Движение с постоянным ускорением графики. Движение с постоянным ускорением по прямой линии

Положение тел относительно выбранной системы координат принято характеризовать радиусом-вектором , зависящим от времени. Тогда положение тела в пространстве в любой момент времени можно найти по формуле:

.

(Напомним, что в этом и заключается основная задача механики.)

Среди множества различных видов движения самым простым является равномерное – движение с постоянной скоростью (нулевым ускорением), причем неизменным должен оставаться вектор скорости (). Очевидно, что такое движение может быть только прямолинейным. Именно при равномерном движении перемещение вычисляется по формуле:

Иногда тело движется по криволинейной траектории так, что модуль скорости остается постоянным () (такое движение нельзя назвать равномерным и к нему нельзя применить формулу). В этом случае пройденный путь может быть вычислен по простой формуле:

Примером такого движения является движение по окружности с постоянной по модулю скоростью .

Более сложным является равноускоренное движение – движение с постоянным ускорением (). Для такого движения справедливы две формулы кинематики:

из которых можно получить две дополнительные формулы, которые часто могут быть полезны при решении задач:

;

Равноускоренное движение не обязательно должно быть прямолинейным. Необходимо лишь, чтобы вектор ускорения оставался постоянным. Примером равноускоренного, но не всегда прямолинейного движения, является движение с ускорением свободного падения (g = 9,81 м/с 2), направленным вертикально вниз.

Из школьного курса физики знакомо и более сложное движение – гармонические колебания маятника, для которого формулы – не справедливы.

При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью оно движется с так называемым нормальным (центростремительным ) ускорением

направленным к центру окружности и перпендикулярным скорости движения.

В более общем случае движения по криволинейной траектории с меняющейся скоростью ускорение тела можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие и представить в виде суммы тангенциального (касательного) и нормального (перпендикулярного, центростремительного) ускорения:

,

где – орт вектора скорости и орт нормали к траектории; R – радиус кривизны траектории.

Движение тел всегда описывается относительно какой-либо системы отсчета (СО). При решении задач необходимо выбрать наиболее удобную СО. Для поступательно движущихся СО формула

позволяет легко переходить от одной СО к другой. В формуле – скорость тела относительно одной СО; – скорость тела относительно второй СО; – скорость второй СО относительно первой.

Вопросы для самопроверки и задачи

1) Модель материальной точки: в чем ее суть и смысл?

2) Сформулируйте определение равномерного, равноускоренного движения.

3) Сформулируйте определения основных кинематических величин (радиуса-вектора, перемещения, скорости, ускорения, тангенциального и нормального ускорения).

4) Напишите формулы кинематики равноускоренного движения, выведите их.

5) Сформулируйте принцип относительности Галилея.

2.1.1. Прямолинейное движение

Задача 22. (1) Автомобиль движется по прямолинейному участку дороги с постоянной скоростью 90 . Найти перемещение автомобиля за 3,3 мин и его положение в этот же момент времени, если в начальный момент времени автомобиль находился в точке, координата которой равна 12,23 км, а ось Ox направлена 1) вдоль движения автомобиля; 2) против движения автомобиля.

Задача 23. (1) Велосипедист движется по загородной дороге на север со скоростью 12 в течение 8,5 мин, затем он, свернув направо на перекрестке, проехал еще 4,5 км. Найти перемещение велосипедиста за время его движения.

Задача 24. (1) Конькобежец движется прямолинейно с ускорением 2,6 , и за 5,3 с его скорость увеличилась до 18 . Найти начальное значение скорости конькобежца. Какое расстояние пробежит спортсмен за это время?

Задача 25. (1) Автомобиль движется прямолинейно, притормаживая перед знаком ограничения скорости 40 с ускорением 2,3 Сколько времени длилось такое движение, если перед началом торможения скорость автомобиля была равна 70 ? На каком расстоянии от знака водитель начал тормозить?

Задача 26. (1) С каким ускорением движется поезд, если на пути 1200 м его скорость возросла от 10 до 20 ? Сколько времени затратил поезд на этот путь?

Задача 27. (1) Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Какова была начальная скорость тела? На какой максимальной высоте оно побывало?

Задача 28. (2) Тело на веревке поднимают с поверхности земли с ускорением 2,7 м/с 2 вертикально вверх из состояния покоя. Через 5,8 с веревка оборвалась. Сколько времени двигалось тело до земли после того, как оборвалась веревка? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 29. (2) Тело начинает двигаться без начальной скорости с ускорением 2,4 Определить путь, пройденный телом за первые 16 с от начала движения, и путь, пройденный за последующие 16 с. С какой средней скоростью двигалось тело эти 32 с?

2.1.2. Равноускоренное движение в плоскости

Задача 30. (1) Баскетболист бросает мяч в кольцо со скоростью 8,5 под углом 63 о к горизонту. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если долетел до него за 0,93 с?

Задача 31. (1) Баскетболист бросает мяч в кольцо. В момент броска мяч находится на высоте 2,05 м, а через 0,88 с падает в кольцо, расположенное на высоте 3,05 м. С какого расстояния от кольца (по горизонтали) произведен бросок, если мяч был брошен под углом 56 о к горизонту?

Задача 32. (2) Мяч брошен горизонтально со скоростью 13 , спустя некоторое время его скорость оказалась равной 18 . Найти перемещение мяча за это время. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 33. (2) Тело брошено под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью 17 м/с. Найти величину этого угла, если дальность полета тела в 4,3 раза больше максимальной высоты подъема.

Задача 34. (2) Бомбардировщик, пикирующий со скоростью 360 км/ч, сбрасывает бомбу с высоты 430 м, находясь по горизонтали на расстоянии 250 м от цели. Под каким углом должен пикировать бомбардировщик? На какой высоте окажется бомба спустя 2 с от начала падения? Какую скорость она будет иметь в этой точке?

Задача 35. (2) Самолет, летевший на высоте 2940 м со скоростью 410 км/ч, сбросил бомбу. За какое время до прохождения над целью и на каком расстоянии от нее самолет должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Найти модуль и направление скорости бомбы спустя 8,5 с от начала ее падения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 36. (2) Снаряд, выпущенный под углом 36,6 о к горизонту, дважды был на одной и той же высоте: спустя 13 и 66 с после вылета. Определить начальную скорость, максимальную высоту подъема и дальность полета снаряда. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.1.3. Движение по окружности

Задача 37. (2) Грузило, движущееся на леске по окружности с постоянным тангенциальным ускорением, к концу восьмого оборота имело скорость 6,4 м/с, а после 30 с движения его нормальное ускорение стало 92 м/с 2 . Найти радиус этой окружности.

Задача 38. (2) Мальчик, катающийся на карусели, движется при остановке карусели по окружности радиусом 9,5 м и проходит путь 8,8 м, имея в начале этой дуги скорость 3,6 м/с, а в конце – 1,4 м/с. Определить полное ускорение мальчика в начале и конце дуги, а также время его движения по этой дуге.

Задача 39. (2) Муха, сидящая на краю лопасти вентилятора, при его включении движется по окружности радиусом 32 см с постоянным тангенциальным ускорением 4,6 см/с 2 . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение будет вдвое больше тангенциального и чему будет равна линейная скорость мухи в этот момент времени? Сколько оборотов муха сделает за это время?

Задача 40. (2) При открывании двери ручка из состояния покоя движется по окружности радиусом 68 см с постоянным тангенциальным ускорением, равным 0,32 м/с 2 . Найти зависимость полного ускорения ручки от времени.

Задача 41. (3) Для экономии места въезд на один из высочайших в Японии мостов устроен в виде винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом 65 м. Полотно дороги составляет с горизонтальной плоскостью угол 4,8 о. Найти ускорение автомобиля, движущегося по этой дороге с постоянной по модулю скоростью, равной 85 км/ч?

2.1.4. Относительность движения

Задача 42. (2) Два корабля движутся относительно берегов со скоростью 9,00 и 12,0 узлов (1 узел = 0,514 м/с), направленной под углом 30 и 60 о к меридиану соответственно. С какой скоростью второй корабль движется относительно первого?

Задача 43. (3) Мальчик, который может плавать со скоростью, в 2,5 раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу мальчик должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки равна 190 м.

Задача 44. (3) Два тела одновременно начинают двигаться из одной точки в поле силы тяжести с одинаковой скоростью, равной 2,6 м/с. Скорость одного тела направлена под углом π/4, а другого – под углом –π/4 к горизонту. Определить относительную скорость этих тел через 2,9 с после начала их движения.

На данном уроке, тема которого: «Уравнение движения с постоянным ускорением. Поступательное движение», мы вспомним, что такое движение, каким оно бывает. Также вспомним, что такое ускорение, рассмотрим уравнение движения с постоянным ускорением и как им пользоваться для определения координаты движущегося тела. Рассмотрим пример задачи для закрепления материала.

Главная задача кинематики - определить положение тела в любой момент времени. Тело может покоиться, тогда его положение меняться не будет (см. рис. 1).

Рис. 1. Покоящееся тело

Тело может двигаться прямолинейно с постоянной скоростью. Тогда его перемещение будет изменяться равномерно, то есть одинаково за равные промежутки времени (см. рис. 2).

Рис. 2. Перемещение тела при движении с постоянной скоростью

Перемещение , скорость, умноженная на время, это мы давно умеем делать. Тело может двигаться с постоянным ускорением, рассмотрим такой случай (см. рис. 3).

Рис. 3. Движение тела с постоянным ускорением

Ускорение

Ускорение - это изменение скорости за единицу времени (см. рис. 4): Рис. 4. Ускорение Скорость - векторная величина, поэтому и изменение скорости, т. е. разность векторов конечной и начальной скорости, является вектором. Ускорение - тоже вектор, направленный туда же, куда и вектор разности скоростей (см. рис. 5). Мы рассматриваем прямолинейное движение, поэтому можно выбрать координатную ось вдоль прямой, вдоль которой происходит движение, и рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:

Тогда равномерно изменяется его скорость: (если его начальная скорость была равна нулю). Как теперь найти перемещение? Скорость умножить на время - нельзя : скорость постоянно менялась; какую брать? Как определить, где при таком движении будет находиться тело в любой момент времени - сегодня мы эту проблему решим.

Сразу определимся с моделью: мы рассматриваем прямолинейное поступательное движение тела. В таком случае можем применять модель материальной точки. Ускорение направлено вдоль той же прямой, вдоль которой материальная точка движется (см. рис. 6).

Поступательное движение

Поступательное движение - это такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково: с одинаковой скоростью, совершая одинаковое перемещение (см. рис. 7). Рис. 7. Поступательное движение А как еще может быть? Взмахните рукой и проследите: понятно, что ладонь и плечо двигались по-разному. Посмотрите на колесо обозрения: точки вблизи оси почти не движутся, а кабинки движутся с другой скоростью и по другим траекториям (см. рис. 8). Рис. 8. Движение выбранных точек на колесе обозрения Посмотрите на движущийся автомобиль: если не учитывать вращение колес и движение частей мотора, все точки автомобиля движутся одинаково, движение автомобиля считаем поступательным (см. рис. 9). Рис. 9. Движение автомобиля Тогда нет смысла описывать движение каждой точки, можно описать движение одной. Автомобиль считаем материальной точкой. Обратите внимание, что при поступательном движении линия, соединяющая любые две точки тела при движении, остается параллельной сама себе (см. рис. 10). Рис. 10. Положение линии, соединяющей две точки

Автомобиль ехал прямолинейно в течение часа. В начале часа его скорость была 10 км/ч, а в конце - 100 км/ч (см. рис. 11).

Рис. 11. Рисунок к задаче

Скорость изменялась равномерно. Сколько километров проехал автомобиль?

Проанализируем условие задачи.

Скорость автомобиля изменялась равномерно, то есть всё время пути его ускорение было постоянным. Ускорение по определению равно:

Автомобиль ехал прямолинейно, поэтому мы можем рассматривать его движение в проекции на одну ось координат:

Найдем перемещение.

Пример возрастающей скорости

На стол кладут орехи, по одному ореху в минуту. Понятно: сколько минут пройдет, столько орехов на столе окажется. А теперь представим, что скорость накладывания орехов равномерно возрастает с нуля: первую минуту орехов не кладут, во вторую кладут один орех, потом два, три и так далее. Сколько орехов окажется на столе через какое-то время? Понятно, что меньше, чем если бы максимальная скорость поддерживалась всегда. Причем хорошо видно, что меньше в 2 раза (см. рис. 12). Рис. 12. Количество орехов при разной их скорости выкладывании Так же и с равноускоренным движением: допустим, сначала скорость была равна нулю, в конце стала равна (см. рис. 13). Рис. 13. Изменение скорости Если бы тело постоянно двигалось с такой скоростью, его перемещение было бы равно , но поскольку скорость равномерно возрастала - то в 2 раза меньше.

Мы умеем находить перемещение при РАВНОМЕРНОМ движении: . Как обойти эту проблему? Если скорость изменяется не на много, то движение можно приближенно считать равномерным. Изменение скорости будет небольшим за небольшой интервал времени (см. рис. 14).

Рис. 14. Изменение скорости

Поэтому разобьем время в пути T на N небольших отрезков длительностью (см. рис. 15).

Рис. 15. Разбиение отрезка времени

Подсчитаем перемещение на каждом отрезке времени. Скорость прирастает на каждом интервале на:

На каждом отрезке мы будем считать движение равномерным и скорость приближенно равной начальной скорости на данном отрезке времени. Посмотрим, не приведет ли к ошибке наше приближение, если на небольшом промежутке движение будем считать равномерным. Максимальная ошибка будет равна:

и суммарная ошибка за всё время пути -> . При больших N принимаем ошибка близка к нулю. Это мы увидим и на графике (см. рис. 16): на каждом интервале будет ошибка, но суммарная ошибка при достаточно большом количестве интервалов будет пренебрежимо мала.

Рис. 16. Ошибка на интервалах

Итак, каждое следующее значение скорости на одну и ту же величину больше предыдущего. Из алгебры мы знаем, что это арифметическая прогрессия с разностью прогрессии :

Путь на участках (при равномерном прямолинейном движении (см. рис. 17) равен:

Рис. 17. Рассмотрение участков движения тела

На втором участке:

На n-м участке путь равен:

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Арифметическая прогрессия задается двумя параметрами: начальный член прогрессии и разность прогрессии . Тогда последовательность записывается так: Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Просуммируем все пути. Это будет сумма первых N членов арифметической прогрессии:

Т. к. мы разбили движение на много интервалов, то можно считать, что , тогда:

У нас было множество формул, и, чтобы не запутаться, мы не писали каждый раз индексы х, но рассматривали всё в проекции на координатную ось.

Итак, мы получили главную формулу равноускоренного движения: перемещение при равноускоренном движении за время T, которую мы наряду с определением ускорения (изменение скорости за единицу времени) будем использовать для решения задач:

Мы занимались решением задачи об автомобиле. Подставим в решение числа и получим ответ: автомобиль проехал 55,4 км.

Математическая часть решения задачи

С перемещением мы разобрались. А как определить координату тела в любой момент времени?

По определению перемещение тела за время - это вектор, начало которого находится в начальной точке движения, а конец - в конечной точке, в которой тело будет через время . Нам нужно найти координату тела, поэтому запишем выражение для проекции перемещения на ось координат (см. рис. 18):

Рис. 18. Проекция перемещения

Выразим координату :

То есть координата тела в момент времени равна начальной координате плюс проекция перемещения, которое совершило тело за время . Проекцию перемещения при равноускоренном движении мы уже нашли, осталось подставить и записать:

Это и есть уравнение движения с постоянным ускорением. Оно позволяет узнать координату движущейся материальной точки в любой момент времени. Понятно, что момент времени мы выбираем в пределах промежутка, когда работает модель: ускорение постоянное, движение прямолинейное.

Почему уравнение движения нельзя применять для нахождения пути

В каких случаях мы можем считать перемещение по модулю равным пути? Когда тело движется вдоль прямой и не меняет направления. Например, при равномерном прямолинейном движении мы не всегда четко оговариваем, путь мы находим или перемещение, всё равно они совпадают. При равноускоренном движении скорость изменяется. Если скорость и ускорение направлены в противоположные стороны (см. рис. 19), то модуль скорости убывает, и в какой-то момент он станет равен нулю и скорость поменяет направление, то есть тело начнет двигаться в противоположную сторону. Рис. 19. Модуль скорости убывает И тогда, если в данный момент времени тело находится на расстоянии 3 м от начала наблюдения, то его перемещение равно 3 м, но если тело сначала прошло 5 м, затем развернулось и прошло еще 2 м, то путь будет равен 7 м. И как же его найти, если не знать этих чисел? Просто надо найти момент, когда скорость равна нулю, то есть когда тело развернется, и найти путь к этой точке и от нее (см. рис. 20). Рис. 20. Момент, когда скорость равна 0

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
2. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики; т.1. Механика. Теплота. Молекулярная физика - М.: Издательство «Наука», 1985.

1. Интернет портал «kaf-fiz-1586.narod.ru» ()
2. Интернет портал «Учеба - Легко» ()
3. Интернет портал «Гипермаркет знаний» ()

Домашнее задание

1. Что такое арифметическая прогрессия?
2. Какое движение называется поступательным?
3. Чем характеризуется векторная величина?
4. Запишите формулу для ускорения через изменение скорости.
5. Какой вид имеет уравнение движения с постоянным ускорением?
6. Вектор ускорения направлен в сторону движения тела. Как будет изменять свою скорость тело?

Ускорение. Прямолинейное движение с постоянным ускорением. Мгновеннная скорость.

Ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела.

t 0 = 0c v 0 = 0 м/с Скорость изменилась на v = v 2 - v 1 в течение

t 1 = 5c v 1 = 2 м/ с промежутка времени = t 2 - t 1 . Значит за 1 с скорость

t 2 = 10c v 2 = 4 м/с тела увеличится на = .

t 3 = 15c v 3 = 6 м/с = или = . (1 м/с 2)

Ускорение – векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Физический смысл : а = 3 м/с 2 – это значит, что за 1 с модуль скорости меняется на 3 м/с.

Если тело разгоняется а>0, если тормозит а

Аt = ; = + аt мгновенная скорость тела в любой момент времени. (Функция v(t)).

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение движения

Д
ля равномерного движения S=v*t, где v и t являются сторонами прямоугольника под графиком скорости. Т.е. перемещение = площади фигуры под графиком скорости.

Аналогично можно найти перемещение при равноускоренном движении. Нужно всего лишь найти отдельно площадь прямоугольника, треугольника и сложить их. Площадь прямоугольника v 0 t, площадь треугольника (v-v 0)t/2, где мы делаем замену v – v 0 = аt . Получим s = v 0 t + аt 2 /2

s = v 0 t + аt 2 /2

Формула перемещения при равноускоренном движении

Учитывая, что вектор s = х-х 0 , получим х-х 0 = v 0 t + аt 2 /2 или вынесем начальную координату вправо х = х 0 + v 0 t + аt 2 /2

х = х 0 + v 0 t + аt 2 /2

По этой формуле можно найти координату ускоренно движущегося тела в любой момент времени

При равнозамедленном движении перед буквой «а» в формулах знак + можно заменить на -

План-конспект урока по теме «Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением»

Дата :

Тема: «Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением»

Цели:

Образовательная : Обеспечить и сформировать осознанное усвоение знаний о скорости при прямолинейном движении с постоянным ускорением;

Развивающая : Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в группах.

Воспитательная : Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину поведения.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Оборудование и источники информации:

Исаченкова, Л. А. Физика: учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский; под ред. А. А. Сокольского. Минск: Народная асвета, 2015

Исаченкова, Л. А. Сборник задач по физике. 9 класс: пособие для учащихся учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, В. В. Дорофейчик. Минск: Аверсэв, 2016, 2017.

Структура урока:

Организационный момент(5 мин)

Актуализация опорных знаний(5мин)

Изучение нового материала (15 мин)

Физкультминутка (2 мин)

Закрепление знаний (13мин)

Итоги урока(5 мин)

Организационный момент

Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны разобраться со скоростью при прямолинейном движении с постоянным ускорением. А это значит, что Тема урока : Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением

Актуализация опорных знаний

Самое простое из всех неравномерных движении - прямолинейное движение с постоянным ускорением. Его называют равнопеременным.

Как изменяется скорость тела при равнопеременном движении?

Изучение нового материала

Рассмотрим движение стального шарика по наклонному желобу. Опыт показывает, что его ускорение практически постоянно:

Пусть в момент времени t = 0 шарик имел начальную скорость (рис. 83).

Как найти зависимость скорости шарика от времени?

Ускорение шарика а = . В нашем примере Δt = t , Δ - . Значит,

, откуда

При движении с постоянным ускорением скорость тела линейно зависит от времени.

Из равенств (1 ) и (2) следуют формулы для проекций:

Построим графики зависимости a x ( t ) и v x ( t ) (рис. 84, а, б).

Рис. 84

Согласно рисунку 83 а х = а > 0, = v 0 > 0.

Тогда зависимости a x ( t ) соответствует график 1 (см. рис. 84, а). Это прямая, параллельная оси времени. Зависимости v x ( t ) соответствует график , описывающий возрастание проекции ско рости (см. рис. 84, б). Понятно, что растет и модуль скорости. Шарик движется равноускоренно.

Рассмотрим второй пример (рис. 85). Теперь начальная скорость шарика направлена вдоль желоба вверх. Двигаясь вверх, шарик будет постепенно терять скорость. В точке А он на мгновение остановится и начнет скатываться вниз. Точку A называют точкой поворота.

Согласно рисунку 85 а х = - а < 0, = v 0 > 0, и формулам (3) и (4) соответствуют графики 2 и 2" (см. рис. 84, а , б).

График 2" показывает, что вначале, пока шарик двигался вверх, проекция скорости v x была положительна. Она уменьшалась и в момент времени t = стала равной нулю. В этот момент шарик достиг точки поворота A (см. рис. 85). В данной точке направление скорости шарика изменилось на противоположное и при t > проекция скорости стала отрицательной.

Из графика 2" (см. рис. 84, б) видно также, что до момента поворота модуль скорости уменьшался - шарик двигался вверх равнозамедленно. При t > t n модуль скорости растет - шарик движется вниз равноускоренно.

Постройте самостоятельно графики зависимости модуля скорости от времени для обоих примеров.

Какие еще закономерности равнопеременного движения необходимо знать?

В § 8 мы доказали, что для равномерного прямолинейного движения площадь фигуры между графиком v x и осью времени (см. рис. 57) численно равна проекции перемещения Δ r х . Можно доказать, что это правило применимо и для неравномерного движения. Тогда согласно рисунку 86 проекция перемещения Δ r х при равнопеременном движении определяется площадью трапеции ABCD . Эта площадь равна полусумме оснований трапеции умноженной на ее высоту AD .

В результате:

Так как среднее значение проекции скорости формулы (5)

следует:

При движении с постоянным ускорением соотношение (6) выполняется не только для проекции, но и для векторов скорости:

Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Формулы (5), (6) и (7) нельзя использовать для движения с непостоянным ускорением. Это может привести к грубым ошибкам.

Закрепление знаний

Разберем пример решения задачи со страницы 57:

Автомобиль двигался со скоростью, модуль которой = 72 . Увидев красный свет светофора, водитель на участке пути s = 50 м равномерно снизил скорость до = 18 . Определите характер движения автомобиля. Найдите направление и модуль ускорения, с которым двигался автомобиль при торможении.

Дано: Реше ние:

72 = 20 Движение автомобиля было равнозамедленным. Уско-

рение автомобиля направлено противоположно

18 = 5 скорости его движения.

Модуль ускорения:

s = 50 м

Время торможения:

а - ? Δ t =

Тогда

Ответ:

Итоги урока

При движении с постоянным ускорением скорость линейно зависит от времени.

При равноускоренном движении направления мгновенной скорости и ускорения совпадают, при равнозамедленном - они противоположны.

Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Организация домашнего задания

§ 12, упр. 7 № 1, 5

Рефлексия.

Продолжите фразы:

Сегодня на уроке я узнал…

Было интересно…

Знания, которые я получил на уроке, пригодятся

§ 12-й. Движение с постоянным ускорением

При равноускоренном движении справедливы следующие уравнения, которые мы приводим без вывода:

Как вы понимаете, векторная формула слева и две скалярные формулы справа равноправны. С точки зрения алгебры, скалярные формулы означают, что при равноускоренном движении проекции перемещения зависят от времени по квадратичному закону. Сравните это с характером проекций мгновенной скорости (см. § 12-з).

Зная, что  s x  = x – x o  и   s y  = y – y o   (см. § 12-е), из двух скалярных формул из правой верхней колонки получим уравнения для координат:

Поскольку ускорение при равноускоренном движении тела постоянно, то координатные оси всегда можно расположить так, чтобы вектор ускорения был направлен параллельно одной оси, например оси Y. Следовательно, уравнение движения вдоль оси X заметно упростится:

x  =  x o + υ ox  t  + (0) и y  =  y o + υ oy  t  + ½ a y  t²

Обратите внимание, что левое уравнение совпадает с уравнением равномерного прямолинейного движения (см. § 12-ж). Это означает, что равноускоренное движение может «складываться» из равномерного движения вдоль одной оси и равноускоренного движения вдоль другой. Подтверждением этому служит опыт с ядром на яхте (см. § 12-б).

Задача . Вытянув руки, девочка подбросила шар. Он поднялся на 80 cм и вскоре упал к ногам девочки, пролетев 180 cм. С какой скоростью шар был подброшен и какую скорость шар имел при ударе о землю?

Возведём в квадрат обе части уравнения для проекции на ось Y мгновенной скорости: υ y  =  υ oy + a y  t  (см. § 12-и). Получим равенство:

υ y ²  =  ( υ oy + a y  t )²  =  υ oy ² + 2 υ oy  a y  t + a y ² t²

Вынесем за скобки множитель  2 a y   только для двух правых слагаемых:

υ y ²  =  υ oy ² + 2 a y  ( υ oy  t + ½ a y  t² )

Заметим, что в скобках получилась формула для вычисления проекции перемещения:  s y = υ oy  t + ½ a y  t². Заменяя её на s y , получим:

Решение. Сделаем чертёж: ось Y направим вверх, а начало координат поместим на земле у ног девочки. Применим выведенную нами формулу для квадрата проекции скорости сначала в верхней точке подъёма шара:

0 = υ oy ² + 2·(–g)·(+h) ⇒ υ oy = ±√¯2gh = +4 м/с

Затем при начале движения из верхней точки вниз:

υ y ² = 0 + 2·(–g)·(–H) ⇒ υ y = ±√¯2gh = –6 м/с

Ответ: шар был брошен вверх со скоростью 4 м/с, а в момент приземления имел скорость 6 м/с, направленную против оси Y.

Примечание. Надеемся, вы понимаете, что формула для квадрата проекции мгновенной скорости будет верна по аналогии и для оси X.