Напишете уравнението за трептене на пружинно махало. Свободни трептения на пружинно махало

(1.7.1)

Ако топката се измести от равновесното положение на разстояние x, тогава удължението на пружината ще стане равно на Δl 0 + x. Тогава получената сила ще приеме стойността:

Като вземем предвид условието за равновесие (1.7.1), получаваме:

Знакът минус показва, че изместването и силата са в противоположни посоки.

Еластичната сила f има следните свойства:

1. Тя е пропорционална на изместването на топката от равновесното положение;
2. Тя винаги е насочена към равновесното положение.

За да се информира системата за преместването x, е необходимо да се извърши работа срещу еластичната сила:

Тази работа отива за създаване на резерв от потенциална енергия на системата:

Под действието на еластична сила топката ще се движи към равновесното положение с все по-голяма скорост. Следователно потенциалната енергия на системата ще намалее, но кинетичната енергия ще се увеличи (пренебрегваме масата на пружината). След като достигне равновесно положение, топката ще продължи да се движи по инерция. Това е бавен каданс и ще спре, когато кинетичната енергия се преобразува напълно в потенциална. Тогава същият процес ще продължи, когато топката се движи в обратна посока. Ако в системата няма триене, топката ще трепти неограничено дълго.

Уравнението на втория закон на Нютон в този случай е:

Нека трансформираме уравнението така:

Въвеждайки нотацията , получаваме линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред:

Чрез директно заместване е лесно да се провери, че общото решение на уравнение (1.7.8) има формата:

където a е амплитудата, а φ е началната фаза на трептенето - постоянни стойности. Следователно трептенето на пружинно махало е хармонично (фиг. 1.7.2).

Ориз. 1.7.2. хармонично трептене

Поради периодичността на косинуса, различни състояния на трептящата система се повтарят след определен период от време (период на трептене) T, през който фазата на трептене получава увеличение от 2π. Можете да изчислите периода, като използвате уравнението:

от където следва:

Броят на трептенията за единица време се нарича честота:

Единицата за честота е честотата на такова трептене, чийто период е 1 s. Тази единица се нарича 1 Hz.

От (1.7.11) следва, че:

Следователно ω 0 е броят на трептенията, направени за 2π секунди. Стойността ω 0 се нарича кръгова или циклична честота. Използвайки (1.7.12) и (1.7.13), записваме:

Диференцирайки () по отношение на времето, получаваме израз за скоростта на топката:

От (1.7.15) следва, че скоростта също се променя по хармоничния закон и изпреварва фазовото отместване с ½π. Диференцирайки (1.7.15), получаваме ускорението:

1.7.2. Математическо махало

Математическо махалонаречена идеализирана система, състояща се от неразтеглива безтегловна нишка, върху която е окачено тяло, цялата маса на което е концентрирана в една точка.

Отклонението на махалото от равновесното положение се характеризира с ъгъла φ, образуван от нишката с вертикалата (фиг. 1.7.3).

Ориз. 1.7.3. Математическо махало

Когато махалото се отклони от позицията на равновесие, възниква въртящ момент, който се стреми да върне махалото в позиция на равновесие:

Нека напишем уравнение за динамиката на въртеливото движение на махалото, като вземем предвид, че неговият инерционен момент е равен на ml 2:

Това уравнение може да се доведе до формата:

Ограничавайки се до случая на малки флуктуации sinφ ≈ φ и въвеждайки обозначението:

уравнение (1.7.19) може да бъде представено по следния начин:

което съвпада по форма с уравнението на трептенията на пружинно махало. Следователно неговото решение ще бъде хармонично трептене:

От (1.7.20) следва, че цикличната честота на трептене на математическото махало зависи от неговата дължина и ускорението на свободното падане. Използвайки формулата за периода на трептене () и (1.7.20), получаваме известната връзка:

1.7.3. физическо махало

Физическото махало е твърдо тяло, което може да осцилира около фиксирана точка, която не съвпада с центъра на инерцията. В равновесно положение центърът на инерцията на махалото C е под точката на окачване O на същия вертикал (фиг. 1.7.4).

Ориз. 1.7.4. физическо махало

Когато махалото се отклони от равновесното положение с ъгъл φ, възниква въртящ момент, който се стреми да върне махалото в равновесно положение:

където m е масата на махалото, l е разстоянието между точката на окачване и центъра на инерцията на махалото.

Нека напишем уравнението за динамиката на въртеливото движение на махалото, като вземем предвид, че инерционният момент е равен на I:

За малки флуктуации sinφ ≈ φ. След това, въвеждайки нотацията:

което също съвпада по форма с уравнението на трептенията на пружинно махало. От уравнения (1.7.27) и (1.7.26) следва, че при малки отклонения на физическото махало от равновесното положение, то извършва хармонично трептене, чиято честота зависи от масата на махалото, инерционния момент и разстоянието между оста на въртене и инерционния център. Използвайки (1.7.26), можете да изчислите периода на трептене:

Сравнявайки формулите (1.7.28) и (), получаваме, че математическо махало с дължина:

ще има същия период на трептене като разглежданото физическо махало. Извиква се количеството (1.7.29). намалена дължинафизическо махало. Следователно намалената дължина на физическо махало е дължината на такова математическо махало, чийто период на трептене е равен на периода на трептене на дадено физическо махало.

Точка на права линия, свързваща точката на окачване с центъра на инерцията, която лежи на разстояние на намалената дължина от оста на въртене, се нарича люлеещ се центърфизическо махало. Според теоремата на Щайнер инерционният момент на физическото махало е:

където I 0 е инерционният момент около центъра на инерцията. Замествайки (1.7.30) в (1.7.29), получаваме:

Следователно намалената дължина винаги е по-голяма от разстоянието между точката на окачване и инерционния център на махалото, така че точката на окачване и центърът на люлеене лежат от противоположните страни на инерционния център.

1.7.4. Енергия на хармоничните вибрации

При хармонично трептене има периодично взаимно преобразуване на кинетичната енергия на трептящото тяло E k и потенциалната енергия E p, поради действието на квазиеластична сила. От тези енергии се добавя общата енергия E на осцилаторната система:

Нека напишем последния израз

Но k \u003d mω 2, така че получаваме израза за общата енергия на осцилиращото тяло

По този начин общата енергия на хармонично трептене е постоянна и пропорционална на квадрата на амплитудата и на квадрата на кръговата честота на трептенето.

1.7.5. гасени вибрации .

При изучаването на хармоничните трептения не са взети предвид силите на триене и съпротивление, които съществуват в реалните системи. Действието на тези сили значително променя характера на движението, трептенето става затихване.

Ако освен квазиеластичната сила в системата действат и силите на съпротивление на средата (сили на триене), тогава вторият закон на Нютон може да се запише, както следва:

където r е коефициентът на триене, който характеризира свойствата на средата да се съпротивлява на движението. Заменяме (1.7.34b) в (1.7.34a):

Графиката на тази функция е показана на фиг. 1.7.5 като плътна крива 1, а пунктирана линия 2 показва промяната в амплитудата:

При много малко триене периодът на затихнало трептене е близък до периода на незатихнало свободно трептене (1.7.35.b)

Скоростта на намаляване на амплитудата на трептенията се определя от фактор на затихване: колкото по-голямо е β, толкова по-силен е забавящият ефект на средата и толкова по-бързо намалява амплитудата. На практика често се характеризира степента на затихване логаритмичен декремент на затихване, което означава с това стойност, равна на натурален логаритъм от съотношението на две последователни амплитуди на трептене, разделени от интервал от време, равен на периода на трептене:

;

Следователно коефициентът на затихване и логаритмичният декремент на затихване са свързани чрез доста проста връзка:

При силно затихване от формула (1.7.37) се вижда, че периодът на трептене е имагинерна величина. Движението в този случай вече се нарича апериодичен. Графиката на апериодичното движение е показана на фиг. 1.7.6. Наричат ​​се незатихващи и затихващи трептения собствен или Безплатно. Те възникват в резултат на първоначалното преместване или начална скорост и възникват при липса на външно влияние поради първоначално натрупаната енергия.

1.7.6. Принудителни вибрации. Резонанс .

принудени Трептения се наричат ​​тези, които възникват в системата с участието на външна сила, която се променя според периодичен закон.

Да приемем, че в допълнение към квазиеластична сила и сила на триене, външна движеща сила действа върху материалната точка

,

където F 0 - амплитуда; ω - кръгова честота на трептенията на движещата сила. Съставяме диференциално уравнение (втори закон на Нютон):

,

Амплитудата на принудителното трептене (1.7.39) е правопропорционална на амплитудата на движещата сила и има сложна зависимост от коефициента на затихване на средата и кръговите честоти на собствените и принудените трептения. Ако за системата са дадени ω 0 и β, то амплитудата на принудените трептения има максимална стойност при определена специфична честота на движещата сила, т.нар. резонансен.

Самото явление - достигане на максимална амплитуда за дадени ω 0 и β - се нарича резонанс.

Ориз. 1.7.7. Резонанс

При липса на съпротивление амплитудата на принудените трептения при резонанс е безкрайно голяма. В този случай от ω res = ω 0, т.е. резонанс в система без затихване възниква, когато честотата на движещата сила съвпада с честотата на собствените трептения. Графичната зависимост на амплитудата на принудителните трептения от кръговата честота на движещата сила за различни стойности на коефициента на затихване е показана на фиг. 5.

Механичният резонанс може да бъде както полезен, така и вреден. Вредният ефект на резонанса се дължи главно на разрушаването, което може да причини. Така че в технологията, като се вземат предвид различните вибрации, е необходимо да се предвиди възможната поява на резонансни условия, в противен случай може да има разрушения и бедствия. Телата обикновено имат няколко собствени честоти на трептене и съответно няколко резонансни честоти.

Ако коефициентът на затихване на вътрешните органи на човек не е голям, тогава резонансните явления, възникнали в тези органи под въздействието на външни вибрации или звукови вълни, могат да доведат до трагични последици: разкъсване на органи, увреждане на връзки и др. Такива явления обаче практически не се наблюдават при умерени външни въздействия, тъй като коефициентът на затихване на биологичните системи е доста голям. Въпреки това във вътрешните органи възникват резонансни явления под действието на външни механични вибрации. Това, очевидно, е една от причините за негативното въздействие на инфразвуковите трептения и вибрации върху човешкото тяло.

1.7.7. Автоколебания

Съществуват и такива осцилаторни системи, които сами регулират периодичното попълване на изразходваната енергия и следователно могат да се колебаят за дълго време.

Незатихващите трептения, които съществуват във всяка система при липса на променливо външно влияние, се наричат собствени трептения, и самите системи самоосцилиращ.

Амплитудата и честотата на автоколебанията зависят от свойствата на самата автоколебателна система, за разлика от принудителните трептения, те не се определят от външни влияния.

В много случаи автоколебателните системи могат да бъдат представени от три основни елемента (фиг. 1.7.8): 1) действителната трептяща система; 2) източник на енергия; 3) регулатор на енергоснабдяването на действителната осцилаторна система. Осцилаторната система чрез канала за обратна връзка (фиг. 6) действа върху регулатора, като информира регулатора за състоянието на тази система.

Класически пример за механична самоосцилираща система е часовник, в който махало или баланс е осцилираща система, пружина или повдигната тежест е източник на енергия, а котвата е регулатор на входящата енергия от източник в осцилаторна система.

Много биологични системи (сърце, бели дробове и др.) са автоколебателни. Типичен пример за електромагнитна автоколебателна система са генераторите на автоколебателни трептения.

1.7.8. Добавяне на вибрации в една посока

Помислете за добавянето на две хармонични трептения с еднаква посока и еднаква честота:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2).

Хармонично трептене може да се зададе с помощта на вектор, чиято дължина е равна на амплитудата на трептенията, а посоката образува ъгъл с някаква ос, равна на началната фаза на трептенията. Ако този вектор се върти с ъглова скорост ω 0, тогава неговата проекция върху избраната ос ще се промени според хармоничния закон. Въз основа на това избираме някаква ос X и представяме трептенията с помощта на векторите a 1 и a 2 (фиг. 1.7.9).

От фигура 1.7.6 следва, че

.

Схеми, в които трептенията се изобразяват графично като вектори в равнина, се наричат ​​векторни диаграми.

Това следва от формула 1.7.40. Че ако фазовата разлика на двете трептения е равна на нула, амплитудата на полученото трептене е равна на сумата от амплитудите на добавените трептения. Ако фазовата разлика на добавените трептения е равна на , то амплитудата на полученото трептене е равна на . Ако честотите на добавените трептения не са еднакви, тогава векторите, съответстващи на тези трептения, ще се въртят с различни скорости. В този случай полученият вектор пулсира по величина и се върти с непостоянна скорост. Следователно в резултат на добавянето се получава не хармонично трептене, а сложен колебателен процес.

1.7.9. удари

Помислете за добавянето на две хармонични трептения в една и съща посока, леко различни по честота. Нека честотата на единия от тях е равна на ω , а честотата на втория ω + ∆ω и ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t.

Събирайки тези изрази и използвайки формулата за сумата от косинусите, получаваме:

Трептенията (1.7.41) могат да се разглеждат като хармонични трептения с честота ω, чиято амплитуда варира според закона . Тази функция е периодична с честота два пъти по-голяма от честотата на израза под знака на модула, т.е. с честота ∆ω. По този начин честотата на амплитудните пулсации, наречена честота на биене, е равна на разликата в честотите на добавените трептения.

1.7.10. Добавяне на взаимно перпендикулярни вибрации (фигури на Лисажу)

Ако материална точка осцилира както по оста x, така и по оста y, тогава тя ще се движи по някаква криволинейна траектория. Нека честотата на трептене е една и съща и началната фаза на първото трептене е равна на нула, тогава записваме уравненията на трептене във формата:

Уравнение (1.7.43) е уравнението на елипса, чиито оси са произволно ориентирани спрямо координатните оси x и y. Ориентацията на елипсата и размерът на нейните полуоси зависят от амплитудите a и b и фазовата разлика α. Нека разгледаме някои специални случаи:

(m=0, ±1, ±2, …). В този случай уравнението има формата

Това е уравнението на елипса, чиито оси съвпадат с координатните оси, а нейните полуоси са равни на амплитудите (фиг. 1.7.12). Ако амплитудите са равни, тогава елипсата става кръг.

Фиг.1.7.12

Ако честотите на взаимно перпендикулярни трептения се различават с малко ∆ω, те могат да се разглеждат като трептения със същата честота, но с бавно променяща се фазова разлика. В този случай могат да се напишат уравненията на трептенията

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

и изразът ∆ωt+α се разглежда като фазова разлика, която бавно се променя с времето според линеен закон. Полученото движение в този случай следва бавно променяща се крива, която последователно ще приеме формата, съответстваща на всички стойности на фазовата разлика от -π до +π.

Ако честотите на взаимно перпендикулярните трептения не са еднакви, тогава траекторията на полученото движение има формата на доста сложни криви, т.нар. Фигури на Лисажу. Нека, например, честотите на добавените трептения се отнасят към 1 : 2 и фазова разлика π/2. Тогава уравненията на трептенията имат формата

x=a cos ωt, y=b cos.

Докато по оста x точката успява да се премести от едно крайно положение в друго, по оста y, излизайки от нулевата позиция, тя успява да достигне едно крайно положение, след това друго и да се върне. Изгледът на кривата е показан на фиг. 1.7.13. Кривата със същото съотношение на честотите, но фазовата разлика равна на нула, е показана на фиг. 1.7.14. Съотношението на честотите на добавените трептения е обратно на отношението на броя на точките на пресичане на фигурите на Лисажу с прави линии, успоредни на координатните оси. Следователно, чрез появата на фигурите на Лисажу, може да се определи съотношението на честотите на добавените трептения или неизвестна честота. Ако една от честотите е известна.

Фиг.1.7.13

Фиг.1.7.14

Колкото по-близо до единица е рационалната дроб, изразяваща съотношението на честотите на вибрациите, толкова по-сложни са получените фигури на Лисажу.

1.7.11. Разпространение на вълната в еластична среда

Ако в някое място на еластична (твърда течна или газообразна) среда се възбудят вибрации на нейните частици, тогава поради взаимодействието между частиците тази вибрация ще се разпространява в средата от частица към частица с определена скорост υ. се нарича процесът на разпространение на трептенията в пространството вълна.

Частиците на средата, в която се разпространява вълната, не са въвлечени от вълната в постъпателно движение, те само осцилират около своите равновесни положения.

В зависимост от посоките на трептенията на частиците по отношение на посоката, в която се разпространява вълната, има надлъжни и напреченвълни. При надлъжна вълна частиците на средата осцилират по посока на разпространението на вълната. При напречна вълна частиците на средата осцилират в посоки, перпендикулярни на посоката на разпространение на вълната. Еластични напречни вълни могат да възникнат само в среда с устойчивост на срязване. Следователно в течни и газообразни среди могат да възникнат само надлъжни вълни. В твърда среда е възможно възникването както на надлъжни, така и на напречни вълни.

На фиг. 1.7.12 показва движението на частиците по време на разпространение в среда на напречна вълна. Числата 1, 2 и т.н. означават частици, които изостават една от друга на разстояние, равно на (¼ υT), т.е. от разстоянието, изминато от вълната за една четвърт от периода на трептенията, направени от частиците. В момента, приет за нулев, вълната, разпространяваща се по оста отляво надясно, достигна частица 1, в резултат на което частицата започна да се движи нагоре от равновесното положение, увличайки следващите частици със себе си. След една четвърт от периода частица 1 достига най-горната равновесна позиция на частица 2. След още една четвърт от периода първата част ще премине равновесното положение, движейки се в посока отгоре надолу, втората частица ще достигне най-горната позиция, а третата частица ще започне да се движи нагоре от равновесната позиция. В момент от време, равен на T, първата частица ще завърши пълния цикъл на трептене и ще бъде в същото състояние на движение като началния момент. Вълната към момента T, след като е преминала пътя (υT), ще достигне до частица 5.

На фиг. 1.7.13 показва движението на частици по време на разпространение в среда на надлъжна вълна. Всички съображения относно поведението на частиците в напречна вълна могат да се приложат и към този случай, като изместванията нагоре и надолу се заменят с измествания надясно и наляво.

От фигурата се вижда, че при разпространението на надлъжна вълна в средата се създават редуващи се кондензации и разреждания на частици (местата на кондензация са оградени на фигурата с пунктирана линия), движещи се по посока на разпространение на вълната със скорост υ.

Ориз. 1.7.15

Ориз. 1.7.16

На фиг. 1.7.15 и 1.7.16 показва трептения на частици, чиито позиции и равновесия лежат на оста х.В действителност не само частиците осцилират по оста х,а сбор от частици, затворени в определен обем. Разпространявайки се от източниците на трептения, вълновият процес обхваща все повече и повече части от пространството, местоположението на точките, до които достигат трептенията към момента t, се нарича фронт на вълната(или фронт на вълната). Вълновият фронт е повърхността, която разделя частта от пространството, която вече е въвлечена във вълновия процес, от областта, в която трептенията все още не са възникнали.

Географското място на точките, осцилиращи в една и съща фаза, се нарича вълнова повърхност . Вълновата повърхност може да бъде начертана през всяка точка от пространството, обхванато от вълновия процес. Следователно има безкраен брой вълнови повърхности, докато във всеки момент има само един вълнов фронт. Вълновите повърхности остават неподвижни (преминават през равновесните позиции на частици, осцилиращи в една и съща фаза ). Вълновият фронт се движи постоянно.

Вълновите повърхности могат да бъдат с всякаква форма. В най-простите случаи те имат формата на равнина или сфера. Съответно вълната в тези случаи се нарича плоска или сферична. При плоска вълна вълновите повърхности са набор от равнини, успоредни една на друга, при сферична вълна - набор от концентрични сфери.

Ориз. 1.7.17

Нека плоска вълна се разпространява по оста х. Тогава всички точки на сферата, позициите, равновесията на които имат една и съща координата х(но разликата в стойностите на координатите ги z),трептят в една и съща фаза.

На фиг. 1.7.17 показва крива, която дава отместване ξ от равновесното положение на точки с различни хв някакъв момент от време. Тази рисунка не трябва да се приема като видимо изображение на вълна. Фигурата показва графика на функциите ξ (x, t)за някои фиксирани точка във времето T.Такава графика може да се изгради както за надлъжни, така и за напречни вълни.

Разстоянието λ за къса вълна, която се разпространява за време, равно на периода на трептене на частиците на средата, се нарича дължина на вълната. Очевидно е, че

където υ е скоростта на вълната, T е периодът на трептене. Дължината на вълната може да се определи и като разстоянието между най-близките точки на средата, осцилираща с фазова разлика, равна на 2π (виж Фиг. 1.7.14)

Заменяйки във връзка (1.7.45) T с 1/ν (ν е честотата на трептене), получаваме

До тази формула може да се стигне и от следните съображения. За една секунда източникът на вълна извършва ν трептения, генерирайки в средата по време на всяко трептене един "гребен" и един "корито" на вълната. Докато източникът завърши ν -тото колебание, първият "гребен" ще има време да премине през пътя υ. Следователно, ν „гребени“ и „корита“ на вълната трябва да се поберат в дължината υ.

1.7.12. Уравнение на плоска вълна

Вълновото уравнение е израз, който дава изместването на осцилираща частица като функция на нейните координати x, y, z и време T :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(има предвид координатите на равновесното положение на частицата). Тази функция трябва да бъде периодична по отношение на времето T , и спрямо координатите x, y, z. . Периодичността във времето следва от факта, че точките са отдалечени една от друга на разстояние λ , се колебаят по същия начин.

Намерете вида на функцията ξ в случай на плоска вълна, като приемем, че трептенията са хармонични. За да опростим, насочваме координатните оси така, че оста х съвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновите повърхности ще бъдат перпендикулярни на оста х и тъй като всички точки от вълновата повърхност трептят еднакво, преместването ξ ще зависи само от х и T:

ξ = ξ (x, t) .

Фиг.1.7.18

Нека трептения на точки, лежащи в равнината х = 0 (фиг. 1.7.18), имат формата

Нека намерим вида на трептене на точки в равнината, съответстващи на произволна стойност х . Да отидеш далеч от самолета х=0 до тази равнина вълната отнема време ( υ е скоростта на разпространение на вълната). Следователно, трептения на частици, лежащи в равнината х , ще изостане във времето с τ от вибрации на частици в равнината х = 0 , т.е. ще изглежда като

Така, уравнение на равнинна вълна(надлъжни и напречни), разпространяващи се по посока на оста х , както следва:

Този израз определя връзката между времето t и това място х , в който фазата има фиксирана стойност. Получената dx/dt стойност дава скоростта, с която се движи дадената фазова стойност. Диференцирайки израза (1.7.48), получаваме

Уравнението на вълна, разпространяваща се в посока на намаляване х :

При извеждането на формула (1.7.53) приехме, че амплитудата на трептене не зависи от х . За плоска вълна това се наблюдава, когато вълновата енергия не се абсорбира от средата. При разпространение в енергопоглъщаща среда интензитетът на вълната постепенно намалява с отдалечаване от източника на трептенията - наблюдава се затихване на вълната. Опитът показва, че в хомогенна среда такова затихване се извършва по експоненциален закон:

Съотв уравнение на равнинна вълна, като се има предвид затихването, има следната форма:

(1.7.54)

(a 0 е амплитудата в точките на равнината x = 0).

Наричат ​​се периодични трептения хармоничен , ако променливата стойност се променя с времето според закона за косинус или синус:

Тук
- циклична честота на трептене, Ае максималното отклонение на осцилиращото количество от равновесното положение ( амплитуда на трептене ), φ( T) = ω T+ φ 0 – фаза на трептене , φ 0 – начална фаза .

Графиката на хармоничните трептения е показана на фигура 1.

Снимка 1– Графика на хармоничните трептения

При хармоничните трептения общата енергия на системата не се променя с времето. Може да се покаже, че общата енергия на механична осцилаторна система с хармонични вибрации е равна на:

.

Хармонично осцилиращо количество с(T) се подчинява на диференциалното уравнение:

, (1)

което се нарича диференциално уравнение на хармоничните трептения.

Математическото махало е материална точка, окачена на неразтеглива безтегловна нишка, която осцилира в една вертикална равнина под действието на гравитацията.

Период на Codeban

физическо махало.

Физическото махало е твърдо тяло, фиксирано върху фиксирана хоризонтална ос (ос на окачване), което не минава през центъра на тежестта и се колебае около тази ос под действието на гравитацията. За разлика от математическото махало, масата на такова тяло не може да се счита за точкова маса.

При малки ъгли на отклонение α (фиг. 7.4) физическото махало също извършва хармонични трептения. Ще приемем, че теглото на физическото махало е приложено към неговия център на тежестта в точка C. Силата, която връща махалото в равновесно положение, в този случай ще бъде компонентът на гравитацията - силата F.

За да изведем закона за движение на математическите и физическите махала, ние използваме основното уравнение за динамиката на въртеливото движение

Силов момент: не може да се определи изрично. Като се вземат предвид всички количества, включени в първоначалното диференциално уравнение на трептенията на физическо махало, то има формата:

Решение на това уравнение

Нека определим дължината l на математическото махало, при която периодът на неговите трептения е равен на периода на трептения на физическото махало, т.е. или

. От тази връзка определяме

Тази формула определя намалената дължина на физическо махало, т.е. дължината на такова математическо махало, чийто период на трептене е равен на периода на трептене на дадено физическо махало.

Пружинно махало

Това е тежест, прикрепена към пружина, чиято маса може да бъде пренебрегната.

Докато пружината не се деформира, еластичната сила върху тялото не действа. В пружинното махало трептенията се извършват под действието на еластична сила.

Въпрос 36 Енергия на хармоничните вибрации

При хармоничните трептения общата енергия на системата не се променя с времето. Може да се покаже, че общата енергия на механична трептителна система за хармонични вибрации е равна на.

Хармонични вибрации

Най-простите трептения са хармоничните трептения, т.е. такива колебания, при които осцилиращата стойност се променя с времето според закона на синуса или косинуса.

Механичните вибрации, които възникват под действието на сила (възстановяваща сила), пропорционална на преместването и насочена противоположно на него, се наричат ​​хармонични вибрации - диференциално уравнение, - решение

x- изместване на флуктуираща величина от положителното равновесие

66. Основни характеристики на GC

А - амплитуда - максимално изместване от равновесното положение

0 ) - фаза на трептене - определя преместването в даден момент

0 – начална фаза – определя се от положението на системата в началния момент от времето

ω - собствена честота на трептенията, определена от параметрите на системата

Роля на началните условия – А, начална фаза

67. Начини за графично представяне на колебателни процеси:

плоска диаграма

векторна диаграма

68. Векторна диаграма- метод за графично определяне на осцилаторно движение под формата на вектор.

Вземете оста, която обозначаваме с буквата x. От точка O, взета по оста, начертаваме вектор с дължина a, сключващ ъгъл α с оста. Ако доведем този вектор до въртене с ъглова скорост ω 0, тогава проекцията на края на вектора ще се движи по оста x в диапазона от –a до +a и координатата на тази проекция ще се промени с течение на времето според към закона x \u003d a cos (ω 0 t + α).

Следователно проекцията на вектора върху оста ще извърши хармонично трептене с амплитуда, равна на дължината на вектора, с кръгова честота, равна на ъгловата скорост на въртене на вектора, и с начална фаза, равна на ъгъла образуван от вектора с оста в началния момент от време.

Че. хармонично трептене може да се определи с помощта на вектор, чиято дължина е равна на амплитудата на трептенето, а посоката на вектора образува ъгъл с оста x, равен на началната фаза на трептенето.

69. Пружинно махало- товар, окачен на пружина.

Извеждаме диференциала на пружинното махало

70. Математическо махалонаречена идеализирана система, състояща се от безтегловна и неразтеглива нишка, върху която е окачена маса, концентрирана в една точка. Отклонението на махалото от равновесното положение ще се характеризира с ъгъла, образуван от нишката с вертикалата. Когато махалото се отклони от равновесното положение, възниква въртящ момент M, равен на M = -mgl sin.Той има такава посока, че се стреми да върне махалото в равновесно положение.

71. Физическо махало -всяко твърдо тяло, което има ос на въртене, която не съвпада с центъра на масата.

Заключение за диференциалното ниво на трептенията:

72. Намалена дължина на физическо махалое дължината на такова математическо махало, чийто период на трептене съвпада с периода на даденото физическо махало.

Собствена честота за пружинно махало

Собствена честота на математическо махало

73. Периодичните или почти периодичните промени в заряда, тока и напрежението се наричат ​​електромагнитни трептения.

Най-простата система, в която могат да възникнат свободни електромагнитни трептения, се състои от кондензатор и намотка, прикрепена към неговите плочи. Такава система се нарича осцилаторна верига.

Честотата на трептенията е броят на трептенията за единица време. υ = 1/T

Продължителността на едно пълно трептене се нарича период на трептене. T = 1/υ

където L е индуктивността, C е електрическият капацитет

74. Събиране на колинеарни трептения със същата честота:

Преместването x на трептящо тяло ще бъде сумата от преместванията x1 и x2, които ще бъдат записани по следния начин: x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1) x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2)

Нека представим и двете трептения с помощта на векторите a1 и a2. Нека построим резултантния вектор a според правилата за добавяне на вектори. Проекцията на този вектор върху оста x е равна на сумата от проекциите на членовете на векторите: x1=x1+x2. След това векторът a е резултантното трептене. Този вектор се върти със същата ъглова скорост ω 0 като векторите a1 и a2, така че полученото движение ще бъде хармонично трептене с честота ω 0, амплитуда a и начална фаза α.

75. Нека малко тяло се колебае върху взаимно перпендикулярни пружини със същата твърдост.По каква траектория ще се движи това тяло? Това са уравненията на траекторията в параметрична форма.

За да се получи изрична връзка между координатите x и y, параметърът t трябва да бъде изключен от уравненията. От първото уравнение:

От второто:

След смяна:

Нека се отървем от корена: - това е уравнението на елипса.

76. В реални условия винаги има разпръснати сили (десепативни?), водещи до намаляване на енергията във веригата. Нека разгледаме частен случай на механични трептения при наличие на сила на вискозно триене.

Диференциално уравнение на затихващите трептения

77. Основни параметри на затихналите трептения.

ω0 - собствена честота на колебателната система, без затихване, β - коефициент на затихване - характеризира скоростта на затихване

Време на релаксация, през което амплитудата намалява с фактор e.

Коефициент на качество - показател за скоростта на напускане на енергията от осцилаторната система

Q \u003d 2π, където E-енергията, съхранявана във веригата, е енергията за периода. Q=πNe, където Ne е броят на трептенията по време на времето на релаксация.

Диференциалното уравнение на затихналите трептения за пружинно махало.

79. Диференциално уравнение за затихнали трептения на веригата e\m

Неговото решение е функцията

q(t)=q 0 e - βtcos (ωt+), където честотата на трептене ω= За трептяща верига

80. Амплитуда и честота на затихващите трептения, - амплитуда на затихнали трептения

ω0 е собствената честота на трептението без затихване Честотата на затихващите трептения е по-малка от собствената честота.

Амплитудата намалява експоненциално, където

Тук - е честотата на затихналите трептения.

τ е преходен режим, след който се установяват трептения с честотата на движещата сила.

83. Принудителни вибрации -се извършват в осцилаторни системи под действието на външна периодична сила, която се променя по хармоничния закон:

f 0 - амплитуда на принудителната сила

честота на принудителна сила

Амплитудата на принудените трептения зависи от честотата на движещата сила.

Резонансът е явление на рязко увеличаване на амплитудата при честота на принудени трептения, близка до собствената.

резонансна честота

84. Амплитуда -честотни характеристики. Във верига с висок качествен фактор амплитудата на резонанса е голяма, но честотната лента е малка, а във верига с рязък качествен фактор амплитудата е малка, но честотната лента е голяма във вериги, където коефициентът на затихване е близо до критичен.

Обективен. Да се ​​запознаят с основните характеристики на незатихващите и затихващите свободни механични трептения.

Задача. Определете периода на собствените трептения на пружинното махало; проверете линейността на зависимостта на квадрата на периода от масата; определяне на твърдостта на пружината; определяне на периода на затихващи трептения и логаритмичния декремент на затихване на пружинното махало.

Инструменти и аксесоари. Статив с везна, пружина, комплект тежести с различно тегло, съд с вода, хронометър.

1. Свободни трептения на пружинно махало. Главна информация

Трептенията са процеси, при които една или повече физични величини, описващи тези процеси, периодично се променят. Трептенията могат да бъдат описани с различни периодични функции на времето. Най-простите трептения са хармонични трептения - такива трептения, при които осцилиращата стойност (например преместването на товар върху пружина) се променя с времето според закона на косинуса или синуса. Трептенията, които възникват след действието на външна краткотрайна сила върху системата, се наричат ​​свободни.

Ако товарът се отстрани от равновесното положение, се отклонява от сумата х, тогава еластичната сила нараства: Епр = – kx 2= – к(х 1 + х). След като достигне равновесното положение, товарът ще има ненулева скорост и ще премине равновесното положение по инерция. При по-нататъшно движение отклонението от равновесното положение ще се увеличи, което ще доведе до увеличаване на еластичната сила и процесът ще се повтори в обратна посока. По този начин осцилаторното движение на системата се дължи на две причини: 1) желанието на тялото да се върне в равновесно положение и 2) инерция, която не позволява на тялото незабавно да спре в равновесно положение. При липса на сили на триене трептенията биха продължили безкрайно дълго. Наличието на сила на триене води до факта, че част от вибрационната енергия се превръща във вътрешна енергия и вибрациите постепенно изчезват. Такива трептения се наричат ​​затихващи.

Незатихващи свободни вибрации

Първо, разгледайте трептенията на пружинно махало, което не се влияе от силите на триене - незатихващи свободни трептения. Според втория закон на Нютон, като се вземат предвид знаците на проекциите върху оста X

От условието за равновесие, изместването, причинено от гравитацията: . Замествайки в уравнение (1), получаваме: Диференциално" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">диференциално уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Това уравнение се нарича уравнение на хармоничните трептения. Най-голямото отклонение на товара от равновесното положение НО 0 се нарича амплитуда на трептене. Извиква се стойността в аргумента косинус фаза на трептене. Константата φ0 е фазовата стойност в началния момент ( T= 0) и се нарича начална фаза на трептене. Стойност

Има ли кръгова или циклична естествена честотасвързани с период на трептене Tсъотношение https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

гасени вибрации

Нека разгледаме свободните трептения на пружинно махало при наличие на сила на триене (затихващи трептения). В най-простия и в същото време най-разпространения случай силата на триене е пропорционална на скоростта υ движения:

Етр = – rυ, (6)

където rе константа, наречена коефициент на съпротивление. Знакът минус показва, че силата на триене и скоростта са в противоположни посоки. Уравнението на втория закон на Нютон в проекцията върху оста X при наличие на еластична сила и сила на триене

ма = – kx – rυ. (7)

Това диференциално уравнение, като се вземе предвид υ = dx/ дтможе да се напише

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – фактор на затихване; е цикличната честота на свободните незатихващи трептения на дадена осцилаторна система, т.е. при липса на загуби на енергия (β = 0). Уравнение (8) се нарича диференциално уравнение на затихналите трептения.

За да получите зависимост от изместване хот време T, е необходимо да се реши диференциалното уравнение (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

където НО 0 и φ0 са началната амплитуда и началната фаза на трептенията;
е цикличната честота на затихналите трептения при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

На графиката на функция (9), фиг. 2, пунктираните линии показват промяната в амплитудата (10) на затихналите трептения.

Ориз. 2. Зависимост от преместване хтовар от време Tпри наличие на сила на триене

За да се характеризира количествено степента на затихване на трептенията, се въвежда стойност, равна на съотношението на амплитудите, които се различават с период, и се нарича декремент на затихване:

. (11)

Често се използва естественият логаритъм на това количество. Тази настройка се нарича логаритмичен декремент на затихване:

Амплитудата намалява в нпъти, тогава от уравнение (10) следва, че

Следователно за логаритмичния декремент получаваме израза

Ако навреме T" амплитудата намалява в дведнъж ( д\u003d 2.71 - основата на естествения логаритъм), тогава системата ще има време да завърши броя на трептенията

Ориз. 3. Монтажна схема

Инсталацията се състои от статив 1 със скала за измерване 2 . Към триножник на пружина 3 висящи товари 4 различни тежести. При изследване на затихнали трептения в задача 2 се използва пръстен за подобряване на затихването 5 , която се поставя в прозрачен съд 6 с вода.

В задача 1 (изпълнена без съд с вода и пръстен) в първото приближение затихването на трептенията може да се пренебрегне и да се приеме за хармонично. Както следва от формула (5), за хармонични трептения, зависимостта T 2 = f (м) - линеен, от който е възможно да се определи коефициентът на твърдост на пружината кспоред формулата

където е наклонът на правата линия T 2 изключено м.

Упражнение 1.Определяне на зависимостта на периода на собствените трептения на пружинно махало от масата на товара.

1. Определете периода на колебание на пружинното махало за различни стойности на масата на товара м. За да направите това, като използвате хронометър за всяка стойност мизмервайте времето три пъти Tпълен нколебания ( н≥10) и според средното време https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Запишете резултатите в таблица 1 .

2. Въз основа на резултатите от измерването начертайте зависимостта на квадрата на периода T2 от масата м. От наклона на графиката определете твърдостта на пружината ксъгласно формула (16).

маса 1

Резултати от измерване за определяне на периода на собствените трептения

3. Допълнителна задача. Оценява произволно, общо и относително ε Tгрешки при измерване на времето за стойността на масата m = 400 g.

Задача 2.Определяне на логаритмичния декремент на затихване на пружинно махало.

1. Окачете тежест на пружината м= 400 гр. с пръстен и се поставя в съд с вода, така че пръстенът да е изцяло във водата. Определете периода на затихнали трептения за дадена стойност мпо метода, описан в параграф 1 на задача 1. Повторете измерванията три пъти и въведете резултатите в лявата част на таблицата. 2.

2. Извадете махалото от равновесното положение и като отбележите първоначалната му амплитуда на линийката, измерете времето T" , при което амплитудата на трептенията намалява с коефициент 2. Направете измервания три пъти. Запишете резултатите от дясната страна на таблицата. 2.

таблица 2

Резултати от измерването

за определяне на логаритмичния декремент на затихване

Измерване на периода на трептене	Измерване на времето намаляване на амплитудата 2 пъти

4. Контролни въпроси и задачи

1. Какви трептения се наричат ​​хармонични? Определете основните им характеристики.

2. Какви трептения се наричат ​​затихващи? Определете основните им характеристики.

3. Обяснете физическия смисъл на логаритмичния декремент на затихване и коефициента на затихване.

4. Покажете зависимостта от времето на скоростта и ускорението на товара върху пружината, извършвайки хармонични трептения. Донесете графики и анализирайте.

5. Изведете времеви зависимости на кинетичната, потенциалната и пълната енергия за трептене на товар върху пружина. Донесете графики и анализирайте.

6. Получете диференциалното уравнение на свободните трептения и неговото решение.

7. Постройте графики на хармонични трептения с начални фази π/2 и π/3.

8. В какви граници може да се промени логаритмичният декремент на затихване?

9. Дайте диференциално уравнение за затихнали трептения на пружинно махало и неговото решение.

10. Според какъв закон се променя амплитудата на затихналите трептения? Периодични ли са затихващите трептения?

11. Какво движение се нарича апериодично? При какви условия възниква?

12. Какво се нарича собствена честота на трептене? Как зависи тя от масата на трептящото тяло за пружинно махало?

13. Защо честотата на затихналите трептения е по-малка от честотата на собствените трептения на системата?

14. Медна топка, окачена на пружина, се колебае вертикално. Как ще се промени периодът на трептене, ако алуминиева топка със същия радиус бъде окачена на пружина вместо медна топка?

15. При каква стойност на логаритмичния декремент на затихване трептенията затихват по-бързо: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Дайте графики на тези затихнали трептения.

Библиографски списък

1. Трофимова Т. И. Курс по физика / . – 11-то изд. - М. : Академия, 2006. - 560 с.

2. Савелиев И. В. Общ курс по физика: в 3 тома /. - Санкт Петербург. : Лан, 2008. - Т. 1. - 432 с.

3. Ахматов А.С.. Лабораторен практикум по физика / .
- М .: Висше. училище, 1980. - 359 с.

Пружинното махало е осцилаторна система, състояща се от материална точка с маса m и пружина. Помислете за хоризонтално пружинно махало (фиг. 13.12, а). Представлява масивно тяло, пробито в средата и поставено на хоризонтален прът, по който може да се плъзга без триене (идеална трептяща система). Прътът е фиксиран между две вертикални опори. В единия край към тялото е прикрепена безтегловна пружина. Другият му край е закрепен върху опора, която в най-простия случай е в покой спрямо инерциалната отправна система, в която се колебае махалото. В началото пружината не е деформирана и тялото е в равновесно положение C. Ако чрез разтягане или компресиране на пружината тялото се изведе от равновесие, тогава от страната на деформираната пружина ще започне еластична сила да действа върху него, винаги насочен към равновесното положение. Нека свием пружината, премествайки тялото в позиция А, и отпуснем \((\upsilon_0=0).\) Под действието на еластичната сила то ще се движи по-бързо. В този случай в позиция А върху тялото действа максималната еластична сила, тъй като тук абсолютното удължение x m на пружината е най-голямо. Следователно в това положение ускорението е максимално. Когато тялото се премести в равновесно положение, абсолютното удължение на пружината намалява и следователно ускорението, придадено от еластичната сила, намалява. Но тъй като ускорението при това движение е сънасочено със скоростта, скоростта на махалото се увеличава и в равновесно положение ще бъде максимална. След като достигне равновесно положение C, тялото няма да спре (въпреки че в това положение пружината не се деформира и еластичната сила е нула), но имайки скорост, тя ще се движи по-нататък по инерция, разтягайки пружината. Възникналата еластична сила сега е насочена срещу движението на тялото и го забавя. В точка D скоростта на тялото ще бъде равна на нула, а ускорението е максимално, тялото ще спре за момент, след което под действието на еластичната сила ще започне да се движи в обратна посока, до равновесното положение. Преминавайки го отново по инерция, тялото, компресирайки пружината и забавяйки движението, ще достигне точка А (тъй като няма триене), т.е. прави пълен размах. След това движението на тялото ще се повтори в описаната последователност. И така, причините за свободните колебания на пружинното махало са действието на еластичната сила, която възниква, когато пружината се деформира, и инерцията на тялото.

Според закона на Хук \(~F_x=-kx.\) Според втория закон на Нютон \(~F_x = ma_x.\) Следователно \(~ma_x = -kx.\) Следователно

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) или \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - динамично уравнение на движение на пружинно махало.

Виждаме, че ускорението е право пропорционално на преместването и насочено обратно на него. Сравнявайки полученото уравнение с уравнението на хармоничните трептения \(~a_x + \omega^2 x = 0,\), виждаме, че пружинното махало извършва хармонични трептения с циклична честота \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Тъй като \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) тогава

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) е периодът на трептене на пружинното махало.

Същата формула може да се използва за изчисляване на периода на трептене на вертикално пружинно махало (фиг. 13.12. b). Наистина, в равновесно положение, поради действието на гравитацията, пружината вече е опъната с определено количество x 0, определено от съотношението \(~mg=kx_0.\) Когато махалото се измести от равновесното положение Она хпроекция на еластична сила \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) и според втория закон на Нютон \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Като заместим тук стойността \( ~kx_0 =mg,\) получаваме уравнението на движение на махалото \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\), съвпадащо с уравнението на движение на хоризонталното махало.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в гимназията: теория. Задачи. Тестове: Proc. надбавка за институции, осигуряващи общ. среда, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Изд. К. С. Фарино. - Мн.: Адукация и вихване, 2004. - С. 377-378.