Logaritam 8 prema bazi 4 je jednak. Osnovni logaritamski identitet

Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći stepen na koji morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

Logaritam bazi a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Notacija: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Mogao bi i logirati 2 64 = 6 jer je 2 6 = 64 .

Operacija pronalaženja logaritma broja na datu bazu naziva se logaritam. Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, svi logaritmi se ne razmatraju tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем više stepena dva, to će broj biti veći.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (bazom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova i gdje je argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je snaga, na koju morate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na stepen - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom času - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje da naučimo kako računati logaritme, tj. oslobodite se znaka "log". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

Argument i razlog uvijek moraju biti Iznad nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena racionalni indikator, na koji se svodi definicija logaritma.
Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu i dalje jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju području dozvoljene vrijednosti (ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d -1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, za sada samo razmatramo numeričke izraze, pri čemu nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednačine i nejednakosti uđu u igru, DHS zahtjevi će postati obavezni. Zaista, u osnovi i argumentu mogu biti vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmislite opšta šema logaritamski proračuni. Sastoji se od tri koraka:

Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
Riješite jednačinu za varijablu b: x = a b ;
Rezultirajući broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Slično i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednačinu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

Predstavimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne uzima u obzir;
Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena za posljednji primjer. Kako se uvjeriti da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga proširite primarni faktori. Ako postoje najmanje dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.

Zadatak. Saznajte da li su tačne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije tačan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tačan stepen;
35 = 7 5 - opet nije tačan stepen;
14 \u003d 7 2 - opet nije tačan stepen;

Takođe napominjemo da mi primarni brojevi su uvek tačne moći same sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam osnove 10, tj. stepen na koji trebate podići broj 10 da biste dobili broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. to decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U određenom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Radi se o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam osnove e, tj. stepen na koji se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: šta je još broj e? to iracionalan broj, njegova tačna vrijednost se ne može pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...

Nećemo se upuštati u to šta je ovaj broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Dakle, ln e = 1; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalno. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodni logaritmi sva pravila koja vrijede za obične logaritme vrijede.

Šta je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe sa logaritmima.

Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete? Dobro. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti šta je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednačine. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za to ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na stepen ...

Osećam da sumnjaš... Pa, zadrži vreme! Idi!

Prvo u umu riješite sljedeću jednačinu:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

\(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)

Hajde da to lakše objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednak stepenu, na koji se \(2\) mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

primjeri:	\(\log_(5)(25)=2\)	jer \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	jer \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma se obično piše na njegovom nivou, a baza se upisuje u indeksu bliže predznaku logaritma. I ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet do osnove od pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: do kojeg stepena treba podići bazu da biste dobili argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koji stepen treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očigledno drugi. Zbog toga:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? I koji stepen čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobio \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stepenu jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koji stepen treba podići \(3\) da bi se dobio \(\sqrt(3)\)? Odatle znamo šta je razlomni stepen, što znači Kvadratni korijen je stepen \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada koristimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Strelica ulevo\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Koje veze \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Na lijevoj strani koristimo svojstva stepena: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Osnove su jednake, prelazimo na jednakost indikatora
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe sa \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednačinu: \(3^(x)=9\). Samo uparite \(x\) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednačinu: \(3^(x)=8\). jednako x? To je poenta.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako tačno napisati ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim da naglasim da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratak. Jer ako bismo to htjeli napisati u formi decimalni razlomak, tada bi to izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednačinu \(4^(5x-4)=10\)

Rješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) se ne mogu svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Koristimo definiciju logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude lijevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Pred nama. Pomaknite \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao normalan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednačinu sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koja pozitivan broj, osim jedinice \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama, postoje dvije koje se tako često javljaju da je izmišljen poseban kratki zapis za logaritme s njima:

Prirodni logaritam: logaritam čija je osnova Ojlerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Glavni logaritamski identitet' i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo slijedi direktno iz definicije. Pogledajmo kako je nastala ova formula.

Podsjetimo se kratka napomena definicije logaritma:

ako je \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)

To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Rješenje :

Odgovori : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. I obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Slično sa \(\log_(5)(25)\), i sa \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispostavilo se

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Dakle, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam sa bilo kojom osnovom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak iu izrazu, čak i u nejednakosti) - samo napišemo kvadratnu bazu kao argument.

Isto je i sa trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I sa jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam sa bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rješenje :

Odgovori : \(1\)

Kao što znate, kada se množe izrazi sa potencijama, njihovi eksponenti se uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih indikatora. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno sabiranje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, odnosno logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" prema njegovoj osnovici "a" smatra se potencijom "c" ", na koji je potrebno podići osnovicu "a", tako da se na kraju dobije vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stepen da od 2 do traženog stepena dobijete 8. Nakon nekoliko proračuna u svom umu, dobili smo broj 3! I s pravom, jer 2 na stepen od 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali u stvari, logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Ima ih tri određene vrste logaritamski izrazi:

Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
Decimala a, gdje je osnova 10.
Logaritam bilo kojeg broja b prema osnovici a>1.

Svako od njih je odlučeno na standardan način, što uključuje pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, ne možete dijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti korijen čak stepen od negativni brojevi. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti kako raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da "c" mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dobio je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je lako, potrebno je odabrati takvu snagu, podižući broj deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.

Sada ćemo predstaviti ovaj izraz kao logaritamski. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje praktično konvergiraju ka pronalaženju stepena do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, za velike vrijednosti treba ti tabela stepeni. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne razumiju ništa u kompleksu matematičke teme. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c, na koji se podiže broj a. Na raskrsnici u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednačina. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 pišemo kao logaritam, dobijamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jeste logaritamska nejednakost, pošto je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u osnovi dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednačina i nejednačina je ta što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih numeričke vrijednosti, dok se pri rješavanju nejednakosti određuju i raspon dopuštenih vrijednosti i tačke diskontinuiteta ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sve osnovna svojstva logaritmi. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednačina, hajde da prvo analiziramo svako svojstvo detaljnije.

Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
Logaritam proizvoda se može predstaviti u sljedećoj formuli: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepena ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema u obliku formule stiče se sljedeći pogled: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stepena logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i to nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na redovnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Ako oba dijela podignete na stepen m: a tn = b n ;

ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obavezni dio ispita iz matematike. Za upis na fakultet ili polaganje prijemni ispiti u matematici, morate znati kako pravilno rješavati takve probleme.

Nažalost, jedan plan ili šema za rješavanje i utvrđivanje nepoznata vrijednost ne postoji logaritam, međutim, određena pravila se mogu primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opšti pogled. Pojednostavite dugo logaritamski izrazi Možete, ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom odlučivanja logaritamske jednačine, potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da trebate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodnih logaritama moraju se primijeniti logaritamski identiteti ili njihova svojstva. Pogledajmo rješenje s primjerima. logaritamski problemi drugačiji tip.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliki značaj brojevi b za više primarni faktori. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci sa ispita

Logaritmi se često nalaze u prijemni ispiti, posebno puno logaritamskih problema na ispitu ( Državni ispit za sve maturante srednje škole). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši test dio ispit), ali i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva tačno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su od zvaničnika KORISTI opcije. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
Svi izrazi pod znakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.