Таблица на първообразни функции и интеграли. Интеграли за манекени: как се решават, правила за изчисление, обяснение

В по-ранен материал беше разгледан въпросът за намирането на производната и бяха показани различните му приложения: изчисляване на наклона на допирателната към графиката, решаване на оптимизационни задачи, изследване на функции за монотонност и екстремуми. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$

Снимка 1.

Беше разгледан и проблемът за намиране на моментната скорост $v(t)$ с помощта на производната по отношение на предварително известно изминато разстояние, изразено чрез функцията $s(t)$.

Фигура 2.

Обратната задача също е много често срещана, когато трябва да намерите пътя $s(t)$, изминат от точка от време $t$, като знаете скоростта на точката $v(t)$. Ако си спомняте, моментната скорост $v(t)$ се намира като производна на функцията на пътя $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Това означава, че за да решите обратната задача, тоест да изчислите пътя, трябва да намерите функция, чиято производна ще бъде равна на функцията на скоростта. Но знаем, че производната на пътя е скоростта, тоест: $s'(t) = v(t)$. Скоростта е равна на произведението от ускорението и времето: $v=at$. Лесно е да се определи, че желаната пътна функция ще има формата: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Но това не е съвсем пълно решение. Пълното решение ще изглежда така: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, където $C$ е някаква константа. Защо това е така ще обсъдим по-късно. Междувременно нека проверим правилността на намереното решение: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=при=v(t)$.

Струва си да се отбележи, че намирането на пътя по скорост е физическият смисъл на антипроизводното.

Получената функция $s(t)$ се нарича първоизводна на $v(t)$. Доста интересно и необичайно име, нали. В него има голям смисъл, който обяснява същността на това понятие и води до неговото разбиране. Можете да видите, че съдържа две думи "първо" и "изображение". Те говорят сами за себе си. Тоест това е функцията, която е оригиналната за производната, която имаме. И чрез тази производна търсим функцията, която беше в началото, беше „първото“, „първото изображение“, тоест антипроизводното. Понякога се нарича още примитивна функция или антипроизводна.

Както вече знаем, процесът на намиране на производната се нарича диференциране. И процесът на намиране на първоизводната се нарича интегриране. Операцията на интегриране е обратна на операцията на диференциране. Обратното също е вярно.

Определение.Първоизводна за функция $f(x)$ на някакъв интервал е функция $F(x)$, чиято производна е равна на тази функция $f(x)$ за всички $x$ от указания интервал: $F'( x)=f (x)$.

Някой може да има въпрос: откъде идват $F(x)$ и $f(x)$ в дефиницията, ако първоначално е било за $s(t)$ и $v(t)$. Факт е, че $s(t)$ и $v(t)$ са частни случаи на обозначаване на функции, които имат конкретно значение в този случай, тоест те са функция на времето и функция на скоростта, съответно. Същото важи и за променливата $t$ - тя представлява времето. А $f$ и $x$ са традиционният вариант на общото обозначение съответно на функция и променлива. Струва си да се обърне специално внимание на записа на първоизводната $F(x)$. Първо, $F$ е капитал. Примитивите са обозначени с главни букви. Второ, буквите са еднакви: $F$ и $f$. Тоест за функцията $g(x)$ първоизводната ще се обозначава с $G(x)$, за $z(x)$ - с $Z(x)$. Независимо от нотацията, правилата за намиране на първоизводната функция винаги са едни и същи.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1Докажете, че функцията $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ е първоизводната на функцията $f(x)=\cos5x$.

За да докажем това, използваме определението, или по-скоро факта, че $F'(x)=f(x)$, и намираме производната на функцията $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Така че $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ е първоизводната на $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Пример 2Намерете на кои функции съответстват следните първоизводни: а) $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

За да намерим желаните функции, изчисляваме техните производни:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Пример 3Каква ще бъде антипроизводната за $f(x)=0$?
Нека използваме определението. Нека помислим коя функция може да има производна, равна на $0$. Спомняйки си таблицата с производни, получаваме, че всяка константа ще има такава производна. Получаваме, че първоизводната, която търсим: $F(x)= C$.

Полученото решение може да се обясни геометрично и физически. Геометрично това означава, че допирателната към графиката $y=F(x)$ е хоризонтална във всяка точка от тази графика и следователно съвпада с оста $Ox$. Физически се обяснява с факта, че точка със скорост, равна на нула, остава на място, тоест изминатият от нея път не се променя. Въз основа на това можем да формулираме следната теорема.

Теорема. (Знак за постоянство на функцията). Ако $F'(x) = 0$ на някакъв интервал, тогава функцията $F(x)$ е постоянна на този интервал.

Пример 4Определете първоизводните на кои функции са функциите a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; б) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; в) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, където $a$ е някакво число.
Използвайки определението за първоизводна, заключаваме, че за да решим тази задача, трябва да изчислим производните на дадените ни първоизводни функции. Когато изчислявате, не забравяйте, че производната на константа, тоест всяко число, е равна на нула.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
в) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

какво виждаме Няколко различни функции са антипроизводни на една и съща функция. Това означава, че всяка функция има безкрайно много противопроизводни и те имат формата $F(x) + C$, където $C$ е произволна константа. Тоест операцията интегриране е многозначна, за разлика от операцията диференциация. Въз основа на това формулираме теорема, описваща основното свойство на първоизводните.

Теорема. (Основното свойство на примитивите). Нека функциите $F_1$ и $F_2$ са първоизводни на функцията $f(x)$ на някакъв интервал. Тогава за всички стойности от този интервал е вярно равенството: $F_2=F_1+C$, където $C$ е някаква константа.

Фактът за съществуването на безкраен набор от антипроизводни може да се тълкува геометрично. С помощта на паралелна транслация по оста $Oy$ могат да се получат графики на всеки две първоизводни за $f(x)$ една от друга. Това е геометричното значение на първоизводното.

Много е важно да се обърне внимание на факта, че чрез избора на константата $C$ е възможно да накарате графиката на първоизводната да минава през определена точка.

Фигура 3

Пример 5Намерете първоизводната за функцията $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, чиято графика минава през точката $(3; 1)$.
Нека първо намерим всички антипроизводни за $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
След това намираме число C, за което графиката $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ ще минава през точката $(3; 1)$. За да направим това, заместваме координатите на точката в уравнението на графиката и го решаваме по отношение на $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Получихме графиката $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, която съответства на първоизводната $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Таблица на антипроизводните

Таблица с формули за намиране на антипроизводни може да бъде съставена с помощта на формули за намиране на производни.

Таблица на антипроизводните

Функции	антипроизводни
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\в R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sinx$	$-\cosx+C$
$\cos x$	$\sinx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$

Можете да проверите коректността на таблицата по следния начин: за всеки набор от антипроизводни, намиращи се в дясната колона, намерете производната, в резултат на което ще се получат съответните функции в лявата колона.

Някои правила за намиране на антипроизводни

Както знаете, много функции имат по-сложна форма от тези, посочени в таблицата на първоизводните, и могат да бъдат произволни комбинации от суми и произведения на функции от тази таблица. И тук възниква въпросът как да се изчислят първопроизводните на подобни функции. Например, от таблицата знаем как да изчислим първоизводните $x^3$, $\sin x$ и $10$. Но как например да изчислим първоизводната $x^3-10\sin x$? Гледайки напред, струва си да се отбележи, че ще бъде равно на $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Ако $F(x)$ е антипроизводно за $f(x)$, $G(x)$ е за $g(x)$, тогава за $f(x)+g(x)$ антипроизводното ще бъде равно на $ F(x)+G(x)$.
2. Ако $F(x)$ е първоизводна за $f(x)$ и $a$ е константа, тогава за $af(x)$ първоизводната е $aF(x)$.
3. Ако за $f(x)$ първоизводната е $F(x)$, $a$ и $b$ са константи, тогава $\frac(1)(a) F(ax+b)$ е първоизводна за $f (ax+b)$.
Използвайки получените правила, можем да разширим таблицата на антипроизводните.

Функции	антипроизводни
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Пример 5Намерете антипроизводни за:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

в) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

б) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Интегрирането е една от основните операции в математическия анализ. Таблиците на известните антипроизводни може да са полезни, но сега, след появата на системите за компютърна алгебра, те губят своето значение. По-долу е даден списък на най-често срещаните антипроизводни.

Таблица на основните интеграли

Друга компактна версия

Таблица с интеграли от тригонометрични функции

От рационални функции

От ирационални функции

Интеграли на трансцендентни функции

"C" е произволна константа на интегриране, която се определя, ако стойността на интеграла в даден момент е известна. Всяка функция има безкраен брой първоизводни.

Повечето ученици и студенти имат проблеми с изчисляването на интеграли. Тази страница съдържа таблици на интегралитеот тригонометрични, рационални, ирационални и трансцендентални функции, които ще помогнат при решаването. Таблицата с производни също ще ви помогне.

Видео - как да намерите интеграли

Ако не сте напълно наясно с тази тема, изгледайте видеото, което обяснява всичко в детайли.

Първопроизводна функция и неопределен интеграл

Факт 1. Интегрирането е обратното на диференцирането, а именно възстановяването на функция от известната производна на тази функция. Възстановената по този начин функция Е(х) е наречен примитивенза функция f(х).

Определение 1. Функция Е(х f(х) на някакъв интервал х, ако за всички стойности хот този интервал равенството Е "(х)=f(х), тоест тази функция f(х) е производната на антипроизводната функция Е(х). .

Например функцията Е(х) = грях х е първоизводната за функцията f(х) = cos х на цялата числова линия, тъй като за всяка стойност на x (грях х)" = (cos х) .

Определение 2. Неопределен интеграл на функция f(х) е колекцията от всички негови антипроизводни. Това използва нотацията

∫

f(х)dx

,

къде е табелата ∫ се нарича интегрален знак, функцията f(х) е интегрант и f(х)dx е интегрантът.

По този начин, ако Е(х) е някакво антипроизводно за f(х) , тогава

∫

f(х)dx = Е(х) +° С

където ° С - произволна константа (константа).

За да се разбере значението на множеството от първоизводни на функция като неопределен интеграл, е подходяща следната аналогия. Нека има врата (традиционна дървена врата). Функцията му е "да бъде врата". От какво е направена вратата? От дърво. Това означава, че наборът от антипроизводни на интегранта "да бъде врата", тоест неговият неопределен интеграл, е функцията "да бъде дърво + C", където C е константа, която в този контекст може да означава, за например дървесен вид. Точно както една врата е направена от дърво с някои инструменти, производната на функция е "направена" от антипроизводната функция с формула, която научихме чрез изучаване на производната .

Тогава таблицата на функциите на общите обекти и съответните им примитиви („да бъде врата“ – „да бъде дърво“, „да бъде лъжица“ – „да бъде метал“ и т.н.) е подобна на таблицата на основни неопределени интеграли, които ще бъдат дадени по-долу. Таблицата с неопределени интеграли изброява общи функции, като посочва антипроизводните, от които тези функции са "направени". Като част от задачите за намиране на неопределен интеграл са дадени такива интегранти, които могат да бъдат интегрирани директно без специални усилия, тоест според таблицата на неопределените интеграли. При по-сложни задачи интегралната функция трябва първо да се трансформира, за да могат да се използват таблични интеграли.

Факт 2. Възстановявайки функция като антипроизводна, трябва да вземем предвид произволна константа (константа) ° С, и за да не пишете списък от антипроизводни с различни константи от 1 до безкрайност, трябва да запишете набор от антипроизводни с произволна константа ° С, така: 5 х³+C. И така, произволна константа (константа) е включена в израза на антипроизводното, тъй като антипроизводното може да бъде функция, например 5 х³+4 или 5 х³+3 и при диференциране на 4 или 3 или друга константа изчезва.

Поставяме задачата за интегриране: за дадена функция f(х) намери такава функция Е(х), чиято производнае равно на f(х).

Пример 1Намерете множеството от първоизводни на функция

Решение. За тази функция антипроизводната е функцията

функция Е(х) се нарича първоизводна за функцията f(х), ако производната Е(х) е равно на f(х), или, което е същото нещо, диференциала Е(х) е равно на f(х) dx, т.е.

(2)

Следователно функцията е противопроизводна на функцията . Това обаче не е единственото антипроизводно на . Те също са функции

където ОТе произволна константа. Това може да се провери чрез диференциране.

По този начин, ако има една първоизводна за функция, тогава за нея има безкраен набор от първоизводни, които се различават с постоянно събираемо. Всички първоизводни за функция се записват в горната форма. Това следва от следната теорема.

Теорема (официално изложение на факт 2).Ако Е(х) е първоизводната за функцията f(х) на някакъв интервал х, след това всяка друга антипроизводна за f(х) на същия интервал могат да бъдат представени като Е(х) + ° С, където ОТе произволна константа.

В следващия пример вече се обръщаме към таблицата с интеграли, която ще бъде дадена в параграф 3, след свойствата на неопределения интеграл. Правим това, преди да се запознаем с цялата таблица, за да е ясна същността на горното. И след таблицата и свойствата ще ги използваме изцяло при интегрирането.

Пример 2Намерете набори от антипроизводни:

Решение. Намираме набори от антипроизводни функции, от които тези функции са "направени". Когато споменавате формули от таблицата на интегралите, засега просто приемете, че има такива формули и ще изучим изцяло таблицата на неопределените интеграли малко по-нататък.

1) Прилагайки формула (7) от таблицата на интегралите за н= 3, получаваме

2) Използвайки формула (10) от таблицата на интегралите за н= 1/3, имаме

3) Тъй като

тогава съгласно формула (7) при н= -1/4 намерете

Под знака за интеграл те не записват самата функция f, и неговото произведение от диференциала dx. Това се прави основно, за да се посочи коя променлива се търси антипроизводната. Например,

, ;

тук и в двата случая подинтегралната функция е равна на , но нейните неопределени интеграли в разглежданите случаи се оказват различни. В първия случай тази функция се разглежда като функция на променлива х, а във втория - като функция на z .

Процесът на намиране на неопределен интеграл на функция се нарича интегриране на тази функция.

Геометричният смисъл на неопределения интеграл

Нека се изисква да се намери крива y=F(x)и вече знаем, че тангенсът на наклона на допирателната във всяка от нейните точки е дадена функция f(x)абсцисата на тази точка.

Според геометричния смисъл на производната, тангенса на наклона на допирателната в дадена точка на кривата y=F(x)равна на стойността на производната F"(x). И така, трябва да намерим такава функция F(x), за което F"(x)=f(x). Задължителна функция в задачата F(x)се извлича от f(x). Условието на задачата се изпълнява не от една крива, а от семейство криви. y=F(x)- една от тези криви и всяка друга крива може да бъде получена от нея чрез паралелно преместване по оста Ой.

Нека наречем графиката на първоизводната функция на f(x)интегрална крива. Ако F"(x)=f(x), след това графиката на функцията y=F(x)е интегрална крива.

Факт 3. Неопределеният интеграл е геометрично представен от семейството на всички интегрални криви като на снимката по-долу. Разстоянието на всяка крива от началото се определя от произволна константа (константа) на интегриране ° С.

Свойства на неопределения интеграл

Факт 4. Теорема 1. Производната на неопределен интеграл е равна на интегранта, а неговият диференциал е равен на интеграла.

Факт 5. Теорема 2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция f(х) е равно на функцията f(х) до постоянен срок , т.е.

(3)

Теореми 1 и 2 показват, че диференцирането и интегрирането са взаимно обратни операции.

Факт 6. Теорема 3. Постоянният множител в интегранта може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл , т.е.

На тази страница ще намерите:

1. Всъщност таблицата на антипроизводните - може да бъде изтеглена в PDF формат и разпечатана;

2. Видео за това как да използвате тази таблица;

3. Куп примери за пресмятане на първоизводната от различни учебници и тестове.

В самото видео ще анализираме много задачи, в които се изисква изчисляване на първоизводни функции, често доста сложни, но най-важното е, че не са степенни. Всички функции, обобщени в предложената по-горе таблица, трябва да се знаят наизуст, като производни. Без тях е невъзможно по-нататъшното изучаване на интегралите и приложението им за решаване на практически задачи.

Днес продължаваме да се занимаваме с примитиви и преминаваме към малко по-сложна тема. Ако миналия път разглеждахме първоизводни само от степенни функции и малко по-сложни структури, днес ще анализираме тригонометрията и много повече.

Както казах в последния урок, противопроизводните, за разлика от производните, никога не се решават „на празно“ с помощта на стандартни правила. Освен това лошата новина е, че за разлика от производното, антипроизводното може изобщо да не се разглежда. Ако напишем напълно произволна функция и се опитаме да намерим нейната производна, тогава ще успеем с много голяма вероятност, но антипроизводната почти никога няма да бъде изчислена в този случай. Но има и добра новина: има доста голям клас функции, наречени елементарни функции, чиито първоизводни са много лесни за изчисляване. И всички други по-сложни конструкции, които се дават на различни контролни, самостоятелни и изпити, всъщност са изградени от тези елементарни функции чрез събиране, изваждане и други прости действия. Първопроизводните на такива функции отдавна са изчислени и обобщени в специални таблици. Именно с такива функции и таблици ще работим днес.

Но ще започнем, както винаги, с повторение: припомнете си какво е антипроизводно, защо има безкраен брой от тях и как да определите общата им форма. За да направя това, избрах две прости задачи.

Решаване на лесни примери

Пример #1

Обърнете внимание веднага, че $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ и наличието на $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ веднага ни подсказва, че търсената първоизводна на функцията е свързана с тригонометрията. И наистина, ако погледнем таблицата, ще открием, че $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ не е нищо друго освен $\text(arctg)x$. Така че нека напишем:

За да намерите, трябва да напишете следното:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Пример #2

Тук също говорим за тригонометрични функции. Ако погледнем таблицата, тогава наистина ще се окаже така:

Трябва да намерим сред целия набор от антипроизводни този, който минава през определената точка:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Нека най-накрая го запишем:

Толкова е просто. Единственият проблем е, че за да преброите първоизводните на простите функции, трябва да научите таблицата на първоизводните. Въпреки това, след като научих таблицата с производни за вас, предполагам, че това няма да е проблем.

Решаване на задачи, съдържащи експоненциална функция

Нека започнем, като напишем следните формули:

\[((e)^(x))\до ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\до \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Нека да видим как работи всичко това на практика.

Пример #1

Ако погледнем съдържанието на скобите, ще забележим, че в таблицата на антипроизводните няма такъв израз, че $((e)^(x))$ е в квадрат, така че този квадрат трябва да бъде отворен. За целта използваме съкратените формули за умножение:

Нека намерим противопроизводното за всеки от термините:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\до \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

И сега събираме всички термини в един израз и получаваме обща антипроизводна:

Пример #2

Този път показателят вече е по-голям, така че формулата за съкратено умножение ще бъде доста сложна. Нека разширим скобите:

Сега нека се опитаме да вземем антипроизводната на нашата формула от тази конструкция:

Както можете да видите, няма нищо сложно и свръхестествено в антипроизводните на експоненциалната функция. Всички се изчисляват чрез таблици, но внимателните студенти със сигурност ще забележат, че първоизводната $((e)^(2x))$ е много по-близо до просто $((e)^(x))$, отколкото до $((a )^(x ))$. И така, може би има някакво по-специално правило, което позволява, знаейки първоизводната $((e)^(x))$, да намерим $((e)^(2x))$? Да, има такова правило. И освен това е неразделна част от работата с таблицата на антипроизводните. Сега ще го анализираме, използвайки същите изрази, с които току-що работихме като пример.

Правила за работа с таблицата на първоизводните

Нека пренапишем нашата функция:

В предишния случай използвахме следната формула за решаване:

\[((a)^(x))\до \frac(((a)^(x)))(\име на оператор(lna))\]

Но сега нека направим нещо различно: припомнете си на какво основание $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Както вече беше казано, тъй като производната на $((e)^(x))$ не е нищо друго освен $((e)^(x))$, така че нейната антипроизводна ще бъде равна на същото $((e) ^( x))$. Но проблемът е, че имаме $((e)^(2x))$ и $((e)^(-2x))$. Сега нека се опитаме да намерим производната $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Нека пренапишем нашата конструкция отново:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

И това означава, че когато намираме първоизводната $((e)^(2x))$, получаваме следното:

\[((e)^(2x))\до \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Както можете да видите, получихме същия резултат като преди, но не използвахме формулата, за да намерим $((a)^(x))$. Сега това може да изглежда глупаво: защо да усложняваме изчисленията, когато има стандартна формула? При малко по-сложни изрази обаче ще видите, че тази техника е много ефективна, т.е. използване на производни за намиране на антипроизводни.

Нека като загрявка намерим първоизводната на $((e)^(2x))$ по подобен начин:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

При изчисляване нашата конструкция ще бъде написана, както следва:

\[((e)^(-2x))\до -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\до -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Получихме абсолютно същия резултат, но тръгнахме в обратната посока. Именно този начин, който сега ни изглежда малко по-сложен, в бъдеще ще бъде по-ефективен за изчисляване на по-сложни първоизводни и използване на таблици.

Забележка! Това е много важен момент: антипроизводните, подобно на производните, могат да бъдат преброени по много различни начини. Ако обаче всички изчисления и изчисления са равни, тогава отговорът ще бъде същият. Току-що видяхме това в примера на $((e)^(-2x))$ - от една страна, изчислихме тази антипроизводна „навсякъде“, използвайки дефиницията и я изчислявайки с помощта на трансформации, от от друга страна, ние си спомнихме, че $ ((e)^(-2x))$ може да бъде представено като $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ и след това използвайте първоизводната за функцията $( (a)^(x))$. Въпреки това, след всички трансформации, резултатът е същият, както се очакваше.

И сега, когато разбираме всичко това, е време да преминем към нещо по-съществено. Сега ще анализираме две прости конструкции, но техниката, която ще бъде заложена при решаването им, е по-мощен и полезен инструмент от обикновеното „бягане“ между съседни антипроизводни от таблицата.

Решаване на задача: намиране на първоизводната на функция

Пример #1

Дайте сумата, която е в числителите, разделете на три отделни дроби:

Това е доста естествен и разбираем преход - повечето ученици нямат проблеми с него. Нека пренапишем нашия израз, както следва:

Сега нека си припомним тази формула:

В нашия случай ще получим следното:

За да се отървете от всички тези триетажни фракции, предлагам да направите следното:

Пример #2

За разлика от предишната дроб, знаменателят не е продуктът, а сумата. В този случай вече не можем да разделим нашата дроб на сумата от няколко прости дроби, но трябва по някакъв начин да се опитаме да се уверим, че числителят съдържа приблизително същия израз като знаменателя. В този случай е доста лесно да се направи:

Такава нотация, която на езика на математиката се нарича "добавяне на нула", ще ни позволи отново да разделим фракцията на две части:

Сега нека намерим това, което търсихме:

Това са всички изчисления. Въпреки привидната по-голяма сложност, отколкото в предишния проблем, количеството изчисления се оказа още по-малко.

Нюанси на решението

И тук е основната трудност при работата с таблични примитиви, това е особено забележимо във втората задача. Факт е, че за да изберем някои елементи, които лесно се преброяват чрез таблицата, трябва да знаем какво точно търсим и именно в търсенето на тези елементи се състои цялото изчисляване на антипроизводните.

С други думи, не е достатъчно просто да запомните таблицата на антипроизводните - трябва да можете да видите нещо, което все още не е там, но какво са имали предвид авторът и компилаторът на този проблем. Ето защо много математици, учители и професори непрекъснато спорят: „Какво е да вземеш антипроизводни или интеграция - това просто инструмент ли е или е истинско изкуство?“ Всъщност лично според мен интеграцията не е никакво изкуство – в нея няма нищо възвишено, просто е практика и пак практика. И за да се упражним, нека решим още три по-сериозни примера.

Практикувайте интеграция на практика

Задача №1

Нека напишем следните формули:

\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\до \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\до \text(arctg)x\]

Нека напишем следното:

Задача №2

Нека го пренапишем по следния начин:

Общият антипроизводен ще бъде равен на:

Задача №3

Сложността на тази задача се състои в това, че за разлика от предишните функции, няма променлива $x$ по-горе, т.е. не ни е ясно какво да добавяме, изваждаме, за да получим поне нещо подобно на това, което е по-долу. Въпреки това, всъщност този израз се счита за дори по-прост от всеки израз от предишните конструкции, тъй като тази функция може да бъде пренаписана, както следва:

Сега може да попитате: защо тези функции са равни? Да проверим:

Нека пренапишем отново:

Нека променим малко израза си:

И когато обяснявам всичко това на моите студенти, почти винаги възниква един и същ проблем: с първата функция всичко е повече или по-малко ясно, с втората можете също да го разберете с късмет или практика, но какъв вид алтернативно съзнание правят трябва да имате, за да решите третия пример? Всъщност не се плашете. Техниката, която използвахме при изчисляването на последната първоизводна, се нарича "разлагане на функция на най-проста" и това е много сериозна техника и на нея ще бъде посветен отделен видео урок.

Междувременно предлагам да се върнем към това, което току-що изучавахме, а именно към експоненциалните функции и донякъде да усложним задачите с тяхното съдържание.

По-сложни задачи за решаване на първообразни експоненциални функции

Задача №1

Обърнете внимание на следното:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

За да намерите антипроизводното на този израз, просто използвайте стандартната формула $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

В нашия случай примитивът ще бъде така:

Разбира се, на фона на конструкцията, която току-що решихме, тази изглежда по-проста.

Задача №2

Отново е лесно да се види, че тази функция е лесно да се раздели на два отделни члена - две отделни дроби. Нека пренапишем:

Остава да се намери антипроизводното на всеки от тези термини според горната формула:

Въпреки очевидно по-голямата сложност на експоненциалните функции в сравнение със степенните функции, общото количество изчисления и изчисления се оказа много по-просто.

Разбира се, за знаещите ученици това, с което току-що се занимавахме (особено на фона на това, с което сме се занимавали преди), може да изглежда елементарни изрази. Въпреки това, избирайки тези две задачи за днешния видео урок, не си поставих за цел да ви разкажа още един сложен и хитър трик - всичко, което исках да ви покажа е, че не трябва да се страхувате да използвате стандартни алгебрични трикове, за да трансформирате оригиналните функции .

Използване на "тайната" техника

В заключение бих искал да анализирам още една интересна техника, която, от една страна, надхвърля това, което основно анализирахме днес, но, от друга страна, тя, първо, в никакъв случай не е сложна, т.е. дори начинаещите ученици могат да го овладеят, и, второ, доста често се среща във всички видове контролни и самостоятелни работи, т.е. познаването му ще бъде много полезно в допълнение към познаването на таблицата на антипроизводните.

Задача №1

Очевидно имаме нещо много подобно на степенна функция. Как да процедираме в този случай? Нека помислим за това: $x-5$ се различава от $x$ не толкова много - просто добави $-5$. Нека го напишем така:

\[((x)^(4))\до \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Нека се опитаме да намерим производната на $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Това предполага:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ надясно))^(\prime ))\]

В таблицата няма такава стойност, така че сега сме извели тази формула сами, като използваме стандартната формула за производна за степенна функция. Нека напишем отговора така:

Задача №2

За много студенти, които разглеждат първото решение, може да изглежда, че всичко е много просто: достатъчно е да замените $x$ в степенната функция с линеен израз и всичко ще си дойде на мястото. За съжаление, всичко не е толкова просто и сега ще видим това.

По аналогия с първия израз записваме следното:

\[((x)^(9))\до \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Връщайки се към нашата производна, можем да напишем:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

От тук веднага следва:

Нюанси на решението

Моля, обърнете внимание: ако последния път нищо не се промени по същество, тогава във втория случай се появи $-30$ вместо $-10$. Каква е разликата между $-10$ и $-30$? Очевидно с коефициент $-3$. Въпрос: откъде идва? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че е взето в резултат на изчисляване на производната на сложна функция - коефициентът, който стои на $x$, се появява в антипроизводната по-долу. Това е много важно правило, което първоначално изобщо не планирах да анализирам в днешния видео урок, но без него представянето на табличните първоизводни би било непълно.

Така че нека го направим отново. Нека да бъде нашата основна мощностна функция:

\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

А сега вместо $x$ нека заместим израза $kx+b$. Какво ще стане тогава? Трябва да намерим следното:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

На какво основание твърдим това? Много просто. Нека намерим производната на конструкцията, написана по-горе:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Това е същият израз, който беше първоначално. Следователно тази формула също е правилна и може да се използва за допълване на таблицата с антипроизводни, но е по-добре просто да запомните цялата таблица.

Изводи от "тайната: прием:

• И двете функции, които току-що разгледахме, всъщност могат да бъдат сведени до противопроизводните, посочени в таблицата, чрез отваряне на степени, но ако повече или по-малко можем да се справим по някакъв начин с четвъртата степен, тогава изобщо не бих направил деветата степен се осмели да разкрие.
• Ако трябваше да отворим степените, тогава ще получим такъв обем изчисления, че една проста задача ще ни отнеме недостатъчно време.
• Ето защо такива задачи, вътре в които има линейни изрази, не е необходимо да се решават "на празно". Веднага щом срещнете антипроизводна, която се различава от тази в таблицата само с наличието на израза $kx+b$ вътре, веднага си спомнете формулата, написана по-горе, заменете я във вашата таблична първоизводна и всичко ще се окаже много по-бързо и по-лесно.

Естествено, поради сложността и сериозността на тази техника, ние многократно ще се връщаме към нейното разглеждане в бъдещи видео уроци, но за днес имам всичко. Надявам се, че този урок наистина ще помогне на учениците, които искат да разберат антипроизводните и интеграцията.

Определение 1

Производната $F(x)$ за функцията $y=f(x)$ на отсечката $$ е функция, която е диференцируема във всяка точка от тази отсечка и за нейната производна е в сила следното равенство:

Определение 2

Множеството от всички първоизводни на дадена функция $y=f(x)$, дефинирани на някакъв сегмент, се нарича неопределен интеграл на дадената функция $y=f(x)$. Неопределеният интеграл се обозначава със символа $\int f(x)dx $.

От таблицата на производните и Определение 2, получаваме таблица на основните интеграли.

Пример 1

Проверете валидността на формула 7 от таблицата на интегралите:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Нека разграничим дясната страна: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Пример 2

Проверете валидността на формула 8 от таблицата на интегралите:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 3

Проверете валидността на формула 11" от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Разграничете дясната страна: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 4

Проверете валидността на формула 12 от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Производната е равна на интегранта. Следователно формулата е правилна.

Пример 5

Проверете валидността на формула 13 "от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 6

Проверете валидността на формула 14 от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 7

Намерете интеграла:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Нека използваме теоремата за сумарния интеграл:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Нека използваме теоремата за изваждане на постоянния фактор от интегралния знак:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Според таблицата на интегралите:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Когато изчисляваме първия интеграл, използваме правило 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Следователно,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]