трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повдигането на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За изпита това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можете да кажете, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас, пребройте колко квадрата има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото ... От едната страна на клетките и от другата също. За да преброите техния брой, трябва да умножите осем по осем, или ... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да квадратирате осем. Вземете клетки. () Така?

Пример от реалния живот #3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъно с размер един метър и дълбочина един метър и се опитайте да изчислите колко кубчета метър на метър общо ще влязат във вашия басейн.

Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири… двадесет и две, двадесет и три… Колко излезе? Не се ли изгуби? Трудно ли е да броите с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи и затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета ... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако правят това твърде лесно. Намали всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... И какво означава това? Това означава, че можете да използвате степента. И така, това, което някога сте преброили с пръст, те правят с едно действие: три в куб е равно. Написано е така:

Остава само запомнете таблицата с градуси. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедя най-накрая, че дипломите са измислени от безделници и хитри хора, за да си решават житейски проблеми, и за да не ви създавам проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот #4

Имате милион рубли. В началото на всяка година печелите още един милион за всеки милион. Тоест всеки ваш милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръста си“, значи сте много трудолюбив човек и .. глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, през първата година - два пъти по две ... през втората година - какво стана, с още две, през третата година ... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава само по себе си веднъж. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който изчислява по-бързо, ще получи тези милиони ... Струва ли си да запомните степените на числата, какво мислите?

Пример от реалния живот #5

Имате милион. В началото на всяка година печелите още два за всеки милион. Страхотно е нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. И така, четвъртата степен е милион. Просто трябва да запомните, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще направите живота си много по-лесен. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия ... за да не се бъркаме

Така че, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е експонента? Много е просто – това е числото, което е „на върха“ на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне ...

Е, в същото време какво такава основа на степен? Още по-просто е числото, което е най-отдолу, в основата.

Ето снимка, за да сте сигурни.

Ами и в общ изгледза обобщаване и запомняне по-добре ... Степен с основа "" и показател "" се чете като "до степен" и се записва, както следва:

Степен на число с естествен показател

Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези, които се използват при броене, когато се изброяват предмети: едно, две, три ... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме „една трета“ или „нула цяло пет десети“. Това не са естествени числа. Какви според вас са тези числа?

Числа като "минус пет", "минус шест", "минус седем" се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. И какво означават отрицателните ("минус") числа? Но те са измислени предимно за означаване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Всички фракции са рационални числа. Как се появиха, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци са открили, че не разполагат с достатъчно естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа… Интересно, нали?

Има ли още ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко безкрайно десетичен знак. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, тогава ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме концепцията за степен, чийто показател е естествено число (тоест цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Поставянето на квадрат на число означава да го умножите по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение.За да повдигнете число на естествена степен, означава да умножите числото по себе си пъти:
.

Свойства на степента

Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ти покажа.

Да видим какво е и ?

По дефиниция:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме множители към множителите и резултатът е множители.

Но по дефиниция това е степента на число с експонента, тоест: , която трябваше да бъде доказана.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило непременнотрябва да е същата причина!
Следователно ние комбинираме степените с основата, но оставаме отделен фактор:

само за продукти на мощности!

При никакви обстоятелства не трябва да пишете това.

2. тоест -та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест според дефиницията това е степента на числото:

Всъщност това може да се нарече „извеждане на индикатора в скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това не е вярно, наистина.

Степен с отрицателна основа

До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.

Но каква трябва да бъде основата?

В градуси от естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Наистина можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.

Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото ще бъде ли положително или отрицателно? НО? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числане сме се размножавали взаимно, резултатът ще е положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В края на краищата помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, се оказва.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

успяхте ли

Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 практически примера

Анализ на решението 6 примера

Ако не обърнем внимание на осма степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха разменени, правилото можеше да се приложи.

Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да променяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

цялоназоваваме естествените числа, техните противоположности (т.е. взети със знака "") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги се питаме: защо е така?

Помислете за мощност с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, както беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак получаваш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината за това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест, сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числата, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателен показател, нека направим както в последен път: умножете някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук вече е лесно да изразите желаното:

Сега разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правилото:

Число на отрицателна степен е обратното на същото число в положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случай. Ако, тогава.

II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачите за самостоятелно решаване:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте решението им, ако не сте успели да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме кръга от числа, "подходящи" като показател.

Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега си спомнете правилото "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно.

Тоест, коренът на та степен е обратната операция на степенуването: .

Оказва се, че. Очевидно това специален случайможе да се удължи: .

Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за намиране с правилото мощност към мощност:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повишено до дори степене положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!

А това означава, че такива цифри не могат да бъдат увеличени дробна степенс четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за изразяването?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но веднага щом напишем индикатора по различен начин, отново имаме проблеми: (тоест получихме напълно различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен показател.

Така че, ако:

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Степените с рационален показател са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 практически примера

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степени с рационален показател, с изключение на

Всъщност по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...нулева мощност- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно числото;

...цяло отрицателно число- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Между другото, науката често използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число.

Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научите да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен в степен:

Сега вижте резултата. Той напомня ли ви за нещо? Спомняме си формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Даваме дроби в показатели на k същия вид: Или двата десетични знака, или и двата нормални. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо специално, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определение за степен

Степента е израз на формата: , където:

• — основа на степента;
• - експонента.

Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

ерекция до нулева мощност:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е цяло число отрицателнономер:

(защото е невъзможно да се раздели).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Свойства на степента

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило непременнотрябва да има същата основа. Следователно ние комбинираме степените с основата, но оставаме отделен фактор:

Друг важна забележка: това правило е - само за произведения на мощности!

При никакви обстоятелства не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Нека го пренаредим така:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест според дефиницията това е -та степен на числото:

Всъщност това може да се нарече „извеждане на индикатора в скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:!

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само това, което трябва да бъде индексстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Наистина можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото ще бъде ли положително или отрицателно? НО? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В края на краищата помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Възможно е да се формулират такива прости правила:

1. дористепен, - номер положителен.
2. Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
3. Положително число на всяка степен е положително число.
4. Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомняте това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме дефиницията на степени и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди разглобяване последното правилоНека да разгледаме няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Ако не обърнем внимание на осма степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха обърнати, може да се приложи правило 3. Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега изглежда така:

Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да променяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да се замени със смяна само на един неприятен за нас минус!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказаха множители. Тоест, по дефиниция това е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число до нулева степен е, така да се каже, число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен индикатор - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, науката често използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

И така, какво да правим, ако видим ирационален показателстепени? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Запомнете формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Ние привеждаме дроби в една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо специално, прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Степенсе нарича израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател са отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

показател, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степента

Характеристики на степените.

• Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
• Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
• Положително число на всяка степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМА...

Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви харесва или не.

Разкажете ни за опита си с мощността.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!

След като се определи степента на числото, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основни свойствастепен на число, като същевременно засяга всички възможни показатели на степента. Тук ще дадем доказателства за всички свойства на степента и ще покажем как тези свойства се прилагат при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степени с естествени показатели

По дефиниция на степен с естествен показател, степента на a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a . Въз основа на това определение и използването умножителни свойства реални числа , можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

1. основното свойство на степента a m ·a n =a m+n , нейното обобщение ;
2. собственост на частични правомощия със същите основания a m: a n = a m−n ;
3. продукт степен свойство (a b) n =a n b n, неговото разширение;
4. частна собственост в естествена степен(a:b) n =a n:b n ;
5. степенуване (a m) n =a m n, неговото обобщение (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. сравняване на степен с нула:
   • ако a>0, тогава a n >0 за всяко естествено n;
   • ако a=0, тогава a n =0;
   • ако<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ако a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ако a и b са положителни числа и a
8. ако m и n са естествени числа, така че m>n, тогава при 0 0 неравенството a m >a n е вярно.

Веднага отбелязваме, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, като дясната и лявата им част могат да се сменят. Например, основното свойство на фракцията a m a n = a m + n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n = a m a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като и този продукт е степента на a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, който потвърждава основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, според основното свойство на степента можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Нека проверим неговата валидност, за което изчисляваме стойностите на изразите 2 2 ·2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32и 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, тъй като се получават равни стойности, тогава равенството 2 2 2 3 \u003d 2 5 е правилно и потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степен, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1 , n 2 , …, n k равенството a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Например, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можете да преминете към следващото свойство на градусите с естествен показател - свойството на частични правомощия със същите основи: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n , е вярно равенството a m:a n =a m−n.

Преди да дадем доказателство за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия в твърдението. Условието a≠0 е необходимо, за да се избегне деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с делението, се съгласихме, че е невъзможно да се дели на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените показатели. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m

Доказателство. Основното свойство на дробта ни позволява да напишем равенството a m−n a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и от него следва, че a m−n е частно на степени на a m и a n . Това доказва свойството на частични степени с еднакви бази.

Да вземем пример. Да вземем две степени с еднакви бази π и естествени експоненти 5 и 2, разглежданото свойство на степента съответства на равенството π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Сега помислете продукт степен свойство: естествената степен n на произведението на всеки две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a b) n =a n b n.

Наистина, по дефиниция на степен с естествен показател, имаме . Последният продукт, базиран на свойствата на умножението, може да бъде пренаписан като , което е равно на a n b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Това означава, че естественото свойство на мощността n на произведението от k фактора се записва като (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n.

За по-голяма яснота показваме това свойство с пример. За произведението на три фактора на степен 7 имаме .

Следващият имот е естествена собственост: частното на реалните числа a и b, b≠0 спрямо естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а равенството (a:b) n b n =a n предполага, че (a:b) n е частното от a n, делено на b n.

Нека напишем това свойство, използвайки примера на конкретни числа: .

Сега нека глас степенно свойство: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на a с показател m·n , тоест (a m) n =a m·n .

Например (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Доказателството за степенното свойство в степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен в степен в степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Започваме с доказване на сравнителното свойство на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека обосновем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението ни позволяват да твърдим, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента на a n е положително число. По силата на доказаното свойство 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0 .

Да преминем към отрицателни основаниястепен.

Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, означим го като 2 m , където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията на формата a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, следователно е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен. и степен a 2 m . Ето примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата на a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и умножението му по останалите отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Обръщаме се към свойството за сравняване на степени с еднакви естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, и повече от тази, чиято основа е по-голяма. Нека го докажем.

Неравенство a n свойства на неравенстватадоказваното неравенство от вида a n .

Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател. Нека го формулираме. От двете степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малко от една, степента е по-голяма, чийто показател е по-малък; а от две степени с естествени показатели и еднакви основи по-големи от единица, по-голяма е степента, чийто показател е по-голям. Обръщаме се към доказателството за това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради началното условие m>n , откъдето следва, че при 0

Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1, a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента на a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1, степента на m−n е по-голяма от единица. Следователно a m − a n >0 и a m >a n , което трябваше да се докаже. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2 .

Свойства на степените с цели показатели

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степента с отрицателно цяло число, както и степента с нулев показател, така че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, остават валидни. Следователно всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и различни от нула числа a и b, както и за всички цели числа m и n, са верни следните свойства на степени с цели показатели:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n;
6. ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a b-n;
7. ако m и n са цели числа и m>n, тогава при 0 1 е изпълнено неравенството a m >a n.

За a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Не е трудно да се докаже всяко от тези свойства, за това е достатъчно да се използват дефинициите на степента с естествен и цял показател, както и свойствата на действията с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направим това, трябва да покажем, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) и (a−p)−q =a (−p) (−q). Хайде да го направим.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния подраздел. Ако p=0 , тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0 q =a 0 =1 , откъдето (a 0) q =a 0 q . По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p 0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p 0 . Ако и двете p=0 и q=0 , тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0 0 =a 0 =1 , откъдето (a 0) 0 =a 0 0 .

Нека сега докажем, че (a −p) q =a (−p) q . По дефиниция на степен с отрицателен показател цяло число , тогава . По свойството на частното в степента имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p q) , която по силата на правилата за умножение може да бъде записана като a (−p) q .

по същия начин .

И .

По същия принцип могат да се доказват всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n , което е вярно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n ·b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно от положителните числа b n − a n и a n b n . Следователно, откъдето a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин, както аналогичното свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степента с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степени с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

Доказателството за свойствата на степени с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател, върху и върху свойствата на степен с цяло число. Нека дадем доказателство.

По дефиниция на степента с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степента с цяло число, получаваме , откъдето, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят на получената степен може да се преобразува както следва: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно същия начин:

Останалите равенства се доказват по подобни принципи:

Обръщаме се към доказателството за следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b , a b p . Записваме рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай ще бъде еквивалентно на условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a

По същия начин за m<0 имеем a m >b m , откъдето , тоест и a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q за 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да намалим рационалните числа p и q до общ знаменател, нека получим обикновени дроби и, където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от . След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Тези неравенства по отношение на свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като и . А определението за степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. От това правим окончателното заключение: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От това как се дефинира степен с ирационален показател може да се заключи, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. за всякакви положителни числа a и b , a 0 неравенството a p b p ;
7. за ирационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика Ж за 5 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

В този урок ще започнем изучаването на степента с естествен показател. Първо, нека обсъдим защо математиците трябваше да въведат концепцията за степен, да дадат дефиниция на степен с естествен показател и да разгледаме няколко примера за степен. След това ще дадем определение на степента с един показател и накрая ще решим няколко примера за изчисляване на степента.

Тема:Степен с естествен показател и неговите свойства

Урок:Какво е степен с натурален показател

Откъде дойде дипломата?

Изразяване а+а+апо математика може да се замени с а+а+а=3а.

Изразяване а+а+а+а+аможе да се представи като а+а+а+а+а=5а.

Тоест, ако в израза нидентични термини, всеки от които а, тогава може да се напише накратко на.

И умножението може да бъде написано накратко така: а 3, гласи: а а.

- ана пета степен или пета степен на число а.

И ако в израза нидентични фактори, всеки от които а, тогава ще напишем:

= a n - н-та степен на a.

Определение.Степен a nработата се нарича нсъщите фактори, , където н- естествено число н={2,3,…..} ; а- всякакъв брой.

Терминология:a n

a е основата на степента,

н- показател,

a n- степен или инчн-та степен, илин-та степен на a.

Пример 1:Запишете произведението като степен, назовете основата и степента, изчислете, ако е възможно.

1. е по дефиниция 4 куб или третата степен на число 4 , 4 - основата на степента, 3 - експонента. Резултат:

Отговор: 64

2. - по дефиниция това хв четвърта степен х- основата на степента, 4 - експонента. Невъзможно е да се изчисли допълнително, т.к хтрябва да се присвои конкретна стойност.

Отговор:

то на пета степен е основата на степента, 5 - показател, показва колко пъти основата е умножена сама по себе си. коментар:продуктът не се променя от променливите места на факторите, ние записваме този израз по различен начин:

Така че изразът.

Отговор:.

4. - това е на кубчета, 3 е степенен показател, - основата на степента.

Отговор:

5.

Втора степен на число 13 , - втората степен на число 5 .

Отговор: 4225

Трета степен на число 2 , - втората степен на число 3 .

1. Запишете произведението като степен, назовете основата и степента, изчислете, ако е възможно.

2. Изчислете (-2) н, ако

а) н=2 б) н=3 в) н=4

3. Изчислете : а 5, където

а) а=1

б) а=-2

4. Изчислете площта на квадрат, чиято страна е а/2, където