Тривиално решение на системата. Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

• изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
• изучаване на теорията на избрания метод,
• решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно решенията на типични примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо даваме всички необходими дефиниции, концепции и въвеждаме някои обозначения.

След това разглеждаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, нека се съсредоточим върху метода на Крамер, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът на последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това се обръщаме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Ние формулираме теоремата на Kronecker-Capelli, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за базисния минор на матрицата. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Не забравяйте да се спрете на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се свеждат до линейни, както и различни задачи, при чието решаване възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да е равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на SLAE се нарича координирам.

AT матрична форматази система от уравнения има формата,
където - основната матрица на системата, - колоната на матрицата на неизвестните променливи, - колоната на матрицата на свободните членове.

Ако към матрицата А добавим като (n + 1)-та колона матрицата-стълб от свободни членове, то получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.

Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича несъвместими.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава - несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на системните уравнения е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната му матрица не е равна на нула, тогава ще наречем такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такъв SLAE в гимназията. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и са детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С такава нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Cramer като . Така се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Пример.

Метод на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Изчислете неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.

Съставете и изчислете необходимите детерминанти (детерминантата се получава чрез заместване на първата колона в матрица А с колона от свободни членове, детерминантата - чрез заместване на втората колона с колона от свободни членове, - чрез заместване на третата колона на матрица А с колона от свободни членове ):

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляване на детерминантите, когато броят на системните уравнения е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , тогава матрицата A е обратима, т.е. има обратна матрица . Ако умножим двете части на равенството по отляво, тогава получаваме формула за намиране на матрицата на колоната на неизвестни променливи. Така че получихме решението на системата от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементите на матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица в колоната на матрицата на безплатните членове (ако е необходимо, вижте статията):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения чрез матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от третия.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение, като се използва тази стойност, и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Изключваме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, добавете първото умножено по към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заместим получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто, умножено по, към третото уравнение на системата, добавете второто, умножено по, към четвъртото уравнение и така нататък, добавете второто, умножено по, към n-тото уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното x 3, като действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете части на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега изключваме x 2 от третото уравнение, като добавяме към лявата и дясната му части лявата и дясната част на второто уравнение, умножени по:

С това предният ход на метода на Гаус е завършен, започваме обратния ход.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.

Отговор:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

В общия случай броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.

Теорема на Кронекер-Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога е несъвместим, дава Теорема на Кронекер–Капели:
за система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), за да бъде последователна, е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. Rank( A)=Ранг(T) .

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред около него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е две.

От своя страна, рангът на увеличената матрица е равно на три, тъй като минорът от трети ред

различен от нула.

По този начин, Следователно Rang(A) , съгласно теоремата на Кронекер-Капели, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Няма система за решение.

И така, ние се научихме да установяваме непоследователността на системата, използвайки теоремата на Кронекер-Капели.

Но как да намерим решението на SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базисния минор на матрица и теоремата за ранга на матрица.

Извиква се минор от най-висок порядък на матрицата A, различен от нула основен.

От дефиницията на базисния минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора; винаги има един основен минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е r, тогава всички елементи на редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете (и колоните) ), които формират основния минор.

Какво ни дава теоремата за ранга на матрицата?

Ако чрез теоремата на Кронекер-Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме всеки основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не образуват избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след отхвърляне на излишните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от третия ред е равен на нула

и минорът от втория ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Kronecker-Capelli може да се твърди съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основен минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:


Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:


Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамър:


Отговор:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ако броят на уравненията r в резултантния SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава оставяме членовете, които формират основния минор в левите части на уравненията, и прехвърляме останалите членове в десните части на уравненията на системата с обратен знак.

Неизвестните променливи (има r от тях), останали в лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r от тях), които са се оказали от дясната страна Безплатно.

Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободните неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Да вземем пример.

Пример.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Намерете ранга на основната матрица на системата по метода на граничещите непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред около този минор:


Така че намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:


По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Намереният ненулев минор от трети ред ще бъде взет като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:


Членовете, участващи в основния минор, оставяме от лявата страна на уравненията на системата, а останалите с противоположни знаци прехвърляме в десните страни:


Даваме безплатни неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест вземаме , където са произволни числа. В този случай SLAE приема формата


Решаваме получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер:


Следователно,.

В отговора не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи.

Отговор:

Къде са произволните числа.

Обобщете.

За да решим система от линейни алгебрични уравнения от общ вид, първо намираме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер-Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е непоследователна.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.

Ако редът на базисния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава оставяме членовете с основните неизвестни променливи от лявата страна на уравненията на системата, прехвърляме останалите членове в десните страни и присвояваме произволни стойности към свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

С помощта на метода на Гаус могат да се решават системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид без тяхното предварително изследване за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъответствието на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От гледна точка на изчислителната работа методът на Гаус е за предпочитане.

Вижте подробното му описание и анализирани примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на векторите на основната система от решения.

В този раздел ще се съсредоточим върху съвместни хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система за вземане на решенияХомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е набор от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако обозначим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колони на матрици с размерност n чрез 1 ) , тогава общото решение на тази хомогенна система се представя като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1 , С 2 , …, С (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (орослау)?

Значението е просто: формулата уточнява всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, вземайки произволен набор от стойности на произволни константи C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , съгласно формулата, която ние ще получи едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения за хомогенна SLAE.

Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,…,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Така ще се получи X (1) – първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (2) . И така нататък. Ако дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 0,0,…,0,1 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (n-r) . Така ще бъде построена фундаменталната система от решения на хомогенната СЛАУ и нейното общо решение може да се запише във вида .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя като

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на периферните второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничния ненулев минор от втори ред:

Намира се минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е две. Нека вземем основния минор. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни в дясната страна:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния минор е два. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

Дори в училище всеки от нас изучава уравнения и със сигурност системи от уравнения. Но не много хора знаят, че има няколко начина за разрешаването им. Днес ще анализираме подробно всички методи за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, които се състоят от повече от две равенства.

История

Днес е известно, че изкуството за решаване на уравнения и техните системи произхожда от древен Вавилон и Египет. Въпреки това равенствата в обичайната им форма се появяват след появата на знака за равенство "=", който е въведен през 1556 г. от английския математик Рекорд. Между другото, този знак е избран по причина: той означава два успоредни равни сегмента. Наистина, няма по-добър пример за равенство.

Основателят на съвременните буквени обозначения на неизвестни и знаци за степени е френски математик, но неговите обозначения се различават значително от днешните. Например, той обозначава квадрата на неизвестно число с буквата Q (лат. "quadratus"), а куба с буквата C (лат. "cubus"). Тези обозначения изглеждат неудобни сега, но тогава това беше най-разбираемият начин за писане на системи от линейни алгебрични уравнения.

Въпреки това, недостатък в тогавашните методи за решаване беше, че математиците разглеждаха само положителни корени. Може би това се дължи на факта, че отрицателните стойности нямат практическа полза. По един или друг начин, италианските математици Николо Тарталия, Джероламо Кардано и Рафаел Бомбели са първите, които разглеждат отрицателните корени през 16 век. А съвременният възглед, основният метод на решение (чрез дискриминанта) е създаден едва през 17 век благодарение на работата на Декарт и Нютон.

В средата на 18 век швейцарският математик Габриел Крамер открива нов начин да улесни решаването на системи от линейни уравнения. Този метод впоследствие е кръстен на него и до днес го използваме. Но ние ще говорим за метода на Cramer малко по-късно, но засега ще обсъдим линейните уравнения и методите за тяхното решаване отделно от системата.

Линейни уравнения

Линейните уравнения са най-простите равенства с променлива(и). Те се класифицират като алгебрични. напишете в обща форма, както следва: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... и n * x n \u003d b. Представянето им в тази форма ще ни е необходимо при по-нататъшното компилиране на системи и матрици.

Системи линейни алгебрични уравнения

Дефиницията на този термин е следната: това е набор от уравнения, които имат общи неизвестни и общо решение. По правило в училище всичко се решаваше със системи с две или дори три уравнения. Но има системи с четири или повече компонента. Нека първо да разберем как да ги запишем, така че да е удобно да ги решим по-късно. Първо, системите от линейни алгебрични уравнения ще изглеждат по-добре, ако всички променливи са записани като x със съответния индекс: 1,2,3 и т.н. Второ, всички уравнения трябва да бъдат приведени в каноничната форма: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

След всички тези действия можем да започнем да говорим за това как да намерим решение на системи от линейни уравнения. Матриците са много полезни за това.

матрици

Матрицата е таблица, която се състои от редове и колони, а в пресечната точка са нейните елементи. Те могат да бъдат специфични стойности или променливи. Най-често за обозначаване на елементи под тях се поставят индекси (например 11 или 23). Първият индекс означава номера на реда, а вторият номерът на колоната. Върху матриците, както и върху всеки друг математически елемент, можете да извършвате различни операции. Така можете:

2) Умножете матрица по някакво число или вектор.

3) Транспониране: превърнете редовете на матрицата в колони и колоните в редове.

4) Умножете матрици, ако броят на редовете на една от тях е равен на броя на колоните на другата.

Ще обсъдим всички тези техники по-подробно, тъй като те ще ни бъдат полезни в бъдеще. Изваждането и събирането на матрици е много лесно. Тъй като вземаме матрици с еднакъв размер, всеки елемент от една таблица съответства на всеки елемент от друга. Така събираме (изваждаме) тези два елемента (важно е да са на едни и същи места в матриците си). Когато умножавате матрица по число или вектор, трябва просто да умножите всеки елемент от матрицата по това число (или вектор). Транспонирането е много интересен процес. Понякога е много интересно да го видите в реалния живот, например при промяна на ориентацията на таблет или телефон. Иконите на десктопа са матрица и при смяна на позицията тя се транспонира и става по-широка, но намалява на височина.

Нека анализираме такъв процес като Въпреки че няма да ни бъде полезно, все пак ще бъде полезно да го знаем. Можете да умножите две матрици само ако броят на колоните в едната таблица е равен на броя на редовете в другата. Сега нека вземем елементите на ред на една матрица и елементите на съответната колона на друга. Ние ги умножаваме един по друг и след това ги добавяме (т.е. например произведението на елементите a 11 и a 12 от b 12 и b 22 ще бъде равно на: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Така се получава един елемент от таблицата, който се попълва допълнително по подобен начин.

Сега можем да започнем да разглеждаме как се решава системата от линейни уравнения.

Метод на Гаус

Тази тема започва в училище. Познаваме добре понятието "система от две линейни уравнения" и знаем как да ги решаваме. Но какво ще стане, ако броят на уравненията е повече от две? Това ще ни помогне

Разбира се, този метод е удобен за използване, ако направите матрица от системата. Но не можете да го трансформирате и разрешите в чист вид.

И така, как се решава системата от линейни уравнения на Гаус с този метод? Между другото, въпреки че този метод е кръстен на него, той е открит в древността. Гаус предлага следното: да се извършват операции с уравнения, за да се сведе в крайна сметка цялото множество до стъпаловидна форма. Тоест, необходимо е отгоре надолу (ако е поставено правилно) от първото уравнение до последното да намалява едно неизвестно. С други думи, трябва да сме сигурни, че ще получим, да речем, три уравнения: в първото - три неизвестни, във второто - две, в третото - едно. След това от последното уравнение намираме първото неизвестно, заместваме стойността му във второто или първото уравнение и след това намираме останалите две променливи.

Метод на Крамер

За да овладеете този метод, е жизненоважно да овладеете уменията за добавяне, изваждане на матрици и също така трябва да можете да намирате детерминанти. Ето защо, ако правите всичко това лошо или изобщо не знаете как, ще трябва да се научите и практикувате.

Каква е същността на този метод и как да се направи така, че да се получи система от линейни уравнения на Крамер? Всичко е много просто. Трябва да изградим матрица от числови (почти винаги) коефициенти на система от линейни алгебрични уравнения. За целта просто вземаме числата пред неизвестните и ги поставяме в таблицата в реда, в който са записани в системата. Ако числото е предшествано от знак "-", тогава записваме отрицателен коефициент. И така, ние съставихме първата матрица на коефициентите на неизвестните, без да включваме числата след знаците за равенство (естествено, уравнението трябва да се сведе до каноничната форма, когато само числото е отдясно, а всички неизвестни с коефициентите са отляво). След това трябва да създадете още няколко матрици - по една за всяка променлива. За да направим това, в първата матрица на свой ред заместваме всяка колона с коефициенти с колона с числа след знака за равенство. Така получаваме няколко матрици и след това намираме техните детерминанти.

След като намерихме детерминантите, въпросът е малък. Имаме начална матрица и има няколко получени матрици, които съответстват на различни променливи. За да получим решенията на системата, разделяме детерминантата на получената таблица на детерминантата на първоначалната таблица. Полученото число е стойността на една от променливите. По същия начин намираме всички неизвестни.

Други методи

Има още няколко метода за получаване на решение на системи от линейни уравнения. Например така нареченият метод на Гаус-Джордан, който се използва за намиране на решения на система от квадратни уравнения и също е свързан с използването на матрици. Съществува и метод на Якоби за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Най-лесно се адаптира към компютър и се използва в компютърните технологии.

Трудни случаи

Сложността обикновено възниква, когато броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Тогава със сигурност можем да кажем, че или системата е непоследователна (т.е. няма корени), или броят на нейните решения клони към безкрайност. Ако имаме втория случай, тогава трябва да напишем общото решение на системата от линейни уравнения. Той ще съдържа поне една променлива.

Заключение

Ето че стигнахме до края. Нека обобщим: анализирахме какво е система и матрица, научихме как да намерим общо решение на система от линейни уравнения. Освен това бяха разгледани и други варианти. Разбрахме как се решава система от линейни уравнения: методът на Гаус и Говорихме за трудни случаи и други начини за намиране на решения.

Всъщност тази тема е много по-обширна и ако искате да я разберете по-добре, тогава ви съветваме да прочетете повече специализирана литература.

Методът на Гаус има редица недостатъци: невъзможно е да се знае дали системата е последователна или не, докато не бъдат извършени всички трансформации, необходими в метода на Гаус; методът на Гаус не е подходящ за системи с буквени коефициенти.

Обмислете други методи за решаване на системи от линейни уравнения. Тези методи използват концепцията за ранг на матрица и намаляват решението на всяка съвместна система до решението на система, към която се прилага правилото на Крамър.

Пример 1Намерете общото решение на следната система от линейни уравнения, като използвате основната система от решения на редуцираната хомогенна система и конкретно решение на нехомогенната система.

1. Правим матрица Аи разширената матрица на системата (1)

2. Разгледайте системата (1) за съвместимост. За да направим това, намираме ранговете на матриците Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ако се окаже, че , тогава системата (1) несъвместими. Ако получим това , тогава тази система е последователна и ние ще я разрешим. (Изследването на последователността се основава на теоремата на Кронекер-Капели).

а. Намираме rA.

Да намеря rA, ще разгледаме последователно ненулеви второстепенни от първи, втори и т.н. ред на матрицата Аи непълнолетните около тях.

M1=1≠0 (1 се взема от горния ляв ъгъл на матрицата НО).

Гранични M1втория ред и втората колона на тази матрица. . Продължаваме към границата M1втория ред и третата колона..gif" width="37" height="20 src=">. Сега граничим с ненулевия минор М2′втора поръчка.

Ние имаме: (тъй като първите две колони са еднакви)

(защото вторият и третият ред са пропорционални).

Виждаме това rA=2, и е базисният минор на матрицата А.

b. Намираме .

Достатъчно основен минор М2′матрици Аграница с колона със свободни членове и всички редове (имаме само последния ред).

. От това следва, че М3′′остава основният минор на матрицата https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

защото М2′- базис минор на матрицата Асистеми (2) , тогава тази система е еквивалентна на системата (3) , състояща се от първите две уравнения на системата (2) (за М2′е в първите два реда на матрица A).

(3)

Тъй като основният минор е https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

В тази система две свободни неизвестни ( x2 и x4 ). Ето защо FSR системи (4) се състои от две решения. За да ги намерим, присвояваме безплатни неизвестни на (4) първо ценностите х2=1 , х4=0 , и тогава - х2=0 , x4=1 .

При х2=1 , х4=0 получаваме:

.

Тази система вече има единственото нещо решение (може да се намери по правилото на Крамер или по друг метод). Изваждайки първото уравнение от второто уравнение, получаваме:

Нейното решение ще бъде x1= -1 , х3=0 . Предвид стойностите x2 и x4 , което дадохме, получаваме първото фундаментално решение на системата (2) : .

Сега вкарваме (4) х2=0 , x4=1 . Получаваме:

.

Решаваме тази система с помощта на теоремата на Крамър:

.

Получаваме второто фундаментално решение на системата (2) : .

Решения β1 , β2 и се гримирайте FSR системи (2) . Тогава общото му решение ще бъде

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Тук C1 , C2 са произволни константи.

4. Намерете такъв частен решение разнородна система(1) . Както в параграф 3 , вместо системата (1) разгледайте еквивалентната система (5) , състояща се от първите две уравнения на системата (1) .

(5)

Прехвърляме свободните неизвестни в дясната страна x2и x4.

(6)

Нека дадем безплатни неизвестни x2 и x4 произволни стойности, напр. х2=2 , x4=1 и ги включете в (6) . Да вземем системата

Тази система има уникално решение (тъй като нейният детерминант М2′0). Решавайки го (използвайки теоремата на Крамер или метода на Гаус), получаваме х1=3 , х3=3 . Дадени са стойностите на свободните неизвестни x2 и x4 , получаваме конкретно решение на нехомогенна система(1)α1=(3,2,3,1).

5. Сега остава да напишем общо решение α на нехомогенна система(1) : равно е на сумата частно решениетази система и общо решение на неговата редуцирана хомогенна система (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Това означава: (7)

6. Преглед.За да проверите дали сте решили правилно системата (1) , имаме нужда от общо решение (7) заместник в (1) . Ако всяко уравнение се превърне в идентичност ( C1 и C2 трябва да бъде унищожен), тогава решението е намерено правилно.

Ние ще заместим (7) например само в последното уравнение на системата (1) (х1 + х2 + х3 ‑9 х4 =‑1) .

Получаваме: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Където -1=-1. Имаме самоличност. Правим това с всички други уравнения на системата (1) .

Коментирайте.Проверката обикновено е доста тромава. Можем да препоръчаме следната "частична проверка": в цялостното решение на системата (1) присвоете някои стойности на произволни константи и заменете полученото конкретно решение само в отхвърлените уравнения (т.е. в тези уравнения от (1) които не са включени в (5) ). Ако получите самоличности, тогава най-вероятно, решение на системата (1) намерени правилно (но такава проверка не дава пълна гаранция за коректност!). Например, ако в (7) слагам C2=- 1 , C1=1, тогава получаваме: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Замествайки в последното уравнение на системата (1), имаме: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т.е. –1=–1. Имаме самоличност.

Пример 2Намерете общо решение на система от линейни уравнения (1) , изразяващи основните неизвестни чрез свободни.

Решение.Както в пример 1, съставяне на матрици Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> от тези матрици. Сега оставяме само тези уравнения на системата (1) , чиито коефициенти са включени в този основен минор (т.е. имаме първите две уравнения) и разглеждаме системата, състояща се от тях, която е еквивалентна на система (1).

Нека прехвърлим свободните неизвестни в дясната страна на тези уравнения.

система (9) решаваме по метода на Гаус, като считаме правилните части за свободни членове.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Вариант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Вариант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Вариант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Вариант 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Нарича се система от линейни уравнения, в която всички свободни членове са равни на нула хомогенен :

Всяка хомогенна система винаги е последователна, тъй като винаги е била нула (тривиален ) решение. Възниква въпросът при какви условия една хомогенна система ще има нетривиално решение.

Теорема 5.2.Една хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако рангът на основната матрица е по-малък от броя на нейните неизвестни.

Последица. Квадратна хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Пример 5.6.Определете стойностите на параметъра l, за които системата има нетривиални решения и намерете тези решения:

Решение. Тази система ще има нетривиално решение, когато детерминантата на основната матрица е равна на нула:

Следователно системата е нетривиална, когато l=3 или l=2. За l=3, рангът на основната матрица на системата е 1. След това, оставяйки само едно уравнение и приемайки, че г=аи z=b, получаваме х=b-a, т.е.

За l=2, рангът на основната матрица на системата е 2. След това, избирайки като основен минор:

получаваме опростена система

От тук намираме това x=z/4, y=z/2. Ако приемем z=4а, получаваме

Наборът от всички решения на една хомогенна система има много важно значение линейно свойство : ако X колони 1 и Х 2 - решения на хомогенната система AX = 0, тогава всяка линейна комбинация от тяха х 1+б х 2 също ще бъде решението на тази система. Наистина, защото БРАВИЛА 1 = 0 и БРАВИЛА 2 = 0 , тогава А(а х 1+б х 2) = а БРАВИЛА 1+б БРАВИЛА 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Поради това свойство, ако една линейна система има повече от едно решение, тогава ще има безкрайно много от тези решения.

Линейно независими колони д 1 , д 2 , E k, които са решения на хомогенна система, се нарича фундаментална система за вземане на решения хомогенна система от линейни уравнения, ако общото решение на тази система може да бъде записано като линейна комбинация от тези колони:

Ако една хомогенна система има нпроменливи, а рангът на основната матрица на системата е равен на r, тогава к = н-р.

Пример 5.7.Намерете основната система от решения на следната система от линейни уравнения:

Решение. Намерете ранга на основната матрица на системата:

По този начин наборът от решения на тази система от уравнения образува линейно подпространство на измерение n - r= 5 - 2 = 3. Избираме като основен минор

.

След това, оставяйки само основните уравнения (останалото ще бъде линейна комбинация от тези уравнения) и основните променливи (останалите, така наречените свободни променливи, прехвърляме вдясно), получаваме опростена система от уравнения:

Ако приемем х 3 = а, х 4 = b, х 5 = ° С, намираме

, .

Ако приемем а= 1, b=c= 0, получаваме първото основно решение; предполагайки b= 1, a = c= 0, получаваме второто основно решение; предполагайки ° С= 1, a = b= 0, получаваме третото основно решение. В резултат нормалната фундаментална система от решения приема формата

Използвайки фундаменталната система, общото решение на хомогенната система може да бъде написано като

х = аЕ 1 + бъда 2 + cE 3 . а

Нека отбележим някои свойства на решенията на нехомогенната система от линейни уравнения AX=Bи тяхната връзка със съответната хомогенна система от уравнения AX = 0.

Общо решение на нееднородна системае равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система AX = 0 и произволно частно решение на нехомогенната система. Наистина, нека Y 0 е произволно частно решение на нехомогенна система, т.е. AY 0 = б, и Yе общото решение на нехомогенна система, т.е. AY=B. Като извадим едното равенство от другото, получаваме
А(Y-Y 0) = 0, т.е. Y-Y 0 е общото решение на съответната хомогенна система БРАВИЛА=0. Следователно, Y-Y 0 = х, или Y=Y 0 + х. Q.E.D.

Нека една нехомогенна система има формата AX = B 1 + б 2 . Тогава общото решение на такава система може да бъде записано като X = X 1 + х 2 , където AX 1 = б 1 и AX 2 = б 2. Това свойство изразява универсалното свойство на всякакви линейни системи като цяло (алгебрични, диференциални, функционални и т.н.). Във физиката това свойство се нарича принцип на суперпозиция, по електротехника и радиотехника - принцип на наслагване. Например, в теорията на линейните електрически вериги токът във всяка верига може да се получи като алгебрична сума на токовете, причинени от всеки източник на енергия поотделно.

Ще продължим да усъвършенстваме техниката елементарни трансформациина хомогенна система от линейни уравнения.
Според първите параграфи материалът може да изглежда скучен и обикновен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното разработване на техники, ще има много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:

Съвсем ясно е, че хомогенната система е винаги последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, т.нар тривиаленрешение . Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава беспонтовое. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ... Защо да се заобикаляме, нека да разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Обърнете внимание, че тук не е необходимо да записвате вертикалната лента и нулевата колона на безплатните членове - в края на краищата, каквото и да правите с нули, те ще останат нула:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -3.

(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система , и прилагайки обратното движение на метода на Гаус, е лесно да се провери, че решението е уникално.

Отговор:

Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има само тривиално решение, ако ранг на системната матрица(в този случай 3) е равно на броя на променливите (в този случай 3 бр.).

Загряваме и настройваме радиото си на вълна от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

За да коригираме най-накрая алгоритъма, нека анализираме последната задача:

Пример 7

Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма.

Решение: пишем матрицата на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в стъпаловидна форма:

(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на многократно срещаната техника, която ви позволява значително да опростите следното действие.

(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.

(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.

В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:

– основни променливи;
са свободни променливи.

Ние изразяваме основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:

- заместител в 1-во уравнение:

Така че общото решение е:

Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.

Нека заместим тройка от стойности в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е много желателно да проверявате всеки получен вектор - това няма да отнеме толкова много време, но ще спести сто процента от грешки.

За тройка ценности намерете вектора

И накрая за тройката получаваме третия вектор:

Отговор: , където

Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки и получете отговора в еквивалентната форма:

Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата и задайте въпроса - възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В края на краищата, тук първо изразихме основната променлива по отношение на дроби, след това основната променлива по отношение на дроби и, трябва да кажа, този процес не беше от най-лесните и не от най-приятните.

Второто решение:

Идеята е да се опита изберете други основни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да не получите нула на върха? Нека направим още една елементарна трансформация: