Под формата на математически формули и. Най-красивите физически и математически формули

Математикът Анри Поанкаре пише в своята книга „Наука и метод“: „Ако природата не беше красива, не би си струвало да я познаваме, животът не би си струвал да бъде изживян. Тук говоря, разбира се, не за красотата, която хваща окото ... Имам предвид онази по-дълбока красота, която се отваря в хармонията на частите, която се разбира само от ума. Тя е тази, която създава почвата, създава рамката за играта на видимите цветове, които галят чувствата ни и без тази опора красотата на мимолетните впечатления би била несъвършена, както всичко неясно и преходно. Напротив, интелектуалната красота сама по себе си носи удовлетворение.

P.A.M. Дирак пише: „Теоретичната физика има още един истински път на развитие. фундаментална характеристикаче най-основното физични закониса описани математическа теория, чийто апарат има необикновена здравина и красота. За да разберете тази теория, трябва да имате необичайно висока математическа квалификация. Може да попитате: защо природата е такава, каквато е? Има само един отговор на това: според нашите съвременни знания, природата е устроена така, а не иначе.

Преди седем години украинският физик (и художник) Наталия Кондратиева попита редица водещи световни математици: „Кои са трите математически формули, според вас, най-красивата?
В разговора за красотата на математическите формули участваха сър Майкъл Атия и Дейвид Елварси от Великобритания, Яков Синай и Александър Кирилов от САЩ, Фридрих Херцебрух и Юрий Манин от Германия, Дейвид Руел от Франция, Анатолий Вершик и Робърт Минлос от Русия и други математици от различни страни. От украинците в дискусията взеха участие академиците на Националната академия на науките Владимир Королюк и Анатолий Скороход. Част от така получените материали са в основата на публикацията на Наталия Кондратиева научна работа"Трите най-красиви математически формули."
Каква беше целта ви, когато попитахте математиците красиви формули?
— Всеки нов век носи актуализация на научната парадигма. В самото начало на века с усещането, че сме застанали на прага нова наука, нея нова роляв живота човешкото общество, обърнах се към математиците с въпрос за красотата на идеите зад тях математически символи, т.е. за красотата на математическите формули.
Вече могат да се отбележат някои особености на новата наука. Ако науката на ХХ век е много важна роля"приятелството" на математиката с физиката играе, сега математиката ефективно си сътрудничи с биологията, генетиката, социологията, икономиката ... Следователно науката ще разследва кореспонденциите. Математическите структури ще изследват съответствията между взаимодействията на елементите различни областии планове. И много неща, които преди сме приемали за даденост като философски твърдения, ще бъдат одобрени от науката като конкретно знание.
Този процес започва още през 20 век. И така, Колмогоров математически показа, че няма случайност, но има много голяма сложност. Фракталната геометрия потвърди принципа за единство в многообразието и т.н.
- Кои формули бяха обявени за най-красиви?
- Веднага трябва да кажа, че нямаше цел да организираме състезание за формули. В писмото си до математиците написах: „Хората, които искат да разберат какви закони управляват света, поемат по пътя на намирането на хармонията на света. Този път отива до безкрайност (защото движението е вечно), но хората продължават да го следват, т.к. има особена радост да се срещне с друга идея или идея. От отговорите на въпроса за красивите формули може би е възможно да се синтезира нов аспект на красотата на света. В допълнение, тази работа може да бъде полезна за бъдещите учени като идея за великата хармония на света и математиката като начин за намиране на тази красота.
Въпреки това сред формулите имаше ясни фаворити: формулата на Питагор и формулата на Ойлер.
Последваха ги физическите, а не математическите формули, които през ХХ век промениха разбирането ни за света – Максуел, Шрьодингер, Айнщайн.
Също така сред най-красивите са формулите, които все още се обсъждат, като уравненията физически вакуум. Бяха споменати и други красиви математически формули.
- Защо според вас на границата на второто и третото хилядолетие формулата на Питагор е обявена за една от най-красивите?
- По времето на Питагор тази формула се възприема като израз на принципа на космическата еволюция: два противоположни принципа (два квадрата, докосващи се правоъгълно) пораждат трети, равен на сбора им. Възможно е да се дадат геометрично много красиви интерпретации.
Може би има някаква подсъзнателна, генетична памет за онези времена, когато понятието „математика“ означаваше „наука“, а аритметиката, живописта, музиката, философията се изучаваха в синтез.
Рафаел Хасмински пише в писмото си, че в училище е бил поразен от красотата на формулата на Питагор, която до голяма степен определя съдбата му като математик.
Какво можете да кажете за формулата на Ойлер?
- Някои математици обърнаха внимание на факта, че "всички се събраха" в него, т.е. всичко най-прекрасно математически числа, а единицата е изпълнена с безкрайност! Това има дълбок философски смисъл.
Нищо чудно, че Ойлер е открил тази формула. Страхотен математикнаправи много, за да въведе красотата в науката, той дори въведе понятието „степен на красота“ в математиката. По-скоро той въвежда тази концепция в теорията на музиката, която смята за част от математиката.
Ойлер вярва, че естетическото чувство може да се развие и че това чувство е необходимо на учения.
Ще се позова на авторитетите ... Гротендик: "Разбирането на това или онова нещо в математиката е толкова съвършено, колкото е възможно да се усети красотата му."
Поанкаре: „В математиката има чувство.“ Той сравнява естетическото чувство в математиката с филтър, който избира най-хармоничното решение от множеството решения, което по правило е правилното. Красотата и хармонията са синоними, а най-висшето проявление на хармонията е световният закон на Баланса. Математиката изследва този закон на различни равнини на съществуване и в различни аспекти. Нищо чудно, че всяка математическа формула съдържа знак за равенство.
Мисля, че най-висшата човешка хармония е хармонията на мисълта и чувството. Може би затова Айнщайн е казал, че писателят Достоевски му е дал повече от математика Гаус.
За епиграф към работата за красотата в математиката взех формулата на Достоевски „Красотата ще спаси света“. И това също е обсъждано от математици.
И те се съгласиха с това твърдение?
— Математиците не одобриха или опровергаха това твърдение. Те го изясниха: "Осъзнаването на красотата ще спаси света." Това незабавно напомни за работата на Юджийн Уигнър за ролята на съзнанието в квантовите измервания, написана от него преди почти петдесет години. В тази работа Вигнер показа това човешкото съзнаниезасяга околен свят, т.е. ние не само получаваме информация отвън, но и изпращаме нашите мисли и чувства в отговор. Тази работа е все още актуална и има както своите поддръжници, така и противници. Силно се надявам през 21 век науката да докаже, че осъзнаването на красотата допринася за хармонизирането на нашия свят.

1. Формула на Ойлер. Мнозина видяха в тази формула символ на единството на цялата математика, защото в нея „-1 представлява аритметика, i – алгебра, π – геометрия и e – анализ“.

2. Това просто уравнение показва, че стойността от 0,999 (и така нататък ad infinitum) е еквивалентна на единица. Много хора не вярват, че това може да е вярно, въпреки че има няколко доказателства, базирани на теорията за границите. Равенството обаче показва принципа на безкрайността.


3. Това уравнение е формулирано от Айнщайн като част от пионерство обща теориятеория на относителността през 1915 г. Дясната страна на това уравнение описва енергията, съдържаща се в нашата вселена (включително „тъмната енергия“). Лява странаописва геометрията на пространство-времето. Равенството отразява факта, че в общата теория на относителността на Айнщайн масата и енергията определят геометрията и в същото време кривината, която е проява на гравитацията. Айнщайн каза, че лявата страна на уравненията на гравитацията в общата теория на относителността, съдържаща гравитационното поле, е красива и сякаш издълбана от мрамор, докато дясна частуравненията, които описват материята, все още са грозни, сякаш са направени от обикновено парче дърво.


4. Друга доминираща теория на физиката - Стандартният модел - описва електромагнитните, слабите и силните взаимодействия на всички елементарни частици. Някои физици смятат, че тя отразява всички процеси, протичащи във Вселената, с изключение на тъмна материя, тъмна енергияи не включва гравитацията. Бозонът на Хигс, неуловим до миналата година, също се вписва в Стандартния модел, въпреки че не всички експерти са сигурни в съществуването му.


5. Питагоровата теорема е една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните правоъгълен триъгълник. Помним я от училище и смятаме, че авторът на теоремата е Питагор. Всъщност тази формула се използва оттогава Древен Египетпо време на строежа на пирамидите.


6. Теорема на Ойлер. Тази теорема постави основите на нов клон на математиката - топология. Уравнението установява връзка между броя на върховете, ръбовете и лицата за полиедри, които са топологично еквивалентни на сфера.


7. специална теорияотносителността описва движението, законите на механиката и пространствено-времевите отношения при произволни скорости на движение, по-ниски скоростисветлина във вакуум, включително такива, близки до скоростта на светлината. Айнщайн излезе с формула, която описва, че времето и пространството не са абсолютни понятия, а по-скоро са относителни в зависимост от скоростта на наблюдателя. Уравнението показва как времето се разширява или забавя в зависимост от това как и къде се движи човек.


8. Уравнението е получено през 1750 г. от Ойлер и Лагранж при решаването на проблема с изохроната. Това е проблемът за определяне на кривата, която тежката частица поема до фиксирана точка за фиксирано време, независимо от началната точка. AT в общи линии, ако вашата система има симетрия, има съответен закон за запазване на симетрията.


9. Уравнението на Калан-Симанзика. Това е диференциално уравнение, описващо еволюцията n-корелационна функцияпри промяна на мащаба на енергиите, при които е дефинирана теорията и включва бета функциите на теорията и аномалните измерения. Това уравнение помогна за по-доброто разбиране на квантовата физика.


10. Уравнение на минималната повърхност. Това равенство обяснява образуването на сапунени мехури.


11. Правата на Ойлер. Теоремата на Ойлер е доказана през 1765 г. Той откри, че средите на страните на триъгълник и основите на неговите височини лежат на една и съща окръжност.


12. През 1928 г. P.A.M. Дирак предложи своя собствена версия на уравнението на Шрьодингер - което съответства на теорията на А. Айнщайн. Научният свят беше шокиран - Дирак откри своето уравнение за електрона чрез чисто математически манипулации с висши математически обекти, известни като спинори. И това беше сензация - досега всички големи открития във физиката трябва да стоят на солидна основа от експериментални данни. Но Дирак вярваше, че чистата математика, ако е достатъчно красива, е надежден критерий за правилността на заключенията. „Красотата на уравненията е по-важна от тяхното съответствие с експерименталните данни. ... Изглежда, че ако се стремите да получите красотата в уравненията и имате здрава интуиция, тогава сте на път правилният начин". Именно благодарение на неговите изчисления е открит позитронът - антиелектронът, и той предрича наличието на "спин" в електрона - въртенето на елементарна частица.


13. Дж. Максуел получава удивителни уравнения, които комбинират всички явления на електричеството, магнетизма и оптиката. Забележителен немски физик, един от основателите статистическа физика, Лудвиг Болцман, каза за уравненията на Максуел: „Не е ли Бог написал тези букви?“


14. Уравнение на Шрьодингер. Уравнение, описващо промяната в пространството и времето на чисто състояние, дадено от вълнова функция, в хамилтонови квантови системи. Играйте в квантова механикатолкова важно, колкото уравнението на втория закон на Нютон в класическата механика.

Главата ми се върти от многото математически формули, които трябва да знаете. Тъпченето и яслите са за слабите. Но за тези, които искат да станат по-силни в математиката, ще ви дадем няколко съвета как да запомните математически формули, така че да не изчезнат от главата ви преди теста, изпита или CT.

Разберете формулата

Ако запомните само последователност от променливи, рискувате да „загубите“ цялата формула, когато забравите символ или знак.

Използвайте всички видове памет

Прочетете формулите на глас, пишете на листа няколко пъти, докато си спомните. Използвайте всички видове памет, като се фокусирате върху водещата. Визуалната и двигателната памет заедно дават по-голям ефект. Разбира се, потенциалът за запаметяване е различен за всеки. Има специални техникикоито помагат .

Ето още няколко съвета как да запомните формули

Не забравяйте да направите формулите визуални: оградете формулата в рамка, напишете я в различен цвят. Така че ще бъде по-лесно да намерите в резюмето и да запомните. Още по-добре запишете формулите в отделна тетрадка, като ги структурирате по теми. Маркирайте в какви задачи е полезна тази или онази формула, каква е нейната особеност. Вземете навика да добавяте към списъка с формули. Такъв „дневник за наблюдение на формулата“ ще ви помогне да опресните паметта си важна информацияпреди контролна, изпит или КТ по ​​математика.

Много ученици също правят така: когато се раздават подпечатани чернови, вие ги взимате и веднага ги записвате върху тях важни формуликоито са трудни за вас. Половин час преди КТ вие визуално запомнихте тези формули и след това бързо ги записахте. Това спестява време. Този лайфхак е особено добър в тригонометрията. Колкото повече формули знаете, толкова по-добре.

Проверете себе си

Трябва постоянно да се връщате към научения материал, за да не го забравите. Опитайте метода "Две карти", подходящ е за запомняне на формули за редукция, съкратено умножение, тригонометрични формули. Вземете две купчини карти различен цвят, на едната напишете лявата страна на формулата, а на другата - дясната страна. Разделете по този начин всички формули, които трябва да запомните, след което смесете двете купчини. Издърпайте картата с лявата страна на формулата по ред и изберете нейното продължение сред „десните“ и обратно.

Картите са добри и в геометрията

За да запомните геометрични формули, вземете си карти по теми („Формули за площи“, „Формули за триъгълник“, „Формули за квадрат“ и др.) и напишете информация в тях, както следва.

Можете да фиксирате формулите в отделна тетрадка и винаги да ви е под ръка - както искате

Бъди позитивен

Ако научите нещо под напрежение, мозъкът сам иска да се отърве от товара на знанието. Мислете за запомняне на формули като добро упражнениеза трениране на паметта. Да, и настроението се повишава, когато си спомняте желаната формулаза решения.И разбира се, решете как можете повече тестовеи задачи за подготовка за контрол, изпит или КТ!

КТ по ​​математика е типични задачи: колкото повече тестове решавате, толкова по-голям е шансът да срещнете нещо подобно на КТ. Невъзможно е да се подготвите за DT на една задача. Но когато сте решили 100 проблема, тогава 101 проблема няма да създават трудности.

Дмитрий Судник, учител по математика в

Ако материалът е бил полезен за вас, не забравяйте да поставите „Харесва ми“ в нашите социални мрежи

На тази страница можете да видите или изтеглите безплатно най-популярните математически формули, таблици, както и справочни материали по висша математика. Всички математически таблици са съставени лично от мен и са снабдени с допълнителни коментари. Това беше направено с цел преодоляване на трудностите, които често срещат задочниците при решаването на задачи. Не претендирам да бъда изчерпателен, но ще откриете това, което е МНОГО ЧЕСТО.

Помислете например за таблица с тригонометрични формули. Има много тригонометрични формули, те са известни отдавна и няма смисъл да се пренаписват справочници. А ето и формулите, които много често се използват за решаване на курсови задачи висша математика, са събрани заедно и могат да бъдат много полезни при изпълнение практически задачи. В същото време в коментарите посочвам в кой раздел на висшата математика (граници, производни, интеграли и т.н.) почти винаги се появява тази или онази формула.

И така, точно сега имате безплатен достъп до ценни справочни материали, възможни са както онлайн преглед, така и изтегляне. Най-удобно е веднага да отпечатате математически таблици и справочни материали, които ви интересуват. Както показва практиката, информацията на екрана на монитора се абсорбира по-лошо, отколкото на хартия, и е по-трудно да се чете от монитора.

Почти всички файлове се поставят директно на сайта, което означава, че могат да бъдат получени възможно най-скоро, ограничени само от скоростта на вашата интернет връзка.

! В случай на неправилно показване на pdf, използвайте следните препоръки

Препоръчвам на всички да гледат. Тези формули се срещат в хода на решаването на задачи по висша математика буквално на всяка стъпка. Без познаване на тези формули - никъде. Как да започнете да изучавате висша математика? От повтаряне на това. Независимо от нивото на вашата математическа подготовка при този момент, силно е желателно ВЕДНАГА ДА ВИДИТЕ възможността за извършване на елементарни действия, прилагане на най-простите формули в хода на решаване на граници, интеграли, диференциални уравненияи т.н.

Наръчникът има кратка информацияза модула, формули за съкратено умножение, алгоритъм за решение квадратно уравнение, правилата за опростяване на многоетажни дроби и най-важните свойстваградуси и логаритми.

Най-"пътуващите" тригонометрични формули, които се използват в хода на решаване на задачи по висша математика. Всъщност има МАЛКО такива формули и събирането на десетки други от различни математически справочници е загуба на време. Всичко (или почти всичко), от което може да се нуждаете, е тук.

Когато правите задачи по математика, често се налага да се вглеждате в тригонометрични таблици. В това материал за справкатаблица със стойности на тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) е представена за стойности на аргументи от нула до 360 градуса. Имайте предвид тази информацияняма смисъл освен някои стойности на тригонометрични функции добре е да се знае. Също така са представени формули за редукция за горните тригонометрични функции, понякога(най-често при решаване на граници) са необходими. По искане на посетителите на сайта към pdf файла са добавени таблица със стойности на обратни тригонометрични функции и две формули: формула за преобразуване на градуси в радиани, формула за преобразуване на радиани в градуси.

Методически материале преглед на класациите на основните елементарни функциии техните свойства. Ще бъде полезно при изучаване на почти всички раздели на висшата математика, освен това справочното ръководство ще ви помогне много все по-качествениразбират някои теми. Можете също така да разберете кои стойности на функцията трябва да бъдат да знам наизустза да не получи "две автоматично" при отговор най-простият въпросизпитващ. Помощта е под формата на уеб страница и съдържа много графики на функции, които също си струва да запомните. С развитието на проекта ръководството започна да играе ролята на въвеждащ урок по темата „Функции и графики“.

На практика задочните студенти почти винаги трябва да използват първото и второто прекрасни граници, за което и въпросниятв тази помощ. Разглеждат се и още три забележителни граници, които са много по-редки. Всички прекрасни лимити са снабдени с допълнителни важни коментари. Освен това файлът е допълнен с информация за забележителни еквивалентности.

Справочникът съдържа правилата за диференциране и таблица с производни на основните елементарни функции. Таблицата е снабдена с много важни бележки.

Вашето ръководство за функции и графики. PDF систематизира и очертава информация за основните етапи на изследване на функцията на една променлива. Ръководството е придружено от връзки, което означава, че спестява много време. Ръководството е полезно както за чайника, така и за подготвения читател.

Като цяло, почти същото като в диференциално смятане. Правила за интегриране и таблица на интегралите с моите коментари.

Справочният материал е незаменим при изучаването на степенни редове. Таблицата показва разширения в степенни редове следните функции: експонента, синус, косинус, логаритъм, арктангенс и арксинус. Дадени са и биномното разлагане и най-често срещаните частни случаи на биномното разлагане. Серийното разширение на функция е самостоятелна задача, се използва за приблизителни изчисления, приблизителни изчисления на определен интеграл и в някои други задачи.

Основната трудност при решаването на нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициентие правилен изборна конкретно решение чрез формата на дясната страна. Това ръководство се отнася предимно за урока Как да решим нехомогенно уравнение от втори ред?и ще ви помогне лесно да разберете избора на конкретно решение. Помощта не претендира за задълбочена научна пълнота, тя е написана на прост и разбираем език, но в 99,99% от случаите ще съдържа точно случая, който търсите.

Помощта е незаменима в процеса на вземане на решение приложни задачи комплексен анализ – намиране на конкретно решение на DE чрез оперативен методи намиране на конкретно решение на DE системата по същия начин. Таблицата се различава от аналозите по това, че е „заточена“ специално за горните задачи, тази функцияулеснява овладяването на алгоритмите за решение. И директен, и обратна трансформацияЛаплас за най-често срещаните функции. В случай, че информацията не е достатъчна, препоръчвам ви да се обърнете към солиден математически справочник - пълна версиясъдържа над сто артикула.

Справочният материал съдържа формули за факториел, брой пермутации, комбинации, поставяния (с и без повторения), както и смислени коментари към всяка формула, позволяващи да разберете същността им. + Правила за комбинации от събиране и умножение. В допълнение, pdf съдържа кратка информация за бинома на Нютон и триъгълника на Паскал с примери за практическото им използване.

Файлът съдържа списък с формули с кратки коментари към двете глави на тервера - случайни събитияи случайни променливи, включително формули и числови характеристикишироко разпространени дискретни и непрекъснати разпределения. Помощта систематизира материала и е много удобна за изпълнение на практически задачи, влезте и веднага намерете това, от което се нуждаете!

Специални изчислителни програми:

AT този разделможете да намерите помощни програми за решаване на широки и тесни локални проблеми задачи по математика. Те ще ви помогнат бързо да завършите изчисленията и да вземете решение.

Универсален калкулаторреализирани в работна книга на MS Excel, която съдържа три листа. Програмата може да замени обикновен калкулатор с много функции. Всякакви степени, корени, логаритми, тригонометрични функции, арки - няма проблем! В допълнение, калкулаторът автоматично извършва основни операции с матрици, брои детерминанти (до детерминанта 5 на 5 включително), незабавно намира второстепенни и алгебрични добавкиматрици. За няколко секунди можете да решите система от линейни уравнения с помощта на обратната матрица и с помощта на формулите на Крамър, вижте основните етапи на решението. Всичко това е много удобно за самопроверка. Просто въведете числата си и получете резултата!

Това полуавтоматична програмасвързани с урока Трапецовидна формула, формула на Симпсъни помага да се изчисли приблизителната стойност на определения интеграл на 2, 4, 8, 10 и 20 сегмента на дяла. Приложен е видео урок за работа с калкулатора. Изчислете своя определен интегралв рамките на минути или дори секунди!

За сега това е всичко.

Секцията постепенно се допълва допълнителни материалии полезни програми. Всяко справочно ръководство е многократно редактирано и подобрено, включително като се вземат предвид вашите желания и коментари! Ако смятате, че нещо важно е пропуснато, открили сте неточности или може би нещо не е обяснено достатъчно ясно, непременно пишете!

С уважение, Емелин Александър

Образованието е това, което остава, след като всичко, което е преподавано в училище, е забравено.

Игор Хмелински, новосибирски учен, който сега работи в Португалия, доказва, че без директно запаметяване на текстове и формули развитието на абстрактната памет при децата е трудно. Ето откъси от неговата статияУроци образователни реформив Европа и страните от бившия СССР"

Учене наизуст и дългосрочна памет

Непознаването на таблицата за умножение има по-сериозни последици от невъзможността да се открият грешки в изчисленията на калкулатора. Нашата дългосрочна памет работи на принципа на асоциативна база данни, тоест определени елементи от информацията, когато се запомнят, се свързват с други въз основа на асоциациите, установени по време на запознаването с тях. Следователно, за да се формира база от знания във всеки предметна област, например в аритметиката първо трябва да научите поне нещо наизуст. Освен това новопостъпилата информация ще дойде от краткотрайна паметв дългосрочен, ако в рамките на кратък период от време (няколко дни) го срещнем много пъти и за предпочитане при различни обстоятелства (което допринася за създаването на полезни асоциации). Въпреки това, при липса на знания от аритметиката в постоянната памет, новопостъпилите елементи на информация се свързват с елементи, които нямат нищо общо с аритметиката - например личността на учителя, времето на улицата и др. Очевидно такова запаметяване няма да донесе никаква реална полза за ученика - тъй като асоциациите водят далеч от тази предметна област, ученикът няма да може да си спомни никакви знания, свързани с аритметиката, с изключение на неясни идеи, че той изглежда има нещо за това трябва Бях чул. За такива ученици обикновено се играе ролята на липсващи асоциации различен видподсказки - копирайте от колега, използвайте насочващи въпроси в самото контролно, формули от списъка с формули, които са разрешени за използване и др. AT истинския живот, без подкана, такъв човек се оказва напълно безпомощен и неспособен да приложи знанията, които са в главата му.

Формиране математически апарат, в който формулите не се запомнят, е по-бавно от другото. Защо? Първо, новите свойства, теореми, връзки между математически обекти почти винаги използват някои характеристики на предварително изучени формули и концепции. Ще бъде по-трудно да се съсредоточи вниманието на ученика върху нов материал, ако тези характеристики не могат да бъдат извлечени от паметта за кратък период от време. Второ, непознаването на формули наизуст пречи на търсенето на решения на значими проблеми с голямо количествомалки операции, при които се изисква не само да се извършат определени трансформации, но и да се идентифицира последователността на тези ходове, като се анализира прилагането на няколко формули две или три стъпки напред.

Практиката показва, че интелектуалните и математическо развитиедете, формирането на неговата база от знания и умения, се случва много по-бързо, ако повечето отизползваната информация (свойства и формули) е в главата. И колкото по-силно и по-дълго се държи там, толкова по-добре.