златно сечение- това е такова пропорционално разделяне на сегмент на неравни части, при което по-малкият сегмент се отнася към по-големия сегмент толкова, колкото по-големият към всичко.

a:b = b:cили c: b = b: a.

Тази пропорция е:

Например при правилна петлъчева звезда всеки сегмент е разделен от сегмент, пресичащ го в златното сечение (т.е. съотношението на синия сегмент към зеленото, червеното към синьото, зеленото към лилавото е 1.618

Общоприето е, че Питагор въвежда концепцията за златното сечение в научна употреба. Има предположение, че Питагор е заимствал знанията си от египтяните и вавилонците. Всъщност пропорциите на пирамидата на Хеопс, храмовете, барелефите, битовите предмети и декорациите от гробницата на Тутанкамон показват, че египетските майстори са използвали съотношенията на златното разделение при създаването им.

През 1855 г. немският изследовател на златното сечение, професор Цайзинг, публикува своя работа "Естетически изследвания".
Цайзинг измерва около две хиляди човешки тела и стига до извода, че златното сечение изразява средния статистически закон.

Златни пропорции в части от човешкото тяло

Разделянето на тялото от точката на пъпа е най-важният показател за златното сечение. Пропорциите на мъжкото тяло варират в рамките на средното съотношение 13: 8 = 1,625 и са малко по-близо до златното сечение, отколкото пропорциите на женското тяло, по отношение на което средната стойност на пропорцията се изразява в съотношението 8: 5 = 1,6.

При новороденото съотношението е 1:1, до 13-годишна възраст е 1,6, а до 21-годишна възраст е равно на мъжкото.
Пропорциите на златното сечение се проявяват и по отношение на други части на тялото - дължината на рамото, предмишницата и ръката, ръката и пръстите и др.
Цайзинг тества валидността на своята теория върху гръцки статуи. Той разработва най-подробно пропорциите на Аполон Белведере. Гръцки вази, архитектурни структури от различни епохи, растения, животни, птичи яйца, музикални тонове, поетични метри бяха подложени на изследване.

Цайзинг определи златното сечение, показа как се изразява в сегменти и в числа. Когато бяха получени числата, изразяващи дължините на сегментите, Цайзинг видя, че те възлизат на ред на Фибоначи.

Поредица от числа 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.н. известен като редицата на Фибоначи. Особеността на редицата от числа е, че всеки от нейните членове, започвайки от третия, е равно на сумата от предходните две 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 и т.н., а съотношението на съседните числа на серията се доближава до съотношението на златното разделение.

И така, 21: 34 = 0,617 и 34: 55 = 0,618. (или 1.618 при деление на по-голямото число на по-малкото).

ред на Фибоначиможеше да остане само математически инцидент, ако не беше фактът, че всички изследователи на златното разделение в растителния и животинския свят, да не говорим за изкуството, неизменно стигаха до тази серия като аритметичен израз на закона за златното сечение.

Златното сечение в изкуството

През 1925 г. историкът на изкуството Л. Л. Сабанеев, анализирайки 1770 музикални произведения от 42 автори, показа, че по-голямата част от изключителните произведения могат лесно да бъдат разделени на части или по тема, или по интонация, или по модална система, които са във връзка с всеки друго златно сечение.

Освен това, колкото по-талантлив е композиторът, толкова повече златни сечения са намерени в неговите произведения. При Аренски, Бетовен, Бородин, Хайдн, Моцарт, Скрябин, Шопен и Шуберт златните сечения са намерени в 90% от всички произведения. Според Сабанеев златното сечение създава впечатлението за специална хармония на музикалната композиция.

В киното С. Айзенщайн изкуствено построява филма „Броненосец Потьомкин“ по правилата на „златното сечение“. Той раздели лентата на пет части. В първите три действието се развива на кораба. В последните две – в Одеса, където се разгръща въстанието. Този преход към града става точно в точката на златното сечение. Да, и във всяка част има повратна точка, която се случва според закона на златното сечение.

Златно сечение в архитектурата, скулптурата, живописта

Едно от най-красивите произведения на древногръцката архитектура е Партенонът (V в. пр. н. е.).

Фигурите показват редица модели, свързани със златното сечение. Пропорциите на сградата могат да бъдат изразени чрез различни степени на числото Ф = 0,618 ...

На етажния план на Партенона можете да видите и "златните правоъгълници":

Можем да видим златното сечение в сградата на катедралата Нотр Дам (Notre Dame de Paris) и в пирамидата на Хеопс:

Не само египетските пирамиди са построени в съответствие с идеалните пропорции на златното сечение; същото явление се открива в мексиканските пирамиди.

Златното сечение е използвано от много древни скулптори. Златната пропорция на статуята на Аполон Белведере е известна: височината на изобразения човек е разделена от пъпната линия в златното сечение.

Обръщайки се към примери за "златното сечение" в живописта, не можем да спрем вниманието си върху работата на Леонардо да Винчи. Нека разгледаме отблизо картината "Джоконда". Композицията на портрета се основава на "златни триъгълници".

Златното сечение в шрифтовете и битовите предмети

Златното сечение в дивата природа

Биологичните изследвания показват, че като се започне от вируси и растения и се стигне до човешкото тяло, навсякъде се разкрива златната пропорция, характеризираща пропорционалността и хармонията на тяхната структура. Златното сечение е признато за универсален закон на живите системи.

Установено е, че числовата серия от числа на Фибоначи характеризира структурната организация на много живи системи. Например, спираловидно подреждане на листа върху клон е дроб (брой завъртания на стеблото/брой листа в цикъл, напр. 2/5; 3/8; 5/13), съответстваща на редицата на Фибоначи.

Известна е "златната" пропорция на петлистните цветове на ябълката, крушата и много други растения. Носителите на генетичния код – молекулите на ДНК и РНК – имат двойна спирална структура; неговите размери почти напълно съответстват на числата от редицата на Фибоначи.

Гьоте подчертава тенденцията на природата да се развива спираловидно.

Паякът върти мрежата си по спираловиден модел. Вихри се ураган. Уплашено стадо северни елени се разпръсква спираловидно.

Гьоте нарича спиралата „кривата на живота“. Спиралата се вижда в подреждането на слънчогледови семки, в шишарки, ананаси, кактуси и др.

Цветя и семена от слънчоглед, лайка, люспи в плодовете на ананаса, иглолистни шишарки са "опаковани" в логаритмични ("златни") спирали, извиващи се една към друга, като номерата на "десните" и "левите" спирали винаги се отнасят една към друга , като съседни числа на Фибоначи.

Помислете за издънка на цикория. От основното стъбло се образува разклонение. Ето първия лист. Процесът прави силно изхвърляне в пространството, спира, освобождава лист, но вече по-къс от първия, отново прави изхвърляне в пространството, но с по-малка сила, освобождава лист с още по-малък размер и отново изхвърляне.

Ако първото отклонение се приеме за 100 единици, тогава второто е равно на 62 единици, третото е 38, четвъртото е 24 и т.н. Дължината на венчелистчетата също зависи от златното сечение. В растежа, завладяването на космоса, растението запазва определени пропорции. Импулсите му на растеж постепенно намаляват пропорционално на златното сечение.

При много пеперуди съотношението на размера на гръдната и коремната част на тялото съответства на златното сечение. Сгънала крилата си, нощната пеперуда образува правилен равностранен триъгълник. Но си струва да разперите крилата и ще видите същия принцип на разделяне на тялото на 2,3,5,8. Водното конче също е създадено според законите на златното сечение: съотношението на дължините на опашката и тялото е равно на съотношението на общата дължина към дължината на опашката.

При гущера дължината на опашката му е свързана с дължината на останалата част от тялото като 62 към 38. Можете да видите златните пропорции, ако се вгледате внимателно в яйцето на птица.

В практиката при избора на формат на лист (картина) често се използват „класическите” пропорции на страните на правоъгълника, при които отношението на по-малката страна към по-голямата е 0,6180339, а по-голямата към по-малката е 1,6180339. От древни времена тези числа са наричани златни числа, а съотношението на количествата, необходими за получаването им, е известно като златно сечение или златно сечение.

Основата на учението за хармонията на света, изразена в числови термини, е положена от древногръцкия математик Питагор (VI в. пр. н. е.). Той представи златното сечение като един от законите, който математически точно определя най-красивото и хармонично съотношение на частите на цялото, разделено на две неравни половини.

Конструкцията на правоъгълник се основава на съотношението на частите на сегмента в пропорциите на златното сечение. С помощта на диагонали тя се разделя на съставните си части, в които се формира динамиката на пропорционални фигури - квадрат, правоъгълник, както и правоъгълни и равнобедрени триъгълници.

По този начин, използвайки диагонали, можете да получите последователен ред от увеличаващи се правоъгълници, със съотношение на страните 1:√2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, получени от квадрат.

Със страна √4 се образува правоъгълник с двоен квадрат. Със страна √3 се образуват два правоъгълни триъгълника, в които общата хипотенуза е диагоналът на правоъгълника, равен на удвоената стойност на по-малкия катет (т.е. страната на квадрата) и имат остра ъгли от 30 и 60 градуса.

Диагоналът се използва и при изграждането на последователно нарастващи квадрати, създавайки "динамично" развитие на техния размер.

При тази конструкция страната на всеки следващ квадрат е свързана със страната на предишния, тъй като диагоналът на квадрата е към неговата собствена страна. Тези трансформации понякога се наричат ​​"активен квадрат".

Геометричната система от динамични пропорции на квадрат, правоъгълник и триъгълник е в основата на създаването на архитектурни структури в ранния период на Древен Египет. Освен това, в условията на примитивната техника на архитектурно строителство в онези далечни времена, постоянно се изискваше възстановяване на перпендикуляра на линията, което след това се извършваше с помощта на въже с 12 възела. С помощта на такова устройство се получава правоъгълен триъгълник със съотношение на страните 3: 4: 5, който по-късно става известен като египетския. В момента на негова основа се изграждат прави ъгли и се изчертават перпендикуляри до края на сегмента.

От древни времена златното сечение се използва в практиката за конструиране на различни изображения. Това допринася за създаването на хармонични образи и баланс на пропорциите във всичко, което заобикаля. Пропорциите на златното сечение присъстват в математиката и особено в геометрията, в изобразителното изкуство, в бита и природата, в растителния и животински свят.

Златното сечение е широко развито в математиката. И така, през 16 век италианският учен Фибоначи изгражда математическа редица от числа, в която следващото число определя сумата от предходните две - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. , 55 и др. Освен това се установява друга зависимост на тези числа, при която отношението на всяко следващо към предходното се изразява с числото 1,618 ..., а на предходното към следващото - 0,618. Така в тази математическа поредица се образува взаимовръзка от числа, съдържаща пропорциите на златното сечение.

Особено често златното сечение се използва в геометрията, когато се разделя кръг на равни части и се конструират правилни многоъгълници.

В звезден многоъгълник - петлъчева звезда, всяка пресечна точка на страните му ги разделя на две неравни части в пропорциите на златното сечение.

От древни времена златното сечение се използва в различни видове изобразително изкуство – в архитектурата, скулптурата, живописта. Партенонът е класически пример за приложението на златното сечение в архитектурата.

Особено широко използвано в работата му е съотношението на златното сечение на Леонардо да Винчи, което той нарича "божествена пропорция".

Древните статуи на гръцкото изкуство, отразяващи пропорциите на идеално оформено човешко тяло, също се подчиняват на цифровата хармония на златното сечение.

Златното сечение се използва при изписването на букви и цифри с различни шрифтове.

Златното сечение често се използва при определяне на размера на правоъгълник, като се има предвид неговата по-голяма или по-малка страна. Ако една правоъгълна картина има дължина (AB), тогава нейната височина (AC) се определя от следната конструкция:

Първо, дъга, равна на половината от него, се изчертава от края на сегмента (B) до пресечната точка с перпендикуляра (AO=OB=VD). Получената точка D се свързва с права линия с другия край на сегмента (A). След това от точка D се начертава дъга с радиус VD до пресечната точка с тази права линия и се маркира точка E. Дъга, начертана от края на сегмент A с радиус AE, определя точка C по вертикална права линия и необходимата височина на картината AC.

Ако височината на картината (AC) е дадена, тогава нейната дължина (AB) се определя от друга конструкция. Първо се построява квадрат ASDE със страна, равна на AC. След това от средата на страната на квадрата (O) се изчертава дъга с радиус OD и се получава точка B на хоризонтална права линия, която ще определи желаната дължина на страната на правоъгълния модел AB .

На правоъгълник със златни пропорции можете да изградите всякакъв размер, подобен формат на листа.

За целта той се поставя върху лист хартия в единия му ъгъл (А) и в него се чертае диагонал. След това от точка А се отделя дадения размер на хоризонталната или вертикалната страна на формата на листа и през края му се прекарва перпендикуляр до пресичането му с диагонала, който ще определи втората страна на правоъгълника.

Златното сечение е прост принцип, който ще ви помогне да направите вашия дизайн визуално приятен. В тази статия ще обясним подробно как и защо да го използвате.

Обща математическа пропорция в природата, наречена Златно сечение или Златна среда, се основава на последователността на Фибоначи (за която най-вероятно сте чували в училище или сте чели в „Шифърът на Да Винчи“ на Дан Браун) и предполага аспектно съотношение 1 :1,61.

Такова съотношение често се среща в живота ни (черупки, ананаси, цветя и т.н.) и затова се възприема от човек като нещо естествено, приятно за окото.

→ Златното сечение е връзката между две числа в редицата на Фибоначи
→ Начертаването на тази последователност в мащаб дава спирали, които могат да се видят в природата.

Смята се, че златното сечение се използва от човечеството в изкуството и дизайна повече от 4000 години, а може би дори повече, според учени, които твърдят, че древните египтяни са използвали този принцип при изграждането на пирамидите.

Известни примери

Както вече казахме, златното сечение може да се види в цялата история на изкуството и архитектурата. Ето няколко примера, които само потвърждават валидността на използването на този принцип:

Архитектура: Партенон

В древногръцката архитектура златното сечение се използва за изчисляване на идеалното съотношение между височината и ширината на сградата, размера на портика и дори разстоянието между колоните. По-късно този принцип е наследен от неокласическата архитектура.

Изкуство: Тайната вечеря

За артистите композицията е основата. Леонардо да Винчи, подобно на много други художници, се ръководи от принципа на златното сечение: в Тайната вечеря например фигурите на учениците са разположени в долните две трети (по-голямата от двете части на златното сечение ), а Исус е поставен точно в центъра между два правоъгълника.

Уеб дизайн: редизайн на Twitter през 2010 г

Творческият директор на Twitter Дъг Боуман публикува екранна снимка в своя акаунт във Flickr, обясняваща използването на златното сечение за редизайна през 2010 г. „Всеки, който се интересува от пропорциите на #NewTwitter - знайте, че всичко се прави с причина“, каза той.

Apple iCloud

Иконата на услугата iCloud също изобщо не е произволна скица. Както е обяснено от Такамаса Мацумото в неговия блог (оригинална японска версия), всичко се основава на математиката на златното сечение, чиято анатомия може да се види на фигурата вдясно.

Как да изградим златното сечение?

Конструкцията е доста проста и започва с главния площад:

Начертайте квадрат. Това ще формира дължината на "късата страна" на правоъгълника.

Разделете квадрата наполовина с вертикална линия, така че да получите два правоъгълника.

В един правоъгълник начертайте линия, като съедините противоположните ъгли.

Разширете тази линия хоризонтално, както е показано на фигурата.

Създайте друг правоъгълник, като използвате хоризонталната линия, която сте начертали в предишните стъпки като основа. Готов!

"Златни" инструменти

Ако рисуването и измерването не е вашето любимо занимание, оставете цялата „мръсна работа“ на инструменти, които са предназначени специално за това. С помощта на 4-те редактора по-долу можете лесно да намерите златното сечение!

Приложението GoldenRATIO ви помага да проектирате уебсайтове, интерфейси и оформления според Златното сечение. Предлага се от Mac App Store за $2,99, той има вграден калкулатор с визуална обратна връзка и удобна функция Favorites, която съхранява настройки за повтарящи се задачи. Съвместим с Adobe Photoshop.

Този калкулатор ще ви помогне да създадете перфектната типография за вашия сайт в съответствие с принципите на златното сечение. Просто въведете размера на шрифта, ширината на съдържанието в полето на сайта и щракнете върху „Задаване на моя тип“!

Това е просто и безплатно приложение за Mac и PC. Просто въведете число и то ще изчисли пропорцията за него според правилото на златното сечение.

Удобна програма, която ще ви спести необходимостта от изчисления и чертане на мрежи. Намирането на идеалните пропорции е лесно с нея! Работи с всички графични редактори, включително Photoshop. Въпреки факта, че инструментът е платен - $ 49, е възможно да тествате пробната версия за 30 дни.

Геометрията е точна и доста сложна наука, която заедно с всичко това е вид изкуство. Линии, равнини, пропорции - всичко това помага да се създадат много наистина красиви неща. И колкото и да е странно, това се основава на геометрията в нейните най-разнообразни форми. В тази статия ще разгледаме едно много необичайно нещо, което е пряко свързано с това. Златното сечение е именно геометричният подход, за който ще стане дума.

Формата на обекта и неговото възприятие

Хората най-често се фокусират върху формата на даден предмет, за да го разпознаят сред милиони други. Чрез формата ние определяме какво нещо лежи пред нас или стои далече. Разпознаваме хората преди всичко по формата на тялото и лицето. Следователно можем да кажем с увереност, че самата форма, нейният размер и вид е едно от най-важните неща в човешкото възприятие.

За хората формата на всичко представлява интерес по две основни причини: или е продиктувано от жизнена необходимост, или е причинено от естетическо удоволствие от красотата. Най-доброто зрително възприятие и усещане за хармония и красота най-често идва, когато човек наблюдава форма, в чието изграждане е използвана симетрия и специално съотношение, което се нарича златно сечение.

Концепцията за златното сечение

И така, златното сечение е златното сечение, което също е хармонично деление. За да обясните това по-ясно, разгледайте някои характеристики на формуляра. А именно: формата е нещо цяло, но цялото от своя страна винаги се състои от някои части. Тези части най-вероятно имат различни характеристики, поне различни размери. Е, такива измерения винаги са в определено съотношение както помежду си, така и спрямо цялото.

Така че, с други думи, можем да кажем, че златното сечение е съотношението на две величини, което има своя собствена формула. Използването на това съотношение при създаване на форма помага тя да стане възможно най-красива и хармонична за човешкото око.

Из древната история на златното сечение

Златното сечение често се използва в различни области на живота в момента. Но историята на тази концепция датира от древни времена, когато такива науки като математика и философия току-що се появиха. Като научна концепция златното сечение влиза в употреба по времето на Питагор, а именно през 6 век пр.н.е. Но още преди това знанието за такова съотношение е използвано на практика в древен Египет и Вавилон. Ярко доказателство за това са пирамидите, за чието изграждане са използвали точно такова златно сечение.

нов период

Ренесансът е нов дъх за хармонично разделение, особено благодарение на Леонардо да Винчи. Това съотношение се използва все повече както в геометрията, така и в изкуството. Учени и художници започнаха да изучават по-задълбочено златното сечение и да създават книги, които се занимават с този въпрос.

Един от най-важните исторически трудове, свързани със златното сечение, е книгата на Лука Панчиоли, наречена Божествената пропорция. Историците подозират, че илюстрациите на тази книга са направени от самия Леонардо преди Винчи.

Математически израз на златното сечение

Математиката дава много ясна дефиниция на пропорцията, която казва, че това е равенството на две съотношения. Математически това може да се изрази чрез следното равенство: a: b \u003d c: d, където a, b, c, d са някои специфични стойности.

Ако разгледаме пропорцията на сегмент, разделен на две части, тогава можем да срещнем само няколко ситуации:

• Отсечката е разделена на две абсолютно равни части, което означава, че AB: AC \u003d AB: BC, ако AB е точното начало и край на отсечката, а C е точката, която разделя отсечката на две равни части.
• Сегментът е разделен на две неравни части, които могат да бъдат в много различни пропорции една спрямо друга, което означава, че тук те са абсолютно непропорционални.
• Отсечката е разделена така, че AB:AC = AC:BC.

Що се отнася до златното сечение, това е такова пропорционално разделяне на сегмента на неравни части, когато целият сегмент се отнася към по-голямата част, точно както самата по-голяма част се отнася към по-малката. Има и друга формулировка: по-малкият сегмент се отнася към по-големия, както и по-големият към целия сегмент. В математически термини изглежда така: a:b = b:c или c:b = b:a. Това е формата на формулата за златното сечение.

Златно сечение в природата

Златното сечение, чиито примери ще разгледаме сега, се отнася до невероятните явления в природата. Това са много красиви примери за това, че математиката не е само числа и формули, а наука, която има повече от реално отражение в природата и живота ни като цяло.

За живите организми една от основните жизнени задачи е растежът. Това желание да заеме своето място в космоса всъщност се осъществява в няколко форми - израстване нагоре, почти хоризонтално разстилане върху земята или спираловидно извиване върху някаква опора. И колкото и да е невероятно, много растения растат според златното сечение.

Друг почти невероятен факт са съотношенията в тялото на гущерите. Тялото им изглежда достатъчно приятно за човешкото око и това е възможно благодарение на същото златно сечение. За да бъдем по-точни, дължината на опашката им се отнася към дължината на цялото тяло като 62:38.

Интересни факти за правилата на златното сечение

Златното сечение е наистина невероятно понятие, което означава, че в историята можем да открием много наистина интересни факти за това съотношение. Представяме ви някои от тях:

Златното сечение в човешкото тяло

В този раздел е необходимо да се спомене една много значима личност, а именно С. Цайзинг. Това е немски изследовател, който е свършил страхотна работа в областта на изучаването на златното сечение. Той публикува труд, озаглавен „Естетически изследвания“. В творчеството си той представя златното сечение като абсолютно понятие, което е универсално за всички явления, както в природата, така и в изкуството. Тук можем да си припомним златното сечение на пирамидата, заедно с хармоничните пропорции на човешкото тяло и т.н.

Цайзинг беше този, който успя да докаже, че златното сечение всъщност е средният статистически закон за човешкото тяло. Това се показа на практика, тъй като по време на работата си той трябваше да измерва много човешки тела. Историците смятат, че повече от две хиляди души са участвали в това преживяване. Според изследванията на Zeising основният показател за златното сечение е разделянето на тялото от точката на пъпа. Така мъжко тяло със средно съотношение 13:8 е малко по-близо до златното сечение, отколкото женско тяло, където златното сечение е 8:5. Също така златното сечение може да се наблюдава и в други части на тялото, като например ръката.

За изграждането на златното сечение

Всъщност изграждането на златното сечение е проста работа. Както виждаме, дори древните хора са се справили с това доста лесно. Какво можем да кажем за съвременните знания и технологии на човечеството. В тази статия няма да показваме как това може да стане просто на лист хартия и с молив в ръка, но ще заявим с увереност, че това наистина е възможно. Освен това това може да стане по повече от един начин.

Тъй като това е доста проста геометрия, златното сечение е доста лесно за конструиране дори в училище. Следователно информация за това може лесно да се намери в специализирани книги. Изучавайки златното сечение, 6 клас е в състояние напълно да разбере принципите на неговото изграждане, което означава, че дори децата са достатъчно умни, за да се справят с такава задача.

Златното сечение в математиката

Първото запознаване със златното сечение на практика започва с просто разделяне на сегмент от права линия, всички в същите пропорции. Най-често това се прави с линийка, пергел и, разбира се, молив.

Сегментите на златното сечение се изразяват като безкрайна ирационална дроб AE \u003d 0,618 ..., ако AB се приема като единица, BE \u003d 0,382 ... За да направят тези изчисления по-практични, много често те използват неточни , но приблизителни стойности, а именно - 0 .62 и 0.38. Ако сегментът AB се приеме за 100 части, тогава по-голямата му част ще бъде равна съответно на 62, а по-малката - съответно на 38 части.

Основното свойство на златното сечение може да се изрази с уравнението: x 2 -x-1=0. При решаването получаваме следните корени: x 1,2 =. Въпреки че математиката е точна и строга наука, както и нейният раздел - геометрията, но точно такива свойства като законите на златното сечение внасят мистерия в тази тема.

Хармония в изкуството чрез златното сечение

За да обобщим, нека се спрем накратко на вече казаното.

По принцип много произведения на изкуството попадат под правилото на златното сечение, където съотношението е близо до 3/8 и 5/8. Това е грубата формула за златното сечение. Статията вече спомена много за примери за използване на раздела, но ще го разгледаме отново през призмата на древното и модерното изкуство. И така, най-ярките примери от древни времена:

Що се отнася до вече съзнателното използване на пропорцията, от времето на Леонардо да Винчи тя се използва в почти всички области на живота - от науката до изкуството. Дори биологията и медицината са доказали, че златното сечение работи дори в живи системи и организми.

От древни времена хората се тревожат за въпроса дали такива неуловими неща като красотата и хармонията подлежат на някакви математически изчисления. Разбира се, всички закони на красотата не могат да се съдържат в няколко формули, но чрез изучаване на математиката можем да открием някои термини на красотата - златното сечение. Нашата задача е да разберем какво е златното сечение и да установим къде човечеството е намерило приложение от златното сечение.

Вероятно сте обърнали внимание на факта, че ние третираме предметите и явленията от заобикалящата ни реалност по различен начин. Бъда чблагоприличие, бъди чеднообразието, диспропорцията се възприемат от нас като грозни и създават отблъскващо впечатление. А предметите и явленията, които се характеризират с мярка, целесъобразност и хармония, се възприемат като красиви и предизвикват у нас чувство на възхищение, радост, ободряване.

Човек в своята дейност постоянно се сблъсква с обекти, които се основават на златното сечение. Има неща, които не могат да се обяснят. Така че стигате до празна пейка и сядате на нея. Къде ще седнеш? по средата? Или може би от самия ръб? Не, най-вероятно нито едното, нито другото. Ще седите по такъв начин, че съотношението на една част от пейката към друга спрямо тялото ви ще бъде приблизително 1,62. Просто нещо, абсолютно инстинктивно... Седнал на една пейка, вие възпроизвеждате "златното сечение".

Златното сечение е било известно в древен Египет и Вавилон, в Индия и Китай. Великият Питагор създава тайна школа, където се изучава мистичната същност на "златното сечение". Евклид го прилага, създавайки своята геометрия, а Фидий – своите безсмъртни скулптури. Платон е казал, че Вселената е подредена според „златното сечение“. Аристотел намира съответствието на "златното сечение" с етичния закон. Най-висшата хармония на „златното сечение” ще проповядват Леонардо да Винчи и Микеланджело, защото красотата и „златното сечение” са едно и също. И християнските мистици ще рисуват пентаграми на „златното сечение“ по стените на своите манастири, спасявайки се от Дявола. В същото време учените - от Пачоли до Айнщайн - ще търсят, но никога няма да намерят точното му значение. Бъда чпоследният ред след десетичната запетая е 1.6180339887... Странно, мистериозно, необяснимо нещо - тази божествена пропорция мистично съпътства всичко живо. Неживата природа не знае какво е "златното сечение". Но със сигурност ще видите тази пропорция в извивките на морските миди, и във формата на цветя, и във формата на бръмбари, и в красиво човешко тяло. Всичко живо и всичко красиво - всичко се подчинява на божествения закон, чието име е "златното сечение". И така, какво е "златното сечение"? Каква е тази перфектна, божествена комбинация? Може би това е законът на красотата? Или все още е мистична тайна? Научен феномен или етичен принцип? Отговорът все още не е известен. По-точно - не, знае се. "Златното сечение" е и това, и другото, и третото. Само не поотделно, но в същото време ... И това е неговата истинска мистерия, неговата голяма тайна.

Вероятно е трудно да се намери надеждна мярка за обективна оценка на самата красота и тук само логиката няма да свърши работа. Тук обаче ще помогне опитът на тези, за които търсенето на красотата е самият смисъл на живота, които са го превърнали в своя професия. На първо място, това са хората на изкуството, както ги наричаме: художници, архитекти, скулптори, музиканти, писатели. Но това са хора на точните науки, преди всичко математици.

Доверявайки се на окото повече от другите сетивни органи, човекът преди всичко се научи да различава предметите около себе си по форма. Интересът към формата на обект може да бъде продиктуван от жизнена необходимост или може да бъде причинен от красотата на формата. Формата, която се основава на комбинация от симетрия и златно сечение, допринася за най-доброто визуално възприятие и появата на усещане за красота и хармония. Цялото винаги се състои от части, части с различни размери са в определено отношение помежду си и към цялото. Принципът на златното сечение е най-висшето проявление на структурното и функционално съвършенство на цялото и неговите части в изкуството, науката, техниката и природата.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ - ХАРМОНИЧНА ПРОПОРЦИЯ

В математиката пропорцията е равенството на две съотношения:

Отсечката AB може да бъде разделена на две части по следните начини:

• на две равни части - AB: AC = AB: BC;
• на две неравни части в произволно съотношение (такива части не образуват пропорции);
• по този начин, когато AB:AC=AC:BC.

Последното е златното разделение (сечение).

Златното сечение е такова пропорционално разделяне на сегмент на неравни части, при което целият сегмент е свързан с по-голямата част по същия начин, както самата по-голяма част е свързана с по-малката, с други думи, по-малкият сегмент е свързани с по-голямото, както по-голямото е с всичко

a:b=b:c или c:b=b:a.

Геометрично представяне на златното сечение

Практическото запознаване със златното сечение започва с разделяне на права линия в златното сечение с помощта на пергел и линийка.

Разделяне на отсечка според златното сечение. BC=1/2AB; CD=BC

От точка B се възстановява перпендикуляр, равен на половината AB. Получената точка C се свързва с линия с точка A. На получената линия се начертава отсечка BC, завършваща с точка D. Отсечката AD се пренася върху правата AB. Получената точка E разделя сегмента AB в съотношението на златното сечение.

Сегментите на златното сечение са изразени без чкрайна фракция AE=0,618..., ако AB се приеме за единица, BE=0,382... За практически цели често се използват приблизителни стойности от 0,62 и 0,38. Ако отсечката AB се приеме за 100 части, тогава най-голямата част от отсечката е 62, а по-малката 38 части.

Свойствата на златното сечение се описват с уравнението:

Решение на това уравнение:

Свойствата на златното сечение създават около това число романтична аура на мистерия и почти мистично поколение. Например, в обикновена петлъчева звезда всеки сегмент е разделен на сегмента, който го пресича, пропорционално на златното сечение (т.е. съотношението на синия сегмент към зеленото, червеното към синьото, зеленото към лилавото е 1,618).

ВТОРО ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ

Тази пропорция се среща в архитектурата.

Изграждане на второто златно сечение

Разделянето се извършва по следния начин. Отсечката AB е разделена пропорционално на златното сечение. От точка C се възстановява перпендикулярът CD. Радиус AB е точка D, която е свързана с права с точка A. Правият ъгъл ACD е разполовен. От точка C до пресечната точка с правата AD е начертана права. Точка E разделя отсечката AD спрямо 56:44.

Разделяне на правоъгълник с линия на второто златно сечение

Фигурата показва позицията на линията на второто златно сечение. Намира се в средата между линията на златното сечение и средната линия на правоъгълника.

ЗЛАТЕН ТРИЪГЪЛНИК (пентаграм)

За да намерите сегменти от златното сечение на възходящите и низходящите редове, можете да използвате пентаграмата.

Построяване на правилен петоъгълник и пентаграм

За да изградите пентаграма, трябва да изградите правилен петоъгълник. Методът за изграждането му е разработен от немския художник и график Албрехт Дюрер. Нека O е центърът на окръжността, A е точка от окръжността, а E е средата на отсечката OA. Перпендикулярът на радиуса OA, повдигнат в точка O, се пресича с окръжността в точка D. С помощта на пергел нанесете отсечката CE=ED върху диаметъра. Дължината на страна на правилен петоъгълник, вписан в окръжност, е DC. Заделяме сегменти DC върху окръжността и получаваме пет точки за начертаване на правилен петоъгълник. Свързваме ъглите на петоъгълника през един диагонал и получаваме пентаграма. Всички диагонали на петоъгълника се разделят на сегменти, свързани със златното сечение.

Всеки край на петоъгълната звезда е златен триъгълник. Страните му сключват ъгъл от 36 0 на върха, а основата, положена отстрани, го разделя пропорционално на златното сечение.

Начертайте права линия AB. От точка А отлагаме върху нея сегмент O с произволен размер три пъти, през получената точка P изчертаваме перпендикуляр на линията AB, върху перпендикуляра отдясно и отляво на точка P отлагаме сегменти O. Полученият точки d и d 1 са свързани с прави линии с точка A. Отсечката dd 1 поставяме върху линията Ad 1, получавайки точка C. Тя разделя линията Ad 1 пропорционално на златното сечение. Линиите Ad 1 и dd 1 се използват за изграждане на "златен" правоъгълник.

Конструкция на златния триъгълник

ИСТОРИЯ НА ЗЛАТНОТО СЕЧЕНИЕ

Всъщност пропорциите на пирамидата на Хеопс, храмовете, предметите от бита и декорациите от гробницата на Тутанкамон показват, че египетските майстори са използвали съотношенията на златното разделение при създаването им. Френският архитект Льо Корбюзие установява, че в релефа от храма на фараон Сети I в Абидос и в релефа, изобразяващ фараон Рамзес, пропорциите на фигурите съответстват на стойностите на златната част. Архитектът Кесира, изобразен на релеф от дървена дъска от гробницата на неговото име, държи в ръцете си измервателни уреди, в които са фиксирани пропорциите на златната част.

Гърците са били опитни геометри. Дори аритметиката е била преподавана на децата им с помощта на геометрични фигури. Квадратът на Питагор и диагоналът на този квадрат бяха основата за конструиране на динамични правоъгълници.

Динамични правоъгълници

Платон също е знаел за златното разделение. Питагореецът Тимей в едноименния диалог на Платон казва: „Невъзможно е две неща да бъдат съвършено обединени без трето, тъй като между тях трябва да се появи нещо, което да ги държи заедно. Пропорцията може най-добре да постигне това, защото ако три числа имат свойството, че средната стойност е свързана с по-малкото, както по-голямото е със средното, и обратно, по-малкото е със средното, както средното е с по-голямото, тогава последното и първият ще бъде среден, а средният - първи и последен. Така всичко необходимо ще бъде едно и също, а тъй като ще е едно и също, ще съставлява едно цяло. Платон изгражда земния свят с триъгълници от два вида: равнобедрени и неравнобедрени. Той смята, че най-красивият правоъгълен триъгълник е този, в който хипотенузата е два пъти по-малка от краката (такъв правоъгълник е половината от равностранен, основната фигура на вавилонците, има съотношение 1: 3 1/2). , което се различава от златното сечение с около 1/25 и се нарича Timerding „съперник на златното сечение“). Използвайки триъгълници, Платон изгражда четири правилни полиедра, свързвайки ги с четирите земни елемента (земя, вода, въздух и огън). И само последният от петте съществуващи правилни полиедра - додекаедърът, всичките дванадесет лица на който са правилни петоъгълници, твърди, че е символичен образ на небесния свят.

икосаедър и додекаедър

Честта да открие додекаедъра (или, както се предполагаше, самата Вселена, тази квинтесенция на четирите елемента, символизирани съответно от тетраедъра, октаедъра, икосаедъра и куба) принадлежи на Хипас, който по-късно загина при корабокрушение. Тази фигура наистина улавя много отношения на златното сечение, така че на последното е възложена основната роля в небесния свят, за което впоследствие настоява непълнолетният брат Лука Пачоли.

Във фасадата на древногръцкия храм на Партенона има златни пропорции. По време на разкопките му са открити компаси, които са били използвани от архитекти и скулптори от древния свят. Помпейският компас (музей в Неапол) също съдържа пропорциите на златната част.

Антични компаси със златно сечение

В древната литература, достигнала до нас, златното разделение се споменава за първи път в Елементи на Евклид. Във 2-ра книга на "Началата" е дадено геометричното построение на златното разделение. След Евклид, Хипсикъл (2 в. пр. н. е.), Пап (3 в. сл. н. е.) и др., които изучават златното деление, в средновековна Европа се запознават със златното деление от арабските преводи на Евклидовото "Начала". Преводачът Й. Кампано от Навара (3 век) коментира превода. Тайните на златната дивизия бяха ревниво пазени, пазени в строга тайна. Те бяха известни само на посветените.

През Средновековието пентаграмата е била демонизирана (както много от нещата, които са били смятани за божествени в древното езичество) и е намерила подслон в окултните науки. Въпреки това, Ренесансът отново изважда на бял свят както пентаграмата, така и златното сечение. Така схема, описваща структурата на човешкото тяло, придобива широко разпространение в този период на утвърждаване на хуманизма.

Леонардо да Винчи също многократно прибягва до такава картина, всъщност възпроизвеждайки пентаграма. Тълкуването му: човешкото тяло има божествено съвършенство, тъй като пропорциите, присъщи на него, са същите като на основната небесна фигура. Леонардо да Винчи, художник и учен, видя, че италианските художници имат много емпиричен опит, но малко знания. Той замисля и започва да пише книга по геометрия, но по това време се появява книга на монаха Лука Пачоли и Леонардо изоставя идеята си. Според съвременници и историци на науката Лука Пачоли е истинско светило, най-великият математик в Италия между Фибоначи и Галилей. Лука Пачоли е ученик на художника Пиеро дела Франческа, който написва две книги, едната от които се казва „За перспективата в живописта“. Смятан е за създател на дескриптивната геометрия.

Лука Пачоли е бил наясно с важността на науката за изкуството.

През 1496 г. по покана на херцог Моро той идва в Милано, където чете лекции по математика. Леонардо да Винчи също работи в двора Моро в Милано по това време. През 1509 г. „Божествената пропорция“ на Лука Пачоли, 1497 г., публикувана във Венеция през 1509 г., е публикувана във Венеция с брилянтно изпълнени илюстрации, поради което се смята, че са направени от Леонардо да Винчи. Книгата беше ентусиазиран химн на златното сечение. Има само една такава пропорция, а уникалността е най-висшият атрибут на Бога. Олицетворява светата троица. Тази пропорция не може да бъде изразена с достъпно число, остава скрита и тайна и се нарича ирационална от самите математици (така че Бог не може нито да бъде дефиниран, нито обяснен с думи). Бог никога не се променя и представлява всичко във всичко и всичко във всяка негова част, така че златното сечение за всяко непрекъснато и определено количество (независимо дали е голямо или малко) е същото, не може да бъде променено или променено. иначе възприемано от ум. Бог е призовал небесната добродетел, иначе наричана пета субстанция, с нейна помощ четири други прости тела (четири елемента - земя, вода, въздух, огън) и въз основа на тях е призовал всяко друго нещо в природата; така че нашата свещена пропорция, според Платон в Тимей, придава формално битие на самото небе, тъй като тя се приписва на формата на тяло, наречено додекаедър, което не може да бъде изградено без златното сечение. Това са аргументите на Пачоли.

Леонардо да Винчи също обърна голямо внимание на изучаването на златната дивизия. Той направи разрези на стереометрично тяло, образувано от правилни петоъгълници, и всеки път получаваше правоъгълници със съотношения на страните в златно деление. Затова той даде на това разделение името на златното сечение. Така че все още е най-популярният.

По същото време в Северна Европа, в Германия, Албрехт Дюрер работи върху същите проблеми. Той скицира въведение към първата чернова на трактат за пропорциите. Дюрер пише: „Необходимо е този, който знае нещо, да го научи на другите, които имат нужда от това. Това е, което си поставих за цел."

Съдейки по едно от писмата на Дюрер, той се среща с Лука Пачоли по време на престоя си в Италия. Албрехт Дюрер разработва в детайли теорията за пропорциите на човешкото тяло. Дюрер отрежда важно място в своята система от съотношения на златното сечение. Височината на човек е разделена в златни пропорции от линията на колана, както и линия, прекарана през върховете на средните пръсти на спуснатите ръце, долната част на лицето - от устата и др. Известен пропорционален компас Дюрер.

Велик астроном от 16 век Йоханес Кеплер нарича златното сечение едно от съкровищата на геометрията. Той е първият, който обръща внимание на значението на златното сечение за ботаниката (растеж и структура на растенията).

Кеплер нарече златното сечение самопродължаващо. „То е подредено по такъв начин“, пише той, „че двата младши члена на тази безкрайна пропорция се събират до третия член, а всеки два последни члена, ако се съберат заедно, дават следващия член и същата пропорция остава до безкрайност."

Изграждането на поредица от сегменти на златното сечение може да се извърши както в посока на нарастване (нарастваща серия), така и в посока на намаляване (низходяща серия).

Ако на права линия с произволна дължина, отложете сегмента м , оставете настрана сегмент М . Въз основа на тези два сегмента изграждаме скала от сегменти на златната пропорция на възходящите и низходящите редове.

Изграждане на скала от сегменти на златното сечение

В следващите векове правилото за златното сечение се превръща в академичен канон и когато с течение на времето в изкуството започва борба с академичната рутина, в разгара на борбата „те изхвърлят детето заедно с водата“. Златното сечение е „открито” отново в средата на 19 век.

През 1855 г. немският изследовател на златното сечение професор Цайзинг публикува своя труд „Естетически изследвания“. При Цайзинг точно това, което се случи, трябваше да се случи с изследователя, който разглежда явлението като такова, без връзка с други явления. Той абсолютизира пропорцията на златното сечение, обявявайки го за универсално за всички явления на природата и изкуството. Цайзинг има много последователи, но има и противници, които обявяват учението му за пропорциите за „математическа естетика“.

Zeising свърши страхотна работа. Той измерва около две хиляди човешки тела и стига до извода, че златното сечение изразява средния статистически закон. Разделянето на тялото от точката на пъпа е най-важният показател за златното сечение. Пропорциите на мъжкото тяло варират в рамките на средното съотношение 13:8=1,625 и са малко по-близо до златното сечение, отколкото пропорциите на женското тяло, по отношение на което средната стойност на пропорцията се изразява в съотношението 8:5 =1,6. При новороденото съотношението е 1:1, до 13-годишна възраст е 1,6, а до 21-годишна възраст е равно на мъжкото. Пропорциите на златното сечение се проявяват и по отношение на други части на тялото - дължината на рамото, предмишницата и ръката, ръката и пръстите и др.

Цайзинг тества валидността на своята теория върху гръцки статуи. Той разработва най-подробно пропорциите на Аполон Белведере. Гръцки вази, архитектурни структури от различни епохи, растения, животни, птичи яйца, музикални тонове, поетични метри бяха подложени на изследване. Цайзинг определи златното сечение, показа как се изразява в сегменти и в числа. Когато бяха получени цифрите, изразяващи дължините на сегментите, Цайзинг видя, че те съставляват редица на Фибоначи, която може да бъде продължена безкрайно в едната и в другата посока. Следващата му книга е озаглавена „Златното деление като основен морфологичен закон в природата и изкуството”. През 1876 г. в Русия е издадена малка книжка, почти брошура, която очертава творчеството на Цайзинг. Авторът се укрива под инициалите Ю.Ф.В. В това издание не се споменава нито една картина.

В края на 19 - началото на 20 век. се появяват много чисто формалистични теории за използването на златното сечение в произведенията на изкуството и архитектурата. С развитието на дизайна и техническата естетика законът на златното сечение се разпростира върху дизайна на автомобили, мебели и др.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ И СИМЕТРИЯ

Златното сечение не може да се разглежда само по себе си, отделно, без връзка със симетрията. Великият руски кристалограф Г.В. Вулф (1863-1925) смята златното сечение за едно от проявленията на симетрията.

Златното разделение не е проява на асиметрия, нещо противоположно на симетрията. Според съвременните концепции златното разделение е асиметрична симетрия. Науката за симетрията включва такива понятия като статична и динамична симетрия. Статичната симетрия характеризира покой, равновесие, а динамичната симетрия характеризира движение, растеж. И така, в природата статичната симетрия е представена от структурата на кристалите, а в изкуството тя характеризира мир, баланс и неподвижност. Динамичната симетрия изразява активност, характеризира движението, развитието, ритъма, свидетелства за живота. Статичната симетрия се характеризира с равни сегменти, равни величини. Динамичната симетрия се характеризира с увеличаване на сегментите или тяхното намаляване и се изразява в стойностите на златното сечение на нарастваща или намаляваща серия.

ПОРЕДИЦА НА ФИБОНАЧИ

Името на италианския монах математик Леонардо от Пиза, по-известен като Фибоначи, е косвено свързано с историята на златното сечение. Той пътува много на Изток, запознава Европа с арабските цифри. През 1202 г. е публикувана неговата математическа работа „Книгата на абака“ (табло за броене), в която са събрани всички проблеми, известни по това време.

Поредица от числа 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.н. известен като редицата на Фибоначи. Особеността на редицата от числа е, че всеки от нейните членове, започвайки от третия, е равен на сумата от предходните две 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 и т.н., а отношението на съседните числа от редицата се доближава до отношението на златното деление. И така, 21:34=0,617 и 34:55=0,618. Това съотношение се обозначава със символа Ф. Само това съотношение - 0,618 : 0,382 - дава непрекъснато деление на отсечка от права линия в златното сечение, нейното нарастване или намаляване до безкрайност, когато по-малката отсечка се отнася към по-голямата като по-големият е за всичко.

Както е показано на фигурата по-долу, дължината на всяко кокалче на пръста е свързана с дължината на следващото кокалче в пропорция F. Същата връзка се наблюдава при всички пръсти на ръцете и краката. Тази връзка е някак необичайна, защото единият пръст е по-дълъг от другия, без видима шарка, но това не е случайно, както не е случайно всичко в човешкото тяло. Разстоянията на пръстите, маркирани от A до B до C до D до E, всички са свързани едно с друго в пропорцията F, както и фалангите на пръстите от F до G до H.

Погледнете този скелет на жаба и вижте как всяка кост съответства на модела на F-съотношението точно както в човешкото тяло.

ОБОБЩЕНО ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ

Учените продължиха активно да развиват теорията за числата на Фибоначи и златното сечение. Ю. Матиясевич решава 10-та задача на Хилберт с помощта на числата на Фибоначи. Съществуват методи за решаване на редица кибернетични проблеми (теория на търсенето, игри, програмиране) с помощта на числата на Фибоначи и златното сечение. В САЩ дори се създава Математическа асоциация на Фибоначи, която от 1963 г. издава специално списание.

Едно от постиженията в тази област е откриването на обобщените числа на Фибоначи и обобщените златни сечения.

Сериите на Фибоначи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и откритите от него „двоични” серии от тегла 1, 2, 4, 8 са напълно различни на пръв поглед. Но алгоритмите за тяхното конструиране са много сходни помежду си: в първия случай всяко число е сбор от предходното число със себе си 2=1+1; 4=2+2..., във второто - това е сумата от двете предходни числа 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Може ли да се намери общ математически формула от кой "двоичен » ред и реда на Фибоначи? Или може би тази формула ще ни даде нови числени набори с някои нови уникални свойства?

Наистина, нека зададем числов параметър S, който може да приема всякакви стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5... и отделен от предходния с S стъпки. Ако означим n-тия член на тази редица с? S (n), тогава получаваме общата формула? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Очевидно при S=0 от тази формула ще получим "двоичен" ред, при S=1 - ред на Фибоначи, при S=2, 3, 4. нови редове от числа, които се наричат ​​S-числа на Фибоначи.

Като цяло златната S-пропорция е положителният корен на уравнението на златното S-сечение x S+1 -x S -1=0.

Лесно се показва, че при S=0 се получава разделянето на отсечката наполовина, а при S=1 се получава познатото класическо златно сечение.

Съотношенията на съседните S-числа на Фибоначи с абсолютна математическа точност съвпадат в границите със златните S-пропорции! Математиците в такива случаи казват, че златните S-сечения са числени инварианти на S-числата на Фибоначи.

Фактите, потвърждаващи съществуването на златни S-сечения в природата, са дадени от беларуския учен Е.М. Сороко в книгата "Структурна хармония на системите" (Минск, "Наука и техника", 1984 г.). Оказва се, например, че добре проучените бинарни сплави имат специални, ясно изразени функционални свойства (термично стабилни, твърди, износоустойчиви, устойчиви на окисление и др.) само ако специфичните тегла на изходните компоненти са свързани помежду си. с една от златните S-пропорции. Това позволи на автора да изложи хипотеза, че златните S-сечения са числени инварианти на самоорганизиращите се системи. Потвърдена експериментално, тази хипотеза може да бъде от фундаментално значение за развитието на синергетиката, нова научна област, която изучава процесите в самоорганизиращите се системи.

Използвайки кодове на златни S-пропорции, всяко реално число може да бъде изразено като сума от степени на златни S-пропорции с цели коефициенти.

Основната разлика между този метод на кодиране на числа е, че основите на новите кодове, които са златни S-пропорции, се оказват ирационални числа за S>0. По този начин новите бройни системи с ирационални основи, така да се каже, поставят „с главата надолу“ исторически установената йерархия на отношенията между рационални и ирационални числа. Факт е, че отначало естествените числа са били "открити"; тогава техните съотношения са рационални числа. И едва по-късно, след като питагорейците откриха несъизмерими сегменти, се появиха ирационални числа. Например в десетичната, петичната, двоичната и други класически позиционни бройни системи естествените числа бяха избрани като вид основен принцип: 10, 5, 2, от който според определени правила всички други естествени, както и рационални и са конструирани ирационални числа.

Един вид алтернатива на съществуващите методи за номериране е нова, ирационална система, като основен принцип за началото на изчислението на която е избрано ирационално число (което, припомняме, е коренът на уравнението на златното сечение) ; други реални числа вече са изразени чрез него.

В такава бройна система всяко естествено число винаги може да бъде представено като крайно число - а не безкрайно, както се смяташе досега! са сумите от степени на всяка от златните S-пропорции. Това е една от причините, поради които "ирационалната" аритметика, притежаваща удивителна математическа простота и елегантност, изглежда е усвоила най-добрите качества на класическата двоична аритметика и "Фибоначи" аритметика.

ПРИНЦИПИ НА ОФОРМЯНЕ В ПРИРОДАТА

Всичко, което е придобило някаква форма, формирало се е, расте, стреми се да заеме място в пространството и да се съхрани. Този стремеж намира реализация предимно в два варианта: израстване нагоре или разпространение по повърхността на земята и спираловидно усукване.

Черупката е усукана в спирала. Ако го разгънете, ще получите дължина, малко по-малка от дължината на змията. Малка черупка от десет сантиметра има спирала с дължина 35 см. Спиралите са много често срещани в природата. Концепцията за златното сечение ще бъде непълна, ако не говорим за спиралата.

Формата на спираловидно извитата черупка привлича вниманието на Архимед. Той го изучава и извежда уравнението на спиралата. Спиралата, начертана според това уравнение, се нарича с неговото име. Увеличаването на нейната стъпка винаги е равномерно. В момента спиралата на Архимед се използва широко в инженерството.

Още Гьоте е подчертавал склонността на природата към спиралност. Спираловидното и спирално разположение на листата върху клоните на дърветата е забелязано отдавна.

Спиралата се вижда в подреждането на слънчогледови семки, в шишарки, ананаси, кактуси и др. Съвместната работа на ботаници и математици хвърли светлина върху тези удивителни природни явления. Оказа се, че в подреждането на листа върху клон (филотаксис), слънчогледови семки, борови шишарки се проявява серията на Фибоначи и следователно се проявява законът на златното сечение. Паякът върти мрежата си по спираловиден модел. Вихри се ураган. Уплашено стадо северни елени се разпръсква спираловидно. Молекулата на ДНК е усукана в двойна спирала. Гьоте нарича спиралата „кривата на живота“.

Серия Манделброт

Златната спирала е тясно свързана с циклите. Съвременната наука за хаоса изучава простите циклични операции с обратна връзка и генерираните от тях фрактални форми, които преди това са били непознати. Фигурата показва добре познатата серия на Манделброт - страница от речника чкрайници на отделни модели, наречени юлиански серии. Някои учени свързват серията Манделброт с генетичния код на клетъчните ядра. Последователното увеличаване на секциите разкрива удивителни фрактали в тяхната артистична сложност. И тук също има логаритмични спирали! Това е още по-важно, защото както серията Манделброт, така и серията Юлиан не са изобретения на човешкия ум. Те възникват от царството на прототипите на Платон. Както каза докторът Р. Пенроуз, "те са като връх Еверест"

Сред крайпътните треви расте едно незабележително растение - цикория. Нека го разгледаме по-отблизо. От основното стъбло се образува разклонение. Ето първия лист.

Придатъкът прави силно изхвърляне в пространството, спира, освобождава лист, но вече по-къс от първия, отново прави изхвърляне в пространството, но с по-малка сила, освобождава лист с още по-малък размер и отново изхвърляне.

Ако първото отклонение се приеме за 100 единици, тогава второто е 62 единици, третото е 38, четвъртото е 24 и т.н. Дължината на венчелистчетата също зависи от златното сечение. В растежа, завладяването на космоса, растението запазва определени пропорции. Импулсите му на растеж постепенно намаляват пропорционално на златното сечение.

цикория

При много пеперуди съотношението на размера на гръдната и коремната част на тялото съответства на златното сечение. Сгънала крилата си, нощната пеперуда образува правилен равностранен триъгълник. Но си струва да разперите крилата и ще видите същия принцип на разделяне на тялото на 2, 3, 5, 8. Водното конче също е създадено според законите на златното сечение: съотношението на дължините на опашката и тялото е равно на съотношението на общата дължина към дължината на опашката.

В гущера на пръв поглед са уловени приятни за очите ни пропорции - дължината на опашката му се съотнася към дължината на останалата част от тялото като 62 на 38.

живороден гущер

И в растителния, и в животинския свят упорито се пробива формообразуващата тенденция на природата - симетрия по отношение на посоката на растеж и движение. Тук златното сечение се появява в пропорциите на частите, перпендикулярни на посоката на растеж.

Природата е извършила разделянето на симетрични части и златни пропорции. В части се проявява повторение на структурата на цялото.

Голям интерес представлява изследването на формите на птичи яйца. Различните им форми варират между два екстремни типа: единият от тях може да бъде вписан в правоъгълник от златното сечение, другият в правоъгълник с модул 1,272 (корен на златното сечение)

Такива форми на птичи яйца не са случайни, тъй като вече е установено, че формата на яйцата, описана от съотношението на златното сечение, съответства на по-високи якостни характеристики на черупката на яйцата.

Бивните на слоновете и изчезналите мамути, ноктите на лъвовете и човките на папагалите са с логаритмична форма и наподобяват формата на ос, която има тенденция да се превърне в спирала.

В дивата природа са широко разпространени форми, базирани на "петоъгълна" симетрия (морски звезди, морски таралежи, цветя).

Златното сечение присъства в структурата на всички кристали, но повечето кристали са микроскопично малки, така че не можем да ги видим с просто око. Но снежинките, които също са водни кристали, са доста достъпни за очите ни. Всички фигури с изключителна красота, които образуват снежинки, всички оси, кръгове и геометрични фигури в снежинките също винаги, без изключение, са изградени според съвършената ясна формула на златното сечение.

В микрокосмоса триизмерните логаритмични форми, изградени според златните пропорции, са повсеместни. Например, много вируси имат триизмерна геометрична форма на икосаедър. Може би най-известният от тези вируси е вирусът Adeno. Белтъчната обвивка на аденовируса се формира от 252 единици протеинови клетки, подредени в определена последователност. Във всеки ъгъл на икосаедъра има 12 протеинови клетъчни единици във формата на петоъгълна призма и подобни на шипове структури се простират от тези ъгли.

Адено вирус

Златното сечение в структурата на вирусите е открито за първи път през 50-те години на миналия век. учени от лондонския Birkbeck College А. Клуг и Д. Каспар. Първата логаритмична форма е разкрита сама по себе си от вируса Polyo. Формата на този вирус се оказа подобна на тази на вируса Rhino.

Възниква въпросът: как вирусите образуват толкова сложни триизмерни форми, чието устройство съдържа златното сечение, което е доста трудно да се конструира дори с нашия човешки ум? Откривателят на тези форми на вируси, вирусологът А. Клуг, прави следния коментар: „Д-р Каспар и аз показахме, че за сферичната обвивка на вируса най-оптималната форма е симетрията като формата на икосаедъра. Подобен ред минимизира броя на свързващите елементи... Повечето геодезични полусферични кубове на Бъкминстър Фулър са изградени по подобен геометричен принцип. Инсталирането на такива кубове изисква изключително точна и подробна схема на обяснение, докато самите несъзнателни вируси изграждат такава сложна обвивка от еластични, гъвкави протеинови клетъчни единици.

Коментарът на Клуг отново напомня една изключително очевидна истина: в структурата дори на микроскопичен организъм, който учените класифицират като "най-примитивната форма на живот", в случая вирус, има ясен план и разумен проект е изпълнено. Този проект е несравним по своето съвършенство и прецизност на изпълнение с най-модерните архитектурни проекти, създадени от хора. Например проекти, създадени от брилянтния архитект Бъкминстър Фулър.

Триизмерни модели на додекаедъра и икосаедъра присъстват и в структурата на скелетите на едноклетъчни морски микроорганизми радиоларии (лъчи), чийто скелет е изграден от силициев диоксид.

Радиоларите образуват тялото си с много изящна, необичайна красота. Тяхната форма е правилен додекаедър, като от всеки негов ъгъл израстват псевдоудължение-крайник и други необичайни форми-израстъци.

Великият Гьоте, поет, натуралист и художник (той рисува и рисува с акварел), мечтае да създаде единно учение за формата, формирането и трансформацията на органичните тела. Именно той въвежда в научната употреба термина морфология.

Пиер Кюри в началото на нашия век формулира редица дълбоки идеи за симетрията. Той твърди, че не може да се разглежда симетрията на което и да е тяло, без да се вземе предвид симетрията на околната среда.

Закономерностите на "златната" симетрия се проявяват в енергийните преходи на елементарните частици, в структурата на някои химични съединения, в планетарните и космически системи, в генните структури на живите организми. Тези модели, както беше посочено по-горе, са в структурата на отделните човешки органи и тялото като цяло, а също така се проявяват в биоритмите и функционирането на мозъка и зрителното възприятие.

ЧОВЕШКОТО ТЯЛО И ЗЛАТНОТО СЕЧЕНИЕ

Всички човешки кости са пропорционални на златното сечение. Пропорциите на различните части на тялото ни съставляват число, много близко до златното сечение. Ако тези пропорции съвпадат с формулата на златното сечение, тогава външният вид или тялото на човек се считат за идеално изградени.

Златни пропорции в части от човешкото тяло

Ако приемем точката на пъпа за център на човешкото тяло и разстоянието между човешкия крак и точката на пъпа като мерна единица, тогава височината на човек е еквивалентна на числото 1,618.

• разстоянието от нивото на рамото до темето на главата и размерът на главата е 1:1.618;
• разстоянието от точката на пъпа до темето на главата и от нивото на рамото до темето на главата е 1:1.618;
• разстоянието на точката на пъпа до коленете и от коленете до стъпалата е 1:1.618;
• разстоянието от върха на брадичката до върха на горната устна и от върха на горната устна до ноздрите е 1:1,618;
• всъщност точното присъствие на златната пропорция в лицето на човек е идеалът за красота за човешкия поглед;
• разстоянието от върха на брадичката до горната линия на веждите и от горната линия на веждите до темето е 1:1.618;
• височина на лицето/ширина на лицето;
• централната точка на свързване на устните с основата на носа / дължина на носа;
• височина на лицето/разстояние от върха на брадичката до централната точка на кръстовището на устните;
• ширина на устата/ширина на носа;
• ширина на носа/разстояние между ноздрите;
• разстояние между зениците / разстояние между веждите.

Достатъчно е само да доближите дланта си до себе си сега и внимателно да погледнете показалеца си и веднага ще намерите формулата на златното сечение в него.

Всеки пръст на нашата ръка се състои от три фаланги. Сумата от дължините на първите две фаланги на пръста по отношение на цялата дължина на пръста дава златното сечение (с изключение на палеца).

Освен това съотношението между средния пръст и малкия пръст също е равно на златното сечение.

Човек има 2 ръце, пръстите на всяка ръка се състоят от 3 фаланги (с изключение на палеца). Всяка ръка има 5 пръста, тоест общо 10, но с изключение на два двуфалангеални палеца, само 8 пръста са създадени според принципа на златното сечение. Докато всички тези числа 2, 3, 5 и 8 са числата от редицата на Фибоначи.

Трябва също да се отбележи, че при повечето хора разстоянието между краищата на разтворените ръце е равно на височината.

Истините за златното сечение са вътре в нас и в нашето пространство. Особеността на бронхите, които изграждат белите дробове на човек, се крие в тяхната асиметрия. Бронхите са изградени от два главни дихателни пътя, единият (ляв) е по-дълъг, а другият (десен) е по-къс. Установено е, че тази асиметрия продължава в разклоненията на бронхите, във всички по-малки дихателни пътища. Освен това съотношението на дължината на късите и дългите бронхи също е златното сечение и е равно на 1:1,618.

Във вътрешното ухо на човека има орган Кохлея ("Охлюв"), който изпълнява функцията за предаване на звукови вибрации. Тази костна структура е пълна с течност и също е създадена под формата на охлюв, съдържащ стабилна логаритмична спирална форма =73 0 43".

Кръвното налягане се променя, докато сърцето бие. Той достига най-голямата си стойност в лявата камера на сърцето в момента на нейното свиване (систола). В артериите по време на систола на вентрикулите на сърцето кръвното налягане достига максимална стойност, равна на 115-125 mm Hg при млад, здрав човек. В момента на отпускане на сърдечния мускул (диастола) налягането намалява до 70-80 mm Hg. Съотношението на максималното (систолично) към минималното (диастолично) налягане е средно 1,6, т.е. близо до златното сечение.

Ако вземем средното кръвно налягане в аортата като единица, тогава систоличното кръвно налягане в аортата е 0,382, а диастоличното 0,618, т.е. съотношението им съответства на златното сечение. Това означава, че работата на сърцето във връзка с времевите цикли и промените в кръвното налягане се оптимизират според същия принцип на закона за златното сечение.

Молекулата на ДНК се състои от две вертикално преплетени спирали. Всяка от тези спирали е дълга 34 ангстрьома и широка 21 ангстрьома. (1 ангстрьом е една стомилионна част от сантиметъра).

Структурата на спиралния участък на ДНК молекулата

Така че 21 и 34 са числа, следващи едно след друго в последователността на числата на Фибоначи, тоест съотношението на дължината и ширината на логаритмичната спирала на ДНК молекулата носи формулата на златното сечение 1: 1,618.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ В СКУЛПТУРАТА

Скулптурни структури, паметници са издигнати, за да увековечат значими събития, да запазят в паметта на потомците имената на известни хора, техните подвизи и дела. Известно е, че дори в древни времена основата на скулптурата е теорията за пропорциите. Връзката на частите на човешкото тяло се свързва с формулата на златното сечение. Пропорциите на "златното сечение" създават впечатление за хармония, красота, така че скулпторите ги използват в своите творби. Скулпторите твърдят, че талията разделя перфектното човешко тяло по отношение на "златното сечение". Така например известната статуя на Аполон Белведере се състои от части, които са разделени според златните сечения. Великият древногръцки скулптор Фидий често използва "златното сечение" в своите творби. Най-известните от тях са статуята на Зевс Олимпийски (която е смятана за едно от чудесата на света) и Атина Партенон.

Златната пропорция на статуята на Аполон Белведере е известна: височината на изобразения човек е разделена от пъпната линия в златното сечение.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРАТА

В книгите за "златното сечение" може да се намери забележката, че в архитектурата, както и в живописта, всичко зависи от позицията на наблюдателя и ако някои пропорции в една сграда от една страна изглеждат като "златно сечение", тогава от други гледни точки те ще изглеждат различно. "Златното сечение" дава най-спокойното съотношение на размерите на определени дължини.

Едно от най-красивите произведения на древногръцката архитектура е Партенонът (V в. пр. н. е.).

Фигурите показват редица модели, свързани със златното сечение. Пропорциите на сградата могат да бъдат изразени чрез различни степени на числото Ф = 0,618 ...

Партенонът има 8 колони по късите страни и 17 по дългите. Первазите са направени изцяло от квадрати пентилейски мрамор. Благородството на материала, от който е построен храмът, позволи да се ограничи използването на оцветяване, често срещано в гръцката архитектура, то само подчертава детайлите и образува цветен фон (син и червен) за скулптурата. Отношението на височината на сградата към нейната дължина е 0,618. Ако разделим Партенона според "златното сечение", ще получим определени издатини на фасадата.

На етажния план на Партенона можете да видите и "златните правоъгълници".

Можем да видим златното сечение в сградата на катедралата Нотр Дам (Notre Dame de Paris) и в пирамидата на Хеопс.

Не само египетските пирамиди са построени в съответствие с идеалните пропорции на златното сечение; същото явление се открива в мексиканските пирамиди.

Дълго време се смяташе, че архитектите на Древна Рус са построили всичко „на око“, без никакви специални математически изчисления. Но най-новите изследвания показват, че руските архитекти са познавали добре математическите пропорции, както се вижда от анализа на геометрията на древните храмове.

Известният руски архитект М. Казаков широко използва "златното сечение" в работата си. Талантът му е многостранен, но в по-голяма степен той се разкрива в множество изпълнени проекти на жилищни сгради и имоти. Например "златното сечение" може да се намери в архитектурата на сградата на Сената в Кремъл. По проект на М. Казаков в Москва е построена болницата Голицин, която в момента се нарича Първа клинична болница на името на Н.И. Пирогов.

Петровски дворец в Москва. Построен по проект на М.Ф. Казакова

Друг архитектурен шедьовър на Москва - къщата Пашков - е едно от най-съвършените произведения на архитектурата на В. Баженов.

Пъшкова къща

Прекрасното творение на В. Баженов твърдо влезе в ансамбъла на центъра на съвременна Москва, обогати го. Външният вид на къщата е останал почти непроменен и до днес, въпреки факта, че е бил силно опожарен през 1812 г. По време на реставрацията сградата придобива по-масивни форми. Не е запазено и вътрешното разпределение на сградата, за което представа дава само чертежът на долния етаж.

Много изявления на архитекта заслужават внимание в наши дни. За любимото си изкуство В. Баженов каза: „Архитектурата има три основни предмета: красота, спокойствие и здравина на сградата ... За да се постигне това, познаването на пропорцията, перспективата, механиката или физиката като цяло служи като ръководство, и всички те имат общ водач - разумът."

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ В МУЗИКАТА

Всяко музикално произведение има времеви диапазон и е разделено на някои "естетически етапи" на отделни части, които привличат вниманието и улесняват възприемането като цяло. Тези етапи могат да бъдат динамични и интонационни кулминационни точки на музикално произведение. Отделни времеви интервали от музикално произведение, свързани с "кулминационно събитие", като правило, са в съотношението на златното сечение.

През 1925 г. изкуствоведът L.L. Сабанеев, след като анализира 1770 музикални произведения от 42 автори, показа, че по-голямата част от изключителните произведения могат лесно да бъдат разделени на части или по тема, или по интонация, или по модална система, които са във връзка със златното сечение. Освен това, колкото по-талантлив е композиторът, толкова повече златни сечения са намерени в неговите произведения. Според Сабанеев златното сечение създава впечатлението за специална хармония на музикалната композиция. Този резултат е проверен от Сабанеев върху всички 27 етюда на Шопен. В тях той открива 178 златни сечения. В същото време се оказа, че не само големи части от етюдите са разделени по времетраене спрямо златното сечение, но части от етюдите вътре често са разделени в същото съотношение.

Композиторът и учен M.A. Марутаев преброи броя на мерките в прочутата Апасионатна соната и откри редица интересни числени зависимости. По-специално, в развитието, централната структурна единица на сонатата, където темите се развиват интензивно и ключовете се заменят взаимно, има две основни части. В първия - 43,25 цикъла, във втория - 26,75. Съотношението 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дава златното сечение.

Аренски (95%), Бетовен (97%), Хайдн (97%), Моцарт (91%), Шопен (92%), Шуберт (91%) имат най-много произведения, в които има Златно сечение.

Ако музиката е хармоничното подреждане на звуците, то поезията е хармоничното подреждане на речта. Ясният ритъм, редовното редуване на ударени и неударени срички, подредената размерност на стиховете, тяхното емоционално богатство правят поезията сестра на музикалните произведения. Златното сечение в поезията се проявява преди всичко като наличието на определен момент от стихотворението (кулминация, семантична повратна точка, основна идея на произведението) в реда, който се дължи на точката на разделяне на общия брой редове на стихотворението в златното сечение. Така че, ако стихотворението съдържа 100 реда, тогава първата точка от златното съотношение попада на 62-ия ред (62%), втората - на 38-ия (38%) и т.н. Творбите на Александър Сергеевич Пушкин, включително "Евгений Онегин", са най-доброто съответствие на златното сечение! Творбите на Шота Руставели и М.Ю. Лермонтов също са построени на принципа на Златното сечение.

Страдивари пише, че е използвал златното сечение, за да определи местата за f-образни прорези върху телата на своите известни цигулки.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ В ПОЕЗИЯТА

Изследванията на поетичните творби от тези позиции тепърва започват. И трябва да започнете с поезията на A.S. Пушкин. В крайна сметка неговите произведения са пример за най-забележителните творения на руската култура, пример за най-високо ниво на хармония. От поезията на А.С. Пушкин, ще започнем търсенето на златното сечение - мярката за хармония и красота.

Много в структурата на поетичните произведения прави тази форма на изкуство свързана с музиката. Ясният ритъм, редовното редуване на ударени и неударени срички, подредената размерност на стиховете, тяхното емоционално богатство правят поезията сестра на музикалните произведения. Всеки стих има своя музикална форма, свой ритъм и мелодия. Може да се очаква, че в структурата на стиховете ще се появят някои характеристики на музикални произведения, модели на музикална хармония и следователно златното сечение.

Да започнем с размера на стихотворението, тоест броя на редовете в него. Изглежда, че този параметър на стихотворението може да се променя произволно. Оказа се обаче, че това не е така. Например анализът на стихове на A.S. Пушкин показа, че размерите на стиховете са разпределени много неравномерно; Оказа се, че Пушкин явно предпочита размери от 5, 8, 13, 21 и 34 реда (числата на Фибоначи).

Много изследователи са забелязали, че стиховете са като музикални произведения; те също имат кулминационни точки, които разделят поемата пропорционално на златното сечение. Помислете например за стихотворение на A.S. Пушкин "Обущар":

Нека анализираме тази притча. Стихотворението се състои от 13 реда. Той подчертава две семантични части: първата в 8 реда и втората (моралът на притчата) в 5 реда (13, 8, 5 са ​​числата на Фибоначи).

Едно от последните стихотворения на Пушкин „Не ценя високопоставените права ...“ се състои от 21 реда и в него се разграничават две семантични части: в 13 и 8 реда:

Не ценя правата на високопоставени лица, От което на никой не му се завива свят. Не роптая за това, че боговете отказаха Аз съм в сладката група от предизвикателни данъци Или попречете на кралете да се бият помежду си; И малко мъка за мен, свободна ли е пресата Подвеждане на глупаци или чувствителна цензура В плановете на списанието жокерът е смущаващ. Всичко това, виждате ли, думи, думи, думи. Други, по-добри права са ми скъпи: Друго, по-добро, имам нужда от свобода: Зависете от краля, зависете от народа - Не ни ли интересува всички? Господ е с тях. Не давайте отчет, само на себе си Сервирайте и моля; за власт, за ливрея Не прегъвайте нито съвестта, нито мислите, нито врата; По твоя прищявка да се скиташ тук и там, Удивлявайки се на божествената красота на природата, И пред създанията на изкуството и вдъхновението Треперейки радостно в наслада от нежност, Ето това е щастието! Това е вярно...

Характерно е, че първата част на този стих (13 реда) е разделена на 8 и 5 реда по семантично съдържание, тоест цялото стихотворение е изградено според законите на златното сечение.

Безспорен интерес представлява анализът на романа "Евгений Онегин", направен от Н. Васютински. Този роман се състои от 8 глави, всяка със средно около 50 стиха. Най-съвършена, най-изтънчена и емоционално богата е осма глава. Съдържа 51 стиха. Заедно с писмото на Евгений до Татяна (60 реда), това точно отговаря на числото на Фибоначи 55!

Н. Васютински заявява: „Кулминацията на главата е декларацията на Евгений за любовта към Татяна - редът „Бледи и избледняват ... това е блаженство!“ Този ред разделя цялата осма глава на две части: първата има 477 реда, а втората има 295 реда. Коефициентът им е 1,617! Най-финото съответствие със стойността на златното сечение! Това е велико чудо на хармонията, извършено от гения на Пушкин!

Е. Росенов анализира много поетични произведения на М.Ю. Лермонтов, Шилер, А.К. Толстой и също открива "златното сечение" в тях.

Известното стихотворение на Лермонтов "Бородино" е разделено на две части: въведение, адресирано до разказвача, заемащо само една строфа ("Кажи ми, чичо, не е без причина ..."), и основната част, представляваща самостоятелно цяло, който е разделен на две еквивалентни части. Първият от тях описва с нарастващо напрежение очакването на битка, вторият описва самата битка с постепенно намаляване на напрежението към края на поемата. Границата между тези части е кулминацията на творбата и минава точно на мястото, където я разделя златното сечение.

Основната част на стихотворението се състои от 13 седем реда, тоест 91 реда. Разделяйки го със златното сечение (91:1.618=56.238), се уверяваме, че точката на разделяне е в началото на 57-ия стих, където има кратка фраза: „Е, беше ден!“ Именно тази фраза представлява „кулминационната точка на възбуденото очакване“, която завършва първата част на поемата (очакване на битката) и открива втората част (описание на битката).

По този начин златното сечение играе много значима роля в поезията, подчертавайки кулминацията на стихотворението.

Много изследователи на поемата на Шота Руставели "Рицарят в кожата на пантера" отбелязват изключителната хармоничност и мелодичност на неговия стих. Тези свойства на поемата грузински учен, академик G.V. Церетели го приписва на съзнателното използване на златното сечение от поетесата както при формирането на формата на стихотворението, така и при изграждането на нейните стихове.

Поемата на Руставели се състои от 1587 строфи, всяка от които се състои от четири реда. Всеки ред се състои от 16 срички и е разделен на две равни части от по 8 срички във всеки полуред. Всички полустихи са разделени на два сегмента от два вида: А - полустих с равни сегменти и четен брой срички (4 + 4); B е полуправа с асиметрично разделение на две неравни части (5+3 или 3+5). Така в полулинията B съотношенията са 3:5:8, което е приближение до златното сечение.

Установено е, че от 1587 строфи в поемата на Руставели повече от половината (863) са изградени по принципа на златното сечение.

В наше време се роди нов вид изкуство - киното, което пое драматургията на действието, живописта, музиката. Правомерно е да се търсят прояви на златното сечение в изключителни произведения на кинематографията. Първият, който направи това, беше създателят на шедьовъра на световното кино „Броненосецът Потьомкин“, режисьорът Сергей Айзенщайн. В изграждането на тази картина той успя да въплъти основния принцип на хармонията - златното сечение. Както отбелязва самият Айзенщайн, червеното знаме на мачтата на непокорния боен кораб (точката на апогея на филма) се вее в точката на златното сечение, считано от края на филма.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ В ШРИФТОВЕ И ПРЕДМЕТИ ЗА БИТА

Специален вид изобразително изкуство на древна Гърция трябва да се подчертае производството и боядисването на всички видове съдове. В елегантна форма пропорциите на златното сечение лесно се отгатват.

В живописта и скулптурата на храмове, върху предмети от бита, древните египтяни най-често изобразяват богове и фараони. Установени са каноните на изображението на изправен човек, ходещ, седнал и др. От художниците се изискваше да запомнят отделни форми и схеми на изображения от таблици и образци. Древногръцките художници са правили специални пътувания до Египет, за да се научат как да използват канона.

ОПТИМАЛНИ ФИЗИЧЕСКИ ПАРАМЕТРИ НА ВЪНШНАТА СРЕДА

Известно е, че максимумът сила на звука, което причинява болка, се равнява на 130 децибела. Ако разделим този интервал на златното сечение 1,618, получаваме 80 децибела, които са типични за силата на човешки писък. Ако сега разделим 80 децибела на златното сечение, получаваме 50 децибела, което съответства на силата на човешката реч. И накрая, ако разделим 50 децибела на квадрата на златното сечение от 2,618, получаваме 20 децибела, което съответства на човешки шепот. Така всички характерни параметри на силата на звука са взаимосвързани чрез златното сечение.

При температура 18-20 0 С интервал влажност 40-60% се считат за оптимални. Границите на оптималния диапазон на влажност могат да бъдат получени, ако абсолютната влажност от 100% се раздели два пъти на златното сечение: 100 / 2,618 = 38,2% (долна граница); 100/1,618=61,8% (горна граница).

При въздушно налягане 0,5 MPa, човек изпитва дискомфорт, неговата физическа и психологическа активност се влошава. При налягане 0,3-0,35 MPa се допуска само краткотрайна работа, а при налягане 0,2 MPa се допуска работа не повече от 8 минути. Всички тези характерни параметри са свързани помежду си чрез златното сечение: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Гранични параметри външна температура, в рамките на който е възможно нормалното съществуване (и най-важното, произходът) на човек, е температурният диапазон от 0 до + (57-58) 0 C. Очевидно първата граница на обясненията може да бъде пропусната.

Разделяме посочения диапазон от положителни температури на златното сечение. В този случай получаваме две граници (и двете граници са температури, характерни за човешкото тяло): първата съответства на температурата, втората граница съответства на максимално възможната температура на външния въздух за човешкото тяло.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСА

Дори през Ренесанса художниците откриват, че всяка картина има определени точки, които неволно привличат вниманието ни, така наречените визуални центрове. В този случай няма значение какъв формат има картината хоризонтално или вертикално. Има само четири такива точки и те са разположени на разстояние 3/8 и 5/8 от съответните краища на равнината.

Това откритие сред художниците от онова време се нарича "златното сечение" на картината.

Обръщайки се към примери за "златното сечение" в живописта, не можем да спрем вниманието си върху работата на Леонардо да Винчи. Самоличността му е една от мистериите на историята. Самият Леонардо да Винчи е казал: „Нека никой, който не е математик, не смее да чете моите произведения.“

Той се прослави като ненадминат художник, велик учен, гений, предугадил много изобретения, реализирани едва през 20 век.

Няма съмнение, че Леонардо да Винчи е бил велик художник, неговите съвременници вече са признали това, но неговата личност и дейност ще останат забулени в мистерия, тъй като той остави на потомството не последователно представяне на идеите си, а само множество ръкописни скици, бележки които казват „и двете всичко на света“.

Пишеше отдясно наляво с нечетлив почерк и с лявата ръка. Това е най-известният съществуващ пример за огледално писане.

Портретът на Мона Лиза (Джоконда) привлича вниманието на изследователите от много години, които откриват, че композицията на рисунката се основава на златни триъгълници, които са части от правилен звезден петоъгълник. Има много версии за историята на този портрет. Ето един от тях.

Веднъж Леонардо да Винчи получава поръчка от банкера Франческо дел Джокондо да нарисува портрет на млада жена, съпругата на банкера Монна Лиза. Жената не беше красива, но беше привлечена от простотата и естествеността на външния си вид. Леонардо се съгласи да нарисува портрет. Неговият модел беше тъжен и тъжен, но Леонардо й разказа приказка, след като чу, която тя стана жива и интересна.

ИСТОРИЯ. Имало едно време един беден човек, той имал четирима сина: трима умни и един от тях такъв и онзи. И тогава смъртта дойде за бащата. Преди да се раздели с живота си, той извикал децата си при себе си и казал: „Синове мои, скоро ще умра. Щом ме погребеш, заключи колибата и иди на края на света, за да направиш собствено състояние. Нека всеки от вас научи нещо, за да може да се нахрани.” Бащата почина и синовете се разпръснаха по света, като се съгласиха да се върнат на поляната на родната си горичка три години по-късно. Дошъл първият брат, който се научил на дърводелство, отсякъл едно дърво и го издялал, направил от него жена, поотдалечил се малко и чака. Вторият брат се върнал, видял дървена жена и, тъй като бил шивач, за една минута я облякъл: като изкусен майстор той ушил за нея красиви копринени дрехи. Третият син украси жената със злато и скъпоценни камъни - все пак той беше бижутер. Накрая пристигна и четвъртият брат. Той не умееше да дърводелства и да шие, умееше само да слуша какво говорят земята, дърветата, билките, животните и птиците, познаваше хода на небесните тела и умееше да пее чудни песни. Той изпя песен, която разплака скритите зад храстите братя. С тази песен той съживи жената, тя се усмихна и въздъхна. Братята се втурнаха към нея и всеки извика едно и също: „Ти трябва да си моя жена“. Но жената отговори: „Ти ме създаде - бъди мой баща. Облякохте ме, и украсихте ме - бъдете ми братя. А ти, който ми вдъхна душата и ме научи да се радвам на живота, ти си ми нужен цял живот сам.

След като завърши приказката, Леонардо погледна Мона Лиза, лицето й светна от светлина, очите й блестяха. Тогава, като че ли се събуди от сън, тя въздъхна, прекара ръка по лицето си и безмълвно отиде на мястото си, скръсти ръце и зае обичайната си поза. Но делото беше извършено - художникът събуди безразличната статуя; усмивката на блаженство, бавно изчезваща от лицето й, остана в ъгълчетата на устата й и трепереше, придавайки на лицето й удивително, загадъчно и леко лукаво изражение, като на човек, който е научил тайна и, пазейки я внимателно, не може възпре триумфа му. Леонардо работеше мълчаливо, страхувайки се да не пропусне този момент, този слънчев лъч, който огряваше скучния му модел...

Трудно е да се отбележи какво се забелязва в този шедьовър на изкуството, но всички говореха за дълбоките познания на Леонардо за структурата на човешкото тяло, благодарение на които той успя да улови тази, така да се каже, мистериозна усмивка. Те говореха за изразителността на отделните части на картината и за пейзажа, безпрецедентен спътник на портрета. Говореха за естествеността на изражението, простотата на позата, красотата на ръцете. Художникът е направил нещо безпрецедентно: картината изобразява въздух, той обгръща фигурата с прозрачна мъгла. Въпреки успеха Леонардо беше мрачен, ситуацията във Флоренция изглеждаше болезнена за художника, той се приготви да тръгне. Напомнянията за заповеди за наводняване не му помогнаха.

Златното сечение в картината на I.I. Шишкин "Борова горичка". В тази известна картина на I.I. Шишкин, мотивите на златното сечение са ясно видими. Ярко осветеният бор (стоящ на преден план) разделя дължината на картината според златното сечение. Вдясно от бора има хълм, огрян от слънцето. Той разделя дясната страна на картината хоризонтално според златното сечение. Вляво от основния бор има много борове - ако желаете, можете успешно да продължите да разделяте картината според златното сечение и по-нататък.

борова горичка

Присъствието в картината на ярки вертикали и хоризонтали, разделящи я спрямо златното сечение, й придава характер на баланс и спокойствие в съответствие със замисъла на художника. Когато замисълът на художника е различен, ако, да речем, той създава картина с бързо развиващо се действие, такава геометрична схема на композиция (с преобладаване на вертикали и хоризонтали) става неприемлива.

В И. Суриков. "Бояр Морозова"

Нейната роля е отредена на средната част на картината. Тя е обвързана от точката на най-високото издигане и точката на най-ниското падане на сюжета на картината: издигането на ръката на Морозова с кръстен знак с два пръста, като най-висока точка; безпомощно протегната ръка към същата благородничка, но този път ръката на старица - скитница-просяк, ръка, изпод която заедно с последната надежда за спасение се измъква краят на шейната.

А какво да кажем за "най-високата точка"? На пръв поглед имаме привидно противоречие: в края на краищата участъкът A 1 B 1, който е 0,618 ... от десния край на картината, не минава през ръката, дори през главата или окото на благородничка, но се оказва някъде пред устата на благородничката.

Златното сечение наистина засяга най-важното нещо. В него и точно в него е най-голямата сила на Морозова.

Няма по-поетична картина от тази на Сандро Ботичели, а великият Сандро няма по-известна картина от неговата Венера. За Ботичели неговата Венера е въплъщение на идеята за универсалната хармония на "златното сечение", което преобладава в природата. В това ни убеждава пропорционалният анализ на Венера.

Венера

Рафаело "Атинска школа". Рафаело не беше математик, но като много художници от онази епоха имаше значителни познания по геометрия. В известната фреска "Атинското училище", където в храма на науката се провежда обществото на великите философи на античността, вниманието ни е привлечено от групата на Евклид, най-големият древногръцки математик, който разглобява сложен чертеж.

Гениалната комбинация от два триъгълника също е изградена в съответствие със златното сечение: тя може да бъде вписана в правоъгълник със съотношение на страните 5/8. Този чертеж е изненадващо лесен за вмъкване в горната част на архитектурата. Горният ъгъл на триъгълника опира в ключовия камък на арката в зоната, която е най-близо до зрителя, долният - в точката на изчезване на перспективите, а страничният участък показва пропорциите на пространствената празнина между двете части на арките. .

Златната спирала в картината на Рафаело "Клането на невинните". За разлика от златното сечение, усещането за динамика, вълнение, е може би най-силно изразено в друга проста геометрична фигура – ​​спиралата. Многофигурната композиция, направена през 1509 - 1510 г. от Рафаело, когато известният художник създава своите стенописи във Ватикана, се отличава само с динамика и драматизъм на сюжета. Рафаело никога не е довел идеята си докрай, но скицата му е гравирана от неизвестен италиански график Маркантинио Раймонди, който въз основа на тази скица създава гравюрата „Клането на невинните“.

Избиване на невинни

Ако върху подготвителната скица на Рафаело мислено начертаем линии, тръгващи от семантичния център на композицията - точките, където пръстите на воина са се сключили около глезена на детето, покрай фигурите на детето, жената, която го притиска към себе си, воинът с вдигнат меч, а след това по протежение на фигурите от същата група от дясната скица (на фигурата тези линии са начертани в червено) и след това свържете тези части от кривата с пунктирана линия, след това златна спирала се получава с много висока точност. Това може да се провери чрез измерване на съотношението на дължините на сегментите, изрязани от спиралата, върху правите линии, минаващи през началото на кривата.

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ И ВЪЗПРИЕМАНЕ НА ОБРАЗ

Способността на зрителния анализатор на човека да разграничава обектите, построени по алгоритъма на златното сечение, като красиви, привлекателни и хармонични е известна отдавна. Златното сечение дава усещането за най-съвършеното единно цяло. Форматът на много книги следва златното сечение. Избира се за прозорци, картини и пликове, марки, визитки. Човек може да не знае нищо за числото Ф, но в структурата на обектите, както и в последователността на събитията, подсъзнателно намира елементи от златното сечение.

Проведени са проучвания, при които участниците са били помолени да избират и копират правоъгълници с различни пропорции. Имаше три правоъгълника за избор: квадрат (40:40 мм), правоъгълник "златно сечение" със съотношение на страните 1:1,62 (31:50 мм) и правоъгълник с удължени пропорции 1:2,31 (26: 60 мм).

При избора на правоъгълници в нормално състояние в 1/2 случая се дава предимство на квадрат. Дясното полукълбо предпочита златното сечение и отхвърля удължения правоъгълник. Напротив, лявото полукълбо гравитира към удължени пропорции и отхвърля златното сечение.

При копирането на тези правоъгълници се наблюдава следното: когато дясното полукълбо е активно, пропорциите в копията се запазват най-точно; когато лявото полукълбо беше активно, пропорциите на всички правоъгълници бяха изкривени, правоъгълниците бяха разтегнати (квадратът беше начертан като правоъгълник със съотношение на страните 1:1,2; пропорциите на разтегнатия правоъгълник се увеличиха рязко и достигнаха 1:2,8 ). Пропорциите на "златния" правоъгълник бяха най-силно изкривени; пропорциите му в копия стават пропорциите на правоъгълника 1:2,08.

Когато рисувате собствени рисунки, преобладават пропорции, близки до златното сечение и удължени. Средно пропорциите са 1:2, докато дясното полукълбо предпочита пропорциите на златното сечение, лявото полукълбо се отдалечава от пропорциите на златното сечение и разтяга шаблона.

Сега начертайте няколко правоъгълника, измерете страните им и намерете съотношението на страните. Кое полукълбо имаш?

ЗЛАТНОТО СЕЧЕНИЕ ВЪВ ФОТОГРАФИЯТА

Пример за използване на златното сечение във фотографията е местоположението на ключовите компоненти на рамката в точки, които се намират на 3/8 и 5/8 от краищата на рамката. Това може да се илюстрира със следния пример: снимка на котка, която се намира на произволно място в рамката.

Сега нека условно разделим рамката на сегменти, в съотношение 1,62 от общата дължина от всяка страна на рамката. В пресечната точка на сегментите ще има основните "визуални центрове", в които си струва да поставите необходимите ключови елементи на изображението. Нека преместим нашата котка в точките на "визуалните центрове".

ЗЛАТНО СЕЧЕНИЕ И ПРОСТРАНСТВО

От историята на астрономията е известно, че И. Тиций, немски астроном от 18-ти век, използвайки тази серия, открива закономерност и ред в разстоянията между планетите на Слънчевата система.

Въпреки това, един случай, който изглеждаше против закона: нямаше планета между Марс и Юпитер. Фокусираното наблюдение на тази част от небето доведе до откриването на астероидния пояс. Това се случи след смъртта на Тиций в началото на 19 век. Сериите на Фибоначи са широко използвани: с негова помощ те представят архитектурата на живите същества и създадените от човека структури и структурата на галактиките. Тези факти са доказателство за независимостта на числовата редица от условията на нейното проявление, което е един от признаците на нейната универсалност.

Двете златни спирали на галактиката са съвместими със звездата на Давид.

Обърнете внимание на звездите, излизащи от галактиката в бяла спирала. Точно на 180 0 от една от спиралите излиза друга разгръщаща се спирала... Дълго време астрономите просто вярваха, че всичко, което е там, е това, което виждаме; ако нещо е видимо, значи то съществува. Те или изобщо не забелязваха невидимата част от Реалността, или не я смятаха за важна. Но невидимата страна на нашата Реалност всъщност е много по-голяма от видимата страна и вероятно е по-важна... С други думи, видимата част от Реалността е много по-малко от един процент от цялото - почти нищо. Всъщност нашият истински дом е невидимата вселена...

Във Вселената всички известни на човечеството галактики и всички тела в тях съществуват под формата на спирала, съответстваща на формулата на златното сечение. В спиралата на нашата галактика се намира златното сечение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Природата, разбирана като целия свят в многообразието на неговите форми, се състои като че ли от две части: жива и нежива природа. Творенията на неживата природа се характеризират с висока стабилност, ниска променливост, съдейки по мащаба на човешкия живот. Човек се ражда, живее, остарява, умира, но гранитните планини си остават същите и планетите се въртят около Слънцето по същия начин, както по времето на Питагор.

Светът на дивата природа се явява пред нас напълно различен - подвижен, променлив и изненадващо разнообразен. Животът ни показва един фантастичен карнавал на разнообразие и оригиналност на творческите комбинации! Светът на неживата природа е преди всичко свят на симетрия, която придава стабилност и красота на неговите творения. Светът на природата е преди всичко свят на хармония, в който действа „законът на златното сечение“.

В съвременния свят науката е от особено значение, поради засиленото въздействие на човека върху природата. Важни задачи на съвременния етап са търсенето на нови начини за съвместно съществуване на човека и природата, изучаването на философски, социални, икономически, образователни и други проблеми, пред които е изправено обществото.

В тази статия беше разгледано влиянието на свойствата на "златното сечение" върху живата и неживата природа, върху историческия ход на развитието на историята на човечеството и планетата като цяло. Анализирайки всичко по-горе, човек може отново да се удиви на величието на процеса на познание на света, откриването на неговите все нови модели и да заключи: принципът на златното сечение е най-висшето проявление на структурното и функционално съвършенство на цялото и неговите части в изкуството, науката, технологиите и природата. Може да се очаква, че законите на развитие на различни природни системи, законите на растежа, не са много разнообразни и могат да бъдат проследени в най-разнообразни формации. Това е проявлението на единството на природата. Идеята за такова единство, основано на проявлението на едни и същи модели в разнородни природни явления, е запазила своята актуалност от Питагор до наши дни.