Таблица с местоположението на изложителите. Значението на числото e

В същата статия ще обсъдим какво точно е експонентата в Excel и най-важното за какво може да бъде полезна в обикновен животили в бизнеса.

В студентските си години често чувах фрази като: „Защо изобщо учим „това“, в живота никога няма да имаме нужда от „това“. Едно такова „това“ често беше експонент или, например, . Имах слаб висша математикапри първото образование, за което съжалявам. И сега трябва да наваксвам с темите, които пропуснах по-рано. Споделям знанията си.

Знаем, че нашият свят е описан точни науки— т.е. набор от правила и закони, повече или по-малко точно описващи случващото се. За това в повечето случаи помагат функции / формули. В природата експоненциалните явления са доста често срещани (описани с експоненциал) чрез формула с число д,и y \u003d e на степен x вече ще бъде експоненциална функция:

Номер д- това е т.нар. Числото на Ойлер е приблизително равно на 2,72. Трябва да се отбележи, че производната на тази функция е равна на самата функция exp(x)` = exp(x).

Какво е това и какво означава за нас?

Най-доброто от всичко е, че действието на експонентата е показано на графиките по-долу:

Две функции: y=2 в x и y= дна степен x, където x = време, например. Можем да видим, че темпът на растеж на експоненциалния график се увеличава по-бързо. И всички защо? Тъй като производната (скоростта на нарастване или намаляване) на функцията е равна на самата функция, т.е. скоростта на нарастване на функцията е равна на стойността на функцията.

Грубо казано, в природата това е наистина често срещано - колкото повече клетки се делят, толкова по-бързо стават повече. Колкото повече пари имате в банката, толкова повече печалба носят. Например:

Вие сте инвестирали 1000 рубли. в банката, година по-късно те донесоха своите 100 рубли. интерес, година по-късно 2 служители вече работят за вас 1000 рубли. и 100 рубли. и така докато вземете парите или настъпи банкова криза.

Между другото, населението на планетата Земя също расте експоненциално;)

Принцип на Парето и показател

Чували ли сте за този принцип? Мисля, че да. "20% от усилията носят 80% от резултатите." Той е. най-доброто определениеза да си спомня, мисля:

20% от пиещите бира консумират 80% от цялата бира

Изграден на принципа на Парето ABC анализакции, например.

Този принцип на Парето е друг пример за експоненциал.

Между другото, много справедлив закон в истинския живот, потвърждавам с моя опит.Веднъж в първия си проект забелязах, че в около 20% от времето създаваш 80% от продукта (в количествено отношение), след това работиш върху качеството. Тези. други 80% от времето завършвате, търсите грешки, коригирате. Дори съм чувал хората да казват "развитие на етап изложител" - т.е. в процеса на приближаване към идеала.

При такова „завършване“ на проекта е важно да спрете навреме, защото продуктът никога няма да бъде перфектен. Затова решете предварително какво качество искате да получите в крайна сметка. Ако не го направите сами, не забравяйте да съберете изискванията от клиента. Принципът изглежда така:

Експонента (число e) - ирационално число, приблизително равно на 2,71828. Числото e играе голяма роля в диференциала и интегрално смятанеи се използва в почти всички научни области. Толкова суха математическа дефиницияне разкрива същността на физически смисълизложители. Нека разгледаме по-подробно.

Значението на числото e

Числото Пи не е просто ирационално число, равно на 3,1415, а съотношението на обиколката към диаметъра, което е еднакво за всички случаи. По същия начин числото e има свое собствено значение.

Показателят е основният коефициент на растеж за всички процеси на растеж. Всяко число може да се разглежда като мащабирана единица, всеки квадрат като мащабиран единичен квадрат, всяко равностранен триъгълник- като уголемени или намалени правоъгълен триъгълник, но всеки фактор на растеж може да бъде представен като мащабиран фактор, напр.

Това са операциите с числото e, което ще ви даде възможност да определите скоростта на растеж в ситуации като нарастване на населението, лихва по депозит или полуживот на радиоактивно вещество.

Дискретен растеж

Основен пример за система за непрекъснато удвояване е размножаването на бактерии, което се удвоява всеки ден. Ако удвояването се случи веднъж, тогава математически получаваме 2 на първа степен, тоест само 2. Ако удвоим х пъти, тогава в крайна сметка получаваме 2 на степен х на бактерии, пари или всяка друга стока.

Системата обаче може да не се промени 2 пъти, а например с 20% или 120%. В този случай можем да представим удвояването не като двойка, а като 1 + 1 или 1 + 100%. В такъв запис можем да заменим всеки растежен фактор и да получим формулата за растеж като:

Растеж \u003d (1 + растеж) x,

където x е броят на циклите на растеж.

Благодарение на тази формула можем да разберем колко бактерии ще получим от една клетка след 30 дни. Бактериите обаче се делят дискретно, т.е. докато не се образува нова клетка в рамките на един ден, тя няма да може да произвежда нови организми. Прилагайки тази формула към парите, получаваме съвсем различен резултат.

Непрекъснат растеж

При изчисляване на лихвата върху парите няма дискретно, а непрекъснат растеж. Веднага след като върху депозита се натрупа печалба в размер на няколко стотинки, тези пари започват да носят собствена печалба. Няма нужда да чакате, докато се „роди“ цял долар, който започва да се дели по подобие на бактерии. Достатъчно е да се формира цент, който ще започне да генерира своите микропечалби.

Нека си представим, че сме инвестирали $1 в бизнес, който ни обещава 100% печалба за една година. Това означава, че ще получим увеличение:

Приход = (1 + 1) 1 = 2

Само $2 - оскъдно. Ако обаче разделим годината на две половини, тогава получаваме 50 цента за всяка половин година. Получените центове вече могат да генерират печалба сами, а след това формулата ще се промени.

Доход = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Тъй като сега имаме два периода на удвояване, повдигнахме увеличението на квадрат и имаме допълнителни 25 цента доход. Ако разделим печалбата си на 5 части по 20 цента, тя ще се окаже още по-привлекателна:

Доход = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Може би можем да разделим печалбите за неопределено време голям брой малки частии да получите безкрайна печалба? За съжаление не. Дори ако разделим нашия долар на 100 000 части, доходът е:

Приход = (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826

При безкрайно разделяне на долара печалбата ще се увеличи със сто хилядни след десетичната запетая. Нашата печалба от $2,71826 ще клони към 2,718281828, което не е нищо друго освен числото E.

И какво означава всичко това

Показателят е най-големият възможен резултат от 100% непрекъснат растеж за определен период от време. Да, първоначално ни е обещана 100% печалба, тоест само $2, но всеки цент носи своите дивиденти и в резултат на това имаме точно $2,71828 печалба. Числото e е максимумът, който можем да получим, когато разделим печалбата на суми от безкрайно малки стойности.

Това означава, че ако при потенциална възвращаемост от 100% инвестираме $1 в бизнеса, ще получим $2718 чиста печалба. Ако $2, тогава ще получим 2x нетна печалба, а ако $100, тогава нашата печалба ще бъде 100x. По този начин e е ограничаваща константа, която ограничава процесите на растеж по същия начин, по който скоростта на светлината ограничава движението на информация в пространството. Числото e е максималният възможен резултат, трудно постижим на практика, следователно в действителност много процеси се описват с помощта на части от експонентата.

Използване на показателя на практика

На пръв поглед растежът се изобразява като добавка от 1%, но математически това увеличение се изразява като умножение по 1,01. Така при операции с числото e използваме степени или корени. Или естествени логаритми, ако имаме нужда от обратната операция. Какъвто и темп на растеж да вземем, това ще означава степента на числото е. Например, ако знаем, че в рамките на 3 години ще реализираме печалба от 200%, тогава просто умножаваме растежа (e 2) по 3 периода и получаваме :

Височина \u003d (e 3) 2 \u003d e 6

За по-добро разбираненека да разгледаме примери.

банкова сметка

Да приемем, че сме депозирали $100 в банка при годишна лихва от 8%. Избраната банка ни предлага пълна капитализация на лихвата, каква печалба ще получим след 5 години? Тъй като банката ни осигурява непрекъснат растеж на парите, след 5 години в сметката ни вече ще има:

Печалба = 100 × e (0,08 × 5) = 149,1

Удивително, нали? За съжаление, истинските банки рядко използват сложна лихва, и ако изчисляват капитализацията, тогава според собствените си формули, които са малко по-различни от класическия показател.

Половин живот

Представете си, че имате 5 kg радиоактивен уран, който се разпада със скорост 100% годишно. Колко уран ще ви остане след 2 години? На теория целият уран трябва да се разпадне през първата година, но това не е така. След 6 месеца ще имате само 2,5 кг уран, който от своя страна ще започне да се разпада със скорост от само 2,5 кг на година. След още няколко месеца 1 кг уран ще остане в склада ви, но и той ще се разпадне с още по-бавна скоростна ниво 1 кг годишно. С течение на времето губите радиоактивно гориво и скоростта на разпадане също намалява. Така след 2 години ще имате:

Радиоактивен остатък = 5 × e −2 = 0,676

Заключение

Експонентът има широко приложение в ситуации, когато нещо расте непрекъснато или дискретно. Можете да използвате калкулатора за степенуване e, за да изчислите резултатите от растежа на всеки непрекъснат процес.

Изчислете стойности математически функции. Въведете , чийто показател искате да изчислите. След това просто щракнете върху бутона за изложител. На повечето калкулатори изглежда като "exp" или "e" с малък "x" малко над и вдясно от "e". Резултатът веднага ще се появи на индикатора на калкулатора (не е необходимо да натискате бутона „=“).

За да изчислите експонентата на компютър, използвайте стандартния калкулатор на Windows. За да направите това, стартирайте програмата "калкулатор" (щракнете върху бутона "Старт", след това върху "Изпълнение", въведете "calc" в прозореца, който се показва и щракнете върху "OK"). Ако няма клавиши на клавиатурата на виртуалния калкулатор за изчисляване на математически функции, превключете в инженерния режим (изберете елемента от менюто „Преглед“ и след това посочете „Инженеринг“).

Сега въведете числото, чиято степен искате да изчислите. След това поставете отметка в квадратчето „Inv“ и щракнете върху бутона за изчисление „ln“. Моля, имайте предвид, че след изчислението в полето "Inv", то автоматично се нулира и трябва да се зададе отново. Не използвайте бутона с надпис "exp", за да изчислите експонентата! В калкулатора на Windows този бутон се използва за съвсем различна цел.

Има три типа инженерни букви: обратен пол, аритметика и нотация с формула. Има и калкулатори, които поддържат превключване на методите за въвеждане на изрази. Използването на всеки от тях има свои собствени характеристики.

Инструкция

Определете кой метод на въвеждане е вашият . Ако няма клавиш за равенство, но има клавиш със стрелка нагоре, имате пишеща машина с обратен пол пред вас. Наличието на клавиш със знак за равенство показва, че инструментът използва метод на въвеждане. И накрая, ако индикаторът на калкулатора, освен познатостта на сегментите, има и матрични, тогава устройството е предназначено за формулно обозначение. AT последен случай, вместо знака за равенство на съответния клавиш може да се постави "EXE" или "Enter".

За изчисляване на калкулаторс обратна полска нотация, първо трябва да определите последователността от действия. Това се прави според общоприетите математически правила.Извършете действия с два операнда, както следва. Въведете първия операнд. Натиснете бутона със стрелка нагоре, за да го преместите един регистър нагоре в стека. Въведете втория операнд и едва след това натиснете клавиша за математическо действие. Резултатът от изчислението ще се покаже на индикатора.За да извършите действие с един операнд, просто го въведете и след това щракнете върху съответния бутон.

На калкулатор с аритметична нотация извършвайте операции с два операнда по същия начин, както на обикновен калкулатор. Извършвайте действия с един операнд по същия начин, както на пишеща машина с обратна полска нотация.Ако на клавиатурата има клавиши със скоби, няма нужда да определяте реда на изчисленията. Въпреки това не трябва да позволявате нивото на влагане на скоби, посочено в инструкциите, да бъде превишено. При липса на инструкции, това може да се установи емпирично чрез натискане на клавиша с отварящата скоба няколко пъти и отбелязване, след което възникна грешка според броя на натисканията.

Изразът се въвежда в калкулатор с нотация на формула по същия начин, както е написан на хартия. Ако полето за въвеждане е едноредово, формулите, съдържащи дроби, се преобразуват в "едноетажни" формули с помощта на скоби и знак за деление. Ако е необходимо, въведеният израз може да бъде коригиран с хоризонталните клавиши със стрелки, както и с бутоните "Вмъкване", "Назад" и "Изтриване" (те могат да се различават при различните калкулатори). След това натиснете клавиша "EXE" или "Enter" и резултата. Ако този резултат трябва да бъде поставен в следната формула, използвайте клавиша "ANS".

В много калкулатори някои от клавишите могат да изпълняват повече от една функция. Едно просто натискане на клавиш съответства на изпълнението на операцията, която е указана директно върху него. Други операции са обозначени до бутона в един или друг цвят. За да накарате калкулатора да изпълнява такава функция, първо трябва да натиснете клавиша за регистриране, който има същия цвят (може да се нарича "F", "2ndF", "S"), а след това бутона, до който се нуждаете от операцията е посочено.

Подобни видеа

От генерала логаритмидве са маркирани - това е логаритъма при основа 10 (десетична) и при основа, равен брой"e" - константа, която се нарича "число на Ойлер". Тази константа е ирационално число, тоест няма точна стойност, но представлява безкрайна дроб. Логаритъм с такава основа се нарича естествен и има много по-голяма употреба в интегралното и диференциалното смятане от десетичен логаритъм.

Инструкция

Използвайте най-много -калкулатори бърз начинизчисляване на натур

Функцията Exp в Pascal (и много други езици за програмиране) изчислява експонентата. Синтаксис:

функция Exp(X: ValReal) : ValReal;

Функцията Exp X изчислява и връща експонентата на числото X.

Изчисляването на степента е изчисляването на числото e на степен X. Тоест,

Вижте видеоклипа за подробности и прочетете статията по-долу.

Обратна функция Ln

Ако си спомняте, значи си спомняте и че тя изчислява натурален логаритъм.

И така, обратната функция на Exp е функцията Ln. С други думи, обратна функцияекспоненциална функция (експонента) е натурален логаритъм. Това е:

Loge(Y) = Ln(Y) = X

eX=Y=Exp(X)

e X = Exp(X) = Exp(Ln(Y)) = Y

Има още една полезна формула:

x Y = e Y ln(x) = Exp(Y * Ln(X))

От това следва, че използвайки функциите Ln и Exp, можем да повдигнем всяко число на произволна степен. Можете да направите това, например, така:

P:= Exp(Y * Ln(X))

Ако го опишете математически език, тогава горният израз ще бъде еквивалентен на следния запис:

Вярно, трябва да кажа, че тук има нюанси. Има специални случаи, при които горният израз ще даде неправилен резултат. Например, когато Y или X отрицателни числа, или когато са равни на нула. Такива ситуации трябва да се третират допълнително. Тази статия обаче не е за степенуване, така че ще разгледаме тези специални случаи в друга статия.

Пример за изходен код, където се използва функцията Exp:

програма funcexp; използва математика; var x, y: единичен; начало y:=Exp(2); //y = Exp(2) = 7.39 WriteLn("Exp(2) = e * e = ", y:0:4); x:=Exp(3 * Ln(2)); //x = 2 на степен 3 WriteLn("2 ^ 3 = ", x:0:4); ReadLn; край.