Свойства на статистическата вероятност. Статистическа вероятност

Вероятни билети.

Теория на вероятностите- клон на математиката, който изучава законите на случайните явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции върху тях

Теория на вероятноститеизучава случайни явления, случайни явления са тези, които възникват в съвкупност от по-голям брой равни или почти равни обекти и се определят от масовия характер на явлението.

Теория на вероятностите- отразява закономерностите, присъщи на случайни събития от масов характер, и в основата си тази теория се основава на основните понятия.

Събития и тяхната класификация.

Възможността за определяне на събитие се характеризира с вероятността на събитието.

Къде - броят на събитията от интерес, - броят на наблюдаваните събития.

Достоверно събитиеако вероятността за възникването му е 1.

Ненадеждно събитиесе извиква, ако вероятността е 0.

Несъвместими събития- събития, в които 2 от тях не могат да се появят в този експеримент.

Еднакво възможни събития- събития, при които в този опит нито едно от тях не е обективно възможно.

Противоположни събития– събития, които образуват пълна група от 2 събития.

Независими събития- тези, при които всяко от 2-те събития е независимо.(Корелация-независимост)

Съвместни събития- такива събития, при които появата на 1 от тях не изключва появата на едно друго в едно и също преживяване.

Класически и статистически дефиниции на вероятността от събитие

Всеки от еднакво възможните тестови резултати (експерименти) се нарича елементарен резултат. Те обикновено се означават с букви. Например, хвърля се зар. Може да има шест елементарни изхода според броя точки от страните.

От елементарни резултати можете да съставите по-сложно събитие. И така, събитието с четен брой точки се определя от три резултата: 2, 4, 6.

Количествена мярка за възможността за настъпване на разглежданото събитие е вероятността.

Две дефиниции на вероятността от събитие са най-широко използвани: класическии статистически.

Класическата дефиниция на вероятността е свързана с понятието благоприятен изход.

Изход се нарича благоприятентова събитие, ако настъпването му води до настъпването на това събитие.

В дадения пример разглежданото събитие - четен брой точки на отпадналото лице, има три благоприятни изхода. В случая генералът
броя на възможните резултати. И така, тук можете да използвате класическата дефиниция на вероятността от събитие.

Класическо определение. Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати

където е вероятността за събитието, е броят на благоприятните резултати за събитието, е общият брой възможни резултати.

В разглеждания пример

Статистическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за относителната честота на поява на дадено събитие в експериментите.

Относителната честота на възникване на дадено събитие се изчислява по формулата

където е броят на поява на събитие в серия от експерименти (тестове).

Статистическа дефиниция. Вероятността за събитие е числото, спрямо което се стабилизира (установява) относителната честота с неограничено увеличаване на броя на експериментите.

В практическите задачи относителната честота за достатъчно голям брой опити се приема като вероятност за събитие.

От тези дефиниции на вероятността за събитие може да се види, че неравенството винаги е в сила

За да се определи вероятността от събитие въз основа на формула (1.1), често се използват комбинаторни формули за намиране на броя на благоприятните резултати и общия брой възможни резултати.

Пример.Известно е, че от 30 получени шевни машини 10 са с вътрешен дефект. Определете вероятността от партида от 5 коли, взети на случаен принцип, 3 да са без дефекти.

Решение.За да разрешим този проблем, въвеждаме нотация. Let - общият брой машини, - броят на машините без дефекти, - броят на машините, избрани за партидата, - броят на машините без дефекти в избраната партида.

Общият брой комбинации от автомобили, т.е. общият брой възможни резултати ще бъде равен на броя на комбинациите от елементи по , т.е. . Но всяка избрана комбинация трябва да съдържа три бездефектни коли. Броят на такива комбинации е равен на броя на комбинациите от елементи по , т.е. .

С всяка такава комбинация в избраната партида, останалите дефектни елементи също образуват набор от комбинации, чийто брой е равен на броя на комбинациите от елементи по , т.е. .

Това означава, че общият брой благоприятни резултати се определя от продукта. Докъде ще стигнем

Вероятността е степента (мярка, количествено определяне) на възможността за настъпване на събитие. Когато причините за действително възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай невероятно или невероятно. Преобладаването на положителните основания над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) е по-голяма или по-малка. Следователно вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни степени на "нива" на вероятност.

Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за еднакво вероятни резултати. Вероятността е съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват дадено събитие, към общия брой на еднакво вероятните резултати. Например, вероятността да получите глави или опашки при произволно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се случват само тези две възможности и те са еднакво вероятни. Тази класическа "дефиниция" на вероятността може да се обобщи за случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако някакво събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) в някаква ограничена област на пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази допустима площ е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на площта на всички възможни точки.

Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминистично описание на движението на частиците, детерминистично описание на цялата система на частици не е практически възможно и целесъобразно. В квантовата физика самите описани процеси имат вероятностен характер.

Появата на концепцията и теорията на вероятността

Първите трудове върху учението за вероятността датират от 17 век. Като например кореспонденцията на френските учени Б. Паскал, П. Ферма (1654) и холандския учен X. Хюйгенс (1657), които дават най-ранното известно научно тълкуване на вероятността]. По същество Хюйгенс вече оперира с понятието очакване. Швейцарският математик Й. Бернули установи закона за големите числа за схема от независими опити с два изхода (посмъртно, 1713 г.). През XVIII век. - началото на деветнадесети век. теорията на вероятността е разработена в трудовете на А. Моавър (Англия) (1718), П. Лаплас (Франция), К. Гаус (Германия) и С. Поасон (Франция). Теорията на вероятността започва да се прилага в теорията на грешките на наблюдението, развила се във връзка с нуждите на геодезията и астрономията, и в теорията на стрелбата. Трябва да се отбележи, че законът за разпределение на грешките е предложен по същество от Лаплас, първо като експоненциална зависимост от грешката, без да се взема предвид знакът (през 1774 г.), след това като експоненциална функция на квадрата на грешката (през 1778 г.). Последният закон обикновено се нарича разпределение на Гаус или нормално разпределение. Бернули (1778) въвежда принципа на произведението на вероятностите за едновременни събития. Адриен Мари Лежандр (1805) разработва метода на най-малките квадрати.

През втората половина на XIX век. Развитието на теорията на вероятностите е свързано с работата на руските математици П. Л. Чебишев, А. М. Ляпунов и А. А. Марков (старши), както и с работата по математическа статистика на А. Кетле (Белгия) и Ф. Галтън (Англия) физика Л. Болцман (в Австрия), който създава основата за значително разширяване на проблемите на теорията на вероятностите. Логическата (аксиоматична) схема за изграждане на основите на теорията на вероятностите, най-често срещаната в момента, е разработена през 1933 г. от съветския математик А. Н. Колмогоров.

Класическата дефиниция на вероятността е:

Според класическата дефиниция вероятността за случайно събитие P(A) е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятстващи A, към общия брой резултати, които съставляват пространството на елементарните събития, т.е.

вероятностна статична класическа теория

В този случай изчисляването на вероятностите се свежда до преброяване на елементите на едно или друго множество и често се оказва чисто комбинаторна задача, понякога много трудна.

Класическата дефиниция е оправдана, когато е възможно да се предскаже вероятността въз основа на симетрията на условията, при които се провежда експериментът, и следователно симетрията на резултатите от опита, което води до концепцията за "еднакво вероятни" резултати.

Например. Ако геометрично правилен зар, направен от хомогенен материал, бъде хвърлен така, че да има време да направи достатъчно голям брой обороти, преди да падне, тогава загубата на което и да е от лицата му се счита за еднакво вероятен резултат.

Поради същите причини за симетрия, резултатите от такъв експеримент като изваждане на внимателно смесени и неразличими на допир бели и черни топки се считат за еднакво вероятни, така че след регистриране на цвета всяка топка се връща обратно в съда и след старателно разбъркване се изважда следващата топка.

Най-често такава симетрия се наблюдава при изкуствено организирани експерименти, като например хазарта.

По този начин класическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за равни възможности и се използва за експерименти, които се свеждат до схемата на случаите. За това е необходимо събитията e1, e2, en да са несъвместими, тоест две от тях да не могат да се появят заедно; такива, че образуват пълна група, тоест изчерпват всички възможни резултати (не може в резултат на експеримента да не се е случил нито един от тях); еднакво възможни, при условие че експериментът осигурява еднаква възможност за възникване на всеки от тях.

Не всеки експеримент удовлетворява схемата на случаите. Ако условието за симетрия е нарушено, тогава няма схема от случаи.

Формула (1.1), „класическата формула“, се използва за изчисляване на вероятностите за събития от самото начало на появата на науката за случайните явления.

Тези експерименти, които не са имали симетрия, са били "напаснати" към схемата на случаите. В момента, наред с "класическата формула", съществуват методи за изчисляване на вероятностите, когато експериментът не се свежда до схема от случаи. За това се използва статистическата дефиниция на вероятността.

Понятието статистическа вероятност ще бъде въведено по-късно, но сега нека се върнем към класическата формула.

Разгледайте следните примери.

Пример 1. Експериментът се състои от хвърляне на две монети. Намерете вероятността да се появи поне един герб.

Решение. Случайно събитие А - появата на поне един герб.

Пространството на елементарните събития в този експеримент се определя от следните резултати: E = (GG, GR, RG, RR), които се означават съответно с e1, e2, e3, e4. По този начин,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Необходимо е да се определи броят на резултатите от Е, които благоприятстват появата на А. Това са e1, e2, e3; техният брой е m=3.

Използвайки класическата формула за определяне на вероятността от събитие А, имаме

Пример 2. В една урна има 3 бели и 4 черни топки. От урната се взема една топка. Намерете вероятността тази топка да е бяла.

Решение. Случайно събитие А - появата на бяла топка. Пространството на елементарните събития E включва резултатите e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, където ei е появата на една топка (бяла или черна);

E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7.

Случайно събитие A в пространство E се предпочита от 3 резултата; m=3. Следователно,

Пример 3. В една урна има 3 бели и 4 черни топки. От урната се изтеглят две топки. Намерете вероятността и двете да са бели.

Решение. Случайно събитие A - и двете топки ще бъдат бели.

Пример 3 се различава от Пример 2 по това, че в Пример 3 резултатите, които съставляват пространството на елементарните резултати E, няма да бъдат отделни топки, а комбинации от 7 топки по 2. Тоест, за да се определи измерението на E, е необходимо за да определите броя на комбинациите от 7 до 2. За да направите това, трябва да използвате формулите на комбинаториката, които са дадени в раздела "Комбинаторен метод". В този случай за определяне на броя на комбинациите от 7 до 2 се използва формулата за определяне на броя на комбинациите

тъй като изборът се прави без смяна и редът на появяване на топките е маловажен. По този начин,

Броят на комбинациите, благоприятни за възникването на събитие А, се определя като

Следователно,.

Статистическа дефиниция на вероятността

Когато се вземат предвид резултатите от отделните тестове, е много трудно да се намерят някакви закономерности. Въпреки това, в поредица от идентични тестове може да се установи стабилността на някои средни характеристики. Честотата на всяко събитие в дадена поредица от n опита е съотношението m / n, броят m на тези опити, в които е настъпило събитие А, към общия брой опити n. В почти всяка достатъчно дълга поредица от опити честотата на събитие А е зададена на определена стойност, която се приема като вероятност за събитие А. Стабилността на стойността на честотата се потвърждава от специални експерименти. Статистическите закономерности от този вид бяха открити за първи път на примера на хазарта, тоест на примера на тези опити, които се характеризират с еднакви възможни резултати. Това отвори пътя за статистически подход към численото определяне на вероятността, когато експерименталното условие за симетрия е нарушено. Честотата на събитието А се нарича статистическа вероятност, която се обозначава

където mA е броят на експериментите, в които се е появило събитие A;

n е общият брой експерименти.

Формулите (1.1) и (1.2) за определяне на вероятността имат външно сходство, но по същество са различни. Формула (1.1) се използва за теоретично изчисляване на вероятността от събитие при дадени експериментални условия. Формула (1.2) служи за експериментално определяне на честотата на дадено събитие. За да се използва формула (1.2), е необходим експериментален статистически материал.

Аксиоматичен подход към дефиницията на вероятността

Третият подход към дефиницията на вероятността е аксиоматичният подход, при който вероятностите се дават чрез изброяване на техните свойства.

Приетата аксиоматична дефиниция на вероятността е формулирана през 1933 г. от А. Н. Колмогоров. В този случай вероятността е дадена като числена функция P(A) върху множеството от всички събития, определени от този експеримент, което удовлетворява следните аксиоми:

P(A)=1, ако A е определено събитие.

Ако А и Б са несъвместими.

Основни свойства на вероятността

Освен това за всяко случайно събитие А се определя неговата вероятност.

За дадено събитие U е налице равенството P(U)=1.Свойства 1 и 2 следват от определението за вероятност.

Ако събития A и B са несъвместими, тогава вероятността от сбора на събитията е равна на сбора от техните вероятности. Това свойство се нарича формула за добавяне на вероятности в конкретен случай (за несъвместими събития).

За произволни събития A и B

Това свойство се нарича формула за събиране на вероятности в общия случай.

За противоположни събития А и равенството е налице.

Освен това се въвежда, обозначава невъзможно събитие, което не се насърчава от никакъв резултат от пространството на елементарните събития. Вероятността за невъзможно събитие е 0, P()=0.

Пример. Вероятността произволно избрано в резултат на проучването семейство да има цветни, черно-бели или цветни и черно-бели телевизори е равна съответно на 0,86; 0,35; 0,29. Каква е вероятността семейството да има цветен или черно-бял телевизор?

Решение. Нека събитие А е, че семейството има цветен телевизор.

Събитие Б е, че семейството има черно-бял телевизор.

Събитие C е, че семейството има или цветен, или черно-бял телевизор. Събитието C е определено чрез A и B във формата, следователно A и B са съвместни

комбинаторен метод

В много вероятностни задачи е необходимо да се изброят всички възможни резултати от експеримент или елементарни събития, които са възможни в дадена ситуация, или да се изчисли техният брой. За да направите това, можете да използвате следните правила.

Правило 1. Ако една операция се състои от две стъпки, в които първата може да бъде извършена по n1 начина, а втората може да бъде извършена по n2 начина, тогава цялата операция може да бъде извършена по n1 n2 начина.

Думата "операция" означава всяка процедура, процес или метод по избор.

За да потвърдите това правило, разгледайте операция, която се състои от стъпки xi и yi, стъпка x може да бъде изпълнена по n1 начина, т.е. , стъпка y може да се изпълни по n2 начина, т.е. , тогава серията от всички възможни начини може да бъде представена от следните двойки n1n2:

Пример. Колко възможни изхода има в експеримент, който се състои от хвърляне на два зара.

Решение. В този случай x и y означават загуба на лице на първата кост и на втората кост. Изпускането на лице върху първата кост е възможно по шест начина xi, ; изпускането на лицето на втората кост също е възможно по шест начина xj, .

Общо възможни начини 6.6=36.

Правило 2. Ако една операция се състои от k стъпки, в които първата може да бъде извършена по n1 начина, втората по n2 начина, третата по начини и т.н., k-та по начини, тогава цялата операция може да бъде извършена по n1 n2…nk стъпки.

Пример. Инспекторът по качеството иска да избере част от всеки от четирите контейнера, съдържащи съответно 4, 3, 5 и 4 части. По колко начина може да направи това?

Решение. Общият брой пътища се определя като 4·3·5·4=240.

Пример. По колко възможни начина може един ученик да отговори на тест от 20 въпроса, ако може да отговори с "да" или "не" на всеки въпрос?

Решение. Всички възможни начини 2·2...2=220=1048576.

Често в практиката има ситуация, при която обектите трябва да бъдат поръчани.

Например: по колко различни начина могат да седнат 6 души около масата? Различните им подредби се наричат ​​пермутации.

Пример. Колко пермутации са възможни за буквите a, b, c?

Решение. Възможните местоположения са abc, acb, bac, bca, cab, cba. Броят на възможните подредби е шест.

Обобщавайки този пример, за n обекта има n (n-1)(n-2)…3 2 1 различни начина или n!, т.е. броят на пермутациите n!=1 2 3... (n-2)( n-1)n, докато 0!=1.

Правило 3. Броят на пермутациите на n различни обекта е n!.

Пример. Броят на пермутациите на четири букви е 4!=24, но колко пермутации ще получите, ако изберете 2 букви от четири?

Решение. Трябва да попълним две позиции от четири букви. За първа позиция - 4 начина, за втора позиция - 3 начина. Следователно, използвайки правило 1, имаме 4·3=12.

Обобщавайки този пример за n различни обекта, от които r обекти са избрани без връщане за r > 0, има общо n(n-1)...(n-r+1) начина. Ние обозначаваме това число и получените комбинации се наричат ​​разположения.

Правило 4. Броят на поставянията на n обекта по r се определя като

(за r = 0,1,...,n).

Пермутациите, когато обектите са подредени в кръг, се наричат ​​кръгови пермутации. Две кръгови пермутации не са различни (но се броят само за една), ако съответните обекти в двете подредби имат едни и същи обекти отляво и отдясно.

Например: ако четирима души играят бридж, няма да получим различни позиции, ако всички играчи преместят един стол надясно.

Пример. Колко кръгови пермутации са възможни от четирима души, които играят бридж? Решение. Ако произволно приемем позицията на един от четиримата играчи като фиксирана, можем да позиционираме останалите трима играчи на 3! начини, с други думи, имаме шест различни кръгови пермутации.

Обобщавайки този пример, получаваме следното правило.

Правило 5. Броят на пермутациите на n различни обекта, подредени в кръг, е (n-1)!.

Досега се приемаше, че n обекта, от които избираме r обекта и формираме пермутации, са различни. По този начин формулите, споменати по-рано, не могат да се използват за определяне на броя на начините, по които буквите в думата "книга" могат да бъдат подредени, или броя на начините, по които три копия на един роман и по едно копие на всяко от другите четири романите могат да бъдат подредени на рафт.

Пример. Колко различни пермутации на буквите в думата "книга"?

Решение. Ако е важно да различим буквите O, тогава ги обозначаваме с O1, O2 и тогава ще имаме 4!=24 различни пермутации на буквите в O1, O2 и K. Ако обаче пропуснем индексите, тогава O1 O2 и O2, O1 вече не са различни, тогава общият брой пермутации е същият.

Пример. Колко различни начина има за подреждане на три копия от един роман и едно копие от останалите четири романа на рафт?

Решение. Ако обозначим три екземпляра от първия разказ като a1, a2, a3, а останалите четири разказа - b, c, d и e, то в случая имаме 7! различни начини и 3! начин за подреждане на a1, a2, a3.

Ако пропуснете индексите, тогава има различни начини за подреждане на копия.

Обобщавайки тези съображения, получаваме следното правило.

Правило 6. Броят на пермутациите на n обекта, в които n1 са от един и същи вид, n2 са от втори сорт, …, nk са от k-ти вид и n1+n2+...+nk=n,

Има много задачи, при които е необходимо да се определи броят на начините за избор на r обекта от n различни обекта, независимо от реда, в който са избрани. Такива комбинации се наричат ​​комбинации.

Пример. По колко начина могат да бъдат избрани трима кандидати от 20 души за публично допитване?

Решение. Ако редът е важен за нас при избора на кандидати, тогава броят на комбинациите, но всеки ред от трима кандидати могат да бъдат избрани 3! начини; ако редът на избор не е важен, тогава всички начини на избор.

Комбинации без връщане на r обекта от n различни обекта, които се различават в самите обекти, но не и в техния ред, се наричат ​​комбинации.

Правило 7. Броят на комбинациите от r обекта от n различни обекта се определя от броя, броят на комбинациите може да бъде означен като.

Пример. По колко различни начина можете да получите 2 герба и 4 опашки с 6 хвърляния на монета?

Решение. Тъй като редът на получаване на гербове и опашки не е важен, тогава, прилагайки правило 7, получаваме.

Пример. Колко различни комисии от двама химици и един физик могат да бъдат сформирани във факултета на малък колеж с 4 химици и 3 физици.

Решение. Броят на комбинациите от четирима химици по 2 може да се получи по (шест) начина.

Един от тримата физици може да бъде избран по (три) начина.

Броят на комисиите, в съответствие с правило 1, се определя като 6·3=18.

Пример. По колко начина ред от четири обекта може да бъде разделен на три реда, съдържащи съответно два, един и един обект?

Решение. Нека означим тези четири обекта с буквите a, b, c, d. Броят на разделянията на две, едно и едно ще бъде 12:

Разделяне от два обекта може да се получи по начини, които дават 6 възможности. Броят начини за генериране на втория дял. А за третия дял броят на начините е 1.

Съгласно правило 2, общият брой методи за разделяне е (6 2 1)=12.

Обобщавайки този пример, получаваме следното правило.

Правило 8. Броят начини, по които серия от n различни обекта може да бъде разделена на k части с n1 обекта в 1-ва част, n2 във 2-ра част, ... и nk в k-та, се определя като

Пример. По колко начина могат да се настанят 7 бизнесмени в един тристаен и два двустайни апартамента в един хотел?

Решение. Според Правило 8 това може да стане по (двеста и десет) начина.

Доказателство за правило 8

Тъй като n1 обекта могат да бъдат избрани по няколко начина, n2 обекта могат да бъдат избрани

Съгласно правило 2, общият брой начини ще бъде определен като

Задание за самостоятелна работа

1. Десет книги на един рафт са поставени произволно. Определете вероятността три конкретни книги да бъдат една до друга.

Отговор: 0,066.

2. Три карти се теглят на случаен принцип от тесте карти (52 карти). Намерете вероятността това да бъде тройка, седем и асо.

Отговор: 0,0029.

3. Има пет билета на стойност 1 рубла всеки;

три билета на стойност 3 рубли всеки;

два билета по 5 рубли всеки.

Три билета се избират на случаен принцип. Определете вероятността, че:

а) поне два от тези билети са с еднаква цена.

Отговор: 0,75;

б) и трите билета струват 7 рубли.

Отговор: 0,29.

4. В портмонето има три монети от 20 копейки и седем монети от 3 копейки. Една монета се взема на случаен принцип и след това се взема втора монета на стойност 20 копейки.

Определете вероятността първата монета също да има номинал от 20 копейки.

Отговор: 0,22.

• 5. От десет лотарийни билета два са печеливши. Определете вероятността сред пет билета, взети на случаен принцип:
  • а) една печалба;
  • б) две печеливши;
  • в) поне един победител.

Отговор: 0,55, 0,22, 0,78.

6. В кошницата има n топки с номера от 1 до n, топките се теглят на случаен принцип една по една без подмяна. Каква е вероятността в първите k тегления номерата на топките да съвпадат с числата на тегленията.

Отговор: (n - k)!/n!

Препратки

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

По-горе беше отбелязано, че класическата дефиниция на вероятността е приложима само за онези събития, които могат да се появят в резултат на опити, които имат симетрия на възможните резултати, т.е. свеждащи се до схемата на случаите. Съществува обаче голям клас събития, чиито вероятности не могат да бъдат изчислени с помощта на класическата дефиниция.

На първо място, това са събития, които не са еднакво възможни резултати от теста. Например, ако монетата е сплескана, тогава очевидно събитията „поява на герб“ и „поява на опашки“ при хвърляне на монета не могат да се считат за еднакво възможни и формулата ( 1. 1) да се изчисли вероятността за който и да е от тях ще бъде неприложимо.

Но има и друг подход при оценката на вероятността от събития, въз основа на това колко често дадено събитие ще се появява в извършените тестове.

Статистическа вероятност събитие А се нарича относителна честота (честота) появата на това събитие в n извършени теста, т.е.

където R(L)- статистическа вероятност за събитие А; w(A)- относителна честота (честота) на събитието При- брой изпитания, в които е настъпило събитието A;p- общ брой опити.

За разлика от "математическата" вероятност P(A),разглеждани в класическата дефиниция ( 1. 1), статистическата вероятност P(L) е характеристика опитен, експериментален.Ако P(A)е съотношението на случаите, благоприятни за събитие А, което се определя директно, без каквито и да било тестове, тогава PIA)е делът на тези действително извършени тестове, при които събитието НОсе появи.

Според статистическата дефиниция вероятност за събитие има ограничение 1 относителна честота (честота) на събитие с неограничено увеличение на броя на тестовете, т.е.

Това означава, че за достатъчно голям брой опити Пможе да се счита, че

Статистическата дефиниция на вероятността, както и концепциите и методите на теорията на вероятностите като цяло, не са приложими за събития с несигурен изход, които се считат за случайни в ежедневната практика, а само за тези, които имат определени свойства и.

1. Въпросните събития трябва да бъдат резултати само от тези тестове, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти при един и същи набор от условия.Така например, безсмислено е да се повдига въпросът за определяне на вероятностите за избухване на войни, появата на блестящи произведения на изкуството и т.н., тъй като говорим за тестове, които са уникални при едни и същи условия, уникални събития. Или, например, няма смисъл да казваме, че този студент ще издържи семестриален изпит по теория на вероятностите, тъй като говорим за един тест, който не може да бъде повторен при същите условия.

И въпреки че събитията с несигурен изход, цитирани в примерите, принадлежат към категорията „може или не може да се случи“, теорията на вероятностите не се занимава с такива събития.

2. Събитията трябва да имат т.нар статистическа стабилност, или стабилност на относителните честоти. Това означава, че в различни серии от тестове относителната честота (честота) на събитие се променя незначително (колкото по-малко, толкова по-голям е броят на тестовете), варирайки около постоянно число. Оказа се, че това постоянно число е вероятността за събитие (това се обсъжда в теоремата на Бернули, дадена в глава 6).

Фактът, че относителната честота или честота на събитие се доближава до неговата вероятност (1.1) с увеличаване на броя на тестовете, намалени до схема от случаи, се потвърждава от множество масови експерименти, проведени от различни хора от появата на теорията на вероятностите. Така например в експериментите на Buffoia (XVIII век) относителната честота (честота) на появата на герба при 4040 хвърляния на монета се оказа 0,5069, в експериментите на Pearson (XIX век) при 23 000 хвърляния - 0,5005, практически не се различава от вероятността за това събитие, равна на 0,5.

3. Брой опити, в резултат на което се появява събитието L, трябва да е достатъчно голям, тъй като само в този случай можем да разгледаме вероятността от събитие P(A)приблизително равна на относителната му честота.

Обобщавайки, можем да кажем това теорията на вероятностите изучава само такива събития, по отношение на които има смисъл не само да се твърди тяхната случайност, но е възможна и обективна оценка на относителната честота на появата им.И така, твърдението, че при определен набор от условия? вероятността за събитие е p, което означава не само случайност на събитиетоЛ, но определени, достатъчно близо до Р, делът на случаите на събитие А с голям брой опити; което означава, че изразява определена цел(макар и някак) връзка между набор от условия 5* и събитие А(не зависи от субективни преценки за наличието на тази връзка на конкретно лице). И дори само наличието на вероятност Р(когато самата стойност Рнеизвестен) запазва качествено същността на това твърдение, подчертано в курсив.

Лесно е да се провери, че свойствата на вероятността (виж (1.2)), които следват от класическата дефиниция ( 1. 1), също се запазват в статистическата дефиниция на вероятността (1.3").

Наред с класическите и статистически дефиниции на вероятността в приложенията на математиката, т.нар. субективна вероятносткато степента на увереност в настъпването на събитие въз основа на обработката на експертни мнения. С този подход можем да говорим за субективна вероятност (или по-скоро субективна възможност) за възникване на уникални събития - резултати (резултати), които са уникални при едни и същи условия на тестване. Субективната вероятност може да се използва например при прогнозиране на възвръщаемостта на активите, възвръщаемостта на инвестициите и т.н.

• Концепция, т.е. конвергенцията в теорията на вероятностите се различава значително от класическата, разглеждана в хода на математическия анализ (за повече подробности вижте параграфи 6.3, 6.4).
• В приложната литература изпълнението на следните свойства на събития с несигурен изход в изследваната реалност понякога се нарича условия за действие на статистически ансамбъл.

Концепцията за вероятността от събитие е една от основните концепции на теорията на вероятностите. Вероятността е количествена мярка за възможността за възникване на случайно събитие А. Означава се P (A) и има следните свойства.

Вероятността е положително число, вариращо от нула до едно:

Вероятността за невъзможно събитие е нула

Вероятността за определено събитие е равна на единица

Класическата дефиниция на вероятността. Нека = ( 1 , 2 ,…, n ) е пространството от елементарни събития, които описват всички възможни елементарни резултати и образуват пълна група от несъвместими и еднакво вероятни събития. Нека събитие A съответства на подмножество от m елементарни резултата

тези резултати се наричат ​​благоприятни за събитие А. В класическата дефиниция на вероятността се приема, че вероятността от всеки елементарен резултат

и вероятността за събитие А, благоприятствано от m резултата, е

Оттук и определението:

Вероятността за събитие А е съотношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълна група. Вероятността се определя по формулата

където m е броят на елементарните резултати, които благоприятстват събитие А, а _ е броят на всички възможни елементарни резултати на теста.

Класическата дефиниция на вероятността дава възможност в някои задачи да се изчисли аналитично вероятността за събитие.

Нека се проведе експеримент, в резултат на който могат да се случат определени събития. Ако тези събития образуват пълна група от по двойки несъвместими и еднакво вероятни събития, тогава се казва, че преживяването има симетрия на възможните резултати и се свежда до „схема от случаи“. За експерименти, които са сведени до схема от случаи, е приложима класическата вероятностна формула.

Пример 1.13. Лотарията тегли 1000 билета, включително 5 печеливши. Определете вероятността покупката на един билет за лотария да доведе до печалба.

Елементарното събитие от това преживяване е закупуването на билет. Всеки лотариен билет е уникален, тъй като има собствен номер, а закупеният билет не се връща. Събитие А е купуването на печеливш билет. При закупуване на един от 1000 билета за всички възможни резултати от това преживяване, ще има = 1000, резултатите образуват пълна група от несъвместими събития. Броят на резултатите, благоприятни за събитие А, ще бъде равен на =5. Тогава вероятността да спечелите чрез закупуване на един билет е равна на

P(A) = = 0,005

За директно изчисляване на вероятностите е удобно да се използват комбинаторни формули. Нека покажем това на примера на проблема за селективното управление.

Пример 1.14 Нека има партида продукти, сред които има дефектни. За контрол се избира част от продуктите. Каква е вероятността сред избраните продукти да има точно дефектни

Елементарно събитие в този експеримент е изборът на елементно подмножество от оригиналния елементен набор. Изборът на всяка част от продуктите от партида продукти може да се счита за еднакво вероятни събития, така че този опит се свежда до схема от случаи. За да изчислите вероятността на събитието A = (сред дефектни продукти, ако са избрани от партида дефектни продукти), можете да приложите класическата вероятностна формула. Броят на всички възможни резултати от опита е броят на начините, по които продуктите могат да бъдат избрани от партида c, той е равен на броя на комбинациите от елементи по: . Събитие, благоприятно за събитие А, се състои от произведението на две елементарни събития: (избрани от дефектни продукти) (избрани _ от _ стандартни продукти). Броят на такива събития, в съответствие с правилото за умножение на комбинаториката, ще бъде

Тогава желаната вероятност

Например нека =100, =10, =10, =1. Тогава вероятността сред избраните 10 продукта да има точно един дефектен е равна на

Статистическа дефиниция на вероятността. За да се приложи класическата дефиниция на вероятността в условията на даден експеримент, е необходимо експериментът да отговаря на схемата на случаите, а за повечето реални задачи тези изисквания са практически невъзможни за изпълнение. Вероятността за събитие обаче е обективна реалност, която съществува независимо дали е приложима или не класическата дефиниция. Има нужда от друго определение на вероятността, приложимо, когато опитът не съответства на модела на случаите.

Нека експериментът се състои в провеждането на серия от опити, повтарящи един и същ експеримент, и нека събитието А се случи веднъж в серия от експерименти. Относителната честота на събитието W(A) е съотношението на броя на експериментите, в които се е случило събитието A, към броя на всички извършени експерименти

Експериментално е доказано, че честотата има свойството на стабилност: ако броят на експериментите в серия е достатъчно голям, тогава относителните честоти на събитие А в различни серии от един и същ експеримент се различават малко една от друга.

Статистическата вероятност за събитие е числото, към което клонят относителните честоти, ако броят на експериментите нараства неограничено

За разлика от априорната (изчислена преди експеримента) класическа вероятност, статистическата вероятност е апостериорна (получена след експеримента).

Пример 1.15 Метеорологичните наблюдения в продължение на 10 години в даден район показват, че броят на дъждовните дни през юли е равен на: 2 през различни години; четири; 3; 2; четири; 3; 2; 3; 5; 3. Определете вероятността всеки ден от юли да е дъждовен

Събитие А е, че в определен ден от юли, например 10 юли, ще вали дъжд. Издадената статистика не съдържа информация кои конкретни дни от юли е валяло, така че можем да приемем, че всички дни са еднакво вероятни за това събитие. Нека една година бъде една поредица от изпитания от 31 дни. Сериите са общо 10. Относителната честота на серията е:

Честотите са различни, но се наблюдава групирането им близо до числото 0.1. Това число може да се приеме като вероятност за събитие А. Ако вземем всички дни от юли за десет години за една серия от тестове, тогава статистическата вероятност за събитие А ще бъде равна на

Геометрично определение на вероятността. Тази дефиниция на вероятността обобщава класическата дефиниция за случая, когато пространството от елементарни резултати включва неизброимо множество от елементарни събития и възникването на всяко от събитията е еднакво възможно. Геометричната вероятност за събитие A е съотношението на мярката (A) на площта, която благоприятства настъпването на събитието, към мярката () на цялата площ

Ако площите са а) дължините на отсечките, б) площите на фигурите, в) обемите на пространствените фигури, тогава геометричните вероятности са съответно равни на

Пример 1.16. Рекламите са разлепени на интервали от 10 метра по дължината на мола. Ширината на видимост на някои клиенти е 3 метра. Каква е вероятността той да не забележи рекламата, ако се движи перпендикулярно на търговския център и може да пресече редицата във всяка точка?

Участъкът от мола, разположен между две реклами, може да бъде представен като права отсечка AB (фиг. 1.6). След това, за да забележи купувачът рекламите, той трябва да премине през сегменти от права AC или DV, равни на 3m. Ако пресече търговския ред в една от точките на SD сегмента, чиято дължина е 4 м, тогава той няма да забележи рекламата. Вероятността за това събитие ще бъде

Индикатор за рангова корелация на Kendall, тестващ съответната хипотеза за значимостта на връзката.

2. Класическа дефиниция на вероятността. Вероятностни свойства.
Вероятността е едно от основните понятия на теорията на вероятностите. Има няколко дефиниции на това понятие. Нека дадем определение, което се нарича класическо. След това посочваме слабостите на това определение и даваме други определения, които позволяват да се преодолеят недостатъците на класическото определение.

Помислете за пример. Нека една урна съдържа 6 еднакви, добре смесени топки, 2 от които червени, 3 сини и 1 бяла. Очевидно е, че възможността за изтегляне на произволна цветна (т.е. червена или синя) топка от урна е по-голяма от възможността за изтегляне на бяла топка. Може ли тази възможност да се характеризира с число? Оказва се, че можете. Това число се нарича вероятност за събитие (поява на цветна топка). По този начин вероятността е число, което характеризира степента на възможност за настъпване на събитие.

Нека си поставим за задача да дадем количествена оценка на възможността произволно взета топка да бъде оцветена. Появата на цветна топка ще се счита за събитие А. Всеки от възможните резултати от теста (тестът се състои в изваждане на топка от урната) ще бъде наречен елементарен резултат (елементарно събитие). Означете елементарните резултати с w 1 , w 2 , w 3 и т.н. В нашия пример са възможни следните 6 елементарни изхода: w 1 - появила се е бяла топка; w 2 , w 3 - появи се червена топка; w 4 , w 5 , w 6 - появи се синя топка. Лесно е да се види, че тези резултати образуват пълна група от несъвместими по двойки събития (непременно ще се появи само една топка) и са еднакво възможни (топката е извадена на случаен принцип, топките са еднакви и старателно смесени).

Тези елементарни резултати, в които се случва събитието, което ни интересува, ще наречем благоприятентова събитие. В нашия пример следните 5 резултата благоприятстват събитие A (поява на цветна топка): w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 .

По този начин събитие А се наблюдава, ако в опита се появи един от елементарните резултати, благоприятстващи А, без значение кой; в нашия пример A се наблюдава, ако се появи w 2 или w 3 или w 4 или w 5 или w 6. В този смисъл събитие А се подразделя на няколко елементарни събития (w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ); елементарното събитие не се подразделя на други събития. Това е разликата между събитие А и елементарно събитие (елементарен резултат).

Съотношението на броя на елементарните резултати, благоприятни за събитието А, към техния общ брой се нарича вероятност за събитието А и се означава с P (A). В разглеждания пример има 6 елементарни изхода; от тях 5 благоприятстват събитие А. Следователно вероятността взетата топка да бъде оцветена е равна на P (A) \u003d 5 / 6. Това число дава количествената оценка на степента на възможност за появата на цветна топка които искахме да намерим. Сега даваме определението за вероятност.

Вероятност за събитие Ае отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълна група. И така, вероятността за събитие А се определя от формулата

където m е броят на елементарните резултати, благоприятстващи A; n е броят на всички възможни елементарни резултати от теста.

Тук се приема, че елементарните резултати са несъвместими, еднакво възможни и образуват пълна група. Следните свойства следват от определението за вероятност:

С в около y с t в около 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В този случай m = n, следователно,

P(A)=m/n=n/n=1.

С в около y с t в около 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от опита не благоприятства събитието. В този случай m = 0, следователно,

P (A) \u003d m / n \u003d 0 / n \u003d 0.

С в около y с t в около 3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста благоприятства случайно събитие. В този случай 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

И така, вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство

Забележка Съвременните строги курсове по теория на вероятностите са изградени на основата на теория на множествата. Ние се ограничаваме до представянето на езика на теорията на множествата на тези понятия, които бяха разгледани по-горе.

Нека едно и само едно от събитията w i, (i = 1, 2, ..., n) се случи в резултат на теста. Събитията w i се наричат елементарни събития (елементарни резултати). От това вече следва, че елементарните събития са по двойки несъвместими. Множеството от всички елементарни събития, които могат да се появят в изпитание, се нарича елементарно пространство за събития W и самите елементарни събития - точки от пространствотоУ.

Събитие A се идентифицира с подмножество (от пространство W), чиито елементи са елементарни резултати, благоприятстващи A; събитие B е подмножество от W, чиито елементи са резултати, благоприятни за B, и т.н. По този начин наборът от всички събития, които могат да възникнат в едно изпитване, е наборът от всички подмножества W. Самото W възниква при всеки резултат от опита, така че W е определено събитие; празно подмножество на пространството W е невъзможно събитие (то не се случва за нито един резултат от теста).

Обърнете внимание, че елементарните събития се отличават от всички събития по факта, че всяко от тях съдържа само един елемент W.

На всеки елементарен резултат w i се присвоява положително число стр i е вероятността за този резултат и

По дефиниция вероятността P(A) за събитие A е равна на сумата от вероятностите за елементарни резултати в полза на A. От това е лесно да се получи, че вероятността за събитие, което е надеждно, е равна на единица, невъзможно е нула, произволно е между нула и едно.

Помислете за важен специален случай, при който всички резултати са еднакво вероятни. Броят на резултатите е n, сумата от вероятностите на всички резултати е равна на единица; следователно вероятността за всеки резултат е 1/n. Нека събитие А е облагодетелствано от m резултата. Вероятността за събитие А е равна на сумата от вероятностите за резултати, благоприятстващи А:

P(A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.

Като се има предвид, че броят на членовете е равен на m, имаме

P (A) \u003d m / n.

Получава се класическата дефиниция на вероятността.

Изграждането на логически пълна теория на вероятностите се основава на аксиоматичното определение на случайно събитие и неговата вероятност. В системата от аксиоми, предложена от А. Н. Колмогоров, елементарното събитие и вероятността са неопределими понятия. Ето аксиомите, които определят вероятността:

1. На всяко събитие A се приписва неотрицателно реално число P(A). Това число се нарича вероятност за събитие А.

2. Вероятността за определено събитие е равна на единица:

3. Вероятността за настъпване на поне едно от по двойки несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Въз основа на тези аксиоми свойствата на вероятностите и връзките между тях се извеждат като теореми.

3. Статично определение на вероятността, относителна честота.

Класическата дефиниция не изисква експеримент. Докато реалните приложни проблеми имат безкраен брой резултати и класическата дефиниция в този случай не може да даде отговор. Следователно при такива проблеми ще използваме статично определяне на вероятностите, който се изчислява след експеримента или експеримента.

статична вероятност w(A) или относителната честота е съотношението на броя на резултатите, благоприятни за дадено събитие, към общия брой действително проведени опити.

w(А)=nm

Относителната честота на събитие има свойство на стабилност:

лим н→∞П(∣ ∣ nm−стр∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4.Геометрични вероятности.

При геометричен подходкъм дефиницията вероятностипроизволно множество се разглежда като пространство на елементарни събития крайна мярка на Лебег на линия, равнина или пространство.Събитията се наричат всякакви измеримиподмножества на множеството.

Вероятност за събитие Асе определя по формулата

където обозначава мярката на Лебег на множеството A.С тази дефиниция на събития и вероятности всички Аксиомите на А. Н. Колмогоров са изпълнени.

В конкретни задачи, които се свеждат до горните вероятностна схема,тестът се интерпретира като случаен избор на точка в някаква област и събитието НО– като попадение на избраната точка в някои подрегион А на региона. Това изисква всички точки в региона да имат същата възможност да бъдат избрани.Това изискване обикновено се изразява в термини "на случаен принцип", "произволно" и т.н.