Урок с дроби. Урок: Необикновени игри с обикновени дроби

>>Геометрия: Третият знак за равенство на триъгълниците. Пълни уроци

ТЕМА НА УРОКА: Третият знак за равенството на триъгълниците.

Цели на урока:

• Образователни - повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Признаци за равенство на триъгълници“; развитие на основни умения.
• Развитие - да развие вниманието, постоянството, постоянството на учениците, логично мислене, математическа реч.
• Образователни - чрез урок, да се култивира внимателно отношение един към друг, да се внуши способността да се слушат другари, взаимопомощ, независимост.

Цели на урока:

• Формиране на умения за изграждане на триъгълници с помощта на мащабна линийка, транспортир и чертожен триъгълник.
• Проверете способността на учениците да решават проблеми.

План на урока:

1. Из историята на математиката.
2. Признаци за равенство на триъгълници.
3. Актуализиране на основни знания.
4. Правоъгълни триъгълници.

Из историята на математиката.
Правоъгълният триъгълник заема почетно място във вавилонската геометрия и често се споменава в папируса на Ахмес.

Терминът хипотенуза идва от гръцката hypoteinsa, което означава разтягане под нещо, стягане. Думата произлиза от изображението на древноегипетските арфи, на които струните са опънати в краищата на две взаимно перпендикулярни стойки.

Терминът катет идва от гръцка дума"катетос", което означаваше отвес, перпендикулярен. През Средновековието думата catet е означавала височина правоъгълен триъгълник, докато другите му страни се наричаха хипотенуза, съответно основа. През 17 век думата katet започва да се използва в съвременния смисъл и е широко разпространена от 18 век.

Евклид използва изрази:

„страни, които образуват прав ъгъл“ - за крака;

"страната, която обхваща правия ъгъл" - за хипотенузата.

Като начало трябва да опресним паметта на предишните знаци за равенство на триъгълници. И така, нека започнем с първия.

1-ви признак за равенство на триъгълниците.

Предмети > Математика > Математика 7 клас

Между голямо количествомногоъгълници, които по същество са затворена непресичаща се полилиния, триъгълникът е фигурата с най-малко ъгли. С други думи, това е най-простият многоъгълник. Но въпреки цялата си простота, тази фигура е изпълнена с много мистерии и интересни откритиякоито са осветени специален разделматематика – геометрия. Тази дисциплина в училищата започва да се изучава от седми клас, а темата "Триъгълник" е дадена тук Специално внимание. Децата не само научават правилата за самата фигура, но и ги сравняват, изучавайки 1, 2 и 3 знак за равенство на триъгълници.

Първа среща

Едно от първите правила, които учениците научават, е нещо подобно: сумата от стойностите на всички ъгли на триъгълник е 180 градуса. За да потвърдите това, достатъчно е да измерите всеки от върховете с помощта на транспортир и да сумирате всички получени стойности. Въз основа на това, с две известни стойности, е лесно да се определи третата. Например: В триъгълник един от ъглите е 70°, а другият е 85°, каква е стойността на третия ъгъл?

180 - 85 - 70 = 25.

Отговор: 25°.

Задачите могат да бъдат още по-сложни, ако се посочи само една стойност на ъгъла, а втората стойност се казва само с колко или колко пъти е по-голяма или по-малка.

В триъгълник, за да се определи една или друга негова характеристика, могат да се начертаят специални линии, всяка от които има свое име:

• височина - перпендикулярна линия, изтеглена от върха към противоположната страна;
• всичките три височини, начертани едновременно, се пресичат в центъра на фигурата, образувайки ортоцентъра, който в зависимост от вида на триъгълника може да бъде както отвътре, така и отвън;
• медиана - линия, свързваща върха със средата на противоположната страна;
• пресечната точка на медианите е точката на нейната тежест, разположена вътре във фигурата;
• ъглополовяща - линия, минаваща от върха до точката на пресичане с противоположната страна, точката на пресичане на три ъглополовящи е центърът на вписаната окръжност.

Прости истини за триъгълниците

Триъгълниците, както всъщност всички форми, имат свои собствени характеристики и свойства. Както вече споменахме, тази фигура е най-простият многоъгълник, но със свои собствени характеристики:

• срещу най-дългата страна винаги има ъгъл с по-голяма стойност и обратно;
• равни ъгли лежат срещу равни страни, пример за това е равнобедрен триъгълник;
• сума вътрешни ъгливинаги равен на 180°, което вече беше демонстрирано с пример;
• когато едната страна на триъгълник се разшири извън неговите граници, се образува външен ъгъл, който винаги ще бъде е равно на суматаъгли, които не са в съседство с него;
• всяка страна винаги е по-малка от сбора на другите две страни, но по-голяма от тяхната разлика.

Видове триъгълници

Следващият етап от запознаването е да се определи групата, към която принадлежи представеният триъгълник. Принадлежността към определен вид зависи от големината на ъглите на триъгълника.

• Равнобедрен – с две равни страни, които се наричат ​​странични, третият в този случай действа като основа на фигурата. Ъглите в основата на такъв триъгълник са еднакви, а медианата, изтеглена от върха, е ъглополовящата и височината.
• правилно, или равностранен триъгълник, е този, в който всичките му страни са равни.
• Правоъгълен: единият му ъгъл е 90°. В този случай страната срещу този ъгъл се нарича хипотенуза, а другите две са краката.
• Остроъгълен триъгълник - всички ъгли са по-малки от 90°.
• Тъп - един от ъглите е по-голям от 90°.

Равенство и подобие на триъгълници

В процеса на обучение те не само разглеждат една фигура, но и сравняват два триъгълника. И това, изглежда, проста темаима много правила и теореми, чрез които можете да докажете, че разглежданите фигури са равни триъгълници. Триъгълниците са равни, ако съответните им страни и ъгли са еднакви. С това равенство, ако поставите тези две фигури една върху друга, всичките им линии ще се сближат. Също така цифрите могат да бъдат подобни, по-специално това важи на практика еднакви фигури, различаващи се само по големина. За да се направи такова заключение за представените триъгълници, трябва да е изпълнено едно от следните условия:

• два ъгъла на една фигура са равни на два ъгъла на друга;
• две страни на единия са пропорционални на две страни на втория триъгълник, а ъглите, образувани от страните, са равни;
• трите страни на втората фигура са същите като тези на първата.

Разбира се, за неоспоримо равенство, което няма да предизвика най-малко съмнение, е необходимо да има еднакви стойности на всички елементи на двете фигури, но с помощта на теореми задачата е значително опростена и само a са позволени няколко условия за доказване на равенството на триъгълниците.

Първият знак за равенство на триъгълниците

Задачите по тази тема се решават въз основа на доказателството на теоремата, която звучи така: „Ако две страни на триъгълник и ъгълът, който те образуват, са равни на две страни и ъгъл на друг триъгълник, то фигурите са също равни един на друг."

Как звучи доказателството на теоремата за първия критерий за равенство на триъгълниците? Всеки знае, че две отсечки са равни, ако имат еднаква дължина, или окръжностите са равни, ако имат еднакъв радиус. А в случай на триъгълници има няколко знака, имайки които, можем да приемем, че фигурите са еднакви, което е много удобно за използване при решаване на различни геометрични задачи.

Как звучи теоремата „Първият знак за равенство на триъгълниците“ е описано по-горе, но ето нейното доказателство:

• Да предположим, че триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 имат еднакви страни AB и A 1 B 1 и съответно BC и B 1 C 1, а ъглите, образувани от тези страни, имат еднаква стойност, тоест те са равен. След това, като насложим △ ABC върху △ A 1 B 1 C 1, получаваме съвпадението на всички прави и върхове. От това следва, че тези триъгълници са абсолютно еднакви, което означава, че са равни един на друг.

Теоремата "Първият критерий за равенството на триъгълниците" се нарича още "По две страни и ъгъл". Всъщност това е същността му.

Втора теорема за характеристиките

Вторият знак за равенство се доказва по подобен начин, доказателството се основава на факта, че когато фигурите се наслагват една върху друга, те напълно съвпадат във всички върхове и страни. А теоремата звучи така: „Ако една страна и два ъгъла, в образуването на които тя участва, съответстват на страната и двата ъгъла на втория триъгълник, тогава тези фигури са еднакви, тоест равни“.

Трети знак и доказателство

Ако и 2, и 1 знак за равенство на триъгълници се отнасят както за страните, така и за ъглите на фигурата, тогава 3-тият се отнася само за страните. И така, теоремата има следната формулировка: "Ако всички страни на един триъгълник са равни на три страни на втория триъгълник, тогава фигурите са еднакви."

За да докажем тази теорема, трябва да се задълбочим в самата дефиниция на равенството по-подробно. Всъщност какво означава изразът "триъгълниците са равни"? Идентичността казва, че ако насложите една фигура върху друга, всичките им елементи ще съвпаднат, това може да е така само когато техните страни и ъгли са равни. В същото време ъгълът срещу една от страните, който е същият като този на другия триъгълник, ще бъде равен на съответния връх на втората фигура. Трябва да се отбележи, че в този момент доказателството може лесно да се преведе на 1 критерий за равенство на триъгълници. В случай, че такава последователност не се спазва, равенството на триъгълниците е просто невъзможно, освен в случаите, когато фигурата е огледално отражениепърви.

правоъгълни триъгълници

В структурата на такива триъгълници винаги има върхове с ъгъл 90 °. Следователно следните твърдения са верни:

• триъгълниците с прав ъгъл са равни, ако краката на единия са еднакви с краката на втория;
• фигурите са равни, ако техните хипотенузи и единият катет са равни;
• такива триъгълници са равни, ако краката им и остър ъгълса идентични.

Този знак се отнася до За да докажем теоремата, фигурите се прилагат една към друга, в резултат на което триъгълниците се сгъват с крака, така че излизат две прави линии със страни CA и CA 1.

Практическа употреба

В повечето случаи на практика се използва първият знак за равенство на триъгълниците. Всъщност такава на пръв поглед проста тема от 7 клас по геометрия и планиметрия се използва и за изчисляване на дължината например на телефонен кабел, без да се измерва теренът, по който ще минава. С помощта на тази теорема е лесно да се направят необходимите изчисления, за да се определи дължината на остров в средата на река, без да се преплува. Или подсилете оградата, като поставите пръта в участъка, така че да го разделя на два равни триъгълника, или изчислете сложни елементиработа в дърводелството или при изчисляване на покривната система по време на строителството.

Първият знак за равенство на триъгълниците се използва широко в реалния "възрастен" живот. Въпреки че в ученически годиниИменно тази тема изглежда скучна и напълно ненужна за мнозина.

1) на двете страни и ъгъла между тях

Доказателство:

Нека триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 имат ъгъл A, равен на ъгъл A 1, AB равен на A 1 B 1, AC равен на A 1 C 1. Нека докажем това триъгълнициса равни.

Да наложим триъгълник ABC (или симетрично на него)върху триъгълник A 1 B 1 C 1 така, че ъгъл A да съвпада с ъгъл A 1 . Тъй като AB \u003d A 1 B 1 и AC \u003d A 1 C 1, тогава B ще съвпадне с B 1, а C ще съвпадне с C 1. Следователно, триъгълник A 1 B 1 C 1 съвпада с триъгълника ABC и следователно, равно на триъгълник ABC.

Теоремата е доказана.

2) по страничните и съседните ъгли

Доказателство:

Нека ABC и A 1 B 1 C 1 са два триъгълника, в които AB е равен на A 1 B 1, ъгъл A е равен на ъгъл A 1 и ъгъл B е равен на ъгъл B 1. Нека докажем, че са равни.

Да наложим триъгълник ABC (или симетрично на него)на триъгълник A 1 B 1 C 1, така че AB съвпада с A 1 B 1. Тъй като ∠BAC \u003d ∠B 1 A 1 C 1 и ∠ABC \u003d ∠A 1 B 1 C 1, тогава лъчът AC ще съвпадне с A 1 C 1 и BC ще съвпадне с B 1 C 1 . От това следва, че върхът C съвпада с C 1. Следователно триъгълникът A 1 B 1 C 1 съвпада с триъгълника ABC и следователно е равен на триъгълника ABC.

Теоремата е доказана.

3) от три страни

Доказателство:

Обмисли триъгълници ABCи A l B l C 1, в които AB = A 1 B 1, BC = B l C 1 CA = C 1 A 1. Нека докажем, че ΔABS = ΔA 1 B 1 C 1.

Да кандидатстваме триъгълник ABC (или симетрично на него)към триъгълника A 1 B 1 C 1, така че връх A да е подравнен с връх A 1 , връх B да е подравнен с връх B 1 , а върховете C и C 1 да са подравнени различни страниот права A 1 B 1 . Разгледайте 3 случая:

1) Лъч C 1 C минава вътре в ъгъл A 1 C 1 B 1. Тъй като според условието на теоремата страните AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1 са равни, тогава триъгълниците A 1 C 1 C и B 1 C 1 C - равнобедрен. Според теоремата за свойството на ъглите равнобедрен триъгълник∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, така че ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Лъч C 1 C съвпада с една от страните на този ъгъл. A лежи на CC 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - равнобедрен, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

3) Лъч C 1 C минава извън ъгъла A 1 C 1 B 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , така че ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

И така, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ∠C=∠C 1 . Следователно триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са равни
първият критерий за равенство на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

2. Разделяне на отсечка на n равни части.

Начертайте лъч през А, поставете върху него n равни отсечки. През B и A n начертайте права линия и успоредна на нея през точки A 1 - A n -1. Пресечните им точки отбелязваме с АВ. Получаваме n отсечки, които са равни според теоремата на Талес.

Теорема на Талес. Ако на една от двете прави линии последователно се отстранят няколко равни сегмента и през краищата им се начертаят успоредни линии, пресичащи втората права линия, тогава те ще отрежат равни сегменти на втората права линия.

Доказателство. AB=CD

1. Начертайте прави линии през точки A и C, успоредни на другата страна на ъгъла. Да вземем две успоредник AB 2 B 1 A 1 и CD 2 D 1 C 1 . Според собствеността успоредник: AB 2 = A 1 B 1 и CD 2 = C 1 D 1 .

2. ΔABB 2 \u003d ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 и са равни въз основа на втория критерий за равенството на триъгълниците:
AB = CD според условието на теоремата,
като съответни, образувани в пресечната точка на успоредни BB 1 и DD 1 права линия BD.

3. По същия начин всеки от ъглите се оказва равен на ъгълас връх в точката на пресичане на секущите. AB 2 = CD 2 като съответни елементи в равни триъгълници.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

Разработка на урок по математика 5 клас

Учител по математика
Куртушан Марина Анатолиевна

2011-2012 учебна година

Датата:_________________

Тема: Урок - повторение на „Действия върху обикновени дроби»

Цел: -обобщаване и систематизиране на знанията по темата: „Обикновена дроб. Действия върху обикновени дроби.

Задачи:
Образователни : обобщаване и систематизиране на знанията; развитие на когнитивните способности;
развитие: развитие на интерес към предмета, математическа грамотност, разширяване на кръгозора на учениците;
образователен : възпитание на отговорност към възложената задача, чувство за колективизъм, другарство.

Вид на урока: урок-игра.

Орг.момент.

Май на всеки час
Ще вземеш нов.
Нека умът ти е добър
И сърцето ще бъде умно.
С. Маршак.

Здравейте момчета, седнете. 1,2,3,4... с това влизаме в страната на числата. Тя няма граници. Зад числата стои самият живот. Много е важно човек да се сприятели с числото и да може да работи с него. И така, тръгваме на пътешествие в страната на "Дробите". Всички готови ли са? На всички ли е удобно? Добре тогава да тръгваме.

1 станция "Теоретична"

1. Дробта се нарича правилна, ако...
2. За да сравните две фракции с същите знаменатели, трябва…
3. При сравняване на дроби с различни знаменатели, трябва …
4. За да съберете две дроби с еднакви знаменатели, трябва...
5. При изваждане на дроби с различни знаменатели...
6. Като от неправилна дробнаправи смесено число?
7. Да умножиш дроб по дроб...
8. За да разделите дроб на дроб, трябва...

2 станция "Смекалкино"

Само знанието не е достатъчно за решаване на много проблеми. Освен това изисква бдителност и изобретателност. А сега ние сме с вас и проверяваме кой от вас е най-внимателен. Обърнете внимание на дъската.

3 станция "Спортивная"

Задачата на вниманието, уменията, търпението,
Както и изваждане, деление, умножение.

Два чифта цифрови боксерки,
Веднъж се срещнаха на финала.
И скоро ще разберете
Колко точки събрахте
Какви места заеха?
Като цяло задачата е проста
Но да се броят тези точки.
Необходимо е само да се знае
В каква битка се умножиха,
В което те разделят, изваждат ...
И напишете резултата в кръгове,
Където няма очила.

Така че, погледнете внимателно боксьорите, каква математика беше направена? Решете и запишете отговорите.

4 станция "Вычислялкино"
Извършете умножение:

Направете разделението:

3. Задача.

Страните на триъгълника са равниНамерете периметъра.

4. Задача.

Айман и Шолпан събраха 48 ябълки. Броят на ябълките, събрани от Айман, впъти повече от броя ябълки, събрани от Шолпан. Колко ябълки събра Шолпан? Решете задачата, като съставите уравнение.

Обобщаване.

1) Оценка на степента на участие на всеки ученик.

2) Броене на жетони.

3) Оценяване.

Днес всички са страхотни. Всеки получава мини-писмо за днешния урок.

Когато изваждате дроби с различни знаменатели, трябва ... За да умножите дроб по дроб, трябва ... За да разделите дроб на дроб, трябва ...

2 гара Смекалкино

Колко ще бъде, ако 2 десетици се умножат по 3 десетици? 600 Три коня пробягаха 30 км. Колко мили измина всеки кон? 30 км. В една дъскорезница всяка минута машината отрязва парче от 1 м. За колко минути ще отреже дънер от 6 метра? 5 мин. Мотоциклетистът се движел към селото и срещнал 3 коли и камион. Колко коли отиваха към селото? 1 мотоциклетист

3 станция Спорт

4 станция Вичислялкино

Следвайте стъпки 1

Самостоятелна работа Задача №

Домашна работа № 916; № 921.