Формулировка на Питагоровата теорема за Питагоровите триъгълници. Различни начини за доказване на Питагоровата теорема

Шаповалова Л.А. (станция Egorlykskaya, MBOU ESOSH № 11)

1. Глейзър Г.И. История на математиката в училище VII - VIII клас, ръководство за учители, - М: Образование, 1982.

2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. "Зад страниците на учебника по математика" Помагало за ученици 5-6 клас. – М.: Просвещение, 1989.

3. Зенкевич И.Г. „Естетика на урока по математика”. – М.: Просвещение, 1981.

4. Лицман В. Питагоровата теорема. - М., 1960.

5. Волошинов А.В. "Питагор". - М., 1993.

6. Пичурин Л.Ф. „Отвъд страниците на учебник по алгебра“. - М., 1990.

7. Земляков A.N. "Геометрия в 10 клас." - М., 1986.

8. Вестник "Математика" 17/1996г.

9. Вестник "Математика" 3/1997г.

10. Антонов Н.П., Выгодски М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. „Сборник задачи по начална математика”. - М., 1963.

11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. „Наръчник по математика”. - М., 1973.

12. Щетников А.И. „Учението на Питагор за числото и величината“. - Новосибирск, 1997.

13. „Реални числа. Ирационални изрази» 8 клас. Tomsk University Press. – Томск, 1997 г.

14. Атанасян М.С. "Геометрия" 7-9 клас. – М.: Просвещение, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Тази учебна година се запознах с една интересна теорема, известна, както се оказа, от древни времена:

„Квадратът, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сумата от квадратите, построени върху катетите.“

Обикновено откриването на това твърдение се приписва на древногръцкия философ и математик Питагор (VI век пр.н.е.). Но изследването на древни ръкописи показа, че това твърдение е известно много преди раждането на Питагор.

Чудех се защо в този случай се свързва с името на Питагор.

Уместност на темата: Теоремата на Питагор е от голямо значение: тя се използва в геометрията буквално на всяка стъпка. Вярвам, че произведенията на Питагор са все още актуални, защото където и да погледнем, навсякъде можем да видим плодовете на неговите велики идеи, въплътени в различни отрасли на съвременния живот.

Целта на моето изследване беше: да разбера кой е бил Питагор и какво отношение има той към тази теорема.

Изучавайки историята на теоремата, реших да разбера:

Има ли други доказателства за тази теорема?

Какво е значението на тази теорема в живота на хората?

Каква е ролята на Питагор в развитието на математиката?

От биографията на Питагор

Питагор от Самос е велик гръцки учен. Славата му се свързва с името на Питагоровата теорема. Въпреки че вече знаем, че тази теорема е била известна в древен Вавилон 1200 години преди Питагор, а в Египет 2000 години преди него е бил известен правоъгълен триъгълник със страни 3, 4, 5, ние все още я наричаме с името на тази древна учен.

Почти нищо не се знае със сигурност за живота на Питагор, но голям брой легенди са свързани с името му.

Питагор е роден през 570 г. пр.н.е. на остров Самос.

Питагор имаше красив външен вид, носеше дълга брада и златна диадема на главата си. Питагор не е име, а прякор, който философът получава за това, че винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - "убедителна реч").

През 550 г. пр. н. е. Питагор взема решение и отива в Египет. И така, непозната страна и непозната култура се отварят пред Питагор. Много изумен и изненадан Питагор в тази страна и след някои наблюдения върху живота на египтяните, Питагор осъзнава, че пътят към знанието, защитен от кастата на свещениците, лежи през религията.

След единадесет години обучение в Египет, Питагор отива в родината си, където по пътя попада във вавилонски плен. Там той се запознава с вавилонската наука, която е по-развита от египетската. Вавилонците знаели как да решават линейни, квадратни и някои видове кубични уравнения. След като избяга от плен, той не можа да остане дълго в родината си поради атмосферата на насилие и тирания, която цареше там. Той решава да се премести в Кротон (гръцка колония в Северна Италия).

Именно в Кротон започва най-славният период в живота на Питагор. Там той основал нещо като религиозно-етично братство или таен монашески орден, чиито членове били задължени да водят т. нар. Питагорейски начин на живот.

Питагор и питагорейците

Питагор организира в гръцката колония в южната част на Апенинския полуостров религиозно и етично братство, като монашески орден, който по-късно ще бъде наречен Питагорейски съюз. Членовете на съюза трябваше да се придържат към определени принципи: първо, да се стремят към красивото и славното, второ, да бъдат полезни и трето, да се стремят към високо удоволствие.

Системата от морални и етични правила, завещана от Питагор на неговите ученици, е съставена в своеобразен морален кодекс на питагорейците "Златни стихове", които са били много популярни в епохата на Античността, Средновековието и Ренесанса.

Питагорейската система от изследвания се състои от три раздела:

Учение за числата - аритметика,

Учение за фигурите - геометрия,

Учения за устройството на Вселената - астрономия.

Образователната система, създадена от Питагор, е продължила много векове.

Школата на Питагор направи много, за да придаде на геометрията характер на наука. Основната характеристика на метода на Питагор беше комбинацията от геометрия и аритметика.

Питагор се е занимавал много с пропорциите и прогресиите и вероятно с приликата на фигурите, тъй като на него се приписва решаването на проблема: „Въз основа на дадените две фигури постройте трета, равна по размер на една от данните и подобна на секундата."

Питагор и неговите ученици въвеждат концепцията за многоъгълни, приятелски съвършени числа и изучават техните свойства. Аритметиката, като практика на изчисление, не интересуваше Питагор и той гордо заявява, че „поставя аритметиката над интересите на търговеца“.

Членове на Питагорейския съюз бяха жители на много градове в Гърция.

Питагорейците също приемат жените в своето общество. Съюзът процъфтява повече от двадесет години, а след това започва преследването на неговите членове, много от студентите са убити.

Имаше много различни легенди за смъртта на самия Питагор. Но учението на Питагор и неговите ученици продължи да живее.

Из историята на създаването на Питагоровата теорема

Понастоящем е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Въпреки това, някои смятат, че Питагор е първият, който е дал пълното му доказателство, докато други му отричат тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Елементи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите се дължи на самия Евклид. Както виждаме, историята на математиката почти няма достоверни конкретни данни за живота на Питагор и неговата математическа дейност.

Нека започнем нашия исторически преглед на Питагоровата теорема с древен Китай. Тук специално внимание привлича математическата книга на Чу-Пей. В това есе се казва следното за Питагоровия триъгълник със страни 3, 4 и 5:

„Ако прав ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3 и височината е 4.“

Геометрията при индусите е тясно свързана с култа. Много е вероятно теоремата за квадрат на хипотенузата да е била известна в Индия около 8 век пр. н. е. Наред с чисто ритуалните предписания се срещат произведения с геометрично богословски характер. В тези писания, датиращи от 4-ти или 5-ти век пр. н. е., се срещаме с изграждането на прав ъгъл с помощта на триъгълник със страни 15, 36, 39.

През Средновековието Питагоровата теорема определя границата, ако не на възможно най-голямото, то поне на доброто математическо познание. Характерната рисунка на Питагоровата теорема, която сега понякога се превръща от ученици, например в цилиндър, облечен в мантия на професор или мъж, често се използва в онези дни като символ на математиката.

В заключение представяме различни формулировки на Питагоровата теорема, преведени от гръцки, латински и немски.

Теоремата на Евклид гласи (буквален превод):

„В правоъгълен триъгълник квадратът на страната, обхващаща правия ъгъл, е равен на квадратите на страните, които ограждат правия ъгъл.“

Както можете да видите, в различни страни и различни езици има различни версии на формулировката на познатата теорема. Създадени по различно време и на различни езици, те отразяват същността на един математически модел, чието доказателство също има няколко варианта.

Пет начина за доказване на Питагоровата теорема

древно китайско доказателство

В древен китайски чертеж четири равни правоъгълни триъгълника с катети a, b и хипотенуза c са подредени така, че външният им контур да образува квадрат със страна a + b, а вътрешният - квадрат със страна c, изграден върху хипотенуза

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказателство от J. Gardfield (1882)

Нека подредим два еднакви правоъгълни триъгълника така, че катетът на единия да е продължение на другия.

Площта на разглеждания трапец се намира като произведение на половината от сумата на основите и височината

От друга страна, площта на трапеца е равна на сумата от площите на получените триъгълници:

Приравнявайки тези изрази, получаваме:

Доказателството е просто

Това доказателство се получава в най-простия случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Вероятно теоремата започва с него.

Наистина, достатъчно е просто да погледнете подреждането на равнобедрените правоъгълни триъгълници, за да видите, че теоремата е вярна.

Например за триъгълника ABC: квадратът, построен върху хипотенузата AC, съдържа 4 начални триъгълника, а квадратите, построени върху катетите, съдържат два. Теоремата е доказана.

Доказателство за древните индуси

Квадрат със страна (a + b) може да бъде разделен на части както на фиг. 12. а, или както на фиг. 12б. Ясно е, че части 1, 2, 3, 4 са еднакви и на двете фигури. И ако равните се извадят от равните (площи), тогава равните ще останат, т.е. c2 = a2 + b2.

Доказателството на Евклид

В продължение на две хилядолетия най-често срещаното е доказателството на Питагоровата теорема, изобретена от Евклид. То е поставено в известната му книга „Начала”.

Евклид свали височината BH от върха на правия ъгъл до хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя квадрата, завършен върху хипотенузата, на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху краката.

Чертежът, използван в доказателството на тази теорема, се нарича шеговито "Питагорови панталони". Дълго време той е смятан за един от символите на математическата наука.

Приложение на Питагоровата теорема

Значението на Питагоровата теорема се състои в това, че от нея или с нейна помощ могат да се изведат повечето теореми на геометрията и да се решат много проблеми. В допълнение, практическото значение на Питагоровата теорема и нейната обратна теорема е, че те могат да се използват за намиране на дължините на сегменти, без да се измерват самите сегменти. Това, така да се каже, отваря пътя от права линия към равнина, от равнина към обемно пространство и отвъд. Именно поради тази причина Питагоровата теорема е толкова важна за човечеството, което се стреми да открие повече измерения и да създаде технологии в тези измерения.

Заключение

Теоремата на Питагор е толкова известна, че е трудно да си представим човек, който не е чувал за нея. Научих, че има няколко начина за доказване на Питагоровата теорема. Проучих редица исторически и математически източници, включително информация в Интернет, и разбрах, че Питагоровата теорема е интересна не само с историята си, но и защото заема важно място в живота и науката. Това се доказва от различните интерпретации на текста на тази теорема, дадени от мен в тази статия и начините за нейните доказателства.

И така, теоремата на Питагор е една от основните и, може да се каже, най-важната теорема на геометрията. Значението му се състои в това, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат изведени от него или с негова помощ. Питагоровата теорема е забележителна и с това, че сама по себе си изобщо не е очевидна. Например, свойствата на равнобедрен триъгълник могат да се видят директно на чертежа. Но колкото и да гледате правоъгълен триъгълник, никога няма да видите, че има проста връзка между страните му: c2 = a2 + b2. Затова визуализацията често се използва за доказване. Заслугата на Питагор беше, че той даде пълно научно доказателство на тази теорема. Интересна е личността на самия учен, чиято памет неслучайно се пази от тази теорема. Питагор е прекрасен оратор, учител и възпитател, организатор на своето училище, фокусирано върху хармонията на музиката и числата, доброто и справедливостта, знанието и здравословния начин на живот. Той може да служи като пример за нас, далечните потомци.

Библиографска връзка

Туманова С.В. НЯКОЛКО НАЧИНА ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА // Начало в науката. - 2016. - № 2. - С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата на достъп: 06.04.2019 г.).

Потенциалът за творчество обикновено се приписва на хуманитарните науки, оставяйки естествения научен анализ, практическия подход и сухия език на формули и числа. Математиката не може да се класифицира като хуманитарен предмет. Но без творчество в "кралицата на всички науки" няма да стигнете далеч - хората знаят за това отдавна. От времето на Питагор например.

Училищните учебници, за съжаление, обикновено не обясняват, че в математиката е важно не само да се тъпчат с теореми, аксиоми и формули. Важно е да разберете и почувствате основните му принципи. И в същото време се опитайте да освободите ума си от клишетата и елементарните истини – само в такива условия се раждат всички велики открития.

Такива открития включват това, което днес познаваме като Питагоровата теорема. С негова помощ ще се опитаме да покажем, че математиката не само може, но и трябва да бъде забавна. И че това приключение е подходящо не само за маниаци с дебели очила, но и за всички, които са силни умом и духом.

Из историята на проблема

Строго погледнато, въпреки че теоремата се нарича "Питагоровата теорема", самият Питагор не я е открил. Правоъгълният триъгълник и неговите специални свойства са били изучавани много преди него. Има две полярни гледни точки по този въпрос. Според една от версиите Питагор е първият, който намира пълно доказателство на теоремата. Според друга доказателството не принадлежи на авторството на Питагор.

Днес вече не можете да проверите кой е прав и кой крив. Известно е само, че доказателството на Питагор, ако изобщо е съществувало, не е оцеляло. Въпреки това има предположения, че известното доказателство от Елементите на Евклид може да принадлежи на Питагор, а Евклид само го е записал.

Днес също така е известно, че проблемите за правоъгълен триъгълник се намират в египетски източници от времето на фараон Аменемхет I, върху вавилонски глинени плочки от управлението на цар Хамурапи, в древния индийски трактат Сулва сутра и древния китайски труд Джоу -би суан джин.

Както можете да видите, Питагоровата теорема е занимавала умовете на математиците от древни времена. Приблизително 367 различни доказателства, които съществуват днес, служат като потвърждение. Никоя друга теорема не може да се конкурира с нея в това отношение. Известни автори на доказателства включват Леонардо да Винчи и 20-ия президент на Съединените щати Джеймс Гарфийлд. Всичко това говори за изключителното значение на тази теорема за математиката: повечето от теоремите на геометрията произлизат от нея или по един или друг начин са свързани с нея.

Доказателства на Питагоровата теорема

Училищните учебници дават предимно алгебрични доказателства. Но същността на теоремата е в геометрията, така че нека първо да разгледаме онези доказателства на известната теорема, които се основават на тази наука.

доказателство 1

За най-простото доказателство на Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник трябва да зададете идеални условия: нека триъгълникът да бъде не само правоъгълен, но и равнобедрен. Има причина да се смята, че именно такъв триъгълник първоначално е бил разглеждан от древните математици.

Изявление "квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сбора от квадратите, построени върху неговите катети"може да се илюстрира със следния чертеж:

Погледнете равнобедрения правоъгълен триъгълник ABC: Върху хипотенузата AC можете да построите квадрат, състоящ се от четири триъгълника, равни на оригиналния ABC. И на краката AB и BC, построени върху квадрат, всеки от които съдържа два подобни триъгълника.

Между другото, тази рисунка е в основата на множество анекдоти и карикатури, посветени на теоремата на Питагор. Може би най-известният е "Питагоровите панталони са равни във всички посоки":

Доказателство 2

Този метод съчетава алгебра и геометрия и може да се разглежда като вариант на древноиндийското доказателство на математика Бхаскари.

Построете правоъгълен триъгълник със страни a, b и c(Фиг. 1). След това изградете два квадрата със страни, равни на сумата от дължините на двата крака - (a+b). Във всеки от квадратите направете конструкции, както на фигури 2 и 3.

В първия квадрат изградете четири от същите триъгълници като на фигура 1. В резултат на това се получават два квадрата: един със страна a, вторият със страна b.

Във втория квадрат построените четири подобни триъгълника образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата ° С.

Сумата от площите на построените квадрати на фиг. 2 е равна на площта на квадрата, който построихме със страна c на фиг. 3. Това може лесно да се провери чрез изчисляване на площите на квадратите на фиг. 2 по формулата. И площта на вписания квадрат на Фигура 3. чрез изваждане на площите на четири равни правоъгълни триъгълника, вписани в квадрата, от площта на голям квадрат със страна (a+b).

Записвайки всичко това, имаме: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Разгънете скобите, направете всички необходими алгебрични изчисления и получете това a 2 + b 2 = a 2 + b 2. В същото време площта на вписаната на фиг.3. квадрат може да се изчисли и по традиционната формула S=c2. Тези. a2+b2=c2Вие доказахте Питагоровата теорема.

Доказателство 3

Същото древноиндийско доказателство е описано през 12-ти век в трактата „Венецът на знанието“ („Siddhanta Shiromani“), а като основен аргумент авторът използва апел, отправен към математическите таланти и способностите за наблюдение на учениците и последователи: “Виж!”.

Но ние ще анализираме това доказателство по-подробно:

Вътре в квадрата изградете четири правоъгълни триъгълника, както е показано на чертежа. Означена е страната на големия квадрат, която е и хипотенузата с. Нека наречем краката на триъгълника аи b. Според чертежа страната на вътрешния квадрат е (a-b).

Използвайте формулата за квадратна площ S=c2за изчисляване на площта на външния квадрат. И в същото време изчислете същата стойност, като добавите площта на вътрешния квадрат и площта на всичките четири правоъгълни триъгълника: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Можете да използвате и двете опции, за да изчислите площта на квадрат, за да сте сигурни, че дават същия резултат. И това ви дава правото да го запишете c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В резултат на решението ще получите формулата на Питагоровата теорема c2=a2+b2. Теоремата е доказана.

Доказателство 4

Това любопитно древно китайско доказателство е наречено "Столът на булката" - заради подобната на стол фигура, която е резултат от всички конструкции:

Той използва чертежа, който вече видяхме на фигура 3 във второто доказателство. И вътрешният квадрат със страна c е конструиран по същия начин, както в древноиндийското доказателство, дадено по-горе.

Ако мислено отрежете два зелени правоъгълни триъгълника от чертежа на фиг. 1, преместите ги в противоположните страни на квадрата със страна c и прикрепите хипотенузите към хипотенузите на люляковите триъгълници, ще получите фигура, наречена „стол на булката“ ” (фиг. 2). За по-голяма яснота можете да направите същото с хартиени квадрати и триъгълници. Ще видите, че "столът на булката" е оформен от два квадрата: малки със страна bи голяма със страна а.

Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и на нас след тях да стигнем до извода, че c2=a2+b2.

Доказателство 5

Това е друг начин да се намери решение на Питагоровата теорема въз основа на геометрията. Нарича се метод Гарфийлд.

Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да го докажем BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

За да направите това, продължете крака ACи изградете сегмент CD, което е равно на крака AB. Долен перпендикуляр ADлинейна отсечка ЕД. Сегменти ЕДи ACса равни. Свържи точките ди AT, както и ди ОТи вземете чертеж като снимката по-долу:

За да докажем кулата, отново прибягваме до метода, който вече сме тествали: намираме площта на получената фигура по два начина и приравняваме изразите един към друг.

Намерете площта на многоъгълник ЛЕГЛОможе да се направи чрез добавяне на площите на трите триъгълника, които го образуват. И един от тях ERU, е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Нека също не забравяме това AB=CD, AC=EDи BC=CE- това ще ни позволи да опростим записа и да не го претоварваме. Така, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

В същото време е очевидно, че ЛЕГЛОе трапец. Следователно изчисляваме неговата площ по формулата: SABED=(DE+AB)*1/2AD. За нашите изчисления е по-удобно и по-ясно да представим сегмента ADкато сбор от отсечките ACи CD.

Нека запишем и двата начина за изчисляване на площта на фигура, като поставим знак за равенство между тях: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ние използваме равенството на сегментите, което вече ни е известно и описано по-горе, за да опростим дясната страна на нотацията: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. И сега отваряме скобите и трансформираме равенството: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. След като завършим всички трансформации, получаваме точно това, от което се нуждаем: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Доказахме теоремата.

Разбира се, този списък с доказателства далеч не е пълен. Теоремата на Питагор може да бъде доказана и с помощта на вектори, комплексни числа, диференциални уравнения, стереометрия и др. И дори физиците: ако например течността се излее в квадратни и триъгълни обеми, подобни на тези, показани на чертежите. Чрез изливане на течност е възможно да се докаже равенството на площите и самата теорема като резултат.

Няколко думи за Питагоровите тройки

Този въпрос е малко или не се изучава в училищната програма. Междувременно е много интересно и е от голямо значение в геометрията. Питагоровите тройки се използват за решаване на много математически задачи. Идеята за тях може да ви бъде полезна в по-нататъшното обучение.

И така, какво представляват Питагоровите тройки? Така се наричат естествени числа, събрани по три, сумата от квадратите на две от които е равна на третото число на квадрат.

Питагоровите тройки могат да бъдат:

примитивни (и трите числа са относително прости);
непримитивни (ако всяко число от тройка се умножи по едно и също число, получавате нова тройка, която не е примитивна).

Още преди нашата ера древните египтяни били очаровани от манията по числата на питагорейските тройки: в задачите те разглеждали правоъгълен триъгълник със страни 3,4 и 5 единици. Между другото, всеки триъгълник, чиито страни са равни на числата от тройката на Питагор, по подразбиране е правоъгълен.

Примери за питагорови тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.н.

Практическо приложение на теоремата

Теоремата на Питагор намира приложение не само в математиката, но и в архитектурата и строителството, астрономията и дори литературата.

Първо, за конструкцията: теоремата на Питагор се използва широко в нея в проблеми с различни нива на сложност. Например, погледнете романския прозорец:

Нека обозначим ширината на прозореца като b, тогава радиусът на големия полукръг може да се означи като Ри изразете чрез b: R=b/2. Радиусът на по-малките полуокръжности също може да бъде изразен чрез b: r=b/4. В този проблем се интересуваме от радиуса на вътрешния кръг на прозореца (да го наречем стр).

Теоремата на Питагор просто е полезна за изчисляване Р. За да направим това, използваме правоъгълен триъгълник, който е обозначен с пунктирана линия на фигурата. Хипотенузата на триъгълник се състои от два радиуса: b/4+p. Единият катет е радиус б/4, друг b/2-p. Използвайки Питагоровата теорема, пишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. След това отваряме скобите и получаваме b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Нека трансформираме този израз в bp/2=b 2 /4-bp. И след това разделяме всички термини на b, даваме подобни за получаване 3/2*p=b/4. И в крайна сметка намираме това p=b/6- което ни трябваше.

Използвайки теоремата, можете да изчислите дължината на гредите за двускатен покрив. Определете колко висока мобилна кула е необходима, за да достигне сигналът до определено населено място. И дори стабилно инсталирайте коледно дърво на градския площад. Както можете да видите, тази теорема живее не само на страниците на учебниците, но често е полезна в реалния живот.

Що се отнася до литературата, Питагоровата теорема е вдъхновявала писатели от древността и продължава да го прави и днес. Например немският писател от деветнадесети век Аделберт фон Шамисо е вдъхновен от нея да напише сонет:

Светлината на истината няма скоро да се разсее,
Но след като блесна, едва ли ще се разсее
И както преди хиляди години,
Няма да предизвика съмнения и спорове.

Най-мъдрият, когато докосне окото
Светлина на истината, слава на боговете;
И сто бика, намушкани, лъжат -
Обратният подарък на щастливия Питагор.

Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги възбуди племето на биковете
събитие, споменато тук.

Те смятат, че е време
И отново ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.

(превод Виктор Топоров)

А през ХХ век съветският писател Евгений Велтистов в книгата си „Приключенията на електрониката” посвети цяла глава на доказателствата на Питагоровата теорема. И половин глава от историята за двуизмерния свят, който би могъл да съществува, ако Питагоровата теорема стане основен закон и дори религия за един свят. Би било много по-лесно да се живее в него, но и много по-скучно: например там никой не разбира значението на думите „кръгъл“ и „пухкав“.

А в книгата „Приключенията на електрониката” авторът, през устата на учителя по математика Таратара, казва: „Основното в математиката е движението на мисълта, новите идеи.” Именно този творчески полет на мисълта генерира Питагоровата теорема - не напразно тя има толкова много разнообразни доказателства. Помага да надхвърлите обичайното и да погледнете познатите неща по нов начин.

Заключение

Тази статия е създадена, за да можете да погледнете отвъд училищната програма по математика и да научите не само онези доказателства на Питагоровата теорема, които са дадени в учебниците "Геометрия 7-9" (Л. С. Атанасян, В. Н. Руденко) и "Геометрия 7 -11 ” (А. В. Погорелов), но и други любопитни начини за доказване на известната теорема. А също така вижте примери за това как Питагоровата теорема може да се приложи в ежедневието.

Първо, тази информация ще ви позволи да поискате по-високи резултати в часовете по математика - информацията по темата от допълнителни източници винаги е високо ценена.

Второ, искахме да ви помогнем да усетите колко интересна е математиката. Да се убеди с конкретни примери, че в него винаги има място за творчество. Надяваме се, че Питагоровата теорема и тази статия ще ви вдъхновят да направите свои собствени изследвания и вълнуващи открития в математиката и други науки.

Кажете ни в коментарите дали намирате доказателствата, представени в статията, за интересни. Намирате ли тази информация за полезна в обучението си? Кажете ни какво мислите за Питагоровата теорема и тази статия - ще се радваме да обсъдим всичко това с вас.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Питагорова теорема: Сумата от площите на квадратите, поддържани от краката ( аи b), е равна на площта на квадрата, построен върху хипотенузата ( ° С).

Геометрична формулировка:

Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:

Алгебрична формулировка:

Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през ° С, и дължините на краката през аи b :

а 2 + b 2 = ° С 2

И двете формулировки на теоремата са еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за площта и чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратна теорема на Питагор:

Доказателство за

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства (например с помощта на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от доказателствата, изградени директно от аксиомите. По-специално, той не използва понятието площ на фигурата.

Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначаваме основата му с з. Триъгълник ACHподобен на триъгълник ABCна два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC. Въвеждане на нотацията

получаваме

Какво е еквивалентно

Добавяйки, получаваме

Площни доказателства

Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички те използват свойствата на площта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата Питагорова теорема.

Доказателство чрез еквивалентност

Подредете четири равни правоъгълни триъгълника, както е показано на фигура 1.
Четириъгълник със страни ° Се квадрат, защото сборът от два остри ъгъла е 90°, а правият ъгъл е 180°.
Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и два вътрешни квадрати.

Q.E.D.

Доказателство чрез еквивалентност

Елегантно доказателство за пермутация

Пример за едно от тези доказателства е показано на чертежа вдясно, където квадратът, построен върху хипотенузата, се преобразува чрез пермутация в два квадрата, построени върху катетите.

Доказателството на Евклид

Чертеж за доказателството на Евклид

Илюстрация към доказателството на Евклид

Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от половините площи на квадратите, построени върху краката, и след това площите на големият и двата малки квадрата са равни.

Разгледайте рисунката вляво. Върху него построихме квадрати от страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на прав ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ , съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака.

Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK. За да направим това, използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като дадената правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от определянето на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълника ACK е равна на площта на триъгълника AHK (не е показан), който от своя страна е равен на половината от площта на правоъгълника AHJK.

Нека сега докажем, че площта на триъгълника ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата по горното свойство). Това равенство е очевидно, триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях. А именно - AB=AK,AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD е лесно да се докаже чрез метода на движението: нека завъртим триъгълника CAK на 90 ° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата разглеждани триъгълника ще съвпадат (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°).

Аргументът за равенството на лицата на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно аналогичен.

Така доказахме, че площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е сумата от площите на квадратите, построени върху краката. Идеята зад това доказателство е допълнително илюстрирана с анимацията по-горе.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Основните елементи на доказателството са симетрия и движение.

Помислете за чертежа, както се вижда от симетрията, сегмента ° Сазразчленява площада АбзДж на две еднакви части (тъй като триъгълниците Аб° Си Джзазса равни по конструкция). Използвайки завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, виждаме равенството на защрихованите фигури ° САДжаз и ЖдАб . Сега е ясно, че площта на фигурата, засенчена от нас, е равна на сумата от половината от площите на квадратите, построени върху краката, и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, плюс площта на оригиналния триъгълник. Последната стъпка в доказателството е оставена на читателя.

Доказателство по метода на безкрайно малките

Следното доказателство, използващо диференциални уравнения, често се приписва на известния английски математик Харди, живял през първата половина на 20 век.

Разглеждайки чертежа, показан на фигурата, и наблюдавайки промяната на страната а, можем да напишем следната връзка за безкрайно малки странични увеличения си а(с помощта на подобни триъгълници):

Доказателство по метода на безкрайно малките

Използвайки метода на разделяне на променливите, намираме

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на нарастване на двата катета

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме

° С 2 = а 2 + b 2 + константа.

Така стигаме до желания отговор

° С 2 = а 2 + b 2 .

Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата се дължи на независимите приноси от нарастването на различните катети.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение (в този случай кракът b). Тогава за константата на интегриране, която получаваме

Вариации и обобщения

Ако вместо квадрати върху краката са изградени други подобни фигури, тогава е вярно следното обобщение на Питагоровата теорема: В правоъгълен триъгълник сумата от площите на подобни фигури, изградени върху краката, е равна на площта на фигурата, изградена върху хипотенузата.По-специално:
- Сумата от площите на правилните триъгълници, построени върху краката, е равна на площта на правилен триъгълник, построен върху хипотенузата.
- Сумата от площите на полукръговете, построени върху краката (както на диаметъра), е равна на площта на полукръга, построен върху хипотенузата. Този пример се използва за доказване на свойствата на фигури, ограничени от дъги от две окръжности и носещи името хипократова лунула.

История

Chu-pei 500–200 пр.н.е. Вляво е надписът: сумата от квадратите на дължините на височината и основата е квадрат на дължината на хипотенузата.

Древната китайска книга Chu-pei говори за Питагоров триъгълник със страни 3, 4 и 5: В същата книга е предложен чертеж, който съвпада с един от чертежите на индуистката геометрия на Baskhara.

Кантор (най-големият германски историк на математиката) смята, че равенството 3 ² + 4 ² = 5² вече е било известно на египтяните около 2300 г. пр.н.е. д., по времето на крал Аменемхет I (според папирус 6619 на Берлинския музей). Според Кантор харпедонаптите или „струнарите“ изграждат прави ъгли с помощта на правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.

Много е лесно да се възпроизведе техният метод на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете за него по протежение на цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и на 4 метра от другия. Между страните с дължина 3 и 4 метра ще бъде ограден прав ъгъл. Може да се възрази на харпедонаптите, че техният начин на изграждане става излишен, ако се използва например дървеният квадрат, използван от всички дърводелци. Наистина са известни египетски рисунки, в които се намира такъв инструмент, например рисунки, изобразяващи дърводелска работилница.

Сред вавилонците се знае малко повече за Питагоровата теорема. В един текст, датиращ от времето на Хамурапи, т.е. до 2000 г. пр.н.е. д. е дадено приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. От това можем да заключим, че в Месопотамия са умеели да извършват изчисления с правоъгълни триъгълници, поне в някои случаи. Базирайки се, от една страна, на сегашното ниво на познания за египетската и вавилонската математика, а от друга, на критично изследване на гръцките източници, Ван дер Ваерден (холандски математик) заключава следното:

Литература

На руски

Скопец З. А.Геометрични миниатюри. М., 1990
Еленски Ш.По стъпките на Питагор. М., 1961
Ван дер Ваерден Б. Л.Пробуждане на науката. Математиката на Древен Египет, Вавилон и Гърция. М., 1959
Глейзър Г.И.История на математиката в училище. М., 1982
В. Лицман, "Питагоровата теорема" М., 1960 г.
- Сайт за Питагоровата теорема с голям брой доказателства, материалът е взет от книгата на W. Litzman, голям брой рисунки са представени като отделни графични файлове.
Питагоровата теорема и Питагоровите тройки глава от книгата на Д. В. Аносов „Поглед към математиката и нещо от нея“
За теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство Г. Глейзър, академик на Руската академия на образованието, Москва

На английски

Питагоровата теорема в WolframMathWorld
Cut-The-Knot, раздел за Питагоровата теорема, около 70 доказателства и обширна допълнителна информация (англ.)

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Из историята на проблема

Доказателства на Питагоровата теорема

доказателство 1

Доказателство 2

Доказателство 3

Но ние ще анализираме това доказателство по-подробно:

Доказателство 4

Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и на нас след тях да стигнем до извода, че c2=a2+b2.

Доказателство 5

Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да го докажем BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Няколко думи за Питагоровите тройки

Питагоровите тройки могат да бъдат:

примитивни (и трите числа са относително прости);
непримитивни (ако всяко число от тройка се умножи по едно и също число, получавате нова тройка, която не е примитивна).

Практическо приложение на теоремата

Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги възбуди племето на биковете
събитие, споменато тук.

Те смятат, че е време
И отново ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.

(превод Виктор Топоров)

Заключение

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката

между страните на правоъгълен триъгълник.

Смята се, че е доказано от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстена.

Геометрична формулировка на Питагоровата теорема.

Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите,

изградени върху катетри.

Алгебрична формулировка на Питагоровата теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.

Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през ° С, и дължините на краката през аи b:

И двете формулировки питагорови теоремиса еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не е така

изисква концепцията за площ. Тоест второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за района и

чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратната теорема на Питагор.

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава

триъгълникът е правоъгълен.

Или с други думи:

За всяка тройка положителни числа а, bи ° С, така че

има правоъгълен триъгълник с катети аи bи хипотенуза ° С.

Питагоровата теорема за равнобедрен триъгълник.

Питагорова теорема за равностранен триъгълник.

Доказателства на Питагоровата теорема.

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата

Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие

може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях:

доказателство за метод на площта, аксиоматичени екзотични доказателства(например,

като се използва диференциални уравнения).

1. Доказателство на Питагоровата теорема от гледна точка на подобни триъгълници.

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от конструираните доказателства

директно от аксиомите. По-специално, той не използва концепцията за площта на фигурата.

Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначават

нейната основа чрез з.

Триъгълник ACHподобен на триъгълник AB C на два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC.

Чрез въвеждане на нотацията:

получаваме:

което съвпада -

Като фолдна а 2 и b 2, получаваме:

или , което трябваше да се докаже.

2. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на площта.

Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички тях

използвайте свойствата на областта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата питагорова теорема.

Доказателство чрез равнодопълване.

Подредете четири еднакви правоъгълни

триъгълник, както е показано на снимката

на дясно.

Четириъгълник със страни ° С- квадрат,

тъй като сумата от два остри ъгъла е 90°, и

развитият ъгъл е 180°.

Площта на цялата фигура е, от една страна,

площ на квадрат със страна ( a+b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и

Q.E.D.

3. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на безкрайно малките.

Като се има предвид чертежът, показан на фигурата, и

гледам как се сменя странатаа, ние можем

напишете следната връзка за безкрайност

малък странични увеличенияси а(използвайки прилика

триъгълници):

Използвайки метода за разделяне на променливи, намираме:

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на нарастване на двата крака:

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме:

Така стигаме до желания отговор:

Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната

пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независимата

приноси от нарастването на различни крака.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва нарастване

(в този случай кракът b). Тогава за интеграционната константа получаваме: