Kako izraziti broj iz eksponenta. Ekstremi, povećanje, smanjenje

Funkcija EXP u Excelu se koristi za povećanje Eulerovog broja (konstanta e, koja je približno jednaka 2,718) na specificirani stepen i vraća odgovarajuću numeričku vrijednost.

Primjeri EXP funkcija u Excelu

Deponentu banke su ponuđene dvije opcije depozita:

Depozit sa godišnjom stopom od 16% i mjesečnom kapitalizacijom.
Depozit kontinuirane kapitalizacije (broj perioda kapitalizacije - beskonačan skup tokom trajanja ugovora o depozitu) sa godišnjom stopom od 16%.

Koja ponuda je isplativija? Iznos depozita je 50.000 rubalja, rok trajanja ugovora je 5 godina.

Pogled na tabelu originalnih podataka:

Formula za izračunavanje buduće vrijednosti depozita za prvu verziju ugovora o depozitu:

BS(B3/B4;B4*B5;0;-B6)

U drugom slučaju, upotreba velikih slova se odvija kontinuirano, tako da možete koristiti sljedeću funkciju:

Opis argumenata:

C3 - godišnja stopa;
C5 – rok trajanja ugovora;
C6 je početni iznos depozita.

Rezultati:

Opcija sa kontinuiranim rastom kapitalizacije je isplativija.

Proračun stope diobe ćelija tkiva u Excelu

AT početni trenutak vreme je postojala samo jedna ćelija žive materije. Svakih 5 minuta takva ćelija se dijeli na 2 identične ćelije. Odredite koliko ćelija tkiva se formira za 0,5 sati, 1,5 sat ili dan?

Originalna tabela izgleda ovako:

Za izračunavanje koristimo formulu niza:

EXP(A3*C3:C5/B3)

Opis argumenata:

A3 - povećanje broja ćelija (100%, odnosno rezultat diobe jedne ćelije su dvije nove ćelije);
C3:C5/B3 - periodi označeni uslovom, podijeljeni sa životnim vijekom ćelije do kraja procesa podjele.

Rezultati:

Vrijednost 1,E+125 je ekvivalentna 10 25 .

Brzina smanjenja mase radioaktivne supstance tokom vremena

Količina radioaktivna supstanca prepolovio za šest meseci. Koliko će supstanca težiti nakon 2 godine ako je početna masa bila 18 kg.

Pogled na originalni sto:

Formula za obračun:

B5*EXP(B2*B4/B3)

Opis argumenata:

B5 je početna masa supstance;
B2 - rast ( negativno značenje, budući da se količina supstance smanjuje);
B4 / B3 - broj perioda za koje se javlja poluživot.

Rezultat izračuna:

Nakon 2 godine, od 18 kg ostat će samo oko 330 g.

Značajke korištenja funkcije EXP u Excelu

Funkcija EXP ima sljedeću sintaksnu notaciju:

EXP(broj)

Jedini i obavezan argument je broj , koji karakterizira brojčanu vrijednost eksponenta na koji je potrebno podići konstantu e.

Napomene 1:

Funkcije LN i EXP su suprotne jedna drugoj u vraćenom rezultatu. Logaritam označava snagu na koju se baza mora podići (u slučaju prirodnog logaritam lnx eksponent je oko 2,718) da biste dobili x eksponent. Funkcija EXP određuje eksponent x.
Broj argument može biti bilo koji broj u rasponu realni brojevi(cijeli i razlomak negativni, pozitivne vrijednosti i 0). Rezultat izvršavanja =EXP(0) je 1.
Logičke vrijednosti TRUE i FALSE mogu se proslijediti kao argument u EXP i automatski će se konvertirati u numeričke vrijednosti 1 i 0.
Ako je broj proslijeđen kao argument koji se ne može pretvoriti u numerička vrijednost ime ili tekstualni niz, funkcija EXP će vratiti kod greške #VRIJEDNOST!.
Funkcija se može koristiti kao formula niza.

Napomene 2:

Kao što znate, broj e je pokazatelj stepena prirodnog logaritma, koji se piše, na primjer, ovako: ln10, odnosno logaritam sa osnovom 2,718 od 10. Sam broj e je indikator rasta za bilo koji proces čije se zavisne veličine kontinuirano mijenjaju sa promjenom nezavisnih. Primjeri uključuju procese kao što je podjela živih stanica tijela (nakon određenog vremenskog perioda, jedna ćelija se dijeli na dvije, zatim se svaka od ove dvije dijeli na još dvije, i tako dalje) ili raspadanje radioaktivnih supstanci (znajući koeficijent raspada, možete saznati koliko je radioaktivne materije razbijeno na jednostavnije elemente.
Broj e se koristi za aproksimaciju (kreiranje pojednostavljenog modela) sistema čije se vrijednosti neravnomjerno mijenjaju.
Da bismo razumeli fizičko značenje broja e, razmotrimo proces rasta kapitalnih ulaganja u banci. Na primjer, banka je ponudila 100% povećanje kapitala na kraju godine određenom periodu npr. 12 mjeseci. Odnosno, profit investitora će se udvostručiti. Pretpostavimo da je proces rasta kapitala kontinuiran tokom cijele godine. Zatim, za izračunavanje iznosa kapitala nakon 6 mjeseci, možete koristiti formulu R=(1+100%/2) 2 , gdje je R rast kapitala, 2 je broj poluperioda rasta. Ako odlučimo da odredimo rast za 4 mjeseca, formula će imati oblik R=(1+100%/3) 3 , za 3 mjeseca - R=(1+100%/4) 4, itd. opšti slučaj imamo formulu R=(1+100%/x) x . Ako x→∞ (ide u beskonačnost) R (rast) će biti 2,718. Iz ovoga proizilazi da maksimalni mogući rast od 100% u najmanjem vremenskom periodu ne može preći vrijednost od 2,718, što je broj e (Eulerov broj). U opštem slučaju, bilo koji rast se može izraziti formulom R = e p * t, gdje je p povećanje vrijednosti (na primjer, ne 100%, kao u primjerima koji su gore razmatrani, već 30%, odnosno 0,3 ), a t je vrijeme (na primjer, ako je ugovor o depozitu dizajniran na 5 godina, tada je t=5). Zatim, za izračunavanje u Excel-u, dovoljno je uneti formulu = EXP (0,3 * 5).

Inženjerski kalkulator online

Požurimo da svima predstavimo besplatno inženjerski kalkulator. Uz njegovu pomoć, svaki učenik može brzo i, što je najvažnije, lako izvesti razne vrste matematičkih proračuna online.

Kalkulator je preuzet sa stranice - web 2.0 naučni kalkulator

Jednostavan i lak za korištenje inženjerski kalkulator s nenametljivim i intuitivnim sučeljem zaista će biti koristan najširem krugu korisnika Interneta. Sada, kada vam zatreba kalkulator, posjetite našu web stranicu i koristite besplatni inženjerski kalkulator.

Inženjerski kalkulator može biti jednostavan aritmetičke operacije, kao i prilično složeni matematički proračuni.

Web20calc je inženjerski kalkulator koji ima velika količina funkcionira, na primjer, kao proračun svih elementarne funkcije. Kalkulator takođe podržava trigonometrijske funkcije, matrice, logaritmi, pa čak i crtanje.

Bez sumnje, Web20calc će biti od interesa za grupu ljudi koji traže jednostavna rješenja sve više dobija tražilice upit: matematika online kalkulator. Besplatna web aplikacija pomoći će vam da odmah izračunate rezultat bilo kojeg matematičkog izraza, na primjer, oduzmete, saberete, podijelite, izdvojite korijen, povećate na stepen itd.

U izrazu možete koristiti operacije stepenovanja, sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, postotka, PI konstante. Za složene proračune treba koristiti zagrade.

Karakteristike inženjerskog kalkulatora:

1. osnovne aritmetičke operacije;
2. rad sa brojevima u standardnom obliku;
3. obračun trigonometrijski korijeni, funkcije, logaritmi, eksponencijacija;
4. statistički proračuni: zbrajanje, aritmetička sredina ili standardna devijacija;
5. primjena memorijske ćelije i korisničkih funkcija 2 varijable;
6. rad sa uglovima u radijanskim i stepenskim mjerama.

Inženjerski kalkulator omogućava korištenje raznih matematičkih funkcija:

Vađenje korijena (kvadratni korijen, kubni korijen, kao i korijen n-tog stepena);
ex (e do x stepen), eksponent;
trigonometrijske funkcije: sinus - sin, kosinus - cos, tangent - tan;
inverzne trigonometrijske funkcije: arksinus - sin-1, arkosinus - cos-1, arktangens - tan-1;
hiperboličke funkcije: sinus - sinh, kosinus - koš, tangent - tanh;
logaritmi: osnova dva binarni logaritam - log2x, decimalni logaritam osnova deset - balvan, prirodni logaritam–ln.

Ovaj inženjerski kalkulator uključuje i kalkulator konverzije fizičke veličine za razni sistemi mjerenja - kompjuterske jedinice, udaljenost, težina, vrijeme itd. Pomoću ove funkcije možete odmah pretvoriti milje u kilometre, funte u kilograme, sekunde u sate itd.

Da biste izvršili matematičke proračune, prvo unesite niz matematičkih izraza u odgovarajuće polje, zatim kliknite na znak jednakosti i pogledajte rezultat. Vrijednosti možete unijeti direktno s tastature (za to područje kalkulatora mora biti aktivno, stoga će biti korisno staviti kursor u polje za unos). Između ostalog, podaci se mogu unositi pomoću dugmadi samog kalkulatora.

Da biste napravili grafikone u polju za unos, napišite funkciju kao što je navedeno u polju za primjer ili koristite traku s alatima posebno dizajniranu za to (da biste otišli na nju, kliknite na dugme sa ikonom u obliku grafikona). Za konvertovanje vrijednosti pritisnite Jedinica, za rad sa matricama - Matrix.

Eksponent (broj e) - iracionalan broj, približno jednako 2,71828. Broj e igra veliku ulogu u diferencijalu i integralni račun i koristi se u skoro svim naučne oblasti. Tako suvo matematička definicija ne otkriva suštinu fizičkog čula izlagači. Razmotrimo detaljnije.

Značenje broja e

Broj Pi nije samo iracionalan broj jednak 3,1415, već omjer obima i prečnika koji je isti za sve slučajeve. Slično tome, broj e ima svoje značenje.

Eksponent je osnovni omjer rasta za sve procese rasta. Bilo koji broj se može smatrati skaliranom jedinicom, svaki kvadrat kao skalirani jedinični kvadrat, bilo koji jednakostranični trougao- kao uvećane ili smanjene pravougaonog trougla, ali bilo koji faktor rasta može se predstaviti kao skalirani faktor e.

Operacije na broju e će vam dati mogućnost da odredite stopu rasta u situacijama kao što su rast stanovništva, kamata na depozit ili poluživot radioaktivne supstance.

Diskretni rast

Osnovni primjer kontinuiranog sistema udvostručavanja je umnožavanje bakterija koje se udvostručuje svaki dan. Ako se udvostručenje dogodi jednom, onda matematički dobijamo 2 na prvi stepen, odnosno samo 2. Ako se udvostruči x puta, onda na kraju dobijemo 2 na x potenciju bakterija, novca ili bilo kojeg drugog dobra.

Međutim, sistem se možda neće promijeniti za 2 puta, već na primjer za 20% ili 120%. U ovom slučaju, udvostručenje možemo predstaviti ne kao dvojku, već kao 1 + 1 ili 1 + 100%. U takvom zapisu možemo zamijeniti bilo koji faktor rasta i dobiti formulu rasta kao:

Rast \u003d (1 + rast) x,

gdje je x broj ciklusa rasta.

Zahvaljujući ovoj formuli možemo saznati koliko ćemo bakterija dobiti iz jedne ćelije nakon 30 dana. Međutim, bakterije se dijele diskretno, odnosno dok se nova stanica ne formira u roku od jednog dana, neće moći proizvesti nove organizme. Primjenjujući ovu formulu na novac, dobivamo potpuno drugačiji rezultat.

Kontinuirani rast

Prilikom obračuna kamate na novac ne postoji diskretno, ali kontinuirani rast. Čim se na depozitu nakupi dobit u iznosu od nekoliko penija, ovaj novac počinje donositi vlastiti profit. Nema potrebe čekati da se "rodi" cijeli dolar koji se počne dijeliti poput bakterija. Dovoljno je formirati cent, koji će početi stvarati svoje mikroprofite.

Zamislimo da smo uložili 1 dolar u posao koji nam obećava 100% profita za godinu dana. To znači da ćemo dobiti povećanje:

Prihod = (1 + 1) 1 = 2

Samo 2$ - rijetko. Međutim, ako godinu podijelimo na dvije polugodišta, onda dobijemo 50 centi za svako polugodište. Primljeni centi već mogu sami generirati profit, a onda će se formula promijeniti.

Prihod = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Pošto sada imamo dva perioda udvostručenja, kvadrirali smo povećanje i imamo dodatnih 25 centi prihoda. Ako svoj profit razbijemo na 5 dijelova od 20 centi, ispast će još privlačnije:

Prihod = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Možda možemo dijeliti dobit na neodređeno vrijeme veliki broj sitni dijelovi i dobiti beskonačan profit? Nažalost nema. Čak i ako podijelimo naš dolar na 100.000 dijelova, prihod je:

Prihod = (1 + 0,00001) 100,000 = 2,71826

Uz beskonačno dijeljenje dolara, profit će se povećati za sto hiljaditi dio nakon decimalnog zareza. Naš profit od 2,71826 dolara će težiti ka 2,718281828, što nije ništa drugo do broj E.

I šta sve to znači

Eksponent je najveći mogući rezultat 100% kontinuiranog rasta u određenom vremenskom periodu. Da, u početku nam je obećan 100% profita, odnosno samo 2$, ali svaki cent donosi svoje dividende i kao rezultat imamo tačno 2,71828$ profita. Broj e je maksimum koji možemo dobiti dijeljenjem dobiti na sume beskonačno malih vrijednosti.

To znači da ako, sa potencijalnim povratom od 100%, uložimo 1 USD u posao, dobićemo 2,718 USD neto dobiti. Ako je $2, onda ćemo dobiti 2x neto profit, a ako $100, onda će naš profit biti 100x. Dakle, e je granična konstanta koja ograničava procese rasta na isti način na koji brzina svjetlosti ograničava kretanje informacija u prostoru. Broj e je maksimalni mogući rezultat, koji je teško postići u praksi, stoga se u stvarnosti mnogi procesi opisuju pomoću dijelova eksponenta.

Korištenje eksponenta u praksi

Na prvi pogled, rast je prikazan kao dodatak od 1%, međutim, matematički, takav porast se izražava kao množenje sa 1,01. Dakle, u operacijama sa brojem e koristimo stepene ili korijene. Ili prirodni logaritmi, ako nam je potrebna inverzna operacija. Koju god stopu rasta da uzmemo, to će značiti potenciju za broj e. Na primjer, ako znamo da ćemo u roku od 3 godine ostvariti profit od 200%, onda jednostavno pomnožimo rast (e 2) sa 3 perioda i dobijemo :

Visina = (e 3) 2 \u003d e 6

Za bolje razumijevanje pogledajmo primjere.

Bankovni depozit

Recimo da smo deponovali 100$ u banku po godišnjoj stopi od 8%. Odabrana banka nam nudi punu kapitalizaciju kamate, koliku dobit ćemo dobiti za 5 godina? S obzirom da nam banka obezbjeđuje kontinuirani rast novca, za 5 godina naš račun će već imati:

Dobit = 100 × e (0,08 × 5) = 149,1

Neverovatno, zar ne? Nažalost, prave banke rijetko koriste složena kamata, a ako računaju kapitalizaciju, onda prema vlastitim formulama, koje se donekle razlikuju od klasičnog eksponenta.

Poluživot

Zamislite da imate 5 kg radioaktivnog uranijuma, koji se raspada stopom od 100% godišnje. Koliko će vam uranijuma ostati nakon 2 godine? U teoriji, sav uranijum bi se trebao raspasti u prvoj godini, ali to nije tako. Nakon 6 mjeseci, ostat će vam samo 2,5 kg uranijuma, koji će zauzvrat početi da se raspada brzinom od samo 2,5 kg godišnje. Za još par mjeseci, 1 kg uranijuma će ostati u vašem skladištu, ali će se i raspadati sa više sporija brzina na nivou od 1 kg godišnje. Vremenom gubite radioaktivno gorivo, a brzina raspada se takođe smanjuje. Dakle, nakon 2 godine ćete imati:

Radioaktivni ostatak = 5 × e −2 = 0,676

Zaključak

Eksponent ima široku upotrebu u situacijama kada nešto raste kontinuirano ili diskretno. Možete koristiti kalkulator eksponencijalnog e za izračunavanje rezultata rasta bilo kojeg kontinuiranog procesa.

y (x) = e x, čiji je izvod jednak samoj funkciji.

Eksponent je označen kao , ili .

e broj

Osnova stepena eksponenta je e broj. Ovo je iracionalan broj. To je približno jednako
e ≈ 2,718281828459045...

Broj e je određen kroz granicu niza. Ova tzv druga divna granica:
.

Takođe, broj e se može predstaviti kao niz:
.

Shema izlagača

Grafikon eksponenta, y = e x .

Grafikon prikazuje eksponent, e u meri u kojoj X.
y (x) = e x
Grafikon pokazuje da eksponent monotono raste.

Formule

Osnovne formule su iste kao za eksponencijalna funkcija sa bazom e.

;
;
;

Izraz eksponencijalne funkcije sa proizvoljnom bazom stepena a kroz eksponent:
.

Privatne vrijednosti

Neka y (x) = e x. Onda
.

Svojstva eksponenta

Eksponent ima svojstva eksponencijalne funkcije sa osnovom stepena e > 1 .

Domen definicije, skup vrijednosti

Eksponent y (x) = e x definisano za sve x .
Njegov obim je:
- ∞ < x + ∞ .
Njegov skup značenja:
0 < y < + ∞ .

Ekstremi, povećanje, smanjenje

Eksponent je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tabeli.

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost eksponenta je prirodni logaritam.
;
.

Derivat eksponenta

Derivat e u meri u kojoj X je jednako e u meri u kojoj X :
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Integral

Kompleksni brojevi

Radnje sa kompleksni brojevi sprovedeno kroz Eulerove formule:
,
gdje je imaginarna jedinica:
.

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

; ;
.

Izrazi u terminima trigonometrijskih funkcija

; ;
;
.

Proširenje serije snaga

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.