Сферична тригонометрия

математическа дисциплина, която изучава връзките между ъгли и страни на сферични триъгълници (виж Сферична геометрия). Позволявам НО, B, C -ъгли и а, б, в -противоположни страни на сферичен триъгълник ABC(см. ориз. ). Ъглите и страните на сферичен триъгълник са свързани със следните основни формули на S. t.:

cos а= cos b cos с+ грях bгрях с cos НО, (2)

cos A=- cos B cos C+ грях бгрях ОТ cos а, (2 1)

грях а cos B = cosbгрях ° С-грях b cos с cos НО, (3)

грях НО cos b= cos бгрях ° С+ грях б cos ОТ cos а; (3 1)

в тези формули a, b, cизмерени чрез съответните централни ъгли, дължините на тези страни са съответно равни aR, bR, cR,където Р-радиус на сферата. Промяна на обозначенията на ъглите (и страните) според правилото за кръгова пермутация: НО→AT→ОТ→НО(а→b→с→а), възможно е да се напишат други формули на S. t., подобни на посочените. Формулите на сферичните триъгълници позволяват да се определят останалите три елемента от всеки три елемента на сферичен триъгълник (да се реши триъгълникът).

За правоъгълни сферични триъгълници ( НО= 90°, а -хипотенуза, b, c -крака) формулите на S. t. са опростени, например:

грях b= грях агрях AT, (1")

cos а = cos b cos ° С, (2")

грях а cos B= cos bгрях ° С. (3")

За да получите формули, свързващи елементите на правоъгълен сферичен триъгълник, можете да използвате следното мнемонично правило (правилото на Напиер): ако замените краката на правоъгълен сферичен триъгълник с техните допълнения и подредите елементите на триъгълника (с изключение на правилния ъгъл НО) в кръг в реда, в който са в триъгълник (т.е. както следва: Ти, 90° - б, 90 ° - c), тогава косинусът на всеки елемент е равен на произведението на синусите на несъседни елементи, например,

cos а= sin (90° - с) sin (90° - b)

или след трансформация,

cos а = cos b cos с(формула 2").

При решаване на задачи са удобни следните формули на Delambre, свързващи всичките шест елемента на сферичен триъгълник:

Когато решавате много задачи на сферичната астрономия, в зависимост от необходимата точност, често е достатъчно да използвате приблизителни формули: за малки сферични триъгълници (т.е. тези, чиито страни са малки в сравнение с радиуса на сферата), можете да използвате формулите на равнинна тригонометрия; за тесни сферични триъгълници (тоест тези с една страна, напр а,малки в сравнение с други) използвайте следните формули:

(3’’)

или по-точни формули:

S. t. възниква много по-рано от плоската тригонометрия. Свойствата на правоъгълните сферични триъгълници, изразени с формулите (1")-(3"), и различни случаи на тяхното решение са били известни дори на гръцките учени Менелай (1 век) и Птолемей (2 век). Гръцките учени сведоха решението на косите сферични триъгълници до решението на правоъгълните. Азербайджанският учен Насираддин Туей (13 век) систематично разглежда всички случаи на решаване на наклонени сферични триъгълници, като за първи път посочва решението в два от най-трудните случаи. Основните формули за наклонени сферични триъгълници са открити от арабския учен Абул-Вефа (10 век) [формула (1)], немския математик И. Региомонтан (средата на 15 век) [формули като (2)] и френския математик Ф. Виет (2-ра половина на 16 век) [формули от типа (2 1)] и Л. Ойлер (Русия, 18 век) [формули от типа (3) и (3 1)]. Ойлер (1753 и 1779) дава цялата система от формули за S. T. Някои формули за S. T., удобни за практика, са установени от шотландския математик J. Napier (края на 16 - началото на 17 век), английския математик G. 17 век), руски астроном А. И. Лексел (втората половина на 18 век), френският астроном Ж. Деламбр (края на 18 - началото на 19 век) и др.

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво е "сферична тригонометрия" в други речници:

Сферичната тригонометрия е раздел от тригонометрията, който изучава връзката между ъглите и дължините на страните на сферични триъгълници. Използва се за решаване на различни геодезически и астрономически задачи. Съдържание 1 История ... Уикипедия

Клон от математиката, който изучава връзките между страните и ъглите на сферични триъгълници (т.е. триъгълници на повърхността на сфера), образувани при пресичането на три големи кръга. Сферичната тригонометрия е тясно свързана с ... ... Голям енциклопедичен речник

Изследва свойствата на триъгълник., Начертан върху сфера. повърхности, образувани върху топката от дъги от кръгове. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Павленков Ф., 1907 г. ... Речник на чуждите думи на руския език

Клон от математиката, който изучава връзките между страните и ъглите на сферични триъгълници (т.е. триъгълници на повърхността на сфера), образувани при пресичането на три големи кръга. Сферичната тригонометрия е тясно свързана с ... ... енциклопедичен речник

Математически дисциплина, която изучава връзките между ъгли и страни на сферични триъгълници (вижте сферична геометрия). Нека A, B, C са ъгли и a, b, c противоположни страни на сферичен триъгълник ABC. Ъглите и страните са сферични. триъгълник... Математическа енциклопедия

Областта на математиката, в която се изучават зависимостите между страните и ъглите на сферата. триъгълници (т.е. триъгълници на повърхността на сфера), образувани в пресечната точка на три големи кръга. S. t. е тясно свързана със сферичната. астрономия... Естествени науки. енциклопедичен речник

Сферичен триъгълник Ексцес на сферичен триъгълник или сферична излишна стойност в sf ... Wikipedia

Теоремата на Лежандр в сферичната тригонометрия позволява да се опрости решението на сферичен триъгълник, ако се знае, че страните му са достатъчно малки в сравнение с радиуса на сферата, върху която се намира. Формулировка ... Уикипедия

Правоъгълен сферичен триъгълник с хипотенуза c, катети a и b и прав ъгъл C. Сферичната питагорова теорема е теорема, която установява връзката между страните на правоъгълен ... Wikipedia

Големият кръг винаги разделя сферата на две равни половини. Центърът на големия кръг съвпада с центъра на сферата ... Wikipedia

Книги

• Сферична тригонометрия, Степанов Н.Н. , Курсът по сферична тригонометрия от Н. Н. Степанова е учебник за студенти: астрономи, геодезисти, топографи, миньори; В същото време може да служи за цел... Категория: Математика Издател: YoYo Media, Производител: YoYo Media,
• Сферична тригонометрия, Степанов Н.Н. , Курсът по сферична тригонометрия от Н. Н. Степанова е учебник за студенти: астрономи, геодезисти, топографи, миньори; в същото време може да служи за целите... Категория:

4)Формула за страничен косинус.

Координатни системи

Координатна система - набор от определения, които прилагат метода на координатите, т.е. начин за определяне на позицията на точка или тяло с помощта на числа или други символи. Наборът от числа, който определя позицията на определена точка, се нарича координати на тази точка. В математиката координатите са набор от числа, свързани с точките на многообразие в някаква карта на определен атлас. В елементарната геометрия координатите са величини, които определят положението на точка в равнината и в пространството. В равнината позицията на точка най-често се определя от разстоянията от две прави линии (координатни оси), пресичащи се в една точка (началото) под прав ъгъл; една от координатите се нарича ордината, а другата се нарича абциса. В пространството, според системата на Декарт, позицията на една точка се определя от разстоянията от три координатни равнини, пресичащи се в една точка под прав ъгъл една спрямо друга, или от сферични координати, където началото е в центъра на сферата. В географията координатите са географска ширина, дължина и височина над известно общо ниво (например океан). Вижте географски координати. В астрономията координатите са величини, които определят позицията на звезда, например ректасцения и деклинация. Небесните координати са числа, които определят позицията на светилата и спомагателните точки върху небесната сфера. В астрономията се използват различни системи от небесни координати. Всяка от тях е по същество система от полярни координати върху сфера с подходящо избран полюс. Небесната координатна система се определя от голям кръг на небесната сфера (или нейния полюс, 90 ° от всяка точка на този кръг), показващ върху него началната точка на една от координатите. В зависимост от избора на този кръг небесните координатни системи се наричат ​​хоризонтална, екваториална, еклиптична и галактична. Когато решавате конкретен математически или физически проблем по метода на координатите, можете да използвате различни координатни системи, като изберете тази, в която проблемът се решава по-лесно или по-удобно в конкретния случай.

11) Радиуси на кривина на паралела, меридиана и нормалното сечение.

През произволна точка от повърхността на земния елипсоид могат да се начертаят безкраен брой вертикални равнини, които образуват нормални сечения с повърхността на елипсоида. Две от тях: меридианът и участъкът от първия вертикален перпендикуляр на него - се наричат ​​главни нормални сечения. Кривината на повърхността на земния елипсоид в различните му точки е различна. Освен това в една и съща точка всички нормални секции имат различна кривина. Радиусите на кривина на основните нормални сечения в дадена точка са екстремални, т.е. най-големите и най-малките сред всички други радиуси на кривина на нормалните сечения. Стойностите на радиусите на кривината на меридиана M и първия вертикал N в дадена географска ширина φ се определят по формулите: M = a(1-e²) ​​​​/ (1 - e²*sin² φ) 3/ 2; N = a / (1 - e²*sin² φ) ½

Радиусът на кривината r на произволен паралел на елипсоида е свързан с радиуса на кривината на сечението на първия вертикал чрез връзката r = N cos φ , Стойностите на радиусите на кривината на основните секции на елипсоид M и N характеризират неговата форма в близост до дадена точка. За произволна точка от повърхността на елипсоида съотношението на радиусите

M / N = 1 - e² / 1 - e²*sin² φ

12) Дължината на дъгите на паралелите и меридианите.

L \u003d 2pR \u003d 2. 3.14 6371 "40 000 км.

Като определите дължината на големия кръг, можете да намерите дължината на дъгата на меридиана (екватора) в 1° или в 1¢:1° от дъгата на меридиана (екватора) = L/360°= 111 km, 1¢ от дъгата на меридиана (екватора) 111/60¢ = 1,853 км Дължината на всеки паралел е по-малка от дължината на екватора и зависи от географската ширина на мястото.

Тя е равна на L par \u003d L eq cosj par Позицията на точка от повърхността на земния елипсоид може да се определи чрез геодезични координати - геодезическа ширина и геодезическа дължина. За определяне на положението на точка върху повърхността на геоида се използват астрономически координати, получени чрез математическа обработка на резултатите от астрономически измервания. Въпреки това, в някои случаи, когато не е необходимо да се вземат предвид разликите в геодезическите и астрономическите координати, понятието географски координати се използва за определяне на позицията на точка в навигацията на самолета.Географската ширина j е ъгълът между екваториалния равнина и нормалата към повърхността на елипсоида в дадена точка. Географската ширина се измерва от равнината на екватора до полюсите от 0 до 90° север или юг. Северната ширина се счита за положителна, южната - отрицателна.

13) Преобразуване на координати.

Трансформацията на координатната система е преходът от една координатна система към друга.При такава замяна е необходимо да се установят формули, които позволяват, като се използват известните координати на точка в една координатна система, да се определят нейните координати в друга.

Основната цел на трансформацията на координатите е да се определи такава координатна система, в която уравнението на дадена права става най-просто. Чрез добро подреждане на координатните оси е възможно да се гарантира, че уравнението на кривата приема най-простата форма. Това е важно за изучаване на свойствата на една крива.

14) Геодезическа линия. Пряка и обратна геодезическа задача.

Геодезическа линия, крива, главните нормали на всички точки от която съвпадат с нормалите на повърхността, върху която се намира. Най-късото разстояние между две точки на повърхността е G. линия, но не винаги обратното.Геодезическата задача е свързана с определяне на взаимното разположение на точките на земната повърхност и се разделя на прави и обратни задачи. Директно Г. з. наречено изчисляване на геодезически координати - географската ширина и дължина на определена точка, разположена върху земния елипсоид, според координатите на друга точка и по дължината и азимута на геодезическата линия, свързваща тези точки. Обратно G. h. се състои в определяне на геодезическите координати на две точки от земния елипсоид, дължината и азимута на геодезическата линия между тези точки

15) Сближаване на меридианитемеридиани в някоя точка от земния елипсоид - ъгълът g s между допирателната към меридиана на тази точка и допирателната към елипсоида, начертана в същата точка, успоредна на равнината на някакъв начален меридиан. C. m. g s е функция на разликата между дължините l на посочените меридиани, ширината B на точката и параметрите на елипсоида. Приблизително S. m. се изразява с формулата g s \u003d lsin. S. m. върху равнината на геодезическа проекция или картографска проекция (или гаусова S. m.) е ъгълът g, който образува допирателна към изображение на всеки меридиан с първата координатна ос (абсцисата) на тази проекция, която обикновено е изображение на средния (аксиален) меридиан на показаната територия.

16) Общият принцип за изобразяване на повърхности чрез разгъване.

Развитието на една повърхност върху друга чрез огъване е такава трансформация на първата повърхност, при която се запазват елементите на нейната вътрешна геометрия, т.е. ъгли. КВАДРАТ, Гаусова кривина на повърхността, и така свойството най-късите линии остават най-къси Радиусите на кривина Ch. нормалните участъци се наричат ​​гл. радиуси на кривина в дадена точка на повърхността..R=1/R1*R2- Гаусова кривина на повърхността

Елементи на сферичната тригонометрия

Сферичната тригонометрия се занимава с изследване на връзката между страните и ъглите на сферични триъгълници (например на повърхността на Земята и на небесната сфера).Сферични триъгълници. На повърхността на топка най-късото разстояние между две точки се измерва по обиколката на голям кръг, тоест кръг, чиято равнина минава през центъра на топката. Върховете на сферичен триъгълник са пресечните точки на три лъча, излизащи от центъра на топката и сферичната повърхност. Страните a, b, c на сферичен триъгълник са тези ъгли между лъчите, които са по-малки от 180 (ако един от тези ъгли е 180, тогава сферичният триъгълник се изражда в полукръг на голям кръг). Всяка страна на триъгълника съответства на дъга от голям кръг върху повърхността на топката (виж фигурата).

Ъглите A, B, C на сферичен триъгълник, срещуположните страни a, b, c, съответно, са по дефиниция по-малки от 180, ъглите между дъгите на големи окръжности, съответстващи на страните на триъгълника, или ъглите между равнини, определени от тези лъчи.Геометрията на повърхността на топката е неевклидова; във всеки сферичен триъгълник сумата от страните е между 0 и 360, сумата от ъглите е между 180 и 540. Във всеки сферичен триъгълник има по-голям ъгъл срещу по-голямата страна. Сумата от кои да е две страни е по-голяма от третата страна, сумата от кои да е два ъгъла е по-малка от 180 плюс третия ъгъл Сферичният триъгълник е уникално дефиниран (до трансформация на симетрия): 1) три страни, 2) три ъгли, 3) две страни и затворен между тях ъгъл, 4) страна и два съседни на нея ъгъла.

4)Формула за страничен косинус.

Формулата за страничен косинус свързва три страни и един от ъглите на сферичен триъгълник. Удобен за намиране на неизвестен ъгъл или страна срещу този ъгъл и гласи следното: „в сферичен триъгълник косинусът на една страна е равен на произведението на косинусите на другите две страни плюс произведението на синусите на тези страни и косинуса на ъгъла между тях”

За някои от нашите клиенти покупката на бижута по поръчка е изгодна инвестиция в семеен капитал, в стабилно бъдеще за деца и внуци. За други клиенти, особено красиви дами, ексклузивните бижута са още един начин да подчертаят своя стил, красота и завидно социално положение. За мъжете - опция за демонстриране на любов и внимание към избрания.

ЛИЧЕН ЛЕКАР. МатвиевскаяСферика и сферична тригонометрия в античността и в средновековния Изток / Развитие на методите за астрономически изследвания. Брой 8, Москва-Ленинград, 1979 г

ЛИЧЕН ЛЕКАР. Матвиевская

Сфериката и сферичната тригонометрия в древността и в средновековния Изток

1. В древността и през Средновековието нуждите на астрономията са послужили като най-важен стимул за развитието на много клонове, математиката и най-вече сферичната тригонометрия, която е математически апарат за решаване на специфични астрономически задачи. С развитието на астрономията, усложняването на нейните проблеми и повишаването на изискванията за точност на изчисленията този апарат постепенно се усъвършенства и съответно се обогатява съдържанието на сферичната тригонометрия. Тя е изложена както в астрономически трактати - като уводен раздел на астрономията - така и в специални математически трудове.

От особено значение за историята на сферичната тригонометрия са древногръцките писания за сферата - наука, включваща елементи от астрономията, геометрията върху сфера и тригонометрията. Към 4-ти в. пр.н.е д. тя е напълно развита и се разглежда като спомагателна астрономическа дисциплина. Най-ранните известни трудове за сферата са написани през периода 4 век пр.н.е. пр.н.е д. - I век. н. д. такива изключителни учени от древността като Автолик, Евклид, Теодосий, Хипсикъл, Менелай.

Тези произведения ви позволяват визуално да се запознаете с началния етап в развитието на сферичната тригонометрия.

Всички резултати, получени от гърците в областта на астрономията и тригонометрията, както е известно, са обобщени през 2 век пр.н.е. в труда на Птолемей, озаглавен Математически сборник в 13 книги. По-късно, вероятно през 3-ти век, тя е наречена „великата“ книга, от която през Средновековието идва общоприетото име „Алмагест“: така се произнася думата „ал-маджисти“ в Латински - арабизирана форма от "megiste" (най-великият).

За разлика от „голямата“ книга на Птолемей, писанията на неговите предшественици, необходими за астрономическите изчисления и обединени в късния елинистически период (не по-късно от 4 век) в един сборник, бяха наречени „Малка астрономия“. Те трябваше да бъдат изучавани след Елементите на Евклид, за да може Алмагестът да бъде разбран. Следователно в арабската литература те се появяват под името „средни книги“ (kutub al-mutawasita).

Тази колекция включва произведенията на Евклид „Данни“, „Оптика“, „Феномени“ и псевдоевклидовия „Катоптрик“, произведенията на Архимед („За топката и цилиндъра“, „Измерване на окръжността“, „Леми“ “), Аристарх („За количествата и разстоянията на Слънцето и Луната“), Хипсикъл („За издигането на съзвездията по еклиптиката“), Автолика („За движещата се сфера“, „За изгрева и залеза на неподвижните звезди "), Теодосий ("Сфера", "За дните и нощите", "За жилищата") и Менелай ("Сфера"). Трудът на Менелай е добавен към Малката астрономия, вероятно по-късно.

Арабският превод на „средните“ книги, включително произведенията по сферата, се появи сред първите преводи на произведенията на класиците на гръцката наука. По-късно те бяха многократно коментирани. Сред преводачите и коментаторите могат да бъдат посочени такива изключителни учени като Коста ибн Лука (IX век), ал-Махани (IX век), Сабит ибн Кора (X век), Ибн Ирак (X-XI век), Насир ад-Дин и др. -Туси (XIII век) и др.

Към гръцката „малка астрономия“ източните учени по-късно добавят произведенията „За измерването на фигури“ от Бану Муса, „Данни“ и „Книгата на пълния четириъгълник“ от Сабит ибн Кора, „Трактат за пълния четириъгълник“ от Насир ад-Дин ат-Туси.

Необходимостта от задълбочено запознаване със "средните" книги е добре призната от източните математици и астрономи и е подчертана дори през 17 век. в широко известната библиографска енциклопедия на Хаджи Халифа „Премахване на булото от заглавията на книгите и науките“. Текстът на тези трактати, както и коментарите към тях, са запазени в множество арабски ръкописи. Сред тях е например ръкописна колекция, която все още не е проучена от никого, съхранявана в Държавната публична библиотека. М. Е. Салтиков-Шчедрин в Ленинград (колекция на Хаников, № 144).

Още през 1902 г. известният историк на математиката А. Бьорнбо отбелязва със съжаление, че твърде малко внимание се обръща на тази област от древната наука, която може да се определи като „въведение в астрономията“ и която се отразява в „средната " книги. По-специално той настоява за необходимостта от пълноценно критично издание на текста на произведенията и във връзка с това повдига въпроса за изучаването на техните арабски версии. Голяма заслуга в изучаването на "малката астрономия" принадлежи на самия А. Бьорнбо, както и на Ф. Гълч, И.Л. Гейберг, П. Танъри, А. Чвалина, Й. Можене и др.. Но далеч не всичко е направено в тази насока досега. Това се отнася особено за "средните" книги в арабската интерпретация.

Учените от Източното Средновековие често правят значителни допълнения към гръцките произведения, предлагат свои собствени доказателства на теореми и понякога въвеждат нови идеи в древната теория. От тази гледна точка голямо внимание заслужават арабските версии на произведенията, посветени на сферата. От особено значение е изучаването на коментарите върху работата на Менелай, съставени от Абу Наср ибн Ирак и Насир ад-Дин ат-Туси, които изиграха значителна роля в историята на сферичната тригонометрия.

2. Най-древните писания за сферата, които са достигнали до нас - и като цяло от математическите писания на гърците - са трактатите на Автолик от Питана (ок. 310 г. пр.н.е.) „За въртящата се сфера“ и „За изгревите и залези”. И двамата се занимават с въпроси на геометрията върху сфера, приложени към астрономията.

Автолик изучава сфера, въртяща се около ос и кръгови сечения върху нея: големи кръгове, минаващи през двата полюса, малки кръгове, получени чрез разрязване на сферата с равнини, перпендикулярни на оста, и големи кръгове, преминаващи косо към нея. Движението на точките на тези окръжности се разглежда по отношение на някаква фиксирана секуща равнина, минаваща през центъра. Тук е лесно да се види модел на небесната сфера с небесни меридиани, паралели, екватор, еклиптика и хоризонт. Презентацията обаче се провежда на чисто геометричен език и не се използват астрономически термини.

В есето от 12 изречения „За движеща се сфера“ Автолик въвежда концепцията за равномерно движение („една точка се движи равномерно, ако изминава равни пътища за еднакво време“) и прилага тази концепция към въртяща се сфера. На първо място, той показва, че точките от нейната повърхност, които не лежат на оста, по време на равномерно въртене описват успоредни окръжности със същите полюси като сферата и с равнини, перпендикулярни на оста (твърдение 1). Освен това се доказва, че за еднакво време всички точки от повърхнината описват сходни дъги (Твърдение 2) и обратно, т.е. ако две дъги от успоредни окръжности се изминат за еднакво време, тогава те са подобни (Твърдение 3).

Въвеждайки концепцията за хоризонта - голям кръг, който разделя частта от тази сфера, видима за наблюдател, разположен в центъра на сферата, от невидимата - Autolik разглежда движението на повърхностните точки по отношение на нея. Изследват се различни възможни положения на хоризонта, когато той е перпендикулярен на оста, минава през полюсите и е наклонен към оста. В първия случай (който се извършва на земния полюс) никоя точка от повърхността на сферата, с равномерно въртене, няма да се изкачва или залязва; всички точки от видимата част винаги остават видими, а всички точки от невидимата част остават невидими (твърдение 4).

Във втория случай, който се случва на екватора на Земята, всички точки на повърхността на сферата се издигат и залязват, като са в едно и също време над и под хоризонта (твърдение 5).

И накрая, в последния - общ - случай, хоризонтът се допира до две равни успоредни окръжности, от които лежащата на видимия полюс е винаги видима, а другата винаги е невидима (твърдение 6). Точките на повърхността между тези кръгове се издигат и залязват и винаги преминават през едни и същи точки на хоризонта, движейки се в кръгове, перпендикулярни на оста и наклонени към хоризонта под същия ъгъл (твърдение 7). Всеки голям кръг, фиксиран върху повърхността на сферата, който докосва същите успоредни кръгове като хоризонта, ще съвпадне с хоризонта, когато сферата се върти (твърдение 8). Освен това е установено, че ако хоризонтът е наклонен към оста, тогава от двете точки, които се издигат едновременно, тази, която е по-близо до видимия полюс, залязва по-късно; ако две точки се задават едновременно, тогава тази, която е по-близо до видимия полюс става по-рано.

Показвайки още, че в случай, когато хоризонтът е наклонен към оста, големият кръг, минаващ през полюсите на сферата (т.е. меридианът), ще бъде два пъти перпендикулярен на хоризонта по време на своето въртене (твърдение 10), Автолик формулира и доказва теоремата (твърдение 11), която се занимава основно с еклиптиката. Говорим за това как изгряването и залязването на точките, лежащи върху този голям кръг, зависи от неговото положение спрямо хоризонта. Доказано е, че ако и двете са наклонени към оста, а еклиптиката докосва два кръга на сферата, успоредни един на друг и перпендикулярни на оста, по-големи от тези, които хоризонтът докосва, то точките на еклиптиката винаги ще имат своите изгреви и залези в сегмента на хоризонта, разположен между успоредни окръжности, допирателни към еклиптиката.

Последното изречение гласи: Ако фиксиран кръг върху повърхността на сфера винаги разполовява друг кръг, въртящ се със сферата, като и двата не са перпендикулярни на оста и не минават през полюсите, тогава те са големи кръгове.

Трактатът на Автолик "За изгревите и залезите", състоящ се от две книги, се основава на рецензираното есе. Описва движението на неподвижните звезди (книга 1), със специално внимание към дванадесетте съзвездия, разположени на; еклиптика (Книга II). Оказва се кога звездите изгряват и залязват, имайки различни позиции на небесната сфера и при какви обстоятелства са видими или невидими.

Съчиненията на Автолик за сферата, които имаха характер на начални учебници, не загубиха своята актуалност нито в древността, нито през Средновековието. Съдържанието на трактата "За движещата се сфера" е очертано в 6-та книга на неговия "Математически сборник" от Пап Александрийски (3 век сл. Хр.). За значението на ролята на Автолик в развитието на науката е писано през 6 век. Симплиций и Йоан Филопон. Гръцкият текст и на двете негови произведения е напълно запазен до наши дни.

Произведенията на Автолик са преведени на арабски през 9-ти и началото на 10-ти век. сред първите гръцки писания, предизвикали интереса на източните учени. Преводът на трактата "За движещата се сфера" от оригиналния гръцки е извършен от известния преводач Исхак ибн Хунайн († 910/911). Неговият съвременник астроном, философ и лекар Куста ибн Лука ал Баалбаки († 912 г.) превежда трактата За изгревите и залезите. След това тези преводи бяха ревизирани от известния математик и астроном Сабит ибн Кора (ум. 901 г.). По-късно, през XIII век. произведенията на Автолик са коментирани от изключителния учен, ръководител на обсерваторията Марага Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274) .

В Европа арабските версии на произведенията на Автолик стават известни през 12 век. По това време латинският превод на трактата "За движещата се сфера" е направен от най-големия средновековен преводач Херардо от Кремона (1114-1187).

Гръцкият текст на писанията на Автолик, запазен в няколко ръкописа от 10-15 век, привлича вниманието на учените през 16 век, когато в Европа под влияние на хуманистичните идеи започва внимателно проучване на древното научно наследство. За първи път латински; преводът на двата трактата от оригиналния гръцки е публикуван в енциклопедията на италианския педагог Джордж Бала (G. Valla, ок. 1447-1500) през 1501 г., а след това в колекцията от древни писания за сферата, публикувана през 1558 г. в Месина от Франческо Мавролико (F. Maurolico, 1494-1575).

Активна работа по публикуването на математически и астрономически произведения на древни автори се провежда през този период във Франция, където е инициирана от една от видните фигури на френския Ренесанс, страстен пропагандатор на античната наука П. Рамус (P. Ramus , Пиер дьо ла Раме, 1515-1572); Той е посветен на първото гръцко издание на произведенията на Автолик, извършено от Конрад Дазиподий (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600); тя е публикувана през 1572 г. в Страсбург, заедно с латински превод. Друг ученик на Рамус П. Форкадел (Пиер Форкадел, ок. 1520-1574) публикува през 1572 г. френски превод на двата трактата на Автолик.

През 1587-1588г. се появява друго латинско издание, направено от И. Аурия (I. Auria) върху няколко гръцки ръкописа от библиотеката на Ватикана, а през 1644 г. М. Мерсен (M. Megsenn, 1588-1648) публикува съкратен латински превод на произведенията на Автолик други Гръцки писания по математика и астрономия.

Пълно критично издание на гръцкия текст на трактатите на Автолик, заедно с латински превод, е извършено през 1855 г. от Ф. Гълч. Тя е в основата на немския превод на А. Чвалина, публикуван през 1931 г.

И накрая, ново издание на гръцкия текст, базирано на задълбочено проучване на всички оцелели ръкописи, е предприето от J. Maugenet през 1950 г.; текстът е предшестван от задълбочено изследване на историята на европейските издания на произведенията на Автолик. През 1971 г. в Бейрут е публикуван английски превод на този текст, който обаче предизвиква сериозна критика от страна на О. Нойгебауер.

Съчиненията на Автолик са привлекли вниманието на много историци на астрономията и математиката. Изучават се както теорията на Автолик, така и текстът на неговите писания. Показано е например, че двете книги, съставляващи "На изгрева и залеза", по всяка вероятност са две версии на едно и също произведение.

Арабските версии на трактатите на Автолик, които бяха сред „средните книги“, все още са най-малко проучени, въпреки че съществуват в множество ръкописи, съхранявани в различни библиотеки в Европа и Азия.

3. През втората половина на 4в. пр.н.е д. се появи друго есе за сферата, близко по съдържание до произведенията на Автолик и написано от неговия по-млад съвременник Евклид, известният автор на Началата. В този трактат, озаглавен "Феномени", Евклид до голяма степен повтаря своя предшественик, но връзката между сферата и практическата астрономия е много по-ясно изразена при него.

„Феномените“ на Евклид се състоят от 18 изречения. Първият формулира твърдението, лежащо в основата на геоцентричната система на света, че Земята се приема за център на Вселената. Тъй като позицията на наблюдателя на земната повърхност трябва да се счита за произволна, от това твърдение следва, че по отношение на цялата вселена Земята се счита за точка, в която се намира наблюдателят.

След като повтори във 2-ро и 3-то изречение седмата теорема на Автолик от трактата „За движещата се сфера“, Евклид пристъпва към изследване на изгрева и залеза на знаците на зодиака - 12 съзвездия, разположени на еклиптиката, т.е. всяка от дванадесетте дъги, еклиптиката, равна на 30 ° и условно съответстваща на тези съзвездия. Той доказва (предложение 4), че ако еклиптиката не се пресича с най-големия от винаги видимите кръгове на небесната сфера, т.е. ако географската ширина на мястото на наблюдение е по-малка от 66 °, тогава съзвездията, които се издигат първи, също залязват първи ; ако се пресича с него, т.е. ако географската ширина на мястото на наблюдение е по-голяма от 66 °, тогава съзвездията, разположени на север, се издигат по-рано и залязват по-късно от тези, разположени на юг (твърждение 5). По този начин характеристиките на изгрева и залеза на съзвездието зависят от географската ширина на мястото на наблюдение, т.е. от големината на ъгъла между оста на света и хоризонта.

След като показа допълнително, че изгряването и залязването на звезди, разположени в противоположните краища на диаметъра на еклиптиката, са противоположни една на друга (твърждение 6), Евклид обяснява единадесетата теорема от трактата на Автолик „За една движеща се сфера“: звездите, разположени на еклиптиката , по време на техния изгрев и залез, пресичат част от хоризонта, затворен между тропиците, и това пресичане се случва в постоянни точки (твърдение 7).

След това той доказва, че равни дъги на знаците на зодиака се издигат и залязват на неравни дъги на хоризонта, толкова по-големи, колкото по-близо до равноденствията са разположени; в същото време дъги, еднакво отдалечени от екватора, се издигат и залязват на равни дъги на хоризонта (твърдение 8).

Следните теореми се отнасят до продължителността на изгревите и залезите на различните знаци на зодиака. Първо, беше установено, че времето, необходимо за издигане на половината от еклиптиката, ще бъде различно в зависимост от позицията на началната референтна точка (Твърждение 9). Това съответства на твърдението за различната продължителност на деня и нощта през различните сезони на годината, когато Слънцето е в различни знаци на зодиака. След това се разглежда времето, необходимо за изгрев и залез на равни и противоположни знаци на зодиака.

Разрешаването на въпросите, поставени от Евклид, е изключително важно за древните астрономи, тъй като се отнася до методите за определяне на часа на деня и нощта, създаване на календар и т.н.

4. Така в разглежданите трудове на Автолик и Евклид са очертани основите на древногръцката сферика, както теоретични, така и практически. И двамата автори обаче следват някакъв по-ранен модел, тъй като те правят редица предложения за сферата без доказателства, вероятно смятайки ги за известни. Възможно е авторът на такъв общопризнат по това време труд върху сферата да е великият математик и астроном Евдокс от Книд (ок. 408-355 г. пр. н. е.).

За тази изгубена творба сега се съди по Сферата на Теодосий, написана по-късно, но несъмнено повтаряща основното си съдържание.

5. Има различни мнения относно живота и биографията на Теодосий, основани на често противоречиви съобщения на древни историци, които погрешно комбинират няколко фигури, носещи това име, в едно лице. Вече е установено, че авторът на „Сферата“ идва от Витиния, а не от Триполи, както се смяташе по-рано и беше посочено в заглавията на много издания на неговите произведения. Вероятно е живял през втората половина на II век пр.н.е. пр.н.е д., въпреки че обикновено се нарича съвременник на Цицерон (ок. 50 г. пр. н. е.).

В допълнение към сферите, още две съчинения на Теодосий, също включени в числото на "средните книги", са запазени в оригиналния гръцки език. Най-големият трактат "За жилищата" включва 12 изречения и е посветен на описанието на звездното небе от гледна точка на наблюдатели, разположени на различни географски ширини. Вторият трактат, озаглавен „За дните и нощите“ и състоящ се от две книги, разглежда дъгата на еклиптиката, през която слънцето преминава за един ден, и разглежда необходимите условия, например денят и нощта наистина да се равняват помежду си на равноденствията.

Тези писания са изучавани и коментирани от много арабски учени и привличат вниманието в Европа през 16 век, когато са открити техните гръцки ръкописи. Първият от тях е публикуван в латински превод през 1558 г. от Ф. Мавролико, заедно с редица други трудове върху сферата, а след това през 1572 г. от К. Дасиподий публикува гръцките и латински формулировки на теоремите от този трактат в книгата споменати по-горе. През същата 1572 г. е публикуван френски превод на труда на Теодосий във версията на Dasipodius, направена от П. Форкадел. Следващите латински издания са направени през 1587 г. (I. Auria) и през 1644 г. (M, Mersenne). Пълният гръцки текст на трактата "За жилищата" заедно с латинския превод е публикуван едва през 1927 г. от Р. Фехт. В същото издание за първи път е възпроизведен и оригиналният текст на съчинението „На дни и нощи” и латинският му превод. Преди това беше известно благодарение на формулировките на изречения на гръцки и латински, публикувани през 1572 г. от К. Дасиподий и пълен латински превод в публикацията на И. Аурия.

Най-известната творба на Теодосий е неговата "Сфера", която заема важно място в историята на астрономията, сферичната тригонометрия и неевклидовата геометрия.

Теодосий подробно изучава свойствата на линиите върху повърхността на сфера, получена чрез разрязването й с различни равнини. Трябва да се подчертае, че сферичният триъгълник все още не се появява при него. Произведението е съставено по модела на „Начала” на Евклид и се състои от три книги. Първата книга, която включва 23 изречения, започва с шест определения. Сферата се дефинира като "плътна фигура, ограничена от една повърхност, така че всички прави линии, падащи върху нея от една точка, разположена вътре във фигурата, са равни една на друга", т.е. подобно на това как кръгът е дефиниран в "Принципите" (книга I, 15 определение) ; интересно е да се отбележи, че самият Евклид в книга XI на "Началата" определя сферата по различен начин - като тяло, образувано от въртенето на полукръг около фиксиран диаметър (книга XI, 14-та дефиниция). Освен това е дадена дефиницията на центъра на сферата, нейната ос и полюси. Полюсът на кръг, начертан върху сфера, се определя като. точка на повърхността на сфера, така че всички линии, прекарани през нея до обиколката на кръга, са равни. И накрая, шестата дефиниция се отнася до окръжности върху сферата, еднакво отдалечени от нейния център: според Теодосий това са окръжности, така че перпендикулярите, изтеглени от центъра на сферата към техните равнини, са равни една на друга.

Изреченията на книга 1 са доста елементарни: доказано; по-специално, че всяко сечение на сфера от равнина е кръг, че права линия, прекарана от центъра на сферата до центъра на кръгло сечение, е перпендикулярна на равнината на това сечение, че сферата и равнината имат една точка за контакт и др.

Книга 2 от Сферите на Теодосий започва с дефиниция на два кръга върху една сфера, докосващи се един друг, и съдържа 23 изречения за свойствата на кръгове, които са наклонени един спрямо друг.

Третата книга се състои от 14 изречения, по-сложни от предходните и разглеждащи системи от успоредни и пресичащи се окръжности върху сфера. Тук се изяснява служебната роля на сферата по отношение на астрономията, въпреки че всички теореми са формулирани и доказани чисто геометрично.

"Сферата" на Теодосий е била внимателно изучавана както през Античността, така и през Средновековието. Той е коментиран от Пап от Александрия (3 век) в 6-та книга на неговия Математически сборник. През VI век. Йоан Филопон, разглеждайки писанията в областта на Евклид, Автолик и Теодосий, отбелязва, че последният дава най-общо абстрактно представяне на темата, напълно абстрахирайки се от реални астрономически обекти. Автолик, според него, разглежда по-частен случай, тъй като "дори ако авторът няма предвид конкретен обект, тогава благодарение на комбинацията от сферична фигура и движение той се доближава до реалността." Най-специалният въпрос е разгледан във "Феномените" на Евклид, тъй като обектите, изучавани от астрономията - небето, слънцето, звездите, планетите - са съвсем реални.

Теодосий за първи път превежда "Сферата" на арабски през 9 век. Куста ибн Лука ал-Баалбаки; неговият превод, доведен до 5-то изречение на книга II, е завършен от Сабит ибн Кора ал-Харани.

Има много коментари за това, както и за други писания на Теодосий, съставени от източни учени от 13-15 век. , сред които такива видни математици и астрономи като Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274), Яхя ибн Мохамед ибн Аби Шукр Мукхи ад-Дин ал-Магриби (ум. ок. 1285), Мохамед ибн Ма "руф ибн Ахмад Таки ад- Дин (1525/1526-1585) и др.

Обработка на сферата на Теодосий, собственост на представител на известната научна школа Марага от 13 век. Мухи ад-Дин ал-Магриби е проучен и частично преведен на френски от Б. Капа де Во. Този трактат обръща внимание на астрономическата терминология, която се използва при представянето и доказването на теоремите на Теодосий. Така тук още по-ясно, отколкото в гръцкия оригинал, се проявява връзката на сферата с астрономията, което обяснява нейната актуалност за източната наука.

В Европа Сферата на Теодосий става известна през 12 век, когато се появяват два латински превода на това произведение от арабската му версия. Те са направени от видни преводачи, работили в Испания, Херардо от Кремона и Платон от Тиволи. Преводът на последния е публикуван през 1518 г. във Венеция, впоследствие преиздаден през 1529 г. в изданието на И. Фьогелин (I. Voegelin, починал през 1549 г.), а през 1558 г. - споменатата книга на Ф. Мавролико.

Гръцкият текст на "Сферите" е публикуван за първи път през 1558 г. от J. Pena заедно с латински превод. Това издание даде възможност да се изясни разликата между арабската версия на труда на Теодосий и оригинала и да се установи какви допълнения и промени в доказателството на теоремите са направени от източни учени. Въпреки това гръцкият ръкопис, използван от Пена, страда от много недостатъци. Затова през 1707 г. в Оксфорд И. Хънт предприема ново и подобрено издание, като прави някои корекции на други ръкописи. Впоследствие гръцкият текст на произведението (също с латински превод) е преиздаден още два пъти: през 1862 г. от Е. Ниц и през 1927 г. от И. Гайберг.

От втората половина на 16 век започват да се появяват съкратени и адаптирани издания на Сферите на латински, в които теоремите се обясняват с помощта на нови математически концепции и с помощта на сферична тригонометрия. През 1586 г. в Рим е публикувано издание на X. Clavius ​​​​(Ch. Clavius), а през 17 век. то е последвано от няколко други, включително изданията на М. Мерсен (1644) и И. Бароу (1675).

През 1826 г. „Сферата“ е публикувана в немски превод от Е. Ниц. Второто немско издание на произведението е извършено през 1931 г. от А. Чвалина (заедно с трактатите на Автолик). Първият френски превод на "Сферите", направен от Д. Хенрион, е публикуван през 1615 г., следващият, собственост на J.B. Дюгамел (J. V. Du Hamel), - през 1660 г.; накрая, през 1927 г., се появи модерен превод от P. Ver Eecke.

Трудовете на много историци на математиката (А. Нок, И. Гейберг, Ф. Гълч, П. Танери, А. Бьорнбо и др.) са посветени на изследването на текста и съдържанието на Сферата на Теодосий. VII век. и запазени в гръцки ръкописи от по-късно време, беше разгледана връзката между "Сферата" на Теодосий и "Феномените" на Евклид и други произведения на антични автори. Резултатите от тези изследвания позволиха да се изяснят редица въпроси, свързани с историята на математиката и астрономията, както и биографиите на Евклид, Автолик, Теодосий и някои коментатори на техните произведения.

6. Съдържанието на гръцките произведения върху сферата е близко до малкото произведение на Хипсикъл от Александрия (живял между 200 и 100 г. пр.н.е.), озаглавено „За издигането на съзвездията по еклиптиката“ („Анафорика“). Хипсикъл е най-известен като автор на трактат за правилните полиедри, включен в Елементи на Евклид като книга XIV; друга негова творба, върху многоъгълни числа, която не е оцеляла, е цитирана в Аритметиката на Диофант.

В трактата „За издигането на съзвездията върху еклиптиката“, състоящ се от шест изречения, е решен проблемът за определяне на времето, необходимо за изгрева или залеза на всеки знак от зодиака, който заема 1/12 от еклиптиката, или "градус", т.е. 1/30 част от еклиптиката. Тя играе важна роля в астрологичните разсъждения и затова се радва на голяма популярност в древността и през Средновековието. Задачата може да бъде решена чрез сферична тригонометрия, но Хипсикъл, който все още не е имал такива средства, я решава приблизително, използвайки известните му теореми за многоъгълни числа. В тази работа за първи път има разделяне на обиколката на кръг на 360 части, което не е било така при неговите предшественици и по-специално при Автолик.

Трактатът на Хипсикъл е една от „средните книги“ и е преведен на арабски през 9 век. Има много ръкописи на този превод, но той дълго време остава неизследван и не е точно установено дали го е извършил Куста ибн Лука, ал-Кинди или Исхак ибн Хунайн. Той превежда арабската версия на произведението на латински през 12 век. Херардо от Кремона.

Критично издание на гръцкия оригинал и латинския превод от Херардо от Кремона е извършено през 1888 г. от К. Маниций. Второто издание, публикувано през 1966 г., включва гръцки текст, схолии и превод от В. Де Фалко, арабски текст и немски превод от М. Краузе и уводна статия от О. Нойгебауер.

7. От всички древни писания за сферата най-голяма роля в историята на науката изигра „Сферата“ на Менелай, който работи в Александрия през 1 век пр.н.е. н. д. и обобщавайки всички резултати, получени в тази област преди него. В неговата работа не само е посочена геометрията на сферата, но за първи път е въведен сферичният триъгълник, последователно са доказани теоремите, послужили като основа на сферичната тригонометрия, и е създадена теоретичната основа за тригонометричните изчисления.

Информацията за живота на Менелай е изключително оскъдна. Известно е, че през 98 г. той прави астрономически наблюдения в Рим. Сферата, основната му работа, не е запазена в оригиналния гръцки език и е известна само от средновековни арабски преводи.

Сферата се състои от три книги и е моделирана след Елементите на Евклид. На първо място се въвеждат дефиниции на основни понятия, включително концепцията за сферичен триъгълник, която не се среща в по-ранни гръцки произведения. Значителна част от работата е посветена на изследването на свойствата на тази фигура.

Когато доказва твърдения за свойствата на линиите и фигурите върху сфера, той се опира на определения и теореми от Сферата на Теодосий. Във 2-ра книга тези теореми, както и предложенията, формулирани в астрономическа форма във Феномените на Евклид и Анафориката на Хипсикъл, са систематизирани и снабдени с нови строги доказателства.

Особено важна роля в историята на тригонометрията играе първото изречение на книга III, известно като „теоремите на Менелай“ (както и „теоремите за пълния четириъгълник“, „правилата на шестте величини“, „теоремите за трансверсалите“ “). По думите на А. Браунмюл това е „основата на цялата сферична тригонометрия на гърците“.

Теоремата на Менелай за плоския случай се формулира по следния начин: нека са дадени взаимно пресичащи се прави AB, AC, BE и CD, образуващи фигурата ACGB (фиг. 1); тогава важат следните отношения:

CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

За сферичния случай в теоремата, както беше обичайно в гръцката тригонометрия, се появяват хордите на удвоени дъги. Ако е дадена фигурата ACGB (фиг. 2), образувана от дъги от големи кръгове върху повърхността на сфера, тогава са валидни отношенията:

акорд (2CE) / акорд (2AE) = акорд (2CG) / акорд (2DG) * акорд (2DB) / акорд (2AB)

акорд (2AC) / акорд (2AE) = акорд (2CD) / акорд (2DG) * акорд (2GB) / акорд (2BE)

Менелай доказва и няколко други теореми от фундаментално значение за развитието на сферичната тригонометрия. Те включват така нареченото "правило на четирите величини" (2-ро изречение на книга III); ако са дадени два сферични триъгълника ABC и DEG (фиг. 3), които съответно имат равни (или сумата до 180°) ъгли A и D, C и G, то

акорд (2AB) / акорд (2BC) = акорд (2DE) / акорд (2EG)

Третото изречение от III книга на "Сферите" на Менелай, която по-късно получи името "правила на допирателните", гласи; какво ще стане, ако са дадени два правоъгълни сферични триъгълника ABC и DEG (фиг. 4), за които

акорд (2AB) / акорд (2AC) = акорд (2ED) / акорд (2GD) * акорд (2BH) / акорд (2ET)

ЛИТЕРАТУРА

1. Гайберг И.Л. Естествените науки и математиката в класическата античност. Превод от него. С.П. Кондратиев, изд. с предговор А.П. Юшкевич М-Л., ОНТИ, 1936г.

2. Сартън Г. Оценяване на античната и средновековната наука през Ренесанса, Филаделфия, 1953 г.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Лайпциг, 1900 г.

5. Björnbo A. Studienüber Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Лайпциг, 1902 г.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l "édition critique des traités de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Лувен, 1950 г.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex tradicionale Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex традиционен eiusdem. Maurolyci, Sphaericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Теодосий. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Месана, 1558 г.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicae synopsis, Parisiis, 1644.

9. Auto1yci. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, willow cum scholiis antiquis или libris manuscriptis editit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Евклид. Опера Омния. Изд. J. L. Heiberg et H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Лайпциг, 1916 г.

11. Tannery P. Recherches sur l "histoire sur l" astronomie ancienne, Париж, 1893 г.

12. Carra de Vaux B. Notice sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8th sér., t. 17, 1894, 287-295.

13. Теодосий Триполит. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N. F., Bd 19, No 3, Берлин, 1927 г.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco и M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, No 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Али б. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Берлин, 1936 г.

Бележки

Копие от това рядко издание е налично в библиотеката. В И. Ленин.

Копие се намира в библиотеката на Академията на науките на СССР.

СФЕРНА ТРИГОНОМЕТРИЯ

тригонометрия, математическата дисциплина, която изучава връзките между ъгли и страни на сферични триъгълници (вижте сферична геометрия). Нека A, B, C са ъглите, а a, b, c противоположните страни на сферичния триъгълник ABC (виж фигурата). Ъглите и страните на сферичен триъгълник са свързани със следните основни формули на S. t.:

cos a cos b cos c + sin b sin c cos A, (2)

cos A - cos B cos C + sin B sin C cos a, (21)

sin a cos B cos b sin c - sin b cos c cos A, (3)

sin A cos b cos B sin C + sin B cos C cos a; (31)

в тези формули страните a, b, c се измерват чрез съответните централни ъгли, дължините на тези страни са съответно aR, bR, cR, където R е радиусът на сферата. Чрез промяна на обозначенията на ъглите (и страните) според правилото за кръгова пермутация: A - B - C - A (a - b - c - a), можете да напишете други S. t. формули, подобни на посочените. Формулите на сферичните триъгълници позволяват да се определят останалите три елемента от всеки три елемента на сферичен триъгълник (да се реши триъгълникът).

За правоъгълни сферични триъгълници (A 90 |, a - хипотенуза, b, c - крака) формулите на S. t. са опростени, например:

sin b sin a sin V,(1")

cos a cos b cos c, (2")

sin a cos B cos b sin c .(3")

За да получите формули, свързващи елементите на правоъгълен сферичен триъгълник, можете да използвате следното мнемонично правило (правилото на Напиер): ако замените краката на правоъгълен сферичен триъгълник с техните допълнения и подредите елементите на триъгълника (с изключение на прав ъгъл A) около кръга в реда, в който са в триъгълника (т.е. както следва: B, a, C, 90 | - b, 90 | - c), тогава косинусът на всеки елемент е равен на произведението на синусите на несъседни елементи, например,

защото грях (90| - c) грях (90 | - b)

или след трансформация,

cos a cos b cos c (формула 2").

При решаване на задачи са удобни следните формули на Delambre, свързващи всичките шест елемента на сферичен триъгълник:

Когато решавате много задачи на сферичната астрономия, в зависимост от необходимата точност, често е достатъчно да използвате приблизителни формули: за малки сферични триъгълници (т.е. тези, чиито страни са малки в сравнение с радиуса на сферата), можете да използвате формулите на равнинна тригонометрия; за тесни сферични триъгълници (т.е. такива, в които едната страна, например a, е малка в сравнение с останалите), се прилагат следните формули:

или по-точни формули:

S. t. възниква много по-рано от плоската тригонометрия. Свойствата на правоъгълните сферични триъгълници, изразени с формулите (1")-(3"), и различни случаи на тяхното решение са били известни дори на гръцките учени Менелай (1 век) и Птолемей (2 век). Гръцките учени сведоха решението на косите сферични триъгълници до решението на правоъгълните. Азербайджанският учен Насираддин Туей (13 век) систематично разглежда всички случаи на решаване на наклонени сферични триъгълници, като за първи път посочва решението в два от най-трудните случаи. Основните формули за наклонени сферични триъгълници са открити от арабския учен Абул-Вефа (10 век) [формула (1)], немския математик И. Региомонтан (средата на 15 век) [формули като (2)] и френския математик Ф. Виет (2-ра половина на 16 век) [формули от типа (21)] и Л. Ойлер (Русия, 18 век) [формули от типа (3) и (31)]. Ойлер (1753 и 1779) дава цялата система от формули за S. T. Някои формули за S. T., удобни за практика, са установени от шотландския математик J. Napier (края на 16 - началото на 17 век), английския математик G. 17 век), руски астроном А. И. Лексел (втората половина на 18 век), френският астроном Ж. Деламбр (края на 18 - началото на 19 век) и др.

Лит. виж чл. сферична геометрия.

Велика съветска енциклопедия, TSB. 2012

Вижте също тълкувания, синоними, значения на думата и какво е СФЕРИЧНА ТРИГОНОМЕТРИЯ на руски в речници, енциклопедии и справочници:

• СФЕРНА ТРИГОНОМЕТРИЯ
  
• СФЕРНА ТРИГОНОМЕТРИЯ
  дял от математиката, който изучава връзките между страните и ъглите на сферични триъгълници (т.е. триъгълници на повърхността на сфера), образувани, когато ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Големия енциклопедичен речник:
  (от гръцки trigonon - триъгълник и ... метрика) дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и техните приложения към ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ
  (от гръцки. trigonon - триъгълници - метрика), дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и техните приложения в геометрията. …
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron.
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в съвременния енциклопедичен речник:
  
• ТРИГОНОМЕТРИЯ
  (от гръцки trigonon - триъгълник и ... метър), дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и техните приложения в геометрията. Отделете…
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Енциклопедичния речник:
  и, мн. сега. Разделът от математиката, който изучава връзката между страните и ъглите на триъгълник. Тригонометричен - отнасящ се до тригонометрията.||Вж. АЛГЕБРА, ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Енциклопедичния речник:
  , -и, е. Разделът от математиката, който изучава връзката между страните и ъглите на триъгълник. II прил. тригонометричен, -ти, ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ
  ТРИГОНОМЕТРИЯ (от гръцки. trigonon - триъгълник и ... метрика), дял от математиката, в който се изучава тригонометрията. функции и техните приложения за ...
• СФЕРИЧЕН в Големия руски енциклопедичен речник:
  СФЕРНА ТРИГОНОМЕТРИЯ, дял от математиката, в който се изучават връзките между страните и ъглите на сферични обекти. триъгълници (т.е. триъгълници на повърхността на сфера), образувани от ...
• СФЕРИЧЕН в Големия руски енциклопедичен речник:
  СФЕРНА ГЕОМЕТРИЯ, дял от математиката, в който се изучава геом. фигури върху сферата. Развитие S.g. в античния от древността се свързва със задачи ...
• СФЕРИЧЕН в Големия руски енциклопедичен речник:
  СФЕРИЧНА АСТРОНОМИЯ, дял от астрономията, който развива мат. методи за решаване на проблеми, свързани с изследването на видимото местоположение и движение на пространството. тела (звезди, слънце, ...
• СФЕРИЧЕН в Големия руски енциклопедичен речник:
  СФЕРИЧНА АБЕРАЦИЯ, изкривяване на изображението в опт. системи поради факта, че светлинните лъчи от точков източник, разположен на опт. брадви...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ* в Енциклопедията на Брокхаус и Ефрон.
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в пълната акцентирана парадигма според Зализняк:
  тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, тригонометрия, ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Новия речник на чуждите думи:
  (гр. trigonon triangle + ... metrics) дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното приложение при решаване на задачи, гл. обр. геометричен; …
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в речника на чуждите изрази:
  [гр. trigonon triangle + ... metrics] дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното приложение при решаване на проблеми, гл. обр. геометричен; T. …
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Новия обяснителен и деривационен речник на руския език Ефремова:
  
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Пълния правописен речник на руския език:
  тригонометрия...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в правописния речник:
  тригономия ʻetria, ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Речника на руския език Ожегов:
  дял от математиката, който изучава връзките между страни и ъгли...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в речника на Дал:
  Гръцки математика на триъгълниците; науката за изчисляване на това чрез конструиране на триъгълници. -пробно заснемане и триангулация, заснемане на терена по ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в съвременния тълковен речник, TSB:
  (от гръцки trigonon - триъгълник и ... метрика), дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и техните приложения към ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Обяснителния речник на руския език Ушаков:
  тригонометрия, мн. сега. (от гръцки trigonos - триъгълник и metreo - мярка) (мат.). Катедрата по геометрия за връзката между страните ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Обяснителния речник на Ефремова:
  тригонометрия Клон от математиката, който изучава тригонометричните функции и приложението им за решаване на ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Новия речник на руския език Ефремова:
  и. Клон от математиката, който изучава тригонометричните функции и приложението им за решаване на ...
• ТРИГОНОМЕТРИЯ в Големия съвременен обяснителен речник на руския език:
  и. Клон от математиката, който изучава тригонометричните функции и приложението им за решаване на ...
• СФЕРНА ГЕОМЕТРИЯ във Великата съветска енциклопедия, TSB:
  геометрия, математическа дисциплина, която изучава геометрични изображения, които са върху сфера, точно както планиметрията изучава геометрични изображения, които са върху равнина. Всеки…
• бонсай в Илюстрована енциклопедия на цветята:
  Стилове бонсай В природата външният вид на дърветата се формира в зависимост от мястото им на растеж и под въздействието на природни фактори. Багажник...
• КУРШУМ Илюстрована енциклопедия на оръжията:
  СФЕРИЧЕН - виж топка куршум ...
• ПАДУГА в Обяснителния строително-архитектурен речник:
  - сферична повърхност, разположена над стрехите в помещението. Подложката създава преход от равнината на стената към повърхността...
• АНШОА в Енциклопедия по биология:
  , род риби. аншоа отр. херинга. 8 вида, разпространени в крайбрежните морски води на тропическите и умерените зони на двете полукълба. …
• ЧУМАКОВ ФЕДОР ИВАНОВИЧ
  Чумаков (Фьодор Иванович) - професор по приложна математика в Московския университет (1782 - 1837). Син на капитан, той беше приет в числото ...
• САВИЧ АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ в Кратка биографична енциклопедия:
  Савич (Алексей Николаевич, 1810 - 1883) - известен руски астроном, член на Академията на науките (от 1862 г.); през 1829 г. завършва ...
• ЗЕЛЕН СЕМЬОН ИЛИЧ в Кратка биографична енциклопедия:
  Грийн (Семьон Илич) - адмирал (1810 - 1892). Възпитан е във военноморския корпус. Завършва астрономическото си образование в Юриев под ръководството на ...
• ТРИЪГЪЛНИК (В ГЕОМЕТРИЯТА) във Великата съветска енциклопедия, TSB:
  праволинеен, част от равнина, ограничена от три сегмента (страни на Т.), имащи по двойки един общ край (върхове на Т.). Т., която има...
• СФЕРИЧЕН ТРИЪГЪЛНИК във Великата съветска енциклопедия, TSB:
  триъгълник, геометрична фигура, образувана от дъгите на три големи кръга, свързващи по двойки три произволни точки от сферата. За имотите на С. т. и ...
• СФЕРА (МАТ.) във Великата съветска енциклопедия, TSB:
  (математически), затворена повърхност, всички точки на която са на еднакво разстояние от една точка (центъра на S.). Сегмент, свързващ центъра на S. с който и да е от неговите ...
• СУПЕР ШМИДТ във Великата съветска енциклопедия, TSB:
  (German Super-Schmidt-Spiegel), телескопна система с огледални лещи, в която сферичната аберация на вдлъбнато сферично огледало се коригира чрез сложна комбинация от коригираща плоча на Шмид (вижте ...

Сферична тригонометрия в Енциклопедичния речник:
Сферичната тригонометрия е дял от математиката, който изучава връзките между страните и ъглите на сферични триъгълници (т.е. триъгълници на повърхността на сфера), образувани, когато се пресичат три големи кръга. Сферичната тригонометрия е тясно свързана със сферичната астрономия.

Дефиниция на "сферична тригонометрия" от TSB:
Сферичната тригонометрия е математическа дисциплина, която изучава връзките между ъгли и страни на сферични триъгълници (вижте Сферична геометрия). Нека A, B, C са ъглите, а a, b, c противоположните страни на сферичния триъгълник ABC (виж фигурата). Ъглите и страните на сферичен триъгълник са свързани със следните основни формули на S. t.:

грях а грях А = sinb грях Б = грях c грях C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

в тези формули страните a, b, c се измерват чрез съответните централни ъгли, дължините на тези страни са съответно aR, bR, cR, където R е радиусът на сферата. Промяна на обозначенията на ъглите (и страните) според правилото за кръгова пермутация:
A → B → C → A (a → b → c → a), могат да се напишат други S. t. формули, подобни на посочените. Формулите на сферичните триъгълници позволяват да се определят останалите три елемента от всеки три елемента на сферичен триъгълник (да се реши триъгълникът).
За правоъгълни сферични триъгълници (A \u003d 90 °, a е хипотенузата, b, c са краката), формулите на S. t. са опростени, например:

sin b \u003d sin a sin B,	(един')
cos a = cos b cos c,	(2')
sin a cos B = cos b sin c.	(3′)

За да получите формули, свързващи елементите на правоъгълен сферичен триъгълник, можете да използвате следното мнемонично правило (правило на Напиер): ако замените краката на правоъгълен сферичен триъгълник с техните допълнения и подредите елементите на триъгълника (с изключение на прав ъгъл A) около кръга в реда, в който са в триъгълника (т.е. както следва: B, a, C, 90° - b, 90° - c), тогава косинусът на всеки елемент е равен на произведението на синусите на несъседни елементи, например,
cos a \u003d sin (90 ° - c) sin (90 ° - b)
или след трансформация,
cos a = cos b cos c (формула 2′).
При решаване на задачи са удобни следните формули на Delambre, свързващи всичките шест елемента на сферичен триъгълник:
sin 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2(b+c)

sin 1⁄2a sin 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
Когато решавате много задачи на сферичната астрономия, в зависимост от необходимата точност, често е достатъчно да използвате приблизителни формули: за малки сферични триъгълници (т.е. тези, чиито страни са малки в сравнение с радиуса на сферата), можете да използвате формулите на равнинна тригонометрия; за тесни сферични триъгълници (т.е. такива, в които едната страна, например a, е малка в сравнение с останалите), се прилагат следните формули:

(един'")

a cos B ≈ c−b

+

aІ 2

грях Б tg c

.

(3′″)

S. t. възниква много по-рано от плоската тригонометрия. Свойствата на правоъгълните сферични триъгълници, изразени с формули (1)-(3), и различни случаи на тяхното решение са били известни дори на гръцките учени Менелай (1 век) и Птолемей (2 век). Гръцките учени сведоха решението на косите сферични триъгълници до решението на правоъгълните. Азербайджанският учен Насираддин Туей (13 век) систематично разглежда всички случаи на решаване на наклонени сферични триъгълници, като за първи път посочва решението в два от най-трудните случаи. Основните формули за наклонени сферични триъгълници са открити от арабския учен Абул-Вефа (10 век) [формула (1)], немския математик И. Региомонтан (средата на 15 век) [формули като (2)] и френския математик Ф. Виет (2-ра половина на 16 век) [формули от типа (21)] и Л. Ойлер (Русия, 18 век) [формули от типа (3) и (31)]. Ойлер (1753 и 1779) дава цялата система от формули за S. T. Някои формули за S. T., удобни за практика, са установени от шотландския математик J. Napier (края на 16 - началото на 17 век), английския математик G. 17 век), руски астроном А. И. Лексел (втората половина на 18 век), френският астроном Ж. Деламбр (края на 18 - началото на 19 век) и др.
Лит. виж чл. сферична геометрия.
Ориз. към чл. Сферична тригонометрия.