Изчислете модула на геометричната сума на векторите. Вектори

Много физически величини се определят напълно от присвояването на някакво число. Това са например обем, маса, плътност, телесна температура и др. Такива величини се наричат ​​скаларни. Поради тази причина числата понякога се наричат ​​скалари. Но има и такива количества, които се определят чрез задаване не само на число, но и на определена посока. Например, когато тялото се движи, трябва да се посочи не само скоростта, с която се движи тялото, но и посоката на движение. По същия начин, когато се изучава действието на всяка сила, е необходимо да се посочи не само стойността на тази сила, но и посоката на нейното действие. Такива количества се наричат вектор.За тяхното описание беше въведено понятието вектор, което се оказа полезно за математиката.

Определение на вектор

Всяка подредена двойка точки от A до B в пространството определя насочен сегмент, т.е. сегмент заедно с дадената върху него посока. Ако точка А е първа, тогава тя се нарича начало на насочения сегмент, а точка В се нарича негов край. Посоката на сегмента е посоката от началото към края.

Определение
Насочен сегмент се нарича вектор.

Ще обозначим вектора със символа \(\overrightarrow(AB) \), където първата буква означава началото на вектора, а втората - неговия край.

Нарича се вектор, чието начало и край са еднакви нулаи се обозначава с \(\vec(0) \) или просто 0.

Разстоянието между началото и края на вектора се нарича негово дължинаи се обозначава с \(|\стрелка надясно(AB)| \) или \(|\vec(a)| \).

Извикват се векторите \(\vec(a) \) и \(\vec(b) \). колинеаренако лежат на една права или на успоредни прави. Колинеарните вектори могат да бъдат насочени еднакво или противоположно.

Сега можем да формулираме важното понятие за равенството на два вектора.

Определение
Векторите \(\vec(a) \) и \(\vec(b) \) се наричат ​​равни (\(\vec(a) = \vec(b) \)), ако са колинеарни, имат една и съща посока, и дължините им са равни.

На фиг. 1, неравномерните вектори са показани отляво, а равните вектори \(\vec(a) \) и \(\vec(b) \) са показани отдясно. От определението за равенство на векторите следва, че ако даден вектор се премести успоредно на себе си, тогава ще се получи вектор, равен на дадения. В тази връзка векторите в аналитичната геометрия се наричат Безплатно.

Проекция на вектор върху ос

Нека оста \(u\) и някакъв вектор \(\overrightarrow(AB)\) са дадени в пространството. Нека начертаем точки A и B в равнината, перпендикулярна на оста \ (u \). Нека обозначим с A "и B" точките на пресичане на тези равнини с оста (виж Фигура 2).

Проекцията на вектора \(\overrightarrow(AB) \) върху оста \(u\) е стойността A"B" на насочения сегмент A"B" върху оста \(u\). Спомнете си това
\(A"B" = |\стрелка надясно(A"B")| \) , ако посоката \(\стрелка надясно(A"B") \) е същата като посоката на оста \(u \),
\(A"B" = -|\стрелка надясно(A"B")| \) ако посоката на \(\стрелка надясно(A"B") \) е противоположна на посоката на оста \(u \),
Проекцията на вектора \(\overrightarrow(AB) \) върху оста \(u \) се означава по следния начин: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).

Теорема
Проекцията на вектора \(\overrightarrow(AB) \) върху оста \(u \) е равна на дължината на вектора \(\overrightarrow(AB) \) по косинуса на ъгъла между вектора \( \overrightarrow(AB) \) и оста \( u \) , т.е.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \), където \(\varphi \) е ъгълът между вектора \(\overrightarrow(AB) \) и оста \(u \).

Коментирайте
Нека са дадени \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) и някаква ос \(u \). Прилагайки формулата на теоремата към всеки от тези вектори, получаваме

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) т.е. равните вектори имат равни проекции върху една и съща ос.

Векторни проекции върху координатни оси

Нека в пространството са дадени правоъгълна координатна система Oxyz и произволен вектор \(\overrightarrow(AB) \). Нека освен това \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Проекциите X, Y, Z на вектора \(\overrightarrow(AB) \) върху координатните оси го наричат координати.В същото време пишат
\(\стрелка надясно(AB) = (X;Y;Z) \)

Теорема
Каквито и да са две точки A(x 1 ; y 1 ; z 1) и B(x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), координатите на вектора \(\overrightarrow(AB) \) се определят от следните формули :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

Коментирайте
Ако векторът \(\overrightarrow(AB) \) напусне началото, т.е. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, тогава координатите X, Y, Z на вектора \(\overrightarrow(AB) \) са равни на координатите на неговия край:
X=x, Y=y, Z=z.

Векторни насочващи косинуси

Нека произволен вектор \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); приемаме, че \(\vec(a) \) напуска началото и не лежи в никоя координатна равнина. Нека начертаем през точка А равнини, перпендикулярни на осите. Заедно с координатните равнини те образуват правоъгълен паралелепипед, чийто диагонал е отсечката OA (виж фигурата).

От елементарната геометрия е известно, че квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на дължините на трите му измерения. Следователно,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Но \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); така получаваме
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
или
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Тази формула изразява дължината на произволен вектор по отношение на неговите координати.

Означете с \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) ъглите между вектора \(\vec(a) \) и координатните оси. От формулите за проекцията на вектора върху оста и дължината на вектора получаваме
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) се извикват насочващи косинуси на вектора \(\vec(a) \).

Поставяйки на квадрат лявата и дясната страна на всяко от предишните равенства и сумирайки резултатите, имаме
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
тези. сумата от квадратните насочващи косинуси на всеки вектор е равна на единица.

Линейни операции върху вектори и техните основни свойства

Линейните операции върху вектори са операциите на събиране и изваждане на вектори и умножаване на вектори по числа.

Събиране на два вектора

Нека са дадени два вектора \(\vec(a) \) и \(\vec(b) \). Сумата \(\vec(a) + \vec(b) \) е вектор, който върви от началото на вектора \(\vec(a) \) до края на вектора \(\vec(b) \), при условие че векторът \(\vec(b) \) е прикрепен към края на вектора \(\vec(a) \) (вижте фигурата).

Коментирайте
Действието на изваждане на вектори е обратното на действието на събиране, т.е. разликата \(\vec(b) - \vec(a) \) на векторите \(\vec(b) \) и \(\vec(a) \) е векторът, който заедно с вектора \( \vec(a) ) \) дава вектора \(\vec(b) \) (вижте фигурата).

Коментирайте
След като се определи сумата от два вектора, може да се намери сумата от произволен брой дадени вектори. Нека, например, са дадени три вектора \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Добавяйки \(\vec(a) \) и \(\vec(b) \), получаваме вектора \(\vec(a) + \vec(b) \). Сега добавяйки вектора \(\vec(c) \) към него, получаваме вектора \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Произведението на вектор от число

Нека са дадени вектор \(\vec(a) \neq \vec(0) \) и число \(\lambda \neq 0 \). Продуктът \(\lambda \vec(a) \) е вектор, който е колинеарен на вектора \(\vec(a) \), има дължина, равна на \(|\lambda| |\vec(a)| \), и посока, същата като на вектора \(\vec(a) \), ако \(\lambda > 0 \), и противоположна, ако \(\lambda (0) \) от числото \(\lambda \neq 0 \) може да се изрази по следния начин: ако \(|\lambda| >1 \), тогава при умножаване на вектора \(\vec(a) \) по числото \( \lambda \) векторът \( \vec(a) \) се "разтяга" с \(\lambda \) пъти и ако \(|\lambda| 1 \).

Ако \(\lambda =0 \) или \(\vec(a) = \vec(0) \), тогава продуктът \(\lambda \vec(a) \) се приема за равен на нулевия вектор.

Коментирайте
Използвайки определението за умножение на вектор с число, е лесно да се докаже, че ако векторите \(\vec(a) \) и \(\vec(b) \) са колинеарни и \(\vec(a) \neq \vec(0) \), тогава съществува (и само едно) число \(\lambda \), такова че \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Основни свойства на линейните операции

1. Комутативно свойство на събирането
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Съдружително свойство на събирането
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Асоциативно свойство на умножението
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Разпределително свойство по отношение на сбора на числата
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Разпределително свойство по отношение на сумата от вектори
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Коментирайте
Тези свойства на линейните операции са от фундаментално значение, тъй като правят възможно извършването на обикновени алгебрични операции върху вектори. Например, поради свойства 4 и 5, е възможно да се извърши умножение на скаларен полином по векторен полином "член по член".

Теореми за векторна проекция

Теорема
Проекцията на сумата от два вектора върху една ос е равна на сумата от техните проекции върху тази ос, т.е.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Теоремата може да се обобщи за произволен брой членове.

Теорема
При умножаване на вектора \(\vec(a) \) по числото \(\lambda \), неговата проекция върху оста също се умножава по това число, т.е. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

Последица
Ако \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) и \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), тогава
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Последица
Ако \(\vec(a) = (x;y;z) \), тогава \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) за произволно число \(\lambda \)

От тук е лесно да се направи извод условие за колинеарност на два вектора по координати.
Наистина, равенството \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) е еквивалентно на равенствата \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) или
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) т.е. векторите \(\vec(a) \) и \(\vec(b) \) са колинеарни тогава и само ако техните координати са пропорционални.

Разлагане на вектор по базис

Нека векторите \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) са единичните вектори на координатните оси, т.е. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), като всяка от тях е еднакво насочена със съответната координатна ос (виж фигурата). Тройка от вектори \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) се нарича база.
Важи следната теорема.

Теорема
Всеки вектор \(\vec(a) \) може да бъде разширен уникално в основата \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), т.е. представени във формата
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
където \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) са някои числа.

Сума от вектори. Дължината на вектора. Скъпи приятели, във видовете на задния изпит има група задачи с вектори. Задачи от доста широк спектър (важно е да се познават теоретичните основи). Повечето се решават устно. Въпросите са свързани с намиране на дължина на вектор, сбор (разлика) на вектори, скаларно произведение. Има и много задачи, при решаването на които е необходимо да се извършват действия с координатите на векторите.

Теорията зад векторите е проста и трябва да се разбира добре. В тази статия ще анализираме задачите, свързани с намирането на дължината на вектор, както и сумата (разликата) на векторите. Някои теоретични точки:

Векторна концепция

Векторът е насочен сегмент.

Всички вектори, които имат еднаква посока и еднакви по дължина, са равни.

*И четирите вектора по-горе са равни!

Тоест, ако използваме паралелна транслация, за да преместим дадения ни вектор, винаги ще получаваме вектор, равен на оригиналния. Следователно може да има безкраен брой равни вектори.

Векторна нотация

Векторът може да бъде обозначен с латински главни букви, например:

При тази форма на запис първо се записва буквата, обозначаваща началото на вектора, а след това буквата, обозначаваща края на вектора.

Друг вектор се обозначава с една буква от латинската азбука (главна):

Възможно е и обозначение без стрелки:

Сумата от двата вектора AB и BC ще бъде вектор AC.

Записва се като AB + BC \u003d AC.

Това правило се нарича - правило на триъгълника.

Тоест, ако имаме два вектора - да ги наречем условно (1) и (2), и краят на вектора (1) съвпада с началото на вектора (2), то сумата от тези вектори ще бъде вектор, чието начало съвпада с началото на вектора (1) , а краят съвпада с края на вектора (2).

Заключение: ако имаме два вектора в равнината, винаги можем да намерим тяхната сума. Използвайки паралелен превод, можете да преместите всеки от тези вектори и да свържете началото му с края на друг. Например:

Нека преместим вектора b, или по друг начин - ще построим равен на него:

Как се намира сумата от няколко вектора? По същия принцип:

* * *

правило на успоредник

Това правило е следствие от горното.

За вектори с общ произход тяхната сума е представена от диагонала на успоредника, построен върху тези вектори.

Нека построим вектор, равен на вектора bтака че началото му да съвпада с края на вектора аи можем да изградим вектор, който ще бъде тяхната сума:

Още малко важна информация, необходима за решаване на проблеми.

Вектор, равен по дължина на оригиналния, но противоположно насочен, също се обозначава, но има противоположен знак:

Тази информация е изключително полезна за решаване на задачи, в които има въпрос за намиране на разликата на векторите. Както можете да видите, разликата на векторите е една и съща сума в модифициран вид.

Нека са дадени два вектора, намерете тяхната разлика:

Построихме вектор, противоположен на вектор b, и намерихме разликата.

Векторни координати

За да намерите векторните координати, трябва да извадите съответните начални координати от крайните координати:

Тоест координатите на вектора са двойка числа.

Ако

И координатите на векторите изглеждат така:

Тогава c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Ако

Тогава c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

Векторен модул

Модулът на вектора е неговата дължина, определена по формулата:

Формулата за определяне на дължината на вектор, ако са известни координатите на началото и края му:

Помислете за задачите:

Двете страни на правоъгълника ABCD са 6 и 8. Диагоналите се пресичат в точка O. Намерете дължината на разликата между векторите AO и BO.

Нека намерим вектор, който ще бъде резултат от AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

Тоест разликата между векторите AO и VO ще бъде вектор AB. А дължината му е осем.

Диагонали на ромб ABCDса 12 и 16. Намерете дължината на вектора AB +AD.

Нека намерим вектор, който ще бъде сборът от векторите AD и AB BC е равен на вектора AD . Така че AB+AD=AB+BC=AC

AC е дължината на диагонала на ромба AC, то е равно на 16.

Диагоналите на ромба ABCD се пресичат в точка Ои са равни на 12 и 16. Намерете дължината на вектора AO + BO.

Нека намерим вектор, който ще бъде сумата от векторите AO и BO BO е равен на вектора OD,

AD е дължината на страната на ромба. Задачата се свежда до намиране на хипотенузата в правоъгълен триъгълник AOD. Нека изчислим краката:

Според теоремата на Питагор:

Диагоналите на ромба ABCD се пресичат в точка O и са равни на 12 и 16. Намерете дължината на вектора AO – BO.

Нека намерим вектор, който ще бъде резултат от AO - VO:

AB е дължината на страната на ромба. Задачата се свежда до намиране на хипотенузата AB в правоъгълен триъгълник AOB. изчислете краката:

Според теоремата на Питагор:

Страните на правилен триъгълник ABC са 3.

Намерете дължината на вектора AB -AC.

Нека намерим резултата от разликата на векторите:

CB е равно на три, защото условието гласи, че триъгълникът е равностранен и страните му са равни на 3.

27663. Намерете дължината на вектора a (6; 8).

27664. Намерете квадрата на дължината на вектора AB.

В математиката и физиката студентите и учениците често срещат задачи за векторни величини и за извършване на различни операции върху тях. Каква е разликата между познатите ни векторни величини и скаларни величини, чиято единствена характеристика е числова стойност? Защото имат посока.

Използването на векторни величини е най-ясно обяснено във физиката. Най-простите примери са сили (сила на триене, еластична сила, тегло), скорост и ускорение, тъй като освен числени стойности те имат и посока на действие. За сравнение, нека вземем скаларен пример: това може да е разстоянието между две точки или масата на тялото. Защо е необходимо да се извършват операции върху векторни величини като добавяне или изваждане? Това е необходимо, за да може да се определи резултатът от действието на векторна система, състояща се от 2 или повече елемента.

Дефиниции на векторната математика

Нека представим основните определения, използвани при извършване на линейни операции.

1. Векторът е насочен (имащ начална точка и крайна точка) сегмент.
2. Дължината (модул) е дължината на насочения сегмент.
3. Колинеарните вектори са два вектора, които са или успоредни на една права, или лежат едновременно на нея.
4. Противоположно насочените вектори се наричат ​​колинеарни и в същото време насочени в различни посоки. Ако посоката им съвпада, значи те са еднопосочни.
5. Векторите са равни, когато са еднакви по посока и имат еднаква абсолютна стойност.
6. Сумата от два вектора аи bе такъв вектор ° С, чието начало съвпада с началото на първото, а краят - с края на второто, при условие че bзапочва от същата точка, в която завършва а.
7. Векторна разлика аи bизвикайте сумата аи ( - b ), където ( - b ) - противоположно на вектора b. Също така дефиницията на разликата на два вектора може да бъде дадена по следния начин: чрез разликата ° Сдвойка вектори аи bнаречете това ° С, което, когато се добави към субтрахенда bобразува намалена а.

Аналитичен метод

Аналитичният метод включва получаване на координатите на разликата по формулата без конструкция. Възможно е да се извърши изчисление за плоско (двуизмерно), обемно (триизмерно) или n-измерно пространство.

За двумерно пространство и векторни величини а {a₁;a₂) и b {b1;b₂} изчисленията ще изглеждат така: ° С {c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

В случай на добавяне на трета координата, изчислението ще се извърши по подобен начин и за а {a₁;a₂; a₃) и b {b1;b₂; b₃) координатите на разликата също ще бъдат получени чрез изваждане по двойки: ° С {c1; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b3}.

Графично изчисляване на разликата

За да начертаете графично разликата, трябва да използвате правилото на триъгълника. За да направите това, трябва да изпълните следната последователност от действия:

1. За дадените координати постройте векторите, за които трябва да намерите разликата.
2. Комбинирайте краищата им (т.е. построете две насочени отсечки, равни на дадените, които ще завършват в една и съща точка).
3. Свържете началото на двата насочени сегмента и посочете посоката; получената ще започне в същата точка, където е започнал векторът, който се намалява, и ще завърши в началната точка на вектора, който се изважда.

Резултатът от операцията за изваждане е показан на фигурата по-долу..

Има и метод за конструиране на разлика, малко по-различен от предишния. Неговата същност се състои в прилагането на теоремата за разликата на векторите, която се формулира по следния начин: за да се намери разликата на двойка насочени сегменти, достатъчно е да се намери сумата на първия от тях с отрязъка срещу него към втория. Алгоритъмът за изграждане ще изглежда така:

1. Конструирайте начални насочени отсечки.
2. Този, който е subtrahend, трябва да бъде отразен, т.е. да се изгради противоположно насочен и равен сегмент; след това съчетайте началото му с намаленото.
3. Конструирайте сумата: свържете началото на първия сегмент с края на втория.

Резултатът от това решение е показан на фигурата:

Разрешаване на проблем

За да консолидираме умението, ще анализираме няколко задачи, в които се изисква да се изчисли разликата аналитично или графично.

Задача 1. На равнината има 4 точки: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Определете координатите на вектора q = AB - CD и изчислете дължината му.

Решение. Първо трябва да намерите координатите ABи CD. За да направите това, извадете координатите на началните точки от координатите на крайните точки. За ABначалото е А(1; -3), а край - б(0; 4). Изчислете координатите на насочената отсечка:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Подобно изчисление се извършва за CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Сега, знаейки координатите, можете да намерите разликата на векторите. Формулата за аналитичното решение на равнинни задачи беше разгледана по-рано: за ° С = а- bкоординатите изглеждат така ( c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). За конкретен случай можете да напишете:

р = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

За да намерите дължината р, използваме формулата | р| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Задача 2. На фигурата са показани векторите m, n и p.

За тях е необходимо да се конструират разлики: p- н; м- н; м-н- стр. Разберете кой има най-малък модул.

Решение. Задачата изисква три конструкции. Нека разгледаме всяка част от задачата по-подробно.

Част 1.За да се изобрази стр-н,Нека използваме правилото на триъгълника. За да направите това, използвайки паралелен превод, свързваме сегментите така, че крайната им точка да съвпада. Сега нека свържем началните точки и да определим посоката. В нашия случай векторът на разликата започва от същото място като извадения. н.

Част 2.Да изобразим м-н. Сега за решението използваме теоремата за разликата на векторите. За да направите това, конструирайте противоположен вектор н,и след това намерете сбора му с м.Резултатът ще изглежда така:

Част 3За да откриете разликата м-н-п,разделете израза на две стъпки. Тъй като във векторната алгебра се прилагат закони, подобни на законите на аритметиката, са възможни следните опции:

• m-(n+p): в този случай първо се изгражда сумата n+p, което след това се изважда от м;
• (m-n)-p: тук първо трябва да намерите м-н, и след това извадете от тази разлика стр;
• (m-p)-n: първото действие е определено м-п, след което от резултата трябва да извадите н.

Тъй като в предишната част на задачата вече намерихме разликата м-н, можем само да извадим от него стр. Нека конструираме разликата на два дадени вектора, използвайки теоремата за разликата. Отговорът е показан на изображението по-долу (червеното показва междинния резултат, а зеленото показва крайния резултат).

Остава да се определи кой от сегментите има най-малък модул. Спомнете си, че понятията дължина и модул във векторната математика са идентични. Преценете визуално дължините стр- n, m-ни м-н-стр. Очевидно отговорът в последната част на задачата е най-кратък и има най-малък модул, а именно м-н-стр.

Математическите или физическите величини могат да бъдат представени или като скаларни величини (числова стойност), или като векторни величини (величина и посока в пространството).

Векторът е насочена отсечка, за която е посочено коя от граничните му точки е началото и коя е краят. Така във вектора има два компонента - това е неговата дължина и посока.

Изображението на вектора върху чертежа.

При работа с вектори често се въвежда определена декартова координатна система, в която координатите на вектора се определят чрез разлагането му на базисни вектори:

За вектор, разположен в координатното пространство (x,y,z) и напускащ началото

Разстоянието между началото и края на вектора се нарича неговата дължина, а символът за модул се използва за обозначаване на дължината на вектора (неговата абсолютна стойност).

Векторите, разположени или на една права, или на успоредни прави, се наричат ​​колинеарни. Нулевият вектор се счита за колинеарен на всеки вектор. Сред колинеарните вектори се разграничават еднакво насочени (ко-насочени) и противоположно насочени вектори. Векторите се наричат ​​копланарни, ако лежат или на една и съща равнина, или на прави линии, успоредни на същата равнина.

1.Векторна дължина (векторен модул)

Дължината на вектора определя неговата скаларна стойност и зависи от неговите координати, но не зависи от неговата посока. Дължината на вектор (или модул на вектор) се изчислява, като се използва аритметичният квадратен корен от сумата на квадратите на координатите (компонентите) на вектора (използва се правилото за изчисляване на хипотенузата в правоъгълен триъгълник, където самият вектор става хипотенуза).

Чрез координатите се изчислява модулът на вектора, както следва:

За вектор, разположен в координатното пространство (x,y) и излизащ от началото

За вектор, разположен в координатно пространство (x,y,z) и излизащ от началото, формулата ще бъде подобна на формулата за диагонал на правоъгълен паралелепипед, тъй като векторът в пространството заема същата позиция спрямо координатата брадви.

2. Ъгъл между векторите

Ъгълът между два вектора, изчертани от една точка, е най-късият ъгъл, с който един от векторите трябва да бъде завъртян около началото си до позицията на втория вектор. Ъгълът между векторите се определя с помощта на израз за определяне на скаларното произведение на векторите

По този начин косинусът на ъгъла между векторите е равен на отношението на скаларното произведение към произведението на дължините или модулите на векторите. Тази формула може да се използва, ако са известни дължините на векторите и тяхното скаларно произведение или векторите са дадени с координати в правоъгълна координатна система на равнина или в пространството във формата: и .

Ако векторите A и B са дадени в тримерно пространство и координатите на всеки от тях са дадени във формата: и , тогава ъгълът между векторите се определя от следния израз:

Трябва да се отбележи, че ъгълът между векторите и може също да се определи чрез прилагане на косинусовата теорема за триъгълник: квадратът на която и да е страна на триъгълника е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоения продукт от тези страни по косинуса на ъгъла между тях.

където AB, OA, OB е съответната страна на триъгълника.

Косинусова теорема за триъгълник

По отношение на векторното смятане, тази формула ще бъде пренаписана, както следва:

Така ъгълът между векторите и се определя от следния израз:

където и е модулът (дължината) на вектора, и е модулът (дължината) на вектора, който се определя от разликата на два вектора. Неизвестните, влизащи в уравнението, се определят от координатите на векторите и .

3. Векторно добавяне

Събирането на два вектора и (сумата от два вектора) е операцията за изчисляване на вектора , всички елементи на който са равни на сумата по двойки на съответните елементи на векторите и . Ако векторите са дадени в правоъгълна координатна система сума от вектори

Графично, с позиция на два свободни вектораможе да се извърши както по правилото на триъгълника, така и по правилото на успоредника.

Събиране на два вектора

Добавянето на два плъзгащи се вектора се определя само в случай, че линиите, на които са разположени, се пресичат. Добавянето на два фиксирани вектора се дефинира само ако те имат общ произход.

правило на триъгълника.

За да съберем два вектора и съгласно правилото на триъгълника, и двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че началото на единия от тях да съвпада с края на другия. Тогава сумиращият вектор е даден от третата страна на образувания триъгълник, като началото му съвпада с началото на първия вектор, а краят с края на втория вектор.

където е ъгълът между векторите, когато началото на единия съвпада с края на другия.

правило на успоредник.

За да съберем два вектора и съгласно правилото на успоредника, двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че началото им да съвпадне. Тогава сумарният вектор се дава от диагонала на построения върху тях успоредник, идващ от общия им произход.

Модулът (дължината) на сумиращия вектор се определя от косинусовата теорема:

където е ъгълът между векторите, излизащи от една и съща точка.

Забележка:

Както виждате, в зависимост от избрания ъгъл се променя знакът пред косинуса на ъгъла във формулата за определяне на модула (дължината) на сумиращия вектор.

4. Разлика на векторите

Разликата на векторите и (векторно изваждане) е операция за изчисляване на вектор , всички елементи на който са равни на разликата по двойки на съответните елементи на векторите и . Ако векторите са дадени в правоъгълна координатна система векторна разликаи може да се намери по следната формула:

В графична форма разликата на векторите и е сумата от вектора и вектора, противоположен на вектора, т.е.

Разлика на два свободни вектора

Разликата на два свободни вектора в графична форма може да се определи както по правилото на триъгълника, така и по правилото на успоредника. Модулът (дължината) на вектора на разликата се определя от косинусовата теорема. В зависимост от ъгъла, използван във формулата, знакът пред косинуса се променя (обсъдено по-рано).

5. Точково произведение на вектори

Скаларното произведение на два вектора е реално число, равно на произведението на дължините на умножените вектори и косинуса на ъгъла между тях. Скаларното произведение на вектори и се означава с една от следните нотации или или и се определя от формулата:

където са дължините на векторите и, съответно, и е косинусът на ъгъла между векторите.

Точково произведение на два вектора

Скаларното произведение може да се изчисли и чрез координатите на векторите в правоъгълна координатна система в равнина или в пространството.

Скаларното произведение на два вектора в равнина или в тримерно пространство в правоъгълна координатна система е сумата от произведенията на съответните координати на векторите и .

По този начин, за вектори и в равнина в правоъгълна декартова координатна система, формулата за изчисляване на скаларното произведение е следната:

За триизмерно пространство формулата за изчисляване на скаларното произведение на векторите и има следната форма:

Свойства на скаларното произведение.

1. Свойството комутативност на скаларното произведение

2. Свойството на разпределимост на скаларното произведение

3. Асоциативно свойство на скаларното произведение (асоциативност)

където е произволно реално число.

Трябва да се отбележи, че в случай на:

Ако точковият продукт е положителен, тогава ъгълът между векторите е остър (по-малко от 90 градуса);

Ако точковият продукт е отрицателен, тогава ъгълът между векторите е тъп (по-голям от 90 градуса);

Ако точковият продукт е 0, тогава векторите са ортогонални (които лежат перпендикулярни един на друг);

Ако скаларното произведение е равно на произведението на дължините на векторите, тогава тези вектори са колинеарни един на друг (успоредни).

6. Векторно произведение на вектори

Векторно произведение на два вектора е вектор, за който са изпълнени следните условия:

1. векторът е ортогонален (перпендикулярен) на равнината на векторите и ;