Всички формули на аритметична и геометрична прогресия 9. Урок по алгебра "Аритметична и геометрична прогресия" (9 клас)

Разбирането на много теми от математиката и физиката е свързано със знанието за свойствата на числовите серии. Учениците в 9 клас, когато изучават предмета "Алгебра", разглеждат една от важните поредици от числа - аритметична прогресия. Нека дадем основните формули на аритметичната прогресия (9 клас), както и примери за тяхното използване за решаване на проблеми.

Алгебрична или аритметична прогресия

Числовата серия, която ще бъде разгледана в тази статия, се нарича две различни начинипредставени в заглавието на този параграф. И така, аритметичната прогресия в математиката се разбира като такава числова серия, при което произволни две числа, стоящи едно до друго, се различават с една и съща сума, която се нарича разлика. Числата в такава серия обикновено се обозначават с букви с по-нисък целочислен индекс, например 1, 2, 3 и т.н., където индексът показва номера на елемента от серията.

Предвид горната дефиниция на аритметична прогресия, можем да запишем следното равенство: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, тук d е разликата на алгебричната прогресия, а n е всяко цяло число. Ако d>0, тогава можем да очакваме, че всеки следващ член на серията ще бъде по-голям от предишния, в този случай говорим за нарастваща прогресия. Ако d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Формули за аритметична прогресия (9 клас)

Разглежданата редица от числа, тъй като е подредена и се подчинява на определен математически закон, има две свойства, които са важни за нейното използване:

1. Първо, знаейки само две числа a 1 и d, можете да намерите всеки член на редицата. Това се прави с помощта на следната формула: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. Второ, за да изчислите сумата от n членове на първите, не е необходимо да ги добавяте по ред, тъй като можете да използвате следната формула: S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Първата формула е лесна за разбиране, тъй като тя е пряко следствие от факта, че всеки член на разглежданата серия се различава от съседния със същата разлика.

Втората формула на аритметична прогресия може да се получи, като се обърне внимание на факта, че сумата a 1 +a n е еквивалентна на сумите a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 и т.н. Наистина, тъй като a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1 и a n-1 = -d+a n, тогава заместването на тези изрази в съответстващи суми, получаваме, че те ще бъдат еднакви. Коефициентът n/2 във втората формула (за S n) се появява поради факта, че сумите от тип a i+1 +a n-i се оказват точно n/2, тук i е цяло число в диапазона от 0 до n/ 2 - едно.

Според оцелелите исторически доказателства, формулата за сумата S n е получена за първи път от Карл Гаус (известният немски математик), когато му е дадена задача от училищен учител да събере първите 100 числа.

Примерен проблем №1: Намерете разликата

Задачи, които поставят въпроса, както следва: познаването на формулите за аритметична прогресия, как да се намери q (d), са най-простите, които могат да бъдат само за тази тема.

Ето един пример: дадена е числова редица -5, -2, 1, 4, ..., е необходимо да се определи нейната разлика, т.е. d.

За да направите това е толкова лесно, колкото да обелите крушите: трябва да вземете два елемента и да извадите по-малкия от по-големия. В този случай имаме: d = -2 - (-5) = 3.

За да сте сигурни в получения отговор, се препоръчва да проверите останалите разлики, тъй като представената последователност може да не отговаря на условието за алгебрична прогресия. Имаме: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Тези данни показват, че сме получили правилния резултат (d=3) и доказахме, че поредицата от числа в постановката на задачата наистина е алгебрична прогресия.

Примерен проблем №2: Намерете разликата, като знаете два члена на прогресията

Помислете за друг интересен проблем, който възниква от въпроса как да се намери разликата. Формулата за аритметична прогресия в този случай трябва да се използва за n-тия член. И така, задачата: дадени са първо и пето число от редица, която отговаря на всички свойства на алгебрична прогресия, например, това са числата a 1 = 8 и a 5 = -10. Как да намеря разликата d?

Трябва да започнете да решавате този проблем, като напишете общата форма на формулата за n-тия елемент: a n = a 1 + d * (-1 + n). Сега можете да отидете по два начина: или да замените числата веднага и вече да работите с тях, или да изразите d и след това да отидете на конкретни 1 и 5. Нека използваме последния метод, получаваме: a 5 \u003d a 1 + d * (-1 + 5) или a 5 \u003d 4 * d + a 1, от което следва, че d \u003d (a 5 -a 1 ) / 4. Сега можете спокойно да замените известните данни от условието и да получите крайния отговор: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Имайте предвид, че в този случай разликата в прогресията се оказа отрицателна, тоест има намаляваща последователност от числа. Необходимо е да се обърне внимание на този факт при решаване на задачи, за да не се объркат знаците "+" и "-". Всички формули по-горе са универсални, така че винаги трябва да се следват, независимо от знака на числата, с които се извършват операциите.

Пример за решаване на задача № 3: намерете a1, като знаете разликата и елемента

Нека променим малко условието на задачата. Нека има две числа: разликата d=6 и 9-тия елемент от прогресията a 9 = 10. Как да намерим a1? Формулите на аритметичната прогресия остават непроменени, ние ще ги използваме. За числото a 9 имаме следния израз: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Откъдето лесно получаваме първия елемент от редицата: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Пример за решаване на задача №4: намерете a1, като знаете два елемента

Тази версия на проблема е сложна версия на предишната. Същността е същата, необходимо е да се изчисли a 1, но сега разликата d не е известна и вместо това е даден още един елемент от прогресията.

Пример за този тип задача е следният: намерете първото число в редица, за която е известно, че е аритметична прогресия и чиито 15-ти и 23-ти елемент са съответно 7 и 12.

Необходимо е да се реши тази задача, като се напише израз за n-тия член за всеки елемент, известен от условието, имаме: a 15 = d*(15-1)+a 1 и a 23 = d*(23- 1)+a 1 . Както можете да видите, получихме две линейни уравнения, които трябва да бъдат решени по отношение на a 1 и d. Нека направим това: извадете първото уравнение от второто уравнение, след което получаваме следния израз: a 23 -a 15 \u003d 22 * ​​​​d - 14 * d \u003d 8 * d. При извличането на последното уравнение, стойностите на 1 са пропуснати, защото се унищожават при изваждане. Замествайки известните данни, намираме разликата: d \u003d (a 23 -a 15) / 8 \u003d (12-7) / 8 \u003d 0,625.

Стойността на d трябва да бъде заменена във всяка формула за известен елемент, за да се получи първият член на редицата: a 15 = 14*d+a 1, от където: a 1 = a 15 -14*d = 7- 14*0,625 = -1,75.

Нека проверим резултата, за това намираме 1 през втория израз: a 23 \u003d d * 22 + a 1 или a 1 = a 23 -d * 22 \u003d 12 - 0,625 * 22 \u003d -1,75.

Пример за решаване на задача № 5: намерете сумата от n елемента

Както можете да видите, до този момент за решението е използвана само една формула за аритметична прогресия (клас 9). Сега даваме задача, за чиито решения трябва да знаем втората формула, тоест за сумата S n .

Дадена е следната подредена поредица от числа -1.1, -2.1, -3.1,..., трябва да изчислите сумата от първите 11 елемента.

От тази серия може да се види, че тя намалява, а 1 \u003d -1,1. Разликата му е: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Сега нека дефинираме 11-ия член: a 11 \u003d 10 * d + a 1 \u003d -10 + (-1.1) \u003d -11.1. След като завършите подготвителните изчисления, можете да използвате горната формула за сумата, имаме: S 11 \u003d 11 * (-1,1 + (-11,1)) / 2 \u003d -67,1. Тъй като всички членове бяха отрицателни числа, тяхната сума също има съответния знак.

Пример за решаване на задача № 6: намерете сумата от елементи от n до m

Може би този тип проблеми са най-трудни за повечето ученици. Нека дадем типичен пример: дадена е поредица от числа 2, 4, 6, 8 ..., трябва да намерите сумата от 7-ия до 13-ия член.

Формули аритметична прогресия(9 клас) се използват точно както във всички задачи преди. Тази задача се препоръчва да се решава на етапи:

1. Първо, намерете сумата от 13 члена, като използвате стандартната формула.
2. След това изчислете тази сума за първите 6 елемента.
3. След това извадете 2-рата от 1-вата сума.

Да пристъпим към решението. Както в предишния случай, ще извършим подготвителни изчисления: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Нека изчислим две суми: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Вземаме разликата и получаваме желания отговор: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Обърнете внимание, че при получаването на тази стойност сумата от 6 елемента на прогресията беше използвана като извадена, тъй като 7-ият член е включен в сумата S 7-13.

Тема: Аритметични и геометрични прогресии

Клас: 9

Система за обучение: материал за подготовка на изучаването на тема по алгебра и подготвителния етап за полагане на изпита OGE

Цел: формиране на понятията за аритметична и геометрична прогресия

Задачи: научете да разграничавате видовете прогресия, преподавайте правилно, използвайте формули

Аритметична прогресиянаименувайте поредица от числа (членове на прогресия)

в който всеки следващ термин се различава от предходния с стоманен член, който също се нарича стъпка или прогресивна разлика.

По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средното аритметично на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на прогресията е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Чрез това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също чрез свойството на аритметичната прогресия горната формула може да се обобщи до следното

Това е лесно да се провери, ако напишем термините отдясно на знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.

2) Сумата от първите n члена на аритметичната прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сбора на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започваща от нейния k-ти член, тогава следната формула за сумиране ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е намирането на сумата от n члена на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според условието имаме

Определете стъпката на прогресия

Според добре познатата формула намираме четиридесетия член на прогресията

Аритметичната прогресия се дава от нейните трети и седми член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Записваме дадените елементи на прогресията по формулите

Аритметичната прогресия е дадена от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100 .

Решение:

Нека напишем формулата за стотния елемент на прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата на частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сборът на прогресията е 250. Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заместваме получените стойности във формулата за сумата, за да определим броя на членовете в сумата

Правене на опростявания

и решаване на квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.

реши уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение:

Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата на прогресията

Заместваме намерените стойности във формулата за сумата на прогресията, за да намерим броя на членовете

Както и в предишната задача, извършваме опростявания и решаваме квадратното уравнение

Изберете по-логичната от двете стойности. Имаме, че сборът от 18 членове на прогресията с дадени стойности a1=1, d=2 е равен на Sn=307.

Примери за решаване на задачи: Аритметична прогресия

Задача 1

Студентският екип сключи договор за полагане на керамични плочки на пода в залата на младежкия клуб с площ от 288 м 2. Натрупвайки опит, студентите всеки следващ ден, започвайки от втория, полагаха 2 м 2 повече от предишния и имаха достатъчно плочки точно за 11 дни работа. Планирайки производителността да се увеличи по същия начин, бригадирът реши, че ще са необходими още 5 дни, за да завърши работата. Колко кутии с плочки трябва да поръча, ако 1 кутия е достатъчна за 1,2 m2 подова настилка, а 3 кутии са необходими за подмяна на некачествени плочки?

Решение

От условието на задачата е ясно, че говорим за аритметична прогресия, в която нека

a1=x, Sn=288, n=16

Тогава използваме формулата: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg. Изкуство.

288=(2x+2*15)*16/2

Изчислете колко m2 учениците ще разположат за 11 дни: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

288-143=145м2 остава след 11 дни работа, т.е. за 5 дни

145/1,2=121(приблизително) кутии трябва да се поръчат за 5 дни.

121+3=124 кутии трябва да бъдат поръчани с дефекти

Отговор: 124 кутии

Задача 2

След всяко движение на буталото на помпата за разреждане 20% от въздуха в него се отстранява от съда. Нека определим налягането на въздуха вътре в съда след шест движения на буталото, ако първоначалното налягане е 760 mm Hg. Изкуство.

Решение

Тъй като 20% от наличния въздух се отстранява от съда след всяко движение на буталото, остава 80% от въздуха. За да разберете налягането на въздуха в съда след следващото движение на буталото, трябва да увеличите налягането на предишното движение на буталото с 0,8.

Имаме геометрична прогресия, чийто първи член е 760 и чийто знаменател е 0,8. Числото, изразяващо налягането на въздуха в съда (в mm Hg) след шест хода на буталото, е седмият член на тази прогресия. То е равно на 760*0,86=200mm Hg. Изкуство.

Отговор: 200 mmHg

дадени аритметична прогресия, където петият и десетият член са равни съответно на 38 и 23. Намерете петнадесетия член на прогресията и сумата от нейните първи десет члена.

Решение:

Намерете номера на члена на аритметичната прогресия 5,14,23,..., ако неговият -ти член е равен на 239.

Решение:

намирам броят на членовете на една аритметична прогресия е 9,12,15,..., ако нейният сбор е 306.

Решение:

Намерете x, за който числата x-1, 2x-1, x2-5 образуват аритметична прогресия

Решение:

Намерете разликата между 1 и 2 члена на прогресията:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Намерете разликата между 2 и 3 членове на прогресията:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

защото разликата е същата, тогава условията на прогресията могат да бъдат приравнени:

При отметка и в двата случая се получава аритметична прогресия

Отговор: при x=-1 и x=4

Аритметичната прогресия е дадена от нейните трети и седми член a3=5; а7=13. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Изваждаме първото уравнение от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, така че d=2

Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първият член на аритметичната прогресия

Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Отговор: a1=1; S10=100

В аритметична прогресия, чийто първи член е -3,4 и разликата е 3, намерете петия и единадесетия член.

Знаем, че a1 = -3,4; d = 3. Намерете: a5, a11-.

Решение.За да намерим n-тия член на аритметичната прогресия, използваме формулата: an = a1+ (n – 1)d. Ние имаме:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3,4 + 4 3 \u003d 8,6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3,4 + 10 3 \u003d 26,6.

Както можете да видите, в този случай решението не е трудно.

Дванадесетият член на аритметичната прогресия е 74, а разликата е -4. Намерете тридесет и четвъртия член на тази прогресия.

Казват ни, че a12 = 74; d = -4 и трябва да намерите a34-.

В тази задача не е възможно веднага да се приложи формулата an = a1 + (n – 1)d, т.к първият член a1 не е известен. Този проблем може да бъде решен в няколко стъпки.

1. Използвайки термина a12 и формулата на n-тия член, намираме a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, сега опростете и заместете d: a12 = a1 + 11 (-4). От това уравнение намираме a1: a1 = a12 - (-44);

Знаем дванадесетия член от условието на задачата, така че изчисляваме a1 без никакви проблеми

a1 = 74 + 44 = 118. Нека да преминем към втората стъпка - изчисляване на a34.

2. Отново по формулата an = a1 + (n - 1)d, тъй като a1 вече е известно, ще определим a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Отговор: Тридесет и четвъртият член на аритметичната прогресия е -14.

Както можете да видите, решението на втория пример е по-сложно. Същата формула се използва два пъти, за да се получи отговорът. Но всичко е толкова сложно. Решението може да бъде съкратено чрез използване на допълнителни формули.

Както вече беше отбелязано, ако a1 е известно в задачата, тогава е много удобно да се приложи формулата за определяне на n-тия член на аритметична прогресия. Но ако в условието не е посочен първият член, тогава на помощ може да дойде формула, която свързва необходимия ни n-ти член и члена ak, посочен в задачата.

an = ak + (n – k)d.

Нека решим втория пример, но използвайки новата формула.

Дадено е: a12 = 74; d=-4. Намерете: a34-.

Използваме формулата an = ak + (n – k)d. В нашия случай ще бъде:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Отговорът в задачата беше получен много по-бързо, тъй като не беше необходимо да се извършват допълнителни действия и да се търси първият член на прогресията.

Използвайки горните формули, можете да решавате задачи за изчисляване на разликата на аритметична прогресия. И така, използвайки формулата an = a1 + (n - 1)d, можем да изразим d:

d = (an - a1) / (n - 1). Проблемите с даден първи член обаче не са толкова често срещани и могат да бъдат решени с помощта на нашата формула an = ak + (n – k)d, от която се вижда, че d = (an – ak) / (n – к). Нека разгледаме такава задача.

Намерете разликата на аритметичната прогресия, ако е известно, че a3 = 36; а8 = 106.

Използвайки формулата, която получихме, решението на проблема може да бъде написано в един ред:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Ако тази формула не беше в арсенала, решението на проблема щеше да отнеме много повече време, защото ще трябва да реши система от две уравнения.

геометрични прогресии

1. Формула на тия член (общ член на прогресията).
2. Формулата за сбора на първите членове на прогресията:. Когато е прието да се говори за конвергентна геометрична прогресия; в този случай можете да изчислите сумата от цялата прогресия, като използвате формулата.
3. Формулата на "средната геометрична": ако , , са три последователни члена на геометрична прогресия, то по силата на определението имаме връзката: или или .

Цел на играта :

1. Обобщаване и систематизиране на знанията на учениците по тази тема.
2. Запознаване на учениците с историческия материал.

Оборудване: плакат за играта "Progressio - движение напред."

Всички ученици са разделени на пет групи + съветите на мъдреците

Двадесети век свърши.
Къде отива човекът?
Изследвани космоса и морето
Устройството на звездите и цялата Земя.
Но математиците се обаждат
Известен слоган:
„Progressio – движение напред“.

Днес ще имаме съвет в класа – съветът на мъдреците. Мъдреците са ученици, които седят на групи в клас. И мъдреците, седящи на тази маса.

Разпознавате ли ги?

Седнали на масата: Архимед, Гаус, Магнитски.

Кой намери формулата за сбора на квадратите?
И дойде правилният път за напредък?
Математик и физик. Аз съм Архимед.
Има много легенди за живота ми.

О! Аз съм Карл Гаус! Моментално намерих сбора на всички естествени числа от 1 до 100, като ученик в началното училище.

Магнитски. Господи! Имам честта да се представя. Аз съм Леонтий Филипович Магнитски, създателят на първия учебник "Аритметика".

Учител. Кажете ми, момчета, защо тези учени изведнъж се събраха на една маса? Кой математически въпрос ги обединява? Ако не сте го разбрали, тогава внимателно гледайте сцената.

древна индийска легенда

Индуски крал се появява в класната стая със слуга.

Цар. Аз, хиндуисткият крал Шерам, научих играта на шах и се възхищавам на нейното остроумие и разнообразие от позиции. Слуга, нека наречем изобретателя Сету. Искам да те възнаградя адекватно, Сет, за прекрасната игра, която измисли. Посочете награда, която ще ви удовлетвори и ще я получите.

Сет. Господи Заповядайте ми да ми дадете едно житно зърно за първата клетка на шахматната дъска

Цар. Просто житно зърно?

Сет. Да, господарю. За втората клетка заповядайте да раздадете 2 зърна, за третата - 4, за четвъртата - 8, за петата - 16 и така до 64-та клетка.

Цар Шерам се засмя.

Учител. О, мъдреци от девети клас, нека се посъветваме. Трябва ли царят да се смее?

Запис на дъската: 1,2,4,8,16, ... .. S 64 -?

Учениците решават. b 1= 1, q=2, n=64, S 64 =2 64 - 1.

Учител. Колко голямо е това число? Кой може да го обясни?

Архимед. Най-мъдрият! Ако кралят можеше да посее жито по цялата повърхност на Земята, като броим моретата, океаните, планините, пустинята, Арктика и Антарктида, и получи задоволителна реколта, тогава може би след пет години той би могъл да плати изключено.

Гаус. Математиката е точна наука. ( Пише на дъската 18 446 744 073 709 551 615). 18 квинтилиона 446 квадрилиона 744 трилиона 73 милиарда 709 милиона 551 хиляди 615.

Магнитски. Господи мъдреци от 9 клас! Моите съвременници биха казали, че S 64 18.5 10 18 . Вярно, признавам ви, че в моя учебник "Аритметика", издаден преди 200 години, по който децата са учили половин век, има много задачи по темата "Прогресии", но аз самият реших някои от тях много трудно, тъй като все още не съм намерил всички формули, свързващи количествата, включени в тях.

Под скърцането на химикалка върху лист хартия.
Попълнете тези листове!
Нека нашите усилия Ви помогнат!

Раздават се празни листове за проверка на знанията по теорията, т.е. възстановява се основното резюме по темата „Прогресии“.

Учениците попълват таблицата. Следната таблица се появява на дъската:

	прогресии	Аритметика a n	Геометрични b n
	Определение		b n+1 =b n q (q0,q1)
	Формула от n първи членове	a n \u003d a 1 + (n-1) d
	Сумата от първите n члена на прогресията	S n =	S n = И търсенето им беше оценено от нас. Сега думите трябва да се комбинират, В каква фраза могат да се комбинират? „Математиката е кралицата на науките, аритметиката е кралицата на математиката“ О, мъдреци на времето! Не можете да намерите приятели. Съветът приключи днес Но всеки трябва да знае: Знания, постоянство, труд Води до прогрес в живота!

Обобщение на урока по алгебра в 9 клас

Тема на урока: Дефиниция на аритметична и геометрична прогресия.

Формула на n-ия член на аритметиката и геометрията

прогресии.

Тип урок : урок за изучаване на нов материал

Целта на урока:

Формиране на представите за аритметична и геометрична прогресия, като видове числови редици; извеждане на формулата на n-тия член на аритметичната и геометричната редица.

Запознаване с характерното свойство на членовете на аритметична и геометрична прогресия.

Формиране на умения у учениците да използват усвоените знания при решаване на задачи.

Цели на урока:

Образователни: въвеждат понятията аритметична и геометрична прогресия; формули на n-тия член; характерно свойство, което имат членовете на аритметична и геометрична прогресия.

Развиване: повишаване на съзнателното усвояване на материала чрез опозиция; развиват способността да сравняват математически концепции, да откриват прилики и разлики, да виждат модели, да разсъждават по аналогия, да развиват паметта и логическото мислене.

Образователни: създаване на условия за развитие на познавателен интерес към предмета.

План на урока:

1. Организация на началото на урока, поставяне на цели и задачи на урока.

2. Мотивация за изучаване на темата („Легендата за шахматната дъска“)

3. Учене на нов материал

4. Първично закрепване

5. Обобщаване на урока

6. Домашна работа

По време на часовете

1. Организация на началото на урока.

Назовете темата на урока, целта на урока, задачите.

2. Мотивация за изучаване на темата.

"Легендата за шахматната дъска".

Шахът е една от най-древните игри. Той съществува от много векове и не е изненадващо, че с него са свързани легенди, чиято достоверност не може да бъде проверена поради предписанието на времето. Искам да разкажа една от тези легенди. За да го разберете, изобщо не е нужно да знаете как се играе шах - достатъчно е да знаете, че играта се провежда на дъска, разделена на 64 клетки (редуващи се черни и бели).

Играта шах е изобретена в Индия и когато индийският цар Шерам я срещнал, той бил възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в него. След като научил, че играта е изобретена от един от поданиците му, царят наредил да го извика, за да го възнагради лично за успешно изобретение.

Изобретателят - името му беше Сета - се появи на трона на владетеля. Той беше скромно облечен учен, който получаваше прехраната си от учениците си.

Искам да те възнаградя адекватно, Сет, за прекрасната игра, която измисли, каза кралят.

Мъдрецът се поклони.

Аз съм достатъчно богат, за да изпълня и най-смелото ти желание - продължи кралят - Назови наградата, която ще те удовлетвори, и ще я получиш.

Сет мълчеше.

Не се срамувай - насърчи го царят - Изрази желанието си. Няма да пощадя нищо, за да го изпълня!

Голяма е вашата доброта, милорд. Но дай ми време да помисля върху отговора. Утре, след зрял размисъл, ще ви съобщя молбата си.

Когато на следващия ден Сета отново се появи на стълбите на трона, той изненада краля с несравнимата скромност на молбата си.

Господи, - каза Сет, - заповядайте ми да ми дам едно житно зърно за първата клетка на шахматната дъска.

Просто житно зърно? – удивил се царят.

Да, господарю. За втората клетка поръчайте да раздадете две зърна, за третата - четири, за четвъртата - 8, за петата - 16, за шестата - 32 ...

Достатъчно! - раздразнено го прекъсна кралят - Ще получите вашите зърна за всички 64 клетки на дъската, според вашето желание: за всяка два пъти повече от предишната. Но знайте, че вашата молба не е достойна за моята щедрост. Искайки такава незначителна награда, вие неуважително пренебрегвате моята милост. Наистина, като учител бихте могли да покажете най-добрия пример на уважение към добротата на вашия суверен. Отивам! Слугите ми ще ви донесат един чувал жито.

Сета се усмихна, излезе от залата и зачака пред портите на двореца.

На вечеря кралят си спомнил за изобретателя на шаха и изпратил да разберат дали безразсъдният Сет вече не е отнел мизерната му награда.

Господи, - беше отговорът, - заповедта ти се изпълнява. Придворните математици изчисляват броя на зърната, които следват.

Кралят се намръщи - не беше свикнал заповедите му да се изпълняват толкова бавно.

Вечерта, когато си лягаше, цар Шерам отново попита дали Сета е напуснал оградата на двореца с чувала си с жито.

Господи, - отговориха му те, - вашите математици работят неуморно и се надяват да приключат с броенето преди зазоряване.

Защо бавят това? - ядосано възкликнал царят - Утре, преди да се събудя, всичко до последното зърно трябва да бъде дадено на Сет. Не поръчвам два пъти!

На сутринта кралят беше информиран, че старшината на придворните математици поиска да изслуша важен доклад. Царят заповяда да го въведат.

Преди да говориш за твоя случай — обяви Шерам, — искам да чуя дали Сета най-после е получил незначителната награда, която сам е определил.

Поради тази причина се осмелих да се явя пред вас в толкова ранен "час", отговори старецът. "Ние съвестно преброихме целия брой зърна, които Сет иска да получи. Броят е толкова голям ...

Колкото и да е голямо, - високомерно го прекъсна кралят, - житниците ми няма да оскъдят! Награда е обещана и трябва да бъде дадена...

Не е във вашата власт, господарю, да изпълнявате такива желания. Във всичките ви хамбари няма толкова зърна, колкото поиска Сет. Няма го и в житниците на цялото кралство. Такъв брой зърна няма в цялото пространство на Земята. И ако искате да дадете обещаната награда непременно, тогава заповядайте да превърнете земните царства в обработваеми полета, заповядайте да пресушите моретата и океаните, заповядайте да разтопите леда и снега, покриващи далечните северни пустоши. Нека цялото им пространство бъде изцяло засято с жито. И всичко, което се ражда в тези полета, заповядайте да дадете на Сет. Тогава той ще получи наградата си.

С учудване царят изслушал думите на стареца.

Дай ми това чудовищно число, каза той замислено.

Осемнадесет квинтилиона четиристотин четиридесет и шест квадрилиона седемстотин четиридесет и четири трилиона седемдесет и три милиарда седемстотин девет милиона петстотин петдесет и една хиляди шестстотин и петнадесет, Господи! (18 446 744 073 709 551 615)

Такава е легендата. Дали разказаното тук наистина се е случило, не е известно, но че наградата, за която говори традицията, трябва да е била изразена точно в такъв брой.

Ако искате да си представите цялата необятност на този числен гигант, преценете какъв размер хамбар би бил необходим, за да побере такъв брой зърна. Известно е, че един кубичен метър пшеница съдържа около 15 милиона зърна. Това означава, че наградата за изобретател на шах трябва да заема приблизително

12 000 000 000 000 кубически метра м, или 12 000 куб.м. км. При височина на хамбара от 4 м и ширина от 10 м, дължината му би трябвало да се простира на 300 000 000 км, тоест два пъти повече от разстоянието от Земята до Слънцето!

Разбира се, индийският крал не е бил в състояние да издаде такава награда.

3. Представяне на нов материал.

Раздайте на всеки ученик листове, на които теоретичният материал е представен под формата на таблица, показваща разликите в дефинициите на аритметична и геометрична прогресия, техните характерни свойства, формули за намиране на n-тия член, формули за намиране на сумата от n-първи членове и за геометрична прогресия, формулата за сбора е безкрайна намаляваща геометрична прогресия.

Аритметична прогресия(a/p)	Геометрична прогресия(g/n)
Деф. Аритметичната прогресия е поредица от числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предходния, добавен със същото число. Например: -6; -четири; -2; 0; 2; четири;... 6; = -4; = -2; =0; = 2…	Деф. Геометричната прогресия е поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число, което не е равно на нула. Например: 5; петнадесет; 45; 135, ... 5; =15; =45; =135; …
д = 2 – разлика a/n d = - ; d=-	р = 3 - знаменател g/n q = ; Q=
Формула на n-ия член на a / p D = + 2d; D = + 3d; = + 4d;	Формула на n-тия член на g / p Q = ; Q = ;
Формулата за средния термин a / p

АРИТМЕТИЧНИ И ГЕОМЕТРИЧНИ ПРОГРЕСИИ.

Урок в 9 клас.

Учител по математика - Приходко Галина Владимировна

Цели на урока:

Образователни: усъвършенствайте уменията за използване на формули на аритметични и геометрични прогресии за решаване на проблеми с приложно съдържание, покажете използването на формули за прогресия за проблеми по физика, биология, икономика, проверете усвояването на знания чрез провеждане на самостоятелна работа в тестова форма.

Образователни: култивиране на чувство за отговорност, взаимно уважение, способност за работа в група.

Развитие: развиване на интерес към предмета, необходимост от придобиване на нови знания.

Тип урок: кръгла маса.

По време на часовете:

1.) Организационен момент. Студентите сформираха групи: Теоретичен отдел, История, Биология, Физика, Икономика.

2.) Проучване. Катедра по теория.

План за запитване: Определение, свойства, формула на n-тия член, формула за сбор.

Аритметична прогресия. Геометрична прогресия.

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) Катедра по история.

Имената на следните математици са свързани с понятието последователности. Членовете на редицата 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... се наричат ​​числа на Фибоначи. Това се обяснява с факта, че италианският математик и търговец Леонардо от Пиза (Фибоначи) е първият, който установи връзка между тази последователност и известния проблем за размножаването на зайци. В тази задача се изследва броят на потомството на една двойка зайци, която месечно носи двойка зайци, а тези след един месец също започват да произвеждат потомство.

Откакто Фибоначи откри своята последователност, бяха открити природни феномени, в които тази последователност играе важна роля. Едно от тях е филотаксисът (подреждане на листата) - правилото, според което например семената са разположени в съцветието на слънчогледа. Семената са подредени в два реда спирали, едната от които върви по часовниковата стрелка, другата срещу. И броят на семената във всеки случай е 34 и 55, но има и гиганти с 89 и 144 семена. Подобно свойство може да се намери в структурата на борови шишарки. Същото се наблюдава и при плодовете на ананаса.

Изключителният немски математик К. Гаус намери сумата от аритметична прогресия

1, 2, 3, …, 98,99,100 на 5 години.

С геометрична последователност 1, 2,
свързан със стара легенда. Индийският мъдрец, който изобретил шахматната игра, поискал от Раджа за своето изобретение скромна на пръв поглед награда: за първата клетка на шахматната дъска 1 зърно пшеница, за втората - 2, за третата - 4 и т.н. - за всяка следваща клетка два пъти повече от предходната. Общият брой зърна, които изобретателят поиска, е

Богатият раджа бил шокиран, когато научил, че не е в състояние да задоволи „скромното желание“ на мъдреца. Стойността на този израз е 18 446 744 073 709 551 615, т.е. 18 квинтилиона 446 квадрилиона 744 трилиона 73 милиарда 709 милиона 551 хиляди 615.

За да разберете колко голямо е това число, представете си, че зърното се съхранява в хамбар с площ от 12 хектара. Височината му ще бъде по-голяма от разстоянието от Земята до Слънцето.

4.) Катедра по биология.

В биологията също има явления, които могат да се характеризират с помощта на прогресии. По-специално възпроизвеждането на живи организми. Познавайки такива характеристики на организма като честотата на възпроизвеждане и броя на потомството, е възможно да се предвиди броят на популацията за определен период от време, като се използват прогресии. Такъв процес е разгледан в следващата задача.

ЗАДАЧА.

Бактерията, попаднала в тялото, се разделя на две до края на 20 минути, всяка от които отново се разделя на две до края на 20 минути и т.н. Колко бактерии ще има в тялото за един ден?

Решение:

Броят на бактериите се увеличава 2 пъти на всеки 20 минути, така че имаме:

1,2,4,8, ... геометрична прогресия, в която

според формулата
намирам

бактерии.

Отговор:
бактерии.

5.) Катедра по физика.

От историята на астрономията е известно, че И. Тиций, немски астроном XVIII век, използвайки поредица от числа на Фибоначи, намерил модел и ред в разстоянията между планетите на Слънчевата система. Въпреки това, един случай, който изглеждаше против закона: нямаше планета между Марс и Юпитер. Фокусираното наблюдение на тази област на небето доведе до откриването на астероидния пояс, което се случи след смъртта на Тиций в началото на 19 век.

Прогресиите изразяват законите на някои физически явления. Например ударната йонизация се извършва съгласно закона на геометричната прогресия. При ударна йонизация положителен йон, достигайки повърхността на отрицателен електрод, избива електрон. Този електрон, притежаващ голяма енергия, избива електрон от външната обвивка на атома, който среща по пътя си. Вече образуваните 2 електрона избиват още 2, 4-те получават още 4 и т. н. Образува се електронна лавина, нарастваща експоненциално.

Във физиката съществува концепцията за равномерно ускорено движение. Ако едно тяло се движи равномерно ускорено, то разстоянието, което изминава за всяка следваща единица време, се увеличава със същото количество. Тези. участъците от пътя, които тялото изминава за 1,2,3,4, ... единици време образуват аритметична прогресия.

ЗАДАЧА.

Топка, която се търкаля в улей, изминава 0,6 m през първата секунда и още 0,6 m през всяка следваща секунда. Колко време ще му отнеме да измине 6 метра?

Решение:
м,
м,
м.

5 не отговаря на условието на задачата

Топката изминава 6 метра за 4 секунди.

Отговор: 4 сек.

6.) Икономически отдел.

Първата банка е основана във Венеция през 1171 г. Оттогава банковата система се развива и подобрява.

В случай на внасяне на паричен депозит в банка, вложителят получава определен процент за използването на неговите средства.

ЗАДАЧА.

Банката плаща 2% годишно. Какъв ще бъде размерът на вноската от 800r в края на всяка година? За първа или за втора година ръстът на депозита е повече? Каква ще бъде вноската след 3 години?

Решение:

Позволявам A е първоначалният депозит, който представлява p % годишно, след това A
- растеж на депозита, за една година имаме

където
- се превърна в постоянна стойност за всяка сума. След 2 години имаме:

тези. нарастването на приноса се увеличава по закона на геометричната прогресия.

Ако вложителят постави 800 рубли в банката, при 2% годишно, тогава се образува увеличението

800 0,02 = 16 p

За първата година сумата на депозита е 800 + 16 = 816 рубли

За втората година 816 (1 + 0,02)² = 832,32 рубли

За всяка година първоначалната вноска се увеличава с 2%, така че след 3 години тя е равна на

800 (1,02)³ \u003d 800 1,06 \u003d 848 (r)

Отговор: 848r.

ЗАДАЧА.

Работниците получиха задача да изкопаят кладенец. За първия метър, изкопан в дълбините на кладенеца, се плащат 50 рубли, а за всеки следващ метър се плащат с 20 рубли повече от предишния. Колко пари (в рубли) ще бъдат платени на работниците за изкопан кладенец с дълбочина 12 метра?

Решение:

От условието на задачата имаме аритметична прогресия

трябва да се намери

Отговор: 1920 г

7) Решение на тестови задачи.

1 вариант.

1. Намерете разликата на аритметична прогресия, ако

А) 0,9; Б) -0,9; В 9; Г) -9.

2. Каква е сумата от първите четири члена на геометрична прогресия, първият член на която

и знаменателят

А) 70; Б) 85; Б) 80; Г) 75.

3. Каква е сумата от първите шест члена на аритметичната прогресия, ако

А) 85; Б) 95; Б) 105; Г) 115.

4. Сред тези последователности посочете аритметична прогресия.

А) 5;8;13;18; В) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;

Б) 45;40;33;27; Г) 7;9;12;14.

5. От редицата числа -9, -8, -6,4,5,6 са избрани две числа и е намерен техният продукт. Каква е най-малката стойност, която този продукт може да приеме?

А) -40; Б) -54; Б) -72; Г) -36.

6. Посочете геометрична прогресия сред тези последователности.

А) 6;18;54;162; B)1;2;3;5; В)3;8;13;18; Г) 21;19;17;15.

7. Какъв е третият член на геометрична прогресия, чийто първи член
и знаменателят

А) 15; Б) 45; Б) 135; Г) 75.

8. Намерете знаменателя на геометрична прогресия, ако

НО)
Б) AT)
G)

9. Намерете седмия член на аритметична прогресия, чийто първи член е 8, а разликата е 0,5.

А) 11; Б) 10; В) 10,5; Г) 9,5.

10. Намерете първия член на аритметичната прогресия, ако вторият член е 2,1, а разликата е 0,7.

А) 1,4; Б) 2,8; В) 0,3; Г) 14.7.

Вариант 2.

1. Коя редица е аритметична прогресия?

А) 1;2;4;8; Б) 8;10;13;17; В) 2; 4; 6; 8; Г) -8;8;-8;8.и знаменателят

А) -2; Б) -6; В 2; Г) 6.

Катедра по биология.

Задача. Една бактерия, веднъж попаднала в тялото, се разделя на 2 до края на 20 минути, всяка от които отново се дели на 2 до края на 20 минути и т.н. Колко бактерии ще има в тялото за един ден?

Катедра по физика.

Задача. Топка, която се търкаля в улей, изминава 0,6 m през първата секунда и още 0,6 m през всяка следваща секунда. Колко време ще му отнеме да измине 6 метра?

Катедра Икономика.

Задача. Банката плаща 2% годишно. Какъв ще бъде размерът на депозита от 800 гривни в края на всяка година? За първа или за втора година ръстът на депозита е повече? Каква ще бъде вноската след 3 години?

Катедри по история и теория.

Задача. Работниците получиха задача да изкопаят кладенец. За първия метър, изкопан в дълбините на кладенеца, се плащат 50 r, а за всеки следващ метър се плащат с 20 r повече от предишния. Колко пари (в рубли) ще бъдат платени на работниците за изкопан кладенец

12 м

Литература:

1. Открити уроци. Математика. 5,6,7,9,11 клетки Брой 2. Автори-съставители: Ляшова Н. М. и др. Волгоград: Учител, 2007-84.

2. Предметни седмици в училище. Математика. Съставител: Гончарова Л.В.

Волгоград: Учител, 2007-133с.

3. Сухарева Л.С. Дидактически игри в часовете по математика 7-9 клетки. Харков: Основа.2006-144с.