Урок и презентация на тема: "Степен с отрицателен показател. Определение и примери за решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 8 клас
Ръководство за учебника Muravina G.K. Ръководство за учебника Alimova Sh.A.

Определяне на степен с отрицателен показател

Момчета, добри сме в повишаването на числата на степен.
Например: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Знаем добре, че всяко число на нулева степен е равно на единица. $a^0=1$, $a≠0$.
Възниква въпросът какво се случва, ако повдигнете число на отрицателна степен? Например, на какво би било равно числото $2^(-2)$?
Първите математици, които зададоха този въпрос, решиха, че не си струва да изобретяват колелото и е добре всички свойства на степените да останат същите. Тоест, когато се умножават степени с една и съща основа, показателите се събират.
Нека разгледаме този случай: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Разбрахме, че произведението на такива числа трябва да дава единица. Единицата в продукта се получава чрез умножаване на реципрочните стойности, тоест $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Такива разсъждения доведоха до следното определение.
Определение. Ако $n$ естествено числои $а≠0$, тогава е валидно следното равенство: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Важна идентичност, която често се използва: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
По-специално, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Примери за решения

Пример 1
Изчислете: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Решение.
Нека разгледаме всеки термин поотделно.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Остава да извършите операции събиране и изваждане: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Отговор: $6\frac(1)(4)$.

Пример 2
Изпратете за дадено числокато степен просто число$\frac(1)(729)$.

Решение.
Очевидно $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Но 729 не е просто число, завършващо на 9. Можем да приемем, че това число е степен на три. Нека последователно разделим 729 на 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Извършени са шест операции, което означава: $729=3^6$.
За нашата задача:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Отговор: $3^(-6)$.

Пример 3. Изразете израза като степен: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Решение. Първата операция винаги се извършва вътре в скобите, след това умножението $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Отговор: $a$.

Пример 4. Докажете идентичността:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Решение.
От лявата страна разгледайте всеки фактор в скоби поотделно.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Да преминем към дробта, на която делим.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Да направим делението.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Получихме точната самоличност, която трябваше да бъде доказана.

В края на урока отново ще запишем правилата за действия със степени, тук показателят е цяло число.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Изчислете: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Представете даденото число като степен на просто число $\frac(1)(16384)$.
3. Изразете израза като степен:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Докажете самоличността:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Силови формулиизползвани в процеса на намаляване и опростяване сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число акога:

Операции със степени.

1. Умножавайки градуси с една и съща основа, техните показатели се сумират:

a ma n = a m + n.

2. При разделянето на градуси с една и съща основа техните показатели се изваждат:

3. Степента на произведението на 2 или Повече ▼фактори е равно на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n / b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(am) n = a m n .

Всяка формула по-горе е правилна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете числото на корена на тази степен:

4. Ако увеличим степента на корена в нведнъж и в същото време повишава до нта степен е коренно число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена в нкорен едновременно нстепен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен c отрицателен показател. Степента на някакво число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютна стойностнеположителен индикатор:

Формула a m:a n = a m - nможе да се използва не само за м> н, но и при м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n = a m - nстана справедлив при m=n, имате нужда от наличието на нулева степен.

Степен с нулев показател.Степента на всяко ненулево число с нулев показател е равна на единица.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен c дробен индикатор. Да се ​​вдигне реално число адо известна степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на мта степен на това число а.

Повдигането на отрицателна степен е един от основните елементи на математиката, който често се среща при решаването на алгебрични задачи. По-долу има подробна инструкция.

Как да повдигнем на отрицателна степен - теория

Когато вземем число на обичайната степен, ние умножаваме стойността му няколко пъти. Например, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 = 27. C отрицателна дробтова е обратното. Общата форма според формулата ще има следващ изглед: a -n = 1/a n . По този начин, за да повишите числото до отрицателна степен, трябва да разделите единицата на даденото число, но вече в положителна степен.

Как да повдигнем на отрицателна степен - примери за обикновени числа

Имайки предвид горното правило, нека решим няколко примера.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Отговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Отговорът е -4 -2 = 1/16.

Но защо отговорът в първия и втория пример е един и същ? Въпросът е, че при изграждането отрицателно числона четна степен (2, 4, 6 и т.н.), знакът става положителен. Ако степента е четна, тогава минусът се запазва:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как да повдигнем на отрицателна степен - числа от 0 до 1

Спомнете си, че когато число между 0 и 1 се повдигне на положителна степен, стойността намалява с увеличаване на степента. Така например, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Пример 3: Изчислете 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Отговор: 0,5 -2 = 4

Разбор (последователност от действия):

• Преобразувайте десетичната 0,5 в дробна 1/2. Е по-лесно.
  Повишете 1/2 на отрицателна степен. 1/(2) -2. Разделяме 1 на 1/(2) 2, получаваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Изчислете 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Изчислете -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Отговор: -0,5 -3 = -8

Въз основа на 4-ти и 5-ти пример ще направим няколко извода:

• За положително числов диапазона от 0 до 1 (пример 4), повдигнати на отрицателна степен, четната или нечетната степен не са важни, стойността на израза ще бъде положителна. В същото време, отколкото повече степен, толкова по-голяма е стойността.
• За отрицателно число между 0 и 1 (Пример 5), повдигнато на отрицателна степен, независимо дали степента е четна или нечетна, стойността на израза ще бъде отрицателна. В този случай колкото по-висока е степента, толкова по-ниска е стойността.

Как да повдигнем на отрицателна степен - степента като дробно число

Изрази от този типимат следния вид: a -m/n , където a е обикновено число, m е числителят на степента, n е знаменателят на степента.

Помислете за пример:
Изчислете: 8 -1/3

Решение (последователност от действия):

• Запомнете правилото за повдигане на число на отрицателна степен. Получаваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Обърнете внимание, че знаменателят е 8 на дробна степен. Общата форма за изчисляване на дробна степен е следната: a m/n = n √8 m .
• Така 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаваме кубичен коренот осем, което е 2. Оттук 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Отговор: 8 -1/3 = 2

Първо ниво

Степен и неговите свойства. Изчерпателно ръководство (2019)

Защо са необходими дипломи? Къде ти трябват? Защо трябва да отделяте време за изучаването им?

За да научите всичко за дипломите, за какво служат, как да използвате знанията си в Ежедневиетопрочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степените ще ви доближи до успеха преминаване на OGEили Единния държавен изпит и да влезете в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

Важна забележка! Ако вместо формули видите безсмислици, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

ПЪРВО НИВО

Степенуването е същото математическа операциякато събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко човешки езикмного прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това измислят начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още една, по-красива:

И какви други хитри трикове за броене са измислили мързеливите математици? Правилно - повишаване на число на степен.

Повдигане на число на степен

Ако трябва да умножите едно число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е. И те решават такива задачи наум - по-бързо, по-лесно и без грешки.

За да направите това, трябва само запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втората степен квадратчисла и третото куб? Какво означава? Силно Добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрат или втора степен на число.

Представете си квадратен басейн с размери метри на метри. Басейнът е във вашия двор. Горещо е и много искам да плувам. Но ... басейн без дъно! Необходимо е дъното на басейна да се покрие с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете площта на дъното на басейна.

Можете просто да преброите, като бъркате с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако вашите плочки са метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде видяхте такава плочка? Плочката ще бъде по-скоро см на см. И тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().

Забелязахте ли, че умножихме същото число по себе си, за да определим площта на дъното на басейна? Какво означава? Тъй като едно и също число се умножава, можем да използваме техниката на степенуване. (Разбира се, когато имате само две числа, пак трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повдигането на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За изпита това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можете да кажете, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас, пребройте колко квадрата има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото ... От едната страна на клетките и от другата също. За да преброите техния брой, трябва да умножите осем по осем, или ... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да квадратирате осем. Вземете клетки. () Така?

Пример от реалния живот #3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъно с размер един метър и дълбочина един метър и се опитайте да изчислите колко кубчета метър на метър общо ще влязат във вашия басейн.

Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири… двадесет и две, двадесет и три… Колко излезе? Не се ли изгуби? Трудно ли е да броите с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи и затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета ... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако правят това твърде лесно. Намали всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... И какво означава това? Това означава, че можете да използвате степента. И така, това, което някога сте преброили с пръст, те правят с едно действие: три в куб е равно. Написано е така:

Остава само запомнете таблицата с градуси. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедя най-накрая, че дипломите са измислени от безделници и хитри хора, за да си решават житейски проблеми, и за да не ви създавам проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот #4

Имате милион рубли. В началото на всяка година печелите още един милион за всеки милион. Тоест всеки ваш милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръста си“, значи сте много трудолюбив човек и .. глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, през първата година - два пъти по две ... през втората година - какво стана, с още две, през третата година ... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава само по себе си веднъж. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който изчислява по-бързо, ще получи тези милиони ... Струва ли си да запомните степените на числата, какво мислите?

Пример от реалния живот #5

Имате милион. В началото на всяка година печелите още два за всеки милион. Страхотно е нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. И така, четвъртата степен е милион. Просто трябва да запомните, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще направите живота си много по-лесен. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия ... за да не се бъркаме

Така че, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е експонента? Много е просто – това е числото, което е „на върха“ на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне ...

Е, в същото време какво такава основа на степен? Още по-просто е числото, което е най-отдолу, в основата.

Ето снимка, за да сте сигурни.

Ами и в общ изгледза обобщаване и запомняне по-добре ... Степен с основа "" и показател "" се чете като "до степен" и се записва, както следва:

Степен на число със естествен показател

Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези, които се използват при броене, когато се изброяват предмети: едно, две, три ... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме „една трета“ или „нула цяло пет десети“. Това не са естествени числа. Какви според вас са тези числа?

Числа като "минус пет", "минус шест", "минус седем" се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. И какво означават отрицателните ("минус") числа? Но те са измислени предимно за означаване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Всички фракции са рационални числа. Как се появиха, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци са открили, че не разполагат с достатъчно естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа… Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, безкрайна десетична дроб. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, тогава ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме концепцията за степен, чийто показател е естествено число (тоест цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Поставянето на квадрат на число означава да го умножите по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение.Повишете число до естествена степенозначава да умножите число по себе си пъти:
.

Свойства на степента

Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ти покажа.

Да видим какво е и ?

По дефиниция:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме множители към множителите и резултатът е множители.

Но по дефиниция това е степента на число с експонента, тоест: , която трябваше да бъде доказана.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило непременнотрябва да е същите основания!
Следователно ние комбинираме степените с основата, но оставаме отделен фактор:

само за продукти на мощности!

При никакви обстоятелства не трябва да пишете това.

2. тоест -та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест според дефиницията това е степента на числото:

Всъщност това може да се нарече „извеждане на индикатора в скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това не е вярно, наистина.

Степен с отрицателна основа

До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.

Но каква трябва да бъде основата?

В градуси от естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Наистина можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.

Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото ще бъде ли положително или отрицателно? НО? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В края на краищата помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, се оказва.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

успяхте ли

Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 практически примера

Анализ на решението 6 примера

Ако не обърнем внимание на осма степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха разменени, правилото можеше да се приложи.

Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в дори степен: можем свободно да променяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

цялоназоваваме естествените числа, техните противоположности (т.е. взети със знака "") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги се питаме: защо е така?

Помислете за мощност с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, както беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак получаваш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината за това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест, сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числата, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателен показател, нека направим както в последен път: умножете някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук вече е лесно да изразите желаното:

Сега разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правилото:

Число на отрицателна степен е обратното на същото число на положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случай. Ако, тогава.

II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачите за самостоятелно решаване:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте решението им, ако не сте успели да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме обхвата на числата, "подходящи" като показател.

Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега си спомнете правилото "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно.

Тоест, коренът на та степен е обратната операция на степенуването: .

Оказва се, че. Очевидно това специален случайможе да се удължи: .

Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за намиране с правилото мощност към мощност:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!

А това означава, че такива цифри не могат да бъдат увеличени дробна степенс четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за изразяването?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но веднага щом напишем индикатора по различен начин, отново имаме проблеми: (тоест получихме напълно различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен показател.

Така че, ако:

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Степени с рационален показателмного полезно за трансформиране на изрази с корени, например:

5 практически примера

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степени с рационален показател, с изключение на

Наистина, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест всички ирационални числа са реални числаразличен от рационалния).

При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...нулева мощност- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно числото;

...цяло отрицателно число- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Между другото, науката често използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число.

Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научите да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен в степен:

Сега вижте резултата. Той напомня ли ви за нещо? Спомняме си формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Даваме дроби в показатели на k същия вид: Или двата десетични знака, или и двата нормални. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо специално, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определение за степен

Степента е израз на формата: , където:

• — основа на степента;
• - експонента.

Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

ерекция до нулева мощност:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е цяло число отрицателнономер:

(защото е невъзможно да се раздели).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Свойства на степента

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило непременнотрябва да има същата основа. Следователно ние комбинираме степените с основата, но оставаме отделен фактор:

Друг важна забележка: това правило е - само за произведения на мощности!

При никакви обстоятелства не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Нека го пренаредим така:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест според дефиницията това е -та степен на числото:

Всъщност това може да се нарече „извеждане на индикатора в скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:!

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само това, което трябва да бъде индексстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Наистина можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото ще бъде ли положително или отрицателно? НО? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В края на краищата помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Възможно е да се формулират такива прости правила:

1. дористепен, - номер положителен.
2. Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
3. Положително число на всяка степен е положително число.
4. Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомняте това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме дефиницията на степени и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди разглобяване последното правилоНека да разгледаме няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Ако не обърнем внимание на осма степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха обърнати, може да се приложи правило 3. Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега изглежда така:

Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да променяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да се замени със смяна само на един неприятен за нас минус!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказаха множители. Тоест, по дефиниция това е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число до нулева степен е, така да се каже, число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен индикатор - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, науката често използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Запомнете формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Ние привеждаме дроби в една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо специално, прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Степенсе нарича израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател е отрицателен и дробни числа.

Степен с ирационален показател

показател, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степента

Характеристики на степените.

• Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
• Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
• Положително число на всяка степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМА...

Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви харесва или не.

Разкажете ни за опита си с мощността.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!

В рамките на този материал ще анализираме какво е степен на число. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какви са степените с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примерни задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първо формулираме основно определениестепен с натурален показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Предварително уточняваме, че за база за момента ще вземем реално число (означаваме го с буквата a), а за индикатор - естествено число (означаваме с буквата n).

Определение 1

Степента на a с естествен показател n е произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на числото a. Степента се записва така: a n, а под формата на формула неговият състав може да бъде представен по следния начин:

Например, ако показателят е 1 и основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1. Като се има предвид, че a е стойността на фактора и 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 = a.

Като цяло можем да кажем, че степента е удобна нотация Голям бройравни множители. И така, запис на формуляра 8 8 8 8може да се сведе до 8 4 . По почти същия начин работата ни помага да избегнем писането Голям бройчленове (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; вече го анализирахме в статията, посветена на умножението на естествени числа.

Как да разчетем правилно записа на степента? Общоприетият вариант е "а на степен n". Или можете да кажете „n-та степен на a“ или „n-та степен“. Ако, да речем, в примера има запис 8 12 , можем да прочетем "8 на 12-та степен", "8 на степен 12" или "12-та степен на 8".

Втората и третата степен на числото имат свои собствени утвърдени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например, на числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадрат на числото 7“. По същия начин третата степен се чете така: 5 3 е "кубът на числото 5" или "5 в куб". Възможно е обаче да се използва и стандартната формулировка „във втора / трета степен“, това няма да е грешка.

Пример 1

Нека да разгледаме пример за степен с естествен показател: за 5 7 пет ще бъде основата, а седем ще бъде индикаторът.

Основата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 основата ще бъде дроб 4, 32, а показателят ще бъде девет. Обърнете внимание на скобите: такава нотация се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа.

Например: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 и − 2 3 . Първият от тях означава отрицателно число минус две, повдигнато на степен с естествен показател три; второто е числото, съответстващо на обратно значениестепени 2 3 .

Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на степента на числото - a^n(където a е основата, а n е показателят). Така че 4^9 е същото като 4 9 . В случай, че n е многоцифрено число, се взема в скоби. Например 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но ние ще използваме нотацията a nкато по-често срещано.

Как да изчислите стойността на градус с естествен показател е лесно да се досетите от неговата дефиниция: просто трябва да умножите n -ти пъти. Писахме повече за това в друга статия.

Концепцията за степен е противоположна на друга математическа концепция- корен на числото. Ако знаем стойността на експонентата и експонентата, можем да изчислим нейната основа. Степента има някои специфични свойства, които са полезни за решаване на проблеми, които сме анализирали в отделен материал.

Експонентите могат да съдържат не само естествени числа, но и всякакви цели числа като цяло, включително отрицателни и нули, тъй като те също принадлежат към набора от цели числа.

Определение 2

Степента на число с положително цяло число може да се покаже като формула: .

Освен това n е всяко положително цяло число.

Нека да разгледаме понятието нулева степен. За да направим това, ние използваме подход, който взема предвид свойството на частното за степени с равни основания. Формулира се така:

Определение 3

Равенство a m: a n = a m − nще бъде вярно при следните условия: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 .

Последното условие е важно, защото избягва деленето на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава ще получим следния резултат: a n: a n = a n − n = a 0

Но в същото време a n: a n = 1 - частно на равни числа a nи а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица.

Такова доказателство обаче не е подходящо за нула на степен нула. За да направим това, имаме нужда от друго свойство на степените - свойството на произведения на степени с равни бази. Изглежда така: a m a n = a m + n .

Ако n е 0, тогава a m a 0 = a m(това равенство също ни доказва това а 0 = 1). Но ако и също е равно на нула, нашето равенство приема формата 0 m 0 0 = 0 m, Ще бъде вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение каква точно е стойността на степента 0 0 , тоест може да бъде равно на всяко число и това няма да повлияе на валидността на равенството. Следователно, запис на формуляра 0 0 няма собствено специално значение и ние няма да му го приписваме.

Ако желаете, това е лесно да се провери а 0 = 1се сближава със свойството степен (a m) n = a m nпри условие, че основата на степента не е равна на нула. Така степента на всяко ненулево число с нулев показател е равна на единица.

Пример 2

Да вземем пример с конкретни числа: Така, 5 0 - мерна единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и стойността 0 0 недефиниран.

След нулевата степен остава да разберем какво е отрицателна степен. За да направим това, се нуждаем от същото свойство на произведението на степени с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n = a m + n.

Въвеждаме условието: m = − n , тогава a не трябва да е равно на нула. Следва, че a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Оказва се, че a n и а-нимаме взаимно реципрочни числа.

В резултат на това a на степен отрицателно цяло число не е нищо друго освен дроб 1 a n .

Тази формулировка потвърждава, че за степен с отрицателен показател цяло число са валидни всички същите свойства, които притежава степен с естествен показател (при условие, че основата не е равна на нула).

Пример 3

Степента a с цяло отрицателно число n може да бъде представена като дроб 1 a n . Така a - n = 1 a n при условието a ≠ 0и n е всяко естествено число.

Нека илюстрираме нашата идея с конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко, което е казано ясно в една формула:

Определение 4

Степента на a с естествен показател z е: a z = a z, e c и z е положително цяло число 1, z = 0 и a ≠ 0, (ако z = 0 и a = 0 получаваме 0 0, стойностите на изразът 0 0 are not е определен)   1 a z , ако z е цяло отрицателно число и a ≠ 0 (ако z е цяло отрицателно число и a = 0 получаваме 0 z , това е добавка )

Какво представляват степени с рационален показател

Анализирахме случаите, когато показателят е цяло число. Въпреки това можете също да повдигнете число на степен, когато степента му е дробно число. Това се нарича степен с рационален показател. В този подраздел ще докажем, че тя има същите свойства като другите степени.

Какво представляват рационалните числа? Техният набор включва както цели, така и дробни числа, докато дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Формулираме дефиницията на степента на число a с дробен показател m / n, където n е естествено число, а m е цяло число.

Имаме някаква степен с дробен показател a m n. За да се изпълни свойството степен в степен, трябва да е вярно равенството a m n n = a m n · n = a m.

Като се има предвид дефиницията на n-ти корен и че a m n n = a m, можем да приемем условието a m n = a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a.

Горните свойства на степента с цяло число ще бъдат верни при условие a m n = a m n .

Основният извод от нашите разсъждения е следният: степента на някакво число a с дробен показател m / n е коренът на n-та степен от числото a на степен m. Това е вярно, ако за дадени стойности на m, n и a изразът a m n има смисъл.

1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: вземете a, което за положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а за отрицателни стойности ще бъде строго по-малко (тъй като за m ≤ 0 получаваме 0 м, но тази степен не е дефинирана). В този случай дефиницията на степента с дробен показател ще изглежда така:

Дробният показател m/n за някакво положително число a е корен n-ти от a, повдигнат на степен m. Под формата на формула това може да бъде представено по следния начин:

За степен с нулева основа тази разпоредба също е подходяща, но само ако нейният показател е положително число.

Степен с основа нула и положителен дробен показател m/n може да се изрази като

0 m n = 0 m n = 0 при условие за положително цяло число m и естествено n.

С отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието a да е по-голямо или равно на нула, ние отхвърлихме някои случаи.

Изразът a m n понякога все още има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои отрицателни стойности на m. И така, записите са правилни (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в които основата е отрицателна.

2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни показатели. След това трябва да въведем още едно условие: степента a, в степента на която има съкратима обикновена дроб, се счита за степента a, в степента на която има съответната несъкратима дроб. По-късно ще обясним защо имаме нужда от това условие и защо е толкова важно. Така, ако имаме запис a m · k n · k, тогава можем да го намалим до a m n и да опростим изчисленията.

Ако n е нечетно число и m е положително и a е всяко неотрицателно число, тогава a m n има смисъл. Условието за неотрицателно a е необходимо, тъй като коренът на четна степен не се извлича от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде както отрицателна, така и нула, защото Нечетен корен може да бъде извлечен от всяко реално число.

Нека комбинираме всички данни над дефиницията в един запис:

Тук m/n означава несъкратима дроб, m е всяко цяло число, а n е всяко естествено число.

Определение 5

За всяка обикновена редуцирана дроб m · k n · k степента може да бъде заменена с a m n .

Степента на a с нередуцируем дробен показател m / n - може да се изрази като a m n в следните случаи:- за всяко реално a, цяло число положителни стойности m и нечетни цели положителни числа n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

За всяко ненулево реално a , цели числа отрицателни стойности m и нечетни стойности на n, например 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

За всяко неотрицателно a, положително цяло число на m и дори n, например, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

За всяко положително a, цяло отрицателно число m и дори n, например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

При други стойности степента с дробен показател не се определя. Примери за такива степени: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Сега нека обясним важността на условието, споменато по-горе: защо да заменим дроб с редуцируем показател за дроб с нередуцируем. Ако не бяхме направили това, тогава такива ситуации щяха да се окажат, да речем, 6/10 = 3/5. Тогава (- 1) 6 10 = - 1 3 5 трябва да е вярно, но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Определението на степента с дробен показател, което дадохме първо, е по-удобно за прилагане на практика от второто, така че ще продължим да го използваме.

Определение 6

Така степента на положително число a с дробен показател m / n се определя като 0 m n = 0 m n = 0 . В случай на отрицателен анотацията a m n няма смисъл. Степен на нула за положителни дробни експоненти м/нсе дефинира като 0 m n = 0 m n = 0 , за отрицателни дробни показатели ние не определяме степента на нула.

В заключенията отбелязваме, че всеки дробен индикатор може да бъде написан във формата смесено число, и във формата десетична дроб: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При изчисляване е по-добре да замените експонентата обикновена дроби след това използвайте дефиницията на степен с дробен показател. За горните примери получаваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Какво представляват степени с ирационален и реален показател

Какво представляват реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Ето защо, за да разберете каква степен с реален показател, трябва да дефинираме степени с рационални и ирационални показатели. За рационалното вече споменахме по-горе. Нека се занимаваме с ирационалните показатели стъпка по стъпка.

Пример 5

Да предположим, че имаме ирационално число a и последователност от неговите десетични приближения a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, нека вземем стойността a = 1 , 67175331 . . . , тогава

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Можем да свържем поредици от приближения с поредица от степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако си спомним за какво говорихме по-рано за повишаване на числата рационална степен, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези мощности.

Вземете например а = 3, тогава a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.н.

Последователността от степени може да се сведе до число, което ще бъде стойността на степента с основа a и ирационален показател a. В резултат: степен с ирационален показател от вида 3 1 , 67175331 . . може да се сведе до числото 6, 27.

Определение 7

Степента на положително число a с ирационален показател a се записва като a a . Стойността му е границата на редицата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , където a 0 , a 1 , a 2 , . . . са последователни десетични приближения ирационално числоа. Степен с нулева основа също може да бъде определена за положителни ирационални експоненти, докато 0 a = 0 И така, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. А за отрицателните това не може да се направи, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единица, повдигната до всяка ирационална степен, остава едно, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равно на 1 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter