Stepen mjera ugla. Radijanska mjera ugla

Stepen mjera ugla. Radijanska mjera ugla. Pretvorite stepene u radijane i obrnuto.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U prethodnoj lekciji savladali smo brojanje uglova na trigonometrijskom krugu. Naučio da brojiš pozitivne i negativne uglove. Shvatio kako nacrtati ugao veći od 360 stepeni. Vrijeme je da se pozabavimo mjerenjem uglova. Pogotovo sa brojem "Pi", koji nastoji da nas zbuni u škakljivim zadacima, da...

Standardni zadaci iz trigonometrije sa brojem "Pi" su prilično dobro riješeni. Vizuelno pamćenje pomaže. Ali svako odstupanje od šablona - obara na licu mesta! Da ne bi pao - razumeti neophodno. Šta ćemo sada uspešno uraditi. U izvesnom smislu - razumemo sve!

dakle, šta računaju li se uglovi? AT školski kurs trigonometrija koristi dvije mjere: stepen mera ugla i radijanska mjera ugla. Pogledajmo ove mjere. Bez ovoga, u trigonometriji - nigdje.

Stepen mjera ugla.

Nekako smo navikli na stepene. Geometrija je, u najmanju ruku, prošla... Da, i u životu se često susrećemo sa frazom "okrenuti za 180 stepeni", na primer. Diploma, ukratko, jednostavna stvar...

Da? Odgovori mi onda šta je diploma? Šta ne radi odmah? nešto...

Stepeni su izmišljeni u starom Babilonu. Bilo je to davno... pre 40 vekova... I oni su to samo smislili. Uzeli su i razbili krug na 360 jednaki dijelovi. 1 stepen je 1/360 kruga. I to je to. Može se razbiti na 100 komada. Ili na 1000. Ali oni su ga razbili na 360. Usput, zašto baš na 360? Zašto je 360 ​​bolje od 100? Čini se da je 100 nekako ravnomjernije... Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje. Ili slab protiv Drevni Babilon?

Negdje u isto vrijeme Drevni Egipat mučen drugim problemom. Koliko je puta veći obim kruga od dužine njegovog prečnika? I tako su izmjerili, i tako... Sve je ispalo nešto više od tri. Ali nekako je ispalo čupavo, neravno... Ali oni, Egipćani, nisu krivi. Nakon njih patili su još 35 vekova. Dok na kraju nisu dokazali da koliko god fino isjeci krug na jednake komade, od takvih se pravi glatko dužina prečnika je nemoguća ... U principu je nemoguće. Pa, koliko je puta obim veći od prečnika, naravno. O. 3,1415926... puta.

Ovo je broj "Pi". To je čupavo, tako čupavo. Nakon decimalnog zareza - beskonačan broj cifara bez ikakvog reda... Takvi brojevi se nazivaju iracionalnim. To, inače, znači da je od jednakih komada kruga prečnik glatko ne savijati. Nikad.

Za praktična primjena Uobičajeno je zapamtiti samo dvije cifre nakon decimalnog zareza. Zapamtite:

Pošto smo shvatili da je obim kruga veći od prečnika za "Pi" puta, ima smisla zapamtiti formulu za obim kruga:

Gdje L je obim, i d je njegov prečnik.

Korisno u geometriji.

Za opšte obrazovanje Dodaću da se broj "Pi" nalazi ne samo u geometriji... U najrazličitijim dijelovima matematike, a posebno u teoriji vjerovatnoće, ovaj broj se pojavljuje stalno! Samo po sebi. Iznad naših želja. Volim ovo.

Ali da se vratimo na stepene. Jeste li shvatili zašto je u starom Babilonu krug bio podijeljen na 360 jednakih dijelova? Ali ne 100, na primjer? Ne? UREDU. Daću vam verziju. Ne možete pitati stare Babilonce... Za konstrukciju, ili recimo astronomiju, zgodno je podijeliti krug na jednake dijelove. Sada shvati s kojim su brojevi djeljivi potpuno 100, a kojih - 360? I u kojoj verziji ovih razdjelnika potpuno- više? Ova podjela je vrlo zgodna za ljude. ali...

Kako se pokazalo mnogo kasnije od Drevnog Babilona, ​​ne vole svi diplome. Viša matematika ih ne voli... višu matematiku- ozbiljna je gospođa, uređena po zakonima prirode. A ova gospođa izjavljuje: "Danas si razbio krug na 360 dijelova, sutra ćeš ga razbiti na 100 dijelova, prekosutra na 245... A šta da radim? Ne stvarno..." Morao sam poslušati. Ne možete prevariti prirodu...

Morao sam uvesti meru ugla koja ne zavisi od ljudskih pojmova. Upoznajte - radian!

Radijanska mjera ugla.

Šta je radijan? Definicija radijana je ionako zasnovana na krugu. Ugao od 1 radijana je ugao koji seče luk iz kruga čija je dužina ( L) jednaka je dužini polumjera ( R). Gledamo slike.

Tako mali ugao, skoro da ga nema... Pomerimo kursor preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo otprilike jednu radian. L=R

Osjetite razliku?

Jedan radijan je mnogo veći od jednog stepena. Koliko puta?

Pogledajmo sljedeću sliku. Na kojoj sam nacrtao polukrug. Prošireni ugao je, naravno, veličine 180°.

A sada ću izrezati ovaj polukrug u radijane! Prelazimo preko slike i vidimo da se 3 radijana s repom uklapaju u 180°.

Ko može da pogodi šta je ovo konjski rep!?

Da! Ovaj rep je 0,1415926.... Zdravo Pi, još te nismo zaboravili!

Zaista, postoji 3,1415926 ... radijana u 180 stepeni. Kao što možete zamisliti, pisati 3.1415926 cijelo vrijeme... je nezgodno. Stoga, umjesto ovog beskonačnog broja, uvijek pišu jednostavno:

A evo i broja na internetu

nezgodno je pisati... Stoga ga u tekstu pišem po imenu - "Pi". Nemojte se zbuniti...

Sada je sasvim smisleno napisati približnu jednakost:

Ili tačna jednakost:

Odredite koliko je stepeni u jednom radijanu. Kako? Lako! Ako ima 180 stepeni u 3,14 radijana, onda je 1 radijan 3,14 puta manje! To jest, dijelimo prvu jednačinu (formula je također jednačina!) sa 3.14:

Ovaj omjer je korisno zapamtiti jer u jednom radijanu ima otprilike 60°. U trigonometriji često morate shvatiti, procijeniti situaciju. Tu znanje mnogo pomaže.

Ali glavna vještina ove teme je pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto.

Ako je ugao dat u radijanima sa brojem "pi", sve je vrlo jednostavno. Znamo da je "pi" radijani = 180°. Dakle, zamjenjujemo umjesto "Pi" radijana - 180 °. Dobijamo ugao u stepenima. Smanjujemo ono što je smanjeno i odgovor je spreman. Na primjer, moramo saznati koliko stepeni u uglu "Pi"/2 radian? Ovdje pišemo:

Ili, egzotičniji izraz:

Lako, zar ne?

Obrnuti prijevod je malo složeniji. Ali ne mnogo. Ako je ugao dat u stepenima, moramo izračunati koliki je jedan stepen u radijanima i taj broj pomnožiti sa brojem stepeni. Šta je 1° u radijanima?

Gledamo formulu i shvatamo da ako je 180° = "Pi" radijani, onda je 1° 180 puta manji. Ili, drugim rečima, delimo jednačinu (formula je takođe jednačina!) sa 180. Nema potrebe da se „Pi“ predstavlja kao 3.14, ionako se uvek piše slovom. Dobijamo da je jedan stepen jednak:

To je sve. Pomnožite broj stepeni sa ovom vrednošću da dobijete ugao u radijanima. Na primjer:

Ili, slično:

Kao što vidite, u ležernom razgovoru sa digresije Pokazalo se da su radijani vrlo jednostavni. Da i prevod je bez problema... A "Pi" je sasvim podnošljiva stvar... Pa otkud zabuna!?

Otkriću tajnu. Činjenica je da je u trigonometrijskim funkcijama napisana ikona stupnjeva. Uvijek je. Na primjer, sin35°. Ovo je sinus 35 stepeni . I ikona radijana ( drago) nije napisano! On se podrazumeva. Ili je uhvatila lijenost matematičara, ili nešto drugo... Ali odlučili su da ne pišu. Ako nema ikona unutar sinusa - kotangensa, tada kut - u radijanima ! Na primjer, cos3 je kosinus od tri radijani .

To dovodi do nesporazuma... Osoba vidi "Pi" i vjeruje da je 180°. Bilo kada i bilo gdje. Usput, ovo funkcionira. Za sada, dok su primjeri standardni. Ali Pi je broj! Broj 3,14 nije stepeni! To je "Pi" radijani = 180°!

Još jednom: "Pi" je broj! 3.14. Iracionalno, ali broj. Isto kao 5 ili 8. Možete, na primjer, napraviti oko "Pi" koraka. Tri koraka i još malo. Ili kupite "Pi" kilograme slatkiša. Ako obrazovani prodavac bude uhvaćen...

"Pi" je broj! Šta, uhvatio sam te ovom frazom? Jeste li već sve shvatili? UREDU. Hajde da proverimo. Možete li mi reći koji je broj veći?

Ili šta je manje?

Ovo je iz serije pomalo nestandardnih pitanja koja mogu dovesti do stupora...

Ako ste i vi pali u stupor, zapamtite čaroliju: "Pi" je broj! 3.14. U samom prvom sinusu, jasno je naznačeno da je ugao - u stepenima! Stoga je nemoguće zamijeniti "Pi" za 180 °! "Pi" stepeni je oko 3,14°. Stoga možemo napisati:

U drugom sinusu nema simbola. pa tamo - radijani! Ovdje će zamjena "Pi" sa 180 ° raditi prilično dobro. Pretvaranjem radijana u stepene, kao što je gore napisano, dobijamo:

Ostaje da uporedimo ova dva sinusa. Šta. zaboravio kako? Uz pomoć trigonometrijskog kruga, naravno! Crtamo krug, nacrtamo približne uglove od 60° i 1,05°. Gledamo sinuse ovih uglova. Ukratko, sve je, kao na kraju teme o trigonometrijskom krugu, oslikano. Na krugu (čak i onom krivom!) to će se jasno vidjeti sin60° znatno više od sin1.05°.

Uradićemo potpuno isto sa kosinusima. Na krugu crtamo uglove od oko 4 stepeni i 4 radian(zapamtite, koliko je otprilike 1 radijan?). Krug će reći sve! Naravno, cos4 je manji od cos4°.

Vježbajmo rukovanje mjerama ugla.

Pretvorite ove uglove iz stepeni u radijane:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Trebali biste završiti s ovim vrijednostima u radijanima (drugim redoslijedom!)

0

Inače, odgovore sam posebno označio u dva reda. Pa, hajde da shvatimo koji su uglovi u prvom redu? Da li u stepenima ili radijanima?

Da! Ovo su ose koordinatnog sistema! Ako pogledate trigonometrijski krug, onda je pokretna strana ugla na ovim vrijednostima stane pravo na osovinu. Ove vrijednosti treba znati ironično. I primijetio sam ugao od 0 stepeni (0 radijana) nije uzalud. I onda neki ne mogu ni na koji način pronaći ovaj ugao na kružnici... I, shodno tome, zabune se u trigonometrijskim funkcijama nule... Druga stvar je da se položaj pokretne strane na nula stepeni poklapa sa položajem na 360°, tako da su slučajnosti na krugu sve vreme pored.

U drugom redu su i posebni uglovi... To su 30°, 45° i 60°. I šta je tako posebno kod njih? Ništa posebno. Jedina razlika između ovih uglova i svih ostalih je u tome što trebate znati za ove kutove. sve. I gdje se nalaze i koje su trigonometrijske funkcije ovih uglova. Recimo vrijednost sin100° ne morate znati. ALI sin45°- molim vas budite ljubazni! Ovo je obavezno znanje, bez kojeg se nema šta raditi u trigonometriji... Ali više o tome u sljedećoj lekciji.

Do tada, nastavimo sa vježbanjem. Pretvorite ove uglove iz radijana u stepene:

Trebali biste dobiti ovakve rezultate (u neredu):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Desilo se? Onda to možemo pretpostaviti pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto- nije više vaš problem.) Ali prevođenje uglova je prvi korak ka razumevanju trigonometrije. Na istom mjestu i dalje trebate raditi sa sinusima-kosinusima. Da, i sa tangentama, kotangensima takođe...

Drugi moćan korak je mogućnost određivanja položaja bilo kojeg ugla na trigonometrijski krug. I u stepenima i u radijanima. Baš o ovoj vještini, dosadno ću vam nagovještavati u svim trigonometrijama, da...) Ako znate sve (ili mislite da znate sve) o trigonometrijskom krugu, i brojanju uglova na trigonometrijskom krugu, možete provjeriti van. Riješite ove jednostavne zadatke:

1. U koju četvrtinu padaju uglovi:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Lako? Nastavljamo:

2. U kojoj četvrtini padaju uglovi:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Takođe nema problema? Pa vidi...)

3. Uglove možete postaviti u četvrtine:

Jeste li mogli? Pa ti daj..)

4. Na koje osi će pasti ugao:

i ugao:

Da li je i lako? hm...)

5. U koju četvrtinu padaju uglovi:

I uspjelo je!? Pa onda stvarno ne znam...)

6. Odredite u koju četvrtinu spadaju uglovi:

1, 2, 3 i 20 radijana.

Odgovor ću dati samo na posljednje pitanje (malo je zeznuto) posljednjeg zadatka. Ugao od 20 radijana pada u prvu četvrtinu.

Ostatak odgovora neću dati iz pohlepe.) Samo ako ti nije odlučila nešto sumnja kao rezultat, ili potrošeno na zadatak br. 4 više od 10 sekundi loše ste orijentisani u krug. Ovo će biti vaš problem u svim trigonometrijama. Bolje je da ga se odmah riješite (problem, a ne trigonometrija!). To se može uraditi u temi: Praktični rad sa trigonometrijskim krugom u odeljku 555.

Govori kako jednostavno i ispravno riješiti takve zadatke. Pa, ovi zadaci su, naravno, riješeni. I četvrti zadatak je riješen za 10 sekundi. Da, pa odlučio da svako može!

Ako ste potpuno sigurni u svoje odgovore i ne zanimaju vas jednostavni i bezbrižni načini rada sa radijanima, ne možete posjetiti 555. Ne insistiram.)

dobro razumevanje- dosta dobar razlog da krenemo dalje!)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Matematičari širom sveta svake godine 14. marta pojedu po parče kolača - na kraju krajeva, ovo je dan Pi, najpoznatijeg iracionalnog broja. Ovaj datum je direktno povezan sa brojem čije su prve cifre 3,14. Pi je omjer obima kruga i njegovog prečnika. Pošto je iracionalan, nemoguće ga je napisati kao razlomak. Ovo je beskonačno dugačak broj. Otkriven je prije više hiljada godina i od tada se neprestano proučava, ali ima li Pi još neke tajne? Od drevnog porijekla do neodređene budućnosti, evo nekih od najzanimljivijih činjenica o pi.

Memoriranje Pi

Rekord u pamćenju brojeva iza decimalnog zareza pripada Rajveeru Meeni iz Indije, koji je uspio zapamtiti 70.000 cifara - rekord je postavio 21. marta 2015. godine. Prije toga, rekorder je bio Chao Lu iz Kine, koji je uspio zapamtiti 67.890 cifara - ovaj rekord je postavljen 2005. godine. Nezvanični rekorder je Akira Haraguči, koji je 2005. godine snimio svoje ponavljanje od 100.000 cifara, a nedavno je objavio i video na kojem uspeva da zapamti 117.000 cifara. Zvaničan rekord bi postao samo ako je ovaj video snimljen u prisustvu predstavnika Ginisove knjige rekorda, a bez potvrde ostaje samo impresivna činjenica, ali se ne smatra postignućem. Ljubitelji matematike vole da pamte broj Pi. Mnogi ljudi koriste razne mnemotehničke tehnike, kao što je poezija, gdje je broj slova u svakoj riječi isti kao pi. Svaki jezik ima svoje varijante takvih fraza, koje pomažu pri pamćenju i prvih nekoliko cifara i čitave stotine.

Postoji Pi jezik

Fascinirani literaturom, matematičari su izmislili dijalekt u kojem broj slova u svim riječima odgovara ciframa Pi po tačnom redoslijedu. Pisac Mike Keith je čak napisao knjigu Not a Wake, koja je u potpunosti napisana na Pi jeziku. Zaljubljenici u takvu kreativnost pišu svoje radove u potpunosti u skladu s brojem slova i značenjem brojeva. Ovo nema praktičnu primjenu, ali je prilično česta i dobro poznata pojava u krugovima naučnika entuzijasta.

Eksponencijalni rast

Pi je beskonačan broj, tako da ljudi, po definiciji, nikada neće moći da odgonetnu tačne brojeve ovog broja. Međutim, broj cifara nakon decimalnog zareza se značajno povećao od prve upotrebe Pi. Čak su ga i Babilonci koristili, ali im je bio dovoljan delić tri i jedna osmina. Kinezi i kreatori Stari zavjet i bio je potpuno ograničen na tri. Do 1665. Sir Isaac Newton je izračunao 16 cifara pi. Do 1719 francuski matematičar Tom Fante de Lagny izračunao je 127 cifara. Pojava kompjutera je radikalno poboljšala čovjekovo znanje o Pi. Od 1949. do 1967. broj poznato čoveku brojevi su naglo porasli sa 2037 na 500 000. Ne tako davno, Peter Trueb, naučnik iz Švicarske, uspio je izračunati 2,24 triliona cifara Pi! To je trajalo 105 dana. Naravno, ovo nije granica. Vjerovatno je da će razvojem tehnologije biti moguće instalirati još više tacna cifra- budući da je Pi beskonačan, jednostavno ne postoji granica tačnosti, a mogu je ograničiti samo tehničke karakteristike kompjuterske tehnologije.

Ručno izračunavanje Pi

Ako želite sami da pronađete broj, možete koristiti starinsku tehniku ​​- trebat će vam ravnalo, tegla i kanap, možete koristiti i kutomjer i olovku. Loša strana upotrebe tegle je ta što ona mora biti okrugla, a tačnost će biti određena koliko dobro osoba može omotati uže oko nje. Moguće je nacrtati krug kutomjerom, ali i to zahtijeva vještinu i preciznost, jer neravni krug može ozbiljno narušiti vaša mjerenja. Više tačna metoda uključuje upotrebu geometrije. Podijelite krug na mnogo segmenata, kao što su kriške pice, a zatim izračunajte dužinu ravne linije koja bi svaki segment pretvorila u jednakokraki trougao. Zbir strana će dati približan broj pi. Što više segmenata koristite, to će broj biti tačniji. Naravno, u vašim proračunima nećete se moći približiti rezultatima kompjutera, ali ipak ovima jednostavni eksperimenti omogućavaju vam da detaljnije shvatite šta je broj pi općenito i kako se koristi u matematici.

Otkriće Pi

Stari Babilonci su znali za postojanje broja Pi već prije četiri hiljade godina. Babilonske ploče izračunavaju Pi kao 3,125, a egipatski matematički papirus sadrži broj 3,1605. U Bibliji je broj Pi dat u zastarjeloj dužini - u laktovima, a grčki matematičar Arhimed je koristio Pitagorinu teoremu da opiše Pi, geometrijski omjer dužine stranica trokuta i površine \u200b figure unutar i izvan krugova. Stoga se sa sigurnošću može reći da je Pi jedan od najstarijih matematički koncepti, ipak tacno ime dati broj i pojavio se relativno nedavno.

Novi pogled na Pi

Čak i prije nego što je pi bio povezan s krugovima, matematičari su već imali mnogo načina da čak i imenuju ovaj broj. Na primjer, u starim udžbenicima matematike može se pronaći fraza na latinskom, koja se može grubo prevesti kao "veličina koja pokazuje dužinu kada se s njom pomnoži prečnik". Iracionalni broj postao je poznat kada ga je švajcarski naučnik Leonhard Euler upotrebio u svom radu o trigonometriji 1737. godine. Međutim, grčki simbol za pi još uvijek nije korišten - to se dogodilo samo u knjizi manje poznatog matematičara Williama Jonesa. Koristio ga je već 1706. godine, ali je dugo bio zanemaren. S vremenom su naučnici usvojili ovo ime, a sada je ovo najpoznatija verzija imena, iako se prije zvala i Ludolfov broj.

Da li je pi normalan?

Broj pi je definitivno čudan, ali kako se pridržava normalnih matematičkih zakona? Naučnici su već riješili mnoga pitanja vezana za ovo iracionalan broj ali neke misterije ostaju. Na primjer, nije poznato koliko se često koriste sve cifre - brojevi od 0 do 9 trebaju se koristiti u jednakom omjeru. Međutim, statistika se može pratiti za prvih trilion znamenki, ali zbog činjenice da je broj beskonačan, nemoguće je bilo šta sa sigurnošću dokazati. Postoje i drugi problemi koji još uvijek izmiču naučnicima. Sasvim je moguće da dalji razvoj nauka će pomoći da se rasvetle na njih, ali na ovog trenutka ostaje izvan ljudskog intelekta.

Pi zvuči božanstveno

Naučnici ne mogu odgovoriti na neka pitanja o broju Pi, ali svake godine sve bolje razumiju njegovu suštinu. Već u osamnaestom veku dokazana je iracionalnost ovog broja. Osim toga, dokazano je da je broj transcendentalan. To znači ne određene formule, što bi omogućilo da se pi izračuna pomoću racionalnih brojeva.

Nezadovoljstvo sa Pi

Mnogi matematičari su jednostavno zaljubljeni u Pi, ali ima onih koji smatraju da ovi brojevi nemaju poseban značaj. Osim toga, oni tvrde da je broj Tau, koji je dvostruko veći od Pi, pogodnije koristiti kao iracionalan. Tau pokazuje odnos između obima i poluprečnika, što, po nekima, predstavlja logičniju metodu izračunavanja. Međutim, nedvosmisleno definirati nešto u ovaj problem nemoguce, i jedan i drugi broj ce uvek imati pristalice, oba metoda imaju pravo na zivot, tako da je pravedno zanimljiva činjenica, a nije razlog da mislite da ne biste trebali koristiti broj Pi.

Tabela vrijednosti trigonometrijske funkcije sastavljeno za uglove od 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stepeni i njihovi odgovarajući uglovi u radijani. Od trigonometrijske funkcije tabela pokazuje sinus, kosinus, tangent, kotangens, sekans i kosekans. Za praktičnost rješenja školski primjeri vrijednosti trigonometrijske funkcije u tabeli su zapisani kao razlomak sa očuvanjem predznaka vađenja kvadratnog korena brojeva, što vrlo često pomaže u smanjenju složenih matematičkih izraza. Za tangenta i kotangens neki uglovi se ne mogu odrediti. Za vrijednosti tangenta i kotangens takvi uglovi u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija je crtica. Općenito je prihvaćeno da tangenta i kotangens takvi uglovi jednaki su beskonačnosti. Na posebnoj stranici nalaze se formule za redukciju trigonometrijskih funkcija.

Tabela vrijednosti za trigonometrijsku funkciju sinus prikazuje vrijednosti za sljedeće uglove: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in stepen mjere, što odgovara sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. školski sto sinusi.

Za trigonometrijsku kosinusnu funkciju, u tabeli su prikazane vrijednosti ​​​​za sljedeće uglove: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 u stepenu mjere, što odgovara cos 0 pi, cos pi do 6, cos pi sa 4, cos pi sa 3, cos pi sa 2, cos pi, cos 3 pi sa 2, cos 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Školska tablica kosinusa.

Trigonometrijska tablica za tangentu trigonometrijske funkcije daje vrijednosti za sljedeće uglove: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 u mjeri stepena, što odgovara tg pi 0 pi, t / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Slijedeće vrijednosti trigonometrijske funkcije tangente nisu definisane tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 i smatraju se jednakim beskonačnosti.

Za kotangens trigonometrijske funkcije u trigonometrijskoj tabeli date su vrijednosti sljedećih uglova: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 u stepenskoj mjeri, što odgovara ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 u radijanskoj mjeri uglova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih kotangensnih funkcija nisu definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija sekansa i kosekansa date su za iste uglove u stupnjevima i radijanima kao sinus, kosinus, tangent, kotangens.

Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih uglova prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove u stepenima 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stepena i u radijanima pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radijana. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija izražene su kao razlomci i kvadratni korijeni kako bi se pojednostavila redukcija razlomaka u školskim primjerima.

Još tri čudovišta trigonometrije. Prvi je tangent od 1,5 stepeni i po, ili pi podijeljen sa 120. Drugi je kosinus od pi podijeljen sa 240, pi/240. Najduži je kosinus od pi podijeljen sa 17, pi/17.

Trigonometrijski krug vrijednosti funkcija sinusa i kosinusa vizualno predstavlja znakove sinusa i kosinusa ovisno o veličini kuta. Posebno za plavuše, kosinusne vrijednosti su podvučene zelenom crticom kako bi bile manje zbunjene. Pretvaranje stupnjeva u radijane je također vrlo jasno predstavljeno, kada se radijani izražavaju kroz pi.

Ova trigonometrijska tabela prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove od 0 nula do 90 devedeset stepeni u intervalima od jednog stepena. Za prvih četrdeset pet stepeni, nazivi trigonometrijskih funkcija moraju se pogledati na vrhu tabele. Prvi stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa upisuju se u sljedeće četiri stupca.

Za uglove od četrdeset pet stepeni do devedeset stepeni, nazivi trigonometrijskih funkcija su napisani na dnu tabele. Posljednja kolona sadrži stupnjeve, vrijednosti kosinusa, sinusa, kotangensa i tangenta su upisane u prethodna četiri stupca. Treba biti oprezan, jer na dnu trigonometrijska tabela nazivi trigonometrijskih funkcija se razlikuju od naziva na vrhu tabele. Sinusi i kosinusi se zamjenjuju, baš kao tangenta i kotangens. To je zbog simetrije vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Znaci trigonometrijskih funkcija prikazani su na gornjoj slici. sinus ima pozitivne vrijednosti 0 do 180 stepeni ili 0 do pi. Negativne vrijednosti sinus ima 180 do 360 stepeni, ili pi do 2 pi. Vrijednosti kosinusa su pozitivne od 0 do 90 i 270 do 360 stepeni, odnosno od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangenta i kotangens imaju pozitivne vrijednosti od 0 do 90 stepeni i od 180 do 270 stepeni, što odgovara vrijednostima od 0 do 1/2 pi i od pi do 3/2 pi. Negativna tangenta i kotangens su 90 do 180 stepeni i 270 do 360 stepeni, ili 1/2 pi do pi i 3/2 pi do 2 pi. Prilikom određivanja predznaka trigonometrijskih funkcija za uglove veće od 360 stepeni ili 2 pi, treba koristiti svojstva periodičnosti ovih funkcija.

Trigonometrijske funkcije sinus, tangent i kotangens su neparne funkcije. Vrijednosti ovih funkcija za negativne kutove bit će negativne. Kosinus je parna trigonometrijska funkcija - vrijednost kosinusa za negativan ugaoće biti pozitivna. Prilikom množenja i dijeljenja trigonometrijskih funkcija morate slijediti pravila znakova.

Korijen od 2/2 je koliko pi?- To se dešava na različite načine (vidi sliku). Morate znati koja je trigonometrijska funkcija jednaka korijenu dva podijeljenom sa dva.

Ako vam se dopao post i želite da saznate više, u toku sam rad na drugim materijalima.

cos pi podijeljeno sa 2

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Matematičke formule.

Pretvorite radijane u stepeni.
A d = A r * 180 / pi

Pretvorite stepene u radijane.
A r = A d * pi / 180
Gdje je A d ugao u stepenima, A r je ugao u radijanima.

Obim.
L = 2 * pi * R

Dužina luka kružnice.
L=A*R

Površina trougla.

p=(a+b+c)/2 - poluperimetar.

Područje kruga.
S = pi * R 2

Sektorsko područje.
S \u003d L d * R / 2 = (A * R 2) / 2

Površina sfere.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer osnove cilindra, H je visina cilindra.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Volumen lopte.
V = 4 / 3 * pi * R 3

Volumen cilindra.
V = pi * R 2 * H

Volumen konusa.

Objavljeno: 15.01.13
Ažurirano: 15.11.14
Ukupno pregleda: 10754
danas: 1

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Egor

Dobro veče! Pitao si veoma interes Pitajte nadamo se da vam možemo pomoći.

Kako riješiti C1. Lekcija 2

Ti i ja trebamo riješiti sljedeći problem: pronaći cos pi podijeljeno sa 2.
Najčešće je za rješavanje takvih problema potrebno odrediti kosinusne ili sinusne indikatore. Za uglove od 0 do 360 stepeni, skoro svaka vrednost cos ili sin može se lako naći u odgovarajućim pločama koje postoje i koje su uobičajene, kao što su ove:

Ali mi nemamo sinus (grijeh), već kosinus. Hajde da prvo shvatimo šta je kosinus. Cos (kosinus) je jedna od trigonometrijskih funkcija. Da bi se izračunao kosinus akutnog pravougaonog trougla Morat ćete znati omjer uključenog kraka ugla i hipotenuze. Kosinus od pi podijeljen sa 2 može se lako izračunati iz trigonometrijska formula, koji se odnosi na standardne formule trigonometrija. Ali ako govorimo o vrijednosti kosinusa pi podijeljenoj sa 2, tada ćemo za to koristiti tablicu koju smo već spomenuli više puta:

Sretno u budućim poduhvatima!
odgovor:

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Matematičke formule.

Pretvorite radijane u stepeni.
A d = A r * 180 / pi

Pretvorite stepene u radijane.
A r = A d * pi / 180
Gdje je A d ugao u stepenima, A r je ugao u radijanima.

Obim.
L = 2 * pi * R
Gdje je L obim, R je polumjer kružnice.

Dužina luka kružnice.
L=A*R
Gdje je L dužina luka kružnice, R je polumjer kružnice, A je centralni ugao, izraženo u radijanima
Za krug A = 2*pi (360 stepeni), dobijamo L = 2*pi*R.

Površina trougla.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Gdje je S površina trokuta, a, b, c su dužine stranica,
p=(a+b+c)/2 - poluperimetar.

Područje kruga.
S = pi * R 2
Gdje je S površina kruga, R je polumjer kružnice.

Sektorsko područje.
S \u003d L d * R / 2 = (A * R 2) / 2
Gdje je S površina sektora, R je polumjer kružnice, L d je dužina luka.

Površina sfere.
S = 4 * pi * R 2
Gdje je S površina lopte, R je polumjer lopte.

Površina bočne površine cilindra.
S = 2 * Pi * R * H
Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer osnove cilindra, H je visina cilindra.

Square puna površina cilindar.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer osnove cilindra, H je visina cilindra.

Područje bočne površine stošca.
S = pi * R * L
Gdje je S površina bočne površine stošca, R je polumjer osnove stošca, L je dužina generatrise stošca.

Ukupna površina konusa.
S = pi * R * L + pi * R 2
Gdje je S površina pune površine stošca, R je polumjer osnove stošca, L je dužina generatrise stošca.

Volumen lopte.
V = 4 / 3 * pi * R 3
Gde je V zapremina lopte, R je poluprečnik lopte.

Volumen cilindra.
V = pi * R 2 * H
Gde je V zapremina cilindra, R je poluprečnik osnove cilindra, H je visina cilindra.

Volumen konusa.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Gde je V zapremina konusa, R je poluprečnik osnove stošca, L je dužina generatrise stošca, A je ugao na vrhu konusa.

Objavljeno: 15.01.13
Ažurirano: 15.11.14
Ukupno pregleda: 10742
danas: 1

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Egor
Žicu na terminalima akumulatora Krona možete pričvrstiti cijevi odsječenom od poklopca medicinske igle.

Danas je rođendan broja Pi koji se, na inicijativu američkih matematičara, slavi 14. marta u 1 sat i 59 minuta popodne. To je zbog tačnije vrijednosti Pi: svi smo navikli da ovu konstantu računamo kao 3,14, ali broj se može nastaviti ovako: 3, 14159... Prevodeći ovo u kalendarski datum, dobijamo 03.14, 1: 59.

Foto: AIF / Nadežda Uvarova

Vladimir Zaljapin, profesor na Katedri za matematičku i funkcionalnu analizu na Južno-uralskom državnom univerzitetu, kaže da 22. jul i dalje treba smatrati „danom pi“, jer se u evropskom formatu datuma ovaj dan piše kao 22/7, a vrijednost ovaj razlomak je približno jednak vrijednosti Pi.

„Istorija broja koji daje odnos obima kruga i prečnika kruga seže u davna vremena“, kaže Zaljapin. — Sumerani i Babilonci su već znali da ovaj odnos ne zavisi od prečnika kruga i da je konstantan. Jedno od prvih pominjanja broja Pi nalazi se u tekstovima Egipatski pisar Ahmes(oko 1650. pne). Stari Grci, koji su mnogo posudili od Egipćana, doprinijeli su razvoju ove misteriozne količine. Prema legendi, Arhimed bio toliko zanesen proračunima da nije primijetio kako su ga rimski vojnici odveli rodni grad Syracuse. Kada mu je prišao rimski vojnik, Arhimed je viknuo na grčkom: "Ne diraj moje krugove!" Kao odgovor, vojnik ga je ubo mačem.

Platon dobio je prilično tačnu vrijednost pi za svoje vrijeme - 3.146. Ludolf van Zeilen potrošeno većina njegovog života na proračunima prvih 36 cifara nakon decimalnog zareza broja pi, a oni su urezani na njegovu nadgrobnu ploču nakon smrti.

Iracionalno i nenormalno

Prema riječima profesora, u svakom trenutku težnja za izračunavanjem novih decimalnih mjesta bila je određena željom da se dobije tačna vrijednost ovog broja. Pretpostavljalo se da je broj Pi racionalan i da se stoga može izraziti kao prosti razlomak. A ovo je fundamentalno pogrešno!

Pi je takođe popularan jer je mističan. Od davnina postoji religija obožavatelja konstante. Osim tradicionalno značenje Pi - matematička konstanta (3,1415 ...), koja izražava omjer obima kruga i njegovog promjera, postoji puno drugih vrijednosti broja. Takve činjenice su radoznale. U procesu mjerenja dimenzija Velika piramida u Gizi se ispostavilo da ima isti odnos visine prema obodu svoje osnove kao poluprečnik kruga i dužine, odnosno ½ pi.

Ako izračunamo dužinu Zemljinog ekvatora koristeći Pi na devetu decimalu, greška proračuna je samo oko 6 mm. Trideset devet decimalnih mjesta u broju Pi je dovoljno da se izračuna obim kruga koji okružuje poznatu svemirski objekti u Univerzumu, sa greškom ne većom od poluprečnika atoma vodika!

Proučavanjem Pi se, između ostalog, bavi matematička analiza. Foto: AIF / Nadežda Uvarova

Haos u brojkama

Prema rečima profesora matematike, 1767 Lambert utvrdio iracionalnost broja Pi, odnosno nemogućnost da se on predstavi kao omjer dva cijela broja. To znači da je niz decimalnih cifara broja pi haos oličen u brojevima. Drugim riječima, "rep" decimalnih mjesta sadrži bilo koji broj, bilo koji niz brojeva, sve tekstove koji su bili, jesu i biće, ali tu informaciju nije moguće izdvojiti!

„Nemoguće je znati tačnu vrednost Pi“, nastavlja Vladimir Iljič. Ali ti pokušaji se ne odustaju. Godine 1991 Chudnovsky postigao novih 2260000000 decimalnih cifara konstante, a 1994. godine - 4044000000. Nakon toga, broj tačnih cifara broja Pi se povećao poput lavine.

Kinez drži svjetski rekord u pamćenju broja pi Liu Chao, koji je uspio zapamtiti 67890 decimalnih mjesta bez greške i reproducirati ih u roku od 24 sata i 4 minute.

O "zlatnom preseku"

Inače, veza između "pi" i još jedne nevjerovatne veličine - zlatnog omjera - zapravo nije dokazana. Ljudi su odavno primetili da se „zlatna“ proporcija – to je takođe Phi broj – i broj Pi podeljen sa dva razlikuju jedan od drugog za manje od 3% (1,61803398... i 1,57079632...). Međutim, za matematiku, ova tri posto su previše značajna razlika da bismo te vrijednosti smatrali identičnim. Na isti način možemo reći da su broj Pi i broj Phi srodnici druge poznate konstante - Eulerovog broja, jer je njegov korijen blizu polovine broja Pi. Jedna sekunda Pi je 1,5708, Phi je 1,6180, korijen E je 1,6487.

Ovo je samo dio značenja Pi. Fotografija: Screenshot

Pijev rođendan

Na južnom Uralu državni univerzitet Konstantov rođendan slave svi nastavnici i učenici matematike. Oduvijek je bilo tako - ne može se reći da se interesovanje pojavilo samo za poslednjih godina. Broj 3.14 čak je dočekan i posebnim prazničnim koncertom!

Ovaj članak je prikupljen tablice sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Prvo dajemo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, odnosno tablicu sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa uglova 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stepeni ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radijan). Nakon toga dat ćemo tablicu sinusa i kosinusa, kao i tablicu tangenta i kotangensa V. M. Bradisa i pokazati kako koristiti ove tablice pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Navigacija po stranici.

Tabela sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove 0, 30, 45, 60, 90, ... stepeni

Bibliografija.

• algebra: Proc. za 9 ćelija. avg. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
• Bradis V. M.Četvorocifrene matematičke tabele: Za opšte obrazovanje. udžbenik ustanove. - 2nd ed. - M.: Drfa, 1999.- 96 str.: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2