гасени вибрации. Намаляване на затихването

Затихването на трептенията е постепенното намаляване на амплитудата на трептенията с течение на времето, дължащо се на загуба на енергия от трептящата система.

Естествените вибрации без затихване са идеализация. Причините за избледняване могат да бъдат различни. В една механична система вибрациите се гасят от наличието на триене. В електромагнитна верига загубите на топлина в проводниците, които образуват системата, водят до намаляване на енергията на трептенията. Когато цялата енергия, съхранявана в осцилиращата система, се изразходва, трептенията спират. Следователно амплитудата затихващи трептениянамалява, докато стане нула.

Затихващите трептения, както и естествените, в системи, които са различни по природа, могат да се разглеждат от една единствена гледна точка - общи черти. Въпреки това, такива характеристики като амплитуда и период изискват предефиниране, докато други изискват допълнения и пояснения в сравнение със същите характеристики за естествени незатихващи трептения. Общите признаци и концепции за затихнали трептения са следните:

Диференциалното уравнение трябва да се получи, като се вземе предвид намаляването на вибрационната енергия в процеса на трептене.

Уравнението на трептенията е решение на диференциално уравнение.

Амплитудата на затихващите трептения зависи от времето.

Честотата и периодът зависят от степента на затихване на трептенията.

Фазата и началната фаза имат същото значение като за незатихващи трептения.

3.1. Механично гасени вибрации

механична система: пружинно махало, подложено на сили на триене.

Сили, действащи върху махалото:

Еластична сила. , където k е коефициентът на твърдост на пружината, х е изместването на махалото от равновесното положение.

Съпротивителна сила. Помислете за съпротивителната сила, пропорционална на скоростта v на движение (такава зависимост е типична за голям клас съпротивителни сили): . Знакът минус показва, че посоката на съпротивителната сила е противоположна на посоката на скоростта на тялото. Коефициентът на съпротивление r е числено равен на силата на съпротивление, която възниква при единица скорост на тялото:

Закон за движениетопружинното махало е вторият закон на Нютон:

м а = Епр. + Епротивопоставям се.

Като се има предвид, че и , записваме втория закон на Нютон във формата:

Разделяйки всички членове на уравнението на m, премествайки ги всички в дясната страна, получаваме диференциално уравнениезатихнали трептения:

Означаваме , където β е фактор на затихване, , където ω 0 е честотата на незатихващи свободни трептения при липса на загуби на енергия в трептящата система.

В новата нотация диференциалното уравнение на затихналите трептения има формата:

Това е линейно диференциално уравнение от втори ред.

Уравнение на затихналите трептенияе решение на следното диференциално уравнение:

Приложение 1 показва решението на диференциалното уравнение на затихващите трептения по метода на промяната на променливите.

Затихваща честота на трептене:

(следователно само истинският корен има физическо значение).

Период на затихнали трептения:

Значението, което беше вложено в концепцията за период за незатихнали трептения, не е подходящо за затихнали трептения, тъй като осцилаторната система никога не се връща в първоначалното си състояние поради загуба на осцилаторна енергия. При наличие на триене трептенията са по-бавни: .

Периодът на затихнали трептениянаречен минимален интервал от време, за който системата преминава два пъти равновесното положение в една и съща посока.

За механичната система на пружинното махало имаме:

, .

Амплитуда на затихващите трептения:

За пружинно махало.

Амплитудата на затихващите трептения не е постоянна стойност, а се променя с времето толкова по-бързо, колкото по-голям е коефициентът β. Следователно определението за амплитудата, дадено по-рано за незатихващи свободни трептения, трябва да бъде променено за затихнали трептения.

За малко затихване амплитуда на затихнали трептениянарича най-голямото отклонение от равновесното положение за периода.

ГрафикиКривите на отместването спрямо времето и амплитудата спрямо времето са показани на фигури 3.1 и 3.2.

Фигура 3.1 - Зависимост на преместването от времето при затихващи трептения

Фигура 3.2 - Зависимости на амплитудата от времето при затихващи трептения

3.2. Електромагнитни затихващи трептения

Електромагнитните затихващи трептения възникват в e електромагнитна осцилаторна система, наречен LCR - контур (Фигура 3.3).

Фигура 3.3.

Диференциално уравнениеполучаваме, като използваме втория закон на Кирхоф за затворена верига LCR: сумата от спадовете на напрежението върху активното съпротивление (R) и кондензатора (C) е равна на индукционната ЕМП, развита във веригата:

Спад на волтажа:

При активно съпротивление: , където I е силата на тока във веригата;

На кондензатора (C): , където q е количеството заряд на една от плочите на кондензатора.

ЕМП, разработена във веригата, е ЕМП на индукция, която възниква в индуктора, когато токът в него се променя и следователно магнитният поток през неговото напречно сечение: (закон на Фарадей).

Заменяме стойностите U R , U C , в уравнението, отразяващо закона на Кирхоф, получаваме:

Тогава силата на тока се определя като производна на заряда и диференциалното уравнение приема формата:

Означаваме , , получаваме в тези обозначения диференциалното уравнение на затихналите трептения във формата:

Решение на диференциално уравнение или уравнение за колебание на зарядана плочите на кондензатора изглежда така:

Амплитуда на затихващите трептения на зарядаизглежда като:

Затихваща честота на трептеневъв веригата LCR:

месечен цикълзатихнали електромагнитни трептения:

Тогава нека вземем уравнението за заряда във формата уравнение на напрежениетовърху пластините на кондензатора може да се напише като
.

Стойността се нарича амплитудата на напрежението върху кондензатора.

Текущ във веригата се променя с времето. Текущо уравнениев контура може да се получи с помощта на съотношението и векторната диаграма.

Крайното уравнение за силата на тока е:

където - начална фаза.

Не е равно на α, тъй като силата на тока не се променя по синуса, което би дало производната на заряда, а по косинуса.

Енергиятрептенията във веригата се съставят от енергията на електрическото поле

и енергията на магнитното поле

обща енергияпо всяко време:

където W0е общата енергия на веригата в момент t=0 .

3.3. Характеристики на затихващите трептения

1.Коефициент на затихване β.

Промяната в амплитудата на затихналите трептения се извършва съгласно експоненциалния закон:

Нека амплитудата на трептенията намалява с "e" пъти във времето τ ("e" е основата на естествения логаритъм, e ≈ 2,718). Тогава, от една страна, , а от друга страна, рисувайки амплитудите A zat. (t) и A at. (t+τ), имаме . Тези отношения предполагат βτ = 1, следователно

Интервалът от време τ, през който амплитудата намалява с "e" пъти, се нарича време за релаксация.

Коефициент на затихванеβ е стойност, обратно пропорционална на времето за релаксация.

2. Логаритмичен декремент на затихване δ- физическа величина, числено равна на натурален логаритъм от отношението на две последователни амплитуди, разделени във времето с период.

§6 Амортизирани вибрации

Намаляване на затихването. Логаритмичен декремент на затихване.

Свободните вибрации на техническите системи в реални условия възникват, когато върху тях действат съпротивителни сили. Действието на тези сили води до намаляване на амплитудата на трептящата величина.

Трептенията, чиято амплитуда намалява с времето поради загуби на енергия на реална трептителна система, се наричат затихване.

Най-честите случаи са, когато съпротивителната сила е пропорционална на скоростта на движение.

където r- среден коефициент на съпротивление. Знакът минус показва товаF Cнасочена в посока, обратна на скоростта.

Нека напишем уравнението на трептенията в точка, осцилираща в среда, чийто коефициент на съпротивление еr. Според втория закон на Нютон

където β е коефициентът на затихване. Този коефициент характеризира скоростта на затихване на трептенията.При наличие на съпротивителни сили енергията на осцилиращата система постепенно ще намалява, трептенията ще затихват.

- диференциално уравнение на затихнали трептения.

При изравняване на затихващите трептения.

ω - честота на затихнали трептения:

Период на затихнали трептения:

Затихващите трептения, строго взети предвид, не са периодични. Следователно можем да говорим за периода на затихнали трептения, когато β е малко.

Ако затихванията са слабо изразени (β→0), тогава. затихващите трептения могат

се разглеждат като хармонични трептения, чиято амплитуда варира по експоненциален закон

В уравнение (1) А 0и φ 0 са произволни константи в зависимост от избора на момент от време, започвайки от който разглеждаме колебанията

Нека разгледаме трептене през известно време τ, през което амплитудата ще намалява дведнъж

τ - време на релаксация.

Коефициентът на затихване β е обратно пропорционален на времето, през което амплитудата намалява дведнъж. Коефициентът на затихване обаче е недостатъчен, за да характеризира затихването на трептенията. Следователно е необходимо да се въведе такава характеристика за затихване на трептенията, която да включва времето на едно трептене. Такава характеристика е намаляване(на руски: намаление) затихване д, което е равно на отношението на амплитудите, разделени във времето с период:

Логаритмичен декремент на затихване е равно на логаритъмаД :

Логаритмичният декремент на затихване е обратно пропорционален на броя на трептенията, в резултат на което амплитудата на трептенията намалява в дведнъж. Логаритмичният декремент на затихване е постоянна стойност за дадена система.

Друга характеристика на осцилаторната система е качественият факторQ.

Коефициентът на качество е пропорционален на броя на трептенията, извършени от системата по време на времето на релаксация τ.

Qосцилаторна система е мярка за относителното разсейване (разсейване) на енергия.

Qколебателна система се нарича число, показващо колко пъти еластичната сила е по-голяма от съпротивителната сила.

Колкото по-голям е качественият фактор, толкова по-бавно става затихването, толкова по-близо са затихналите трептения до свободните хармонични.

§7 Принудени вибрации.

Резонанс

В редица случаи се налага създаването на системи, които извършват незатихващи трептения. Възможно е да се получат незатихващи трептения в системата, ако загубите на енергия се компенсират чрез въздействие върху системата с периодично променяща се сила.

Позволявам

Нека напишем израз за уравнението на движението на материална точка, която извършва хармонично колебателно движение под действието на движеща сила.

Според втория закон на Нютон:

(1)

Диференциално уравнение на принудените трептения.

Това диференциално уравнение е линейно нехомогенно.

Неговото решение е равно на сумата от общото решение на хомогенното уравнение и частното решение на нехомогенното уравнение:

Нека намерим конкретно решение на нехомогенното уравнение. За да направим това, пренаписваме уравнение (1) в следната форма:

(2)

Ще търсим конкретно решение на това уравнение във формата:

Тогава

Заместник в (2):

защото извършвани за всякаквиT, тогава трябва да е изпълнено равенството γ = ω, следователно,

Това комплексно число може удобно да бъде представено като

където НОсе определя от формула (3 по-долу), а φ - от формула (4), следователно решение (2) в сложна форма има формата

Реалната му част, която беше решението на уравнение (1), е равна на:

където

(3)

(4)

Срокът Х o.o. играе съществена роля само в началния етап, когато се установяват колебания, докато амплитудата на принудените колебания достигне стойността, определена от равенството (3). В стационарно състояние възникват принудени трептения с честота ω и са хармонични. Амплитудата (3) и фазата (4) на принудените трептения зависят от честотата на движещата сила. При определена честота на движещата сила амплитудата може да достигне много големи стойности. Рязкото увеличаване на амплитудата на принудените трептения, когато честотата на движещата сила се доближава до собствената честота на механичната система, се нарича резонанс.

Честотата ω на движещата сила, при която се наблюдава резонанс, се нарича резонансна. За да се намери стойността на ω res, е необходимо да се намери условието за максималната амплитуда. За да направите това, е необходимо да се определи минималното условие за знаменателя в (3) (т.е. да се изследва (3) за екстремум).

Зависимостта на амплитудата на трептящо количество от честотата на движещата сила се нарича резонансна крива. Резонансната крива ще бъде толкова по-висока, колкото по-нисък е коефициентът на затихване β и с намаляване на β, максимумът на резонансните криви ще се измести надясно. Ако β = 0, тогава

ω res = ω 0 .

При ω→0 всички криви достигат стойността- статично отклонение.

Параметричният резонанс възниква, когато периодичната промяна на един от параметрите на системата води до рязко увеличаване на амплитудата на трептящата система. Например кабини, които правят "слънцето" чрез промяна на позицията на центъра на тежестта на системата.(Същото в "лодките".) Вижте §61.t. 1 Савелиев И.В.

Самоколебанията се наричат такива трептения, чиято енергия периодично се попълва в резултат на влиянието на самата система поради източник на енергия, разположен в същата система. Вижте §59 v.1 Savelyev I.V.

Осцилаторно движение е всяко периодично повтарящо се движение. Следователно зависимостите на координатата и скоростта на тялото от времето по време на трептения се описват с периодични функции на времето. В училищния курс по физика се разглеждат такива трептения, при които зависимостите и скоростите на тялото са тригонометрични функции , или комбинация от тях, където е някакво число. Такива трептения се наричат хармонични (функции и често наричани хармонични функции). За да решите задачи за трептения, включени в програмата на единния държавен изпит по физика, трябва да знаете дефинициите на основните характеристики на колебателното движение: амплитуда, период, честота, кръгова (или циклична) честота и фаза на трептенията. Нека дадем тези дефиниции и да свържем изброените величини с параметрите на зависимостта на координатата на тялото от времето, която в случай на хармонични трептения винаги може да бъде представена като

където , и са някои числа.

Амплитудата на трептене е максималното отклонение на трептящо тяло от равновесното положение. Тъй като максималната и минималната стойност на косинуса в (11.1) е равна на ±1, тогава амплитудата на трептенията на тялото, което трепти (11.1), е равна на . Периодът на трептене е минималното време, след което движението на тялото се повтаря. За зависимостта (11.1) периодът може да бъде зададен от следните съображения. Косинусът е периодична функция с период. Следователно движението се повтаря напълно през такава стойност, че . От тук получаваме

Кръговата (или циклична) честота на трептене е броят на трептенията за единица време. От формула (11.3) заключаваме, че кръговата честота е стойността от формула (11.1).

Фазата на трептене е аргументът на тригонометричната функция, която описва зависимостта на координатата от времето. От формула (11.1) виждаме, че фазата на трептения на тялото, чието движение се описва от зависимостта (11.1), е равна на . Стойността на фазата на трептене в момент = 0 се нарича начална фаза. За зависимост (11.1) началната фаза на трептенията е равна на стойността . Очевидно началната фаза на трептенията зависи от избора на времевата отправна точка (момент = 0), която винаги е условна. Чрез промяна на произхода на еталонното време началната фаза на трептенията винаги може да бъде "направена" равна на нула, а синусът във формулата (11.1) да бъде "превърнат" в косинус или обратно.

Програмата на единния държавен изпит включва и познаване на формулите за честотата на трептене на пружинните и математическите махала. Обичайно е да се нарича пружинно махало тяло, което може да се колебае върху гладка хоризонтална повърхност под действието на пружина, чийто втори край е фиксиран (лява фигура). Математическото махало е масивно тяло, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати, което се люлее върху дълга, безтегловна и неразтеглива нишка (дясната фигура). Името на тази система - "математическо махало" се дължи на факта, че тя е абстрактна математическиреален модел ( физически) на махалото. Необходимо е да запомните формулите за периода (или честотата) на колебанията на пружинните и математическите махала. За пружинно махало

където е дължината на нишката, е ускорението на свободното падане. Помислете за прилагането на тези определения и закони на примера за решаване на проблеми.

За да намерите цикличната честота на товара в задача 11.1.1нека първо намерим периода на трептене и след това използваме формулата (11.2). Тъй като 10 m 28 s е 628 s и през това време товарът прави 100 трептения, периодът на трептене на товара е 6,28 s. Следователно честотата на цикличните трептения е 1 s -1 (отговорът 2 ). AT задача 11.1.2товарът направи 60 трептения за 600 s, така че честотата на трептене е 0,1 s -1 (отговорът 1 ).

За да разберете по кой път ще отиде товарът за 2,5 периода ( задача 11.1.3), следвайте движението му. След определен период товарът ще се върне обратно до точката на максимално отклонение, правейки пълно трептене. Следователно през това време товарът ще измине разстояние, равно на четири амплитуди: до равновесното положение - една амплитуда, от равновесното положение до точката на максимално отклонение в другата посока - втората, обратно до равновесното положение - трето, от равновесното положение до началната точка - четвъртото. През втория период натоварването отново ще премине четири амплитуди, а през останалата половина от периода - две амплитуди. Следователно изминатото разстояние е равно на десет амплитуди (отговорът 4 ).

Количеството движение на тялото е разстоянието от началната до крайната точка. За 2,5 периода в задача 11.1.4тялото ще има време да извърши две пълни и полупълни трептения, т.е. ще бъде при максимално отклонение, но от другата страна на равновесното положение. Следователно размерът на изместването е равен на две амплитуди (отговорът 3 ).

По дефиниция фазата на трептенията е аргумент на тригонометрична функция, която описва зависимостта на координатата на трептящо тяло от времето. Следователно правилният отговор е задача 11.1.5 - 3 .

Периодът е времето на пълно трептене. Това означава, че връщането на тялото обратно в същата точка, от която тялото е започнало да се движи, не означава, че периодът е изтекъл: тялото трябва да се върне в същата точка със същата скорост. Например, тяло, започнало колебания от равновесно положение, през периода ще има време да се отклони с максималната стойност в една посока, да се върне назад, да се отклони до максимума в другата посока и да се върне отново. Следователно през периода тялото ще има време да се отклони два пъти с максималната стойност от равновесното положение и да се върне обратно. Следователно преминаването от равновесното положение до точката на максимално отклонение ( задача 11.1.6) тялото прекарва четвъртата част от периода (отговорът 3 ).

Такива трептения се наричат хармонични, при които зависимостта на координатата на трептящото тяло от времето се описва с тригонометрична (синус или косинус) функция на времето. AT задача 11.1.7това са функциите и въпреки факта, че включените в тях параметри са означени като 2 и 2 . Функцията е тригонометричната функция на квадрата на времето. Следователно, колебанията само на количества и са хармонични (отговорът 4 ).

При хармоничните трептения скоростта на тялото се променя по закон , където е амплитудата на трептенията на скоростта (референтният момент е избран така, че началната фаза на трептенията да е равна на нула). От тук намираме зависимостта на кинетичната енергия на тялото от времето
(задача 11.1.8). Използвайки добре известната тригонометрична формула, получаваме

От тази формула следва, че кинетичната енергия на тялото се променя при хармонични трептения също по хармоничния закон, но с удвоена честота (отговорът е 2 ).

Зад съотношението между кинетичната енергия на товара и потенциалната енергия на пружината ( задача 11.1.9) могат лесно да бъдат проследени от следните съображения. Когато тялото се отклони максимално от равновесното положение, скоростта на тялото е нула и следователно потенциалната енергия на пружината е по-голяма от кинетичната енергия на товара. За разлика от това, когато тялото премине през равновесното положение, потенциалната енергия на пружината е нула и следователно кинетичната енергия е по-голяма от потенциалната. Следователно, между преминаването на равновесното положение и максималното отклонение, кинетичната и потенциалната енергия се сравняват веднъж. И тъй като през периода тялото преминава четири пъти от равновесно положение до максимално отклонение или обратно, тогава през периода кинетичната енергия на товара и потенциалната енергия на пружината се сравняват четири пъти една с друга (отговорът е 2 ).

Амплитуда на колебанията на скоростта ( задача 11.1.10) се намира най-лесно по закона за запазване на енергията. В точката на максимално отклонение енергията на осцилаторната система е равна на потенциалната енергия на пружината , където е коефициентът на твърдост на пружината, е амплитудата на трептене. При преминаване през равновесното положение енергията на тялото е равна на кинетичната енергия , където е масата на тялото, е скоростта на тялото при преминаване през равновесното положение, която е максималната скорост на тялото в процеса на трептене и следователно представлява амплитудата на колебанията на скоростта. Приравнявайки тези енергии, намираме

(отговор 4 ).

От формула (11.5) заключаваме ( задача 11.2.2), че неговият период не зависи от масата на математическото махало и с увеличаване на дължината с 4 пъти, периодът на трептене се увеличава с 2 пъти (отговорът е 1 ).

Часовникът е осцилационен процес, който се използва за измерване на времеви интервали ( задача 11.2.3). Думите clock "rush" означават, че периодът на този процес е по-малък от това, което трябва да бъде. Следователно, за да се изясни хода на тези часовници, е необходимо да се увеличи периодът на процеса. Според формула (11.5), за да се увеличи периодът на трептене на математическо махало, е необходимо да се увеличи дължината му (отговорът е 3 ).

За да намерите амплитудата на трептенията в задача 11.2.4, е необходимо да се представи зависимостта на координатата на тялото от времето под формата на една тригонометрична функция. За функцията, дадена в условието, това може да стане чрез въвеждане на допълнителен ъгъл. Умножаване и деление на тази функция на и използвайки формулата за добавяне на тригонометрични функции, получаваме

къде е такъв ъгъл, че . От тази формула следва, че амплитудата на трептенията на тялото е (отговор 4 ).

Сега искаме да поговорим малко за това как амплитудите на вероятността се държат във времето. Казваме „малко“, защото всъщност поведението във времето задължително включва поведение в пространството. Така че, желаейки да опишем поведението с цялата коректност и подробности, веднага се оказваме в много трудна позиция. Пред нас възниква нашата постоянна трудност - или да изучаваме нещо строго логично, но абсолютно абстрактно, или да не мислим за строгост, а да дадем някаква представа за истинското състояние на нещата, отлагайки по-задълбочено проучване за по-късно. Сега, като говорим за зависимостта на амплитудите от енергията, възнамеряваме да изберем втория метод. Ще бъдат направени редица изявления. При това няма да се стремим да бъдем строги, а просто ще ви кажем какво е открито, за да можете да усетите как се държат амплитудите във времето. Докато напредваме, точността на описанието ще се увеличава, така че, моля, не се притеснявайте да видите магьосник да вади нещата от нищото. Те наистина идват от нещо нематериално – от духа на експеримента и от въображението на много хора. Но преминаването през всички етапи от историческото развитие на темата е много дълъг въпрос, нещо просто ще трябва да се пропусне. Човек може да се потопи в абстракции и да изведе всичко строго (но вие едва ли ще разберете това) или да преминете през много експерименти, потвърждавайки всяко свое твърдение с тях. Ще изберем нещо средно.

Единичен електрон в празно пространство може при определени условия да има точно определена енергия. Например, ако е в покой (т.е. няма нито изместване, нито импулс, нито кинетична енергия), тогава има енергия на покой. По-сложен обект, като атом, също може в покой да има определена енергия, но може да се окаже и вътрешно възбуден - възбуден на различно енергийно ниво. (Ние ще опишем механизма за това по-късно.) Често сме оправдани да приемем, че един атом във възбудено състояние има определена енергия; но в действителност това е вярно само приблизително. Атомът не остава възбуден вечно, защото винаги се стреми да разтовари енергията си чрез взаимодействие с електромагнитното поле. Така че винаги има някаква амплитуда, че ще възникне ново състояние - с атома в най-ниското състояние на възбуда и електромагнитното поле в най-високото. Общата енергия на системата както преди, така и след това е една и съща, но енергията на атома намалява. Така че не е много точно да се каже, че един възбуден атом има определена енергия; но често е удобно да се каже така и не е много грешно.

[Между другото, защо всичко тече в едната посока, а не в другата? Защо един атом излъчва светлина? Отговорът е свързан с ентропията. Когато енергията е в електромагнитно поле, толкова много различни пътища се отварят пред нея - толкова много различни места, където тя може да стигне - че, търсейки състояние на равновесие, ние сме убедени, че в най-вероятната позиция полето се оказва възбудено от един фотон и атомът е невъзбуден. И отнема много време на фотона да се върне и да открие, че може да възбуди атома обратно. Това е напълно аналогично на класическия проблем: защо ускореният заряд излъчва? Не защото той "иска" да губи енергия, не, защото всъщност, когато той излъчва, енергията на света остава същата, както преди. Просто излъчването или абсорбцията винаги върви в посока на увеличаване на ентропията.]

Ядрата също могат да съществуват на различни енергийни нива и в приближението, когато се пренебрегнат електромагнитните ефекти, имаме право да кажем, че ядрото във възбудено състояние остава такова. Въпреки че знаем, че няма да остане така завинаги, често е полезно да започнем с донякъде идеализирано приближение, което е по-лесно за разглеждане. Освен това, при някои обстоятелства това е законово приближение. (Когато за първи път въведохме класическите закони на падащите тела, не взехме предвид триенето и почти никога не се случва изобщо да няма триене.)

Освен това има и „странни частици“ с различна маса. Но по-масивните се разпадат на по-леки, така че отново би било погрешно да се каже, че тяхната енергия е точно определена. Това би било вярно, ако продължаваха да съществуват завинаги. Така че, когато приблизително ги считаме за притежаващи определена енергия, ние забравяме, че те трябва да се разпаднат. Но сега съзнателно ще забравим за подобни процеси, а по-късно, с течение на времето, ще се научим да ги вземаме под внимание.

Нека има атом (или електрон, или която и да е частица), който има определена енергия в покой. Под енергия имаме предвид цялата маса, умножена по . Масата включва всяка вътрешна енергия; следователно масата на един възбуден атом се различава от масата на същия атом, но в основно състояние. (Основното състояние означава състоянието с най-ниска енергия.) Нека го наречем „енергия на покой“.

За атом в покой, квантово-механичната амплитуда за намирането му на някое място е една и съща навсякъде; не зависи от позицията. Това, разбира се, означава, че вероятността да се намери атом навсякъде е една и съща. Но означава още повече. Вероятността не може да зависи от позицията и фазата на амплитудата все още може да се променя от точка на точка. Но за частица в покой общата амплитуда е една и съща навсякъде. Все пак зависи от времето. За частица в състояние на определена енергия, амплитудата за откриване на частицата в точка в даден момент е равна на

където е някаква константа. Амплитудата на престой в една и друга точка на пространството е еднаква за всички точки, но зависи от времето съгласно (5.1). Просто ще приемем, че това правило винаги е вярно.

Разбира се, (5.1) може да се запише и по следния начин:

a е масата на покой на атомното състояние или частица. Има три различни начина за определяне на енергията: по амплитудна честота, по енергия в класическия смисъл или по инерционна маса. Всички са равни; те са просто различни начини за изразяване на едно и също нещо.

Може да ви се стори странно да си представите "частица" с еднакви амплитуди да се появи навсякъде в космоса. В крайна сметка, наред с други неща, ние винаги си представяме „частица“ като малък обект, разположен „някъде“. Но не забравяйте за принципа на неопределеността. Ако една частица има определена енергия, тогава тя има определен импулс. Ако несигурността в импулса е нула, тогава връзката на несигурността казва, че несигурността в позицията трябва да е безкрайна; това е, което казваме, когато казваме, че има еднаква амплитуда за откриване на частица във всички точки в пространството.

Ако вътрешните части на атома са в различно състояние с различна обща енергия, тогава амплитудата варира с времето по различен начин. И ако не знаете в какво състояние е атомът, тогава ще има някаква амплитуда на пребиваване в едно състояние и някаква амплитуда на пребиваване в друго и всяка от тези амплитуди ще има своя собствена честота. Между тези два различни компонента ще има смущения като удари, които могат да изглеждат като променлива вероятност. Вътре в атома ще има нещо, което да се „вари“, дори ако той е „в покой“ в смисъл, че неговият център на масата не се движи. Ако атомът има само една определена енергия, тогава амплитудата се дава по формула (5.1) и квадратът на модула на амплитудата не зависи от времето. Следователно виждате, че ако енергията на нещо е дефинирана и ако зададете „анкета за вероятността за нещо в това нещо, тогава отговорът не зависи от времето. Въпреки че самите амплитуди зависят от времето, но ако енергията е сигурна, те се променят като имагинерен показател и тяхната абсолютна стойност (модул) не се променя.

Ето защо често казваме, че атом на определено енергийно ниво е в стационарно състояние. Ако измерите нещо в него, установявате, че нищо (вероятно) не се променя с времето. За да се промени вероятността с времето, трябва да има интерференция на две амплитуди при две различни честоти, което би означавало, че не се знае каква е енергията. Един обект ще има една амплитуда да бъде в състояние с една енергия и друга амплитуда да бъде в състояние с друга енергия. Ето как нещо се описва в квантовата механика, ако поведението на това „нещо“ зависи от времето.

Ако има случай, при който две различни състояния с различни енергии са смесени, тогава амплитудите на всяко от двете състояния се променят с времето съгласно уравнение (5.2), да кажем, като

И ако има комбинация от тези две състояния, тогава ще се появи смущение. Но имайте предвид, че добавянето на една и съща константа към двете енергии не променя нищо. Ако някой друг използва различна енергийна скала, на която всички енергии се изместват с константа (да речем с), тогава амплитудите, които трябва да бъдат в тези две състояния, от негова гледна точка, биха били

Всички негови амплитуди ще бъдат умножени по един и същи коефициент , и във всички линейни комбинации, във всички намеси, един и същ множител би се изпотил. Изчислявайки модули за определяне на вероятностите, той би стигнал до същите отговори. Изборът на референтна точка в нашата скала от енергии не променя нищо; енергията може да се брои от всяка нула. При релативистични проблеми е по-приятно да се измерва енергията по такъв начин, че да включва масата на покой, но за много други нерелативистични цели често е по-добре да се извади стандартната стойност от всички енергии, които се появяват. Например, в случай на атом обикновено е удобно да се извади енергията, където е масата на отделните му части, ядрото и електроните, което, разбира се, се различава от масата на самия атом. В други задачи е полезно да се извади числото от всички енергии, където е масата на целия атом в основно състояние; тогава останалата енергия е просто енергията на възбуждане на атома. Това означава, че понякога имаме право да изместим енергийната си нула много, много силно и това пак не променя нищо (при условие, че всички енергии в това конкретно изчисление са изместени с едно и също число). На това ще се разделим с частиците в покой.

Глава 5

ЗАВИСИМОСТ НА АМПЛИТУДИТЕ ВРЕМЕ

§ 1. Атоми в покой; стационарни състояния

§ 2. Равномерно движение

§ 3. Потенциална енергия; Съхранение на енергия

§ 4. Сили; класическа граница

§ 5. „Прецесия“ на частица със спин 1/2

повторете:гл. 17 (бр. 2) „Пространство-време”; гл. 48 (брой 4) "Beats"

§ 1. Атоми в покой; стационарни състояния

Единичен електрон в празно пространство може при определени условия да има точно определена енергия. Например, ако е в покой (тоест няма нито изместване, нито импулс, нито кинетична енергия), тогава той има енергия на покой. По-сложен обект, като атом, също може в покой да има определена енергия, но може да се окаже и вътрешно възбуден - възбуден на различно енергийно ниво. (Ние ще опишем механизма за това по-късно.) Често сме оправдани да приемем, че един атом във възбудено състояние има определена енергия; но в действителност това е вярно само приблизително. Атомът не остава възбуден вечно, защото винаги се стреми да разтовари енергията си чрез взаимодействие с електромагнитното поле. Така че винаги има някаква амплитуда, че ще възникне ново състояние - с атома в най-ниското състояние на възбуда и електромагнитното поле в най-високото. Общата енергия на системата преди и след е една и съща, но енергията атомнамалява. Така че не е много точно да се каже, че един възбуден атом има определениенергия; но често е удобно да се каже така и не е много грешно.

[Между другото, защо всичко тече в едната посока, а не в другата? Защо един атом излъчва светлина? Отговорът е свързан с ентропията Когато енергията е в електромагнитно поле, има толкова много различни пътища пред нея - толкова много различни места, където може да стигне - че, търсейки състояние на равновесие, ние сме убедени, че в най-вероятния положение полето се оказва възбудено от един фотон, а атомът - невъзбуден. И отнема много време на фотона да се върне и да открие, че може да възбуди атома обратно Това е напълно аналогично на класическия проблем: защо ускореният заряд излъчва? Не защото той "иска" да губи енергия, не, защото всъщност, когато той излъчва, енергията на света остава същата, както преди. Просто емисията или абсорбцията винаги върви в посока на растеж. ентропия.

Нека има атом (или електрон, или която и да е частица), който има определена енергия в покой д 0 . Под енергия д 0 имаме предвид масата на всичко това, умножено по с 2 . Масата включва всяка вътрешна енергия; следователно масата на един възбуден атом се различава от масата на същия атом, но в основно състояние. (Основенсъстояние означава състоянието с най-ниска енергия.) Да извикаме д 0 енергия за почивка. За атом в държавата Почивка,квантово механичен амплитуданамери го някъде навсякъде едно и също;от нейната позиция не зависи.Това, разбира се, означава, че вероятност за намиранеедин атом навсякъде е един и същ. Но означава още повече. Вероятностне може да зависи от ситуацията, но амплитудна фазавсе още може да се променя от точка на точка. Но за частица в покой общата амплитуда е една и съща навсякъде. Все пак зависи от време.За частица в състояние на определена енергия д 0 , амплитуда открива частица в точка (x, y, z)в момента Tе равно на

където а -някаква константа. Амплитудата на престой в една и друга точка на пространството е еднаква за всички точки, но зависи от времето съгласно (5.1). Просто ще приемем, че това правило винаги е вярно.

Разбира се, (5.1) може да се запише и по следния начин:

а Ме масата на покой на атомно състояние или частица. Има три различни начина за определяне на енергията: по амплитудна честота, по енергия в класическия смисъл или по инерционна маса. Всички са равни; те са просто различни начини за изразяване на едно и също нещо.

Може да ви се стори странно да си представите "частица" с еднакви амплитуди да се появи навсякъде в космоса. В крайна сметка, наред с други неща, ние винаги си представяме „частица“ като малък обект, разположен „някъде“. Но не забравяйте за принципа на неопределеността. Ако една частица има определена енергия, тогава тя има определен импулс. Ако несигурността в импулса е нула, тогава отношението на несигурност D Рд х=h казва, че несигурността в позицията трябва да е безкрайна; това е, което казваме, когато казваме, че има еднаква амплитуда за откриване на частица във всички точки в пространството.

Ако вътрешните части на атома са в различно състояние с различна обща енергия, тогава амплитудата варира с времето по различен начин. И ако не знаете в какво състояние е атомът, тогава ще има някаква амплитуда на пребиваване в едно състояние и някаква амплитуда на пребиваване в друго и всяка от тези амплитуди ще има своя собствена честота. Между тези два различни компонента ще има смущения като удари, които могат да изглеждат като променлива вероятност. Вътре в атома ще има нещо, което да се „вари“, дори ако той е „в покой“ в смисъл, че неговият център на масата не се движи. Ако атомът има само една определена енергия, тогава амплитудата се дава по формула (5.1) и квадратът на модула на амплитудата не зависи от времето. Следователно виждате, че ако енергията на нещо е определена и ако зададете въпроса за вероятностинещо в това нещо, тогава отговорът не зависи от времето. Въпреки че самите те амплитудазависи от времето, но ако енергията сигурен,те се променят като имагинерен показател и тяхната абсолютна стойност (модул) не се променя.

Ето защо често казваме, че атом на определено енергийно ниво е вътре стационарно състояние.Ако измерите нещо в него, установявате, че нищо (вероятно) не се променя с времето. За да се промени вероятността с времето, трябва да има интерференция на две амплитуди при две различни честоти, което би означавало, че не се знае каква е енергията. Един обект ще има една амплитуда да бъде в състояние с една енергия и друга амплитуда да бъде в състояние с друга енергия. Така че в квантовата механика нещо е описано ако поведениетова "нещо" зависи от времето.

И ако има комбинация от тези две състояния, тогава ще се появи смущение. Но имайте предвид, че добавянето на една и съща константа към двете енергии не променя нищо. Ако някой друг използва различна скала от енергии, на която всички енергии се изместват с константа (да кажем, от НО),тогава амплитудите, които трябва да бъдат в тези две състояния, от негова гледна точка, биха били

Всички негови амплитуди ще бъдат умножени по един и същи коефициент

опит [- i(A/h)/t], и във всички линейни комбинации, във всички намеси, ще влезе един и същ множител. Изчислявайки модули за определяне на вероятностите, той би стигнал до същите отговори. Изборът на референтна точка в нашата скала от енергии не променя нищо; енергията може да се брои от всяка нула. При релативистични проблеми е по-приятно да се измерва енергията по такъв начин, че да включва масата на покой, но за много други нерелативистични цели често е по-добре да се извади стандартната стойност от всички енергии, които се появяват. Например, в случай на атом обикновено е удобно да се извади енергията M s от 2, където М с - тегло индивидуаленнеговите части, ядрото и електроните, различаващи се, разбира се, от масата на самия атом. При други задачи е полезно да извадите от всички енергии числото М ж ° С 2 , където М ж - масата на целия атом предимносъстояние; тогава останалата енергия е просто енергията на възбуждане на атома. Това означава, че понякога имаме право на изместване, енергийната ни нула е много, много силна и все още не променя нищо (при условие, че всички енергии в това конкретно изчисление са изместени с едно и също число). На това ще се разделим с частиците в покой.

§ 2. Равномерно движение

Ако приемем, че теорията на относителността е правилна, тогава частица в покой в една инерционна система може да бъде в равномерно движение в друга инерционна система. В рамката на покой на частицата, амплитудата на вероятността за всички x, yи zсъщото, но зависи от T. Стойностамплитуди за всички Tсъщото и фазазависи от T.Можем да получим картина на поведението на амплитудата, ако начертаем линии с еднаква фаза (да речем нула) като функции хи T.За частица в покой тези линии с еднаква фаза са успоредни на оста хи са разположени по оста Tна равни разстояния (показани с пунктирани линии на фиг. 5.1).

Фиг. 5.1. Релативистична трансформация на амплитудата в покой. частици в системата x-t.

В друга система Х", y", z", t",движейки се спрямо частицата, да речем, в посоката Х,координати Х"и T"някаква лична точка в пространството, свързана с хи TТрансформация на Лоренц. Тази трансформация може да бъде представена графично чрез начертаване на осите Х"и T",както е показано на фиг. 5.1 [вж гл. 17 (бр. 2), фиг. 17.2]. Виждате това в системата х"--т"точки с еднаква фаза по оста T"разположени на различни разстояния, така че честотата на времевите промени вече е различна. Освен това фазата се променя Х".т.е. амплитудата на вероятността трябва да бъде функция Х".

При преобразуването на Лоренц за скоростта vнасочени, да речем, в отрицателна посока Х.време Tсвързани с времето T"формула

и сега нашата амплитуда се променя така:

В щрихована система тя варира в пространството и времето. Ако амплитудата е записана като

ясно е, че Е" Р =Е 0 /° С( 1-v 2 /s 2). Това е енергията, изчислена според класическите правила за частица с енергия на покой д 0 , движейки се със скорост v; p"=E" стр v/c 2 - съответния импулс на частицата.

Знаеш ли това х м =(t, x, y, z) и Р м =(E, p х , Р г , Р Ж ) са четири вектора, a стр м х м = ет-r x-скаларен инвариант. В рамката за почивка на частиците стр м х мпросто равно Et;означава, когато се преобразува в друга система Etтрябва да се замени с

И така, амплитудата на вероятността за частица, чийто импулс е Р, ще бъде пропорционална

където д Р - енергия на частиците с импулс R,т.е.

а д 0 , както преди, енергията на почивката. В нерелативистични проблеми може да се пише

където У стр - излишък (или липса) на енергия в сравнение с останалата енергия M s от 2 части на атома. Като цяло, в У стртрябва да влезе както кинетичната енергия на атома, така и неговата енергия на свързване или възбуждане, която може да се нарече "вътрешна" енергия. Тогава щяхме да пишем

и амплитудите ще изглеждат така

Ще извършим всички изчисления нерелативистично, така че ще използваме този вид вероятностни амплитуди.

Обърнете внимание, че нашата релативистична трансформация ни предостави формула за промяна на амплитудата на атом, движещ се в пространството, без да изисква никакви допълнителни предположения. Вълновото число на неговите промени в пространството, както следва от (5.9), е равно на

а оттам и дължината на вълната

Това е същата дължина на вълната, която използвахме преди за частици с импулс Р.По този начин де Бройл за пръв път стигна до тази формула. За движеща се частица честотапромяната на амплитудата все още се дава от формулата

Абсолютната стойност (5.9) е просто равна на единица, така че за частица, движеща се с определена енергиявероятността да го намерите навсякъде е еднаква навсякъде и не се променя с времето. (Важно е да се отбележи, че амплитудата е изчерпателнавълна. Ако използвахме истинска синусоида, нейният квадрат от точка до точка щеше да се променя, което би било погрешно.)

Разбира се, знаем, че има случаи, при които частиците се преместват от едно място на друго, така че вероятността зависи от местоположението и се променя с времето. Как трябва да се опишат подобни случаи? Това може да стане чрез разглеждане на амплитуди, които са суперпозиция на две или повече амплитуди за състояния с определена енергия. Вече обсъдихме тази ситуация в гл. 48 (брой 4), и то за вероятностните амплитуди! След това открихме, че сумата от две амплитуди с различни вълнови числа к(т.е. импулси) и честоти w (т.е. енергии) води до смущения, или удари, така че квадратът на амплитудата варира както в пространството, така и във времето. Открихме също, че тези удари се движат с така наречената „групова скорост“, дефинирана от формулата

където Dk и Dw са разликите между вълновите числа и честотите на двете вълни. При по-сложни вълни, съставени от сбор от много амплитуди с близки честоти, груповата скорост е

Тъй като w =Е Р /ч,а k = p/hтогава

Но от (5.6) следва, че

и тъй като д стр =Мак 2 , тогава

и това е просто класическата скорост на частицата. Дори използвайки нерелативистични изрази, ще имаме

т.е. отново класическата скорост.

Следователно нашият резултат е, че ако има няколко амплитуди за чисти енергийни състояния с почти еднаква енергия, тогава тяхната интерференция води до "изблици" на вероятност, които се движат през пространството със скорост, равна на тази на класическа частица със същата енергия . Но трябва да се отбележи обаче, че когато казваме, че можем да добавим две амплитуди с различни вълнови числа, за да получим пакети, съответстващи на движеща се частица, ние въвеждаме нещо ново - нещо, което не може да се изведе от теорията на относителността. Казахме как се променя амплитудата на неподвижна частица и след това направихме извод от това как ще се промени, ако частицата се движи. Но от тези съображения ние неспособенизводи какво би се случило, ако имаше двевълни, движещи се с различна скорост. Ако спрем единия, не можем да спрем другия. Затова добавихме тихо още еднохипотеза: в допълнение към факта, че (5.9) е възможенрешение, ние. приемаме, че една и съща система може да има повече решения с всички възможни стри че различни условия ще се намесват.

§ 3. Потенциална енергия; пестене на енергия

И сега бихме искали да изясним въпроса какво се случва; когато енергията на частицата може да се промени. Нека започнем, като помислим за частица, която се движи в поле от сили, описано от потенциал. Разгледайте първо влиянието на постоянния потенциал. Да предположим, че имаме голяма метална кутия, която сме заредили до някакъв електростатичен потенциал j (фиг. 5.2).

| Фиг. 5.2. Частица с маса M и импулс p в областта на постоянен потенциал.

Ако в кутията има заредени обекти, тогава тяхната потенциална енергия ще бъде равна на р j; ще обозначим това число с буквата v.По условие е напълно независимо от позицията на самия обект. От налагането на потенциал няма да настъпят физически промени вътре в кутията, тъй като постоянният потенциал не променя нищо в това, което се случва вътре в кутията. Това означава, че законът, според който сега ще се промени амплитудата, не може да бъде изведен по никакъв начин. Може само да се гадае. Ето го правилният отговор - изглежда нещо, което бихте очаквали: вместо енергия, трябва да поставите сумата от потенциална енергия Vи енергия д Р , което само по себе си е сбор от вътрешна и кинетична енергия. Тогава амплитудата ще бъде пропорционална

Общ принциптова е коефициентът T,който може да бъде извикан с винаги е даден пълна енергиясистема: вътрешна енергия ("масова енергия") плюс кинетична енергия плюс потенциална енергия:

Или в нерелативистичния случай

Е, какво ще кажете за физическите явления вътре в кутията? Ако физическото състояние не е едно, а няколко, тогава какво ще получим? Амплитудата на всяко състояние ще включва същия допълнителен фактор

д -( аз / ч ) Vt

отвъд това, което беше V=0. Това не е по-различно от нулево изместване на нашата енергийна скала. Ще се получи същото изместване на всички фази на всички амплитуди и това, както видяхме преди, не променя никакви вероятности. Всички физически явления остават същите. (Приехме, че говорим за различни състояния на един и същ зареден обект, така че р j те всички имат едно и също. Ако един обект може да промени своя заряд от едно състояние в друго, тогава ще стигнем до напълно различен резултат, но запазването на заряда ни пречи да направим това.)

Досега нашето предположение беше в съответствие с това, което би се очаквало от проста промяна в референтното енергийно ниво. Но ако наистина е вярно, тогава трябва да важи и за потенциалната енергия, която не е просто постоянна. Общо взето Vможе да варира произволно във времето и пространството и крайният резултат за амплитудата трябва да бъде изразен на езика на диференциалните уравнения. Но ние не искаме да скачаме направо в общия случай, а ще се ограничим до някаква идея какво се случва. Така че за момента ще разглеждаме само потенциал, който е постоянен във времето и бавно се променя в пространството. Тогава ще можем да сравним класически и квантови представяния.

Да предположим, че мислим за случая, изобразен на фиг. 5.3, където две кутии се поддържат при постоянни потенциали j 1 и j 2 , а в областта между тях потенциалът плавно се променя от j 1 към j 2 .

Фиг. 5.3. Амплитуда за преминаване на частица от един потенциал към друг.

Нека си представим, че някаква частица има амплитуда да бъде в една от тези области. Нека приемем също, че импулсът е достатъчно голям, така че във всяка малка област, съдържаща много дължини на вълната, потенциалът е почти постоянен. Тогава имаме право да приемем, че във всяка част от пространството амплитудата трябва да изглежда като (5.18), само Vвсяка част от пространството ще има своя собствена.

Разгледайте специален случай, когато j 1 =0, така че потенциалната енергия в първото поле е равна на нула, във второто нека р j 2 ще бъде отрицателно, така че класически частицата в него ще има по-голяма кинетична енергия. В класическия смисъл, той ще се движи по-бързо във втората кутия, така че ще има повече инерция. Нека да видим как това може да се окаже от квантовата механика.

Според нашите предположения амплитудата в първото поле трябва да е пропорционална на

Ще приемем, че всички потенциали са постоянни във времето, така че нищо не се променя в условията. Тогава приемаме, че промените в амплитудата (т.е. нейната фаза) навсякъде са еднакви честота,тъй като в "средата" между кутиите няма, така да се каже, нищо, което да зависи от времето. Ако нищо не се променя в пространството, тогава можем да предположим, че една вълна в един регион „генерира“ спомагателни вълни в цялото пространство, които всички осцилират с еднаква честота и, подобно на светлинните вълни, преминаващи през вещество в покой, не променят честотата си. Ако честотите в (5.21) и (5.22) са еднакви, тогава равенството

Тук и от двете страни има просто класически пълни енергии, така че (5.23) е твърдение за запазване на енергията. С други думи, класическото твърдение за запазване на енергията е напълно еквивалентно на квантово-механичното твърдение, че честотите на една частица са еднакви навсякъде, ако условията не се променят с времето. Всичко това е в съответствие с представата, че ч w =Е.

В конкретния случай, когато V 1 =0 и V 2 е отрицателно (5.23) означава, че строще 2 Р 1, т. Тоест в регион 2 вълните са по-къси. Повърхности с еднаква фаза са показани на фиг. 5.3 пунктирана линия. Има и графика на реалната част на амплитудата, от която също се вижда как дължината на вълната намалява при преминаване от област 1 към област 2. Груповата скорост на вълните, равна на r/m,също се увеличава, както може да се очаква от класическото запазване на енергията, защото просто съвпада с (5.23).

Има интересен специален случай, при който V 2 става толкова голям, че V 2 - V 1 вече надвишава стр 2 1 /2M.Тогава стр 2 2 , дадено от формулата

става отрицателен.И това означава, че Р 2 е въображаемо число, да речем ip".Класически бихме казали, че частицата никога няма да стигне до регион 2, тя няма да има достатъчно енергия, за да изкачи потенциалния хълм. Въпреки това, в квантовата механика, амплитудата все още е представена от уравнение (5.22); неговите промени в пространството все още следват закона

Но пъти стр 2 е имагинерно число, тогава пространствената зависимост се превръща в реален показател. Ако, да речем, частицата първо се премести в посоката +x,тогава амплитудата ще се промени като

С растеж хтя бързо пада.

Нека си представим, че двата региона с различни потенциали са разположени много близо един до друг, така че потенциалната енергия внезапно се променя от V 1 към V 2 (фиг. 5.4, а).

Фиг. 5.4. Амплитуда за частица, приближаваща се до силно отблъскващ потенциал.

Като начертаем графика на реалната част от амплитудата на вероятността, получаваме зависимостта, показана на фиг. 5.4, b.Вълна в област 1 съответства на частица, която се опитва да навлезе в област 2, но амплитудата пада бързо там. Има някакъв шанс тя да бъде забелязана в зона 2, където е класически за нищоНе се оказа, но амплитудата на това е много малка (с изключение на място до самата граница). Състоянието на нещата е много подобно на това, което открихме за пълното вътрешно отражение на светлината. Обикновено не излиза светлина, но все пак може да се види, ако нещо е поставено на дължина на вълната или две от повърхността.

Спомнете си, че ако поставите втората повърхност близо до границата, където светлината е напълно отразена, тогава можете да гарантирате, че малко светлина все още се разпространява във второто парче материя. Същото се случва с частиците в квантовата механика. Ако има тясна област с толкова висок потенциал V,че класическата кинетична енергия там е отрицателна, тогава частицата никога няма да премине през нея. Но в квантовата механика експоненциално намаляваща амплитуда може да пробие тази област и да даде малък шанс частицата да се намери от другата страна - където кинетичната енергия отново е положителна. Всичко това е показано на фиг. 5.5.

Фиг. 5.5. Амплитудно проникване през потенциалната бариера.

Ефектът се нарича квантово механично "проникване през бариерата".

Проникването на квантово-механичната амплитуда през бариерата дава обяснение (или описание) на a-разпадането на урановото ядро. Потенциалната енергия на a-частица като функция на разстоянието от центъра е показана на фиг. 5.6, а.

Фиг. 5.6. Потенциалът на а-частицата в ядрото на урана (а) и качествената форма на амплитудата на вероятността (б).

Ако се опитаме да изстреляме a-частица с енергия Е до мозъка на коститетогава тя ще почувства електростатичното отблъскване от ядрения заряд zи според класическите канони няма да се приближи до ядрото, отколкото на такова разстояние r 1, при което пълната му енергия става равна на потенциалната v.Но някъде вътре в ядрото потенциалната енергия ще бъде много по-ниска поради силното привличане на ядрени сили с малък обсег. Как тогава да обясним защо при радиоактивен разпад откриваме а-частици, които, първоначално намирайки се вътре в ядрото, след това се оказват извън него с енергия д?Защото те. заредени от самото начало д, "изтекъл" през потенциалната бариера. Схематична скица на амплитудата на вероятността е дадена на фиг. 5.6, б,въпреки че в действителност експоненциалният спад е много по-силен от показаното. Забележително е, че средният живот на a-частица в ядрото на урана достига 4 1/2 милиарда години, докато естествените трептения вътре в ядрото са изключително бързи, има 10 22 от тях в секунда! Как е възможно от 10 -2 2 секполучите число от порядъка на 10 9 години? Отговорът е, че показателят дава нечувано малък коефициент от порядъка на 10 -4 5 , което води до много малка, макар и доста сигурна вероятност за изтичане. Ако a-частицата вече е ударила ядрото, тогава почти няма амплитуда, която да я открие извън ядрото; ако обаче вземете повече от тези ядра и изчакате още малко, тогава може да имате късмет и да видите как частицата изскача.

§ 4. Сили; класическа граница

Нека приемем, че една частица се движи през област, където има потенциал, който се променя през движението. Класически бихме описали този случай, както е показано на фиг. 5.7.

Фиг. 5.7. Отклонение на частица чрез напречен потенциален градиент.

Ако частицата се движи в посока хи навлиза в региона, където има потенциал, който варира заедно г, тогава частицата ще получи напречно ускорение от силата F=-dV/dy.Ако силата присъства само в ограничена зона на ширина w,тогава ще работи само за известно време w/v.Частицата ще получи напречен импулс

стр г = Fw/v

Тогава ъгълът на отклонение dq ще бъде равен на

където R -начален импулс. Заместване вместо Еномер - dV / dy,получаваме

Сега трябва да разберем дали този резултат може да бъде получен чрез идеята, че вълните се подчиняват на уравнение (5.20). Ще разгледаме същото явление квантовомеханично, като приемем, че всички мащаби в него са много по-големи от дължините на вълните на нашите вероятностни амплитуди. Във всеки малък регион можем да приемем, че амплитудата варира като

Можем ли да видим как ще се получи отклонението на частиците от това, когато Vще има ли напречен градиент? На фиг. На фигура 5.8 скицирахме как биха изглеждали вълните на амплитудата на вероятността.

Фиг. 5.8. Амплитуда на вероятността в област с напречен потенциален градиент.

Начертахме поредица от "вълнови възли", които можете да си представите като, да речем, повърхности, където фазата на амплитудата е нула. Във всяка малка област дължината на вълната (разстоянието между съседни възли) е

където Рсвързани с Vформула

В района, където Vповече там Рпо-малки и по-дълги вълни. Следователно посоката на линиите на възлите на вълните постепенно се променя, както е показано на фигурата.

За да намерите промяната в наклона на линиите на възлите на вълните, имайте предвид, че по два пътя аи bима потенциална разлика D V=(dV/dy)D,и оттам разликата D Рмежду импулси. Тази разлика може да се получи от (5.28):

вълново число p/hследователно, той също е различен по различните пътища, което означава, че фазите растат по тях с различна скорост. Разликата в скоростта на растеж на фазата е D к=D Р/h и се натрупват през целия път wфазовата разлика ще бъде равна на

Това число показва колко, до момента на излизане от лентата, фазата по пътя b"води" фазата по пътя а.Но на изхода от лентата такова фазово изпреварване съответства на изпреварването на вълновия възел по стойност

Позовавайки се на ФИГ. 5.8 виждаме, че фронтът на новата вълна ще се завърти под ъгъла dq, даден от формулата

така че имаме

И това съвпада с (5.26), ако заменим r/mна v, a D V/Dна dV/dy.

Резултатът, който току-що получихме, е верен само когато потенциалът се променя бавно и плавно – в т.нар класическа граница.Показахме, че при тези условия получаваме същите движения на частиците, които биха били получени от Е=ма, ако приемем, че потенциалът допринася за фазата на амплитудата на вероятността, равна на Vt/ч. В класическата граница квантуваната механика се оказва в съгласие с Нютоновата механика.

§ 5. "Прецесия" на частица със спин 1 / 2

Обърнете внимание, че не сме предположили, че имаме някаква специална потенциална енергия, това е просто енергия, чиято производна дава сила. Например в експеримента на Щерн-Герлах енергията имаше формата U=-м Б; следователно, при наличието на пространствена вариация в B, се получава силата. Ако имаме нужда от квантовомеханично описание на опита, би трябвало да кажем, че за частиците в единия лъч енергията се променя в една посока, а в другия лъч - в обратна посока, (Магнитна енергия Uможе да се вмъкне или в потенциалната енергия V,или "вътрешна" енергия Укъде точно, няма никакво значение.) Поради вариациите на енергията вълните се пречупват, лъчите се огъват нагоре или надолу. (Сега знаем, че квантовата механика предсказва същата кривина, която следва от изчислението в класическата механика.)

От зависимостта на амплитудата от потенциалната енергия също следва, че за частица, разположена в еднородно магнитно поле, насочено по оста z, амплитудата на вероятността трябва да се променя с времето съгласно закона

отвъд това, което би било без полето. Тъй като за частица със спин 1/2 стойността m z може да бъде равна на плюс или минус някакво число, да речем m, тогава за две възможни състояния в еднородно поле фазите ще се променят с еднаква скорост в противоположни посоки. Амплитудите ще бъдат умножени по

Този резултат води до интересни последствия. Нека частица със спин 1/2 е в някакво състояние, което не е нито чисто състояние със спин нагоре, нито чисто състояние със спин надолу. Може да се опише от гледна точка на амплитудите на пребиваване в тези две състояния. Но в магнитно поле фазите на тези две състояния ще започнат да се променят с различна скорост. И ако зададем някакъв въпрос относно амплитудите, тогава отговорът ще зависи от това колко време е прекарала частицата в това поле.

Като пример, разгледайте разпадането на мюон в магнитно поле. Когато мюоните идват от разпадането на р-мезони, те са поляризирани (с други думи, те имат предпочитана посока на въртене). Мюоните от своя страна се разпадат (средно след 2.2 микросек),излъчващ електрон и двойка неутрино:

При този разпад се оказва, че (поне при високи енергии) електроните се излъчват предимно в посока, обратна на тази на въртенето на мюона.

Нека тогава приемем, че има експериментално устройство (фиг. 5.9): поляризирани мюони влизат отляво и в блока на материята НОспират и след това се разпадат малко по-късно.

Фиг.. 5.9. Експеримент с мюонен разпад.

Излъчените електрони излизат, най-общо казано, във всички възможни посоки. Представете си обаче, че всички мюони влизат в забавящия блок НОтака че гърбовете им да са обърнати в посока Х.Без магнитно поле би се наблюдавало някакво ъглово разпределение на посоките на разпадане; искаме да знаем как това разпределение би се променило в присъствието на магнитно поле. Може да се очаква, че ще се промени по някакъв начин с времето. Можете да разберете какво се случва, като попитате каква ще бъде амплитудата във всеки момент от факта, че мюонът се намира в състояние (+ х).

Тази задача може да се формулира по следния начин: нека се знае, че в момента t=0 спинът на мюона е насочен по + х; каква е амплитудата на факта, че в момента t ще бъде в същото състояние? И въпреки че не знаем правилата за поведение на частица със спин 1/2 в магнитно поле, перпендикулярно на спина, но знаем какво се случва със състояния, когато спиновете са насочени нагоре или надолу в полето - тогава техните амплитуди са умножено по израза (5.34) . Тогава нашата процедура би била да изберем представяне, в което основните състояния са посоки на въртене нагоре или надолу по отношение на z(спрямо посоката на полето). И тогава всеки въпрос може да бъде изразен чрез амплитудите на тези състояния.

Нека |y(t)> представлява състоянието на мюона. Когато влезе в блока НО,неговото състояние е |y (0)> и ние. искате да знаете |y (t)> по-късно t. Ако двете основни състояния са означени с (+z) и (-z), тогава ние знаем амплитудите и - те са известни, защото знаем, че |y (0)> е състояние със спин в посока (+ х). От предишната глава следва, че тези амплитуди са равни

Оказват се еднакви. Тъй като те се отнасят за позиция при t=0, ние ги означаваме ОТ+ (0) и ОТ - (0).

Но ако знаем ° С + (T)и ° С - (T),тогава имаме всичко, за да знаем условията в момента T.Има само още една трудност за преодоляване: имаме нужда от вероятността въртенето (в момента T) ще бъдат насочени по + Х.Но нашите общи правила вземат предвид и тази задача. Пишем, че амплитудата да бъдеш в състояние (+x)в момента T[да го обозначим А + (T)]има

Отново използвайки резултата от последната глава (или по-добре, равенството

* от гл. 3), ние пишем

И така, в (5.37) всичко е известно. Получаваме

Удивително прост резултат! Имайте предвид, че отговорът е в съответствие с очакваното кога t= 0. Получаваме НО + (0)= 1, и това е съвсем правилно, защото в началото се предполагаше, че когато T=0 мюонът е бил в състояние (+ х).

Вероятност Р + че мюонът ще бъде в състояние (+x)в момента T,има (НО+) 2 , т.е.

Вероятността варира от нула до единица, както е показано на фиг. 5.10.

Фиг. 5.10. Времевата зависимост на вероятността от това. че частица със спин 1 / 2 ще бъде в (+) състояние по отношение на оста x.

Обърнете внимание, че вероятността се връща към единица като m Bt/h=p (а не кога 2p). Тъй като косинусът е на квадрат, вероятността се повтаря с честота 2mV/h.

Така открихме, че шансът за улавяне в електронния брояч, показан на фиг. 5.9, разпадащият се електрон периодично се променя със стойността на интервала от време, през който мюонът е престоял в магнитното поле. Честотата зависи от магнитния момент (L. По този начин действително е измерен магнитният момент на мюона.

Същият метод може, разбира се, да се използва, за да се отговори на други въпроси относно мюонния разпад. Например как зависи от времето Tвъзможността да забележите разпадащ се електрон в посоката y, 90° спрямо посоката Х,но все пак под прав ъгъл спрямо полето? Ако разрешите този проблем, ще видите, че вероятността да можете (+y)промени като cos 2 ((м bt/h)-(p/4)); тя се колебае със същия период, но достига максимум една четвърт от цикъла по-късно, когато mВt/h=p/4. Това, което всъщност се случва е, че с течение на времето мюонът преминава през поредица от състояния, съответстващи на пълна поляризация в посока, която непрекъснато се върти около оста z.Това може да се опише с това спинови прецесис честота

Трябва да ви е ясно каква форма приема квантово механичното описание, когато описваме поведението на нещо във времето.

* Ако сте пропуснали гл. 4, тогава можете просто да разгледате (5.35) като правило за недостатъчно прилагане за момента. По-късно, в гл. 8, ще анализираме по-подробно прецесията на въртене и тези амплитуди също ще бъдат получени.

* Предполагаме, че фазите трябва да имат еднаква стойност в съответните точки в двете координатни системи. Това обаче е много деликатен момент, тъй като в квантовата механика фазата е до голяма степен произволна. За да се оправдае напълно това предположение, са необходими по-подробни съображения, които вземат предвид интерференцията на две или повече амплитуди.